01 teoria de colas - fundamentos
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Fundamentosde los Modelos
de Colas
Docente : Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa II
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa II
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INTRODUCCION.-
La Teoría de Líneas de Espera o Teoría de Colas tiene por objeto el estudio y predicción, mediante modelos matemáticos, de sistema que se caracterizan por proveer servicio a clientes que lo solicitan.
Estos sistemas se conocen como sistemas de colas. Es un mal de nuestra época. Se admite que es inevitable en muchas ocasiones.
La formación de líneas de espera es un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo.
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Proporcionar demasiada capacidad de servicio implica costos excesivos. Carecer de capacidad de servicio causa líneas de espera excesivamente largas las que también son costosas, ya sea por el costo social o por el costo causado por la pérdida de clientes.
El objetivo es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo de asociado con la espera por ese servicio.
La Teoría de Colas en sí no resuelve este problema, pero contribuye con información vital que se requiere para la toma de decisiones concernientes a este problema.
La Teoría de Colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de espera.
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Como la demanda de servicio se supone aleatoria y, por lo tanto, caracterizada por una distribución de probabilidad, la teoría de colas ha sido desarrollada dentro del marco de la teoría de los Procesos Estocásticos.
Los primeros aportes importantes a la teoría de colas fueron los trabajos de Erlang sobre problemas de tráfico telefónico, llevados a cabo desde 1908.
La teoría de colas ha sido aplicada a una gran cantidad de problemas, por ejemplo, ventas de artículos (Supermercados), reemplazo y reparación de máquinas, atención de pacientes en hospitales, servicio en bancos, control de inventarios, tráfico aéreo, descarga de barcos, etc.
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PROCESO BASICO DE COLAS.-
El proceso básico asumido por la mayoría de los sistemas de colas es el siguiente:
CLIENTES que requieren servicio son generados a través del tiempo por una FUENTE DE ENTRADA.
Los clientes entran al sistema de colas y se unen a una COLA.
En ciertos instantes del tiempo un miembro de la cola es seleccionado por el SERVICIO mediante algunas reglas conocidas como DISCIPLINA DE SERVICIO.
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El servicio requerido es entonces realizado para el cliente por el MECANISMO DE SERVICIO, después del cual el cliente sale del sistema de colas.
SALIDA
MECANISMODE SERVICIO
FUENTE DEENTRADA
COLA
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PROCESO BASICO DE COLAS.-
FUENTEDE
ENTRADACOLA
MECANISMODE
SERVICIO
SISTEMA DE COLAS
CLIENTES
SERVIDOS
CLIENTES
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OBSERVACION.-
Los sistemas de colas tienen la estructura de entrada-transformación-salida. La entrada esta compuesta de “llegadas” y los tiempos de llegadas están controlados por algún proceso estocástico o probabilístico. De igual modo, el tiempo que se requiere para procesar la entrada sigue una distribución de probabilidad. La salida de un sistema tal dependerá de la interrelación entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio variables. La predicción de la salida de esta compleja interrelación y la Teoría de Colas es la base para estas predicciones.
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CLIENTE O USUARIO.-
Unidad que llega al sistema requiriendo servicio.
FUENTE DE ENTRADA.-
Medio que genera a los usuarios que demandan servicio.
De acuerdo al número potencial de clientes que la fuente puede generar, la cola se puede considerar FINITA o INFINITA (en este último caso cuando la fuente es suficientemente grande).
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LINEA DE ESPERA O COLA.-
Conjunto de usuarios que esperan servicio. La cola se caracteriza por su CAPACIDAD, es decir, por la máxima cantidad de usuarios que puede contener. De acuerdo a esta característica. Se considera FINITA o INFINITA.
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DISCIPLINA DE SERVICIO.-
Se refiere al orden en el cual los miembros de la cola son seleccionados para el servicio. Algunas de ellas son :a) Fifo.- Primero en llegar, primero en ser servido. En la sala
de espera en la consulta del doctor los pacientes son atendidos por orden de llegada.
b) Lifo.- Ultimo en llegar, primero en ser servido. En algunos procesos y almacenamientos se despachan los productos que llegan al final, por la posición que ocupan. Se despachan primero los últimos de la pila.
