proe cfi aula2 020307 aula 2 – conceitos fundamentais i

PROE CFI Aula2 020307

Aula 2 – Conceitos Fundamentais I


oB

D

t

BE

t

DJH

~

~

~

~

~

~~

.

.

Sabendo e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.

Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,

relações Constitutivas.

~J

Eqs. de Maxwell


Relações constitutivas

• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas

características.

Propriedades dos meios

• Homogéneos

• Lineares

• Isótropos

• Anisotropos

• Temporalmente dispersivos

• Espacialmente dispersivos

• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão

espacial.


Comportamento dieléctrico

Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.

- vector polarização eléctrica

Efeitos da polarização equivalentes aos produzidos por

~~0

~PED

~P

~.Pp

Comportamento dieléctrico e magnético

Regimes estacionários

Resposta do meio a um campo electromagnético estático e uniforme é descrita em termos

de momentos dipolares induzidos eléctricos e magnéticos.


Polarização


Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica são induzidas pequenas correntes

microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos às variações do campo aplicado.

Comportamento diamagnético, momentos magnéticos em oposição ao campo magnético.

Comportamento paramagnético, há a possibilidade de alinhar os momentos magnéticos

atómicos individuais e o campo magnético intensifica-se.

Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos induzidos são muito mais intensos

do que nos materiais

com comportamento magnético ordinário.

~B

Magnetização

Correntes microscópicas induzidas (Amperianas). magnetização - momento dipolar

magnético por unidade de volume.

A densidade de corrente associada às correntes microscópicas é dada por e tem-

se

~M

~Mx

)(~~

0~

MHB

Comportamento magnético


Magnetização


Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético

Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos

estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).

Regimes variáveis no tempo

Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial relações entre e e entre e

descritas cada uma por uma convolução temporal.

No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de

Fourier de e e de e .

)(~

tD )(~

tE )(~

tB

)(~

tH

)(~

tD )(~

tE )(~

tB )(~

tH

)(*)()(

)(*)()(

)(*)(´)'(´)(

~~

~~

~~~

tEttJ

tHttB

tEtdttEtttD

)(.)()(

)(.)()(

~~

~~

HB

ED


Equações de Maxwell em Meios Materiais

Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre existe

também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos

eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado

(separação de cargas negativas e positivas).

Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade

volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.

A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a

densidade de carga livre.

GaussdeLeiE.o

p

~

~. Pp

~

. D~D


t

E

t

PMJB

o o

~~

~~~

1

• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é

determinado pela densidade de corrente total.

Corrente livre

Corrente Amperiana

Corrente de polarização

Corrente deslocamento de vácuo


A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna

necessário arranjar um modelo para descrever os meios.~D

~H

~

~

~~

D

t

DJH


Equações de Onda (espaço livre)

Meio homogéneo, isótropo e sem fontes ou espaço livre. 0J,0

0

00.

0.

2~

2

~

2

2~

2

~

2

~

~

~

~

~

~

t

HH

t

EEB

D

t

BE

t

DH

Equações de onda


Ondas Electromagnéticas

Ondas Planas

O lugar geométrico dos pontos em que os valores das grandezas ondulatórias são constantes, são planos.

As ondas planas são muito importantes porque:

• A grande distância das fontes as ondas esféricas e cilíndricas podem ser localmente aproximadas por ondas planas

• Qualquer tipo de onda pode ser sintetizado (via integral de Fourier em vectores de onda) à custa de ondas planas elementares.

• A descrição de uma estrutura ondulatória envolve coordenadas espaciais e a coordenada temporal.

Nem todas as funções f(x,y,z,t) são ondas.


Equações de Onda

Meio homogéneo, isótropo e sem fontes ou espaço livre. 0J,0

0

00.

0.

