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RESOLUO DE PROBLEMAS1

O PORQU DA RESOLUO DE PROBLEMAS

A resoluo de problemas, onde esto includos as formas como os problemas so representados, os significados da linguagem matemtica, as formas como se conjectura e se raciocina, considerada a actividade principal da matemtica. Atravs da resoluo e da formulao de problemas os alunos tm oportunidade de construrem aprendizagens significativas.

Os alunos devem ter oportunidade de discutir com os colegas, com o professor, de argumentar, de criticar, de interagir por forma a haver uma partilha de ideias, de estratgias, de raciocnios, de pensamentos matemticos e de desenvolver a sua capacidade de comunicao.

Atravs da resoluo de problemas, inserida num ambiente propcio e favorvel, o aluno verifica a validade dos conceitos matemticos, realiza conjecturas, relaciona os conceitos, generaliza, estimula os procedimentos num contexto significativo, toma uma atitude reflexiva e desenvolve a capacidade de raciocnio e o pensamento matemtico.

Estudos nacionais e internacionais mostram que em Portugal ainda se est longe de conseguir um dos grandes objectivos que a formao de alunos matematicamente competentes na resoluo de problemas. Os dados disponveis permitem constatar que os alunos portugueses tm resultados abaixo da mdia na capacidade de resoluo de problemas e resultados melhores no conhecimento de procedimentos de clculo. Isto, apesar de, desde o incio dos anos noventa, os programas de Matemtica considerarem a resoluo de problemas como um dos principais (ou o principal) objectivos do ensino da Matemtica. O novo Programa de Matemtica para o Ensino Bsico (Ponte et al., 2007) considera a capacidade de Resoluo de Problemas um dos objectivos de aprendizagem

1 Texto coligido por Lurdes Serrazina, a partir de diferentes textos, mencionados na bibliografia.

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centrais, mas a Resoluo de Problemas tambm uma importante orientao metodolgica para estruturar as actividades a realizar na aula.

O QUE UM PROBLEMA?

A questo da resoluo problemas na sala de aula foi abordada pela primeira vez de modo consistente por Polya, em 1945, mas s a partir da dcada de 80 com a publicao da Agenda para a Aco do NCTM, o movimento se tornou mais forte. Desde o incio que a noo de problema tem sido difcil de definir. Kantowski (1980) considera que um problema uma situao com que uma pessoa se depara e para a realizao da qual no tem um procedimento ou algoritmo que conduza soluo. Refere ainda que o que problema para um indivduo poder ser exerccio para outro ou ainda uma frustrao para um terceiro. J as Normas (NCTM, 1991, p.11) referem que:

"um problema genuno uma situao em que, para o indivduo ou para o

grupo em questo, uma ou mais solues apropriadas precisam ainda de ser

encontradas. A situao deve ser suficientemente complicada para constituir

um desafio, mas no to complexa que surja como insolvel."

Para Krulik e Rudnik (1993), problema uma situao, quantitativa ou outra, com a qual se confronta um indivduo ou grupo, na procura de uma soluo, para a qual no tem prontamente resposta. Estes autores distinguem ainda entre questo (uma situao que apela capacidade de memria), exerccio (uma situao em que necessrio treinar ou reforar algoritmos j aprendidos) e problema (onde necessrio raciocinar e sintetizar o que j foi aprendido).

De facto, uma mesma situao poder representar um exerccio para uns e um problema para outros. Da mesma forma, o que poder ser um problema para um indivduo numa fase de aprendizagem, poder passar a um exerccio numa fase posterior. Considere-se o seguinte exemplo: Dou ao meu co trs biscoitos por dia. Quantos biscoitos come ele por semana? Para um aluno que conhece a multiplicao esta situao um exerccio, mas

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para um aluno do 1. ano de escolaridade, que no conhece nem o conceito nem a tabuada da multiplicao, esta questo seguramente um problema. Em resumo, nas definies de problemas acima descritas podem ser identificadas duas caractersticas comuns para problema: a) uma situao para a qual se pretende uma soluo; b) no h procedimento que conduza imediatamente soluo.

