processos gerais da hiperestática clássica - cap ii

8/19/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap II

http://slidepdf.com/reader/full/processos-gerais-da-hiperestatica-classica-cap-ii 1/21

UNIVERSIDADE

DE SAO PAULO

ESCOLA DE ENGENH RI DE

SAO

CARLOS

i

t f

m

l l i i l l l l \ J I l l l JJ

0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

. . . 11-711,18

0 634

t fm

o )

b )



UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor:

Roberto Leal

Lobo

e

Silva

Filho

Vice Reitor:

Ruv Laurenti

Obra produzida

na Escola

de Engenharia

de

São

Carlos

EESC

Composição

e Edição:

CETEPE

Centro

de

Tecnologia

Educacional para

Engenharia

da

EESC

Impressão:

Serviço Grâfico da

EESC

ª edição 1995

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

ESCOLA

OE

ENGENHARIA DE S O CARLOS

PROCESSOS

GER IS

DA

' .

HIPEREST TIC

CL SSIC

JOÃO CARLOS

ANTUNES DE

O E

SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES



TOOOS 5

DIAEITOS RESERV DOS Nos

termos da

Lei

que resguarda

os

Direitos Autorais, é proibida

a

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sell

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por

escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na

Fonte

- Se r

viço de Bibl

i

oteca da

EESC - USP

S729p

SOUZA João

Carlos Antunes de OI

iveira

e

Processos

gerais

da hiperes tát ica

clãs

sica/Joâo

Carlos Antunes

de

OI i

ve

i ra

Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

Antu

nes.

São

Carlos:

Escola de Eng

enharia

de

São

Carlos, Serviço Gráfico,

1992.

346p.

ISBN 85 -

85205

-02

- 4

1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

C

- 624 .1 715

PREFÁ IO

Er. te l i v r o

como

o já publicado Processo

de

Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais

na Es t á t i c a

das Est ruturas

e I n t rodução à

I so s t á t i

c

a

pre tende t e r um

ca rá t e r didát

i co, apresentando

os tópicos

t r a t ados

se m cornpl cações

desnecessár ias ,

mas

senrlo

en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

processo

de ensino

ne

c e s s i t a s e r .

Os

proce

s sos

aqui

t ra tados

são

ge r a i s

t an to no

aspecto d apl icabi l idode

a

qua lque r

t i po

de

e s t r u t u r a s quanto no de poderem

s e r

encarados

como

va r i ações duais de

woa

mesma

idé ia ;

correspondem a a lguns d os

temas

abordados

na

d i sc ip l ina

Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

ca r lo s ,

a

par co

m

processos

de us o r es t r i to , como os de

Cross de Propagação,

an t

ecedendo t odo o desen vo lv imento

m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

São Carlos março de 1992

Os Autores



r

N D 1

e

E

1. 1

NT

ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

l

1 . OBJETIVOS l.ERA IS

• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

I .3 .

O MÉTODO

CLÁSS

TCO

2

1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

FE

o ~ : 7

2 O PR

NCfP

O DOS

TR

ARALHOS RTLJA1S F SUAS

API

1

CACõFS

9

2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

GF

RAIS

• • • • • •

••

9

2 . 2. o PRINC1

PIO

Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

PRTNCiPTO

DOS

TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1 .1 .

Cálculo

de

deslocamentos em

e s t ru tu ra s

i s o s t á t i c a s

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

22

2 . 1 . 2 .

Seleção de

uma equação de

e qu i l í b r i

o

numa

e s t r u t u r a i s o s t á t

i

ca

. . . . . . . . . . . . .

27

2 .1 l

o t eorema

da

r ec ip roc idade

d o s

t rabalh o s

ou

Teorema de

Bet t i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .3

.

4 .

O

t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

mC ntos

ou

Teorema de

Max

wr l

1 . . . . . . . . . . 34

3. C LCULO DE

DESLOC MENTOS EM

ESTRUTUR S ISOST T IC S

US

UA i S

37

3 . 1 .

CO

NSIDERAÇÕE

S GERAIS

. • . • . . . • . . . . .

• • •

. . . . . • . . . 3 7

3 . 2 . DESLOCAMENTOS

EM TRELIÇAS

PLANAS IDEAIS • . . • . .

38

3 . J .

3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

id e a l . . .

. .

. . . . .

38

J .2 .2 .

Exemplo

l

J . 2 .3

.

Exemplo

2

DESLOCAMENTOS EM

USUAIS

E

ST

RU

TURAS

PLANAS FL

ETIDAS

J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

f l e t i da s

usuais .

. .

l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

40

4 9

55

55

63



3

3

3

Exemplo 2

-

In tegração

numér ica .

......

3 3 4 Exemplo

3

In tegração

u t i l iz a n d o t a b e l a s

3

4 DESLOCAMENTOS

M

OUTROS

TIPOS DE ESTRUTURA

. ..

3

4 .1. o u t r o s Tipos

us ua i s

de es t ru tu ra

3 4 2

Exemplo

1

- Pór t i c o a t i r a n t a d o .

.......

3 4 3

Exemplo 2 Viga com

vínculos

e l ás t i co s

3 4 4 Exemplo

1

Gre lha

.

- -

-

.

-

4 O

PRO ESSO

DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

4 1

CONSIDERAÇÕES GERAIS

............•..

•

.........

4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

A

VIGAS .....

4 2 1

Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

v i ga s

• . .

4 2 2 Exemplo

1

.•.•.........................

4 2 2 1

Resolve r

a

viga submetida ao

carregamento

dado . . . . . . . . . . .

4 2 2 2

Resolve r

a

viga

submetida a

uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

va r i a ç ã o de

t empera tura

...••.

114

4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

calques de apoio.............

121

4 2 J Exemplo

2 •.........

...••.. • • ....... .. 128

4 3

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

dos

p ó r t i c o s

planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .......•....

4 .

3

2 Exemplo 1 ..•....................•.....

4 3 2 1

Resolver o pór t i co submetido ao

carregamento dado

•.•.........

4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

de reca lque de apoio ........

4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

de var iação de t empera tura ...

4 . 3 . 3 .

Exemplo

2

•.•................

.

.........

4 4

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

1

57

4 4 1 .

Deta lhe

s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

4 4 2

xemplo

1 . .... . .

