produÇÃo didÁtico pedagÓgica · 2016-08-15 · vetores e pontos, derivar e integrar funções e...

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: O Software Educativo GeoGebra no Ensino das Funções Trigonométricas

Autor Siuvania Locatelli

Escola de Atuação Colégio Estadual Vinícius de Moraes EFMP.

Município da Escola Tupãssi

Núcleo Regional de Educação Assis Chateaubriand

Professor Orientador Prof.ª Dr.ª Kelly Roberta Mazzutti Lϋbeck

Instituição de Ensino Superior Unioeste – Universidade do Oeste do Estado do Paraná

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar -

Público Alvo Alunos do 2 º ano do Ensino Médio

Resumo

Esta unidade didática baseia-se no ensino da matemática através da informática, especificamente através do uso do Software Educativo GeoGebra, um programa livre de geometria dinâmica disponível nos laboratórios do Programa Paraná Digital. Com este software é possível trabalhar geometria, álgebra e cálculo. Este trabalho apresenta algumas sugestões de atividades, tendo os seguintes objetivos específicos: Usar o Software Educativo GeoGebra como ferramenta pedagógica a ser inserida no ensino de: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo; Ensino de Seno e Cosseno no ciclo Trigonométrico; De Arcos Trigonométricos; Funções Seno e Cosseno de Variável Real; Relação Fundamental da Trigonometria;Construção de Gráfico das funções Seno e Cosseno. Apresentar ao aluno uma aula atrativa e interessante do ponto de vista didático, levando em consideração a importância do conteúdo trabalhado; proporcionar uma melhor interação entre o objeto de estudo da matemática e o aluno. Desta forma, pretende-se mostrar que é possível usar a informática como recurso didático que desperte no aluno o interesse pela busca do conhecimento matemático.

Palavras-chave Ensino-Aprendizagem; Software Educativo GeoGebra; Funções Trigonométricas;

PROFESSORA PDE: SIUVANIA LOCATELLI

UNIDADE DIDÁTICA

O SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

NR: ASSIS CHATEAUBRIAND 2012

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

PROFESSORA PDE: SIUVANIA LOCATELLI

O SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO DAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, desenvolvido como parte do Plano Integrado de Formação Continuada do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE 2012 da Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Orientadora: Profaª. Drª. Kelly Roberta Mazzutti Lübeck

NR: ASSIS CHATEAUBRIAND 2012

1. APRESENTAÇÃO

Na atualidade a tecnologia computacional está presente em quase todas

as atividades exercidas pelo homem e a área educacional também segue essa

tendência.

Hoje os professores através dos avanços tecnológicos tem um recurso

que os auxiliam nas aulas de matemática, a informática. Por meio dela, é

possível motivar o aluno, para que este passe a visualizar e manipular

representações gráficas de modo mais eficaz que a utilização de lápis e papel,

possibilitando que o aluno faça simulações procure resultados que satisfaçam

os objetivos propostos, compreendendo e assimilando melhor alguns

conteúdos matemáticos.

Este trabalho refere-se a uma produção didático-pedagógica

apresentada em formato de Unidade Didática, onde se propõe o uso do

Software GeoGebra como recurso pedagógico no ensino das Funções

Trigonométricas para motivar a aprendizagem da Matemática.

Nesta unidade didática comentaremos um pouco sobre o computador no

ensino da Matemática, uma referência sobre o que é o Software Educativo

GeoGebra e, como principal objetivo, serão apresentadas algumas sugestões

de atividades envolvendo os conteúdos básicos de Funções Trigonométricas,

visando melhorar e favorecer o processo de ensino e aprendizagem deste

conteúdo.

O Software GeoGebra permite a exploração e interação dos registros

algébricos e geométricos simultaneamente e de forma intuitiva. O aluno pode

visualizar uma função e sua representação gráfica, pode constatar o que ocorre

no gráfico quando altera determinado coeficiente da função de forma rápida e

interativa. Portanto, podemos dizer que é um software que tem o potencial de

tornar o ensino mais significativo e motivador.

O trabalho será desenvolvido com os alunos do Ensino Médio do

Colégio Estadual Vinícius de Moraes EFMP no 1º semestre de 2013, no

Laboratório de Informática do Colégio, através do software de geometria

dinâmica o GeoGebra, que é um programa livre e disponível nos laboratórios

do Programa Paraná Digital.

O trabalho prevê questionar a utilização do computador como uma

ferramenta pedagógica, onde o professor, através de seu conhecimento teórico

sistematizado, promove interação entre aluno e o computador para propiciar

oportunidades de ocorrer à aprendizagem. Nesta intervenção entre o

computador e o aluno, o professor norteia os caminhos do conhecimento de

forma dialética, respeitando as referências do aluno nessa interação.

Neste trabalho serão investigadas as funções trigonométricas em três

contextos. O primeiro contexto será desenvolvido a unidade didática elaborada

neste projeto com a turma do 2⁰ A do ensino médio onde se irá explorar o

ambiente computacional.

Para esse contexto pretende-se introduzir o conteúdo das funções

trigonométricas com aulas no laboratório de informática com auxílio do

Software Educativo Geogebra.

O segundo contexto refere-se à sala de aula e será constituído por aulas

ministradas pelo professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰B do

ensino médio.

O terceiro contexto refere-se à sala de aula constituído por aulas

ministradas por outro professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰ C do

ensino médio.

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 O computador e o Ensino da Matemática

A tecnologia computacional está presente em quase todas as atividades

exercidas pelo homem. A inserção do computador como recurso pedagógico

ao ensino da Matemática pode oportunizar a aprendizagem de conceitos

matemáticos e despertar a busca de novos conceitos.

Isso implica entender o computador como uma nova maneira de

representar o conhecimento provocando um redimensionamento

dos conceitos já conhecidos e possibilitando a busca e

compreensão de novas ideias e valores. (VALENTE, 1999, p.

25).

Neste sentido, o papel do professor será de promover condições para

que o aluno construa o seu conhecimento, através dos recursos tecnológicos.

Nas Diretrizes Curriculares de Matemática o uso de recursos

tecnológicos potencializa o processo pedagógico conforme citação.

Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as

calculadoras, os aplicativos da internet, entre outros têm

favorecido as experimentações matemáticas, e potencializado

formas de resolução de problemas (PARANÁ, 2008, p. 65).

Dessa forma, o uso das ferramentas tecnológicas auxilia e permite a

construção, a interação, o trabalho colaborativo, os processos de descoberta

de forma dinâmica e o confronto entre a teoria e a prática.

Segundo Borba e Penteado (2010, p. 45) “Entendemos que uma nova

mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do próprio

conhecimento [...]”.

Neste sentido, o uso do computador em práticas educativas pode ser

aproveitado com o objetivo de experimentar, de visualizar e de representar os

conceitos matemáticos.

2.2 O Ensino das Funções

O uso de novas tecnologias no estudo de funções pode proporcionar a

coordenação entre representações múltiplas, conforme destaca Borba e

Penteando (2010, p. 32) “Conhecer sobre funções passa a significar saber

coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com

ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e

expressões algébricas.”

Entende-se que o uso de mídias tecnológicas bem como o uso de

softwares educativos contribui para o ensino da matemática auxiliando na

construção do conhecimento do aluno.

O estudo das Funções Trigonométricas, na maioria das escolas, têm

sido trabalhada através de construções de gráficos com o auxilio de tabelas

que requerem tempo para determinar seus períodos e a imagem. Os alunos

precisam construir uma tabela para descobrir tais informações. Essa

metodologia deixa muito a desejar, pois se concentra na construção de gráficos

sem a preocupação de determinar a influência dos coeficientes das funções.

Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática (Paraná, 2008, p. 59),

“... o aluno deve compreender que as Funções estão presentes nas diversas

áreas do conhecimento e modelam matematicamente situações que, pela

resolução de problemas auxiliam o homem em suas atividades”.

