garopaba ² sc - profevaldo.xpg.com.br · entre o conceito de velocidade e o de aceleração. ......

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ENSINO MÉDIO

1º ANO – 2º SEMESTRE

Prof. Evaldo Botelho

GAROPABA – SC 2013

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Um outro conceito que também está ligado à idéia de movimento é a aceleração. De fato, uma das dificuldades dos

alunos que começam a estudar física é perceber qual é a diferença

entre o conceito de velocidade e o de aceleração. Do ponto de

vista qualitativo (sem usar fórmulas), podemos dizer que, assim

como a velocidade mede a rapidez com que o movimento se pro-cessa, a aceleração mede a rapidez com que a velocidade varia,

ou seja, um objeto está em movimento acelerado quando pode-

mos dizer que ele se move cada vez mais rápido. Portanto, para

que você memorize mais facilmente essa diferença, lembre-se:

Do ponto de vista quantitativo, a aceleração é uma gran-

deza física relacionada com a variação de velocidade , da se-guinte forma:

Matematicamente, temos:

Na fórmula acima, para determinar a aceleração (símbolo a),

devemos colocar a medida da variação de velocidade no lugar do

símbolo v, e a medida do tempo gasto no lugar da letra t.

Na Física o símbolo não significa nada sozinho; mas

quando vem acompanhado de outra letra é usado para representar

variação. Na maioria dos problemas com aceleração temos duas velocidades: a velocidade inicial (símbolo v1) e a velocidade final

(símbolo v2). Neste caso, a variação de velocidade v é calculada

como sendo igual a diferença (subtração) entre essas duas veloci-

dades, isto é:

v = v2 — v1

Note que, quando a velocidade está aumentando (o móvel

está “cada vez mais rápido”) temos v2 > v1, e consequentemente

a aceleração será positiva (v > 0 a > 0); por outro lado,

quando a velocidade está diminuindo (o móvel está “cada vez mais lento”) temos v2 < v1, e portanto a aceleração será negativa

(v < 0 a < 0).

Unidade de aceleração: Considere o exemplo de um automóvel que acelera de 0 a 100 km/h, no intervalo de 10 segundos. Calcu-

lando a aceleração pela fórmula acima, temos:

O resultado acima indica que o carro varia a sua velocidade em

10 km/h, a cada segundo. No entanto, a notação acima não é mui-

to conveniente porque mistura as unidades de tempo (hora e se-

gundo). Para unificar as unidades de tempo, devemos sempre expressar as velocidades em unidades S.I (metros por segundo),

como já mencionamos anteriormente. A unidade de aceleração no

S.I. é o quociente da unidade de velocidade (m/s) pela unidade de

tempo (s), e lê-se metro por segundo quadrado (m/s2).

Tradicionalmente, no primeiro ano do Ensino Médio de Física, tratamos do estudo da Mecânica. Como já dissemos

anteriormente, a Mecânica se preocupa sobretudo com as

idéias de movimento, forças e equilíbrio. O sub-ramo da

Mecânica que trata dos movimentos, sem se preocupar com as

suas causas é denominado Cinemática (do grego kinema, que significa “movimento”), e a parte que estuda os movimentos e

suas causas (as forças) com base nas leis de Newton, é deno-

minada Dinâmica (do grego dynamis, que significa “força”).

Intimamente relacionado ao estudo dos movimentos,

temos o conceito de velocidade. A noção qualitativa de veloci-dade está relacionada com a rapidez com que o movimento se

processa, e existe desde o tempo de Aristóteles. No entanto, até

a época de Galileu não se conhecia uma maneira de quantifi-

car (medir) a velocidade de um objeto. A grande sacada de

Galileu foi perceber que a velocidade pode ser calculada divi-dindo-se a distância percorrida pelo objeto pelo tempo gasto

no percurso.

Velocidade e aceleração

Como já antecipamos acima, a velocidade é definida

matematicamente como o quociente entre a distância percorri-

da pelo móvel (corpo em movimento), e o intervalo de tempo

gasto no percurso, isto é:

Isto é equivalente à fórmula:

Na fórmula acima, para determinarmos o valor da velocidade

(símbolo v) do móvel, colocamos a medida da distância per-

corrida no lugar da letra d, e o valor do tempo gasto no lugar

da letra t.

Como já comentamos na introdução, as medidas de velocidades misturam distâncias e tempos, e portanto suas

unidades devem combinar unidades de distância com unidades

de tempo. Por isso, a unidade de medida da velocidade no S.I. é

o metro por segundo (m/s). Outras unidades de velocidade

bastante usadas, especialmente nos automóveis, são o quilôme-tro por hora (km/h), e a unidade equivalente nos países de lín-

gua inglesa, a milha por hora (mi/h).

Muitas vezes, no entanto, é necessário mudar de unida-

des. Isso é fundamental para compararmos velocidades que

estão medidas em unidades diferentes. Na prática usa-se um “macete” (dica) para efetuar a conversão de km/h para m/s:

basta dividir por 3,6. Para entender de onde vem isso, veja a

questão abaixo:

Qual carro está correndo mais, um que está a 25 m/s

ou outro que corre a 60 km/h?

Fazendo as contas:

1 km = 1000 metros

1 h = 3600 segundos

Portanto, ao invés de transformar separadamente de quilôme-

tros para metros e de horas para segundos, basta dividir direta-

mente a medida em km/h (no nosso exemplo é o 60) por 3,6

para achar o valor da velocidade em metros por segundo.

Capítulo 5: Força e movimento

tempo

distânciavelocidade

t

dv

m/s16,7 3,6

60

s 3600

m 60.000

h 1

km 60km/h 60

LEMBRE-SE:

km/h m/s: dividir por 3,6;

m/s km/h: multiplicar por 3,6.

velocidade: rapidez com que o corpo se movimenta aceleração: rapidez com que a velocidade muda

t

Δva

tempo

velocidade de variaçãoaceleração

s

km/h 10

s 10

km/h 100

t

Δva

Exercícios de Fixação 1. Determine a velocidade de um trem que percorre 80 km em 30 minutos:

A) dê o resultado em km/h; B) dê o resultado em m/s

2. Um esquiador das olimpíadas de inv erno, saltou a distância de 105 metros,

em 4 segundos. Qual era sua v elocidade (em km/h) no momento do salto? 3. Em 10 segundos a velocidade de um carro aumentou de 20 km/h

para 120 km/h. Determine a aceleração do carro. 4. Um avião parte do repouso, e após 50 segundos atinge a velocida-

de de 180 km/h. Qual é a aceleração do av ião? 5 Um carro está a 90 km/h, quando o motoris ta pisa no freio, e o carro

para após 5 segundos. Determine a desaceleração (aceleração

negativa) sofrida pelo carro, durante a freada.

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Tipos de movimentos

Os movimentos normalmente são classificados, de acordo

com o modo como a velocidade varia, e em alguns casos especi-

ais, de acordo com a forma da trajetória (caminho) percorrida

pelo móvel. Quanto à velocidade, os movimentos podem ser unifor-

mes (MRU), uniformemente variados (MRUV), onde a velocida-

de varia uniformemente, mas a aceleração é constante, e movi-

mentos com velocidade e aceleração varáveis, como por exemplo,

o movimento harmônico simples (MHS), que consiste no movi-mento de vai-e-vem, onde os valores da velocidade e da acelera-

ção “oscilam” (ex: movimento de um pêndulo).

Quanto à trajetória, os movimentos podem ser retilíneos

(trajetória reta) ou curvilíneos (trajetória curva). Entre os tipos

especiais de movimentos curvilíneos, destacamos o movimento circular uniforme (MCU), caracterizado por uma trajetória circu-

lar e velocidade constante.

Na tabela abaixo, organizamos alguns tipos de movimen-

to “puros”, conforme os critérios acima:

Em outros casos, temos movimentos que são combina-

ções de movimentos puros. Assim por exemplo, o movimento de

um projétil (trajetória parabólica) resulta da combinação de um

MRU na direção horizontal (eixo x) com um MRUV na direção vertical (eixo y). Da mesma forma, a trajetória descrita no ar

pelas extremidades das hélices de um avião em movimento

(trajetória helicoidal) resulta da combinação de um MRU

(movimento de translação do avião) com um MCU (movimento

de rotação da hélice). Na tabela abaixo, apresentamos algumas características

destes movimentos compostos:

Movimento retilíneo uniforme

Certamente o tipo de movimento mais simples consiste no caso em que a velocidade é constante e a trajetória é uma reta;

este tipo de movimento é denominado movimento retilíneo uni-

forme (MRU), e é caracterizado pelo fato de que a distância

percorrida pelo móvel é diretamente proporcional ao tempo gasto

no percurso. Assim sendo, uma vez conhecendo a velocidade do móvel, podemos determinar a distância percorrida ou o tempo

gasto, por simples regra de três. Alternativamente, podemos usar

a fórmula:

d = v.t

Na fórmula acima, a letra d representa a distância percorrida, a letra v representa a velocidade do móvel, e a letra t é o tempo

gasto no percurso.


Exercícios de Fixação

1. Um estudante vai de sua casa até a escola em 30 min, com veloci-dade de 0,8 m/s. Qual é a distância entre a sua casa e a escola?

2. Um avião supersônico desenvolve uma velocidade de 1200 km/h.

Qual a dis tância percorrida pelo av ião, em 1 minuto de vôo? 3. Um carro anda 160 km com um velocidade de 80 km/h. A) Qual foi o tempo gasto no percurso? B) Qual será a dis tância percorrida pelo carro, em um percurso de 5

horas? 4. Um automóvel percorre o trecho Garopaba-Florianópólis (80 km)

com velocidade de 100 km/h. Quanto tempo ele gasta para chegar na metade do percurso?

Movimento retilíneo uniformemente variado

Outro tipo de movimento relativamente simples, é o caso do

movimento retilíneo onde a velocidade é variável, porém varia de maneira uniforme, isto é, a velocidade aumenta (ou diminui) sem-

pre na mesma taxa. Em outras palavras, neste tipo de movimento a

aceleração é constante (seu valor nunca muda), como acontece

com o movimento de queda dos corpos sem resistência do ar. Este

tipo de movimento é denominado movimento retilíneo unifor-memente variado (MRUV), e é caracterizado pelo fato de que a

velocidade do móvel é diretamente proporcional ao tempo, en-

quanto a distância percorrida é proporcional ao quadrado do

tempo gasto no percurso. Como a velocidade varia como tempo no MRUV, então a

cada instante temos uma velocidade diferente. Para calcular a

velocidade do móvel em um dado instante, usamos a fórmula co-

nhecida como função horária da velocidade:

v = v0 + a.t Na fórmula acima, devemos colocar o valor da velocidade (em

metros por segundo) no lugar da letra v, o valor da velocidade

inicial do móvel no lugar do símbolo v0, o valor da aceleração no

lugar da letra a, e o tempo gasto (em segundos) no lugar da letra t.

Exemplo: Um carro acelera de 0 a 90 km/h, no intervalo de tem-

po de 10 segundos.

A) Qual a velocidade do carro após 5 segundos?

B) Quanto tempo o carro leva para aumentar a velocidade de 0

a 72 km/h?

Resolução: Inicialmente precisamos calcular a aceleração do carro. Para isso, expressamos a variação de velocidade em m/s:

v = 90 km/h = 90 : 3,6 = 25 m/s e então, usamos a fórmula de definição da aceleração:

A) Para determinarmos a velocidade após 5 segundos, usamos a fun-ção horária da velocidade: v = v0 + a.t = 0 + 2,5 . 5 = 12,5 m/s

B) Neste caso, fazendo a transformação de velocidades: v = 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s e substituindo na função horária da velocidade, temos: 20 = 0 + 2,5 . t

20 0 = 2,5 . t

Note que antes de substituir nas fórmulas, é necessário transfor-mar as velocidades de km/h para m/s. Portanto, lembre-se que nas fórmulas do MRUV não se pode usar velocidades em km/h!

Tipo de Movimento

Velocidade

Aceleração

Trajetória

MRU constante zero retil ínea

MRUV variável constante retil ínea

MCU constante zero circular

MHS variável variável vai-e-vem

Tipo de

Movimento

Composição do

movimento

Velocidade

Aceleração

Movimento de projéteis

MRU + MRUV

vx = const vy= variável

ax = 0 ay = const.

Movimento da hélice de

um avião

MRU + MCU

vTRNSL.= const vROT = const.

aTRNSL. = 0 aROT = 0

Trajetória

parabólica

helicoidal

2m/s 2,5 10

25

t

Δva

segundos 8 t t 2,5

20

4

Calculando a distância no MRUV

Quando o movimento se processa sempre com a mesma

velocidade (MRU), a distância percorrida pelo móvel, é dada

pelo produto da velocidade pelo tempo gasto no percurso, como já discutimos na página anterior.

No caso dos movimentos com velocidade variável e ace-

leração constante (MRUV), também podemos usar uma fórmula

similar:

No entanto, na fórmula acima devemos lembrar que a velocida-

de que entra na fórmula é a média aritmética:

onde v0 é a velocidade inicial (velocidade no instante t=0) e v é a

velocidade final (velocidade no fim do percurso), que pode ser

calculada através função da horária da velocidade.

