problemas de teoria de colas

8/6/2019 Problemas de Teoria de Colas

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Problemas de Teora de Colas

1.- Sea la cola G/M ( )/1 y sea aj=E {( X)j e-

x}/j!; siendo X la variable tiempo entre

las llegadas. Suponer < 1.

Demostrar que la distribucin estacionaria de la cadena que denota la longitud

de la cola en los momentos de las llegadas satisface pn = ai p n+i-1 n > 0.

Buscar una solucin de la forma pn = n y deducir que la nica distribucinestacionaria est dada por pj = (1-)

j con la raz positiva ms pequea de la ecuacin

s = LX ( (s-1)) con LX la transformada de Laplace de la variable X.

2.- Considerar un sistema M/M/1 con la particularidad de que se aade un servidor

cuando la longitud de la cola excede de N.

Modelar el sistema y calcular la distribucin y la longitud de la cola en el

equilibrio.

Suponer que la espera de un cliente cuesta c pesetas y el servidor adicional d

pesetas. En qu condiciones ser rentable este sistema?

3.- Una cola M/M/1 con control: Se pretende que el servidor est ocupado todo el tiempo

y la poltica es la siguiente. Cuando no hay clientes, la ventanilla se cierra y en el momento que

llega el primer cliente, el sistema tarda un tiempo exp ( ) en ponerse en marcha.

Modelar el sistema y

Calcular la funcin generatriz de la distribucin en el equilibrio cuando exista.

4.- Considerar la cola M/M/1 con < 1. Sea Q la longitud de la cola en el equilibrio.

Demostrar que (1-)Q converge en distribucin hacia una ley exponencial de

parmetro 1 cuando tiende a 1.

5.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entredos llegadas consecutivas es una ley exp () ,los clientes son servidos de dos en dos y el tiempo

de servicio es una ley exp ( ) .

Modelar el sistema.

Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.

Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solucin.

En el equilibrio calcular la distribucin de las salidas de este sistema.

6.- Sean dos sistemas M/M/1 con la misma intensidad de trfico, pero con distribucin de

entradas y salidas distintas `= k = k

Comparar en el equilibrio, la longitud media de la cola, el tiempo medio de

permanencia en el sistema, el tiempo medio de permanencia esperando en el sistema y eltiempo de ocupacin del servidor. Comentar los resultados obtenidos.

7.- Un sistema est formado por N componentes, cada componente independientemente

de las otras se avera segn una ley exponencial de parmetro ; cuando se avera se la repara

independientemente de las dems por un solo operario de forma que el tiempo de reparacin

sigue una ley exponencial de parmetro . Sea X(t) el nmero de componentes del sistema en

reparacin en el instante t.

Modelar el proceso

Calcular la distribucin de X(t) en el equilibrio.

Calcular el tiempo medio que una componente averiada pasa en el taller de

reparacin.

Sea X(0) = 0 y sea T = inf {t/X(t)=2\} . Calcular la distribucin de T.


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8.- Un modelo de cola geomtrica: Los clientes llegan a un determinado sistema

requiriendo un servicio de forma que los tiempos entre dos llegadas consecutivas son

independientes y siguen una ley geomtrica de parmetro P(T = n) = (1- )n-1 n = 1, 2,....

Los clientes son servidos por un solo servidor segn el orden de llegada. El tiempo de servicio

es una variable geomtrica de parmetro P(S = n)= (1- )n-1 n=1,2,... . Los tiempos de

servicio son independientes de las llegadas y de la longitud de la cola.Demostrar que Xn es una cadena de Markov y calcular su matriz de transicin

Calcular en el equilibrio la distribucin de la longitud de la cola.

Considerando el sistema en el equilibrio, calcular el tiempo medio de permanencia

en el sistema.

Se verifica la formula de Little?

