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245Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. Especial 1/2011, p. 245-270 2011. Editora UFPR

Problemas multiplicativos envolvendo combinatória: estratégias de resolução

empregadas por alunos do Ensino Fundamental público1

Multiplicative problems including combinatorics: solving strategies adopted

by Public Elementary School students

Leny R. M. Teixeira2

Edileni G. J. de Campos3

Mônica Vasconcellos4

Sheila Denize Guimarães5

1 Apropostadestapesquisasejustificadadasuafiliaçãoaumprojetomaisamplo,ligadoaoGTPsicologiadaEducaçãoMatemáticadaANPEPP-Associaçãonacionaldepesquisaepós-graduaçãoempsicologia(2004),coordenadoporMárciaReginaFerreiradeBrito(Unicamp-UniversidadeEstadualdeCampinas).OGTpropôs-searealizarumapesquisacoletivaenvolvendováriasregiõesdopaís,comoobjetivodefazerumlevantamentodasprincipaisdificuldadesqueosalunosdoEnsinoFundamentalapresentamnaresoluçãodeproblemasmultiplicativos.Opresentetrabalhoconstituiumdesdobramentodestapesquisamaisgeral,esecircunscreveuaosdadosdaregiãoCentro-Oeste,representadaporalunosdacidadedeCampoGrande.Apoio:FUNDECT/MS,Brasil(FundaçãodeApoioaoDesenvolvimentodoEnsino,CiênciaeTecnologiadoEstadodeMatoGrossodoSul).

2 DoutoraemPsicologiaEscolarpelaUniversidadedeSãoPaulo.ProfessoranoPPGE-MestradoeDoutoradoemEducaçãodaUniversidadeCatólicaDomBoscodoMatoGrossodoSul(UCDB/MS),Brasil([email protected]).

3 DoutorandaemEducaçãonaUniversidadeFederaldeMatoGrossodoSul(UFMS),Brasil.([email protected]).

4 DoutoraemEducaçãopelaUniversidadeFederaldeMatoGrossodoSul(UFMS).ProfessoranaUFMS/TrêsLagoas,Brasil([email protected]).

5 DoutoraemEducaçãopelaUniversidadeFederaldeMatoGrossodoSul(UFMS).ProfessoranaUFMS/TrêsLagoas,Brasil.([email protected]).

TEIXEIRA, L. R. M.; CAMPOS, E. G. J.; VASCONCELOS, M.; GUIMARÃES, S. D. Problemas...

246 Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. Especial 1/2011, p. 245-270 2011. Editora UFPR

RESUMO

Nestetrabalhoapresentamososdadosdeumapesquisaqueteveporobjetivoverificarodesempenhodealunosdo6.°ao9.°anosdoEnsinoFundamentalnaresoluçãodeoitoproblemasmultiplicativos,envolvendoraciocíniocom-binatório.Osproblemasdiferiamemrelaçãoàquantidadedevariáveiseàquantidadedealgarismosutilizadosnosfatores.Paratanto,pormeiodeumaentrevistaclínicalevantamosasprincipaisestratégiaseerrosproduzidospor40alunosdeduasescolaspúblicas(AeB)dacidadedeCampoGrande-MS,asquaisfizerampartedeumapesquisamaisamplarealizadaanteriormente.Osdadosrevelamqueodesempenhofoimelhornosproblemascomduasvariáveisecomfatoresdevaloresbaixos,nãohavendodiferençadedesem-penhoentrealunosdo6.°edo9.°anos.Demodogeral,asdificuldadesqueemergiramestavamrelacionadas:1)aosmodelosintuitivosqueosalunostêmarespeitodamultiplicação(emespecialodasomarepetida);2)aestruturasemânticadoproblema;3)aspreferênciasnuméricasquantoaotamanhodosnúmeros,formasderepresentaroproblemaeinterpretaçãodoenunciadoverbal.Porseramultiplicaçãoumaoperaçãobastantecomplexaenvolvendo,emsuaresolução,processoscognitivosabstratos,acreditamosqueoprofessorprecisaconhecê-losparafavoreceraaprendizagemdosalunos.Palavras-chave:Aprendizagemmatemática;problemasdecombinatória;processoscognitivos;EnsinoFundamental.

ABSTRACT

ThisworkpresentsdatafromastudywhichaimedatverifyingtheperformanceofElementarySchool6thand9thgraderswhensolvingeightmultiplicativeproblems involvingcombinatorial thinking.Theproblemsweredifferentconcerningtheamountofvariablesandtheamountofnumericaldigitsusedinfactors.Therefore,throughaclinicalinterview,welistedthemainstrategiesandmistakesproducedby40gradersfromtwopublicschools(AandB)inthemunicipalityofCampoGrande(MatoGrossodoSul–MS–State)whichwerepartofalargerresearchdevelopedbefore.Theobservationsrevealthattheperformancewasbetterinproblemswithtwovariablesandfactorswithlowvalues.Therewasnoalterationintheperformanceamongthe6thand9thgraders.Ingeneral,thedifficultiesfoundwererelatedto:1)intuitivemodelsstudentshavewhendealingwithmultiplication(especiallytheoneincludingrepeatedaddition);2)thesemanticstructureoftheproblem;3)numericalpreferencesregardingthequantityofnumericaldigits,waysofrepresentingtheproblemandinterpretationofverbalproblemstatements.Becausemultiplicationisaverycomplexoperationinvolvingabstractcognitiveprocessesinitssolution,webelievethattheteacherneedstoknowthemtofacilitatestudents’learning.



Keywords:Mathematical learning; combinatorial problems; cognitiveprocesses;ElementarySchool.

ÉsabidoqueascriançastêmgrandesdificuldadesemaprenderMatemáticaequeoensinodessadisciplinanaescolaapresentamuitosproblemaseprecisaserreformulado.Umdessesproblemasrefere-seàtendênciaformalelineardoensinodessadisciplina,quepriorizaautilizaçãode“[...]procedimentosmecâ-nicos,desprovidosdesignificadosparaosalunos.Háurgênciaemreformularobjetivos,reverconteúdosebuscarmetodologiascompatíveiscomaformaçãoquehojeasociedadereclama”(BRASIL,2000,p.15).

Umfatorquenãopoderiadeixardesermencionado,quandonospropomosadiscutiraproblemáticaqueenvolveoensinodaMatemática,éafaltadesintoniaentreoqueéapresentadopelosteóricosdaEducaçãocomoindicadoresdeêxitoemsaladeaulaeaverdadeiracompreensãoeodomíniodessesindicadoresporpartedosdocentes,oqueacabacomprometendoaaprendizagemdosalunos.Pavanello(2002)afirmaqueinvestigaçõesfeitaspordiferentesinstituições,comopropósitodeavaliaroconhecimentomatemáticodosalunosquefrequentamoufrequentaramnosúltimosanosaescolabásicabrasileira,mostraramqueosmesmosnãopossuemnemaomenosacompreensãodosconceitosmaissimplesdessaáreadosaber.