Alternativamente, se quisermos evidenciar a dependência

da distância com o quadrado do tempo, basta substituir a expres-são da função horária da velocidade no lugar de v, o que resulta

na expressão conhecida como função horária da distância:

Estudo gráfico dos movimentos

Na maioria dos livros de Física (e nos testes de vestibular

ou do ENEM) é muito comum aparecerem problemas de Cine-

mática na forma de gráficos ou tabelas, especialmente da veloci-

dade como função do tempo. Neste tipo de gráfico, segmentos

horizontais indicam MRU (a velocidade correspondente pode ser lida no eixo vertical), segmentos inclinados representam MRUV,

e curvas propriamente ditas indicam movimento com velocidade

e aceleração variáveis. É importante observar que em qualquer

um desses gráficos, o valor da distância percorrida pelo móvel é

igual à área sob a curva, para um determinado intervalo de tem-po.

Para entendermos melhor, vamos analisar em detalhes

dois casos particulares:

1) MRU com velocidades diferentes: No gráfico da figura ao lado queremos descobrir a velocidade média desenvolvida no

percurso total. Para isso, inicialmen-

te separamos o problema em dois

trechos distintos; em cada um dos

trechos o móvel se desloca em MRU com uma velocidade diferente. Usan-

do os dados da figura ao lado temos:

Trecho 1: Neste trecho a velocidade é

de 20 km/h, e o tempo gasto é de 3

horas. A distância percorrida neste trecho é igual à área do retângulo da

esquerda:

d1 = base x altura = 3 . 20 = 60 km

Trecho 2: Este trecho corresponde ao retângulo da direita, cuja

“base” (tempo gasto) mede 5-3=2 segundos. A distância percorri-da nesse trecho é igual a área do retângulo:

d2 = base x altura = 10 . 2 = 20 km

A distância total é igual à soma d1+d2 = 80 km, e o tempo total

gasto pode ser lido diretamente do gráfico (t=5 horas). A veloci-

dade média (vM) no percurso todo é calculada como:


2) MRUV com acelerações diferentes: Nesse caso, estamos interessados em calcular a distância

total percorrida pelo móvel. Neste

tipo de gráfico, a inclinação repre-

senta a aceleração, e portanto temos

acelerações diferentes em cada tre-cho do percurso. No entanto, para

calcular a distância total percorrida

não é necessário conhecer as acele-

rações; ao invés disso, basta calcular

o valor da área sob a curva (triângulo sombreado).


1. Um carro parte do repouso (v 0=0), e adquire no fim de 8 segundos,

a velocidade de 40 m/s. Qual a dis tância percorrida nesse intervalo de tempo?

2. Um veículo parte do repouso, com aceleração de 2 m/s2. Qual a velocidade e a dis tância percorrida após 5 segundos?

3. Um carro parte do repouso, e atinge a velocidade de 36 km/h em 5 segundos. Determine a aceleração, a velocidade e a dis tância percorrida nos 5 segundos.

4. Durante uma de suas caçadas, a velocidade de um leão varia de 36 km/h para 90 km/h em 5 segundos. Calcule a aceleração e a distância percorrida no intervalo de tempo de 5 segundos.

5. (Unimar-SP) Um automóvel, com velocidade inicial de 10 m/s, acelera sua marcha a uma taxa de 1,0 m/s2. A distância percorrida após 6 segundos é igual a:

A) 18 m; B) 42 m; C) 60 m; ) 63 m; e) 78 m; 6. (Fuvest-SP) Um veículo acelera, a partir do repouso, com acele-

ração de 2 m/s2. A velocidade após 3,0 segundos será: A) 6 m/s; B) 3 m/s; C) 12 m/s; D) 2,0 m/s; 7. No problema anterior, a dis tância percorrida será: A) 9 m; B) 18 m; C) 12 m; D) 36 m; 8. (DESAFIO) Uma partícula parte do repouso, e com aceleração

constante (MRUV) percorre 18 metros nos primeiros 3 segundos. Aos 4 segundos sua velocidade será:

A) 16 m/s; B) 12 m/s; C) 10 m/s; D) 8 m/s; E) 6 m/s; Com base no gráfico mostrado ao lado, e no exemplo mostrado no texto, res-ponda as questões abaixo: 9. (UFES) Um automóvel percorre

metade de sua trajetória com veloci-dade v1=20 km/h, e a outra metade com com veloc idade v2=30 km/h. A velocidade média (em km/h) no percurso total é:

A) 28; B) 26; C) 24; D) 22; E) 20; 10. (U. Católica de Salvador-BA) Um carro v iaja entre duas cidades

com velocidade constante. Na v iagem de ida a velocidade é v 1=60 km/h, e na volta a velocidade é v 2=90 km/h. A velocidade média (em km/h) no percurso total é:

A) 76; B) 74; C) 72; D) 70; E) 68; 11. Quanto mede a distância entre as duas cidades, para o caso do

problema 10? 12. Usando a relação área = (base x altura)/2, descubra o valor da

distância total percorrida, para o problema representado pelo gráfico (triângulo sombreado) mostrado no alto da página.

2

vvv

0

tvd

2

ta t vd

2

0

km/h 16 h 5

km 80

totaltempo

totaldistânciavM

5


Exemplos

1. Uma pedra cai de um certa altura, e leva 2 segundos para

atingir o solo. Calcule a velocidade com que a pedra atin-

ge o solo, e a altura de onde ela caiu.

Resolução: Para achar a velocidade basta substituir t=2 segundos, v0=0 e a=10 m/s2 na função horária da velocidade: v = v0 + a. t = 0 + 10 . 2 = 20 m/s

Para determinar a altura de queda, usamos o resultado acima na equa-ção de Torricelli ( v2=v0

2 + 2.a.h):

2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velo-

cidade de 30 m/s. Calcule a altura máxima atingida pela

pedra, e o tempo gasto na subida. Resolução: No ponto de altura máxima a velocidade é zero (v=0). Assim, substituindo v=0, v0=30 m/s, e a=−10 m/s, na equação de Torricelli, obtemos a altura máxima: Além disso, usando esses valores na função horária da velocidade ( v=v0+a.t), achamos o tempo de subida:

Exercícios de fixação 1. Um corpo é abandonado de uma altura de 78,4 metros em relação

ao solo. Desprezando a resis tência do ar, calcule: A) o tempo de queda do corpo; B) a velocidade no ins tante em que o corpo atinge o solo. 2. Uma pedra cai de uma certa altura, e atinge o solo em 3 segun-

dos. Determine a velocidade com que a pedra atinge o solo, e a altura de onde ela caiu.

3. Uma gota de chuva cai de uma altura de 245 metros. Desprezan-

do a resis tência do ar, determine a velocidade com que a gota chega ao solo, e o tempo que ela leva para cair.

4. Suponha que a maior velocidade com que um gato pode atingir o

solo, sem se machucar, seja de 8 m/s. Qual deve ser altura máxi-ma de onde o gato pode saltar, sem se machucar?

5. Um projétil é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 20 m/s.

Determine a altura máxima que o projétil atinge; o tempo que ele gasta na

subida, e o tempo total para subir e descer.

6. (Supra-SC) Um caçador dispara um projétil de seu revólver calibre 38, verticalmente para cima, atingindo a altura de 4500 metros acima do ponto de disparo. Desprezando a res istência do ar, deter-mine a velocidade com que a bala saiu do cano do revólver. Quan-to vale essa velocidade em km/h?

7. (DESAFIO) Considerando a velocidade do som igual a 320 m/s,

deixa-se cair uma pedra em um poço, ouv indo-se o som do choque contra o fundo 4,25 segundos após ter-se soltado a pedra. Qual é a profundidade do poço?

A) 40 m; b) 80 m; c) 120 m; d) 160 m; d) n.d.a Dica: O tempo total é igual ao tempo de queda da pedra (tQUEDA) mais o tempo que o som leva para alcançar o ouvido do observa-dor (tSUBIDA). Você pode resolver por tentativas (chutando valores para o tempo de queda da pedra: 1, 2, 3, ... segundos), fazendo tSUBIDA = 4,25—tQUEDA, e testando até que se verifique a igualdade: distância percorrida pelo som = altura de queda da pedra

(MRU) (MRUV)

Queda livre e lançamento de projéteis

Desde a Grécia antiga até os dias de hoje, o homem se

pergunta a respeito de como se dá o movimento de queda dos

corpos perto da superfície da Terra. Uma teoria satisfatória

começou a ser construída pelo sábio italiano Galileu Galilei

(1564-1642). Observando que a rapidez de um corpo em queda livre aumenta conforme o corpo vai se aproximando do solo,

Galileu quis saber que lei da matemática governa esse movi-

mento. No entanto, a queda livre dos corpos se dá com dema-

siada rapidez para que pudesse ser estudada sem o auxílio de

equipamentos modernos, como na época de Galileu. Apesar disso, o sábio italiano, pai do chamado método

experimental, criou uma experiência em que se pudesse verifi-

car se um corpo mais “pesado” caía mais rápido do que um

corpo mais “leve”, e chegou a conclusão de que, quando a

resistência do ar pouco influi: “Corpos diferentes soltos da mesma altura, atingem o chão ao mesmo tempo”.

Nos dias de hoje, com auxílio de uma lâmpada especi-

al, chamada “estroboscópica”, que pisca em intervalos de tem-

po bem definidos (30 vezes por segundo), pode-se verificar por

meio de experimentos, que os corpos em queda nas proximida-des da superfície da Terra, aumentam sua velocidade em apro-

ximadamente 10 m/s, a cada segundo, ou seja, são acelerados

numa taxa de aproximadamente 10 m/s2, devido ao efeito da

força da gravidade que a Terra exerce sobre eles. Esta acelera-

ção é denominada aceleração da gravidade (símbolo g), e seu valor obtido experimentalmente é g=9,8 m/s2.

O movimento de um corpo largado de uma certa altura

é denominado queda livre, quando desprezamos os efeitos da

resistência do ar. Este tipo de movimento constitui um caso

especial de MRUV, onde o movimento se processa na direção vertical, com aceleração a=10 m/s2. Nesse caso, como o corpo

é largado em repouso, consideramos que a velocidade inicial é

nula (v0=0), e a posição do corpo em cada instante corresponde

a altura do corpo em relação ao solo (símbolo h, do inglês hei-

ght, que significa “altura”). Um outro movimento que se passa na direção vertical é

o caso em que um corpo é disparado verticalmente para cima ,

o que chamamos de lançamento vertical. Nesse caso, é con-

veniente separar o processo completo (subida+descida) em

duas etapas, como mostra o esquema abaixo:

Em ambos os casos, seja queda livre ou lançamento

vertical, podemos calcular a velocidade do corpo em qualquer

instante usando a função horária da velocidade no MRUV:

v = v0 + a.t Por outro lado, combinando a função horária da veloci-

dade (equação acima) com a função horária da distância (ou

posição) citada na coluna da esquerda da página anterior (e

trocando a letra d de distância, pelo símbolo h da altura), ob-

tém-se a expressão conhecida como equação de Torricelli: v2 = v0

2 + 2.a.h

Como não estamos levando em conta a resistência do

ar, para qualquer que seja altura, valem as relações:

tempo de subida = tempo de descida velocidade na subida = velocidade na descida

MRUV para o movimento vertical

Na subida: velocidade inicial = velocidade de lançamento

velocidade final: nula (velocidade no ponto de altura máx ima)

aceleração: negativa (a= −10 m/s2)

Na descida: velocidade inicial : nula (repouso)

velocidade final: velocidade de lançamento aceleração: positiva (a = 10 m/s2)

202= 02+2.10.hh=40020

= 20m

02= 30

2− 2.10.hh=

900

30= 30m

0= 30− 10.tt=30

10= 3s

6


Resolução: Do gráfico obtemos que as coordenadas do vértice da parábola, e o ponto em que a curva parábola toca o eixo vertical: X = 5; Y = 50; Y0 = 0; A) A aceleração da grav idade do planeta é igual ao valor da acelera-

ção do corpo (sem o sinal de menos):

B) A velocidade com que o corpo foi lançado para cima é igual à veloci-

dade inic ial (v0):

C) O tempo que o corpo gasta até atingir a altura máxima (tempo de

subida) pode ser lido diretamente do gráfico. Temos: tSUBIDA = X = 5 segundos D) Do gráfico vemos que no instante t=7 segundos, o corpo passa pela

posição de 42 metros, isto é, o corpo está a uma altura de 42 metros acima do solo.

E) O tempo que o corpo leva para voltar ao solo (subida+descida) é igual ao dobro do tempo de subida:

t SUBIDA+DESCIDA = 2×tSUBIDA = 10 segundos

2. Um objeto lançado para cima na superfície de um certo

astro, tem seu movimento descrito pelo gráfico velocida-de x tempo, mostrado na figura abaixo:

A) Qual é a velocidade com

que o objeto foi lançado?

B) Determine a aceleração da gravidade do astro.

C) Quanto tempo o objeto

gasta até atingir a altura

máxima?

D) Determine altura máxi-ma que objeto pode

alcançar.

E) Quanto tempo objeto

gasta até voltar ao chão?