Ao se trabalhar o conteúdo de Funções Trigonométricas, utilizando-se o

Software Geogebra com o objetivo de construir o conceito do conteúdo de

forma dinâmica e interessante possibilita-se a realização de atividades de

investigação nas quais o aluno constrói, observa, questiona, reflete e socializa

as ideias. Dessa maneira o aluno terá maior facilidade em compreender e

utilizar este conteúdo.

Para Borba e Penteado (2010, p. 26) “o uso de tecnologia nas atividades

traz a visualização para o centro da aprendizagem enfatizando um aspecto

fundamental da disciplina que é a experimentação”.

Neste sentido o uso do computador enriquece a aulas e possibilita a

contextualização, dando uma nova abordagem pedagógica no sentido de

construir conhecimento e desenvolver habilidades importantes como saber

pensar, criar e aprender.

É fundamental transmitir para o aluno que as funções são modelos

matemáticos usados em situações nas quais a dependência necessita ser

expresso. No caso da trigonometria o professor pode explorar bem a variação e

a dependência, auxiliando o aluno a melhor compreender estas funções.

2.3 O Software Educativo Geogebra

O Software Educativo Geogebra1 é um programa livre de geometria

dinâmica desenvolvida pelo Professor Markus Hohenwarter para ser utilizado

em sala de aula. Seu criador iniciou o projeto em 2001 na University of

Salzburg e tem continuado o seu desenvolvimento na Flórida Atlantic

University. Com esse programa pode-se realizar construções utilizando pontos,

vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como outras funções e alterar

todos esses objetos dinamicamente após a construção estar finalizada. Ainda

podem ser incluídas equações e coordenadas diretamente.

Assim, o Geogebra é capaz de lidar com variáveis para números,

vetores e pontos, derivar e integrar funções e ainda oferece comandos para

encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Deste modo o programa

reúne as ferramentas tradicionais de geometria, com outras mais adequadas à

álgebra e ao cálculo.

O software geogebra poderá ajudar no ensino das funções

trigonométricas por ser um meio de promover a aprendizagem com significado,

compreensão e sentido, auxiliando o aluno na construção do conhecimento.

Este trabalho se propõe a construir um referencial teórico prático da

utilização das mídias tecnológicas no processo de ensino da matemática no

conteúdo das Funções Trigonométricas, socializando com os demais

professores e, ao mesmo tempo, ter uma ação coletiva dessas metodologias

na escola pública.

2.4 Conhecendo o Software Educativo Geogebra

Quando acessamos o software Geogebra uma tela de apresentação

mostra diversos recursos. Por meio dos recursos de construção na BARRA DE

1 O Software Educativo Geogebra esta disponível em: http://www.geogebra.org/cms

FERRAMENTAS podemos fazer construções na ÁREA DE TRABALHO com o

uso do mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes

são mostradas na JANELA DE ÁLGEBRA. O CAMPO DE ENTRADA de texto é

usado para digitar coordenadas, equações, comandos e funções diretamente, e

estes são mostrados na ÁREA DE TRABALHO imediatamente depois de

pressionar a tecla “Enter”.

Janela de Álgebra Barra de Menus Barra de Ferramentas Área de Trabalho

Campo de Entrada

2.4.1 Barra de ferramentas

A barra de ferramenta do software Geogebra está dividida em 12 ícones

(janelas) conforme apresentados abaixo:

Cada ícone (janela) contém várias ferramentas, para selecionar uma

função, devemos clicar na setinha do canto direito inferior de cada ícone, e

arrastar o cursor para baixo, quando a função desejada estiver selecionada é

só dar um clique.

Algumas informações

Através do menu “Exibir” é possível ativar ou desativar a janela de

álgebra, o sistema de eixos, a malha e outros.

No canto superior direito da tela, há o comando Desfazer, que apaga as

últimas ações realizadas, pode-se usar também o teclado, pressionando Ctrl+z

para desfazer e Ctrl+y para refazer, isto quantas vezes for necessário.

Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá

informações de como proceder para utilizá-la

Para tornar objetos desenhados visíveis ou invisíveis, clique sobre eles

com o lado direito do mouse e escolha “Exibir Objeto”.

A aparência dos objetos (cor e tipo de linha) também é alterada

facilmente clicando sobre o objeto com o lado direito do mouse e escolhendo

“Propriedades”.

O menu “Exibir _ Protocolo de Construção” fornece uma tabela listando

todos os passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para

revisar a construção passo a passo utilizando as teclas de seta.

No rodapé da tela do Geogebra tem uma linha de ENTRADA DE

COMANDOS que nos permite inserir equações e coordenadas diretamente,

basta digitar e teclar “Enter” que o objeto aparecerá na ÁREA DE TRABALHO

e algebricamente na JANELA DE ÁLGEBRA.

No CAMPO DE ENTRADA devemos respeitar algumas notações como:

- O sistema decimal recebe ponto em vez de vírgula;

- O sinal de multiplicação é representado por ( * );

- O sinal de divisão é representado por ( / );

- Para representar potência usamos o símbolo ( ^ ). Ex: x^2 é o mesmo que x2.

Para obter mais informações acesse o documento de ajuda do

Geogebra – O Manual Oficial esta disponível em:

http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf

3. METODOLOGIA

Neste trabalho serão investigadas as funções trigonométricas em três

contextos. O primeiro contexto será desenvolvido a unidade didática elaborada

neste projeto com a turma do 2⁰ A do ensino médio onde o conteúdo será

explorado no ambiente computacional.

http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf

Para esse contexto pretende-se introduzir o conteúdo das funções

trigonométricas com aulas no laboratório de informática com auxílio do

Software Educativo Geogebra.

Trabalhar de forma criativa desperta a curiosidade, motivando e

contribuindo para o desenvolvimento da autonomia e de diversas habilidades e

competências. Para tanto, propomos a elaboração de uma sequencia didática.

No contexto do computador teremos atividades, retomadas das

definições das razões trigonométricas, extensão ao ciclo, introdução das

funções seno e cosseno.

O segundo contexto refere-se à sala de aula e será constituído por aulas

ministradas pelo professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰B do

ensino médio.

O terceiro contexto refere-se à sala de aula constituído por aulas

ministradas por outro professor sem utilização de mídias, em classe do 2⁰ C do

ensino médio.

Com esta pesquisa temos o objetivo de observar a influência dos

contextos na aprendizagem.

Nossa intenção é pesquisar se introduzir o assunto através do auxilio do

computador se mostra mais interessante, desafiador e eficaz para a

aprendizagem.

3.1 Contexto do Computador

O estudo das razões trigonométricas e a introdução da Função Seno e

Função Cosseno será feito utilizando-se o Software Educativo Geogebra.

Neste contexto buscamos formular atividades nas quais o aluno possa lidar

com razões trigonométricas, com o auxilio do computador. O aluno poderá

explorar o ciclo trigonométrico, analisar período, amplitude, domínio e imagem

das funções trigonométricas.

Primeiramente serão apresentados os principais comandos do sofware

Geogebra, onde serão feitas algumas construções para os alunos se

familiarizarem com o programa.

Depois será feita algumas construções de triângulos retângulos, cálculos

de área, perímetro e as razões trigonométricas. Depois os alunos construirão

ciclo trigonométrico e, nele, um ponto móvel P. O aluno, ao movimentar o ponto

ao longo do ciclo, observara as projeções de P sobre os eixos, associando

cada arco ao seno e cosseno correspondentes.

A partir de suas observações na tela, o aluno preencherá uma ficha de

atividades que abordara sinal assumido pelo seno, coseno em cada quadrante,

crescimento, decrescimento, valores, máximo e mínimo. O objetivo será

desenvolver um estudo exploratório do conteúdo, nesta fase inicial.