9.- Sistema M/Ek/1: Considerar este sistema en el que el tiempo de servicio sigue una

distribucin de Erlang con funcin de densidad f(y) = (1\ (k-1) !) ( k ) k-1e-k y

Modelar el sistema como markoviano, suponiendo que el servicio se compone de

k fases exponenciales de manera que cada llegada de un cliente incrementa el tamao

de la cola en k fases, y cada vez que se completa una fase, decrece el tamao de la colaen una fase.

Calcular los parmetros del proceso y plantear las ecuaciones en el equilibrio.

Resolverlas por el mtodo de la funcin generatriz.

Calcular la longitud media de la cola y el tiempo medio de permanencia en el

sistema en el equilibrio.

10.- Dado el sistema M/M/c en el equilibrio, sea el tiempo entre dos salidas

consecutivas. Sea K(t) el estado del sistema en el tiempo t transcurrido desde la ltima salida.

Sean Fn(t)=P(K(t)=n t< ), F(t) = n=0.Fn(t).Plantear ecuaciones diferenciales para Fn(t) y ver que la solucin es Fn(t) = pn e-t y

por tanto P( >t)=e - t.

Demostrar que y K() son independientes

P(K( +dt) = n t< < t +dt)=pn e- t

Comentar el resultado.

11.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre

dos llegadas consecutivas es una ley exp (), los clientes son servidos de uno en uno y el tiempo

de servicio es una ley exp ( ).

Modelar el sistema.

Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.

Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solucin.

En el equilibrio calcular la distribucin del tiempo transcurrido entre dos salidas

consecutivas.

Intentar resolver el problema cuando cada llegada produce 3 clientes.

12.- En el sistema M/M/1 encontrar la densidad de la variable Wq condicionada por Wq

>0. Siendo Wq el tiempo que un cliente permanece esperando en el sistema (en cola), cuando

ste se encuentra en el equilibrio.

13.- Considerar el siguiente sistema. Una oficina municipal ofrece un servicio en el que

un solo funcionario atiende a los usuarios que llegan requiriendo dicho servicio. El tiempo deservicio sigue una distribucin exponencial de media 10 clientes por hora. Los usuarios llegan


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segn un proceso de Poisson de intensidad 7 clientes por hora. El sistema presenta la

particularidad de que hay un cliente especial, el tiempo entre las llegadas de este cliente especial

es una ley exponencial de media 1 hora independiente del proceso de las llegadas y de la

longitud de la cola. Este cliente cuando llega es atendido inmediatamente y desplaza al cliente

que est siendo servido. Se supone que solo hay un cliente especial.

Modelar el sistema como un proceso markoviano y plantear las ecuaciones en elequilibrio.

Encontrar la probabilidad de que un cliente normal sea desplazado n veces.

Hallar el tiempo medio entre dos llegadas efectivas consecutivas del cliente

especial.

14.- Considerar un sistema en serie con dos fases y un canal en cada fase. Las llegadas

son un proceso de Poisson de intensidad y los servicios son exponenciales 1 y 2respectivamente.

Suponer que un cliente que llega encuentra la primera fase vaca.

Calcular la probabilidad de que cuando este cliente llegue a la segunda fase la

encuentre tambin vaca.

15.- Considerar el sistema M[k]/M/1.

Modelar la longitud de la cola y plantear las ecuaciones prospectivas.

Encontrar la distribucin en el equilibrio cuando exista (funcin generatriz) y la

longitud media de la cola.

16.- Dado el sistema M/G/1

Demostrar que la longitud media es mnima si el tiempo de servicio es constante.

Para este tiempo de servicio, calcular la distribucin en el equilibrio.