Resolução: Nesse caso, podemos obter a veloc idade inicial e a coor-denada X (abscissa) do vértice diretamente do gráfico. A) A velocidade com que o objeto foi lançado para cima é igual à velo-

cidade inic ial, cujo valor é igual ao ponto em que o gráfico “toca” o eixo vertical, isto é:

v0 = 9 m/s; B) A aceleração da grav idade do planeta é igual ao valor da acelera-

ção do corpo (sem o sinal de menos): C) O tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima (tempo de

subida) é igual ao valor da coordenada X do vértice: tSUBIDA = X = 3 segundos D) A altura máxima que o objeto pode alcançar é igual ao valor da

coordenada Y do vértice, a qual pode ser obtida pela relação: E) O tempo que o corpo leva para voltar ao solo (subida+descida) é igual ao dobro do tempo de subida: t SUBIDA+DESCIDA = 2×tSUBIDA = 6 segundos

Estudo gráfico do MRUV

Em muitos casos, especialmente quando a velocidade vari-

a, as situações de movimento são descritas através de gráficos: posição x tempo ou velocidade x tempo. Em particular, para o

caso do MRUV na vertical (queda livre ou lançamentos), o uso

de gráficos pode ser bastante útil.

1. Gráfico posição x tempo Em um gráfico posição x tempo do MRUV, os valores da

velocidade inicial e da aceleração podem ser obtidos a partir

das coordenadas do vérti-

ce da parábola que repre-

senta a função horária da posição. Na figura ao lado,

as coordenadas do vértice

são representadas pelo par

ordenado (X,Y), enquanto

Y0 representa o ponto em que a parábola corta o eixo

vertical. Os valores da

aceleração e da velocidade

inicial são dados pelas

relações:

2. Gráfico velocidade x tempo

Se ao invés do gráfico posição x tempo, tivermos um gráfi-

co velocidade x tempo, podemos obter a velocidade inicial e a

coordenada X (abscissa) do vértice diretamente do gráfico.

Nesse caso, a velocidade inicial é o ponto em que o gráfico “toca’ o eixo vertical, enquanto a coordenada X do vértice é

o ponto em que o gráfico “toca” o eixo horizontal. Conhecen-

do esses valores, podemos determinar a aceleração:

Em particular, em problemas de lançamento de projéteis a

partir do solo, a parábola toca o eixo vertical no ponto zero

(Y0=0). Nesse caso, a coordenada Y do vértice indica a altura máxima atingida pelo corpo, e a coordenada X do vértice re-

presenta o tempo de subida (isto é, o tempo que o corpo gasta

até atingir a altura máxima). Temos então as relações:

Exemplos 1. Um corpo lançado para cima em um certo planeta, tem

seu movimento é descrito pelo gráfico da figura abaixo:

A) Qual é a aceleração da

gravidade do planeta?

B) Com que velocidade o corpo foi lançado para

cima?

C) Quanto tempo o corpo

gastou até alcançar a

altura máxima? D) Qual a posição

(altura) do corpo, no

instante t=7 segundos?

E) Quanto tempo o corpo

gasta para voltar ao solo?

v0= 2(Y− Y 0)

Xa=− 2

(Y − Y 0)

X2

a=−v0

X

a=− 2(Y − Y 0)

X2

=− 2(50− 0)

52

= − 4m/ s2

v0= 2(Y − Y 0)

X= 2

(50− 0)

5= 20m / s

tSUBIDA= XhMAX = Y=

v0 X

2

a=v0

X=

9

3= 3m / s

2

hMAX =v0 X

2=

9× 3

2= 13,5m

7

Forças: as causas do movimento

Os movimentos e suas causas foram, sem duvida

nenhuma, os primeiros fenômenos de nosso mundo fís ico a

serem investigados pelo homem, e as primeiras indagações remontam às antigas civilizações da Asia Menor.

No século IV a.C., na Grécia Antiga, Aristóteles de-

senvolveu uma visão cosmológica em que relacionava idéias

hoje discutidas separadamente em diversas áreas do conheci-

mento, como ciência, política, ética, poesia e teologia. Suas idéias mostraram-se de grande valia em muitas áreas, mas suas

teorias físicas tinham limitações. Além disso, ele não usava a

Matemática para descrever os fenômenos naturais, entre os

quais os movimentos. Mesmo assim, a concepção de Aristóte-

les permaneceu aceita por cerca de 2000 anos, até a época do Renascimento.

O Renascimento trouxe consigo uma nova arte, uma

nova música e novas idéias acerca do universo e do papel do

ser humano dentro dele. A curiosidade e as atitudes questiona-

doras tornaram-se aceitáveis e até mesmo valorizadas. Foi então que alguns pensadores como Galileu Galilei e Isaac

Newton, começaram a reconhecer o uso da Matemática para

analisar e descrever os fenômenos naturais.

O sábio italiano Galileu Galilei (1564-1642) mostrou

como descrever o movimento de objetos ordinários, como uma bola rolando por uma rampa. Seu modo de pensar, o uso que

fez da Matemática, e a confiança depositada nos resultados

obtidos experimentalmente lançaram as bases da ciência mo-

derna.

Inspirado nas idéias de Galileu, o inglês Isaac Newton (1642-1727), conseguiu elaborar leis que permitem lidar com

toda a variedade de situações envolvendo forças e movimen-

tos, descrevendo as causas dos movimentos como interações

(forças) que agem entre os objetos. Cada interação representa

uma força diferente, que depende das diferentes condições em que os objetos interagem. Mas obedecem aos mesmos princí-

pios elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos como

Leis de Newton.

Hoje sabemos que as causas dos movimentos estão

diretamente ligadas a um conceito essencial na Física, o con-ceito de força. Temos intuitivamente a idéia do que é força

toda vez que puxamos ou empurramos um objeto. Além dis-

so, a aplicação de uma força pode movimentar uma objeto

parado (em repouso), assim como pode parar um objeto em

movimento. As forças surgem da interação entre os objetos, e as

formas pelas quais os objetos interagem uns com os outros são

muito variadas. A interação entre uma raquete e uma bolinha

de pingue-pongue, por exemplo, é diferente da interação entre

uma lixa e uma parede, ou entre um imã e um alfinete. De modo geral, quando ocorre contato entre os objetos, as forças

envolvidas são chamadas de forças de contato. Por outro

lado, como no caso do exemplo imã-alfinete, a interação

(atração) ocorre à distância, sem necessidade de haver contato

físico entre os dois corpos, e neste caso, as forças são denomi-nadas de forças de campo.

As forças de contato aparecem em situações como

batidas, pancadas, espetadas, ou simplesmente quando um

corpo se apóia sobre o outro (forças de reação normal), em

arranhões, esfregadas, deslizamentos (forças de atrito) ou quando um objeto se movimenta dentro de um líquido ou gás

(forças de resistência). Na tabela da coluna ao lado, esque-

matizamos a classificação dos diversos tipos de forças.

Importante: Do ponto de vista microscópico, todas as forças

de contato são descritas em termos de forças de campo. Geralmente elas são o resultado da interação eletromagnética (à distância) entre os átomos e moléculas das super fícies que estão em contato macroscópico.

As forças que atuam à distân-cia são produzidas devido a ação de

um coisa chamada campo. No estudo

da Mecânica, vamos nos preocupar

somente com os efeitos do campo

gravitacional sobre os objetos. O cam-po gravitacional (ou simplesmente

gravidade), aparece ao redor dos

corpos, devido à sua massa, mas seu

efeito só pode ser percebido se o corpo

possuir uma massa imensa, como a Terra, o Sol, a Lua, ou um outro astro qualquer. Quando um objeto qualquer está mergulha-

do em um campo gravitacional , sofre a ação de uma força deno-

minada força peso, como vamos discutir mais adiante.

Força elástica Em situações nas quais os objetos podem ser considera-

dos elásticos, como é o caso de uma mola ou de um elástico

propriamente dito, é possível determinar o valor da força de uma forma bastante simples. Imagine, por exemplo, um menino pu-

xando o elástico de um estilingue. Quanto mais o garoto puxa a

borracha, maior é a força que ele tem de fazer parar mantê-la

esticada. Esse fato revela uma importante relação entre a força

aplicada e deformação do elástico. Na medida em que o elástico é puxado, seu comprimento

aumenta, e a força por ele também aumenta. De

fato, verifica-se que:

Obs: a força elástica atua sempre no sentido

contrário ao da deformação (alongamento)!

As conclusões acima podem ser expres-sas em termos matemáticos, através da fórmula:

F = -k.x Na fórmula acima, a letra F representa a força

elástica, a letra x representa o quanto a mola

(ou elástico) foi deformada, e a letra k repre-

senta uma constante de proporcionalidade de-

nominada constante elástica da mola, a qual depende do material que é feita a mola (ou

elástico); o sinal menos (-) indica que a força

atua no sentido contrário à deformação.

Na figura acima, o deslocamento

para baixo é proporc ional ao peso. Portanto, podemos usar esse desloca-

mento como uma medida da força-peso, e também de outras forças.

Balança de peixeiro O instrumento usado para medir forças é denomina-

do dinamômetro, conhecido popularmente como “balança de peixeiro” (figura ao lado).

O dinamômetro consta basicamente de uma mola prev iamente calibrada, que, submetida à aplicação

de uma força (geralmente o peso de um objeto pendurado), sofre uma deformação. Conhecendo-se a deformação sofrida pela mola, pode se obter a

intensidade da força aplicada. Quando é usado como balança, o dinamômetro

possui um escala graduada em gramas, quilogra-mas ou outra unidade de massa.

nêutron)-próton (ligação nuclear

químicas) (ligações éticaeletrom agn

astros) entre (atração nalgravitacio

cam po de forças

aresistênci de forças

atrito de forças

norm al reação de forças

contato de forças

Forças


8

Galileu versus Aristóteles

As relações entre forças e movimentos tem sido objeto de estudo desde a Antiguidade. O fi lósofo grego Aris tóteles (384-322 a.C.), por exemplo, acreditava que um corpo só poderia permanecer em movi-mento se ex istisse uma força atuando sobre ele: “Se um corpo estivesse em repouso, e uma força agisse sobre o ele,

então o corpo se poria em movimento; mas cessando a ação da força, o corpo voltaria ao repouso”.

As afirmações da Aris tóteles podem parecer corretas à primeira v ista, pois, em nossa experiência diária, vemos que os objetos, de um modo geral, só se encontram em movimento quando estão sendo puxa-dos ou empurrados. Um livro empurrado sobe uma mesa, de fato, pára imediatamente quando se deixa de empurrá-lo. Durante toda a Idade Média, as idéias de Aristóteles foram acatadas sem que se tenha feito uma análise mais cuidadosa em torno delas. As críticas às teorias aris totélicas, como dissemos na introdução deste capítulo, só surgiram com Galileu, no século XVII. Introduzindo o método experimental para o estudo dos fenôme-nos físicos, Galileu realizou uma série de experiências que o levaram a conclusões diferentes daquelas de Aristóteles. Estudando uma esfera em repouso sobre uma superfície hori-zontal, Gali leu observou que, empurrando-a com uma certa força, ela entrava em movimento. Entretanto, a esfera continuava a se mover, percorrendo uma certa dis tância, mesmo depois que ele deixava de empurrá-la. Assim, Galileu verificou que um corpo podia estar em movi-mento sem a ação de uma força que o empurrasse. Repetindo a experiência, usando uma superfície horizontal mais lisa, ele observou que o corpo percorria uma distância maior após cessar a ação da força. Baseando-se em uma série de experiências semelhantes, Galileu concluiu que o corpo parava, após cessado o empurrão, em v irtude da ação do atrito entre a superfície e o corpo, cujo efeito seria sempre o de retardar o seu movimento. Assim, se fosse possível eliminar totalmente a ação do atrito, o corpo continuaria a se mover indefinidamente, sem nenhum retardamento, is to é, em movimen-to retil íneo uniforme (MRU). Generalizando suas conclusões, Galileu chegou ao seguinte resultado: “Se um corpo estiver em repouso, é necessário a ação de uma força

para coloca-lo em movimento; uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das forças que agem sobre o corpo, ele continuará

a se mover indefinidamente com velocidade constante”.

1a Lei de Newton: Princípio da Inércia

“Quando é difícil parar”

Até a época de Galileu, acreditava-se como Aristóte-les, que uma força era necessária para manter um objeto em

movimento, ao longo de um plano horizontal. Galileu realizou

várias experiências para analisar o movimento dos corpos, e

concluiu que, se um corpo estiver em repouso, é necessária a

ação de uma força para colocá-lo em movimento; por outro lado, uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das

forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente em

linha reta, com velocidade constante. Baseado nessas conclu-

sões, Newton enunciou a sua 1a Lei, conhecida como Princí-

pio da Inércia. O Princípio da Inércia, está presente em muitas situa-

ções do cotidiano, como por exemplo, quando as pessoas via-

jam na carroceria de um cami-

nhão. Se o caminhão, que

estava parado, sair em dispara-da: todos serão jogados para

trás, como na figura ao lado.

Também os cavaleiros,

ao saltar obstáculos com seu

cavalo, podem encontrar difi-culdades, quando o cavalo vem

em disparada e refuga na hora

do salto: o cavaleiro vai para o

outro lado, mas sem o cavalo.

As constatações acima

constituem a essência da 1a

Lei de Newton ou Princípio

da Inércia, que pode ser

enunciada assim:

Aplicações do princípio da inércia

1. Equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico: Conforme a descrição no balão explicativo acima, a expressão “um corpo

livre da ação de forças” equivale a dizer que a resultante da

soma das forças que atuam sobre ele é nula. Nesse caso, de

acordo com a 1a Lei de Newton, o corpo estará em repouso ou

em movimento retilíneo uniforme, e quando isto ocorre dize-mos que o corpo está em equilíbrio.