Depois passaremos a construção dos gráficos das funções

trigonométricas, onde os alunos observarão e analisarão diferentes gráficos

alongamentos, compressão, reflexão e translação. A partir da observação da

tela os alunos irão preencher uma ficha de atividades que abordara questões

referentes ao domínio, imagem, período dos gráficos.

Os registros dos dados serão feitos com os alunos do segundo ano do

ensino médio, os registros serão através de fotos e vídeos. E relatórios das

observações feitas pelo professor.

Espera-se que essa maneira de trabalhar as funções trigonométricas no

contexto computacional, venha contribuir para as percepções dos estudantes

sobre funções, facilitando a relação ensino e aprendizagem. Para tanto,

propomos a elaboração de uma sequência didática.

3.2 Proposta Didática

A sequência didática, que servira de ferramenta para atingir nossos

objetivos será:

1. Apresentação e familiarização do software Geogebra.

2. Retomar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

3. Definir seno e cosseno no ciclo trigonométrico.

4. Definir as funções seno e cosseno de variável real.

5. Construir o gráfico das funções seno e cosseno.

Concluída a sequência didática, espera-se que o aluno seja capaz de:

a) Associar número real ao arco correspondente, no ciclo trigonométrico e

determinar seu seno e cosseno.

b) Reconhecer e aplicar a relação fundamental da trigonometria.

c) Interpretar expressões do tipo:

y = a +b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d) reconhecendo a conexão

entre gráfico e expressão algébrica com diferentes coeficientes.

d) Analisar domínio, imagem e período em gráfico e expressões que

envolvam essas funções.

e) Ligar fenômenos periódicos às funções senoidais e cossenoidais.

3.3 Orientações para a realização das atividades

No laboratório de informática e por meio do software Geogebra, os

alunos do 2⁰ ano do Ensino Médio irão desenvolver atividades sobre o

conteúdo de Funções Trigonométricas, com o objetivo de construir os conceitos

de forma dinâmica e interessante, através da realização de atividades de

investigação nas quais o aluno constrói, observa, questiona, reflete e socializa

as ideias.

Em cada computador ficarão 1 ou 2 alunos. Primeiramente o aluno

deverá digitar na tela inicial o login e a senha para ter acesso ao Paraná Digital.

Em seguida selecionar: Aplicativos _ Educação _ Matemática _ Geogebra.

O professor apresentará aos alunos o software Geogebra, passando

algumas informações básicas sobre as janelas e as ferramentas disponíveis no

programa. Na sequência iniciam-se as atividades onde os alunos seguirão

passo a passo as orientações do professor. Para a realização de cada

atividade temos: conteúdos a serem explorados, objetivos a serem atingidos e

procedimentos que mostram de maneira detalhada como utilizar os recursos do

programa para desenvolver as atividades.

3.4 Recursos / materiais

- Computador

- Software Geogebra

- Pendrive

- Livro didático

- Caderno e lápis

- Roteiros para os alunos

Tempo previsto

- Serão necessárias uma ou duas aulas para cada unidade.

Avaliação

- A ação avaliativa será através da participação e envolvimento dos alunos no

desenvolvimento de todas as atividades propostas.

4 Unidade Didatica

Unidade 1 - Atividades de familiarização com as operações básicas do

software Geogebra

Objetivos:

- Apresentar os principais comandos do Software Educativo Geogebra para

que o aluno possa conhecer e ter contato com o programa.

Atividade 1.Trace uma reta que passe pelos pontos A e B.

Passo 1: Marcar os pontos A e B; para isso ative a 2ª janela, selecione a opção

novo ponto e clique na janela de visualização .

Passo 2: Marcar a reta que passa pelos pontos A e B; para isso ative a 3ª

janela, selecione a opção reta definida por dois pontos e clique no ponto no

ponto B.

Atividade 2. Construa um segmento com uma medida de 4 cm, marque o

ponto médio do segmento. Renomeie o ponto C e mude a cor do segmento.

Passo 1: Ative a 3ª janela, selecione a opção segmento com comprimento fixo.

Passo 2: Ative a 2ª janela e selecione a opção ponto médio, clicar no ponto A e

B, com o botão contrário do mouse sob o ponto C, selecione a opção

renomear.

Atividade 3. Construa duas retas r e s paralelas. Construa ainda uma reta t

paralela e equidistante as retas r e s.

Passo 1: Criar uma reta para isso ative a 3ª janela selecione a opção reta

definida por dois pontos .

Passo 2: Ative 4ª janela, selecione a opção reta paralela, clique na reta e

depois em outro ponto da janela de visualização que deseja que a reta passe.

Atividade 4. Construção de um Quadrado, cálculo de sua área e perímetro.

Passo 1: Construa um ponto livre A, ative a 2ª janela e selecione a opção novo

ponto.

Passo 2: Construa uma reta perpendicular ao eixo x, que passe em A. Para

isto, ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. Clique sobre o

eixo x e em seguida clique no ponto A.

Passo 3: Construa uma reta perpendicular ao eixo y, que passe em A. Para

isto, ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. Clique sobre o

eixo y e em seguida no ponto A.

Passo 4: Construa um ponto B sobre uma das retas. Ative a 2ª janela e

selecione a opção novo ponto. Em seguida clique sobre a reta.

Passo 5: Construa um círculo, com centro em A e que passe em B. Para isto,

ative a 6ª janela e selecione a opção círculo dados o centro e um de seus

pontos. Clique no ponto A e em seguida no ponto B.

Passo 6: Faça a intersecção entre a reta e o círculo, ativando a 2ª janela a

opção intersecção de dois pontos e, logo em seguida, clicando sobre a

intersecção da reta e o círculo. O ponto de intersecção será chamado C.

Passo 7: Construa uma reta paralela a reta que passe no ponto C. Para isto,

ative a 2ª janela e selecione a opção reta paralela, clique sobre a reta e em

seguida clique no ponto C.

Passo 8: Construa uma reta paralela A reta que passa no ponto B. para isso,

ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela. Clique sobre a reta e em

seguida clique no ponto B.

Passo 9: Faça a intersecção entre as retas ativando a 2ª janela e selecionando

a opção intersecção de duas retas.

Passo 10: Esconda todos os objetos auxiliares utilizados até agora, deixando

visível apenas os pontos A,B,C e E. Para isto, clique sobre cada destes objetos

com o botão direito do mouse e selecione a opção esconder objeto.

Passo 11: Construa um polígono sobre os pontos ABCE, ativando a 5ª janela e

selecionando a opção polígono. Clique sobre os pontos ABCE.

Passo 12: Calcular a área e o perímetro do polígono. Para isto ative a 8ª janela

e selecione a opção área e clique no polígono, depois escolher a opção

perímetro e clique no polígono.

Obs.: Pode-se obter um quadrado com a opção polígono de 4 lados, fixando-se

um dos lados AB.

Atividade 5. Construção e manipulação de um triângulo ABC.

Passo 1: Ative a 5ª janela e selecione a opção polígono, com três cliques do

mouse em pontos distintos e não colineares da tela construído um triângulo.

Contudo o programa exige que o último clique coincida com o ponto inicial,

fechando assim a poligonal com três lados (triângulo).

Para mudar a cor do contorno da poligonal no Geogebra, clique sobre a

poligonal com a tecla direita do mouse, ative a opção propriedades e selecione

a cor desejada na janela cor. Também é possível retirar ou aumentar o

preenchimento, assim como, aumentar a espessura da reta suporte da

poligonal.

Passo 2: Manipule os vértices um de cada vez. Para isto, ative a 1ª janela e

selecione a opção mover, clique em um dos vértices e mova-o para outra parte

da tela de desenho, tente agora manipular a poligonal de três lados (triângulo)

e um dos lados do triângulo, observe a diferença existente entre os comandos

anteriores e este.