17.- El nmero de clientes que llega a un banco es un proceso de Poisson de intensidad

). Si un cliente al llegar encuentra n usuarios, con probabilidad an espera y con probabilidad 1-an

se va. Suponer que hay 3 servidores igualmente hbiles y con tiempo de servicio esp( )

Encontrar la distribucin estacionaria del sistema cuando exista y calcular la

proporcin de clientes perdidos (los que al llegar al banco no esperan y se van)

18.- Considerar el sistema M/M/1 con dos tipos de clientes, clientes de prioridad 1 y

clientes de prioridad 2. Los clientes de prioridad 1 tienen prioridad absoluta desplazando en la

ventanilla a los clientes de prioridad 2.

Modelar el sistema

Encontrar la probabilidad de que un cliente de tipo 2 complete su tiempo deservicio sin ser desplazado de la ventanilla.

Encontrar el tiempo medio transcurrido desde que un cliente de tipo 2 fu

atendido por primera vez hasta que complet su servicio.

19.- Modificamos el sistema M / M / de forma que el acceso al sistema slo se permite

en los instantes n, de forma que todos los clientes llegados en el intervalo ((n-1) , n) entran

todos a la vez en el instante n.

Definimos Xn como el nmero de clientes en el sistema en el instante n.

Ver que Xn es una cadena de Markov y calcular sus probabilidades de transicin.

Calcular la distribucin en el equilibrio de la cadena.

Comparar esta distribucin con la de la cola M/M/ .


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20.- Sea una cola en serie con dos fases y un canal en cada fase. El sistema acta de la

siguiente forma: Cuando se completa el servicio en la primera fase el cliente deja el sistema con

probabilidad 1-p o pasa a la segunda fase con probabilidad p. Cuando se completa el servicio en

la segunda fase el cliente pasa a la primera fase Suponer el sistema en el equilibrio.

Demostrar que las colas en las dos fases son independientes y que cada una de

ellas se comporta como una M/M/1 con intensidades de trfico 1 = [/((1-p) 1)] y2 = [p/((1-p) 2)]

Calcular el tiempo medio de permanencia en cada fase y el tiempo medio de

permanencia en el sistema.

21.- Los clientes llegan a un banco requiriendo un servicio segn un proceso de Poisson

de intensidad . Los clientes son servidos segn su orden de llegada. El tiempo de servicio es una

variable exp( ); cuando el servidor acaba de servir a un cliente, sirve al siguiente, si lo hay, y si

no quedan clientes en la cola el servidor se retira de la ventanilla. En el momento que llega el

primer cliente despus de que lo cola qued vaca el servidor es avisado para que sirva a los

clientes, ste tarda un tiempo exp( ) en incorporarse a la ventanilla y a partir de este momento

continua en servicio hasta que la cola se vaca de nuevo.

Proponer un modelo markoviano adecuado a este sistema.

Suponiendo el sistema en el equilibrio, plantear las ecuaciones de la distribucin

estacionaria y calcular la funcin generatriz de la misma, caso de que exista.

Calcular el tiempo medio de permanencia de un cliente en el sistema.

Se verifica la frmula de Little?

22.- Cola con entradas ordenadas y capacidad finita. Considerar una cola con dos canales.

Los dos servidores son homogneos con tiempo de servicio exp( ), las entradas son un proceso

de Poisson de intensidad . La capacidad del primer canal es M = 1 y la capacidad del segundo

canal es N = 2. Un cliente que llega al sistema si tiene sitio en el primer canal debe permaneceren el, si no tiene sitio, pasa al segundo canal donde espera si tiene sitio y si no se va.

Plantear un modelo adecuado para el sistema y calcular la distribucin en el

equilibrio.

23.- Dado el sistema M/G/1, consideramos las variables Xn longitud de la cola cuando se

va el cliente n- simo. Sean pn la distribucin en el equilibrio de Xn , kn la probabilidad de que

lleguen n clientes en un tiempo de servicio y B(t) la distribucin del tiempo de servicio.

Demostrar que las tres condiciones siguientes son equivalentes y comentar el

resultado.

pn es una distribucin geomtrica.

Kn es una distribucin geomtrica.B(t) es una distribucin exponencial.