Há dois tipos básicos de equilíbrio:

A) Equilíbrio estático: Quando a velocidade é constan-

temente nula com o passar do tempo, ou seja, o corpo esta em REPOUSO.

B) Equilíbrio dinâmico: Quando a velocidade é cons-

tante e não-nula, com o passar do tempo, ou seja, o

corpo está em movimento retilíneo uniforme (MRU).

2) O conceito de inércia e os referenciais: O conceito físico

de inércia está ligado à propriedade geral da matéria, de resistir a

qualquer variação em sua velocidade; um corpo em repouso ten-

de, por inércia, a continuar em repouso; um corpo em movimento tende, por inércia, a continuar em movimento retilíneo uniforme.

Assim, como descrito nos exemplos da coluna anterior,

quando o carro parte, os passageiros, por inércia sentem-se atira-

dos para trás (em relação ao carro); quando o cavalo pára diante

de um obstáculo, por inércia, o cavaleiro é atirado para a frente. Em ambos os casos, isto ocorre porque o corpo tende a manter o

seu estado de movimento.

Observe que o estado de movimento (repouso, MRU,

movimento acelerado, etc.) depende da escolha de um referenci-

al, isto é, de um ponto de referência, em relação ao qual o movi-mento é observado. Os referenciais em relação aos quais, vale o

Princípio da Inércia (1a Lei de Newton), são denominados refe-

renciais inerciais. Em relação a um referencial inercial, um cor-

po livre da ação de forças está em repouso ou em movimento

retilíneo uniforme. Nestes referenciais, para variar a velocidade do corpo, é necessário a ação de uma ou mais forças sobre ele.

Por outro lado, os referenciais acelerados em relação à

Terra não são inerciais. A própria Terra, em virtude de seu movi-

mento de rotação, não é um referencial inercial. Entretanto, nos

problemas comuns dos movimentos dos corpos na superfície da Terra, podemos desprezar os efeitos da rotação da Terra, e consi-

derá-la como um referencial inercial.

Corpo liv re da ação de forças significa que ou nenhuma

força age sobre ele,ou agem várias forças que se anulam

mutuamente.


9


3a Lei de Newton: ação e reação

“Quem com ferro fere, com ferro será ferido”. Esse agressivo ditado popular é muitas vezes traduzido pelo enunci-

ado da lei que provavelmente é a mais conhecida da Física: a

lei da ação e reação.

Numa interação entre objetos, as forças de ação e rea-

ção atuam ao mesmo tempo, mas uma em cada corpo, possu-indo mesma intensidade e direção, mas sentidos contrários. O

fato da força de ação agir em um objeto e a força de reação em

outro, é a idéia básica da 3a Lei de Newton:

Um exemplo bastante comum é a batida entre dois veículos: neste tipo de incidente, ambas as partes levam preju-

ízo, mesmo que um deles esteja parado, pois os dois carros

exercem forças um sobre o outro, e consequentemente se a-

massam. Da mesma forma, quando chutamos uma bola, a

força exercida pelo pé impulsiona a bola para frente, enquanto a bola também age no pé, aplicando-lhe uma força no sentido

oposto. Se não fosse assim, poderíamos chutar até uma bola de

ferro sem sentir dor.

No desenho ao lado,

esquematizamos as forças de ação e reação, quando um ho-

mem empurra uma cadeira de

rodas, com um outro sentado

nela. Observe que as forças de

ação e reação não se anulam, porque são aplicadas em cor-

pos diferentes.

Uma propriedade fun-

damental que emerge da lei da

ação e reação, é que as forças na natureza sempre aparecem

aos pares, para cada ação sem-

pre existe uma reação, de inten-

sidade igual e sentido oposto.

Exemplos de aplicações

1. Movimento de um barco: A hélice do barco ao girar, empurra a água para trás (ação). Como resultado, o barco é empurrado para a frente devido a força de reação da água sobre ele. 2. Movimento de foguetes fora da atmosfera: Os foguetes são acelerados pelo seguinte processo: um jato gasoso, resultante da queima do combustível, é expelido para trás. Pela lei da ação e reação, o foguete é acelerado para a frente devido à força de rea-ção dos gases sobre ele. Note que a atmosfera não participa do processo de ação e reação, o que permite que o foguete seja acele-rado, mesmo na sua ausência (vácuo). 3. Movimento de caminhar: Quando caminhamos, o pé empurra o solo para trás (ação), e o solo exerce no pé uma força de reação pra a frente. Essas forças trocadas pelo pé e pelo chão são forças de atrito. Se não houvesse atrito, is to é, se as superfícies fossem perfei-tamente lisas, não conseguiríamos andar. 4. Rodas de tração motora: Nas rodas de um carro, ligadas ao motor (rodas de tração motora), um sis tema de engrenagens trans-mite às rodas um movimento de rotação. Ao acelerarmos o carro, as rodas de tração empurram o solo para trás (ação), e o solo reage, exercendo nas rodas forças de reação para frente.

Questões 1. Com base no Princípio da Inércia, explique: A) Por que os passa-

geiros são empur-rados para a fren-te, quando o ôni-bus dá uma freada brusca?

B) Por que os passa-geiros são empur-rados para trás, quando o ônibus dá uma arrancada?

2. Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis? 3. A força resultante sobre um corpo é nula. O que podemos dizer a

respeito da velocidade do corpo? 4. Um pára-quedista desce verticalmente, próx imo à superfície da

Terra, com velocidade constante. Qual é a resultante da das forças que atuam sobre o conjunto homem+pára-quedas?

5. Quando um avião em vôo horizontal abandona uma bomba, por

que ela não cai verticalmente? 6. Os satélites giram em torno da Terra por causa da força de atra-

ção que a Terra exerce sobre eles, mantendo-os em órbita. O que aconteceria com os satélites, caso desaparecesse esta força?

7. Um menino está parado sobre um banco. Como já sabemos, a

Terra exerce sobre ele uma força, dev ido à grav idade. Conforme a 3a Lei de Newton, a reação dessa força será aplicada sobre:

A) O banco; B) A grav idade; C) O menino; D) A Terra; 8. Verifique se são verdadeiras, as seguintes afirmações: A) Se a cada ação corresponde uma reação igual e oposta, então

elas se anulam e o movimento é impossível. B) Uma força nunca pode aparecer sozinha; para cada força (ação)

necessariamente vai ex istir uma reação, igual e oposta, mas apli-ca em um corpo diferente.

9. Um automóvel colide com um grande caminhão carregado. Você

acha que a força exercida pelo automóvel sobre o caminhão é maior, igual ou menor que a força exercida pelo caminhão sobre o automóvel?

A força das curvas

Uma situação que você certamente já experimentou é o fato de ser empurrado “para fora”, quando está dentro de um automó-vel ou ônibus que faz uma curva. Os motoris tas de carros e mo-tos, geralmente dizem que “a curva puxa você para fora”. Na verdade trata-se de um efeito de inércia. Lembre-se que, de acor-do com o Princípio da Inérc ia, um corpo em movimento, tende a permanecer em movimento reti líneo uniforme (MRU), ou seja, movimento com velocidade constante e em linha reta. Este efeito de inércia faz aparecer uma força “fic tícia” denominada força centrífuga, que tende a “jogar” você e o veículo para fora da curva. Por isso, quando você estiver dirigindo um veículo (carro, moto, bicicleta, etc.) deve sempre lembrar que nas curvas as coisas não acontecem do mesmo jeito que nas retas, e o procedi-mento mais seguro para ev itar deslizamentos, derrapagens ou capotagens, é reduzir a velocidade (antes de entrar na curva)!

10


2a Lei de Newton

Que carro acelera mais?

A tabela abaixo mostra o desempenho de “modernos veícu-los nacionais”. Você e capaz de dizer por que uns aceleram

mais rápido do que os outros?

Você pode observar pela tabela acima, que alguns

modelos atingem mais rapidamente a velocidade de 100 km/h.

Se compararmos os dois primeiros carros, veremos que seus

motores são diferentes, mas que eles possuem a mesma massa.

Na verdade, a principal diferença entre eles é o motor, que é o responsável pela força. O segundo carro possui um motor mais

potente, o que significa que ele é capaz de exercer uma força

maior. Isso explica o menor tempo para se atingir a marca dos

100 km/h.

Por outro lado, o primeiro e o terceiro carros (Trave Plus e Paramim) tem o mesmo motor, porém seus tempos de

aceleração são diferentes. Por que será? Se você observar bem,

verá que o carro que possui maior massa é o que acelera me-

nos (maior tempo), o que nos leva a concluir que uma massa

maior provoca uma aceleração menor. Tudo isso está de acor-do como que diz a 2a Lei de Newton, também conhecida co-

mo Lei Fundamental da Dinâmica (o termo Dinâmica vem

da palavra grega dynamis, que significa “força”):

Em termos matemáticos, podemos escrever:

Na fórmula acima, F é força que atua sobre o corpo (expressa

em newtons), m é massa (expressa em quilogramas) e a é a

aceleração por ele sofrida (medida em m/s2). A relação acima é válida também para o caso em que o corpo está sujeito à

ação de várias forças. Neste caso, as forças devem se somar

vetorialmente, como veremos adiante, e o símbolo F da fór-

mula acima representa a resultante da soma das forças.

Exemplo: Um bloco de massa m=2 kg, é puxado sobre uma

mesa horizontal, por uma força horizontal F, e adquire movi-

mento retilíneo com aceleração de 6 m/s2. Considerando que o

bloco se desloca sobre uma superfície sem atrito:

A) Qual é a intensidade da força F que puxa o bloco?

B) Qual deveria ser a massa do bloco, para que a força F

produza uma aceleração de 5 m/s2?

Resolução: Para resolver o problema devemos aplicar a Lei Funda-mental da Dinâmica, ao movimento do bloco. A) Como a única força que atua na direção do movimento é a força

horizontal F, temos: F = m•a = (2 kg)•(6 m/s2) = 12 kg•m/s2 = 12 N

B) Nesse caso temos:

F = m•a 12 = m•5 m = 12÷5 = 2,4 kg

Massa ou peso? Você já teve ter observado que é mais difícil empurrar

(ou parar) um caminhão do que um automóvel, porque o cami-

nhão tem maior inércia, ou seja, a tendência do caminhão em manter o seu estado de repouso ou movimento é maior do que a

do automóvel, que é mais leve. Esse tipo de comparação leva à

conclusão de que a inércia de um corpo depende da sua massa: o

corpo com maior massa tem mais inércia.

No entanto, o conceito de massa é comumente confundi-

do com o termo “peso”, e por isso chamamos de “pesagem” ao

ato de medir a massa na balança. Nos livros de Física (e no vesti-bular) você costuma encontrar o conceito de peso, como sendo a força que a Terra exerce sobre um corpo, devido a ação da gravi-dade, ou seja, o conceito físico de peso representa uma força, e

portanto, é diferente do conceito de massa. Para evitar confusão,

neste texto vamos usar a denominação força-peso, para represen-

tar essa força; quanto à palavra “peso”, continuaremos a usá-la no sentido corriqueiro, como sinônimo de massa.

Note que massa é uma grandeza invariável, independente

do local onde é medida, enquanto a força-peso depende da gravi-

dade. Assim, por exemplo, se levarmos um corpo para a Lua, sua

massa permanecerá a mesma, mas a força-peso se tornará cerca de 6 vezes menor. Isso acontece porque a gravidade na Lua é 6

vezes menor do que a gravidade da Terra.

A relação entre massa e força-peso, é obtida da 2a Lei de

Newton, como:

Na fórmula cima, para obtermos o valor da força-peso (FP), deve-

mos colocar o valor da massa do corpo no lugar da letra m, e o

valor da aceleração da gravidade no lugar da letra g. A fórmula

acima expressa uma relação fácil de memorizar: FORÇA PESO = MASSA × GRAVIDADE

Lembre-se que a força-peso deve ser expressa em newtons, e a

massa m deve ser expressa em quilogramas.

g m FP

m

F a am F

A unidade de medida de força A unidade de medida de força no S.I (obrigatória quando usa-mos a fórmula da Lei Fundamental da Dinâmica) é o newton, em ho-menagem ao famoso físico inglês Isaac Newton. A medida de 1 newton corresponde à força necessária para suspender um objeto de aprox imadamente 100 gramas.

Conversão de velocidades As velocidades normalmente são expressas em quilômetros por

hora (km/h), como nos velocímetros de carros e motos. No entanto, quando precisamos calcular acelerações, devemos

converter esses valores para metros por segundo (m/s). Para converter de km/h para m/s, basta dividir por 3.6.

11


Incluindo o atrito

As forças de atrito aparecem em situações como arra-

nhões, raspadas, esfregadas, deslizamentos. De modo geral, o

atrito surge sempre que tentamos deslizar uma superfície sobre

outra. Quanto mais ásperas as superfícies, maior o atrito entre

elas. Para expressar esse fato, inventou-se um valor chamado

coeficiente de atrito, representado pela letra grega (lê-se

“mi”).

Os valores da tabela abaixo mostram o quanto um material tem de atrito no contato com outros.

Além disso, quanto maior o peso de um corpo sobre uma

superfície, maior a força necessária para arrastá-lo. Isto ocorre,

porque quanto mais forte o contato entre duas superfícies, maior o atrito entre elas.

