1

PROF. BENEDITO C. SILVA

HID023 – Hidrologia II

Determinação de Vazões Extremas

Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas

Estrutura TR (anos)

Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10

Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100

Pontes 50 a 100

Diques de proteção de cidades 50 a 200

Drenagem pluvial 2 a 10

Grandes barragens (vertedor) 10 mil

Pequenas barragens 100

3

Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas

Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando:

i. Valores máximos diários de cada anoii. Um valor para cada ano hidrológicoiii. O ano hidrológico corresponde ao

período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca.

Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte

Série de vazões diárias

5

Seleção dos máximos anuaisVazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

31/12/94 31/12/95 31/12/96 31/12/97

Vaz

ão (m

3 /s)

Ano civil

Ano hidrológico

Máx. de 1995

Máx. de 1996

Máx. de 1995/96

Séries de vazões máximas

Séries de vazões máximas

8

xXPxF

Função distribuição de probabilidade acumulada

Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x

Probabilidade de não-excedência

Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x

Probabilidade de excedência

xFxXP 1

9

Função de distribuição empírica

• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:

1)(

nmqQP m

Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostran é o tamanho da amostra.

10

Exemplo de distribuição empírica

Para o segundo valor:

Ordem Vazão Máxima

1 289.5 2 263.3 3 240.0 4 227.3 5 210.8 6 184.5 7 183.8 8 170.3 9 167.3

10 157.5 11 145.5 12 131.3 13 104.3

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286

Tempo Retorno

14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1

0.71429.01

)(1

qQP

TR

1429.0113

21

nmqQP

11

Exemplo de distribuição empírica

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0

Tempo de retorno, TR (ano)

Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

12

Distribuições teóricas de probabilidade

• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)

• Log-Normal (vazões máximas)• Gumbel (extremo tipo I) (vazões

máximas)• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões

mínimas)• Log Pearson Tipo III (vazões máximas)

adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros

Distribuições usuais em hidrologia

13

Distribuições teóricas de probabilidade

14

Distribuições teóricas de probabilidade

15

Distribuição de Gumbel (Extremos I)

yeeqQP

A função densidade de probabilidade acumulada é

Ou, passando para probabilidade de excedência

yeeqQP 1

qy

Onde,

5772,0

78,0

x

ss - desvio padrão

da série de valores máximos - média da série de valores máximos

x

16

yeeqQP 1yee

TR11

TRe

ye 11

Passando o logaritmo 2 vezes

TRy 11lnln

TR

q 11lnln

TRTRq 11lnln

Distribuição de Gumbel (Extremos I)

Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR

17

Distribuição Log-Pearson Tipo III

Função densidade de probabilidade:

Fórmula alternativa:A vazão para um tempo de retorno TR é

calculada por,QTR KSQQ logloglog

QSlog= Desvio padrão dos logaritmos da

vazões

18

Distribuição Log-Pearson Tipo III

O parâmetro K é calculado por:

11

662

3

1GGk

GK

Com,

32

2

1 001308,0189269,0432788,11010328,0802853,0515517,2

ttttttk

2lnt TR

G é o coeficiente de assimetria

Calcular a médiaCalcular desvio padrãoObter os valores de z da tabela para

probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo)

Calcular a vazão para cada TR por

Usando a distribuição normal

QSQ

QQ Q S z No MS Excel o valor de Q pode ser calculado usando a função INV.NORM.N

Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá

Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá

z P(y>0) TR Q

0,000 50 % 2 17890,842 20 % 5 22371,282 10 % 10 24712,054 2 % 50 28822,326 1 % 100 3026

QQ Q S z 532SQ

1789Q

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Cuiabá

Subestima!

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Guaporé

Subestima!