24.- Un modelo bidimensional para la cola M/M/1. Denotamos el estado del sistema en el

instante t por el par (i, j) donde i es el nmero de llegadas y j es el nmero de salidas en el

intervalo (0, t).

Sea pi,j(t) la probabilidad de que el sistema est en el estado (i,j) en el instante t.

Sea fi,j(s) la transformada de Laplace de pi,j(t).

Plantear un sistema de ecuaciones diferenciales para pi,j(t) y resolverlas por el

mtodo de induccin para fi,j(s) .

Solucin:( )

( )

( )( )

!!

!1)(

0

1

,

ik

kiki

s

s

ss

sfj

k

k

kii

ji

+

++

+

+

++

= =


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25.- Considerar un modelo de cola cclica en el que hay K clientes que circulan entre dos

servidores, de manera que si hay n clientes en la cola del servidor 1, entonces hay k-n clientes en

la cola del servidor 2. Los servidores tienen tiempos de servicio exponenciales de parmetros y

respectivamente.

Modelar el sistema y encontrar la distribucin en el equilibrio.

Encontrar la longitud media de las dos colas.Calcular el tiempo medio que tarda un cliente en completar un ciclo (pasar una

vez por cada servidor).

26.- (Reversibilidad de la cola M/M/1). Consideramos la cola M/M/1 en el equilibrio y

definimos D(t) como el nmero de clientes que ha completado servicio hasta el instante t.

Demostrar que D(t) es un proceso de Poisson. Indicacin: Sea

( ) ( ) ))((, jtDPtpptp jkk

kj === ver que( ) );(0)()1()( ,,1,0 ttpyttpttp jojj ++=+

( ) );(0)())(1()()( ,,11,1, ttpyttpttpttp jkjkjkjk ++++=+ +

Y establecer una ecuacin diferencial para pj(t).

27.- Los clientes llegan a un sistema segn un proceso de Poisson demandando un

servicio. El sistema espera a que haya Q clientes y los sirve a todos a la vez instantneamente.

Sea N (t) el nmero de clientes esperando a ser servidos en el instante t. Suponemos N(0) = 0.

Definimos T = inf { t / N(t) = Q }.

Demostrar que E(T) = Q/

2)1()(

0

=

QQdttNET

Calcular la distribucin de N(t) en el equilibrio.Resolver las ecuaciones prospectivas utilizando la transformada de Laplace para

las probabilidades de transicin.

28.- En una consulta mdica los pacientes llegan segn un proceso de Poisson. El doctor

espera a que haya 3 pacientes y entonces los atiende hasta que se vaca la sala de espera y a partir

de este momento se repite el proceso.

Modelar el proceso.

Plantear ecuaciones en el equilibrio y resolverlas.

Encontrar L y Wq.

29.- Considerar una red de Jackson con J nodos y cada nodo con un solo servidor. Lasllegadas desde el exterior a cada nodo son procesos de Poisson independientes con tasas j 0.

Los tiempos de servicio en cada nodo son variables exp( j) independientes entre si y de las

llegadas. La matriz de ruta de los clientes que completan servicio est dada por R matriz JxJ y

=

=J

k

kjj rr1

,0, 1

Dar el conjunto de estados de la red y sus transiciones.

Sean j las intensidades efectivas de las llegadas a cada nodo. Escribir las

ecuaciones para j y resolverlas cuando exista solucin.

Escribir las ecuaciones en el equilibrio para la red y dar la solucin a las mismas

cuando exista.


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Suponer J=4 = (1,0,0,0) `= (5,6,4,8)

=

4/1002/1

3/2003/1

2/12/100

0010

R

Resolver las ecuaciones de las intensidades efectivas para las llegadas a cada

nodo.

Determinar Lj y Wj en cada nodo y de aqu calcular L y W.

Encontrar la distribucin en el equilibrio de (N1, N3).