Assim, um bom problema dever geralmente possuir trs caractersticas:

- ser desafiante e interessante a partir de uma perspectiva matemtica;

- ser adequado, permitindo relacionar o conhecimento que os alunos j tm de modo que o novo conhecimento e as capacidades de cada aluno possam ser adaptadas e aplicadas para completar tarefas;

- ser problemtico, a partir de algo que faz sentido e onde o caminho para a

soluo no est completamente visvel.

COMO SE RESOLVEM PROBLEMAS?

A resoluo de problemas concebida por diversos autores como um processo sequencial onde se estabelecem diversas fases. Segundo Plya (2003) a resoluo de problemas inclui quatro etapas:

a) Compreenso do problema - procura-se compreender o problema at encontrar com preciso a incgnita; Nesta etapa devem identificar-se:

- o que conhecido (os dados); - o que desconhecido (o objectivo); - as condies apresentadas.

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b) Elaborao dum plano - obtm-se um plano quando, de um modo geral, sabemos quais os clculos ou planos/estratgias a fim de obter a incgnita. O importante a concepo do plano;

c) Execuo do plano - o plano d-nos apenas um roteiro geral. necessrio examinar todos os detalhes; Executa-se o plano que se elaborou at chegar soluo. Se se chegar a um impasse, volta-se fase de planificao.

e) Verificao dos resultados - reviso crtica do trabalho realizado, ou seja, verificao do resultado em funo da situao inicial e do raciocnio.

Estas quatro etapas podem ajudar o aluno a organizar o seu processo de resoluo de um dado problema. Ao longo das quatro etapas o aluno dever colocar a si prprio uma srie de questes que tm como objectivo organizar o seu pensamento de uma forma mais sistemtica e eficaz.

ESTRATGIAS DE RESOLUO DE PROBLEMAS

Existem diferentes estratgias de resoluo de problemas, tambm designadas como heursticas. O Programa de Matemtica para o Ensino Bsico (2007) prope trabalhar diferentes estratgias de resoluo de problemas ao longo dos vrios ciclos. Algumas dessas estratgias so apresentadas nesta seco, ilustradas com um exemplo de problema, onde essa estratgia pode ser adequada.

Utilizar um esquema / diagrama / tabela / grfico Muitas vezes fazer um esquema uma forma de obter a soluo de um problema. Por exemplo, o problema seguinte pode ser resolvido por um aluno, no incio do 1. ciclo, atravs de um esquema:

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A Rita muito vaidosa. Para a passagem do ano e pensando que poderia utiliz-la com outras roupas, ela comprou uma saia vermelha e outra azul, uma camisola amarela, uma

verde e outra preta. Depois pensou: Que bom! Agora j posso vestir-me de muitas maneiras diferentes. De quantas maneiras diferentes se poder vestir a Rita?

Trabalhar do fim para o princpio Esta estratgia adequada quando se conhece o ponto de chegada e o que se quer saber o ponto de partida. Por exemplo,

O Joo levou para a escola um saco de rebuados para dar aos amigos. Aos primeiros que encontrou deu metade dos rebuados que trazia. Depois encontrou mais amigos e deu metade dos que ainda tinha. E foi assim que chegou sala dele j s com 20, um para cada colega. Quantos rebuados tinha o saco antes do Joo o abrir?

Simular / Simplificar o problema Neste caso procura -se resolver o problema simulando a situao recorrendo a objectos, criando um modelo ou fazendo uma dramatizao. Por exemplo,

O Mrio tem as meias na gaveta todas desarrumadas. Ele sabe que tem duas meias castanhas, duas meias pretas e duas meias azuis. Na noite de Natal faltou a luz e ele teve de ir s escuras tirar meias para se calar. Qual o menor nmero de meias que deve tirar para ter a certeza que tira um par da mesma cor?

Descobrir uma regularidade / regra Nesta estratgia, procura-se encontrar a soluo atravs da generalizao de solues especficas. So exemplos os problemas que tm subjacente uma sequencia.

Exemplo:

Quantas partes se obtm dobrando uma folha 8 vezes?

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Dobragens 0 1 2

Partes 1 2

Uma vez preenchidas as primeiras colunas da tabela, uma observao atenta levar os alunos a procurarem a lei de formao que lhes permitir chegar soluo.