Umaoutrapesquisa,realizadaporCarnoy,GoveeMarshall(2003),apre-sentaosresultadosdeumaanálisedaspráticasdeensinodeMatemáticaemsalasdeauladoEnsinoFundamentalemescolasdetrêspaíses:Brasil,ChileeCuba.Osdadosapontaramqueasescolasbrasileirasseenquadravamnacategoriadeaulasmenosexigentesemtermosdecapacidadecognitivaexigidadosalunos,obtendoamédiamaisbaixa,tantoemdemandacognitiva,comoemproficiên-ciamatemática.Essamédiaestavarelacionadaaoformatodasaulas,centradasnaaquisiçãoderespostascorretassemdesenvolveracompreensão.“Grandepartedasaulasbrasileirasconsistianaprofessoraescrevendonoquadro-negro,osalunoscopiando,compoucainteração.Asexplicações,quandoocorriam,limitavam-seadescreveroprocedimentosendoutilizando”(CARNOY;GOVE;MARSHALL,2003,p.21).

Emsíntese,dopontodevistadidático,algumasinvestigações(MANRI-QUE,2003;PAVANELLO,2001)mostramqueháumagrandecontradiçãoentreaquiloquesepropõeeserecomendaparaoensinodaMatemáticaeaquiloque,defato,épraticadopelosdocentesnocotidianoescolar.Alémdisso,osprofessorestambémdesconhecemosprocessoscognitivosenvolvidosnaaprendizagemdeconteúdosmatemáticoseanaturezadasdificuldadesadvindasdesseprocesso,conforme apontadoporRivière (1995).A ausência dessa compreensão temlevadoosprofessoresaadotaremprocedimentosdogmáticosquantoaoserrosdosseusalunos,comoafirmaBaruk(1996,p.371):



Oserros?Seelesdeixassemdeserdesqualificantes,vergonhosos,parase tornarem objetodesaberparaoprofessor,dinâmicadesaberparaoaluno que aprenderia quais as lógicasqueolevaramarespondercomoofez,equalalógicaàqualessaslógicas,legitimadasedepoisrecusadasdarãolugar,entãoosentidocomeçaráacircularnaauladematemática,dissipandooclimadeangústia,deinércia,derejeiçãooudeviolênciaemqueviveamaiorpartedosalunos.

Diantedessequadro,consideramosimportanterealizarumestudoparainvestigar,maisdeperto,questõesrelacionadasàaprendizagemdaMatemáticanoEnsinoFundamental.Paratanto,realizamosumapesquisavoltadaàcom-preensãodosprocessoscognitivosenvolvidosnaresoluçãodosproblemasdenaturezamultiplicativa,pois,demodogeral,osalunosapresentamdificuldadesparatrabalharcomasrelaçõesproporcionaisenvolvidasnamultiplicação.ParaTaxa(2001,p.5),

[...]oraciocíniomultiplicativonãosurgefacilmenteparaascriançasemfases de aprendizagemescolar.Na escola os professores parecemnãoentender suficientemente os caminhos que as crianças percorremparaentendermultiplicaçõesedivisões.

Nessesentidoéimportanteinvestirempesquisasvoltadasàaprendizagemdessecampodoconhecimentoparaquemelhorpossamoscompreendê-lo.

A resolução de problemas: estratégia didática e cognitiva

UmdosgrandesproblemasdoensinodeMatemáticadizrespeitoàfaltaderelaçãoentreaMatemáticapraticadanocotidianoeaMatemáticaensinadanaescola,queprivilegiaamemorização,aassociaçãoearepetição.Isso,“[...]fazcomqueosalunosquasenãoconsigamreinvestirseusconhecimentosemsituaçõesforadocontexto,esquecemcommuitafacilidadeeapresentamenormesdificuldadesnosníveisdeescolaridadesubseqüentes”(FREITAS,2001,p.102).Ascríticasaessesaspectostêmapontadoanecessidadedecontextualizarosconteúdosaseremtrabalhadosnaescola,deformaatorná-losmaissignificativos.Nessesentido,aresoluçãodeproblemastemsemostradoumadasalternativas



quepodemcontribuirparamelhoraroprocessodecompreensãodosalunos.Noentanto,apesardehaverdesde1970investigaçõessistemáticassobrere-

soluçãodeproblemas,cujosresultadosapontamparaaimportânciadeseadequaroensinoaessametodologia(ONUCHIC;ALLEVATO,2004),verificamosqueaindaéinsuficienteotrabalhorealizadoemsaladeaula(GUIMARÃES,2005).

De acordo comos ParâmetrosCurricularesNacionais – PCN’s – deMatemática(BRASIL,2000),aocolocarmosaresoluçãodeproblemascomofocono ensinodaMatemática, teríamosumaproposta norteadapor algunsprincípios,como:

• opontodepartidadaatividadematemáticanãoéadefinição,masoproblema;

• oproblemanãoéumexercícioemqueoalunoaplica,deformaquasemecânica,umafórmulaouumprocessooperatório;

• aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolverumcertotipodeproblema;numoutromomento,oalunoutilizaoqueaprendeupararesolveroutros;

• oalunonãoconstróiumconceitoemrespostaaumproblema,masconstróiumcampodeconceitosquetomamsentidonumcampodeproblemas;

• aresoluçãodeproblemasnãoéumaatividadeparaserdesenvolvidaemparalelooucomoaplicaçãodaaprendizagem,masumaorientaçãopara a aprendizagem,poisproporcionaocontextoemque sepodeapreender conceitos, procedimentos e atitudesmatemáticas (BRA-SIL,2000,p.43).

Todosessesprincípios tambémsãoressaltadosporOnuchic (1999)aodefenderaresoluçãodeproblemascomometodologiadeensino,afirmandoque“[...]oalunotantoaprendematemáticaresolvendoproblemascomoaprendematemáticapararesolverproblemas”(ONUCHIC,1999,p.211).

Nessesentido,osParâmetrosCurricularesNacionaisdeMatemática(BRA-SIL,2000,p.44)indicamquepararesolverumproblemaéprecisoqueoaluno:

• elaboreumouváriosprocedimentosderesolução(como,porexem-plo,realizarsimulações,fazertentativas,formularhipóteses);

• compareseusresultadoscomosdeoutrosalunos;• valideseusprocedimentos.

Comosepodeobservar,váriashabilidadesdeverãoserdisponibilizadasaoresolverumproblemaenãosimplesmenteacapacidadedearmazenarin-formaçõeseaplicá-lasmecanicamente,vistoqueumproblemaé“[...]qualquersituaçãoquepedeumasolução,trazendoaossujeitosanecessidadededescobrir



relaçõeseexplorá-las,deelaborarhipóteseseverificá-las”(MORO,1998,p.7).ParaPonteeSerrazina(2000,p.52),a“[...]resoluçãodeumproblema

constituiumprocessodeelevadoníveldecomplexidade,queenvolveosproces-sosmaissimplesderepresentarerelacionar”.Representarenvolvecompreendereusarsímbolos,convenções,gráficoserelacionarimplicabuscarregularidadeegeneralizaçãoentreosconceitos.

