processos gerais da hiperestática clássica - cap iv parte 1c
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-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
1/15
UNIVERSIDADE
DE SAO PAULO
ESCOLA DE ENGENH RI DE
SAO
CARLOS
i
t f
m
l l i i l l l l \ J I l l l JJ
0 ~ 6 3 ~ 2 0 0
. . . 11-711,18
0 634
t fm
o )
b )
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
2/15
UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO
Reitor:
Roberto Leal
Lobo
e
Silva
Filho
Vice Reitor:
Ruv Laurenti
Obra produzida
na Escola
de Engenharia
de
São
Carlos
EESC
Composição
e Edição:
CETEPE
Centro
de
Tecnologia
Educacional para
Engenharia
da
EESC
Impressão:
Serviço Grâfico da
EESC
ª edição 1995
UNIVERSIDADE
DE SÃO PAULO
ESCOLA
OE
ENGENHARIA DE S O CARLOS
PROCESSOS
GER IS
DA
' .
HIPEREST TIC
CL SSIC
JOÃO CARLOS
ANTUNES DE
O E
SOUZA
HELENA M. C. CARMO ANTUNES
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
3/15
TOOOS 5
DIAEITOS RESERV DOS Nos
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Catalogação na
Fonte
- Se r
viço de Bibl
i
oteca da
EESC - USP
S729p
SOUZA João
Carlos Antunes de OI
iveira
e
Processos
gerais
da hiperes tát ica
clãs
sica/Joâo
Carlos Antunes
de
OI i
ve
i ra
Souza, Helena Maria Cunha do Carmo
Antu
nes.
São
Carlos:
Escola de Eng
enharia
de
São
Carlos, Serviço Gráfico,
1992.
346p.
ISBN 85 -
85205
-02
- 4
1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.
C
- 624 .1 715
PREFÁ IO
Er. te l i v r o
como
o já publicado Processo
de
Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais
na Es t á t i c a
das Est ruturas
e I n t rodução à
I so s t á t i
c
a
pre tende t e r um
ca rá t e r didát
i co, apresentando
os tópicos
t r a t ados
se m cornpl cações
desnecessár ias ,
mas
senrlo
en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o
processo
de ensino
ne
c e s s i t a s e r .
Os
proce
s sos
aqui
t ra tados
são
ge r a i s
t an to no
aspecto d apl icabi l idode
a
qua lque r
t i po
de
e s t r u t u r a s quanto no de poderem
s e r
encarados
como
va r i ações duais de
woa
mesma
idé ia ;
correspondem a a lguns d os
temas
abordados
na
d i sc ip l ina
Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São
ca r lo s ,
a
par co
m
processos
de us o r es t r i to , como os de
Cross de Propagação,
an t
ecedendo t odo o desen vo lv imento
m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.
São Carlos março de 1992
Os Autores
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
4/15
r
N D 1
e
E
1. 1
NT
ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
l
1 . OBJETIVOS l.ERA IS
• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1
1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2
I .3 .
O MÉTODO
CLÁSS
TCO
2
1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F
FE
o ~ : 7
2 O PR
NCfP
O DOS
TR
ARALHOS RTLJA1S F SUAS
API
1
CACõFS
9
2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS
GF
RAIS
• • • • • •
••
9
2 . 2. o PRINC1
PIO
Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J
2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO
PRTNCiPTO
DOS
TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l
2.1 .1 .
Cálculo
de
deslocamentos em
e s t ru tu ra s
i s o s t á t i c a s
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
22
2 . 1 . 2 .
Seleção de
uma equação de
e qu i l í b r i
o
numa
e s t r u t u r a i s o s t á t
i
ca
. . . . . . . . . . . . .
27
2 .1 l
o t eorema
da
r ec ip roc idade
d o s
t rabalh o s
ou
Teorema de
Bet t i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 .3
.
4 .
O
t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca
mC ntos
ou
Teorema de
Max
wr l
1 . . . . . . . . . . 34
3. C LCULO DE
DESLOC MENTOS EM
ESTRUTUR S ISOST T IC S
US
UA i S
37
3 . 1 .
CO
NSIDERAÇÕE
S GERAIS
. • . • . . . • . . . . .