Problema

Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

Problema

Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

Calcular os logaritmos das vazões máximas anuaisCalcular a média Calcular desvio padrão SObter os valores de z da tabela para probabilidades

de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo)

Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por

Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se usar ln) para cada TR

Usando a distribuição Log - normal

x x S z

x

No MS Excel o valor de x pode ser calculado usando a função INV.LOGNORMAL

Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio Guaporé

28

Distribuição Normal via Excel

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s

Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Normal

100 0.010 314.990 0.011 312.880 0.013 310.470 0.014 307.660 0.017 304.350 0.020 300.340 0.025 295.330 0.033 288.620 0.050 278.514 0.071 268.810 0.100 259.09 0.111 255.78 0.125 252.07 0.143 247.56 0.167 242.25 0.200 235.44 0.250 226.53 0.333 213.42 0.500 190.4

1.01 0.990 65.6

29

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

Tempo de retorno, TR (ano)

Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

EmpíricaNormal

Distribuição Normal via Excel

30

Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s

Alfa 41.76223Mi 166.2795

Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Gumbel

100 0.010 358.3990 0.011 353.9780 0.013 349.0270 0.014 343.4160 0.017 336.9250 0.020 329.2340 0.025 319.8130 0.033 307.6220 0.050 290.3214 0.071 274.9510 0.100 260.269 0.111 255.618 0.125 250.367 0.143 244.376 0.167 237.365 0.200 228.924 0.250 218.313 0.333 203.982 0.500 181.59

1.01 0.990 102.41

TRTRq 11lnln

31

Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

Tempo de retorno, TR (ano)

Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

EmpíricaNormalGumbel

Exemplo rio Guaporé

Comparação de resultados

TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel

2 754 678 685 696

5 1050 1010 1013 1007

10 1204 1245 1236 1212

25 1369 1554 1522 1472

50 1475 1794 1737 1665

100 1571 2041 1953 1856

Considerações finais

Vazões máximas não seguem distribuição normal.

Distribuição assimétrica.Estimativa de vazões máximas com

Log Normal Gumbel Log Pearson 3

Não há uma distribuição perfeitaLog Pearson 3 é recomendada oficialmente

nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno

Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação

Considerações finais

Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões diárias máximas e ajuste as distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson III

Calcule as vazões máximas para tempos de retorno até 10.000 anos

Escolha a distribuição que melhor se ajustou e faça uma tabela com as vazões para os tempos de retorno: 25, 50, 100, 250, 500, 1000 e 10.000 anos

Transponha os valores obtidos no item anterior para o local da usina (A=540km2)

ATIVIDADE 7

Vazões Mínimas

Estimativas de vazões mínimas

Usos: Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Questões ambientais (sobrevivência de espécies)

Vazões mínimas

A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite

No caso da análise utilizando

probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máximas

Mínimas de cada ano

ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de estiagem aproximadamente no seu centro