Uma maneira matemática de expressar as idéias descritas

acima, é através da fórmula:

FATRITO = •FNORMAL onde FNORMAL representa a intensidade da força que comprime os

as superfícies em contato. Para um corpo apoiado sobre uma

superfície horizontal, a força normal é igual à força-peso do

corpo.

Quando consideramos o atrito, na aplicação das Leis de Newton, especialmente a Lei Fundamental da Mecânica, deve-

mos lembrar que a força de atrito se opõe ao movimento, e por-

tanto, contribui negativamente para a soma das forças. Assim, a

resultante das forças que atuam sobre o corpo é determinada co-

mo: F = FMOTORA - FATRITO

onde FMOTORA representa a força que produz o movimento do

objeto, e FATRITO é a força contrária que aparece devido ao atrito.

Exemplo: Um tijolo de massa 2 kg, é arrastado sobre uma

superfície horizontal de madeira, por uma força “motora” de 20

N. Determine a aceleração sofrida pelo bloco.

Resolução: Usando a tabela, a força de atrito que atua sobre o ti jolo é:

FATRITO = •FNORMAL = 0,6•20 = 12 N

de modo que a resultante das forças que atuam sobre o tijolo será: F = FMOTORA - FATRITO = 20 - 12 = 8 N

Aplicando a 2ª Lei, resulta: F = m•a ==> 8 = 2•a ==> a = 8÷2 = 4 m/s2

Exercícios:

1. Um bloco de 2 kg é arrastado por uma força de 20 N, sobre uma superfície cujo coeficiente de atrito. Qual é a aceleração do bloco?

2. Um bloco de 3 kg, inicialmente em repouso, é puxado por uma

força de 50 N, sobre uma superfície de borracha. A) Qual o valor da força de atrito que atua sobre o bloco? B) Qual a aceleração que o bloco experimenta? C) Qual deveria ser o valor mínimo do coefic iente de atrito, para que

o corpo não saia do lugar (aceleração nula)?

Exercícios

1. Determine a aceleração produzida por uma força de 18 N,

sobre um corpo de massa 3 kg. 2. Determine a intensidade da força que produz uma aceleração

de 3 m/s2, em um corpo de massa 9,6 kg. 3. Uma força constante de 40 N imprime a um corpo uma acelera-

ção de 8 m/s2. Qual será a aceleração desse mesmo corpo, se a intensidade da força for de 15 N?

4. Em 3 segundos, a velocidade de um carro de massa 900 kg

passa de 54 km/h para 0. Supondo que a força resultante que parou o carro seja constante:

A) Calcule a intensidade dessa força; B) Calcule o peso do carro; 5. Uma força constante aplicada durante 2 segundos em um corpo

A, produz uma variação de 6 m/s em sua velocidade. A mesma força aplicada em outro corpo B durante 5 segundos, produz uma variação de velocidade de 10 m/s. Qual dos dois corpos possui maior massa?

6. Um bloco de 5 kg é puxado sobre uma superfície horizontal, por

uma força horizontal F1, e experimenta uma aceleração de 6 m/s2.

A) Determine a intensidade da força F1, considerando que o bloco se desloca sem atrito.

B) Qual deve ser a massa do bloco, para que a aceleração reduza à metade (considere a mesma força do item A)?

7. Antes de partir em v iagem espacial, um astronauta mede a sua

massa, e a balança regis tra 100 kg. Determine a força-peso que atua sobre o astronauta:

A) Na superfície da Terra, onde g=10 m/s2. B) Em órbita, a 1000 km de altitude, onde g=7,5 m/s2. C) Na superfíc ie da Lua, onde g=1,7 m/s2. D) O que acontece com a massa do astronauta, durante a v iagem

espacial? 8. Na Lua, onde a aceleração da grav idade é seis vezes menor

do que na Terra (g = 1,7 m/s2), a força-peso que atua sobre um astronauta é 110 N.

A) Qual é a massa do astronauta? B) Qual o valor da força-peso, medido na Terra? 9. Para você pensar: A) Um corpo pode ter massa nula? E a força-peso? Explique. B) Um corpo está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Qual

a menor força capaz de deslocá-lo? Explique. Lembrete: Quando o valor da força vem expresso em quilograma-

força (kgf), é preciso transformar para a unidade SI (newton),

antes de usar na fórmula F=m.a. A relação de conversão é:

1 kgf = 9,8 N ≈10 N

Por que se usa o quilograma-força?

O uso do quilograma-força (kgf) como unidade de força é bastante prático, exatamente pelo fato de neste caso a massa

e a força-peso são expressos pelo mesmo valor. Note que a força de 1 kgf corresponde à força necessária para suspender um corpo de 1 quilograma, ou seja, é aprox imadamente 10 ve-

zes maior do que a medida de 1 newton, como mostra a relação apresentada acima.

12

Capítulo 3: Leis de Newton

Por outro lado, sabemos que uma hélice de ventilador gira mais rápido do que uma roda-gigante, e que esta por sua

vez, gira mais rápido que o ponteiro dos minutos de um reló-

gio. Como fazemos para expressar a rapidez com que uma

coisa gira?

A maneira mais simples é determinar quantas voltas completas o objeto dá em determinada unidade de tempo, o que

chamamos de freqüência.

Por exemplo, o ponteiro dos segundos de um relógio, efetua uma volta completa por minuto. Dessa forma, expressamos sua

freqüência como 1 rpm = 1 rotação por minuto. Essa é uma

unidade de freqüência bastante usada, principalmente para

expressar a rapidez de giro de motores.

A unidade de freqüência ciclos por segundo ou rotações por segundo (rps) é a unidade de freqüência, adotada pelo Sistema

Internacional de Unidades (SI). Essa unidade recebe o nome de

hertz (símbolo Hz), em homenagem ao físico alemão Heinrich

Hertz, que estudou as propriedades de um tipo especial de mo-

vimento periódico: o movimento ondulatório, o qual também é caracterizado por uma freqüência de oscilação, que mede o

número de ciclos (oscilações) por segundo.

Conjugado com a freqüência de rotação, define-se uma

outra grandeza chamada período. O período (símbolo T) mede

o intervalo de tempo gasto em uma volta (ou giro). O período está relacionado com a freqüência, através da fórmula:

A tabela abaixo, mostra a relação entre as unidades de período (tempo) e as unidades de freqüência. Note que cada

unidade de freqüência corresponde ao inverso de cada unidade

de período correspondente.

Por outro lado, como já dissemos a trajetória descrita

pelos pontos da hélice de um ventilador, ou dos ponteiros de

um relógio, são circunferências. Observe que mesmo que a

velocidade de giro seja a mesma para todos os pontos, quanto mais afastados do centro (eixo) de rotação, maior deve ser a

velocidade com que eles se deslocam, porque estes pontos

descrevem circunferências maiores!

Observe que, para um dado ponto situado a uma dis-

tância r em relação ao centro da circunferência, a distância percorrida por ele em uma volta, é igual ao comprimento da

circunferência (d=2r), e o tempo gasto é igual ao período de

rotação (t=T). Assim, a velocidade com que o ponto se desloca

será:

Alternativamente, lembrando que a freqüência é o inverso do

período (f=1/T), podemos escrever:

v = 2•r•f Assim, se conhecemos o tempo necessário para dar uma volta,

usamos a primeira fórmula, e quando temos o número de voltas

por unidade de tempo (freqüência), usamos a segunda fórmula.

Capítulo 3: Leis de Newton Capítulo 6: Movimento de rotação (voltas e giros)

Quando fazemos um levantamento dos tipos de movi-mentos estudados na Mecânica, vemos que grande parte deles

são rotações, i.e, movimentos onde os corpos descrevem voltas

ou giros em torno de um eixo. Eles aparecem no funcionamento

de engrenagens, rodas ou discos presentes nas máquinas, moto-

res, veículos e muitos outros tipos de brinquedos. Observe que quando falamos do movimento de rotação

propriamente dito, estamos tratando de um corpo (geralmente

grande) que gira em torno de si mesmo, como um pião, uma

bailarina, ou a própria Terra.

Alternativamente, podemos aplicar os conceitos básicos do movimento de rotação, para estudar o movimento de corpos

(ou pontos) que descrevem voltas em torno de um ponto ou eixo

de rotação. Quando essas voltas constituem trajetórias circula-

res, o movimento é denominado movimento circular.

Entrando nos eixos

Para começarmos nosso estudo, seria interessantes ten-

tarmos estabelecer as principais diferenças entre os movimentos

de translação (como os

movimentos estudados no capítulo 2) e os movimen-

tos de rotação. Se você

observar com mais atenção

cada caso, perceberá que

nas rotações os objetos sempre giram em torno de

“alguma coisa”. A hélice de um helicóptero, por exemplo, gira

presa a uma haste metálica que sai do motor (veja figura ao la-

do). No centro da haste, podemos imaginar um linha reta que

constitui o eixo em torno do qual tanto a haste como as hélices giram. Da mesma forma, podemos considerar que a pequena

hélice, localizada na cauda do helicóptero, também efetua uma

rotação em torno de um eixo. Este eixo, porém, se encontra na

direção horizontal.

No caso de um bailarina rodopiando, ou da Terra, em seu movimento de rotação, não

existe nenhum eixo “real”, mas

podemos imaginar um eixo em

torno do qual os objetos giram.

Isso mostra que em todo movi-mento de rotação sempre é pos-

sível identificar um eixo, mesmo

que imaginário, em torno do

qual o objeto gira.

Em alguns objetos, como uma bicicleta, por exemplo, temos várias

partes em rotação simultânea, e portan-

to, podemos imaginar diversos eixos de

rotação.

DESAFIO ! Tente encontrar ao menos 7 eixos em sua bicicleta.

Velocidade das rotações

Um exemplo clássico de objetos que descrevem movi-

mento de rotação, são os ponteiros de um relógio. Nesse caso,

enquanto o ponteiro gira, seus pontos constituintes descrevem voltas (circunferências) em torno do centro do relógio. Observe

que essas circunferências tem raios diferentes: os pontos mais

distantes de centro percorrem distâncias maiores que os mais

próximos. Assim, um mesmo corpo — o ponteiro do relógio —

tem velocidades diferentes em pontos diferentes. Neste caso, o conceito de velocidade não é muito adequado para medir a rapi-

dez com que se processa o movimento de rotação.

Freqüência (símbolo f) é uma grandeza física que mede o número de voltas (ou giros) por unidade de tempo.

Matematicamente a freqüência é definida como:

tempo de intervalo

voltas de número f

f

1 T

PERÍODO FREQÜÊNCIA

hora (h) ciclos por hora (ciclo/h)

minuto (min) ciclos por minuto (rpm)

segundo (s) ciclos por segundo (rps)

T

r 2π

t

d v

13

Capítulo 6: Movimento de rotação (voltas e giros)

7. Duas polias A e B, de raios 10 cm e 30 cm, respectivamente, giram interliga-

das por uma correia. Se a freqüência da polia A é 120 rpm, qual deve ser a freqüência da polia B?

8. Um ciclista dá duas pedaladas por segundo em sua bicicleta. Se a mensa-

geira traseira é três vezes menor que a dianteira, e a roda da bicicleta tem raio de 30 centímetros:

A) Quantos metros a bicicleta anda em um segundo? B) Qual a distância percorrida pela bicicleta em um minuto? Dicas:

1) O número de pedaladas por segundo é a freqüência de rotação da mensa-geira dianteira.

2) Quando você não tem os valores dos raios, pode escolher um deles como sendo igual a 1.

O sentido das rotações Quando você quer dizer para alguém para que lado uma coisa está girando, o que você faz? Em geral as pessoas dizem algo como: gire para a esquerda, ou gire a manivela no sentido horário. Porém, tanto um quanto o

outro jeito traz problemas. Uma roda gigante, gira no sentido horário ou anti-horário? Para quem a vê de um lado é uma coisa, para quem vê do outro lado é o contrário. Faça o teste: ponha uma bicicleta de ponta-cabeça e gire sua roda. Observe-a a partir dos dois lados da bicicleta. Também não dá para definir clara-

mente! Mas algum espertinho inv entou um jeito de definir o sentido de qual-quer rotação, usando uma regra conhecida como regra da mão direita. Seus quatro dedos, fora o polegar, devem apontar acompanhando a rotação. O pole-

gar estará paralelo ao eixo, e aponta o sentido da rotação. No desenho ao lado, definimos o sentido da rotação do disco como sendo “para dentro da vitrola” . Note

que qualquer pessoa pode fazer isso, independente de sua posição em relação à vitrola. Esta regra é aplicada especialmente, nas operações de apertar e

afroux ar parafusos. Quando os parafusos são fabricados nas industrias metalúr-gicas, seu “enroscamento” é desenhado de modo que o sentido de avanço do parafuso coincida com o sentido apontado pela regra da mão direita. O mesmo acontece com as tampas de rosca, em garrafas e v idros de conserva. Você pode

testar a regra da mão direita, tentando abrir a tampa de um garrafa térmica. Observe o enroscamento dos dedos, e o sentido de avanço da tampa.

Exemplos

1. Um disco, de raio igual a 20 cm, executa 50 voltas por minuto (50 rpm).

A) Qual é o período de rotação do disco?

B) Determine a velocidade com que se deslocam os

pontos da periferia do disco.