.. .

. -

· · · · · · ·

4 4

3

xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 .

4 4 Cálculo de gre lhas

desprezando a r ig idez

à t o r ç ã o

das

bar

ras

.. .

.

.. .

. .... .

·· ·

· · ·

4 4

5

Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .

4 5

O PROCF.SSO

DOS

F.SFORÇOS APLTCADO

AOS ARC OS . . .

161

165

169

176

181

4 5 1

o

que

c a r a c t e r iza

um arco

. . . .....

181

4 .

;,>.

J

i pos

u ;11;i i s

de

a r-co ;

.

• .

4

5 . 3 .

Exemplo de def in

.i

ção de eixos de a r cos

4 5 4

Fo rmu lár io s pa ra a r

co

s h i perestáL ic os

usua i s .. . .

........ ....

- · · · · · · · · · · · ·

4 5 4 1 Convenções

.. .

. .. . .. .. . .... . . .

4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

4 5 4 3

.

Arco

a t i ran tado

s i mé t r i c o

. .

4 5 4 4

.

Arco biengas tado s i mé t r i c o

4 5 5

Caso

s usuais

de

in te g

r ação

em

a rcos

4

5

6 .

Exemplo 1

- In tegração an a l í t i ca

.....

4 5 7 . Exemplo 2

- In tegração numérica

4 5 8 Exemplo 3

-

Variação imposta de

EI ....

4

5

9 .

Exemplo 4

-

Arco pr ismát ico

por

t rechos

4 5 10 Exemplo 5

-

Adaptação para

pór t i cos

s i mé t r i c o s

4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .

4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

APLI

CADO ÀS l REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS

. ........ .............

.....

.

4 6

. 1 .

Detalhes

ca

r a c t e r í s t i cos

da

t r e l i ç a

plana idea l ..

. . . .

..

.

.

.....

. .. .

.

..

4 .

6 2

Exemplo

l .

.. .

. .

.. ..

. .

.. .

.....

. · · · · · ·

4 7 O PROCESSO

OS

ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS

.........

. .

.. .

.....•

...........

.

.....

4 7

l.

Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

apoios

e lá s t i co s

4

7 3

.

Exemplo

2 -

Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

. .

··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20

8

209

215

223

229

234

240

246

246

2

48

255

255

255

260



5. O PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

267

5 1

CONSIDERAÇÕES

GERAIS

5 .

2 .

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . J

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . 4 .

EXEMPLO

DE

APLICAÇÃO

5 .

5 .

EXEMPLO DE

API.ICAÇÃO

.............. .

............

A

VIGAS

. ..................

A

PóRTICOS

.

..............

A

TRELIÇAS

PIANAS

IDEAIS

A

GRELHAS

. .

-

.......

'

267

273

277

284

289

6. O

PROCESSO

M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

•• • •••

297

6 . 2 . EXEMPLO DE

PÓRTICO

PLANO 302

7.

Sltvf>LIFICACOES

DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

• •

7 . 2 .

REDUÇÃO DA

ESTRUTURA • • . • .

7 . 3 . EXEMPLO

1 -

PÓRTICO

PLANO SIMÉTRICO

• • • • • •

.

7 . 4 . EXEMPLO

2 - GRELHA

COM

DOIS EIXOS

DE SIMETRIA.

7 . 5 . EXEMPLO

3 - VIGA VIERENDELL

8.

BIBLIOGR FI

· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

• • • • • •

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

CLÁSSIC

C PITULO 1

INTRODUCÃO

1 .

l . OH ,J E

'

I VOS G

ERAJS

Esta

publ icação pretende

t e r

um cará t e r d idát ico

de

in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

de

es t ru tu ras l i n eares

discut indo

hipóteses

de cá lculo

, c

omportamento

df

es t ru tu ras

e

s impl i f i cações

gera i s

para

es t ru tu ras

usua i s u t i l i zando

process os

de c á l c u l o muito

simples

mas

apl icá ve i s a

qua lquer

t i p o

de

es t ru tu ra l inear .

Os

pro

c

essos

aqui

t r a t ados

,

que poderiam

se r

c

olocad

os

c omo um ún i c o pr oc

esso

gera l

de

solução

de

uma es t ru tu ra a

par t i r

de

out ra su p

o

s t a conhe

c

ida incluem

o

processo dos

esforços

o

dos deslocamentos

o

mist

o . o

pro

c

e ss

o do s

esforços tem um cará t e r apropr iado para

uma in t rodução

à

h ip eres tú t i ca

permi t indo

em sua

ci.plicação mais s imples

reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

reca indo no

c á l c ulo

e lementa r de

es t ru tu ras

i sos tá t i cas .

O p ro

cesso dos

desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

tem como maior

v antagem a

sua s i mplic idade o que o

torna

ideal

para

uma

pos te r ior

automatiza

ç

ão

c

omputacional

;

resolve

es t ru tu ras

h i p e r e s t á t i

c

as reca indo

no c

á l

c

ul

o

de

s t r u t u r ~ s

com

maio

r

grau

de

hiperestat ícidade

mas mais

simples , e ventualmente

a té tabeláveis . O processo misto

tem

apenas o cará t e r

demons t ra t ivo de

uma genera l i z

ação de

idéias , sendo

vantajoso apenas em a lguns c

asos

p ar t i cu l a res .

Todos os inúmeros processos p ar t i

c

ulare

s ,

apl i cáve i s só

1



8

C PfTULO li

O

PRINCIPIO DOS TR B LHOS VIRTU IS

E

SU S

PLIC CõES

2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Pr inc ípio

dos Trabalhos Virtua is

ou Teorema

dos

Trabalhos Virtua is doravante apel idado

de P.T.V .

é

o

único

teorema da

energ ia

realmente essencial

ao

desenvolvimento

de

toda

a

es tá t ica

c

l á s s i

c a ;

diversos outros teoremas que

venham, por questão de s ín t e se

a

se r u t i l i z a dos serã

o

demonstrados

a

p a r t i r

dele .

As

condições

de equ

i l i b r io

podem

se r

demonstradas

a

p a r t i r do P.

T. V. ou o

P.