Série de vazões mínimas

ano data vazão

1970 4/jun 118.7

1971 24/nov 221.8

1972 3/jun 184

1973 23/ago 250.6

1974 24/ago 143

1975 5/set 198

1976 18/mai 194

1977 14/set 106.3

1978 15/mai 77.5

1979 30/abr 108

1980 5/mai 202

1981 17/set 128.6

1982 23/mai 111.4

1983 3/set 269

1984 19/set 158.2

1985 31/dez 77.5

1986 8/jan 77.5

1987 12/out 166

1988 13/dez 70

1989 27/dez 219.6

1990 17/mar 221.8

1991 24/set 111.4

1992 24/fev 204.2

1993 3/mai 196

1994 27/dez 172

1995 19/set 130.4

1996 31/ago 121.6

1997 13/mai 198

1998 1/ago 320.6

1999 2/dez 101.2

2000 26/jan 118.2

2001 24/ago 213

Vazões mínimas em ordem cronológica

ano data vazão

1988 13/dez 70.0

1978 15/mai 77.5

1985 31/dez 77.5

1986 8/jan 77.5

1999 2/dez 101.2

1977 14/set 106.3

1979 30/abr 108.0

1982 23/mai 111.4

1991 24/set 111.4

2000 26/jan 118.2

1970 4/jun 118.7

1996 31/ago 121.6

1981 17/set 128.6

1995 19/set 130.4

1974 24/ago 143.0

1984 19/set 158.2

1987 12/out 166.0

1994 27/dez 172.0

1972 3/jun 184.0

1976 18/mai 194.0

1993 3/mai 196.0

1975 5/set 198.0

1997 13/mai 198.0

1980 5/mai 202.0

1992 24/fev 204.2

2001 24/ago 213.0

1989 27/dez 219.6

1971 24/nov 221.8

1990 17/mar 221.8

1973 23/ago 250.6

1983 3/set 269.0

1998 1/ago 320.6

ordem123…

N = 32

1Nip

Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor

1TRp

Probabilidade TR vazão0.030 33.00 700.061 16.50 77.50.091 11.00 77.50.121 8.25 77.50.152 6.60 101.20.182 5.50 106.30.212 4.71 1080.242 4.13 111.40.273 3.67 111.40.303 3.30 118.20.333 3.00 118.70.364 2.75 121.60.394 2.54 128.60.424 2.36 130.40.455 2.20 1430.485 2.06 158.20.515 1.94 1660.545 1.83 1720.576 1.74 1840.606 1.65 1940.636 1.57 1960.667 1.50 1980.697 1.43 1980.727 1.38 2020.758 1.32 204.20.788 1.27 2130.818 1.22 219.60.848 1.18 221.80.879 1.14 221.80.909 1.10 250.60.939 1.06 2690.970 1.03 320.6

Distribuição empírica de vazões mínimas

Distr. empírica de vazões mínimas

Ajuste de distribuições teóricas

Semelhante ao caso das vazões máximasNormalmente as vazões mínimas que

interessam tem a duração de vários diasA vazão mínima mais conhecida é a Q7,10

Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.

Vazões mínimas

RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986 O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA,

no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351, de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984;

… Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e

3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor).

…

Vazões mínimas

0

50

100

150

200

250

300

350

1.0 10.0 100.0

Tempo de retorno (anos)

Vaz

ão m

ínim

a (m

3/s)

.

Distribuição Normal também não funciona

Distribuição de Weibull para mínimas

Uma distribuição de freqüências teórica mais adequada para a estimativa de vazões mínimas de alto tempo de retorno é a distribuição de Weibull (veja em Naghettini e Pinto, 2007)

Na análise de vazões mínimas usando a distribuição de Weibull é usada a equação: SKxx

Distribuição de Weibull para mínimas

onde

SKxx

1

T11BAK

1

ln

B111A

e onde:

21

2 1121B

44

33

2210 GHGHGHGHH

1

e onde…

H0 = 0,2777757913H1 = 0,3132617714H2 = 0,0575670910H3 = -0,0013038566H4 = -0,0081523408

Weibull

G é o coeficiente de assimetria; é a função Gama, que é uma generalização

da função fatorial para números reais não inteiros.

Uma dificuldade da aplicação da distribuição de Weibul é a necessidade de calcular o valor da função Gama. O valor da função Gama é dada por:

0

x1w dxexw

Weibull e a função gama

O programa Excel permite calcular o valor do logaritmo da função gama através da função LnGama(x).

o resultado é o logaritmo natural da função gama, para obter a função gama, basta fazer a operação inversa

Exemplo

A tabela ao lado apresenta as vazões mínimas anuais observadas no rio Piquiri, no município de Iporã (PR). Considerando que os dados seguem uma distribuição Weibull, determine a vazão mínima de 5 anos de tempo de retorno.

ano Vazão mínima

1980 202

1981 128.6

1982 111.4

1983 269

1984 158.2

1985 77.5

1986 77.5

1987 166

1988 70

1989 219.6

1990 221.8

1991 111.4

1992 204.2

1993 196

1994 172

1995 130.4

1996 121.6

1997 198

1998 320.6

1999 101.2

2000 118.2

2001 213

Solução

Média = 163 Desvio padrão = 65.2

Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é

G=0,5662

A partir destes dados é calculado o valor de

Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de B() e A().

B()=2,2726 A()=0,2599

E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de retorno T em anos, conforme a tabela a seguir

1162,

Exemplo Weibull - tabela

TR K Vazão Weibull

2 -0.10153 156.5

5 -0.89405 104.8

10 -1.22803 83.0

25 -1.51140 64.6

50 -1.65317 55.3

100 -1.75422 48.7

Q Q K S

1

T11BAK

1

ln

Normal x Weibull

Considerações finais vazões mínimas

Vazões mínimas não seguem uma distribuição normal

Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos

Normalmente se trabalha com mínimas de vários dias de duração

Vazões mínimas na prática

1. Obter dados diários2. Calcular médias móveis (???!!!!)3. Encontrar menores valores de cada ano na

série da média móvel 4. Usar Weibull com os dados da série de

mínimos obtidos no passo 3

do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al.

Para os dados do posto Armazém Capivari (84600000), determine a série de vazões mínimas médias de 7 dias de duração e ajuste a distribuição de Weibull

Utilizando o ajuste da distribuição de Weibull, calcule a vazão Q7,10 (mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno

ATIVIDADE 8