• • •
. . . . . • . . . 3 7
3 . 2 . DESLOCAMENTOS
EM TRELIÇAS
PLANAS IDEAIS • . . • . .
38
3 . J .
3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana
id e a l . . .
. .
. . . . .
38
J .2 .2 .
Exemplo
l
J . 2 .3
.
Exemplo
2
DESLOCAMENTOS EM
USUAIS
E
ST
RU
TURAS
PLANAS FL
ETIDAS
J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas
f l e t i da s
usuais .
. .
l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .
40
4 9
55
55
63
-
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3
3
3
Exemplo 2
-
In tegração
numér ica .
......
3 3 4 Exemplo
3
In tegração
u t i l iz a n d o t a b e l a s
3
4 DESLOCAMENTOS
M
OUTROS
TIPOS DE ESTRUTURA
. ..
3
4 .1. o u t r o s Tipos
us ua i s
de es t ru tu ra
3 4 2
Exemplo
1
- Pór t i c o a t i r a n t a d o .
.......
3 4 3
Exemplo 2 Viga com
vínculos
e l ás t i co s
3 4 4 Exemplo 1 Gre lha
.
- -
-
.
-
4 O
PRO ESSO
DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·
4 1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
............•..
•
.........
4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO
A
VIGAS .....
4 2 1
Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das
v i ga s
• . .
4 2 2 Exemplo
1
.•.•.........................
4 2 2 1
Resolve r
a
viga submetida ao
carregamento
dado . . . . . . . . . . .
4 2 2 2
Resolve r
a
viga
submetida a
uma
66
72
84
84
84
87
90
95
95
101
101
103
104
va r i a ç ã o de
t empera tura
...••.
114
4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are
calques de apoio.............
121
4 2 J Exemplo
2 •.........
...••.. • • ....... .. 128
4 3
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS
PLANOS
4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s
dos
p ó r t i c o s
planos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .......•....
4 .
3
2 Exemplo 1 ..•....................•.....
4 3 2 1
Resolver o pór t i co submetido ao
carregamento dado
•.•.........
4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o
de reca lque de apoio ........
4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o
de var iação de t empera tura ...
4 . 3 . 3 .
Exemplo
2
•.•................
.
.........
4 4
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...
134
134
136
138
142
144
149
1
57
4 4 1 .
Deta lhe
s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157
4 4 2
xemplo
1 . .... . .
.. .
. -
· · · · · · ·
4 4
3
xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4 .
4 4 Cálculo de gre lhas
desprezando a r ig idez
à t o r ç ã o
das
bar
ras
.. .
.
.. .
. .... .
·· ·
· · ·
4 4
5
Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .
4
5
O PROCF.SSO
DOS
F.SFORÇOS APLTCADO
AOS ARC OS . . .
161
165
169
176
181
4 5 1
o
que
c a r a c t e r iza
um arco
. . . .....
181
4 .
;,>.
J
i pos
u ;11;i i s
de
a r-co ;
.
• .
4
5 . 3 .
Exemplo de def in
.i
ção de eixos de a r cos
4 5 4
Fo rmu lár io s pa ra a r
co
s h i perestáL ic os
usua i s .. . .
........ ....
- · · · · · · · · · · · ·
4 5 4 1 Convenções
.. .
. .. . .. .. . .... . . .
4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .
4 5 4 3
.
Arco
a t i ran tado
s i mé t r i c o
. .
4 5 4 4
.
Arco biengas tado s i mé t r i c o
4 5 5
Caso
s usuais
de
in te g
r ação
em
a rcos
4
5
6 .
Exemplo
1
-
In tegração an a l í t i ca
.....
4 5 7 . Exemplo 2
- In tegração numérica
4 5 8 Exemplo 3
-
Variação imposta de
EI ....
4
5
9 .
Exemplo 4
-
Arco pr ismát ico
por
t rechos
4 5 10 Exemplo 5
-
Adaptação para
pór t i cos
s i mé t r i c o s
4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .
4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS
APLI
CADO ÀS l REI. IÇAS
PLANAS IDEAIS
. ........ .............
.....
.
4 6
. 1 .
Detalhes
ca
r a c t e r í s t i cos
da
t r e l i ç a
plana idea l ..
. . . .
..
.
.
.....
. .. .
.
..
4 .