T . V. pode se r

demonstrado,

agora

como teorema

não

como

princ ip io

a p a r t i r

das condições de

equil íbr io ; optar-se -á

por

es ta úl t ima versão,

por

mera

questão de

se

t e r em gera l

uma

previa

ass imilação ,

em

cará te r

mais

in tu i t iv o

das

r e lações

de e qu i l í b r io

.

A

u t i l i da de essencia l do

P.

T.

V.

será

a

de

permit i r

in te ressantes transformações

de problemas eminentemente

geométricos

em

problemas

es tá t ico s

e

vice-versa

fornecendo

alternativas extremamente

simples

e e f i c i e n t e s em diversas

si tuações

.

2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS

Seja

defin ida

uma

e s t ru tu ra

l in ear qualquer e es te jam

defin idas suas

vinculações , i s to

é suas

l igações

in te rnas

e

vínculos

externos .

Seja um es tado de forç

as

a) sobre

essa

e s t r u ~ u r a

com



forças

externas

em e qu i l í b r io com os esforços in ternos ;

se

a

e s t ru tu ra for

i so s t á t i c a haverá só uma poss íve l

dist r ibuição

de esforços in ternos ;

se

for h ípe re s t á t i c a ,

cons ide re - se

uma delas .

i n f i n i t

a s ;

Seja

um

es tado de deslocamentos (b)

sobre

a mesma

e s t ru tu ra ,

com

deslocamentos e

deformações v i r tu a is ( i s to é ,

hipoté t i cas e inf in i t es imais )

geometr icamente compatíveis

com as vinculações ( l igações e v íncu los

externos) ,

sem

qualquer re lação

obr iga tór ia com

o

e s t a d

o de

forças ( a ) .

se' se

impuser

o

es tado de

deslocamentos (b)

ao es tado

de forças ( a ) ,

o Pr inc ípio dos Trabalhos

Vir tua i s

es tabelec e

que: - O t raba 1ho v i r tua l

externo,

das forças

externas de

(a) com os deslocamentos de (b) , é igual ao t raba lho v i r tu a l

in terno, rea l i zado

pelos

esforços in ternos

de

(a) com as

deformações

de

{b) .

o

P.T.V. ,

no

caso apresentado

como

teorema, será

demonstrado,

por motivos

meramente

de s impl ic idade didá t ica ,

apenas

para o caso

de

e s t ru tu ra s

planas ,

com

carga

em seu

plano; a extensão para um caso

gera l , espac ia l ,

se r ia apenas

ques tão

de manusear

um

número maior

de

parâmetros . A

demonst

r

ação será f e i ta

em

t r ê s etapas ,

em

função

dos

poss íve i s es tados de deslocamentos (b ) .

a) O P. T . V. é

vá l i do pa ra um

corpo ao qual s e i m

ponha

um

es tado de deslocamentos sem inc lu i r deforma

ções.

Não havendo deforma

ç ões ,

não haverá

necess idade

de se

computar

os

esforços

in ternos e c

onsequentemente não haver6

ne

c es

s idade

de

co

nsid

e r a r o

corpo

como

e s t ru tu ra l i ne a r .

Só

por ques tão de s impl ic idade suponha-se o c orpo como selll

v in c ulação externa , o que, conforme

se

verá op o

r tun

a mente,

não

afe ta rá

a ge ne ra l idade da demonstração .

Se ja

o es tado de

força

s

( a ) .

em e

qu i l íb r io ,

representado na f i g

.2 .

1 .

10

f i9 2 1 - >l o do

de

f o•ços 1 o )

Sem e n t r a r no mé r í t o do s esfo r ços in ternos , adot an do

um s i

s t

e ma de r e f e

rê

n c

ia

d

ex

t r o r

so

Oxyz

qu

a

lq u

e

r ,

as

cond iç õe

s de eq u i l í br

io

i nd

ep en

d e n te s p

od

em

se r

e xpress as

por:

r

X

o

'

(7. . l )

1

1

r

y

l

o

2 . 2 )

1

1

r

M

-

[

Y,

l

[

Y

y

o

1

l

(

/

J )

1

l 1

l 1 l

se

ja

o

es

t

ado d :"

d

es

l

oc a

ment os

b ) . co mpa t í ve l ,

represen

t ado na f i

g .2

. 2 . S

en d

o

in

fi n i t

esim

a l , o des loc a m

en to

co mpa t ív e l mai s gera l do

corpo,

sem de fo r mação e

se

m

11

1



vínculos ex ternos, pode se r

sem

perda

de general idade

r e f e r idos ao

mesmo

sis tema

def in ido

por

t r ê s

parâmetros;

esses

parâmetros podem se r

oxyz da f i g . 2 . 1 , como

uma

t r an s l ação óx de

Q segundo

x, uma t r ans lação

óy de

Q

segundo

y e urna

ro t ação óe

em

to rno de Q

segundo z .

·

FiQ.

2.2

-

Estado

de

deslocamentos

l

b

1

Devido

à

ro tação

óe o

ponto

A,,

onde

no es tado de

forças

a)

es tá

apl icada a

carga

P,,

se

deslocará de

óv

1

,

passando

para

uma

posição A' .

o deslocamento

ÓV t e rá

1

l

componentes

ÓV

xl

ÓV

yl

segundo

X

e y,

faci lmente

ca lcu láve i s

com

o

auxí l io da

f ig .2 .2 ,

observando

que, para o

deslocamento

i n f in i t e s ima l , ou l inear izado:

6v

1

OA •

80

1

Sendo x

1

e

y

1

as

coordenadas segundo

x e

y de

A

1

:

s n

-óv

1

ÓV

1

12

( 2 . 4)

( 2 .

5)

cos ., -

X

'

OA

l

Ô V

y 1

ov

'

l la

(

> •

5 ) c o m { 2 . 4 ) :

Oa (?.6)

com

a

/.

. 4) :

1-iv

X

bG

y 1

1

Devido

s

t ran s

élr;ões

ÓX

conforme

f ig .2 .2 ,

de

A

para

A: .

(

2 . 6)

(

2 . 7 )

( 2 .

8)

óy, o

ponto

1\

1

passará,

Impondo

agora

o estado

de deslocamento

b ) ao estado de

forças

{ a ) , para valer

o

P .T.V. ,

o t r aba lho

de todas

as

forças

externas de a

)

deve

se r sempre

nulo, por não

haverem

d e f o r m a õ ~ s de f a to , calculando esse

t r aba lho ex te rn

o:

X .

