Problemas  de  O-mização  

Material  online:  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html                    

Roteiro  para  resolver  problemas  de  o-mização  

1.  Compreenda o problema a)  O que é desconhecido? b)  Quais as quantidades dadas? c)  Quais as condições dadas?

2.  Faça um diagrama ou desenho ilustrativo    

3.  Introduza uma notação a)  Atribua símbolos para a quantidade a ser otimizada (maximizada ou minimizada); b)  Atribua símbolos para outras quantidades desconhecidas; c)  Coloque os símbolos no diagrama.

4.  Expresse a quantidade a ser otimizada (Q) em função dos outros símbolos.

5.  Se Q estiver expresso em função de mais de uma variável, encontre no problema

relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da expressão de Q.

6.  Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.

Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?  

Compreendendo o problema:  

a)  O que é desconhecido?

área

dimensões do retângulo

b)  Quais as quantidades dadas?

cerca: 1.200 m

campo retangular sem cerca em um dos lados (rio reto)  

c)  Quais as condições dadas?

Diagrama:  

Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?  

x   x  

y  

A  

Notação:  

x – altura do retângulo  

y – comprimento do retângulo  

A – área do retângulo  

Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos outros símbolos:  

A(x,y)  

x + x + y = 2x + y  

Encontre no problema relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da expressão.

= xy  

= 1200  

Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?  

x   x  

y  

A  

A(x,y) = xy  

2x + y = 1200  

y = 1200 – 2x  

A(x,y) =  x (1200 – 2x)  

A(x) =   –2x2 + 1200x  

Domínio de A?  

A(x) ≥ 0 → −2x2 + 1200x ≥ 0→ x(−2x+ 1200) ≥ 0

x ≥ 0Como ,  −2x+ 1200 ≥ 0 → x ≤ 600

Portanto, o domínio de A(x) é o intervalo fechado [0, 600]  

Exemplo 1. Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?  

x   x  

y  

A  A(x) = –2x2 + 1200x ,  0 ≤ x ≤ 600

Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.

0 ≤ x ≤ 600,  

Pontos críticos:  

A�(x) = 1200− 4x

A�(x) = 0 → x = 300

A(300) = −2 · (300)2 + 1200 · 300 = 180000

Extremidades do intervalo:  

A(0) = 0

A(600) = 0 Logo, a área máxima é A(300) = 180.000 m2.  

Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.  

Compreendendo o problema:  

a)  O que é desconhecido?

área da lata

b)  Quais as quantidades dadas?

Volume: 1 litro

Lata cilíndrica  

c)  Quais as condições dadas?

Diagrama:  

Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.  

Notação:  

r – raio do cilindro  

h – altura do cilindro  

A – área do cilindro  

Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos outros símbolos:  

A(r, h) =   2(πr2) +   (2πr)h  

Encontre no problema relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da expressão.

V =   πr2h   = 1000 ml  

Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.  

A(r, h) =   2(πr2) +   (2πr)h  

πr2h   = 1000 ml  

h =1000

πr2

A(r) = 2πr2 + 2πr

�1000

πr2

�= 2πr2 +

�2000

r

�

Domínio de A?  

r > 0  

Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.  

, r > 0  

Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.

A(r) = 2πr2 +

�2000

r

�

Pontos críticos:  

A�(r) = 4πr − 2000

r2=

4πr3 − 2000

r2

A�(r) =→ 4πr3 − 2000

r2= 0 → r = 3

�500/π

Quando , A’(r) < 0 e quando , A’(r) > 0  r < 3�500/π r > 3

�500/π

Pelo Teste da Primeira Derivada, é ponto de mínimo local. Além disso, como a função vinha sempre decrescendo a esquerda deste mínimo, e sempre crescendo à direita, este mínimo é global (absoluto).  

r = 3�500/π

Exemplo 2. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.  

Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.

r = 3�500/πQuando :  

h =1000

πr2=

1000

π(500/π)23

Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos: Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f definida em um certo intervalo.  

a) Se f’(x) > 0 para todo x < c e f’(x) < 0 para todo x > c, então f(c) é o valor máximo absoluto (global) de f.  

b) Se f’(x) < 0 para todo x < c e f’(x) > 0 para todo x > c, então f(c) é o valor mínimo absoluto (global) de f.  

Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parábola y2=2x mais próximo de (1, 4).  

Expresse a quantidade a ser otimizada em função dos outros símbolos:  

y2=2x  

Encontre no problema relações entre as variáveis e elimine todas menos uma da expressão.

Exemplo 3. Encontre o ponto sobre a parábola y2=2x mais próximo de (1, 4).  

Encontre os valores máximo ou mínimo global (absoluto) da função.

→ y3 − 8 = 0 → y = 2

Aplicando o Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos:  

f’(y) < 0 para todo y < 2 e f’(y) > 0 para todo y > 2, logo y = 2 é mínimo global (absoluto).  

Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.)  

Seja x = |CD|  

x  

Queremos descobrir quem é o x que minimiza o tempo t para atingir B.  

Precisamos percorrer duas distâncias:  

|AD| e |DB|  

t =|AD|6

+|DB|8

Lembrando que o tempo é dado por Δs/v , o tempo total é dado por:  

Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.)  

x  

t =|AD|6

+|DB|8

x = |CD|:  Se  

|AD| =�x2 + 9

|DB| = 8− x

logo,  

t(x) =

√x2 + 9

6+

8− x

8

Domínio?  

[0, 8]  

Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.)  

x  

t(x) =

√x2 + 9

6+

8− x

8

Vamos encontrar o valor x que minimiza o tempo, calculando pontos críticos e extremidades do intervalo.

x ∈ [0, 8],  

t�(x) =1

6· 1

2√x2 + 9

· 2x− 1

8=

x

6√x2 + 9

− 1

8

t�(x) = 0 →x

6√x2 + 9

=1

8→ x2

36(x2 + 9)=

1

64

→ 16x2 = 9(x2 + 9) → 7x2 = 81 → x =9√7

Exemplo 4. Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar por algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.)  

x  

t(x) =

√x2 + 9

6+

8− x

8

Extremidades:

x ∈ [0, 8],  

t(8) =

√73

6≈ 1, 42

t(9√7) ≈ 1, 33

Logo, o homem deve aportar no ponto ao sul de C.  9√7

t(0) =3

2= 1, 5

Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.  

Área do retângulo?

, y ≥ 0  

Retângulo inscrito em um semicírculo: 2 vértices no semicírculo, 2 vértices no eixo x.  

, y ≥ 0  

A(x,y) = 2xy  

 

A(x) = 2x�

r2 − x2

Domínio?  

Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.  

= 0  

Achando x que maximiza , :  

r2 − 2x2 = 0

Calculando pontos extremos:  

A(r√2) = 2

r√2

�r2 − r2

2= 2

r√2· r√

2

Extremidades do intervalo:  

A(x) = 2x�

r2 − x2

Logo, a área máxima é atingida quando e vale r2.  

Exemplo 5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.  

= 0  

Achando x que maximiza , :  

r2 − 2x2 = 0

Calculando pontos extremos:  

A(r√2) = 2

r√2

�r2 − r2

2= 2

r√2· r√

2

Extremidades do intervalo:  

A(x) = 2x�

r2 − x2

Logo, a área máxima é atingida quando e vale r2.