Resolução: A) Note da tabela da página anterior, que se a freqüência está em rpm, a fórmula do inverso determina o período em minutos. Temos então:

B) A v elocidade de um ponto na periferia, é determinada pela fórmula:

2. Regra das polias: As polias

A e B da figura tem raios

rA=20 cm e rB=50 cm, e estão

ligadas por uma correia. Saben-

do que a polia A gira com fre-qüência de 25 rps, determine:

A) o número de voltas por segundo (rps) da polia B.

B) a velocidade com que a correia se desloca sobre as polias. Resolução: Para as duas polias A e B acima, v ale a regra:

onde fA e fB são as freqüências de rotação das polias A e B.

A) Usando a regra acima, temos:

25 •20 = fB•50 ==> fB = 500 ÷ 50 = 10 rps

B) A v elocidade com que a correia se desloca sobre a polia é obtida aplican-

do a fórmula v=2•r•f a qualquer uma das duas polias. Escolhendo a polia A,

temos:

v = 2•r•f = 6,28•20•25 = 125,6•25 = 3140 cm/s = 31,4 m/s

Exercícios

1. Determine a freqüência de rotação da Terra (ciclos/h), e o período de

translação ao redor do Sol (em horas).

2. Um disco em rotação efetua 360 voltas por minuto. Sabendo que o raio

do disco é de 2 metros, determine: A) O período e a v elocidade de rotação do disco.

B) A velocidade dos pontos da periferia do disco. 3. Uma bicicleta daqueles modelos do início do século XX, tem sua roda

dianteira com raio de 50 cm, e a roda traseira com raio de 25 cm. Saben-

do que a roda menor gira com freqüência de 4 rps, determine a freqüên-cia da roda maior, e a velocidade com que a bicicleta se desloca (esta velocidade é igual á velocidade dos pontos da periferia das rodas).

4. Um ciclista dá três pedaladas por segundo em sua bicicleta. Determine a freqüência e o período (em segundos) da mensageira dianteira da bici-cleta. Se a mensageira tem raio de 15 cm, qual será a v elocidade de seus dentes?

5. Um automóvel percorre uma estrada com velocidade de 70 m/s, e seus

pneus tem raio de 35 cm. Determine a freqüência de rotação das rodas do automóv el.

Sugestão: a velocidade com que se deslocam os pontos da roda é igual à velocidade desenvolvida pelo automóvel. 6. Qual a velocidade de um carro, cuja roda tem 40 cm de raio, e efetua

1200 rotações por minuto?

s 1,2 min 0,02 50

1

f

1 T

60

m/s 1,04 cm/s 104 1,2

206,28

T

r 2π v

fA•rA = fB•rB

A conservação das rotações

não deixa ninguém sair do eixo!

Como você sabe da Geografia, o planeta Terra apresenta um movi-mento de rotação em torno de um eixo imaginário, levemente inclinado em rela-ção à direção norte-sul, o que nos proporciona as estações do ano. Sabe-se que o movimento de rotação e a direção do eixo permanece praticamente inalterada

por milhões de anos. Isto acontece, porque a Terra não tem para quem transferir seu movimento de rotação. Quando um corpo não tem para quem transferir seu movimento de rota-ção (ou perde esse mov imento lentamente), a tendência é manter inalterada a

sua v elocidade de giro, e também a direção do eix o de rotação. Isso acontece, por ex emplo, com um pião. Enquanto ele tem quantidade de giro suficiente, tende a ficar em pé. Á medida que vai perdendo giro, ele começa a “bambear” em torno do eixo vertical, até perder todo o mov imento e cair. Também no caso

da de uma bicicleta, enquanto suas rodas tem quantidade de giro suficiente, seu eix o de rotação tende a se manter na direção horizontal, e conseqüentemente, a bicicleta se mantém em equilíbrio.

Piões, bicicletas,

e até mesmo o nosso planeta,

“não saem do eixo’, graças a

tendência de conservação da

quantidade de giro.

14

Capítulo 6: Movimento de rotação (voltas e giros)

Exercícios (com dicas de resolução) 1. Uma pessoa de 80 kg está sentada sobre uma gangorra, a 20 metros

do seu ponto de apoio. A que distância, uma outra pessoa, de 60 kg deve se sentar no outro braço da gangorra, afim de equilibrá-la?

Dica: Basta substituir os valores dados na regra da alavanca, e

colocar “x” no lugar de d2.

2. No carrinho de mão da figura ao lado, considere que o peso seja P=80 kgf, e os braços da alavanca meçam d1=36 cm e d2=100 cm. Determine a intensidade da força F (em kgf) que deve ser aplicada, para sustentar o carrinho.

3. No carrinho da figura acima, se a força

máxima aplicada for de 20 kgf, qual deve ser o comprimento (d2) do braço maior da alavanca?

Dica (Problemas 2 e 3): O carrinho de mão se comporta como uma

alavanca inter-resistente (a carga fica entre o ponto de apoio e o

ponto de aplicação da força). Neste caso, basta aplicar a regra

das alavancas, e colocar “x” no lugar da incógnita.

4. Usando a regra das alavancas, determine as forças exercidas pelos apoios A e B, na figura acima.

Dica: Para determinar a força sobre o apoio A, considere a tábua

como uma alavanca inter-resistente, com o ponto de apoio em B.

5. (Mack-SP) Qual é o peso (em kg) da pessoa que está sentada na extremidade direita da gangorra da figura acima?

A) 108 kg; B) 63 kg; C) 54 kg; D) 36 kg; Dica: Use a forma generalizada da regra das alavancas (veja a observação no final da coluna ao lado).

6. (Mack-SP) No desenho ao lado, o quadro está pendurado em um prego, suspenso por um fio de 1 metro de comprimento, preso nos pontos A e B. Qual deve se a tração nos fios, para que o quadro fique em equilíbrio horizontal?

A) 12 N; B) 15 N; C) 20 N; D) 25 N; Dica: O quadro se comporta como uma alavanca inter-resistente.

Como o peso é aplicado no centro do quadro, o braço de alavan-ca é de 40 cm, tanto para o peso (aliás, metade dele), quanto

para a força de tração, mas lembre-se que a força “efetiva” que

sustenta o peso do quadro é somente a componente vertical da

tração no fio.

Equilíbrio de rotação

Existe um variedade de situações em que as forças

aplicadas sobre um mesmo corpo são paralelas entre si, de

modo que mesmo que a soma vetorial delas seja nula, o corpo

adquire movimento de rotação (giro). Isto acontece, porque quando as forças são paralelas entre si, cada uma é aplicada em

um ponto diferente do corpo, e suas linhas de ação não se cru-

zam. Neste caso, para que um corpo rígido permaneça em

equilíbrio absoluto (repouso, sem girar) além da condição de

equilíbrio translacional, resultante da 1ª lei de Newton (a re-sultante das forças deve ser nula), uma condição adicional

conhecida como regra das alavancas, também deve ser satis-

feita.

A regra das alavancas: Quantas vezes você não precisou levantar um peso enorme, e sentiu dificuldades? Para essas e

outras atividades importantes do nosso dia-a-dia, é que existem

as alavancas. Com um ponto de

apoio e um barra, nosso amigo da

figura ao lado construiu uma alavanca. A força que ele faz em

um a p ont a é a mp l iada

(multiplicada) no outro lado da

barra. O segredo da alavanca é

ter dois “braços” de tamanhos diferentes. No braço maior (d1)

fazemos a força, e no outro (d2)

colocamos a carga. No século III

a.C. Arquimedes, após realizar

várias experiências, chegou à conclusão de que quando uma

alavanca está em equilíbrio, vale

a igualdade:

F1•d1 = F2•d2

Como se pode ver da figura acima, F1 representa a força aplica-da no braço maior, e F2 representa a força (peso) aplicada no

braço menor.

Dependendo da posição da força aplicada, da carga e

do ponto de apoio, as alavancas pode ser de três tipos:

A) interfixas: o ponto de apoio (ponto fixo) fica situado entre a carga e a força aplicada. Ex: gangorras, tesouras, alicates, e as

alavancas das figuras acima.

B) inter-resistentes: quando a carga (força resistente) fica situ-

ada entre o ponto de apoio e a força aplicada. Ex: carrinho de

mão, quebra-nozes, etc. C) interpotentes: a força é aplicada entre o ponto de apoio e a

carga (força resistente). Ex: braço humano, cortador de unhas,

pedal do acelerador de automóveis, etc.

Exemplo 1: Como equilibramos uma gangorra de playground, com um pessoa de 60 kg de um lado, e uma criança de 30 kg

do outro? Resolução: Chamaremos de d1 ao “braço de alavanca” da pessoa, e d2 o braço de alavanca da criança (braço de alavanca é a dis tân-cia do ponto de aplicação da força até o ponto de apoio da alavan-ca). Aplicando a regra das alavancas, temos: 60•d1 = 30•d2

Para que os dois lados da igualdade dêem o mesmo número, o valor de d1 deve ser a metade do valor de d2. Portanto, o braço de alavan-ca da pessoa deve ser a metade do braço de alavanca da criança.

Torque: o produto força x braço da alavanca define uma

grandeza física denominada torque ou momento de força.

Assim, quando atuam mais do que duas forças sobre um cor-

po, a regra das alavancas pode ser generalizada assim:

a soma dos torques que tendem a fazer o corpo (ou ala-

vanca) girar no sentido horário deve ser igual à soma

dos torques que atuam no sentido oposto (anti-horário).

15

.. Até agora estudamos as idéias sobre forças, movimen-tos e equilíbrio, que se aplicam a objetos sólidos. Neste capítu-

lo (e no próximo) vamos estender estas idéias às substâncias

que não possuem forma definida, genericamente conhecidas

como fluídos. Os fluídos incluem tudo que não é sólido, isto é,

os líquidos e os gases. No entanto, estamos especialmente inte-ressados no estudo dos líquidos (o estudo dos gases será trata-

do no 2º ano); a parte da Física que estuda os líquidos em

equilíbrio estático (em repouso) é denominada hidrostática,

uma vez que o termo hidro vem de água, que é a substância

que melhor representa o tipo de líquido considerado nesta parte da Física.

O estudo da hidrostática remonta aos tempos de Arqui-

medes, filósofo e matemático grego que viveu na Sicília de 287

a.C a 212 a.C. Conta a lenda que Hierão, rei da província

onde vivia o sábio, fornecera ao joalheiro da corte certa quan-tidade de ouro, para que este lhe confeccionasse uma coroa.

Entretanto, ao receber a encomenda, desconfiou de que o arte-

são misturara prata e ouro, embolsando parte do ouro..

Coube a Arquimedes descobrir se houve fraude ou não,

sem destruir a peça. Depois de passar longo tempo tentando resolver o problema, a inspiração veio para o sábio ao notar o

transbordamento de água quando mergulhou numa banheira

na casa de banhos públicos. Entusiasmado com a descoberta,

Arquimedes ter ia saído completamente nu pelas ruas, gritando

“eureka! eureka!”, palavra grega que significa “achei”. Infelizmente o trabalho em que Arquimedes deu a solu-

ção completa do problema não chegou até nós, mas especula-

se que o sábio tenha resolvido a questão raciocinando da se-

guinte maneira: “se a quantidade de água derramada pela

coroa fosse igual à derramada pelo bloco de ouro, não teria havido mistura; porém, se fosse intermediária à derramada

pelo bloco do ouro e à derramada por um bloco idêntico de

prata, teria havido uma mistura dos dois metais”.

Acredita-se que tenha nascido daí, a idéia de densidade,

um conceito tão fundamental no estudo dos fluídos, quanto o conceito de massa no estudo dos sólidos. Neste capítulo vamos

tratar o conceito de densidade aplicado aos líquidos, e um

fenômeno intimamente relacionado, denominado empuxo.

Densidade: a relação entre “quilo” e litro

Uma propriedade característica dos fluídos, é o fato de

p derem escoar. Devido a essa característica torna-se pouco

prático medir a massa de um fluído diretamente na balança, sem antes colocá-lo dentro de um recipiente.

Na prática, a massa de um fluído é relacionada com o

volume que ele ocupa. Sabemos por exemplo, que um

“quilo” (1 kg) de água ocupa mais ou menos o volume de 1

litro (1000 cm3). Por outro lado, a massa contida em 1000 cm3 de ferro é igual a 7,8 kg, enquanto a massa contida no mesmo

volume de alumínio é igual a 2,8 kg. Dizemos que o ferro é

mais denso (mais “pesado”) que o alumínio.

Esta relação entre “quilo” (massa) e litro (volume) de

um fluído, é denominada densidade, definida como:

Na fórmula sombreada, devemos colocar o valor da densidade

no lugar da letra d, o valor da massa no lugar da letra m, e o valor do volume no lugar da letra V.

Como vemos da fórmula acima, as unidades de medi-

da da densidade misturam unidades de massa e de volume. A

unidade oficial (S.I) é o kg/m3, mas as unidades mais usados

na prática são o g/cm3 (unidade C.G.S), e o kg/L (quilograma por litro). Note que essas duas unidades são equivalentes!

A relação entre as unidades de densidade é:

Capítulo 7: Estudo dos líquidos

volume

massa densidade

V

m d

SUBSTÂNCIA DENSIDADE (g/cm3)

SUBSTÂNCIA DENSIDADE (g/cm3)

alumínio 2,8 gasolina 0,7

ferro 7,8 álcool 0,8

cobre 8,9 água 1,0

prata 10,5 glicerina 1,3

ouro 20,0 mercúrio 13,6

chumbo 11.3 ácido sulfúrico 1,84

DENSIDADE DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS COMUNS

kg/m 1000 kg/L 1 g/cm 1 33


1. Porque o óleo flutua na água? 2. Qual é a massa de uma chapa de ferro de volume igual a 650 cm3? 3. Qual é a massa contida em 2 litros de água? 4. Calcule o volume ocupado por 690 gramas de mercúrio? 5. A massa de um tanque cheio de gasolina é 50 kg. Se a massa do

tanque vazio é 8 kg, qual é o volume ocupado pela gasolina desse tanque?