Passo 3: Clique na 1ª janela e selecione a opção giro em torno de um ponto.

Observe que esta opção permite girar objetos construídos em torno de um

ponto selecionado ou de seu centro geométrico. Aplique este passo sobre o

triângulo, escolhendo um vértice de cada vez, e observe os efeitos.

Passo 4: Clique na 8ª janela e selecione a opção distância. A medida do

segmento aparecerá na janela objetos dependentes.

Passo 5: Manipule os vértices e observe que a medida dos lados do triângulo

são modificadas automaticamente. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a

opção mover. Para calcular o perímetro da poligonal de três lados utilizamos o „

“campo de entrada” do menu exibir. Quando ativada, esta função permite

calcular o perímetro do triângulo acima, clique no link de “entrada” que aparece

na parte inferior da tela e digite no campo em branco os parâmetros a serem

somados (a+b+c), para finalizar dê um enter. O Geogebra apresentará um

parâmetro d como resultado na janela de álgebra.

Passo 6: Clique na 8ª e selecione a opção ângulo. Clique sobre os vértices B,

A e C, nesta ordem, e observe que uma marca de ângulo aparecerá no vértice

A. Repita o passo para marcar os ângulos com os vértices em B e C,

respectivamente. Agora, clique sobre os vértices A, B e C, nesta ordem, e

observe onde a marca de ângulo aparecerá (Se clicar nos vértices no sentido

horário, as marcas de ângulos aparecerão no interior do polígono). Para exibir

no seu desenho as medidas que aparecem na janela de álgebra, clique no

menu editar e selecione a opção propriedades ou clique com o botão direito do

mouse sobre algum ente geométrico e selecione a mesma opção. Assim que

aparecer a janela de propriedades, clique no ícone exibir rótulo, caso esteja

desativado, e escolha uma das opções que aparece na caixa ao lado (Nome,

Nome&Valor ou Valor).

Passo 7: Ative o campo de entrada. Some as três medidas dos ângulos obtidas

no passo 6. Mova os pontos e observe o que ocorre com a soma dos ângulos.

O que se pode concluir?

Digite no campo de entrada a fórmula, α+ β+ γ , e finalize com o enter ou se

preferir busque a opção ângulo na janela comando e digite entre os colchetes

os ângulos teclando na janela anterior ao comando. Ao finalizar este comando,

aparecerá nos objetos dependentes um ângulo δ = 180º como resultado.

Passo 8: Clique na Janela de Comando e selecione a opção área. Depois de

ativar opção área, digite dentro do colchete os pontos do polígono construído,

por exemplo, a área do triângulo ABC: no campo de entrada aparecerá Área

[A,B,C] para finalizar tecle enter. O Geogebra apresentará o resultado na janela

de “Objetos dependentes”. O Geogebra usa o cm como unidade padrão de

medida de comprimento e área.

Passo 9: Ative 1ª janela a opção mover, manipule os vértices do triângulo e o

próprio triângulo. Observe que os resultados obtidos no campo de entrada

(lados, ângulos, perímetro, área) acompanham as mudanças.

Passo 10: Enviando uma imagem do GeoGebra para o Word. Abra o menu

arquivo na opção exportar clique na opção copiar para a área de transferência

depois abra o Microsoft Word e cole a figura com a ferramenta colar do

programa. Para finalizar corte o excesso e salve o seu trabalho com uma figura

do Word. Além de enviar um arquivo para o Word é possível salvar o seu

arquivo como foto utilizando a opção janela de visualização como figura (png, eps) da

mesma janela exportar.

Atividade 6. Construa as seguintes figuras geométricas planas: quadrado,

trapézio, triângulo, e indique para cada um destes os vértices, área, nome do

polígono, tipo do polígono.

Atividade 7. Construa uma caixa em forma de paralelepípedo.

Atividade 8. Utilizando seus conhecimentos no GeoGebra construa uma casa.

Faça um plano no papel antes de iniciar o desenho da casa ou de outra

construção.

Unidade 2: Razões trigonométricas.

Objetivos:

- Construir um triângulo retângulo.

- Retomar as razões trigonométricas.

Construção

Passo 1: Marque o ponto A(0,0) , o ponto B(2,1).

Passo 2: Traçar uma reta perpendicular ao ponto B em relação ao eixo x. Para

isto ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular. (clicar no ponto B

e depois no eixo x).

Passo 3: Marcar o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.

Passo 4: Esconder a reta perpendicular. Para isto, na 12ª janela na opção

exibir/esconder objeto (clicar sobre a reta com o botão contrário do mouse em

propriedades selecionar exibir/objetos).

Passo 5: Unir os pontos A,B e C. Para isto ative a 3ª janela e selecione a opção

segmento definido por dois pontos. (clicar no ponto A, B e C).

Passo 6: Medir os segmentos. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção

distância, comprimento ou perímetro. (clicar no ponto A e C, C e B e A e B).

Na janela comando de entrada definir as razões: r1 = BC/ AB; r2 = AC/AB;

r3 = BC /AC.

Passo 7: Mudar a cor dos segmentos. Para isto, clicar com o botão contrário do

mouse sobre o segmento, ativar a opção propriedades e selecionar a cor.

Passo 8: Mover o ponto B. Para isto, ativar a 1ª janela e selecionar a opção

mover ( clicar no ponto B).

Atividade 1. Movimente o ponto B em direção ao ponto A, tal que o ponto B,

assuma as coordenadas da tabela abaixo e complete-a.

Ponto B AB AC BC BC/AB AC/AB BC/AC

B(4,2)

B(8,4)

B(12,6)

Momento de Reflexão:

1) O que você pode concluir, comparando as razões calculadas nos

triângulos?

2) Explique por que isso ocorre.

Obs.: O professor, após a discussão deve corrigir.

Atividade 2. No mesmo triângulo agora vamos medir o ângulo Â, para isto,

ative a 8ª janela e selecione a opção ângulo. (clicar no segmento AC e AB).

Agora movimente o ponto B em direção ao ponto A, tal que o ângulo Â

assuma os valores da tabela abaixo e complete-a.

Ângulo CB/AB CB/AB AC/AB AC/AB BC/AC BC/AC

30⁰

45⁰

60⁰


1) O que você pode concluir, comparando as razões calculadas nos

triângulos?

2) Explique por que isso ocorre.

3) Ao movimentar o ponto B você identificou algum valor igual?

Atividade 3: Construa a reta y = 0,57735*x.

Marque A (0,0), B cole a reta e C como a interseção da reta ao eixo x que

passa por B. Ocultar retas. Marcar triângulos ABC. Marque as relações: r1 =

AC/AB; r2 = BC/AB; Mover o ponto B.

Espera-se que a final destas atividades os alunos sejam capazes de

perceberem que as razões estão relacionadas ao ângulo considerado. Por isso,

definimos que em qualquer triângulo retângulo o valor do seno do ângulo:

como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. O valor do cosseno do

ângulo como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. O valor da

tangente ângulo como a razão entre cateto oposto e cateto adjacente.

Atividade 4: Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 30⁰ com

o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos

metros verticalmente?

Atividade 5: Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10⁰ em relação

horizontal. Se a rampa tem 20 m de comprimento, a quantos metros o

caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?

Unidade 3 : Construção do triângulo retângulo no ciclo trigonométrico

Citar aos alunos que marquem o ângulo CÂB.

Objetivos:

- Construir o triângulo retângulo no ciclo trigonométrico.

- Compreender as razões trigonométricas.

Construção

Passo 1: Ative a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio.

Coloque o centro na origem e raio 1 unidade.

Passo 2: Marque um ponto B na circunferência, para isto, ative a 2ª janela e

selecione a opção novo ponto e o ponto C pertencente a circunferência no IQ.

Passo 3: Traçar os segmentos AB, AC .

Passo 4: Medir o ângulo BÂC.