óv

+ oxJ + f Y . {õv óyJ

t t I .

1

y

'I'

l

- r M • se 1

1 1

1

(2 .9)

Com d (2 .7)

e

2

.

8) na

( 2

.9

)

t ~ m - s e colocando

em

ev idê rw i

;i

õx, ôy e ôe

que

indepemiem

ei ou

t :

1 1

'I



1

1

1

ax (

x l + 6y

n

y , l + / j fJ (

r

r r

M

+

J

1·1

, - 1

n

n

r

y X +

r

X y )

(2 .10)

t 1

, 1

1 \

' " 1

Da

(2 .10) , computando-se as

(2 .1) ,

( 2 . 2 ) e

2.J),

tem-se que, independentemente

dos

valores

de ax,

l5y

e ae:

T

o

2 .11 )

e• l

como

se

quer ia demonstrar.

Observe-se que, se o corpo ti

ver

um ou dois

vinculolil

externos ,

os

parâmetros

ax,

ay

e

l B

serão

dependentes

entre

a i ; como a (2 .11 ) vale ,

entre tanto ,

para quaisquer

ax,

ay e

69, valerá

também

se

e l e s

forem

dependentes.

Se o corpo

tiver

t r ês ou mais vínculos

externos,

não concorrentes , só

haverá compat ib i l idade

se os

deslocamentos

forem nulos ;

mesmo

assim

cont inuará vál ida a

(2 .11) .

b) O P.T.V. é vál ido para

um

sistema de corpos

acoplados ao qual se imponha um

es tado

de desloca111entos

ainda sem deformação.

Seja o

es tado

de

forças

(a ) ,

em

e qu i l í b r io ,

sobre

e s t ru tu ra

formada

pelos

dois corpos

1

e 2 ,

vinculados

ent re

s i , da

f ig .

2 .1 .a .

p.

+ l

•

)r

D

; i

; {

n

o }

1 b }

F i Q

2.3

- Estado

de

forço• la}

Separando

os

do i s corpos

da f ig .2 .

3.

a ,

obtem-se os dois

da f ig .7 . .3 .b ,

cons t i tu indo

também um es tado de forças em

e qu i l í

.br i o

desde

que

se subst i tua

a

vinculação r e t i r a da

pe l a

e

força

correspondente

F

?.

(do corpo 2 no corpo 1 )

12

(do corpo

l no 2 ) . Observe-se

que:

F

F

?.

1 I<

Se ja um

es tado

compatível com as

representado na

f íg .2 .4 .

de

des l oc

amentos

vinculações

e sem

Fig 2 4 - E•todo d• de•loco men to•

t

b 1

( 2 . 12)

( b ) ,

v i r tu a l ,

deformações,

14 1 5



Impondo o es tado de deslocamentos

(b )

ao

e s t a do

de

forças

( a ) ,

como o P.T.V. vale

t an to para

o

corpo 1

quanto

para o 2 , tem-se:

e

também:

+ T

p

,

+ T

.

T •

.

2 l

+ T + T

I p

+ T-

r

1

o

o

1 2

Somando as expressões (2 .13)

e

(2.14)

tem-se:

T

r

T

p

1

1

+

T

p

o

2

. • •

+ T

p

1

T • • •

p

, • 1

+

T

p

(2 .13)

(2 .14)

T ..

.

2 1

(2.15)

como o es tado de

deslocamentos

(b) é compa t ive l coa as

vinculações , o

deslocamento

no

vínculo en t r e

a s

chapas

o

mesmo:

levando

em conta

a

(2.12) tem-se:

T-

f

1 ,

o

Da (2 .16) na (2 .15)

demons t r a r :

T

- • t

o

(2 .16)

tem-se então o que se quer ia

(2.17)

16

Observe-se que o t rabalho

de

um p ar t i cu l a r esforço

in te rno il um s is tema

de c.:orpos é nu 1

o, pois e s s e

esforço

aparece como

um par de forças

que,

num

deslocamento

compatível e

por tanto

igual , a c a r r e t a para o

par

um

t r aba lho

nulo .

c)

O

P. ' l ' .V.

é v

á l i d o

para

um

corpo

ao

qua l

se

ímponha

um

e::;t:ido d 1•

des locamrn tos

i11c lu indo

deform< ções

Seja

o e5tado

de

forças ( i l ) ,

com

cargas quaisquer em

eq u i l í b r i o com os

esforços

. internos, conforme f i g .2 .5 . Se a

es t ru tu ra

for

i so s t á t i ca esses esforços cons t i tuem uma

dnica

d i s t r i b u i ção

com §. ; se for

h ip eres t á t i ca

c ons i de r e - s e uma

def in ida

dent re

as

in f

i n i t as poss íve i s .

Pretende

- se

agora en t r a r

no

méri to

dos

esforços

in te rnos ; por i s s o fo i necessár io representar a es t ru tu ra

da

fig.2. '> coino uma C'5trutura

de

f il to li n e a r .

1 7



se ja o estado

de deslocamentos

(b) ,

vi r tua l , compatível

com

as vinculações, conforme f ig .2 .6 , inc lu indo além dos

deslocamentos

6x.

y e 9

de u • ponto

genérico na posição

def in ida

pela

coordenada também as deformações dub, dvb e

dq b de

um elemento de estru tura

com comprimento

ds,

nessa

mesma

posição

e com

s in a i s coerentes

com

os dos esforços

in ternos

do

estado

de

forças.

\

Õy

õ,

/

Fiq

2.6

· f : t lodo de deslocamentos 1 b

l

Impondo o estado

de

deslocamentos

b)

ao es tado de

forças ( a ) ,

é simples mostrar , calculando

de duas

maneiras

dife rentes ,

que o

t raba lho t o t a l desenvolvido por

toda11

as

forças e es forços

in te rnos é

igua l

tan to

ao

t raba lho

das

forças exte rnas

quanto

ao

t r aba lho

dos esforços

in te rnos;

assim:

*)

Enfocando o t r aba lho de todas as

forças

exte rnas e

esforços in ternos :

18

Como

os esforços

internos

aparecem

aos

pares , com

sent idos contrá r ios,

conforme f iq .2 .