Apesardaspesquisasmostraremquearesoluçãodeproblemaséumpro-cessosujeitoàelaboração,“[...]osalunosestãoacostumadosaencontrarama-temáticanaformaacabada”(HOUSE,1997,p.218).Estaimagemépropagada,emmuitoscasos,pelopróprioprofessor,queacreditaqueestáensinandooalunoaresolverproblemas,mostrandosuaformaderesoluçãonalousa.Desconhecequeasuaformanãopodeseraprendidaatravésdaimitação,ficandoodesem-penhoaprendidodistantedaquelealmejado(FIGUEIREDO;GALVÃO,1999).

Inversamente,ao resolverproblemasosalunosmobilizamesquemasecriamestratégias,consideradaspertinentesparacadacaso,possibilitandoaoprofessoridentificardiferentesraciocínios,dentreelesomultiplicativo,focodesteartigo.

A resolução de problemas multiplicativos

Amultiplicaçãoéumaoperaçãoutilizadapararealizarcontagenssemquesejaprecisoenumeraroselementosenvolvidos.Amultiplicaçãoé,nogeral,con-sideradaumadasformasmaiseficazesdesubstituiradiçõescomparcelasiguais.

SegundoGranell (1983), o uso do princípiomultiplicativo é bastantecomplexoeenvolvedomíniodeváriasrelaçõesqueultrapassamasimplesiden-tificaçãodamultiplicaçãocomoadiçãodeparcelasiguais.Paratanto,acriançaprecisacompreenderdoiselementosfundamentaisenvolvidosnoprocessodamultiplicação:opapeldooperadormultiplicativoouonúmerodeconjuntosequivalentesdeoperaçõesase realizarea relaçãoexataentreonúmerodeelementosdecadaconjuntoeonúmerodeoperaçõesquedevemserefetuadas.

SegundoCastroet al.(1996,p.139-140),

[...]multiplicaréreiterarumaquantidade,emseunívelmais intuitivo.Osdoistermosdoprodutorespondemacontextosdiferentes;umdeleséaquantidadequeserepete–multiplicando–,eéumnúmerocardinalconcreto,comobjetosquesevêem.Ooutrofatornosdizàsvezesquese



repetemaquantidadeinicial–multiplicador–,eéumaespéciedecardinaldesegundaordemoucardinaldecardinais,muitomaisabstratoqueoanterior,eporissomesmodevesersimbolizadodeimediato(traduçãonossa).

Nessesentido,Bryant&Nunes(1997,p.142)afirmamque,paracom-preender amultiplicação e a divisão, é precisomuitomais doque calcularquantidades.

Acriançadeveaprendereentenderumconjuntointeiramentenovodesentidosdenúmeroseumnovoconjuntodeinvariáveis,todasasquaisestãorelacionadosàmultiplicaçãoeàdivisão,masnãoàadiçãoeàsubtração.

SegundoMartinez(1995),algunsautorestêmestudadoproblemasrela-cionadosaocampodaestruturamultiplicativa,descrevendo-ossegundopontosdevistamaisoumenossemelhantes.Oautorapresenta,noquadroaseguir,asclassificaçõesdeproblemasdeestruturamultiplicativamaisdivulgadas.

Vergnaud (1983, 1988) Schwartz (1981, 1988) Nesher (1988)Isomorfismode

Medidas IxE=E’Regrade

correspondência(“mappingrule”)

Comparaçãomultiplicativa

Produto de MedidasExE’=E” Produto cartesiano

QUADRO1–CLASSIFICAÇÃODEPROBLEMASMULTIPLICATIVOSFONTE:ADAPTADODEMARTINEZ(1995,p.21).

Neste trabalho utilizaremos a classificação apresentada porVergnaud(1991),queapresentaamultiplicaçãocomopertencenteaocampoconceitualdasestruturasmultiplicativas,cujotratamentodassituaçõesdemandammul-tiplicaçõesedivisõesdediferentestipos,ouàcombinaçãodessasoperações.

Paraoautor,acomplexidadeeadiversidadeemrelaçãoaodomíniodas



relaçõesmultiplicativaspodemserilustradasatravésdaresoluçãodeumcon-juntodeproblemascomplexos,classificadoscomo:isomorfismodemedidas,produto de medidas.

• Isomorfismo de medidas:envolveumarelaçãoquaternária,istoé,umaproporçãosimplesentredoisespaçosdemedida.Osesquemasutilizadospararesolverestesproblemasenvolvemdiferentesníveisdedificuldades:multipli-cação,regradetrêsoudivisão.Entretanto,todospodemserrepresentadosporesquemasanálogos,ondeumaquantidadeéprocurada,porexemplo:“Tenho3pacotesde iogurtes.Existem4 iogurtesemcadapacote.Quantos iogurtestenho?”(VERGNAUD,1991,p.197).

Emsituaçõesenvolvendoisomorfismodemedidas,pode-seidentificardoistiposdeproblemasdedivisão:partiçãoedequotição(medidaporquotas).Noproblemadepartiçãoédadaumaquantidadeinicialeonúmerodevezesqueestadeveserdistribuída,devendo-seencontrarovalordaunidade,porexemplo:“PagueiR$12,00por3garrafasdevinho.Qualéopreçodeumagarrafa?”(VERGNAUD,1991,p.198).Noproblemadequotição(medidaporquotas),existeumaquantidadeinicialquedeveserdivididaemquotaspreestabelecidascomomostraoproblema:“PedrotemR$12,00equercompraralgunspacotesdecarameloquecustamR$4,00cadapacote.Quantospacoteselepodecomprar?”(VERGNAUD,1991,p.198).

• Produto de medidas:envolveumarelaçãoternáriaentretrêsquantida-des,istoé,acomposiçãodedoisespaçosdemedidasemrelaçãoaumaterceiramedida,tantonoplanonuméricocomonoplanodimensional.Vergnaud(1991)comenta que esta estrutura cartesiana de duas medidas para encontrar uma terceiramedidapodeserobservadaemproblemasqueenvolvemvolume,áreaecombinatória.

Nopresentetrabalhovamosinvestigarapenasosproblemasassociadosàideiadecombinatória,ouseja,aquelesqueenvolvemprodutosdemedidas,cujosenunciadossãodotipo:Voudarumafestaeservireisanduíches.Parafazerossanduíchescompreidoistiposdequeijoequatrotiposdepães.Quantossanduíchesdiferentespossoservircomumtipodepãoeumtipodequeijo?

Pararesolveressetipodeproblemapodemosusarprocedimentoscomoumatabeladeduplaentradaouumdiagramadaárvorequepermiteidentificartodososcasospossíveis.Essesproblemaspodemserresolvidosporcontagemseosnúmerosenvolvidosforempequenos,casocontrárioousodoprincípiomultiplicativoémaisadequado.