Passo 5: Trace uma reta perpendicular ao eixo x passando no ponto B. Para

isto ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto B

depois no eixo x).

Passo 6: Marque o ponto de intersecção da reta perpendicular e o eixo x. Para

isto, ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de intersecção.

Passo 7: Construa um triângulo unindo os pontos A,B, C. para isto, ative a 3ª

janela e selecione a opção segmento definido por dois pontos (clicar em AB e

AC e BC).

Passo 8: Mudar a cor do segmento AC. Para isto, vá com o cursor sobre o

segmento BC com o botão contrário do mouse clicar em propriedades e

selecionar a opção cor.

Passo 9: Esconder objeto, para isto, clicar sobre a reta perpendicular com o

botão contrário do mouse ativar a opção exibir objeto.

Passo 10: Mover o ponto B. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a opção

mover. (clicar no ponto B e arrastar).

Passo 11: Definir as razões r1 = BC/AB; r2 = AC/AB ; r3 = BC/AC.

Atividade 1. Movimente o ponto B para que o ângulo assuma os valores

determinados e complete a tabela abaixo:

Ângulo BC/AB AC/AB BC/AC

30⁰

45⁰

60⁰

70⁰

90⁰

120⁰

150⁰

220⁰

300⁰

Momento de reflexão:

1) O que você pode concluir comparando as razões calculadas quando é

fixado o valor da hipotenusa em 1 unidade?

2) Analise os valores encontrados com uma tabela de razões trigonométricas.

Ao concluir esta atividade os alunos irão perceber que ficará mais fácil calcular

seno, cosseno e tangente de um ângulo α quando o valor da hipotenusa for 1 unidade.

Unidade 4: Arco trigonométrico

Objetivos:

- Construir o arco trigonométrico.

- Diferenciar comprimento de circunferência e comprimento de arcos.

- Compreender congruência de arcos.

Construção

Passo 1: Construa uma circunferência. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a

a opção círculo dados centro e raio, sendo centro origem A(0,0) e raio 1

unidade.

Passo 2: Marque o ponto B(1,0) e um ponto C na circunferência pertencente

ao 1⁰ quadrante.

Passo 3: Marque o segmento AB e AC e BC. Para isto, ative a 3ª janela e

selecione a opção segmento definido por dois pontos.

Passo4: Marque um arco circular. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a

opção arco circular dado centro e dois pontos. (clicar no ponto A,B e C). Mude

a cor do arco BC.

Passo 5: Marcar o ângulo Â. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção

ângulo. (clicar no eixo x, depois no segmento AC).

Passo 6: Mova o ponto C. Para isto, ative a 1ª janela e selecione a opção

mover ( clicar no ponto C e movimenta-lo).

Atividade 1. Movimente o ponto C obtendo um arco de ângulo central 30⁰.

Agora movimente o ponto C obtendo um ângulo central de 360⁰.

Vamos relembrar o comprimento da circunferência que é 2πr, então a

circunferência de raio = 1, seu comprimento será 2π. Existe outra unidade de

medida de ângulo além do grau, que é o radiano.

A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio

unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado

circunferência trigonométrica.

O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xÔy, dividem a

circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, que são chamadas

quadrantes. Os quadrantes apresentam as seguintes variações em graus ou

radianos.

Arcos côngruos

Construção

Passo 1: Construa uma circunferência. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a

a opção círculo dados centro e raio, sendo centro origem A(0,0) e raio 1

unidade.

Passo 2: Marque o ponto B(1,0) e um ponto C na circunferência pertencente

ao 1⁰ quadrante.

Passo 3: Marque o segmento AB e AC e BC. Para isto, ative a 3ª janela e

selecione a opção segmento definido por dois pontos.

Passo4: Marque um arco circular. Para isto, ative a 6ª janela e selecione a

opção arco circular dado centro e dois pontos. (clicar no ponto A,B e C). Mude

a cor do arco BC.

Passo 5: Marcar o ângulo Â. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção

ângulo. (clicar no eixo x, depois no segmento AC).

Passo 6: Construir uma circunferência de centro e raio 2.

Passo 7: Marque o ponto D, ponto de interseção do eixo x com a circunferência

de raio 2. Marque o ponto E na circunferência de raio 2 no IQ. Agora marque os

segmentos AD, AE e DE.

Passo 8: Marque o ângulo EÂD. Marque o arco circular AE, mude a cor do

arco.

Passo 9: Construir uma circunferência de centro na origem e raio 3. Marque um

ponto F de intersecção do eixo x com a circunferência de raio 3. Marque um

ponto G na circunferência de raio 3 no IQ.

Passo 10: Marque os segmentos AF,AG e FG. Marque o ângulo FÂG. Marque

o arco circular GF. Mude a cor do arco.

Passo 11: Marque um ponto H fora das circunferências e marque o segmento

AH.

Atividade 2: Mova o ponto C até obter 45⁰.

Movimente o ponto E percorrendo uma volta completa na circunferência, agora

percorra 45⁰ da segunda volta. Quantos graus você percorreu?----------------------

Observe que a abertura de um arco de 45⁰ é a mesma de um arco de 405⁰.

Agora movimente o ponto G percorrendo 2 voltas completas e pare em 45⁰ da

terceira volta. Quantos graus você percorreu?---------------------------------------------

Compare a abertura dos arcos de 45⁰, 405⁰ e 765⁰, o que você observa?---------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Então podemos concluir que arcos côngruos são: ---------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Atividade 3. Um objeto partindo do ponto de origem dos arcos, percorreu um

arco de 1690⁰. Quantas voltas completas e em qual quadrante parou?

Atividade 4. Quantas voltas completas dá e em qual quadrante parou um

móvel que partindo da origem dos arcos, percorre um arco de:

a) 1875⁰ ------------------- b) 2310⁰ -------------------- c) -3250⁰ ------------------------

d) -1290⁰ ------------------e) 31π/6-----------------------f) 19π/3 -----------------------

Atividade 5. Descubra a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral

dos arcos:

a) -1970⁰ ---------------------------------------------------------------------------------------

b) 1550⁰ ----------------------------------------------------------------------------------------

c) 13π/2 ---------------------------------------------------------------------------------------

Atividade 6. Converta as unidades completando a tabela abaixo:

X ( ⁰ ) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

X(rad) 0 2π

Momento de reflexão

1) Por que circunferência orientada?

2) Qual o significado ângulo negativo?

Unidade 5: Construção da Função Seno

Objetivos:

- Definir o seno de um ângulo maior que 90⁰.

- Definir senx como ordenada, de um ponto P do ciclo, correspondente à

extremidade do arco de medida x.

- Fazer uma analise qualitativa dos valores de senx como função de x,

estudando os sinais de crescimento e decrescimento.

- Determinar valores notáveis assumidos pelo seno.

- Determinar os valores máximos e mínimos assumidos pelo seno.

Agora vamos trabalhar com números reais, com a reta real, com

percurso no sentido anti-horário. Para isso a medida do arco estará sempre

representada em radianos.

Construção

Passo 1: Ativar a 6ª janela e selecione a opção círculo dados centro e raio,

marcar o centro na origem e raio = 1.

Passo 2: Marcar os pontos de interseção dos eixos cartesianos com a

circunferência.

Passo 3: Marque um ponto C na circunferência pertencente ao primeiro

quadrante.

Passo 4: Marque o arco BC. Para isto ative a 6ª janela e selecione a opção

arco circular dados centro e dois pontos. Mudar a cor do arco.

Passo 5: Marcar o ângulo BÂC. Para isto ative a 8ª janela e selecione a opção

ângulo.

Passo 6: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto C. Para isto,

ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto C e no

eixo x).

Passo 7: Marque o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e o eixo x.

Para isto, ative a 2ª janela e selecione a opção interseção de dois pontos.