6 2
Exemplo
l .
.. .
. .
.. ..
. .
.. .
.....
. · · · · · ·
4 7 O PROCESSO
OS
ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS
MISTAS
.........
. .
.. .
.....•
...........
.
.....
4 7
l.
Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .
4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre
apoios
e lá s t i co s
4
7 3
.
Exemplo
2 -
Pór t ico t r e l i ç a d o .. .
. .
··
1 87
188
188
1 90
1 95
199
20
8
209
215
223
229
234
240
246
246
2
48
255
255
255
260
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
6/15
5. O PROCESSO DOS
DESLOC MENTOS
• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·
267
5 1
CONSIDERAÇÕES
GERAIS
5 .
2 .
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . J
EXEMPLO DE
APLICAÇÃO
5 . 4 .
EXEMPLO
DE
APLICAÇÃO
5 .
5 .
EXEMPLO DE
API.ICAÇÃO
.............. .
............
A
VIGAS
. ..................
A
PóRTICOS
.
..............
A
TRELIÇAS
PIANAS
IDEAIS
A
GRELHAS
. .
-
.......
'
267
273
277
284
289
6. O
PROCESSO
M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297
6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS
•• • •••
297
6 . 2 . EXEMPLO DE
PÓRTICO
PLANO 302
7.
Sltvf>LIFICACOES
DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·
7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS
• •
7 . 2 .
REDUÇÃO DA
ESTRUTURA • • . • .
7 . 3 . EXEMPLO
1 -
PÓRTICO
PLANO SIMÉTRICO
• • • • • •
.
7 . 4 . EXEMPLO
2 - GRELHA
COM
DOIS EIXOS
DE SIMETRIA.
7 . 5 . EXEMPLO
3 - VIGA VIERENDELL
8.
BIBLIOGR FI
· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •
• • • • • •
309
309
312
318
324
333
339
PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC
CLÁSSIC
C PITULO 1
INTRODUCÃO
1 .
l . OH ,J E
'
I VOS G
ERAJS
Esta
publ icação pretende
t e r
um cará t e r d idát ico
de
in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca
de
es t ru tu ras l i n eares
discut indo
hipóteses
de cá lculo
, c
omportamento
df
es t ru tu ras
e
s impl i f i cações
gera i s
para
es t ru tu ras
usua i s u t i l i zando
process os
de c á l c u l o muito
simples
mas
apl icá ve i s a
qua lquer
t i p o
de
es t ru tu ra l inear .
Os
pro
c
essos
aqui
t r a t ados
,
que poderiam
se r
c
olocad
os
c omo um ún i c o pr oc
esso
gera l
de
solução
de
uma es t ru tu ra a
par t i r
de
out ra su p
o
s t a conhe
c
ida incluem
o
processo dos
esforços
o
dos deslocamentos
o
mist
o . o
pro
c
e ss
o do s
esforços tem um cará t e r apropr iado para
uma in t rodução
à
h ip eres tú t i ca
permi t indo
em sua
ci.plicação mais s imples
reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas
reca indo no
c á l c ulo
e lementa r de
es t ru tu ras
i sos tá t i cas .
O p ro
cesso dos
desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,
tem como maior
v antagem a
sua s i mplic idade o que o
torna
ideal
para
uma
pos te r ior
automatiza
ç
ão
c
omputacional
;
resolve
es t ru tu ras
h i p e r e s t á t i
c
as reca indo
no c
á l
c ul o
de
s t r u t u r ~ s
com
maio
r
grau
de
hiperestat ícidade
mas mais
simples , e ventualmente
a té tabeláveis . O processo misto
tem
apenas o cará t e r
demons t ra t ivo de
uma genera l i z
ação de
idéias , sendo
vantajoso apenas em a lguns c
asos
p ar t i cu l a res .
Todos os inúmeros processos p ar t i
c
ulare
s ,
apl i cáve i s só
1
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
7/15
8
C PfTULO li
O PRINCIPIO
DOS
TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES
2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS
O Pr inc ípio
dos Trabalhos Virtua is
ou Teorema
dos
Trabalhos Virtua is doravante apel idado
de P.T.V .