Y deducir que P(N1 > N3)=1/2

30.- Considerar el sistema M/M/ con la particularidad de que tenemos clientes de dos

tipos con llegadas Poisson de intensidades 1 y 2. Los servicios son exponenciales 1 y 2.

Modelar el sistema y encontrar la Distribucin en el equilibrio (Viene dada en

forma producto)

Ver que en el equilibrio el proceso que modela la cola es reversible.

Suponer ahora que la capacidad de la sala es finita permitiendo solo K clientescomo mximo. Encontrar la distribucin en el equilibrio en trminos de la distribucin

encontrada anteriormente.

31.- Considerar una red con tres nodos M/M/ y dos tipos de clientes. Los clientes de

tipo 1 y tipo 2 llegan desde el exterior al nodo 1 con intensidades 1 de cada tipo y no hay ms

llegadas desde el exterior. Los clientes de tipo 2 siguen la trayectoria nodo 1, nodo 2, nodo 3 y

exterior. Los clientes de tipo 1 cuando completan servicio con probabilidad 1/2 permanecen en el

mismo nodo y pasan a clientes de tipo 2 y con probabilidad 1/2 siguen siendo clientes de tipo 1

movindose circularmente es decir del nodo 1 van al 2, del nodo 2 van al 3 y del nodo 3 van al

nodo1. Las tasa de servicio para los clientes de tipo 1 son 2 ,4 y 2 en los nodos 1 2 y 3 y las tasa

de servicio de los clientes de tipo 2 es de 3 en cada nodo.Encontrar las tasa efectivas de las llegadas para los clientes de tipo 1 y de tipo 2

en cada nodo.

Encontrar el nmero medio de clientes en la red y el tiempo medio de

permanencia de un cliente en el sistema.

32.- Considerar una red cclica con dos nodos con 3 clientes.

Modelar el sistema y escribir la matriz de las transiciones

Encontrar la Distribucin en el equilibrio y Calcular la longitud media de cada

cola.

Lo mismo que antes pero mediante AVM

33.- Dada una red abierta de Jackson con 3 nodos. Nodos 1 y 2 reciben clientes del

exterior con intensidades 2 y 1 por minuto. La matriz R es

02/10

100

100

Los tiempos de

servicio son exp de parmetros 3, 6 y 10

Calcula la intensidad real de las llegadas en cada nodo

El numero medio de clientes en el sistema en el equilibrio y la proporcin del

tiempo que esta ocupado cada nodo.

El tiempo medio de permanencia de un cliente que llega al nodo 1 y al nodo 2

desde el exterior y el tiempo medio de permanencia en el sistema de un cliente que llegaal azar.


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34.- Considerar el sistema M/M/1. Los clientes que llegan al sistema miran la cola y si

hay i clientes en el sistema permanecen en el con probabilidad 1/(i+1) y con probabilidad i/(i+1)

se van ; i = 0,1,2,....

Modelar la longitud del sistema y escribir las ecuaciones en el equilibrio. Resolver

estas ecuaciones y deducir que L = .Considerar el sistema en el equilibrio. Encontrar la tasa efectiva de llegada en los

dos casos siguientes

Un cliente que llega y entra al sistema cuando hay i clientes en el sistema

Un cliente que llega y entra al sistema.

Encontrar la Distribucin en el equilibrio del nmero de clientes en el sistema

cuando entra un cliente al sistema

Sea W el tiempo de permanencia de un cliente en el sistema y sea la tasa

efectiva de llegadas. Calcular W (la esperanza de W) y establecer la formula de Little.

35.- En el sistema M/M/1 un cliente que completa servicio, sale del sistema con

probabilidad 1- o pasa al ultimo de la cola con probabilidad .Modelar el sistema, plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando

exista la distribucin en el equilibrio.

Calcular L, la distribucin de W y ver si se verifica la frmula de Little.