7,

num deslocamento

compatível

com as v

incu

l ações , no

caso

com as l igações

in te rnas,

o

t raba lho de cada

par

é nulo;

com

i sso

o

t raba lho

t o t a l

é

só

o t r aba lho

das

forças externas , do

qual

se

poderia exclu ir ,

querendo,

também o t r aba lho das forças

externas

de

reação.

F

i9

. 2 . E sfor ços i nt

ern

os o o ~

por i

Com

l sso

tem-se, então:

T

t

• > t 1

T

t J t_ P r H O

2 . 18)

**) Enfocando

o t r aba lho

rea l i zado pe las forças

e

esforços

a tuantes

em

cada

elemento:

Pensando

no elemento

de

comprimento

ds colocado

na

posição genérica em pr inc íp io

suposto sem

carga exte rna

apl icada sobre

e le , o t r aba lho to ta l

que,

num s is tema

conserva t ivo ,

só

depende

da posição in i

c i a l e

da f ina l

,

pode se r pensado ,

conforme f ig

. 2 .

6,

como composto

de

duas

parce.la

s ;

a p ri

m

e i r a

corresponderia

ao t raba lho

19

J



rea l i zado

quando

o elemento

passa da

posição

in ic ia l

para a

posição em t r ace jado na f i g .2 .6 , sem deformação: a segunda,

dTd•r

,

corresponde à deformação

do elemento,

ao pa s s a r da

posição t r ace jada

na f i q . 2 . 6

para

a

f i n a l ; assim:

dT

t o

ta S

dT

e dr. r

+ dT

ftf f

2.19)

Como o elemento e s t á em eq u i l í b r i o , num deslocamento

vi r tua l

sem

deformação o t r aba lho de todas as forças atuando

nele é nulo, i s t o é :

dT O

8

ct

f 1

2.20)

Qualquer

carga in f in i t es imal ou f i n i t a que houvesse

sobre o elemento

poder ia s e r concentrada

à

esquerda

do

elemento

da

f i g .2 .5

e seu

t r aba lho ,

j á que o e l emento

cont inuar ia em eq u i l í b r i o ,

se r ia i nc l u í do

na so •a tó r i a nula

impl íc i t a em 2.20) ; assim, com a (2.20) na 2.19) :

dT

to t a 1

dT

d e

(

2.21)

Com o au x í l i o

da

f i g .2 .6 :

dT

der

N +dN

)du

+ V +dV

)dv

+ M +dM )d -

ª a 1 a b a e b

2.22)

Desprezando in f in i t és imos

de

ordem s u p e r i o r ,

t e ~ - s e da

2.22) :

dT

d.'

N

du

+ V dv

+

M df>

t>

(2 .23)

20

Oi'I ( ;:> 21) com

1'

••

1 ,, 1

1

a 2.23) ,

integrando em toda a es t ru tu ra :

N du

h

r•c I 1

V

dv

+

J

Na 2.24) observe-se que o 20. membro

contem

a

soma

dos

t r aba lhos

de

todos

os

esforços

in ternos

com

as

deformações

correspondentes , podendo-se apropr i adamente cognominá-lo de

t r aba lho in te rno;

então da 2.24) :

T

T

(

2 . 25)

t .. 1 .1 1 t n t P. 1

11

o

Das duas conclusões expressas pe la 2 .18) e

2.25) :

T

,. lC 1 1

T

1

li

t ,.

11

n

( 2 .

26)

como se

pre tendia demonstrar .

É importante

r e s sa l ta r que o es tado de forças

(a)

não

tem qualquer

re lação

de

causa

e e f e i t o com o es tado de

deslocamentos ( b ) ; apenas a

es t ru tu ra

e suas v inculações

externas e i n t e r n a s

são

as mesmas:

o es tado de forças (a)

deve sa t i s f aze r às

condições

de eq u i l í b r i o e o

es tado

de

deslocamentos ( b ) , além d e v i r t u a l ,

i s t o

é , h i p o t é t i c o e

i n f i n i t es im al , deve s e r compatível , geometricamente.

2.3 .

POSSIBILIDADES

DE

APLICAÇÃO

DO

PRINCÍPIO

DOS

TRABALllOS

VIR1'UAIS

o

Pr inc íp io

dos

Trabalhos

Vir tua i s tem

inúmeras

poss ib i l idade s

de i 'lplicação

na

n ~ l i s e

de

es t ru tu ras ,

não só

21



pelo Método

Cláss ico . mas

por qualquer

outro

método que

manuseie

condições

de e qu i l í b r io e

de

compatibi l idade.

o

p.T.V.

é út i l

para

montar equações se le t iv as de

equi l íbr io

a p ar t i r

de condições de compatibi l idade

pré-def in idas,

ou vice-versa . para

montar equações

se le t iv as

de compatibi l idade a

par t i r de condições

pré-def in idas

e

e qu i l í b r io ; é

ú t i l

para

c a l c u la r

deslocamentos

em

e s t ru tu ra s

i so s tá t icas

e

hiperestá t icas;

é ú t i

na demonstração dos

teoremas de Muller-Breslau, que transformam problemas

meramente es tá t ico s de cálculo

de

l inhas

de inf luênc ia

ell

problemas puramente geométricos; é út i

1

na demonstração

de

inúmeros out ros

teoremas

da Está t ica Clássica ,

colllO

os

teoremas de

Maxwel

1

e

de Bet t i ; é út i l na

s i s t emat ização

matr ic ia l

do

cá lculo

de e s t ru tu ra s visando

a

u t i l i zação de

computadores; es te

capí tu lo não

é , e n t re t a n to , o lugar

adequado

para

uma

explanação

sobre todas

essas

apl icações ;

é

oportuno entre tanto t r a ta r

pelo menos

algumas

apl icações

simples, com

cará te r d i fe re n te , re lac ionáve is

a

estru turas

i so s tá t icas , e

que são as

que se

sequem.