é
o
único
teorema da
energ ia
realmente essencial
ao
desenvolvimento
de
toda
a
es tá t ica
c
l á s s i
c a ;
diversos outros teoremas que
venham, por questão de s ín t e se
a
se r u t i l i z a dos serã
o
demonstrados
a
p a r t i r
dele .
As
condições
de equ
i l i b r io
podem
se r
demonstradas
a
p a r t i r do P.
T. V. ou o
P.
T . V. pode se r
demonstrado,
agora
como teorema
não
como
princ ip io
a p a r t i r
das condições de
equil íbr io ; optar-se -á
por
es ta úl t ima versão,
por
mera
questão de
se
t e r em gera l
uma
previa
ass imilação ,
em
cará te r
mais
in tu i t iv o
das
r e lações
de e qu i l í b r io
.
A
u t i l i da de essencia l do
P.
T.
V.
será
a
de
permit i r
in te ressantes transformações
de problemas eminentemente
geométricos
em
problemas
es tá t ico s
e
vice-versa
fornecendo
alternativas extremamente
simples
e e f i c i e n t e s em diversas
si tuações
.
2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS
Seja
defin ida
uma
e s t ru tu ra
l in ear qualquer e es te jam
defin idas suas
vinculações , i s to
é suas
l igações
in te rnas
e
vínculos
externos .
Seja um es tado de forç
as
a) sobre
essa
e s t r u ~ u r a
com
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
8/15
CAPíTU O
CÁLCU O DE
OESLOCAtvENTOS
EM
S T R U
ISOSTATICAS
USUAIS
3.1. CONSIDERAÇÕES
GERAIS
Conforme
di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um
es tad o de
hipóteses
deslocamentos
b ) , r ea l
mas
sa t i s fazendo
as
do
Método
deformações dub,
dvb e
coapr imento ds s i tuado
Cláss ico , conhecido a p a r t i r das
d ~ b de um elemento
in f in i te s ima l
de
numa posição genér ica I, provocadas
por
uma
causa f í s i ca
qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o
P.T.V.
para ca lcu la r
qualquer t i p o
de
deslocamento
dos
pontos da
e s t r u tu r a .
Para i s so
c r i a -
s e
ua es tado de fo r ças
(a) , com
forças
ex te rn as
convenientes e cri ter iosamente
esco lh id as
de forma
que,
se
s e
impuser
o
es tado
de
deslocamentos
b)
ao
es tad o
de forças ( a ) ,
seu
t r aba lho , o t rabalho
ex te rn o
, s e j a
exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a
e s t r u tu r a for
i s o s t á t i ca ,
t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de
es forços
in te
:rnos , tendo-se, em
.§.,
N , V• e M .
Do
P.
T. V. ,
então, t e r -se-á :
T
••l
T
l n l
ou:
T
J
N
du
J
V
dv
M
d.b
(3 .1)
•
b
•
b
•
•
l
e •
r
ealr
••tr
O que
se
pretende, em
todo
o t r anscor re r des te
capi tu lo
I I I ,
é
d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o
37
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
9/15
9
CAPITU O
V
O PROCESSO DOS ESFORÇOS
4.1 .
CONSIDERAÇÕES GERAIS
o processo dos esforços é certamente o processo mais
simples
para r e so lve r
es t ru tu r as h ip eres tá t icas
rompendo
a
indeterminação
dos esforços in te rnos
e
es t ru tu r a
das reações nesse
h ip eres tá t ica as
ip o
de es t ru tu r as .
Numa
condições
de
eq u i l íb r io
não
são su f ic ien tes
para determinar
esses esforços in te rnos
e
reações ; existem i n f in i t a s
poss ib i l i da de s de se t e r
eq u i l íb r io donde a
necess idade
de
se ge ra r
equações
a d ic iona i s provenientes de
hipóteses
a d ic iona i s para r e so lve r
o
problema; essas equações
adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca
c l á s s i c a
como condições
de
compat ib i l idade ou condições de
coerência
de
des locamentos donde a ênfase que se
deu
no c a p í tu lo
an te r io r
ao cá lculo de des locamentos .
O
processo
dos
esforços se
carac te r iza
essencia lmente
por
se
procurar
determinar esforços
em número igual
ao
grau
de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;
conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas
h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io
se
determinam
os diagramas de
esforços
in te rnos
e
as reações .