36.- El gerente de una tienda quiere abrir un servicio de venta de helados y para ello

pretende contratar a un empleado. Se supone que los clientes son atendidos segn llegan. La

ganancia con cada helado vendido es de 0,6 . Despus de varias entrevistas el gerente duda

entre dos personas: Juan y Pablo. El tiempo medio de servicio de Juan es de 15 segundos, el de

Pablo es de 45 segundos, pero Juan cobra 10 por hora mientras que Pablo cobra 6 a la hora.

Las investigaciones de mercado han revelado que se espera una demanda de ventas de helado deun cliente por minuto y que los clientes que llegan y encuentran a 3 personas en el sistema se van

a comprar el helado a otro punto de venta ajeno a la tienda. Suponer que tanto el tiempo entre

llegadas como el tiempo de servicio son exponenciales.

Ayuda al gerente en la decisin de contratar al trabajador teniendo en cuenta que

contratara a aquel trabajador que le deje ms beneficios en media por hora.

Como Pablo realmente quiere el trabajo, le dice al gerente que estara dispuesto a

rebajar su salario. Hasta que precio podra rebajar su salario para ser competitivo con

Juan?

Pablo quiere el trabajo, pero no esta dispuesto a rebajar su salario por lo que hace

un master sobre venta de helados para resultar ms competitivo. En cuanto tiene que

reducir su tiempo de servicio para ser competitivo con Juan?

37.- (Difcil) En el sistema M/M/1 un cliente que completa servicio deja un ''paso libre''

con probabilidad 3/4. Un cliente que encuentra un ''paso libre'' cuando entra al servicio es servido

instantneamente, es decir su tiempo de servicio es 0. Un cliente que usa un ''paso libre'' no deja

''paso libre'' para el siguiente servicio.

Modelar el sistema y plantear las ecuaciones en el equilibrio.

Que proporcin de clientes, cuando llegan al sistema encuentran un ''paso libre''?

38.- Una compaa de correo urgente tiene 3 personas para recibir las llamadas

telefnicas de los encargos. Las llamadas se producen segn un proceso de Poisson de intensidad

1 por minuto y la duracin de las llamadas es una variable exp. de media 2 minutos.Encontrar la probabilidad de que una llamada encuentre todas las lineas ocupadas.


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Si suponemos que una llamada que encuentre todas las lneas ocupadas es un

cliente perdido. Sera beneficioso contratar a una nueva persona, teniendo en cuenta que

el salario es de 6 por hora y que la ganancia media por cliente es de 1,5 ?

39.- En el sistema M/M/ la distribucin estacionaria del nmero de clientes en el

sistema tiene de media . Si la distribucin inicial de N (0) no es la distribucin estacionaria,entonces N (t) tiene de media m (t) = E(N (t)) =

Demostrar que m (t) satisface la ecuacin diferencial )()(1

tmtmdx

d=

Y resolverla. De las dos maneras siguientes

Planteando las ecuaciones prospectivas para las probabilidades de transicin pn (t)

multiplicndolas por n y sumndolas

Considerando un intervalo de tiempo t y calculando el nmero esperado de

llegadas y salidas en este intervalo

40.- En media llegan 10 coches por hora a una estacin lavacoches. El lavado de coches

tiene una duracin media de 6 minutos. En la estacin hay sitio para dos coches uno lavndose yel otro esperando. Los coches que llegan y no tienen sitio se van a otro lavacoches.

Modelar el sistema, calcular la distribucin en el equilibrio y el nmero medio de

coches lavados en una hora.

Modelar el sistema caso de que haya dos personas para lavar los coches y la

capacidad del sistema sea de dos coches, calcular la distribucin en el equilibrio, el

numero medio de coches lavados en una hora y el tiempo de ocupacin de cada

lavacoches.

41.- En el sistema M/M/n/n ordenamos los servidores con los nmeros 1,2, ... n. Cada

cliente que entra al sistema recibe servicio del servidor libre con el menor nmero.