Passo 8: Unir os pontos A,C e D. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a

opção segmento definido por dois pontos.

Passo 9: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto C. Para isto,

ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto C).

Passo 10: Marcar o ponto de intersecção da reta paralela e o eixo y. Para isto,

ative a 2ª janela e selecione a opção ponto de interseção de dois pontos.

Passo 11: Marque o segmento OF e CF. Para isto, ative a 3ª janela e selecione

a opção segmento definido por dois pontos.

Passo 12: Mudar a cor do segmento OF. Para isto, clicar sobre o segmento

com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e selecionar a

cor.

Passo 11: Esconder as retas. Para isto, clicar com o botão contrário do mouse

sobre a reta e selecionar a opção exibir objeto.

Consideremos um sistema cartesiano acoplado a uma circunferência de

raio unitário, com origem coincidente com o centro O da circunferência.

Sejam os pontos A,B,C,D os pontos de interseção dos eixos do sistema

cartesiano com a circunferência. Então se a medida do arco AP = x definiu:

senx = OF ( projeção de OP sobre o eixo vertical y)

Como estamos no sistema cartesiano, temos que, se OF esta na semi-

reta OB é positivo e, se esta na semi- reta OD, negativo.

Considera-se uma origem para os arcos (o ponto A) e um sentido de

percurso como sendo o positivo (o anti-horário). Podemos determinar seno e

cosseno de ângulos maiores de 360⁰ e também de arcos de medidas

negativas. Podendo ainda relacionar o arco AP, de medida x, com a projeção

em cada um dos eixos, comparando comprimentos.

Atividade 1. Seja AP = x, deslocando o ponto P no sentido anti-horário, ao

longo dos quadrantes, de tal forma que AP= x esteja nas posições I a IV

abaixo, complete a tabela.

Conforme P se

aproxima

AP = x Valor de sen x

aumenta ou diminui

Sinal de sen x

positivo ou negativo

I → A 0<x<π/2

II → B π/2<x<π

III → C Π<x<3π/2

IV → D 3π/2<x<2π

Atividade 2. Complete a tabela abaixo:

Quando P esta sobre A AP = x = 0 Sen 0 = 0

Quando P esta sobre B AP = x = π/2 Sen π/2 =

Quando P esta sobre C

Quando P esta sobre D

Quando P esta sobre A

Quando P esta sobre 3π

Momento de Reflexão

1) Qual o valor máximo assumido pelo seno?

2) Caso continue a movimentar o ponto P tal que AP > 2π, o que você

pode prever em relação aos sinais e ao crescimento ou decrescimento

do seno?

Atividade 3. Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela

e selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP).

Medir o segmento OF. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção

distância, comprimento e perímetro, clicar no segmento.

Movimente o ponto P e complete a tabela abaixo:

X (⁰) (rad) Senx

0⁰ 0 rad Sen0=0

30⁰ rad sen30⁰= sen =

45⁰

60⁰

90⁰

120⁰

135⁰

150⁰

180⁰

210⁰

225⁰

240⁰

270⁰

300⁰

315⁰

330⁰

360⁰


1) Existem valores de x, entre os dados que você observou que possuem o

mesmo seno? Justifique.

2) Compare o sen40⁰ com o sen140⁰ o que ocorre com seus valores?

Justifique.

3) Para determinar o seno de um arco fora da 1ª volta, basta considerar

seu côngruo n a 1ª volta.

Atividade 4. Encontre o valor de :

a) sen210⁰............. b) sen135⁰..............c) sen330⁰............d) sen390⁰.........

e) sen750⁰............. f) sen11π/6............ g) sen325⁰............h) sen94⁰..........

Atividade 5. Encontre o valor dos senos de :

a) sen 685⁰................b) sen 15 π/2 rad .................c) sen - 400⁰...................

d) sen 850⁰ ..............e) sen - 1310⁰ ...................... f) sen 3π/6 rad.................

Atividade 6. Determine x tal que 0≤ x <2 e sen x = - .

Espera-se que ao final da atividade os alunos conseguirão perceber que:

- Para determinar o seno de um ângulo do 2⁰ quadrante, basta compará-lo com

o ângulo correspondente do 1⁰ quadrante. sen(π-x)=senx.

- Para determinar o seno de um ângulo do 3⁰ quadrante, basta compará-lo

com o ângulo correspondente no 1⁰ quadrante. sen(π+x)=-senx.

- Para determinar o seno de um ângulo do 4⁰ quadrante, basta compará-lo com

o ângulo do 1⁰ quadrante. Sen(2π-x)=-senx.

Unidade 6: Construção da Função Cosseno

Objetivos:

- Definir o cosseno de um ângulo maior que 90⁰.

- Definir cosx como ordenada, de um ponto P do ciclo, correspondente à

extremidade do arco de medida x.

- Fazer uma analise qualitativa dos valores de cosx em função de x, estudando

os sinais de crescimento e decrescimento.

- Determinar valores notáveis assumidos pelo cosseno.

- Determinar os valores máximos e mínimos assumidos pelo cosseno.

Agora vamos trabalhar com números reais, com a reta Real, percurso no

sentido anti-horário. Para isso a medida do arco estará sempre representada

em radianos.




circunferência (A,B, C, D).

Passo 3: Marque um ponto P na circunferência pertencente ao primeiro

quadrante.

Passo 4: Traçar uma reta perpendicular que passa pelo ponto P. Para isto,

ative a 4ª janela e selecione a opção reta perpendicular (clicar no ponto P e no

eixo x).



Passo 6: Unir os pontos O,E e P. Para isto, ative a 3ª janela e selecione a


Passo 7: Traçar uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto P. Para isto,

ative a 4ª janela e selecione a opção reta paralela (clicar no eixo e no ponto P).



Passo 9 : Marque o segmento OP e OE. Para isto, ative a 3ª janela e selecione


Passo 10: Mudar a cor do segmento OE. Para isto, clicar sobre o segmento


cor.



Consideremos um sistema cartesiano acoplado a uma circunferência de

raio unitário, com origem coincidente com o centro O da circunferência.

Sejam os pontos A,B,C,D os pontos de interseção dos eixos do sistema

cartesiano com a circunferência. Então se a medida do arco AP = x definiu:

cosx = OE ( projeção de OP sobre o eixo horizontal) .

Como estamos no sistema cartesiano, temos que, se OE esta na semi-

reta OA é positivo e, se esta na semi-reta OC, é negativo.

Atividade 1. Seja AP = x, deslocando o ponto P no sentido anti-horário, ao

longo dos quadrantes, de tal forma que AP= x esteja nas posições I a IV

abaixo, complete a tabela.

Conforme P se

aproxima

AP = x Valor de cos x

aumenta ou diminui

Sinal de cosx positivo

ou negativo

I → A 0<x<π/2

II → B π/2<x<π

III → C Π<x<3π/2

IV → D 3π/2<x<2π

Atividade 2. Complete a tabela abaixo:

Quando P esta sobre A AP = x = 0 cos 0 = 0

Quando P esta sobre B AP = x = π/2 cos π/2 =

Quando P esta sobre C

Quando P esta sobre D

Quando P esta sobre A

Quando P esta sobre 3π

Momento de Reflexão

1) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno?

2) Caso continue a movimentar o ponto P tal que AP > 2π, o que você

pode prever em relação aos sinais e ao crescimento ou decrescimento

do cosseno?

Atividade 3. Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela

e selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP). Medir o segmento

OE. Para isto, ative a 8ª janela e selecione a opção distância, comprimento e

perímetro, clicar no segmento.

Movimente o ponto P e complete a tabela abaixo:

X (⁰) (rad) Cosx

0⁰ 0 rad cos0=cos 0 rad=1

30⁰ rad cos30⁰= cos =

45⁰

60⁰

90⁰

120⁰

135⁰

150⁰

180⁰

210⁰

225⁰

240⁰

270⁰

300⁰

315⁰

330⁰

360⁰


1) Existem valores de x, entre os dados que você coletou que possuem o

mesmo cosseno? Justifique.