2.3 . l . cálculo

de Deslocamentos em

Est ruturas I so s tá t icas

Seja um es tado de deslocamentos (

b)

, r ea l ,

mas

co•

deslocamentos

pequenos

o

su f i c i e n t e para que

se os

l i ne a r i z e

com boa

aproximação

e

para que eventuai s condições de

equil íbr io ,

em

estados de

forças

que venham

a

se r cr iados

sobre

a

estru tura, possam se r consideradas

na

posição

i n i c i a l , também

com

boa aproximação; nessas

condições esse

es tado

de deslocamentos,

apesar de r ea l , provocado

por

uma

causa

f í s ica

qualquer ,

preenche

todos os

r e qu i s i t o s

de

um

deslocamento v i r tu a l , desde

que

a

e s t ru tu ra se

mantenha

contínua, o que é hipótese do

método c l á ss i c o .

Nesse es tado de deslocamentos b) , representado na

f ig .

2. 8,

pre tende-se

< alcular um p ar t icu la r

desloca11ento

• \

22

a

p a r t i r das deformações dub,

dvb e

d</>b

conhecidas m

função de ª·

Fig. 2 6 - E•tad o de deslocamen

to

s ( b

l real

Para ca lcula r

o

pa r t i c u l a r deslocamento

'\

cr ia - se um

estado de forças a ) , conveniente,

com uma f

orça ex te rna

un i t á r i a

na

di reção

de

ôb,

e num

sent id

o

assumido

para e

l e ;

se

a

e s t ru tu ra

for

i so s tá t ica

haverá

uma

única dist r ibuição

N V

a

M em

funçã

o

de

os

esforços

hiperestá t ica

bas ta

considerar

uma qualquer

in f in i tas

possíve is . Esse

estado

de

representado na

f ig .2 .9 .

{

No

ern s v 0

a

Fig.

2 9 - Es

tod

o

de

fo rças

(a

1 co'Yen ie nt e

23

forças

ª; se

for

dentre as

a ) es tá

i



1

1

Impondo

o

es t ado de deslocamentos

(

b ao es t ado de

forças

a ) t em-se pe lo

P.T .V.

que T ••

Ttnt

en tão :

l .

{J

b

J

N du.,

+

J

e s

\

V

dv +

J

e s

t

r

M d ..

" h

2.27)

O cá l cu lo

de

6b, então, s e

reduz

ao

cá l cu lo

de

i n t e g r a i s

de

funções def in idas

de o problema meramente

geométr ico de de f in i r as con t r i bu i ções

das deformações dos

e l ementos pa ra

o deslocamento

acabou sendo s is temat izado

pe l a u t i l i z a ç ã o de condições de

e qu í l i b r io

impl íc i t as na

determinação dos es fo rços i n t e rnos N,.,

v.

e M

0

, i s t o

é ,

passou a s e r um problema eminentemente e s t á t i c o .

Como exemplo

de apl icação, s e j a

o

caso de

de te rmina r o

deslocamento ve r t i c a l da extremidade

B

da v iga da f i g . 2 .10

. ,

devido a um aquecimento At da f ace s upe r i o r ,

At,

da face

i n fe r io r

var iação l i ne a r ao longo da a l t u r a ; o c oe f i c i e n t e

de d i l a t a ç ã o t é rmica l i ne a r é a

·

li 1

1

_}

r

}ª

li

ti

i

#

1

2

10 -

E um plo

de

aplicaiéio

As deformações do es tado des locamentos b) são

fac i lmen te

de f i n í ve i s com

o auxí l

io

da

f i g . 2 .11 ,

para Ull

elemento de

comprimento ds em qua lque r

posiçã

o ;

no

caso

são cons t an t e s

com

2 4

a M d•

ll l

t

r

1

1

1

G.

1

, - -

1

d t>b

h/ 2

'

l.

ll t i

~ u b t l

d s

lj

d1

·-

F i q 2 l l Del o

1m

açÕe• no e lemento no t o do de de•locament o• 1 b}

Assim:

du

1

[ l l t

+ ll t

1

) a s

( >

o

de extensão

)

a

2

dv o

>

o

horá r i o

l>

d P

l

{t.t(

-

fl tR dS

> o ex tensão embaixo

X

h

>

o

es tado de forças a)

conveniente pa ra

cons t a

da

f ig .2

.

12

.

a ; nas f ig .2 .12

.

b , c

e d

c a l c u l a r <\

constam

os

es fo rços in ternos , com s ina i s coerentes com os assumidos

para as

deformações .

l

j l l

·

r

21

11

1

1

o

;

No

Va

M a

1o1

1b )

i

e 1

1d 1

F iq

2 2

E

o:.f

or

n t e

n 'IO l

no e o;.tado de

fo rç

o•

1 a )

25



Assim,

em função de

§

111edido a p a r t i r

da

extremidade

esquerda ,

conforme

f ig .2 .12 .a :

N o

> o de t ração)

V

1

> o

horár io)

M

s -

t

(> o t ração embaixo)

Com i s so , do

P.T.V. ou

da expressão 2.27) :

l .

b

o a

o

ou:

donde:

No caso calculou-se w. deslocamento l i ne a r ; o

cálculo

de

qualquer out ro t i po

de

deslocamento como uma ro tação, um

deslocamento r e la t iv o , w.a ro tação

r e la t iv a ,

poder ia se r

f e i to

de forma

absolutamente

simplesmente

escolhendo

um

es tado

de

forças

conveniente

de

t a l

forma que,

usando o

P.T.V

. , o deslocamento•

apareça

di re tamente no

t raba lho

externo; assim,

no exemplo,

se

se quisesse

ca lcula r

a ro tação e da

extremidade B,

poder -se- ia u t i l i z a r o es tado

B

de forças (a) da f ig .2 .13 .a , com

os

correspondentes esforços

internos

das

f ig .2 .13 .b , e e d:

26

l

o o

l í l i l l

t:<

l l l ll l

1

1

V

i

Na

Va

Mo

1Q1

1b 1

1t1

1d )

F lg

'2 13

-

Es f

o

ços i ote r nos no novo es todo de

fo

q:os 1a 1

Assim,

em função de

N o

(> o

de t ração)

V o

(>

o horário)

a

M

1 (>

o t ração

embaixo)

Do

P.T .V. :

T

T

ext

l n l

l

. 88

J

N du

+

V dv

+

J

M

d4\

b b

e s

t

r

fJ s t r str

l

[At

1

- t . t . )ds

l

o +

o - J

a

.. ~ r l i t

-l it

1

J ds

11

h l

o

o

donde:

2.3 .2 . Seleção

de uma equação

de

equi l íbr io

numa e s t ru tu ra

i so s tá t ica

Outra

aplicação elementar do P. T .V . , com c a rá t e r

d i fe re n te , poder ia se r a

de

escrever , para uma e s t ru tu ra

27



.__

i sos tá t i ca , uma

equação

se le t iva de equi l íb r io ,

co

u

só

incógni ta ,

que permi t i s se d e t e r • i n ar

um

esforço in te rno ou

reação

diretamente.

se j a

o

problema, i so s t á t i co ,

de deter11.inar a reação

hor izonta l

em ç na

es t ru tu ra

da

f ig. 2.14.