6. Um artigo recente, na rev ista Veja, informou que todo o ouro extra-

ído pelo homem, desde a Antiguidade até os dias de hoje, seria suficiente para encher uma caixa cúbica de lado igual a 20 m. Sabendo que a densidade do ouro vale cerca de 20 g/cm3, qual deve ser a massa total do ouro extraído pelo homem (expressa em toneladas)?

A) 20; B) 400; C) 8000; D) 160000; 7. Qual a diferença de massa acusada na balança, quando coloca-

mos um bloco de ferro de 4 cm3, e um bloco de ouro de 2 cm3? 8. Um aluno encontrou um bloco em forma de cubo de 2 centímetros

de aresta. Percebendo ser constituído de material bastante pesa-do, colocou o cubo numa balança, a qual regis trou 90,4 gramas. De que material era feito o cubo?

NOTAS

1) A densidade de um material não depende do tamanho da amostra considerada. Quanto maior a amostra, maior a sua massa, mas a densidade permanece a mesma. Por exem-plo, a densidade da água é a mesma, não importa se é uma gota ou uma garrafa!

2) Algumas pessoas costumam dizer, por exemplo, “O chum-bo é mais pesado do que a cortiça” (sem fazer referência ao volume de cada um). Tal afirmação não está correta, pois é possível obter-se um grande volume de cortiça que seja mais pesado do que um pequeno volume de chumbo. Na realidade, a idéia que aquela pessoa deseja transmitir é: “O chumbo é mais denso do que a cortiça”. Isso é correto, pois para o chumbo temos d=11,3 g/cm3, e para a cortiça d=0,24 g/cm3.

3) A relação prática “1 quilo ==> 1 litro” só é válida para a água; para qualquer outro líquido a massa (em “quilos”) é

igual ao produto do volume (em litros) pela densidade do

líquido!.

16

Empuxo e Princípio de Arquimedes Você alguma vez já se perguntou como é que os navios,

que pesam toneladas, conseguem boiar? Para entendermos a Físi-

ca que existe por trás desse fenômeno, vamos iniciar fazendo uma experiência simples.

Pegue uma rolha de garrafa, e tente afundá-la dentro de

um recipiente com água. Você deve ter sentido um resistência,

uma dificuldade, ao tentar afundar a rolha, como se algo empur-

rasse a rolha para cima. Se você levar a rolha até o fundo, e de-pois soltá-la, verá que ela sobe imediatamente. De fato, para que

a rolha suba, é preciso que haja uma força que a empurre para

cima. Mas que força é essa? Como ela surge?

A figura ao lado, ilustra um objeto

mergulhado dentro de um líquido. As setas indicam as forças que atuam sobre o objeto,

devido ao peso do líquido que fica acima

dele. Diferente do que acontece nos sólidos,

essas forças não se aplicam somente na

direção vertical (de cima para baixo); ao invés disso, as forças se aplicam em todas

as direções como se tentassem “esmagar” o objeto.

Observe que as forças que atuam na parte de baixo do

objeto, isto é, aquelas que tendem a empurrar o objeto para cima,

são mais intensas do que as forças que atuam na parte de cima do objeto (lembre-se que quanto mais profundo você estiver mergu-

lhado, maior a quantidade de líquido que fica acima de sua cabe-

ça!). Somando todas essas forças, vemos que existe uma força

resultante com direção vertical e sentido para cima. Essa força

é denominada empuxo, e é ela que empurra para cima os corpos mergulhados nos líquidos, inclusive a nossa rolha!

Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes, que viveu

no século III a.C., quem descobriu, a partir de cuidadosas experi-

ências, como calcular o empuxo. Arquimedes expressou as con-

clusões de suas observações, em um princípio que ficou conheci-do como Princípio de Arquimedes:

Então, para medir o empuxo exercido sobre um corpo,

basta calcular o peso do líquido que o corpo desloca quando é

mergulhado. Portanto, quanto mais líquido o corpo deslocar,

maior será o empuxo exercido sobre ele.

No entanto, não é muito prático medir o peso (massa) do

líquido deslocado. Ao invés disso, podemos medir o volume de

líquido deslocado, e então usar a relação: massa = densidade × volume

onde a densidade do líquido pode ser obtida numa tabela.

Observe que para

medir o volume de líquido

deslocado, podemos utilizar um recipiente com uma escala

graduada (em mililitros, por

exemplo), de modo que para

saber o volume de líquido

deslocado, basta verificar o nível do líquido antes e depois

de mergulhar o objeto!

NOTA: O empuxo é numericamente igual à massa de líquido desloca-do, quando é medido em quilograma-força (kgf). Assim, para calcular o empuxo, basta determinar a massa de líquido deslocado (em gramas), e então dividir por 1000; o resultado obtido dá o empuxo (em kgf). Mas nunca esqueça que o empuxo é uma força, enquanto a massa é uma medida da quantidade de matéria; são grandezas físicas diferentes!


Sobe, desce ou fica parado?

Nem todos os objetos que colocamos num líquido se com-

portam da mesma forma: alguns afundam, outros flutuam, e ou-

tros, descem um pouco e param no meio do líquido.

Quando um objeto é mer-

gulhado dentro de um líquido, fica sujeito a ação de duas forças: a

força-peso (P), devido a ação da

gravidade, e a força de empuxo

(E) exercida pelo líquido. Para

saber o que ocorre com o objeto, precisamos estudar a relação entre essas forças. Observe que o

empuxo, depende da densidade do líquido, enquanto o peso de-

pende da densidade do objeto, de modo que podemos prever o que

ocorrerá quando um objeto é mergulhado em um líquido, simples-

mente comparando as densidades de ambos. Podem ocorrer três situações, conforme mostra a tabela abaixo:

Na tabela acima, a notação dOBJ representa a densidade do objeto, e a notação dLIQ representa a densidade do líquido onde o objeto

está mergulhado.

Corpos parcialmente imersos Quando um objeto mergulhado em um líquido, tem sua densidade menor do que a do líquido, ele tende a subir no líquido,

e flutuar (boiar) com uma parte emersa (fora d’água). Neste caso,

o volume de líquido deslocado pelo objeto é menor do que o volu-

me total do objeto, e geralmente estamos interessados na fração (ou

porcentagem) do volume total do

objeto, que fica dentro d’água. A

condição de equilíbrio entre empu-

xo e peso, para um corpo flutuante (parcialment e imerso) permite

estabelecer a seguinte fórmula:

Na fórmula acima, a letra x representa a fração de volume

do corpo, que fica imersa (mergulhada) dentro do líquido. Note

que esta fração pode ser calculada como a razão (quociente) entre

o volume da parte imersa (VIMERSO) e o volume total do objeto; alternativamente, podemos determinar esta fração dividindo a

densidade do objeto pela densidade do líquido (para expressar este

valor na forma de porcentagem você deve multiplicar por 100).

Todo corpo mergulhado num líquido sofre a ação de uma força vertical de baixo para cima, denominada empuxo, cuja intensi-

dade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.

empuxo = peso do líquido deslocado

FORÇAS DENSIDADES SITUAÇÃO

P > E dOBJ > dLIQ O objeto vai para o fundo. Ex : uma pedra ou tijolo na água.

P = E dOBJ= dLIQ O objeto fica em equilíbrio, totalmente imerso. Ex : um submarino.

P < E dOBJ < dLIQ O objeto sobe no líquido, e flutua com uma parte emersa (fora d’água).

d

d

V

V x

LIQ

OB J

TOTAL

IMERSO

EXEMPLOS 1. Um corpo de volume 500 cm3 é totalmente imerso em um líquido de densidade

0,8 g/cm3.. Determine o empuxo exercido sobre ele. Resolução: O empuxo (E) é igual ao peso (massa) de líquido deslocado,:

m = 0,8.500 = 400 g E = 400 ÷ 1000 = 0,4 kgf

2. Descubra qual é a porcentagem do volume de um iceberg, que fica imerso

(dentro d’água) e quantos por cento de seu v olume ficam fora d’água? Resolução: Basta dividir a densidade do objeto (gelo) pela densidade do líquido

(água), e em seguida multiplicar o resultado por 100:

x = 0,92 ÷ 1,0 = 0,92 92% (fração de volume imerso) Portanto, a porcentagem de volume que fica fora dágua é de apenas 8%.

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Exercícios 1. Um objeto de massa 2 kg e densidade 5 g/cm3, está imerso na

água. Calcule o empuxo exercido pela água sobre o objeto. 2. Um corpo de 20 kg flutua totalmente imerso em um líquido. A) Qual é o empuxo exercido pelo líquido sobre ele? B) Sua densidade é maior, igual ou menor que a do líquido? 5. Um corpo de volume 100 cm3 está mergulhado em um líquido de

densidade 0,6 g/cm3. Se o corpo estiver em equilíbrio no interior do líquido, qual será a sua massa?

6. Um corpo de massa 20 g está em equilíbrio totalmente imerso em

um líquido de densidade 0,8 g/cm3. Qual é o volume do corpo? 7. Um objeto flutua em um líquido de densidade 0,6 g/cm3. Sendo o

volume da parte imersa igual a 2/3 do volume total, calcule a densi-dade deste objeto.

8. Um iceberg dentro de um líquido, com aprox imadamente 70% de

seu volume submerso (dentro d’água). Descubra qual é o líquido onde o iceberg está mergulhado.

10. Um tronco está boiando na superfí-

cie de um lago. Metade do tronco fica fora d’água, e a outra metade fica imersa. Sabendo que o volume total do tronco é 10000 cm3:

A) Calcule a força de empuxo que atua sobre o tronco.

B) Qual é o peso do tronco? E a sua massa? C) Calcule a densidade do material que compõe o tronco.

DESAFIOS 11. (Osec-SP) Um cubo de madeira de 10 cm de aresta, está imerso

num recipiente contendo água e um óleo especial de densidade 0,6 g/cm3. A cubo está em equilíbrio de modo que 20% de seu volume fica imerso dentro da água e 80% dentro do óleo. Determi-ne a massa do cubo.

Dica: Calcule separadamente, os empuxos exercidos pela água e pelo óleo, sobre o cubo. A soma dos dois valores (empuxo total) é numericamente igual à massa do cubo! 12. (Fuvest-SP) Um bloco cúbico de isopor, de 1 metro de aresta,

flutua imerso na água, com 10% de seu volume submerso. Qual é a densidade do isopor? Quantos centímetros de aresta ficariam submersos na água, para um cubo de isopor com 2 metros de aresta?

Dica: Transforme as medidas de metros para centímetros, e use a fórmula dos corpos parcialmente imersos, para descobrir a densi-dade do isopor. Para responder a segunda pergunta, leia o balão no final da primeira página deste capítulo.


Aplicações do empuxo Navios: o aço tem densidade maior do que a água, e portanto um corpo maciço feito de aço afundará na água. Porém, se o corpo tiver partes ocas, mesmo sendo feito de aço poderá apresentar dens idade menor do que a água, e desse modo flutuará, como acontece nos nav ios. Balões: os balões, como aqueles usados em observações meteo-rológicas, são preenchidos com um gás menos denso do que o ar, de modo que o empuxo supera o peso e o balão sobe. Porém, ele não sobe “eternamente”, pois, à medida que a alti tude aumenta, a densidade do ar diminui. Desse modo, há uma alti tude máxima que o balão pode atingir, para a qual a dens idade do ar fica igual à densidade do balão, e o balão pára de subir.

Pressão sobre uma superfície

Se exercermos forças iguais sobre um corpo com duas

facas de cortes diferentes, veremos que a faca mais afiada cortará

com mais facilidade, pois sua área de contato com o corpo é me-

nor que a área de contato da outra faca. A situação acima está

relacionada com o conceito físico de pressão. Define-se pressão (símbolo p) como o quociente entre a intensidade da força

aplicada sobre uma superfície, e o a medida da área dessa

superfície, isto é:

Na fórmula acima, o símbolo F representa a intensida-

de da força exercida, e o símbolo A representa a medida da área

de contato sobre a superfície. Na situação acima, dizemos que a faca afiada exerce uma pressão maior do que a faca

“cega” (menos afiada), porque concentra a mesma força sobre

uma área de contato menor.

Unidades de medida da pressão: Como podemos ver da fórmu-la acima, as unidades de pressão misturam unidades de força e

unidades de área. No S.I (Sistema Internacional de Unidades) a

unidade de medida da pressão é denominada Pascal (Pa), a qual é

definida como a razão entre a unidade de força (N) e a unidade de

área (m2), isto é: 1 Pa = 1 N/m2

Na prática, é comum se utilizar outras unidades de

pressão, especialmente o quilograma-força por centímetro qua-

drado (kgf/cm2), que recebe o nome de atmosfera (atm), por um

motivo que veremos mais adiante, quando estudarmos a pressão atmosférica. Há ainda uma unidade de pressão bastante conheci-

da por quem calibra pneus, e que chamamos de “libra”. Trata-se

na realidade, de uma unidade britânica denominada libra-força

por polegada ao quadrado, que em inglês se escreve pound per

square inches (psi). Na tabela abaixo, relacionamos as principais unidades de pressão:

A relação de conversão entre essas unidades é:

Exercícios

1. José tem 1,80 m de altura, 65 kg e usa sapatos 42. Pedro tem 1,60 m de altura, 65 kg, e calça sapatos 38. Qual dos dois exerce maior pressão sobre o solo?