Kouba(1989),investigandoaresoluçãodediferentesproblemasmultipli-cativos,descreveumadiversidadedeestratégiasusadasporalunosdoEnsinoFundamental,apontandoqueosrelacionadosaprodutodemedidasforamosmaisdifíceisparaosalunos.



UmoutroestudorealizadoporBritoeCorrea(2003)fazumaanálisedodesempenhodosalunosdoEnsinoFundamentalemproblemasdeprodutodemedidas.Osresultadosrevelamqueosalunosemsériesmaisadiantadastiverammaisacertosqueosdemaisequeasdificuldadesforammaisevidenciadasnosproblemasqueapresentavamnúmerosmaiores.

Partindodessespressupostos, apresentepesquisapretendeuverificarodesempenhodealunosdo6.°ao9.°anosdoEnsinoFundamentalnaresoluçãodeproblemasmultiplicativos, envolvendo raciocíniocombinatório.Comesteintuito,realizamosumlevantamentodasprincipaisestratégias,bemcomo,dosprincipais erros produzidos.

Metodologia

Apesquisafoirealizadaemduasescolaspúblicas(AeB)dacidadedeCampoGrande-MS,asquaisfizerampartedeumapesquisamaisamplarea-lizada anteriormente6.Nestaetapa realizamosumaentrevistaclínica,comoobjetivodeexplicitarosprocessoscognitivosenvolvidosnaresolução.Paratantoselecionamos,aleatoriamente,20alunosdecadaescola(dezdo6.°edezdo9.°ano).Cadasujeitoresolveuindividualmente8problemas7envolvendoraciocíniocombinatório,sendoquatrodelescomduasvariáveis(problemasde1a4)equatrocomtrês(problemasde5a8).Houvetambémumavariaçãoreferenteaotamanhodosnúmerosutilizados,conformeapresentamos:

1-Viemumarevistaqueumaartistadetelevisãotem86paresdesapatose54tiposdemeias.Quantasvezeselapodesairsemrepetiracombinaçãodesapatosemeias?

2-Tatianavaiaumafestaafantasiausandoperucaeóculos.Emumalojaelaencontrou42tiposdeperucase26tiposdiferentesdeóculos.Dequantasmaneiraselapodesearrumarusandoumóculoseumaperucadecadavez?

3-Umalojavendebolsasdedoistamanhos(pequenasegrandes)emquatrocoresdiferentes(preta,marrom,azulebranca).Mariaquercomprarumabolsanestaloja.Quantostiposdiferentesdebolsaelapodeescolher?

4-Voudarumafestaeservireisanduíches.Parafazerossanduíchescom-

6Emuma fase anterior foi realizada umapesquisa envolvendo 400 alunos doEnsinoFundamentaldaredepúblicadamesmacidade,naqualfoiaplicadaumaprovacoletivacom15problemasderaciocíniocombinatório,envolvendomultiplicaçãoedivisão.

7Foramescolhidos8dos15problemasaplicadosnaetapaanteriordapesquisa;osproblemasescolhidosforamreferentesàssituaçõesemqueseusavaapenasmultiplicação.



preidoistiposdequeijoequatrotiposdepães.Quantossanduíchesdiferentespossoservircomumtipodepãoeumtipodequeijo?

5-Umasapatariatem45paresdiferentesdesapatos,36tiposdebolsae24tiposdecinto.Cristianequercomprarumsapato,umabolsaeumcinto.Quantosconjuntosdiferentesdebolsa,sapatoecintoelapodeescolhernestaloja?

6-Valériatem32colares,92pulseirase65anéis.Dequantasmaneirasdiferenteselapodesearrumar,usandoapenasumcolar,umapulseiraeumaneldecadavez?

7-Emumasorveteriaporquiloexistem6saboresdesorvete,3coberturasedoistiposdecasquinhas.Dequantasmaneirasdiferentesvocêpodeseservir,sabendoquetodosossorvetessãoacompanhadosdecasquinhaecobertura?

8-NafestadeaniversáriodeLúcio,cadacriançavaireceberumsaquinhodelembrança.Parareceberossaquinhos,amãedeLúciocomproudoissabo-resdepirulito,3saboresdechicletee2saboresdebombons.Quantostiposdiferentesdesaquinhoselapodefazercomumsabordepirulito,umsabordechicleteeumsabordebombom?

AprovafoiprotocoladaemfolhasdepapelA4,contendodadosrelativosàidentificação.Aoiniciaraaplicaçãodaprovarecomendávamosaossujeitosquenãoriscassemouapagassemasresoluçõesqueconsiderasseminadequadas,visandomanteroregistrodastentativasanterioresàsoluçãoconsideradacor-retapelosmesmos,poisestaspoderiamconstituirimportanteselementosparaanálise.Ossujeitos liamosproblemas, registravamaresoluçãoe,àmedidaqueeramindagadospelapesquisadora,relatavamasrazõesdosprocedimentosempregados.Odiálogodopesquisadorcomossujeitosfoigravadoeorientadopelasseguintesquestões:Comopensarampararesolveroproblema?Qualaperguntacontidanoenunciadodoproblemaquedeveriaserrespondidaequalarespostaencontrada?Comopoderiamsabersearesoluçãoapresentadarespondiaàperguntadoproblemaeseestepermitiaumaresoluçãoalternativa.

Comestametodologiapretendíamosofereceraosenvolvidosaoportunida-dedefazeroretrospectoouaverificaçãodosseusprocedimentos,permitindoqueexaminassemseasoluçãoobtidaestavacorretaeseexistiaumaoutramaneiraderesolveromesmoproblema.

Descrição e análise dos resultados

Osdadoscoletadosforamtranscritoseanalisadoscomduasfinalidades:descreverodesempenhodosalunosnosproblemaseidentificarosprocedimentos



utilizados.Apresentaremosaseguircadaumdelesdeformadetalhada:

a) Desempenho dos alunos nos problemas

AsinformaçõesrelativasaodesempenhodossujeitosdasescolasAeBestãodispostasnasTabelas1,2e3apresentadasnasequência.

TABELA1–DESEMPENHODOSALUNOSNOSPROBLEMASDECOM-BINATÓRIAREFERENTEÀESCOLAA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Total %

Categoria 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º

1 1 1 1 1 3 4 4 2 - 1 - - 2 1 3 1 25 15,6

2 3 - 1 - 3 - - - - - - 1 4 - 3 - 15 9,4

3 - - - - - 2 - 1 - - - - - 1 - - 4 2,5

4 6 7 8 7 3 1 5 4 9 5 10 5 3 4 3 5 85 53

5 - 2 - 2 1 3 1 3 1 3 - 4 1 4 1 4 30 18,8

6 - - - - - - - - - 1 - - - - - - 1 0,6

Total 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 160 100

N=1601. Acerta operação e resultado2. Acerta operação e erra resultado3. Acerta resultado4. Erra operação e resultado5. Erra resultado6. Em branco

ÉpossívelverificarnaTabela1queamaiorporcentagemderespostasdosalunosdaescolaAfoiencontradanacategoria4,considerandoqueem53%dasrespostasosalunosusaramprocedimentosinadequadospararesolveremosproblemas,ouseja,escolheramoperaçõesquenãoosconduziriamàrespostacorreta.Verificamosque18,8%dasrespostasobtidasforamdealunosquenãoresolveramoproblema, apenasapresentarama respostade forma incorreta.Podemosnotartambémqueumapequenaporcentagemderespostas(15,6%)éprovenientedosalunosqueobtiveramêxito,considerandoqueutilizarampro-cedimentosprópriosderesoluçãoeacertaramocálculo.Tambémhouve2,5%derespostascorretasquenãoindicavamaoperaçãorealizada.