2) Compare o cos60⁰ com o cos300⁰ o que ocorre com seus valores?

Justifique.

3) Para determinar o cosseno de um arco fora da 1ª volta, basta considerar

seu côngruo n a 1ª volta.

Atividade 4. Encontre o valor de :

a) cos210⁰............ b) cos135⁰..............c) cos330⁰............d) cos390⁰.........

e) cos750⁰............. f) cos340⁰............ g) cos325⁰............h) cos94⁰..........

Atividade 5. Encontre o valor dos senos de :

b) cos 685⁰................b) cos 15 π/2 rad .................c) cos - 400⁰...................

e) cos 850⁰ ...............e) cos - 1310⁰ ..................... f) cos 3π/6 rad...............

Atividade 6. Determine x tal que 0≤ x <2 e cos x = .

Espera-se que ao final da atividade os alunos conseguirão perceber que :

- Para determinar o cos de um ângulo do 2⁰ quadrante, basta compará-lo com

o ângulo correspondente do 1⁰ quadrante. cosx(π-x)=-cosx.

- Para determinar o cosseno de um ângulo do 3⁰ quadrante, basta compará-lo

com o ângulo correspondente no 1⁰ quadrante. cos(π+x)=-cosx.

- Para determinar o cosseno de um ângulo do 4⁰ quadrante, basta compará-lo

com o ângulo do 1⁰ quadrante. cosn(2π-x)=cosx.

Unidade 7: Construção da função Seno e Função Cosseno num mesmo

ciclo trigonométrico.

Objetivos:

- Construir, visualizar e movimentar as funções seno e cosseno.

- Definir a relação fundamental da trigonometria.




circunferência (A,B, C, D).

Passo 3: Marque um ponto P na circunferência no primeiro quadrante.



eixo x).









Passo 9 : Marque o segmento OP e OE. Para isto, ative a 3ª janela e selecione


Passo 10: Mudar a cor dos segmentos OE e OF. Para isto, clicar sobre o

segmento com o botão contrário do mouse, ativar a opção propriedades e

selecionar a cor.



Passo 12: Marque o ângulo Ô na circunferência. Para isto, ative a 8ª janela e

selecione a opção ângulo (clicar no segmento OE e OP).

Passo 13: Medir os segmentos OE e OF. Para isto, ative a 8ª janela e

selecione a opção distância, comprimento e perímetro, clicar no segmento.

.

Atividade 1. Responda as questões propostas abaixo:

a) Desloque o ponto P no 1⁰ quadrante, observe o ΔOPE. Que tipo de

triângulo é este?

b) Qual a relação entre esses lados deste triângulo?

c) Movimente o ponto P ao longo do ciclo trigonométrico, o que acontece com o

segmento OP?

d) O que este segmento OP representa em relação ao ciclo? Qual o seu valor?

e) Que relação pode-se concluir observando o movimento do ponto P no ciclo

trigonométrico?

Espera-se com essa atividade que os alunos consigam compreenderem

a relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos 2 x = 1.

Atividade 2. Calcule usando arcos côngruos:

a) cos b) cos(-330⁰) c) cos1140⁰ d) sen e) sen750⁰

Atividade 3. Determine x nos seguintes casos:

a) 0⁰≤ x < 360⁰ tal que cosx =

b) 0⁰≤ x < tal que senx=

Atividade 4. Dado senx= , com 0 < x < calcular cos x.

Unidade 8: Construção do Gráfico da Função Seno de alfa.

Objetivos:

- Construir, interpretar e analisar domínio, imagem e período da Função Seno.

- Identificar os intervalos onde as funções são crescentes e decrescentes e

onde são positivas, negativas ou nulas.




circunferência.

Passo 3: Marque um ponto P na circunferência pertencente ao primeiro

quadrante.



eixo x).









Passo 9 : Marque o segmento OF e PF. Para isto, ative a 3ª janela e selecione


Passo 10: Mudar a cor do segmento OF. Para isto, clicar sobre o segmento


cor.



Passo 12: Construir o gráfico da função seno de alfa. Para isto, marcar um

ponto fora da circunferência ponto G, clicar sobre o ponto G com o botão direito

do mouse, ativar propriedades selecionar a cor e mudar.

Passo 13: Com o cursor sobre o ponto G, duplo clique, mudar as coordenadas

G(α, sin (α)), habilitar rastro , mover o ponto P.

Passo 14: mudar o valor do eixo x para radianos. Para isto, clicar com o botão

contrario do mouse sobre o eixo x, ativar a janela de visualização, selecionar a

opção eixo x opção distancia e na barra de rolagem escolha π /2, selecionar a

unidade π.

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a

cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função

é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Atividade 1. Movimente o ponto P ao longo do ciclo trigonométrico, observe o

gráfico do movimento do ponto e de o domínio a imagem da função seno.

Atividade 2. Esta função é periódica? Por que ela recebe este nome e qual é o

seu período?

Atividade 3. Quantos períodos completos você está visualizando Na tela?

Atividade 4. Em quais intervalos de x a função seno é positiva? E negativa?

Atividade 5. Em quais intervalos de x a função é crescente? E decrescente?

Atividade 6. Construa o ciclo com o gráfico da Função Cosseno de alfa e faça

as atividades 1 a 5 referente a função cosseno.

Unidade 9: Construção do gráfico das Funções Seno e Cosseno

Objetivos:

- Interpretar gráficos de funções trigonométricas.

- Analisar as constantes reais a, b, α, no gráfico, no domínio, na imagem e no

período das funções.

Os gráficos dessas funções podem ser obtidos alongando, comprimindo,

transladando e refletindo apropriadamente cada gráfico, a partir das funções

y= senx e y = cos x respectivamente.

Após entrar no programa Geogebra, clique com o botão direito do mouse

sobre o eixo do x, clique em janela de visualização ative a opção distancia e

na barra de rolagem escolha e feche.

Grupo 1

(A) y = senx

(B) y = 2senx

(C) y= 4senx

Passo 1: Digite na barra de entrada y=sin(x), enter.

Passo 2: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico, ative a opção

propriedades mudar cor.

Passo 3: Ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir texto e escrever a

função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y=2sin(x), enter.

Passo 5: Digite na barra de entrada y= 4sin(x), enter.


1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se,

nesta família de funções, que houve alongamento vertical.

Atividade 1. Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?

Grupo 2

(A) y = senx

(B) y = senx

(C) y = senx





função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y= sin(x), enter.

Passo 5: Digite na barra de entrada y= sin(x), enter.



nesta família de gráficos, que houve compressão vertical.


Grupo 3

(A) y= senx

(B) y = -senx





função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y= -sin(x), enter.


1. Quando se comparara a curva B com a curva A, observa-se, nesta

família de funções, que houve reflexão vertical.

Atividade 1: Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?

Grupo 4

(A) y = sen x

(B) y = sen(x-1)

(C) y = sen(x+3)





função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y=sin(x-1), enter.

Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x+3), enter.



nesta família de funções, que houve translação vertical de três

unidades para cima e uma unidade para baixo respectivamente.

Atividade 1: Qual o domínio, a imagem e o período dessas funções?

Grupo 05

(A) senx

(B) sen(x+2)²

(C) sen(x-3)²





função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y=sin(x+2)^2, enter.

Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x-3)^2, enter.


1. Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se

nesta família de funções, que houve translação horizontal de duas

unidades para esquerda e três unidades para direita respectivamente.


Grupo 6

(A) y = senx

(B) y = sen(x+1)² + 5

(C) y = sen(x -2)² - 4





função.

Passo 4: Digite na barra de entrada y= sin(x+1)^2+5, enter.