Organizar uma sequncia de passos A organizao de uma sequncia organizada permite esgotar e visualizar todos os casos possveis.

Por exemplo, o problema seguinte:

O Lus decidiu juntar dinheiro no seu mealheiro. Comeou por guardar uma moeda de 1 cntimo no primeiro dia e decidiu que em cada dia que passasse havia de l colocar o dobro do dia anterior. Achas que ele consegue manter a deciso? Quanto tinha de pr no mealheiro ao fim de 10 dias?

Tentativa e erro

O problema resolvido atravs de tentativas de um modo orientado e verificando em cada caso se a soluo encontrada satisfaz as condies do problema. Exemplo:

Este tringulo com crculos um tringulo mgico. Basta que se disponham os nmeros de 1 a 6 nos crculos, para que cada lado some 9. Onde dever ficar cada um dos nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6?

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Procurar um problema anlogo mas mais simples Formulando um problema mais simples, possvel resolver o problema mais facilmente e entender melhor o problema a resolver.

Suponha que h um certo nmero de coelhos e de faises numa gaiola, totalizando 7 cabeas e 22 patas. Quantos coelhos e faises esto na gaiola?

Podemos reduzir o problema para um mais simples: Se todos os animais fossem faises, teramos 14 patas. Mas como na realidade, so 22 patas no total, ento ainda falta distribuir 8 patas. Assim, dever-se- a colocar mais duas patas em 4 cabeas. Logo so 4 coelhos e 3 faises.

Desdobrar um problema complexo em questes mais simples Por vezes pode comear-se por um problema mais simples. Por exemplo no problema:

A Joana tem 3 saias azul, preta e castanha, 4 camisas branca, azul, vermelho e verde e 2 chapus um branco e outro azul. De quantos modos diferentes se pode apresentar a Joana com saia, camisa e chapu?

O problema pode inicialmente ser resolvido considerando apenas as saias e as camisas.

Criar um problema equivalente Esta estratgia pode ser usada por exemplo quando temos um problema com nmeros grandes, substituindo-os inicialmente por nmeros menores, de modo a que se possa representar.

Explorar casos particulares Esta estratgia consiste em resolver um problema do mesmo tipo mas que corresponda a um caso particular daquele que se quer resolver. Por exemplo, no problema:

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Quantos quadrados existem na figura?

Pode comear por ser resolvido para uma figura mais simples, por exemplo para um quadrado de 2x2.

Bibliografia

Abrantes, P., Serrazina, L. & Oliveira, I. (1999). A Matemtica no Ensino Bsico. Lisboa: Ministrio da Educao.

Kantowski, M. G. (1980). Some thoughts on teaching for problem solving. In R. E. Reys (Ed.), Problem solving in school mathematics. Reston, VA: NCTM.

Krulik, S. & Rudnik, J. A. (1993). Reasoning and Problem Solving A Handbook for Elementary School Teachers. Massachussets: Allyn and Bacon.

Lopes, A. V., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J. M., Oliveira, M. J., Delgado, M. J. , Bastos, R. E Graa, T. (2005). Actividades Matemticas na Sala de Aula, 2. Edio, 2 Tiragem. Lisboa: Texto Editores.

NCTM (1991). Normas para o Currculo e a Avaliao em Matemtica Escolar. (Traduo portuguesa do original em ingls de 1989). Lisboa: APM & IIE.

Plya, G. (2003). Como resolver problemas (Traduo do original ingls de 1945). Lisboa: Gradiva.

Ponte, J. P., Serrazina, L., Guimares, H., Breda, A., Guimares, F., Sousa, H., Menezes, L., Martins, M. E., Oliveira, P. A. (2007). Programa de Matemtica do Ensino Bsico. Lisboa: Ministrio da Educao, Direco-Geral de Inovao e de Desenvolvimento Curricular.

Vieira, L., Carvalho, P. e Cadeia, C. (2007). Resoluo de Problemas. Em A. Gomes (Coord.), Mat1C Desafio Matemtica, Braga, Universidade do Minho, Instituto de Estudos da Criana.