Agrupandoasporcentagensdascategorias1e3verificamosque18,1%das respostas revelamumbomdesempenho dos sujeitos na resolução dosproblemas.Observamos,ainda,que9,4%dasrespostassãoreferentesaospro-



cedimentosadequadosderesolução,porémcomerrosnoscálculos.ATabela1nosmostratambémqueapenas1alunonãoconseguiuresolvernenhumdosproblemaspropostos.

ATabela2,aseguir,revelaodesempenhodosalunosnosProblemasdeCombinatóriareferenteàEscolaB.

TABELA2–DESEMPENHODOSALUNOSNOSPROBLEMASDECOM-BINATÓRIAREFERENTEÀESCOLAB

Problema 1

Problema2

Problema 3

Problema4

Problema 5

Problema6

Problema7

Problema 8

Total %

Categoria 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º 6º 9º

1 - 1 - 1 2 7 3 2 - - - - - 3 - 3 22 13,7

2 2 - - - - 1 - 1 - - - - 2 - - - 6 3,7

3 - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 0,6

4 8 9 10 9 4 2 5 7 10 9 10 9 6 5 10 4 117 73

5 - - - - 4 - 2 - - 1 - 1 1 1 - 1 11 7

6 - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 3 2

Total 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 160 100

N= 160

1. Acerta operação e resultado2. Acerta operação e erra resultado3. Acerta resultado4. Erra operação e resultado5. Erra resultado6. Em branco

ATabela2nosmostraumnúmerobastanteexpressivoderespostasquenãorevelaramresoluçõescorretas,ouseja,73%apresentaramprocedimentosinadequadosderesoluçãoe/oumostraramerrosdecálculo.Noentanto,13,7%dasrespostasindicamqueossujeitosempregaramprocedimentosadequadosderesoluçãoeacertaramoscálculos.Houve,ainda,0,6%deresultadoscorretossemidentificaçãodoprocedimentoutilizado.

Verificamosque7%sereferemàsrespostasincorretase3,7%dasrespostasobtidasforamdesujeitosque,apesardeteremconseguidoresolverosproblemasdeformacorreta,erraramocálculo.

Noconjuntodascategorias1e3há umpercentualbaixo(14,3%)derespostascorretasnosproblemasapresentados,sinalizandoqueosproblemasdecombinatóriaforamdifíceisparaossujeitos,independentedoanocursado.

ATabela3,aseguir,apontaafrequênciaepercentualgeraldasrespostas



relativasaodesempenhodosalunosnosproblemasdecombinatórianasescolasAeB.

TABELA3–DESEMPENHOGERALDOSALUNOSNOSPROBLEMASDECOMBINATÓRIANASESCOLASAEB

Escola A Escola B

Desempenho 6º 9º Subtotal 6º 9º Subtotal Total %

1 14 11 25 5 17 22 47 14,72 14 1 15 4 2 6 21 6,53 - 4 4 1 - 1 5 1,54 47 38 85 63 54 117 202 635 5 25 30 7 4 11 41 136 - 1 1 - 3 3 4 1,3Total 80 80 160 80 80 160 320 100

N= 320

1. Acerta operação e resultado2. Acerta operação e erra resultado3. Acerta resultado4. Erra operação e resultado5. Erra resultado6. Em branco

PodemosobservarnaTabela3queaoagruparmosascategoriasqueapre-sentamoperaçãoeresultadoerrados(63%)eapenasresultadoserrados(13%)verificamosumpercentualelevadoderespostaserradas(76%).OconjuntodasrespostasevidenciaqueosproblemasdecombinatóriaforamdifíceistantoparaosalunosdaescolaA,quantoparaosalunosdaescolaB,tendoemvistaqueadiferençaentreodesempenhodasduasescolasnãofoitãogrande.

Verificamosque6,5%dasrespostascorrespondemaosalunosqueapresen-taramprocedimentosadequadosderesolução,porémerraramocálculo.Destas,4,6%foramobtidasnaescolaAeasdemaisnaescolaB.

Aanálisedodesempenhonospermitiuobservar tambémquenasduasescolas(AeB)houve1,3%derespostasprovenientesdealunosquenãore-solverampelomenosumdosproblemaspropostos,sendoqueamaiorparteconcentra-senaescolaB.



b) Procedimentos utilizados pelos alunos

Nestetópicodescrevemoseanalisamososdadosreferentesaosproce-dimentosempregadospelosquarentasujeitosdasescolasAeBnaresoluçãodosoitoproblemaspropostos.Aanálisedasrespostasnospermitiucategorizarquatorze tipos de procedimentos utilizados.

TABELA4–PROCEDIMENTOSEMPREGADOSPELOSSUJEITOSDASES-COLASAEBNARESOLUÇÃODOSPROBLEMASPROPOSTOS

Problemas com duas variáveis Problemas com três variáveis

T o t a l Geral

Números grandes Números pequenos Números grandes Números pequenos

Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. 4 Prob. 5 Prob. 6 Prob. 7 Prob. 8

Proc. A B T A B T A B T A B T A B T A B T A B T A B T T %

1 5 5 3 2 5 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 18 4,75

2 4 3 7 3 5 8 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4 5 9 1 1 31 8,18

3a 2 2 2 2 4 2 2 4 8 8 16 2 1 3 5 5 5 3 8 1 1 43 11,34

3b 1 1 2 2 2 4 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 16 4,22

4 9 6 15 9 3 12 1 1 3 3 5 1 6 1 3 4 41 10,81

5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 06 1,59

6 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 08 2,11

7 2 5 7 2 8 10 1 3 4 3 3 3 12 15 3 10 13 5 5 4 10 14 71 18,73

8 1 1 1 1 4 2 6 5 3 8 2 1 3 2 2 4 3 3 26 6,87

9 3 2 5 3 1 4 11 9 20 9 3 12 1 1 1 1 3 3 5 3 8 54 14,24

10 1 1 1 1 1 1 2 2 4 2 2 3 3 3 1 4 16 4,22

11 1 1 1 1 1 1 03 0,80

12 1 1 1 1 02 0,52

13 3 3 2 2 1 2 3 4 4 3 2 5 3 3 1 3 4 1 3 4 28 7,39

14 1 3 4 1 1 2 1 3 1 1 6 6 1 1 16 4,23

Legenda:Proc = procedimentoProb=problemaT= totalN=379

Osprocedimentosde1a14elencadosnaTabela4 referem-serespec-tivamente às seguintes categorias:Emprega amultiplicação,mas rejeita oprocedimentoporacreditarqueoresultadoémuitoalto;Indiferenciaçãoentrepossibilidadesdecombinaçõesxpossibilidadesúnica(realxpossível);Reduzonúmerodecombinaçõesaumadasvariáveisdoproblema,elegendoumadelas