Passo 5: Digite na barra de entrada y=sin(x-2)^2-4, enter.



nesta família de funções, que houve translação vertical de cinco unidades para

cima e quatro unidades para baixo, houve também translação horizontal de

uma unidade para a esquerda e duas unidades para a direita respectivamente.

Através desses exemplos podemos mostrar a influência de cada

coeficiente nas funções y = a + b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d),

concluindo que:

•o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical da curva.

•o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da curva.

•o parâmetro c influência no período da função que é calculado por: p = 2π/c.

•o parâmetro d provoca translação no sentido horizontal.

Atividade 1. Coloque na barra de entrada as funções abaixo, dando o

domínio, a imagem e o período:

a) y = -1+ sin(x)

b) y = 2 sin(x)

c) y = 3sin(x)

d) y = 4sin(x)

e) y= 1+cos(x)

f) y= 2 + cos(x)


1. O que o parâmetro a representa na função?

2. O que o parâmetro b representa na função?

3. O que o parâmetro c representa na função?

4. O que o parâmetro d representa na função?

Unidade 10: Função Seno e Função Cosseno num período determinado.

Objetivos:

- Analisar as constantes reais a, b, c e d, no gráfico, no domínio, na imagem e

no período das funções.

- Compreender a influência de cada coeficiente nas funções y=a+b.sen(cx + d)

e y =a+b.cos(cx + d).

Para entrar com uma função determinando o período, digite na barra de

entrada: função[asin(bx),0,2π] enter e função[acos(x),0,2 π] enter, obs: (deve-

se colocar um valor para b, para colocar o π, ativar o alfa no lado direito da

barra de entrada e procura o π) .

Atividade 1. Coloque na barra de entrada as funções abaixo, dando o domínio,

a imagem e o período:

a) função [sin(x),0,2π]

b) função [sin(2x),0,2π]

c) função [sin(4x),0,2π]

d) função [cos(x),0,2π]

e) função[cos(2x),0,2π]


1. O que acontece com o período dessas funções?

Espera-se que os alunos percebam a influência de cada coeficiente nas

funções y = a +b.sen (cx + d) e y = a + b.cos (cx + d), e concluam que:

• o parâmetro c influencia no período da função que é calculado por p =2π/c

• o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da curva;

• o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical da curva, enquanto

que d provoca translação no sentido horizontal;

• a imagem é o intervalo [a - b, a + b];

• se d = 0 então o gráfico da função seno passa pelo ponto (0,a), enquanto que

a função cosseno passa pelo ponto (0, a + b) ou (0, a – b), dependendo do

sinal do parâmetro b.

Atividade 2. Construa o gráfico de y = 3 cos ( )+ 1 , y = 3 cos ( )– 1 e y =

cosx e preencha a tabela:

Função Imagem (Im) Período (P)

y = 3 cos( + 1

y = 3 cos( )– 1

y = cosx

Compare os três gráficos. O que você observa?

Atividade 3. Construa o gráfico de y = -2 cos(2x) , y = 2 cos(2x) + 1 e y = 2

cosx + 1. Preencha a tabela abaixo:

Função Imagem (Im) Período (P)

y = -2 cos(2x)

y = 2 cos(2x)

y = 2 cosx + 1

Compare os três gráficos. O que você observa?

Atividade 4. Qual a influência das constantes no formato , no domínio, na

imagem e no período das funções da atividade 2 e 3?

Atividade 5. Analise no gráfico, quais os valores de x, para os quais a função

é crescente e quais é decrescente? Analise para quais valores de x a função é

positiva e qual é negativa? Qual o valor de máximo e valor mínimo da função?

Atividade 6. O gráfico abaixo representa a função:

a) Y= -2 cosx b) y= cos c) y = 2 senx d) y = sem e) y= 2 sen2x

Atividade 7. Sabemos que as marés são variações periódicas e podem ser

modeladas de acordo com a função h(t)=msen( ), em que o coeficiente a

determina a variação máxima em relação ao nível médio do mar. Os extremos

dessa variação são chamados de maré alta e maré baixa. De modo geral, a

água se espalha por uma grande área e sobe/desce apenas alguns

centímetros, porém existem algumas regiões, como a baia de Fundy, no

Canadá, em que e a diferença entre a maré alta e a maré baixa chega a 18 m

na lua cheia. Considerando a baía de Fundy no período de lua cheia,

determine:

a) A função h que relaciona a altura da maré, em metros, em função do

tempo t, em horas.

b) O gráfico da função no período de 0h a 12,4h.

Resolução : A diferença entre a maré alta e baixa é de 18 m; então a variação

máxima em relação ao nível médio do mar é m= =9, ou seja, a função é

dada por h(t)=9sen( .

Para construir o gráfico vamos seguir os passos abaixo:

Passo 1: Inserir no campo de entrada função[9sin(5π/31x),0,12.4] enter.

Passo 2: Marcar os pontos A,B e C. Para isto, ative a 2ª janela, selecionar a

opção interseção de dois objetos, clicar na interseção do gráfico com o eixo x.

Passo 3: Marcar a mediatriz do segmento AB e BC. Para isto, ativar a 4ª janela

e selecionar a opção mediatriz.

Passo 4: Marcar o ponto E e D.Para isto, ativar a 2ª janela e selecionar a opção

interseção de dois objetos, clicar na mediatriz e no gráfico.

Passo 5: Clicar com com o botão contrario do mouse sobre o ponto D e E,

ativar propriedades, selecionar exibir rótulo ativar nome e valor.

Passo 6: Inserir texto. Para isto, ativar a 10ª janela, selecionar a opção inserir

texto.

Atividade 8. Uma função tem como expressão y= cos (x + ), qual deve ser o

domínio, a imagem e o período dessa função? Compare o domínio, a imagem

e o período com a função y = cos x, o que Ocorre?

Atividade 8. Descreva a amplitude do mar em um dia em determinado local

sabendo que nesse dia, na maré alta, a altitude do mar foi de 1,6 m e na maré

baixa foi 0,2 m. As marés altas ocorreram as 2 h e às 14 h e as marés baixas

ocorreram às 8 h e às 20 h. Considere a contagem do tempo em horas a partir

da meia-noite. Resp. h(t)=0,9+0,7sen( t + ).

5 REFERÊNCIAS

ARAUJO, Luís C. L. de, NOBRIGA, Jorge C.C. Aprendendo Matemática com

o Geogebra. São Paulo: Exato, 2010.

BORBA, Marcelo C., PENTEADO, Mirian G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. BORBA, Marcelo C.,PENTEADO Mirian G. Informática e Educação Matemática. 4.

ed. Belo Horizonte:Autentica, 2010. DANTE, Luiz R. Matemática. São Paulo: Ática, 2005.

PARANÁ, Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

FIORENTINI, Dario, LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2009.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2011. LIBÂNIO, José C. Didática. São Paulo: Cortez, 1994. LORENZATO, Sérgio. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores associados, 2006. LORENZATO, Sérgio. Para aprender matemática. São Paulo: Autores Associados,

2008. MOREIRA, Marco A., MASINI, Elcie F.S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Centauro, 2001.

SOUZA, Joamir R. Novo Olhar Matemática. São Paulo: FTD, 2010.

VALENTE, José A. O computador na sociedade do conhecimento. Campinas,

Unicamp/NIED, 1999. Sites: http://www.geogebra.org/cms. Acesso em: 01 de fevereiro de 2012. Sites: http://didisurf.googlepages.com/cefetba2007.Acesso em: 09 de março de 2012.

Sites: http://www.laboratoriovirtualdematematica.org/ Sites: http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/30Isabel.pdf

http://didisurf.googlepages.com/cefetba2007.Acesso

http://www.laboratoriovirtualdematematica.org/

produÇÃo didÁtico pedagÓgica · 2016-08-15 · vetores e pontos, derivar e integrar funções e...

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