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8/17/2019 produtos_notaveis (1)
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PRODUTOS NOTÁVEISUma lista de problemas
Onofre Campos
♦ Nível Iniciante
1. Se x é um número real tal que tal que 1 5, x x
+ = determine o valor de 2 21 . x x+
Solução: Elevando ambos os membros da equação1
5 x x
+ = ao quadrado, obtemos:
2
2
1 12 25, x x
x x+ × + =
e daí,2
2
123. x
x+ =
. Fatore a e!ressão 3 25 5. E x x x= − − +
Solução: "emos3 25 5 E x x x= − − +
2 # 5$ # 5$ x x x= − − −
2# 5$# 1$ x x= − −
# 5$# 1$# 1$. x x x= − − +!. Sim!li%ique a e!ressão
2 2 2
.# $# $ # $# $ # $# $
x y z A
x y x z y z y x z x z y= + +
− − − − − −
Solução: &ote que !odemos es'rever a e!ressão a'ima da se(uinte %orma:2 2 2
.# $# $ # $# $ # $# $
x y z A x y x z x y y z x z y z
= − +− − − − − −)ssim, redu*indo a e!ressão ao mesmo denominador 'omum vem:
2 2 2# $ # $ # $.
# $# $# $
x y z y x z z x y A
x y y z x z
− − − + −=
− − −+or outro lado, desenvolvendo o denominador, obtemos:
2# $# $# $ # $# $ x y y z x z xy xz y yz x z − − − = − − + −2 2 2 x y xyz x z xz = − − + 2 2 2 xy y z xyz yz − + + − 2 2 2# $ # $ # $. x y z y x z z x y= − − − + −
+ortanto:2 2 2
2 2 2
# $ # $ # $1.
# $ # $ # $
x y z y x z z x y A
x y z y x z z x y
− − − + −= =
− − − + −
". Se , x y z + + = mostre que 3 3 3 3 . x y z xyz + + =
Solução: -bserve que3 3 3 3 # $ 3# $# $# $. x y z x y z x y y z x z = + + = + + + + + +
omo , x y z y z x+ = − + = − e , x z y+ = − então:
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+or outro lado, da equação ,a b c
x y z + + = temos . xyc xzb yza+ + = 6o(o,
2 2 2
2 2 2 1.
x y z
a b c+ + =
'. Se a, b e c são tr7s números distintos e satis%a*em as equaç8es:
3
3
3
,
a pa q
b pb q
c pc q
+ + =+ + =
+ + ='al'ule a 9 b 9 c.
Solução: ulti!li'ando a se(unda equação !or 1 e somando 'om a !rimeira, obtemos:3 3 # $ ,a b p a b− + − =
ou ainda,
2 2# $# $ # $ ,a b a ab b p a b− + + + − =
2 2# $# $ .a b a ab b p− + + + =omo ,a b− ≠ !ois os números são distintos, obtemos:
2 2 . #;$a ab b p+ + + =)nalo(amente, multi!li'ando a ter'eira equação !or 1 e somando 'om a !rimeira equação,obtemos:
2 2 . #;;$a ac c p+ + + =)(ora, multi!li'ando #;;$ !or 1 e somando 'om #;$, obtemos:
2 2 ,ab ac b c− + − =# $ # $# $ ,a b c b c b c− + − + =
# $# $ .b c a b c− + + =
aí, 'omo ,b c− ≠ se(ue que a 9 b 9 c .
1(. Seam a, b e c números reais distintos e não nulos. Se a 9 b 9 c , mostre que
4.a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − − + + + + = ÷ ÷− − −
Solução: Façamos , e .a b b c c a
x y z c a b
− − −= = =
)ssim, devemos !rovar que
1 1 1# $ 4, x y z
x y z
+ + + + = ÷
ou sea,
4, x y z x y z x y z
x y z + + + + + ++ + =
ou ainda,
1 1 1 4 y z x z x y
x y z
+ + ++ + + + + =
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x y a b b c b
z c a c a
+ − − = + ÷ ÷−
2 2a ab bc c b
ac c a
− + −= ×
−
2 2# $ # $a c b a c b
ac c a
− − −= ×
−# $# $ # $a c a c b a c b
ac c a
− + − −= ×
−# $# $a c a c b b
ac c a
− + −= × −
# $b b b
ac
− −= −
22.
b
ac=
)nalo(amente, 'on'luímos que22 y z c
x ab
+= e
22.
x z a
y bc
+= 6o(o, !elo eer'í'io /, se(ue que
2 2 22 2 2 y z x z x y a b c
x y z bc ac ab
+ + ++ + = + +
3 3 3
2 a b c
abc
+ += ÷
32
abc
abc
= × ÷
. Sim!li%ique as e!ress8es:
#a$ 2 / ?1 1 1 1 1
=1 1 1 1 1 x x x x x− − − −− + − − −
#b$1 1 1
=# $# $ # $# $ # $# $ x y x z y x y z z x z y
+ +− − − − − −
#'$
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 3 3
# $ # $ # $.
# $ # $ # $
x y y z z x
x y y z z x
− + − + −− + − + −
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?. +rove que se , x y z
y z z x x y+ + =
− − − então
2 2 2.
# $ # $ # $
x y z
y z z x x y+ + =
− − −4. +ara que os valores de a ∈¥ a e!ressão / /a + é um número !rimo@1. +rove que se a 9 b 9 c então
5 5 5 3 3 3 2 2 2
.5 3 2
a b c a b c a b c+ + + + + += ×
11. ostre que> > > 2 2 2# $ > # $# $ .a b a b ab a b a ab b+ − − = + + +
12. +rove que se a 9 b 9 c , então> > > 5 5 5 2 2 2
.> 5 2
a b c a b c a b c+ + + + + += ×
13. Se a, b e c são reais não nulos que satis%a*em a 9 b 9 c , 'al'ule3 3 3 2 / / /
5 5 5 2
# $ # $.
# $
a b c a b c
a b c
+ + + ++ +
1/. +rove que se x, y e z são ra'ionais distintos então a e!ressão
2 2 2
1 1 1
# $ # $ # $ y z z x x y+ +
− − −é um quadrado !er%eito.
15. Fatore3 3 3 3?# $ # $ # $ # $ . x y z x y y z x z + + − + − + − +