comoresultadoouàquantidadedevariáveisdoproblema;Subtraiasvariáveis(raciocínioporcorrespondência1a1)eelegeesseresultadocomoonúmerodecombinaçõessolicitado;Repeteosvaloresdasvariáveisdoproblema,indicando-oscomoresultadosisolados;Somaparaagruparasvariáveis,depoisdividepelon.°devariáveis;Somaovalordasvariáveis;Combinaçõesparciaisouassis-temáticas,iníciodoprincípiomultiplicativo;Raciocinaporcorrespondência1paramuitos;Usaprocedimentosimprópriosprovenientesdeoutrassituações;Associanúmeroporextensocomausênciadedadosnoproblema;Percebequetodososproblemaspossuemomesmoraciocínio;Procedimentoserespostasaleatórios;Raciocinacombaseempistasnoenunciado.

ObservamosnaTabela4queoprocedimento7 foi omais recorrente,ouseja,18,73%dasmençõesindicaramqueossujeitossomaramovalordasvariáveispararesolveroproblema,sendoquehouveumapredominâncianosproblemascomtrêsvariáveis.Aoanalisarmosafrequênciadesseprocedimentoporescola,verificamosquenaescolaAelefoimaisempregadonoproblema5enaescolaBnosproblemas6e8.

Osegundoprocedimentomaisutilizadofoio9(14,24%),noqualospar-ticipantesraciocinaramporcorrespondênciaumparamuitos,principalmentenosproblemas3e4.Observamosqueessafrequênciafoimaisenfatizadanoproblema3,emambasasescolas.Contudo,issonãosignificaquenodecorrerda resolução esse procedimento tenha sidomantido ou proporcionado umresultado correto.

Com11,34%dasmençõesapareceoprocedimento3a(reduzonúmerodecombinaçõesaumadasvariáveisdoproblema,elegendoumadelascomoresultado).Issoocorreuespecialmentenosproblemas4e7.Emrelaçãoàses-colas,esseprocedimentofoimaisfrequentenoproblema4,tantoparaaescolaAcomoparaaescolaB.

Outroprocedimentoutilizadocommaiorfrequênciafoio4(10,81%),noqualosalunossubtraíramasvariáveis(raciocínioporcorrespondência1a1)eelegeramoresultadoencontradocomoonúmerodecombinaçõessolicitado.Observamosqueomesmofoimaisusadonosproblemas1e2(escolasAeB).

Paraquepossamosmelhorevidenciartaisprocedimentos,apresentamosnasequênciaumadescriçãodosmesmos,acompanhadosdeexemplos.

Procedimento 1 – Emprega a multiplicação, mas rejeita o procedimento por acreditar que o resultado é muito alto

Asrespostasquecompõemestacategoriarevelamqueossujeitosentre-vistadosempregaram,inicialmente,amultiplicaçãoparasolucionaroproblemaproposto.Noentanto,optaramporsubstituiressaoperaçãoporoutraemfunção



de acreditarem que o resultado encontrado era muito alto.Podemosobservarqueesteprocedimentoaparececommaiorfrequência

nosproblemas1 e 2, os quais são compostos por apenasduasvariáveis devaloresaltos.

Pesquisadora: Por que que você achou que a multiplicação não podia ser?Pamela: Porque é muita coisa (referindo-se ao resultado encontrado).

Procedimento 2 – Indiferenciação entre possibilidades de combinações x pos-sibilidades única (real x possível)

Nesteprocedimentopercebemosque,emcertasocasiões,osresultadosencontradosforamindicadospelossujeitoscomoinadequadospelofatodenãodistinguiremopossíveldoviável.

Verificamosprincipalmentenosproblemas1,2e6aopçãoporestepro-cedimento,porseremcompostosporvariáveisdevaloresaltos.

Pesquisadora: O que significa esse resultado em relação ao problema?Thaciane: Ela pode usar 81365 de colares, pulseiras e anel de cada vez.Pesquisadora: Tem outro jeito pra resolver esse problema? Thaciane: Tem. Usando a conta de menos.Pesquisadora: Qual forma está correta?Thaciane: A segunda (Subtração), porque a primeira (Multiplicação) deu

muito.Pesquisadora: Deu muito grande? Não pode ter um número tão grande

assim?Thaciane: Não, porque ela não conseguiria usar [...] 81360 colar, pulseira,

anel de cada vez.

Procedimento 3 – Reduz o número de combinações

3a)aumadasvariáveisdoproblema,elegendoumadelascomoresultadoNestecaso,osentrevistadosescolheram,dentreasvariáveisapresentadas

noenunciado,apenasuma(amaiorouamenor)eaapontaramcomorespostaparaoproblema,semquequalqueroperaçãofosseadotada.Esteprocedimentofoiutilizadocommaiorfrequêncianosproblemas4e7.Supomosqueissoestejarelacionadoaofatodosenunciadosabordaremvariáveisdevalorespequenoseassuntospróximosdocotidiano(sanduíchesesorvetes).

Pesquisadora: O que significa esse resultado que você encontrou?



Camila: Significa que ela pode sair 32 vezes sem repetir os pares de sapatos e de meias.

Pesquisadora: Como você chegou a esse resultado?Paulo: [...]só tem seis sabores diferentes de sorvete, então você pode servir

de 6 sabores. [...] pode montar o sorvete de seis formas diferentes.

3b)àquantidadedevariáveisdoproblemaDiferentementedacategoriaanterior,nesta,ossujeitoscontaramonúme-

rodevariáveisexpostasnoproblemaeototalencontradofoiapontadocomoresposta.

Evidenciamos uma equidade na distribuição desta categoria quandoobservamososdadosdaTabela4.Apesardesseequilíbrionotamosumíndicemaiornosproblemasconstituídosportrêsvariáveis.

Pesquisadora: Tá bom Lara, como foi que você chegou a esse resultado?Lara Beatriz: [...] ela pode colocar um sabor de pirulito, um de chiclete e

um de bombom num saquinho e ela pode colocar num outro saquinho outro sabor de pirulito, com dois de chiclete e um bombom.

Procedimento 4 – Subtrai as variáveis (raciocínio por correspondência 1 a 1) e elege esse resultado como o número de combinações solicitado

Asmençõesquecompõemestacategoriarevelamqueasubtraçãodasvariáveisfoiempregadacomaintençãoderelacionarumadeterminadaquan-tidadedeelementos(ex:óculos)àoutra(ex:perucas).Adiferençaencontradafoiassinaladacomototaldepossibilidades.