2. Aplica-se uma força de intensidade 8 N sobre uma superfície de área 0,004 m2. Calcule a pressão (em Pa) exercida por essa força sobre a superfície?

3. A água contida em um tanque exerce uma pressão de 40 Pa sobre sua

base, um retângulo de 2 m por 5 m. Calcule a força exercida pela água? 4. A área da base de um cilindro é de 4 cm2, e sua massa é de 8 kg. Colocan-

do o cilindro verticalmente (em pé) sobre uma mesa, qual a pressão que o cilindro exerce sobre a mesa?

5. Um tanque de água tem área da base igual a 2000 cm2, e contém 800 litros

de água. Qual é a pressão ex ercida pela água sobre o fundo do tanque? Ex presse o resultado em atm e em pascal?

6. Qual a pressão exercida por 1000 litros de água, sobre um tanque cuja base

circular mede 2000 cm2? Dê o resultado em atm e em pascal?

área

força pressão

A

Fp

Unidade Símbolo Equivalência

pascal Pa N/m2

atmosfera atm kgf/cm2

libra psi lbf/pol2

1 atm = 14,2 psi = 100.000 Pa

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Pressão hidrostática

O que acontece quando uma pessoa mergulha na água? Acima de sua cabeça existe, além da coluna de ar, uma coluna de

água. Esta coluna de água também tem peso, e portanto, também

exerce pressão sobre o mergulhador, denominada pressão hidros-

tática.

De modo geral, a pressão em um líquido varia com a pro-fundidade. Um mergulhador sente maior pressão à medida que

aumenta a profundidade de mergulho. Nas grandes profundidades,

um submarino pode ser destruído pela pressão da água. De fato,

perfurando um recipiente com líquido, em dois pontos distintos,

observamos que o jato é mais forte no orifício inferior, pois a pres-são aumenta com a profundidade. A relação entre a pressão hi-

drostática e a profundidade no interior de um líquido, é determi-

nada pela lei conhecida como:

Princípio Fundamental da Hidrostática (Lei de Stevin):

Se a superfície do líquido está exposta à atmosfera, então devemos adicionar a pressão exercida sobre a superfície livre do

líquido, que é igual à pressão atmosférica. Isto significa que:

Cálculo da pressão no interior de um líquido

Para calcular a pressão no interior de um líquido, vamos

usar um esquema prático que fornece o resultado em atmosferas

(kgf/cm2). Se você quiser o resultado em outra unidade, basta usar

a relação de conversão dada na coluna anterior. Mas antes de apli-car o esquema prático, é necessário identificar em que tipo de

recipiente o líquido está contido.

A) Recipiente fechado: Trata-se da situação em que o líquido está

contido em um recipiente hermeticamente fechado, isto é, um recipiente que não permite a entrada de ar. Nesse caso, a pressão

total no interior do líquido é igual à pressão hidrostática.

B) Recipiente aberto: Aqui estão incluídas todas as situações em

que temos um líquido exposto à atmosfera, ou contido num reci-piente aparentemente fechado, mas que permite a entrada de ar.

Nesse caso, a pressão total no interior do líquido é igual à pressão

hidrostática (pressão da coluna de líquido) mais a pressão atmos-

férica (pressão da coluna de ar acima da superfície).

Uma vez identificado o tipo de recipiente onde o líquido

está contido, usamos o esquema prático para determinar a pressão

a hidrostática. Mas afinal, que esquema prático é esse? Trata-se de

aplicar uma simples regra de três, conforme mostramos abaixo:

I. Se você quiser achar a pressão hidrostática numa determinada profundidade, digamos 50 metros, basta montar a regra de três:

1 atm —— 10 m

x —— 50 m

II. Se você já conhece o valor da pressão hidrostática (digamos

que seja 20 atm), e quer achar a profundidade correspondente, a regra de três fica assim:

1 atm —— 10 m

20 atm —— x

Se ao invés da água for outro líquido, no lugar do 10 devemos usar o valor correspondente ao líquido, na terceira coluna da tabela ao lado.

Pressão atmosférica

O planeta Terra é envolvido

por uma camada de gases denomi-

nada ar atmosférico ou simplesmen-te atmosfera. Como o ar atmosféri-

co tem peso, ele exerce uma pressão

sobre a superfície terrestre, denomi-

nada pressão atmosférica.

A pressão atmosférica foi determinada pelo físico italiano

Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileu. Ele

encheu um tubo de vidro com mercúrio, e emborcou a extremi-

dade tampada com o dedo, dentro de uma cuba contendo o mes-

mo líquido. Ao destampar o tubo, verificou que o mercúrio no tubo descia um pouco, e estabilizava a uma altura de 76 cm.

Torricelli concluiu então que a pressão atmosférica é igual à

pressão necessária para sustentar uma coluna de mercúrio

de 76 cm de altura.

Assim, até hoje os livros didáticos usam a expressão

centímetros de mercúrio (símbolo cmHg) como uma unidade de medida de pressão. Posteriormente, verificou-se que o efeito da

pressão atmosférica sobre nós (ao nível do mar), equivale ao

peso de 1 quilograma sobre cada centímetro quadrado de nosso

corpo, ou seja, o valor da pressão atmosférica ao nível do mar é

aproximadamente 1 kgf/cm2; por esse motivo, a unidade de pres-são kgf/cm2 recebeu o nome de atmosfera (símbolo atm).

Temos então:

Como a pressão atmosférica resulta diretamente da força

exercida pelo peso do ar, e o peso do ar depende da quantidade de moléculas que existem lá para cima, então quanto menor for a

espessura da atmosfera menor será sua pressão, e vice-versa. Isto

significa que a pressão atmosférica diminui com a altitude, isto

é, com a altura do local, em relação ao nível do mar.

O dispositivo que serve para medir a pressão atmosférica é denominado barômetro. Na prática um barômetro é constituído

de um tubo em forma de U, contendo mercúrio, e fechado em

uma das extremidades.

Para pensar!

Se na experiência de Torricelli, fosse usado outro líquido ao invés de mercúrio, qual seria a altura da coluna de líquido suportada

pela pressão atmosférica? Só para ter uma idéia, se fosse usado água, a altura da coluna seria de 10 metros! Isso explica porque Torricelli escolheu o mercúrio. Na tabela

abaixo, mostramos essa altura, para alguns líquidos familiares:

patm = 1 atm = 76 cmHg =100.000 Pa


Líquido

Densidade (g/cm3)

Altura da coluna (m)

água 1,0 10

álcool 0,8 12,5

gasolina 0,7 14

glicerina 1,25 8

A pressão hidrostática em um ponto qualquer no interior de um líquido, é proporc ional à densidade do líquido e à altura da coluna de líquido

acima do ponto considerado.

A pressão total no fundo do mar é igual à pressão da coluna água (pressão hidrostática) mais a pressão da coluna de ar acima da superfí-

cie (pressão atmosférica).

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Exercícios

1. Qual é a pressão total no fundo de um lago com 10 m de pro-fundidade?

2. O nível de água contida em uma caixa está 6 m acima de uma

torneira. Qual é a pressão hidrostática exercida sobre a tornei-ra?

3. (UFC-CE) Um mergulhador pode suportar uma pressão máxi-

ma de 10 vezes a pressão atmosférica. Calcule a profundidade máxima que o mergulhador pode atingir.

4. Determine o valor da pressão exercida pela coluna de mercú-

rio da experiência de Torricelli, expresso em unidades britâni-cas.

5. Um barômetro de mercúrio é conectado a um tambor de ar comprimido, e as duas colunas estabilizam-se com um desní-vel de 45 cm. Sabendo que a pressão atmosférica neste dia é de 76 cmHg, qual deve ser a pressão dentro do tambor? Confira o exemplo ao lado!

6. Determine a que profundidade se encontra um mergulhador dentro de uma piscina, sabendo que ele está sujeito a uma pressão de 1,4 atm.

Exercícios complementares

7. Um recipiente de forma cilíndrica, hermeticamente fechado,

possui 900 ml de álcool em seu interior. Sabendo que a altura do cilindro é de 25 cm, determine a pressão que o álcool exer-ce no fundo do recipiente.

8. Uma bailarina de massa 45 kg executa um movimento no qual

apóia todo o peso de seu corpo sobre a ponta de uma só sapatilha. Sabendo que a ponta da sapatilha tem uma área de 2 cm2, determine a pressão que a bailarina exerce sobre o solo.

9. Sabendo que a densidade do óleo é de 0,8 kg/l: A) Quanto pesa o óleo contido em uma lata de 900 ml? B) Quantas latas de 900 ml podem ser preenchidas com 180 kg

de óleo? 10. Submerso em um lago, um mergulhador constata que a

pressão absoluta no medidor que se encontra em seu pulso corresponde a 1,6 atm. Determine a profundidade em que se encontra o mergulhador, em relação à superfície do lago.

11. Em um lago, a 10 m de profundidade, a soma da pressão

hidrostática com a pressão atmosférica é aprox imadamente 2 atmosferas (2 atm). No mesmo lago, a 20 metros de profundi-dade, a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosfé-rica (medida em atmosferas) será:

a) 12; b) 4; c) 3; d) 2,33; e) 2,50; 12. (UERJ) Um submarino encontra-se a uma profundidade de

50 metros. Para que a tripulação sobrev iva, um descompres-sor mantém o seu interior a uma pressão constante igual à pressão atmosférica ao nível do mar. A diferença de pressão entre o exterior e o interior do submarino é:

A) 1 atm; B) 2 atm; C) 5 atm; D) 10 atm; E) 50 atm; 13. (U. Mackenzie-SP) Quando um mergulhador se encontra a

25 metros de profundidade na água do mar, a pressão que ele suporta (expresa em atm) é de:

A) 3,5 B ) 2,85 C) 2,35 D) 2,0 E) 1,85 atm


Exemplos

1. Um barômetro de mercúrio é conectado a um pneu de

automóvel, e verifica-se que o desnível entre as duas

colunas de mercúrio é de 62 cm. Qual é a pressão no interior do pneu?

Resolução: A pressão no ramo do barômetro conectado ao pneu corresponde à pressão do pneu. De acordo com a lei de Stev in: dois pontos de um líquido,

situados numa mesma profun-

didade, tem a mesma pressão.

Portanto a pressão do pneu é igual à pressão no outro ramo do barômetro, na altura da linha pontilhada da figura, ou seja, é igual à soma da pressão atmosférica mais a pressão da coluna de mer-cúrio que fica acima da linha pontilhada. Para achar a pressão hidrostática do mercúrio, inicialmente determinamos a altura da coluna:136-64 = 62 cm, e em seguida montamos a regra de três: 1 atm —— 76 cm

x —— 62 cm

Temos então:

76x = 1 . 62 x = 62÷76 = 0,8 atm A pressão no pneu será então:

p = patm. + phidr= 1 + 0,8 = 1,8 atm

2. Qual seria a pressão deste pneu, se fosse medida em

“libras” (psi), como nas máquinas dos postos de gasolina? Resolução: Basta transformar o valor obtido acima para psi, usando a fórmula de conversão apresentada na página anterior. Temos então:

1 atm ——14,2 psi

1,8 atm —— x Tal que resulta:

1x = 1,8 . 14,2 x = 25,5 psi Nos automóveis pequenos, os pneus são “calibrados” com aprox i-madamente 2 atm (28,4 psi).

De olho no vestibular!

No vestibular (e outros concursos) costuma aparecer uma fórmula para calcular a pressão no interior de um líquido: p = p0 + d.g.h

Nesta fórmula, a letra d representa a densidade do líquido (em kg/m3), a letra g representa a aceleração da grav idade (g=10 m/s2), a letra h repre-senta a profundidade (em metros) em que o corpo se encontra mergulha-do; o símbolo p0 representa a pressão atmosférica (expressa em Pa) que deve ser adicionada, caso se trate de um líquido exposto à atmosfera.

Pressão sanguínea O coração é um músculo que se contrai e se dilata periodicamen-te. Durante a contração (sístole) o sangue é “empurrado” para as artérias. Depois de circular pelo corpo, o sangue retorna pelas veias do coração, nele penetrando durante a dilatação (diástole). Em condições normais, ao sair do coração e entrar nas artérias, o sangue tem uma sobrepressão

(excesso de pressão acima da pressão atmosférica) de aprox imadamente 12 cmHg na sístole e 8 cmHg na diástole, o que os médicos chamam de “12 por 8”. No entanto, se a pessoa estiver em pé, é preciso levar em conta a lei de Stev in, a qual afirma que a pressão diminui com a altura. Assim, quando a pessoa se levanta muito rapidamente, provoca uma rápida dimi-nuição da pressão arterial no cérebro, o que pode causar momentânea diminuição do fluxo sanguíneo do cérebro (até que o organismo se adapte à nova situação); desse modo, a pessoa pode sentir uma pequena tontura.

garopaba ² sc - profevaldo.xpg.com.br · entre o conceito de velocidade e o de aceleração. ......

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