95
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
10/15
4.3 .
O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PÓRTICOS PL NOS
4.3 .1 . Detalhes
ca rac te r í s t icos
dos pór t icos planos
Um pór t ico plano
é
definido
como uma
es t ru tura
plana ,
s imét r ica em relação
a
seu plano,
com
cargas nesse plano
e
vinculações que não
introduzam
so l i c i t ações fora
do
plano.
Do
ponto de
vis ta
da
determinação geométrica das
diversas
chapas que
co n s t i tu i r iam
um
pór t ico
plano,
cada
chapa-aberta n ecess i ta de t r ê s barras v inculares no plano
e
sem
passar pelo mesmo ponto, para f ixa r sua posição
nesse
plano.
Do ponto
de
vis ta da
determinação
es tá t ica
dos
esforços
in ternos
e reações na mesma
chapa-aberta , d ispõe-se apenas
de t r ê s
equações
de equi l íb r io relevantes
com
as quais se
determinam os esforços
nas
barras
que
vinculam
a chapa.
A
f ig .
4. 6 contem
um
apanhado de vinculações em
sua
representação usual
e o
seu
s ignif icado
em
termos de
barras
vinculares equivalentes .
Assim,
um
pórt ico
plano co n s t i tu íd o por ç chapas
ab er tas i n t e r l igadas por . ; _ barras v inculares poderia
ser
c las s i f i cado
em
termos de determinação geométrica,
dependendo da relação
de para
ç da seguin te forma:
b <
3C
b 3C
b > 3c
pórt ico plano
geometricamente
indeterminado
pórt ico
plano geometricamente
determinado
p ó r t ico plano geometricamente
superdeterminado
Similarmente se poderia fazer
a
c las s i f i cação
do
ponto
de v i s t a da determinação es tá t ica :
b < 3C
b 3c
b > 3C
pórt ico plano hipostát ico
p ó r t ico plano
i sos tá t ico
p ó r t ico
plano hipe res t á t i co
34
Apoio
l xo
Apoio móvel
Art
icu loção de 2 chapas
Art icu lação
de 3
chapas
Cont i nu i dode
/
Fig
4 .
26 Vinculações equivalentes em pórticos
planos
Conforme
já comentado no
item
4.2 .1 ao se t r a t a r
com
v ig as es sa
contagem de vínculos não é conclus iva .
Chamando
de b o núméro de
barras
ábsolutamente
n
necessár io para
a
determinação es tá t ica
chamar-se-á,
no
caso
de
b > 3c,
grau de
hiperes tat ic idade h ao
número
de
vínculos que
excede
b = 3c.
n
Seja
como
exemplo,
o
caso de
determinar o grau
de
hiperes tat ic idade h do
pórt ico da
f ig .
4. 27.
Nessa f igura
es tão anotados jun to
às vinculações
os
números
de barras
135
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
11/15
vinculares
correspondentes , e
também as
barras
vinculares
necessárias
.para
se abr i r
quadros anteriormente
fechados.
/ \V
131
161
1
21
13
1.. i .
121 111
'
Fi9 127 Exemplo de cálculo do 9rau de hiperestaticidade
Da f ig . 4.27:
c 3
b
3c
9
n
b =
17
Sobram,
portanto o i to
vínculos
e
então:
h 8
ou, o grau de
hipe res t a t i c idade
do pór t i co é igual a 8.
4.3 .2 . Exemplo 1
se ja
o pór t i co de
aço da f ig . 4.
28, que
se pretende
re so lve r computando os
efe i tos
de diversas
causas.
136
Í l lf /m
2
5j
3 j
l
em
3
j
E
on
E • 2100
tf
/cm
2
j •
10000
cm
4
a •
Õ
5 0
c·
1
Fi9. l .28
Eumplo l -Es trutura • carre9omento
Antes
de
p a r t i cu l a r i za r
as s o l i c i t a ç õ e s
duas
coi sas
poder iam
ser
ana l i s adas :
a)
Determinação do grau
de
hipe res ta t ic idade
imediato , no caso:
e = 1 b = 3c
n
3 .. b
5 .. sobram 2
b) Escolha das i ncógni t a s hipe res tá t icas
h
2
Em se t ra t ando com pór t i cos
planos
nem sempre é t ão
evidente a decisão sobre quais vínculos ser ia melhor
r e t i r a r ; valer ia a pena, ent re tan to ponderar
algumas
soluções poss íve is ;
na
f ig . 4.29 são mostradas
algumas
poss ib i l idades
in te re ssan te s para o
pór t ico
do
exemplo.