Estacategoriaapareceucommaiorênfasenosproblemas1e2,usadaalgumasvezescomoalternativaporaquelesqueempregaramoprocedimentoum(Empregaamultiplicação,masrejeitaoprocedimentoporacreditarqueoresultadoémuitoalto).

Pesquisadora: O que você fez para resolver o problema?Jonh: Fui subtraindo o número de perucas pelo número de óculos.Pesquisadora: Mas por que subtração?Jonh: Porque o número de perucas é maior que os tipos de óculos, para

subtrair o maior do menor.

Pesquisadora: Como você descobriu que a conta era essa?Camila: Somando, quer dizer diminuindo quantos pares de meia ela tem e

quantos pares de sapatos.



Pesquisadora: Você subtraiu por quê?Camila: Porque ela tem a maioria de sapatos do que de meias.

Procedimento 5 – Repete os valores das variáveis do problema, indicando-os como resultados isolados

Nestacategoriaossujeitos,semadotarqualquertipodecálculo,repro-duziram,naíntegra,osvaloresdasvariáveisapresentadasnosenunciadoseoscitaramcomorespostadoproblema.

Pesquisadora: Como você descobriu que esse seria o jeito de resolver?Paulo: Porque o problema está perguntando quantas bolsas, quantos sapatos

e quantos cintos ela pode escolher na loja. Essa loja tem 36 tipos de bolsas, 24 tipos de cintos e 45 sapatos. Ela pode escolher o que a loja tem.

Procedimento 6 – Soma para agrupar as variáveis, depois divide pelo n.° de variáveis

Emrazãodesuporqueeraprecisocalcularamédiadosvaloresreveladosnoenunciado,estacategoriaabarcaossujeitosqueformaram,primeiramente,umconjuntoapartirdaadiçãodessesvalorese,emseguida,odividirampelonúmeroquecorrespondiaaototaldevariáveis.

ATabela4nosmostraumequilíbrionadistribuiçãodesteprocedimento,sendomaispresentenamaiorpartedosproblemascomtrêsvariáveis(5,6e7).

Pesquisadora: Qual é o valor?Tatiana Vicente: [...] somei a quantidade de tudo o que ela tem, deu 189,

dividi pelos 3: pelo colar, pela pulseira e pelo anel, que deu 63. Aí o 63 eu peguei [...] eu dividi de novo, que deu 21.

Procedimento 7 – Soma o valor das variáveis

Nestacategoriaossujeitosadicionaramosvaloresexpostosnosenunciadose indicaram como resultado o total encontrado.

Esteprocedimentofoiusadocommaiorfrequêncianosproblemas5,6e8,constituídosportrêsvariáveis.

Pesquisadora: Como você descobriu que a conta tinha que ser esta?Tatiana Vicente: [...] porque aqui já tá falando que já tem dois tamanhos

de quatro cores, o problema tá querendo saber quantos tipos diferentes de bolsa



ela pode escolher. No caso então, vai ser quatro mais os dois tipos de tamanho que vai ser seis. Então ela pode escolher seis bolsas.

Procedimento 8 – Combinações parciais ou assistemáticas, início do princípio multiplicativo

Asrespostasquecompõemestacategoriarevelamquedentreasvariáveisapresentadasnosenunciadosapenaspartedelasfoiselecionadanoprocessodesoluçãodoproblema,sejamedianteoempregodamultiplicaçãooudeesque-mas.Emcertoscasos,apesardeutilizaremtodasasvariáveis,somentepartedaquantidadedecadaumadelasfoiconsiderada.

Osproblemas3e4foramosqueapresentarammaiorfrequênciadestepro-cedimento.Caberessaltarqueosmesmossãocompostospornúmerospequenos.

Pesquisadora: Como você descobriu que esse seria o jeito de resolver o problema 2?

Paulo: Para ela usar um óculos e uma peruca ela tem que usar a metade. Foi isso que pensei. Ela vai usar metade desses daqui com a metade desses daqui.

Procedimento 9 – Raciocina por correspondência 1 para muitos

Nestecaso,ossujeitosempregaramamultiplicaçãodetodasasvariáveisdosproblemas,evidenciandoaideiadecombinatória.

Esteprocedimentofoimaisrecorrentenosproblemas3e4,cujosvaloresdasvariáveissãopequenos.

Lara: Porque multiplicando os tipos de queijos com os tipos de pães eu vou saber quantos tipos diferentes eu posso servir.

Procedimento 10 – Usa procedimentos impróprios provenientes de outras situações

Nesteprocedimentoosparticipantesusaram indevidamenteestratégiasprovenientesdeoutrassituaçõescomo,porexemplo,equações,pararesolverosproblemaspropostos.

Percebemosousodesteprocedimentoespecialmentenosproblemasquepossuemtrêsvariáveis(5,6,7e8).

Pesquisadora: Como dá para resolver o problema 8?Camila: Da mesma forma que eu fiz o exercício 4. Nomear cada um e fazer



a equação.Pesquisadora: Como dá para resolver o problema 8?Paulo: Bom, ela comprou 2 sabores de pirulito, aí eu já coloquei multi-

plicação e ela colocou mais 3 sabores de chicletes, 2 sabores de bombons. Então coloquei somando. Então eu peguei e fiz a forma distributiva 2(3+2) e cheguei nesse resultado.

Procedimento 11 – Associa número por extenso com ausência de dados no problema

Nestacategoriapercebemosque,comonemsempreosvaloresdispostosnosenunciadosdosproblemaseramformadosporalgarismos,algumasvezes,osvaloresnãoforamselecionados/consideradosnomomentoderesolvê-los.

Pesquisadora: Mas com qual operação você resolve?Camila: Não tem nenhuma numeração aqui.

Procedimento 12 – Percebe que todos os problemas possuem o mesmo raciocínio

Identificamosapenasdoissujeitosque,independentedofatodeteremounãoclarezaacercadaformamaisadequadadesolucionarosproblemaspropos-tos,mencionaramnoinício(problema2)ounofinal(problema8)daentrevistaquehaviaalgoemcomumentreosmesmos.

Pesquisadora: Agora me diz uma coisa Lara, você resolveu todos os pro-blemas por multiplicação por quê?

Lara Lozano: Porque são todos iguais, tem a mesma maneira de resolver.

Procedimento 13 – Procedimentos e respostas aleatóriosEste procedimento refere-se aos sujeitos que tentaram solucionar um

mesmoproblemaalternandoasestratégias,semestabelecerumcritériocoerente.Observamosaadoçãodesteprocedimentoprincipalmentenosproblemas

4,5,7e8.

Pesquisadora: Como você descobriu que tinha que ser essa continha de divisão?

Jacqueline Leite: [...] eu não sei ah, eu olhei aqui e falei: Vou ter que fazer uma divisão!

Pesquisadora: Tem outro jeito de resolver esse problema?Jacqueline Leite: Tem por mais conta: adição, subtração, multiplicação...