2~

2

~

2

2~

2

~

2

~

~

~

~

~

~

t

HH

t

EEB

D

t

BE

t

DH

Equações de onda


Propagação de Ondas Planas e Uniformes

~~HeE

ctzeCctzkAFunções

ctzfctzfEgeralSolução

ct

E

z

E

escalareseqs

t

E

z

E

ctzk

y

yy

)(

21

2

~

2

2

~

2

2~

2

2~

2

cos:

:

1

.3

0

Todas as expressões representam movimento ondulatório

Admitamos que só dependem de z.


O que é uma onda?

É um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante e é reproduzido noutros

lugares em instantes posteriores, sendo o atraso proporcional à distância de cada local à

primeira posição.

Uma onda não é necessariamente um fenómeno repetitivo no tempo.

(Ex: Tsunami).


Se houver apenas onda incidente:

E = f (z – ct)

Trata-se de uma onda plana e uniforme


Variação Temporal Harmónica

Os geradores produzem tensões e correntes, e portantos campos eléctrico e magnéticoque variam sinusoidalmente no tempo.

Qualquer variação periódica pode ser analisada em termos de variações sinusoidais com frequências que reproduzem o conteúdo espectral do estímulo electromagnético.

)2/sin(

)cos(

0

0

tEE

tEE


Variação Temporal Harmónica

E = Eo cos ωt+

E = Eo sin ωt+

• Notação complexa permite suprimir o factor temporal

tj

xx

x

tj

erEtrE

trE

erEtrE

~~

~

__

~~~

Re,

,

)(Re,

Consideramos por ex:


Equações de Maxwell (notação complexa)

Equação de Helmoltz

Eq. de onda

(Meio sem perdas)0

0.

.

_

~

2_

~

2

_

~

_

~

_

~

_

~

_

~

_

~

_

~

EE

B

D

BjE

DjJH


Propagação de Ondas num Meio sem Perdas

jkzjkzx eCeCE

ckqueem

Ez

E

tzE

21

_

~

22

_

~

2

~,


Velocidade de Fase

Fase da onda φ = ωt - kz

Fase constante ωt – kz = cte

^

~p~

p

kk

v

kdt

dzv

Orientação arbitrária

Comprimento de onda

k = 2 π

k desfasagem por unidade de comprimento

^

~k


Equações de Onda em Meios com Perdas

:EJ~~

j

jj

EjjE

EEjEE

HjE

EjEHt

2

___

~

___

~

2

___

~

2___

~

___

~

2___

~

__

~

___

~

___

~

___

~

___

~

0

.

Bom condutor ρ = 0 (só existe carga superficial) e tem-se:

Define-se

Constante de propagação complexa

0.~

E

Num meio com perdas a condutividade é finita:


Onda plana e uniforme a propagar-se segundo

0jjk.k

ztcosEet,zE

eeEeEzE

Ez

E

:z

~~

0z

~

zjz0

z

0~~

~

22~

2

^

~

Solução:

Equação de dispersão


Onda electromagnética plana com f = 5 MHz a propagar-se segundo z:

Campo eléctrico em z = 0 1^

~~)(cos100 mVxE


a) Propagação no ar 00 ,

Comprimento de onda: mf

c600

Velocidade de fase: c = 3 x 108 m s

Impedância característica

1200

0


b) Propagação na água do mar

Mar:

Constante de atenuação

Constante de fase

Impedancia característica

Comprimento de onda

Profundidade de penetração

Velocidade de fase

10

0

4;;72 mSr

189.82

mNpL

189.82

mrad

4/

2)1(

jejZ

m707.02

m112.02

161053.3 smxf


Campo à distância de 0.5 m

→ Na água do mar a amplitude do campo reduz-se a 1% do seu valor inicial ao fim de 0.5 m

→ A desfasagem entre o campo eléctrico e magnético é de 45º no mar e 0º no ar

10 0.01ze


Propagação no ar e no mar

As características de propagação de uma onda electromagnética a propagar-se no ar e na água do mar são substancialmente diferentes.

A onda atenua-se rapidamente na água do mar e não sofre atenuação no ar.

O campo eléctrico e magnético estão em fase no ar e desfasados de /4 no mar.

Mesmo em baixas frequências, a comunicação de longa distância com submarinos é muito difícil.

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