Fig

2

14

·

E•lfulura

hos td t i co

Sendo

a

es t r u tur a

i sos tá t i ca ,

implicitamente se assumiu

haver

equi l íb r io

:

se

se

r e t i r ar

o

vínculo correspondente à

reação hor izonta l em C , subs t i tu indo-o por esse es forço ,

tem-se um

estado de forças a) , ainda em

equi l

í

brio ,

•as

sobre

uma cadeia c

inemática co•

um

grau

de l iberdade ,

conforme f ig .2 .15 .

f i9

2.

15

·

E•• od

o de º ' 'º' ai solne

umo cadeio

ci n

emát ico

28

À cade ia cinemática assim

c

omposta é

poss ív

e l

impor

um

es tado de

deslocamentos

b ) ,

vi r tua l , sem

inc lu i r

deformações , def in ido por

um

desloc amento

in f in i tesimal

â em

sent ido

co n t r á r i o

ao do

es fo r

ço que se quer determinar. Esse

deslocamento acar re t a , conforme

f ig.2 .

16,

deslocamentos

Ct(s),

diretamente

proporcionais a

â ,

e

regidos por l e i s

geométricas muito simples, que não vale a pena

detalhar

aqui

, re lac ionadas ao deslocamento i

nfin i tesimal de

c ade ias

c inemáticas .

f ig 2 16 - E• lado de

de•l

o ca me

n•

o• 1 b l •o bre uma ca deia

Impondo-se o estado

de

deslocamentos

(b)

ao es tado de

forças a) , tem-se , do

P.T.V. ,

que:

T O

ex

t

ou

então:

n

RHA ./J.

J = l

P x )

J p(s )

x

6(s )ds

J

o

r e g c

29



como ~ s ) corresponde ao deslocamento inf in i tesimal

de

uma

cadeia cinemática, e l e

é

sempre

proporcional a

â ;

poder-se- ia ,

para ev i ta r

a operação de divisão de todas as

parce las,

cancelando-o, impô-lo a pr ior i igual a 1 , mantendo

a

geometria dos

deslocamentos

inf in i tesimais;

com i s so

se

t e r i a :

R

HA

Essa

se leção

de

esforço, o que se r i a um

s i s t emat izada

a través

2 . 28 )

parce las

que cont r ibui r iam

para

o

problema eminentemente es tá t ico , fo i

de um problema eminentemente

geométrico de

cálculo

de

deslocamentos i n f in i t e s ima is de

cadeias cinemáticas.

Como

exemplo

de

apl icação,

determinar a reação

hor izonta l em E , pos i t i va

se

orientada

da esquerda para a

di re i t a , na es t ru tu r a

i so s tá t ica

da f ig . 2 . 17 .

1

m óm

Fi9 2 1 7 • E•emplo

de

es l rulu ra i sostót ica

J O

Re t i ra ndo o v ínculo c o rrespondente a

RHE

subst i tu indo -o

por R

t e m-se o esta do de forç as a ) da f ig . 2 . 18 , s obre

uma cadeia c i

nemática

c o m

um grau de

l iberdade.

F i9. 2 18 • E s ta do

de l a

l pa ra o ex emp lo

À cadeia cinemática com um grau de

l iberdade

impõe-se

um

estado de deslocamentos b ) , sem deformação, com um

deslocamento

un i tá r io

e m

sent ido

contrá r io

a

RHE mantendo

a

geomet r

i a de

deslocamentos i nf i n i

tesima

i s ,

conforme

f ig

. 2.19.

0, 20

0

m.

1

- - - - 1J1

200

1

0 ,20 0

m· l

Fig

2.

19 · Estad

o

de

de s

loca me n t os l b l po r a o

e u

mplo

31



Impondo o es tado de deslocamentos b) ao estado de

forças

(a ) , tem-se, pelo

P.T.V. , que:

T O

e

X l

donde:

- R H fl - 3 .0 ,4 0 0

+ ' l . l , 200+ 1( -+ · 6 . 1 , 200 - + · . 8 . 0 , 4 0 0 ) = 0

A úl t ima parcela corresponde

à

in tegra l de A a t é D do

produto da função carga pela

função

deslocamento; sendo a

carga

constante e l a fo i posta em evidência , sobrando, e n t r e

parêntesis ,

a in tegra l

da

função

deslocamento.

Da

equação anter ior

é imediato obter :

Essa

mesma

i d é i

a é extremamente

ú t i l

para o cálculo de

l inhas de

inf luênc ia

de

esforços

em

e s t ru tu ra s

i so s tá t icas ,

obtendo-se

a

transformação de

um

problema to ta lmente

e s t á t i c o num problema to ta l

mente

geométr ico; o cálculo

de

l inhas de inf luência e o t ra tamento de cargas móveis

f i c a r ã o , e n t r etanto , à par te des ta

publ icação.

2. 3. 3. o Teorema j a

Reciprocid

a

de dos Trabalhos

ou Teorema

de

Bet t i

O

Teorema

de Be t t i é demonstrável d i re tamente a p a r t i r

do

P.T.V. , valendo para as mesmas hipóteses , usuai s

na

Está t ica

Cláss i c a, que impli c

am

na val idade da superposição

de efe i to s .

3 2

sendo

considerados

dois es tados

( a )

e b )

de

deslocamentos provocados por c arqas em e q u i l í b r io sobre uma

mesma

e s t ru tu ra

e lás t ica , com as c

ondi

ç

ões impl íc i tas de

que

o

e q u i l í b r io

se ja

considerado na posiçã

o

o r ig in a l

e

os

deslocamentos, apesar

de r e a i s , sejam l i near izávei s , o

Teorema

de Bet t i af i rma qu e :

0

t raba lho

T das

forças externas

do

es tado (a) c

om

a . b

os deslocamentos do es tado (b ) é

numericamente

igual

ao

t raba lho T

b , a

das

forças

externas

do es tado

(b ) c om os

deslocamentos

do

es tado (a ) .