Fl
Fl
F2
a l
tF2
1b1 1c1
Fi9 I
29
Pouibilidadea
d•
soluçao
no
Exemplo
l
137
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
12/15
Com
a poss ibi l idade da f ig . 4.29.a r eca i - se numa
es t ru tura básica
em balanço ,
mui to simples
de resolver ,
mas
que, além de poder
acarre tar
diagramas complexos
se
as
cargas forem
mais
complexas, tem o sé r io inconveniente
de
se
manusear esforços
internos
de
uma ordem
de grandeza muito
maior que
a
que se espera para
os
esforços
f ina is .
A
da
f ig .
4.29 .b reca i
numa es t ru tura
bia r t i cu lada ,
também simples
de
re so lve r , com
diagramas
que poderiam
se r
mais complexos
se as
cargas
fossem mais complexas,
mas
não t e r i a
o
inconveniente da ante r io r ; já a
da
f ig .
4.29 .c
r e s t r inge um
pouco mais
a
i n f luênc ia
da complexidade
das
cargas a
nível
de seu
e fe i t o em
cada bar ra , apesar de
os
procedimentos no
t r a t o da es t ru tura i sos tá t ica
serem
l igei ramente
mais
complicados.
Entre es ta s duas, opta r - s e -á pela
ú l t ima .
4.3.2.1.
Resolver
o
pór t i co submetido ao carregamento dado
a)
Esquema
de
solução
Consta da f ig . 4.30.
UTTO ll i U
t l l l J
O Tl f I I I ID
= +
r l
r l
0)
1 1
( l i
2 )
F i9
. 4 .3 -
Esquema poro e fe i to do corre9omento
138
ou:
Com i s so se
tem, formalmente:
b)
Condições de
coerência
de
deslocamentos
o
o
6 F 6 F 6
1 o 1 1 1 2
12
6 F 6 F 6
20 1
21
c) Cálculo
de
deslocamentos
Para
ca lcu la r 6 tem-se:
Jk
estado
de deslocamentos
estado de forças
Do
P .T .V . :
M
1
6
M
k
ds
[
J k
J
EI E T
e e
1
str
l
E
I 6
[
J
MM
ds '
com
e
e
Jk
J k
1
o
o
o
problema (k )
problema
( j )
1
E
I
MM
e e
J k
E T
1 1
o
E I
e e
l
1
E T 1
1 1
ds
Os
momentos f le to re s M
0
, M
1
e M
2
, e os
comprimentos
139
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
13/15
f i c t í c i os t:
correspondentes a
E=
E e I j,
cons t a • da
f i g .
4.31 .
l
o
(t1
m)
Ml
odim
1
l
M
odim
1
°
°
1,600
1
1m1
8
;
f i9 . 4
31
- Momentos f letores e co•pr imentos f i c t íc ios
Com o uso
conveniente da TABELA
1:
E I c5
e e
10
E I c5
e e
20
6,667
E I
c5
e t
E I
c5
e
22
1,922
E I c5
e e
1 2
-0 ,567
1
1 , 600 · - 3 - .
l
. 8 , 0
1
1 , 0 0 0 . - r . I . 6 , 0
1,267
1 1
1,600.-
3
- . 1 . 8 , 0 +
1 , 0 0 0 . ~ . 6 , 0 2 . I + 0 , 4 0 0 )
1 2 2
1,600 . - 3- . 1 + 1 , 6 6 7 . 1
2 ,200
1 2 1 2 1 2
1,600 . - 3- . 1 + 1,667 . - 3- .1 + 2 ,5 0 0 . - ) . l
E I c5
e e 2 1
1
1 , 6 0 0 . ~ . l . l
140
1
1,667 . 2-1.l
d)
Solução
do
s is tema
de equações
Multiplicando
por E I
tem-se :
as
equações,
e
subst i tuindo,
{
1,267 + 2,200 F
1
-
0,567 F
2
6,667 - 0,567
FI
+
1,922
F2
donde:
-1 ,591
-3 ,938
e) Montagem
de
resul tados
o
o
Para
quaisquer efe i tos ,
tendo
F
1
e F
2
,
o
problema agora
é resolver
a es t ru tu ra
i sos t á t i ca
da f ig . 4.32.a : na
f ig .