Calcular la proporcin del tiempo que el servidor i esta ocupado.

42.- Un observador llega a un sistema M/M/n/n en un instante aleatorio T y lo encuentra

bloqueado

Encontrar la probabilidad de que en el instante t+T, este observador encuentre el

sistema en el mismo estado.

Suponer ahora que el observador no puede ver dentro del sistema, pero espera

hasta que llegue un cliente. Encontrar la probabilidad de que este cliente sea rechazado

43.-10 usuarios de una lnea telefnica estn conectados al mismo terminal. Durante las

horas punta cada usuario genera llamadas con una duracin media de 3 minutos, el nmeromedio de llamadas es de 2 a la hora.

Cuantas lneas necesita el terminal si se quiere asegurar que la probabilidad de

que una llamada se pierda, por no haber suficientes lneas sea menor o igual que 0.01?

Suponer las variables exponenciales.

44.- Sea el sistema M[X] /M/2/2 donde X toma los valores 1 y 2 con igual probabilidad. Si

solo hay un servidor libre y entran dos clientes, uno de ellos es rechazado. Los tiempos de

servicio y los tiempos entre llegadas son exponenciales de medias 1 y 3 minutos.

Modela el sistema, ecuaciones en el equilibrio y resuelve. Calcula la probabilidad

de bloqueo.

Suponer ahora que las llegadas son de una en una con tiempo entre llegadas de 2minutos. Resolver las mismas cuestiones.


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45.- Los clientes llegan a una estacin de taxis segn un P (). En la estacin hay sitio

para K taxis y para infinitos clientes. Los taxis llegan segn P ( ). Si llega a la estacin y no

tiene sitio se va. Si hay clientes en la estacin el taxi coge a un cliente y se va, si no hay clientes

espera en la estacin.

Determinar la distribucin estacionaria para los clientes y los taxis en la estacin.Si = 1/min. y = 2/min. y K = 5. Encontrar la probabilidad de que un cliente

deba esperar por un taxi.

46.- Un club deportivo tiene 5 pistas de tenis. Los jugadores llegan segn un proceso de

Poisson con intensidad de una pareja cada 5 minutos. El tiempo de juego es exp de media 40

minutos.

Suponer que una pareja llega y encuentra las pistas ocupadas y k parejas

esperando. Calcular el tiempo medio que deben esperar para empezar a jugar.

Calcular la distribucin del tiempo de espera en la cola de una pareja que al llegar

encuentra todas pistas ocupadas. Y encontrar su media

47.- Un supermercado tiene dos cajas. Los clientes llegan a las cajas segn Poisson de

intensidad 30 por hora. El numero de productos que cada cliente lleva esta uniformemente

distribuido en (1,2,...,30). Procesar un producto lleva 4 segundos.

Modelar el sistema

Encontrar el tiempo medio de espera de un cliente en la caja.

Suponer que las dos cajas estn diferenciadas, la primera es la caja rpida y sirve a

clientes con k o menos productos, y la caja 2 sirve a clientes con ms de k productos.

Encontrar el tiempo medio de espera en la caja. Encontrar el k ptimo (21)

48.- Considerar el sistema M/G/1 en el que el primer cliente en un periodo de ocupacintiene un tiempo de servicio S1 y el resto un tiempo S2. Sea S el tiempo de servicio de un cliente

elegido al azar.

Razona que p0 =1-E(S)

E(S) = p0E (S1)+ (1-p0) E (S2)

E (B) = {(E (S1)/ {1- E (S2)}+1- E(S)

49.- Considerar el sistema M/G/1. Sea V el numero de clientes que llegan en un tiempo

de servicio y sea ai = P (V>i)

Demostrar que E (V) = E(S) = = aiSea M/G/1/4 tal que ai =1/3 i+1 Calcular

Determinar la distribucin del nmero de clientes en el sistema

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