Estando ambos

os

es tados ,

a)

e (

b)

, quando

pensados

como estados

de deslocamentos, nas mesmas

condições

do que

s e convencionou

chamar

de

es tados

de deslocamentos

v i r tu a i s ,

é viável

u t i l i z á - l o s

na

apl icação do

P.T. V• . Assim, sejam

os

es tados a) e b) os representados com

suas

cargas , seus

esforços in ternos e suas

deformações na

f ig . 2 .20 :

q

Mo -

d<lla

'

M

c1 _

0

EI

Mb

d<l> b

• M

ll

b E I

•h

·-

dub

ds

·

No

-

d o NoEs

Nb

-

Nb

ES

º

-

dv

0

1/

º

GS

l /b

..J. dvb

·

vbW

e s to do 1o

1

e• t

ad

o bl

Fi o 2.20 -

Es

to d o s l a l e l b l

33



Impondo o es tado de deslocamentos (

b)

ao

estado

de

forças (a ) , tem-se, pelo

P.T.V., que:

T O

e X l

donde:

-RHEl-

3.0 ,400 + 5.1 ,200+1( - i - · 6 . 1 ,200 - - } - . a . 0 , 4 0 0 ) =o

A úl t ima

parc e l

a

cor responde à in tegra l

de A a té D

do

produto da

função ca

rga

pela

função

deslo

c

amento;

sendo a

carga constante e l a fo i

pos ta

em

evidência , sobrando, en t re

parên tés i s , a i n t e g r a l da

função

deslocamento.

Da equação

a n t e r i o r é

imediato obter :

RH =

6,800

t

Essa mesma i dé ia é

extremamente ú t i l para

o

cálcu lo

de

l inhas de

in f luência de esforços

em es t ru tu ras

i sos tá t icas ,

obtendo-se a t ransformação de

um

problema totalmente

e s t á t i c o

num

problema to talmente geométrico;

o

cá l cu lo

de

li nhas de

in f luência

e o t ratamento de cargas

móveis

f icarão ,

en t re t an to ,

à

par te des ta publ icação.

2 . J . 3 .

O

Teorema

j

Reciprocidade

dos

Trabalhos ou Teorema

de Bet t i

o Teorema

de Bet t i

é

demonstrável diretamente a par t i r

do P.T.V.,

valendo

para as

mesmas

hipó teses , usuais

na

Es tá t i ca

Cláss ica , que implicam

na

val idade

da superposição

de efe i tos .

32

Sendo

co nsiderados

doi s estados a )

e

b) de

deslocamentos provocados por c a r

gas em

equ i l íb r io sobre

uma

mesma es t ru tu ra

e l á s t i c a ,

com as condições impl íc i tas de

que

o

equ i l íb r io se j a

c

onsiderado na posição or ig ina l

e

os

des locamentos , apesa r

de

rea i s ,

sejam l i near i závei s , o

Teorema

de Bet t i af i rma que:

O t rabalho T das

forças externas do

estado (a) com

. b

os des locamentos do estado

b) é

numericamente igual

ao

t r abalho

T

das

fo rças

externas

do

estado b)

com

os

b ,•

deslocamentos do es t ado (a)

.

Estando ambos os

es t ados ,

a)

e

(b ) , quando pensados

como

estados

de deslocamentos, nas

mesmas

condições

do que

se convencionou chamar de es t ados

de

deslocamentos v i r t ua i s ,

é

viável

u t i l i z á - l os

na

ap l i cação do

P. T.

V. . Assi11 ,

sejam

o s es t ados a)

e

b) os representados com suas cargas, seus

es forços in ternos

e

suas deformações na f i g . 2.20 :

ds

No

-

du

0

• N

0

Es

e s todo Cal

• s

1

o

do 1b 1

F i 9 2 20 - E s

lo

d

os

1o 1 • 1b 1

33



sendo

(a)

o e s

tado

de forças ,

desloc amentos , tem-se do

P.T.

V. :

e (b ) o estado de

T

·J

, b

e e

lr

e a l r

N . N

• b

ds

ES

+ J

e t r

cds

• • V

b S

2 • 2 9 )

s ·

endo

(

b

o e s tado

de

f o

rças ,

e (a) o estado

de

desloc amentos , tem-se , agora:

T -J

, •

V • v cds

b • GS

(2 .30)

•• t r

e l r e s t r

Das

expressões (2 .

29)

e (2 .

30),

como a

ord

e m

dos

fatores não al t era o

produto tem-se

o que s e queria

demonstr

a r , i s t o é ,

que:

T • T

a b b a

(2

.

31)

2.3.4 . o Teorema da Reciproc i dade dos Des

lo

c amentos ou

Teorema de Maxwell

O Teorema

de

Maxwell

pode

s e r

apresentad

o c o•o

um

mero

c

aso

par t icu la r

do

Teorema

de Bet t i

,

co

r r e spondente à

s i tuação em

que

ambos

os

es

tado

s de forças , ( a ) e (b) ,

cont•m,

cada

um deles , apenas uma força ex te rna uni t , r i a ,

de t ipos

eventualmente

d i f e rentes ; assim, c hamando de

(a)

a

direção

em que no

estado (a)

se . tem a

força

uni tá r ia e

de

(b) a direção em

que no

estado

(b)

se tem a força

uni t4r ia , o teorema afi rma

que:

O deslocamento c ,

• b

f o r

ça

uni tá r ia na d ire

çã

o

na direção ( a) , provoc

ado

pe 1 a

( b ) ,

é

numeri camen te i gua l

ao

34

des locame nto , na d i reção

(b) ,

provocad o pe l a fo r

ça

b , a

un i t á r i a na

direção

(a) .

A de mons t ração i mpl icar ia apenas em

par t

icula

r i zar

a

expre ssão

(2 .

31) ; ass i m:

l . ó

a , b

l . ó

b.

ou

:

. b

b ...

(2.32 )

35

processos gerais da hiperestática clássica - cap ii

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