Pesquisadora: Então, qual é a conta certa?Jacqueline Leite: Tanto faz!

Procedimento 14 – Raciocina com base em pistas no enunciado

Nestacategoriaossujeitosescolheramasestratégiasqueutilizariamcombasenostermosempregadosnosenunciados,principalmentenosproblemas1e7,cujostermosserviramcomodicas.

Pesquisadora: Como você descobriu que tinha que ter feito uma multipli-cação para resolver esse número um?

Laís Barros: Porque aqui só fala em quantas vezes ela pode sair sem a combinação de sapatos, daí eu achei que fosse vezes.

Considerações finais

Emrelaçãoaodesempenhodossujeitos,ficaclaroquea resoluçãodeproblemasenvolvendocombinatóriaécomplexa,poisnasduasescolashouveapenas16,2%derespostascorretas(Tabela3–categorias1e3).Háaindaqueseconsiderarqueodesempenhofoimelhornosproblemascomduasvariáveisecomfatoresdevaloresbaixos(problemas3e4),conformeindicamasTabe-las1e2.Issotalvezpossaserexplicadoporqueosalunosconseguemoperarcomasvariáveisapenasnoplanolinear,aditivo,comomostraMoroeSoares(2006),ouoperamcommultiplicaçãonoscasosemque,sendoosnúmerosdevaloresbaixos,ocálculomentalouprocedimentosintuitivospodemserutili-zados(TAXA,2001).

Aoobservarmososprocedimentosempregadospelosalunos,ficanítidaadificuldadedosalunosquantoaoraciocíniocombinatório,considerandoqueoprincípiomultiplicativofoiusadocompoucafrequência.Ossujeitosutilizaram,nogeral,procedimentosaditivos(juntarosfatoresousubtraí-los),revelandoumraciocíniocombasenacorrespondênciadeumparaum,oquemostraumaestratégiaprimária enatural, segundoapontamalgumaspesquisas (BRITO;CORREA,2003;KOUBA,1989;MORO;SOARES,2006).

Quantoàescolaridade,osdadosmostraramquenãohouvediferençadedesempenhoentreossujeitosdo6.°edo9.°anos,resultadotambémevidenciadoporMoroeSoares(2006).

Emboranãotenhamosumcontrolesobrecomoosconceitosenvolvidos



nosproblemas foram trabalhados pelos professores das escolas envolvidas,sabemosquedopontodevistadafrequêncianosmateriaisdidáticosanalisa-dos,assituações-problema,envolvendoraciocíniocombinatório,forampoucoabordadas(TEIXEIRAet al.,2008).

Emsíntese,oexamedosprocedimentosadotadospelossujeitosnaresolu-çãodosproblemasaquiapresentadosdeixaclarooquantoacorrespondênciaumparamuitosécomplexa,sobretudonocasodeproblemascomcombinatória,eoquantoasuanãocompreensãoestánaraizdasestratégiasusadas.Observandoaresoluçãodaprovacomoumtodo,algumasdificuldadesforamevidencia-das,corroborandoosestudosrealizadosporpesquisadoresdaárea(BRITO;CORREA, 2003;KOUBA, 1989;MORO;SOARES, 2006;TAXA, 2006).Taisdificuldadesestãorelacionadasaosmodelosintuitivosqueoalunotemarespeitodamultiplicação(emespecialodasomarepetida),ostiposdenúmeros(naturaisoudecimais)aosquaisaoperaçãoseaplica;aestruturasemânticadoproblema;aspreferênciasnuméricasquantoaotamanhodosnúmeros,formasderepresentaroproblemaeinterpretaçãodoenunciadoverbal.

Nocasodesteestudo,podemoselencaralgumasdessasdificuldadesque,emboranomeadasseparadamente,guardamumaestreitarelaçãoemsi,comorelatadoaseguir:

1. Dificuldadedediferenciaracorrespondênciaumparaumdacorres-pondênciaumparamuitos.Essadificuldaderevelaqueacriançatentaresolverosproblemasusandoesquemasprópriosdaadiçãoesubtra-ção.Elausafrequentementeumraciocínioaditivo,ouseja,pensaemunir ou separar os elementos ou conjuntos. Esse raciocínio pode ser exemplificadoquandoelaemparelhaoselementosdedoisconjuntosecalculaquantoresta(problema1),quandoelafazadistribuiçãooupartiçãodotipoumpardesapatoparaumpardemeia,umaperucaparaumóculos,cadatipodedoceparacadasaquinho(problemas1,2e8),ouaindaquandoelasomaparadepoisdividir(problemas5e6);

2. Diferençaentrecontagemeprincípiomultiplicativo.Mesmonocasoemqueacriançausouamatriz,nãosepodedizerqueelaadotouoprincípiomultiplicativo,propriamentedito,apenasfezacontagem.Issoficouevidentenosproblemas3,4e7,nosquais,emborausandoamatriz,aleituraqueelafazdamesmanãorevelaaideiadeprodutocartesiano.Alémdisso,adificuldadedeaplicaçãodoprincípiomulti-plicativoficoumaisevidentenoscasosemqueeraprecisomultiplicartrêsfatoresentresi(problemas5,6,7e8)(TEIXEIRA;VASCON-CELLOS;GUIMARÃES,2009);



3. Amagnitudedoprodutonamultiplicaçãoconstituiuumaespéciedeobstáculoparaacompreensãodanaturezadosproblemas.Emcadaumdosproblemastratava-sedecalcularquantastransformaçõesse-riampossíveis,dadososfatoresapresentados(exemplo:tantostiposdepãesetantosdequeijos,quantosanduíchespossíveis).Aoverificaroresultadoencontrado,ossujeitosdescartavamocálculorealizadoporsercompostoporvaloresaltos(problemas1,2e6);

4. Arelaçãoumparamuitosnãoestáexpressanoproblema,devendoserconstruída.Aotentarestabelecerarelaçãoacriançausaesquemasaditivos,oqueaimpededeencontrarumprodutodemedidas,levan-doa combinaçõesparciais e a confundir as combinaçõespossíveiscomumfatordoproblema,issoocorreuprincipalmentenoproblema4(Tabela4);

5. Arelaçãoentrenotaçãosimbólicaeoperação.Essarelaçãoébastantecomplicadaparaacriança,poisnamedidaemquetraduzemnotaçãoaoperaçãopensada,opróprioalgoritmoinduzainterpretaçõesdife-rentesdasverbalizadasinicialmente,comosevênosproblemas1e2(TEIXEIRA;VASCONCELLOS;GUIMARÃES,2009).

Verificamosque,emfunçãodaslimitaçõesdecorrentesdomodocomoamultiplicaçãoétrabalhadanaescola,muitassãoasdificuldadesapresentadaspelosalunos,asquaisnecessitamserobjetodemaioresinvestigações,tantonoqueserefereaosprocessoscognitivos,quantoaosprocedimentosdidáticos.

REFERÊNCIAS

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problemas multiplicativos envolvendo empregadas por alunos ... · a respeito da multiplicação (em...

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