4.32.b
consta o
diagrama de
obtido pela
superposição:
M M FM FM
r o 1 1 2 2
f
tr /m
U I
TLILJ
M
que também poder ia
2,400
o 1
Mr
(
t1 ml
\.
3,653
b 1
Fig 4 32 -
Montogem
de
resul
todos poro ele i to do carregamento
141
ser
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
14/15
4 .3 .2 .2 . Resolver
o pór t ico
para e f e i t o de reca lque
de
apoio
Considere-se,por exemplo, um reca lque ver t i ca l de
1
cm,
para baixo, do apoio : a direção
do recalque
nada tem a v er
com a das incógnitas hipe res t á t i cas :
a) Esquema de solução
Consta
da f ig .
4.33.
F2
F2
-
=
Ir 1
Ir
1
COI
•
0
03m
to ,03m
0,03m
121
f 9 4
33 Esquema de
wlui ;õo
poro efei to de recalque de
apoio
Com
i sso:
r) = O)+
F l) F 2 )
1 2
b) Condições de
co erên c i a
de deslocamentos
o
o
142
ou:
c +Fc5 +Fc5
o
1
o
1 1 1
?.
1
?.
c +Fc5
+Fc5
o
2 o 1 ?. 1 ?.
22
c)
Cálculo de deslocamentos
Os
deslocamentos
associados aos problemas
1)
e 2) já
foram
calculados e valem, em unidades coerentes com t
1
e m:
E I
c
2,200
e e
ti
E I
c
1,922
e e 22
E I c E I c - 0 , 567
e e
12
e e 21
Os
associados ao problema O) podem
se r
obtidos da f ig .
4.33, por geometr ia de
deslocamentos l inea r izados ,
e
correspondem à diminuição dos ângulos re tos em 1 e
2:
c c5
1 o
?. O
0,03
8,00
0,00375
Para t e r todos os deslocamentos multipl icados por E I
e e
lembrando
que E
E e I
= j:
e
E I
c
e e 10
-E I c
e e
20
2100.10000.10-
4
. 0 ,00375
7,875
d)
Solução
do s i s t em a de
equações
Mult ipl icando
as equações por E I e subs t i tu indo:
e e
143
-
8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1c
15/15
{
7,875
+
2,200
F
0,567
F o
1 2
-7 ,875
0,567
F
+
1,922 F
o
1 2
donde:
{
-2 ,731
t m
1
f
F
3,292
t m
2
f
e) Montagem de resul tados
Tendo F
1
e F
2
, para quaisquer re su l t ados que se
queira bas ta ana l i sa r o probleaa
i sos tá t i co
da f ig . 4.34.a:
observe-se que, para
efe i to
de cá lcu lo de deslocamentos,
tem-se
que
computar também
os
deslocamentos impostos
à
es t ru tura
i sos tá t i ca
básica.
Na f ig . 4.34.b
es tá
esquematizado o diagrama de
Mr,
devido ao recalque.
3 292
o
1
1b1
Fig
. 4 .
34
-
Montagem
de
resul tados
4. 3. 2.
3.
Resolver o
pór t i co
para e fe i t o de variação de
temperatura
Nos
pórticos, diferentemente
do
caso
das vigas , não
só
144
a diferença
de tempera tura de
uma
face
para
outra
das barras
provoca
f lexão;
também
a var iação
uniforme
é
capaz disso; de
qualquer
forma o encaminhamento da
solução
é o mesmo.
Seja , no exemplo, o
caso
de se computar os
efe i tos
de
um aquecimento uniforme
de
t .t = 60°C.
ou:
a) Esquema de
solução
Consta da f ig .
4.35.
t t
àt
r)
1
1
r)
12
1
l
à t
à t
0 )
Fi g .
4 .35 - Esquema c te
so luçõo
poro variação
c te temperatura
om i s so
se tem, também:
b) Condições
de
coerência
de deslocamentos
o
o
145
+