-processamento digital de sinais – capítulo 4

- Processamento digital de sinais –

Capítulo 4 – Transformada discreta de Fourier

O que veremos

1) Introdução2) Entendendo a equação da DFT3) Simetria da DFT4) Linearidade e magnitude da DFT5) Eixo da frequência 6) Inversa da DFT7) Leakage/”vazamento”8) Janelamento de sinais9) Resolução e preenchimento com zeros10)Representações no domínio da frequência11)A FFT

2

1) Introdução

• A importância da DFT no PDS

• Origem

tempo frequência

• Correspondente discreta:

3

dtetxfXftj π2

)()(−∞

∞−∫=

NnmjN

n

enxmX

/21

0

)()(

π−−

−

∑=

2) Entendendo a equação da DFT

• Reescrevendo:

- onde N = número de amostras a serem processadas

= número de pontos no eixo da frequência

- n varia de 0 até N-1

4

NnmjN

n

enxmX

/21

0

)()(

π−−

=

∑=

−

=∑

−

= N

nmsenj

N

nmnxmX

N

n

ππ 2.2cos)()(1

0

• Exemplo 1: considere quando N=4 e Fs=500

5

−

=∑

−

= N

nmsenj

N

nmnxmX

N

n

ππ 2.2cos)()(1

0

−

=∑

= 42.

42cos)()(

3

0

nmsenj

nmnxmX

n

ππ

−

=

4

0.02).0(.

4

0.02cos)0()0( ππ senxjxX

−

+

4

0.12).1(.

4

0.12cos)1( ππ senxjx

−

+

4

0.22).2(.

4


−

+

4

0.32).3(.

4


−

=

4

1.02).0(.

4

1.02cos)0()1( ππ senxjxX

−

+

4

1.12).1(.

4


−

+

4

1.22).2(.

4


−

+

4

1.32).3(.

4


Vale destacar que:

Assim:

6

N

Fsmmf .)( =

HzX 04

500.0)0( ==

HzX 1254

500.1)1( ==

HzX 2504

500.2)2( ==

HzX 3754

500.3)3( ==

(primeiro termo de frequência – DC)

(segundo termo de frequência)

(terceiro termo de frequência)

(quarto termo de frequência)

• A magnitude é:

• O ângulo é

• A potência do espectro é:

7

)( de ângulo no )()()()( mXmXmjXmXmX magimagreal φ=+=

22 )()(|)(|)( mXmXmXmX imagrealmag +==

= −

)(

)(tan)( 1

mX

mXmX

real

imag

φ

222 )()()()( mXmXmXmX imagrealmagPS +==

• Exemplo 2: calcule as oito primeiras componentes de frequência da DFT do sinal considerando Fs=8000 a/s

Solução:

Discretizando:

As componentes de frequência serão: 0Hz, 1kHz, 2kHz,... 7kHz e o sinal será:

8

( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx

( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= ss ntsenntsennx

O formato do sinal é:

A primeira componente é:

9

( ) ( )∑=

−=7

0

8/2)(8/2cos)()1(N

nsennjxnnxX ππ

18

• A fase é relativa ao cosseno!– Ex.: -90° equivale a cos(α-90°)=sin(α)

• Forma geral:

• Simetria par da magnitude

• Simetria ímpar da fase (complexo conjugado)

• Conclusão: informação relevante só até N/2 -119

3) Simetria

)()( *mNXmX −=

• Prova matemática simetria:

Sendo que

20

∑∑−

=

−−−−

=

−− ==−1

0

/)(2/21

0

/)(2 )()()(N

n

NmnjNnNjN

n

NmNnjeenxenxmNX

πππ

∑−

=

−=1

0

/22)(N

n

Nnmjnjeenx

ππ

∑−

=

=−1

0

/2)()(N

n

NnmjenxmNX

π

1)2sin()2cos(2 =−=−njne

nj πππ

)()()(*1

0

/2mXenxmNX

N

n

Nnmj ==− ∑−

=

− π

Lembrando de conjugado complexo:

x = a + jbx* = a – jb

x = ejα

x* = e-jα

• Linearidade:

• Magnitude:

– Ex.:

– “Solução”:

21

4) Linearidade e magnitude da DFT

)()()( 21 nxnxnxsoma +=

)()()( 21 mXmXmX soma +=

( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx

∑−

=

−=1

0

/2)(1

)(N

n

Nnmjenx

NmX

π

• Resolução frequência:

• Lembretes importantes:– A) “cada saída m da DFT é a soma termo a termo do produto de uma sequência de

entrada no domínio n com uma sequência representando ondas seno e cosseno”;

– B) para entradas de números reais, uma DFT de N pontos provê uma saída com N/2+1 termos independentes;

– C) a magnitude dos resultados da DFT são proporcionais a N;

– D) a resolução de frequência da DFT é dada pela forma acima

22

5) Eixo da frequência

N

Fsmmfresol .)(. =

• Fórmula:

– Aplicando ao exemplo 2 temos:

23

6) DFT inversa

∑−

=

=1

0

/2)(1

)(N

m

NnmjemX

Nnx

π

• Descrição problema:

– Exemplo:

Considerando Fs=8000 e N=8. E se Fs=5000?24

7) Leakage\vazamento

( ) ( )4/3200025.010002)( πππ ++= tsentsentx

– O leakage acontece quando a frequência de um sinal de entrada não tem correspondência exata com o eixo de frequência

25

• Formato de um espectro puro:

26

)(

)](sin[.

2)( 0

mk

mkNAmX

−

−=

π

πK=núm amostras por ciclo ouNúm de ciclos da amostra

• Exemplo: Fs=32.000 e N=32

27

• Replicação espectral:

28

29

8) Janelamento

∑−

=

−=1

0

/2)()()(N

n

Nnmj

w enxnwmXπ

• Exemplo 3:

31

• Exemplo 4:

32

• Transformada contínua de Fourier:

• O que fazer para melhorar a resolução do espectro?– Preencher a entrada com zeros?! (zero padding)

33

9) Resolução e preenchimento com zeros

– Como “consertar” o eixo das frequências com preenchimento com zeros?

– Melhoramento da resolução mas não melhora entendimento das frequência de entrada

– Obs.: SNR

34

10) Representação no domínio da frequência

• Eixo da frequência em:– Hz (f = 7.fs/N Hz);

– Normalizado por fs (f/fs = 7/N ciclos/amostra);

– Ângulo normalizado (w=2π(f/fs) radianos/amostra);

35

• Resumindo:

• Representação alternativa:

36

jwn

n

enxwX

−∞

−∞=

∑= )()(

• Exemplo: calcule a transformada de x(n)=(0,75)n

u(n) usando a variável w.Resolução:

Aplicando a série geométrica:

Conclusão:

37

jwn

n

enxwX

−∞

−∞=

∑= )()(

n

n

jw

n

jwnneewX )75,0(75,0)(

00

∑∑∞

=

−∞

=

− ==

jwe

wX−−

=75,01

1)(

nNmjN

nNmw

enxwXmX

)/2(1

0/2

)()()(

π

π

−−

== ∑==

• Resumindo a: transformada contínua, a transformada discreta e a série de Fourier:

38

• Obs.: efeito de Gibbs em sistemas digitais

39

• Custo computacional

– Para N = 2.097.152:• DFT: 3 semanas; FFT: 10 segundos!

– Potência de 2 (preenchimento com zeros)40

11) FFT

NN

N 2

2 log.2

versus

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