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c) Prioridades.- El caso más típico de esta disciplina de servicio es la Sala de Emergencia de un Hospital en que se atiende un caso grave en forma prioritaria sobre otros casos, aunque éstos hayan llegado antes.
d) Selección arbitraria.- Se encuentra con cierta frecuencia esta disciplina de servicio en determinadas secciones de producción, por ejemplo, cuando el operario de una máquina completa un proceso de los productos y los coloca en un recipiente, listos para entrar en cualquier orden en la próxima fase de producción.
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MECANISMO DE SERVICIO.-
Conjunto de una o más estaciones de servicio que brindan el mismo servicio. Cada componente brinda servicio a un usuario a la vez.
Todas las estaciones que ofrecen un mismo tipo de servicio operan en paralelo.
SERVIDOR 1
SERVIDOR 2
SERVIDOR n
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Cuando los servicios se dan siguiendo una secuencia se tiene varios tipos de servicio que se ofrecen en serie.
SERVIDOR 1 SERVIDOR 2
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LLEGADAS Y SERVICIO.-
El proceso de entrada se expresa mediante una distribución de probabilidad que gobierna la llegada de clientes. Supongamos que los clientes llegan en los tiempos:
)ttt0(t,,t,t n21n21
y sea
la diferencia entre el tiempo de llegada n+1 y el n cliente. El proceso de entrada está dado por la distribución de probabilidad que sigue la sucesión de tiempos de llegadas {tn} y la sucesión de tiempos entre llegadas {zn}.
n1nn ttz
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La hipótesis más simple acerca del proceso de entradas es que el número de llegadas en [ 0 , t ] es un proceso de Poisson con parámetro . En este caso los tiempos entre llegadas {zn} tienen una distribución exponencial negativa.
De hecho, en los casos reales es excepcional que el proceso de llegadas sea estacionario. No obstante, se puede admitir que en un intervalo de tiempo suficientemente pequeño el fenómeno permanezca estacionario, pudiéndose tomar este intervalo como el período de tiempo en el que se basa el estudio y en el que se obtiene la tasa media de las llegadas, que variará con el tiempo.
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La situación en una estación de servicio es completamente diferente, ya que los instante en los cuales comienzan y terminan los servicios que efectúa esta estación siguen una distribución de probabilidad que difiere en general de la correspondiente a las llegadas, puesto que, por una parte, la estación no está siempre disponible cuando llega la la unidad, de otro lado, no es la única que sirve a las unidades en el caso que haya varias estaciones, variando de unas estaciones a otras la duración media i del servicio, siendo por tanto distintos el proceso estocástico de salidas de las unidades del servicio y el correspondiente a las llegadas de las unidades al sistema de colas.
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En el mecanismo de servicio, la variable aleatoria n denota el tiempo requerido para servir al n-ésimo cliente. La distribución de probabilidad que rige la sucesión de tiempos de servicio {n} expresan el mecanismo de servicio del sistema de colas. Se supone que los tiempos de servicio sucesivos 1 , 2 , 3 , ..., n , ..., son estadísticamente independientes uno del otro y de la sucesión de tiempos entre llegadas {zn}, y que tienen la misma función de distribución (), 0< <.
Las distribuciones de probabilidad que se utilizan con más frecuencia para caracterizar el mecanismo de servicio son:
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I) Regular
II) Exponencial negativa
III) Erlang
/1para0
/1para1)(
0para0
0para1)(
e
de!n)n(
)(d n-1nn
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ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS DE COLAS.-
Con la finalidad de representar mediante un modelo, un problema de colas, debe tenerse en consideración la siguiente información:
1) Número de canales o estaciones de servicio, cuando se tiene estaciones en paralelo.
2) Tipos de servicio.
3) Secuencias para servicios en serie.
4) Información sobre tiempos.
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4.1) Distribución de probabilidad de tiempos de servicios por servidor. Generalmente se asume la misma distribución de probabilidad para todos los servidores en paralelo del mismo tipo de servicio.
4.2) Distribución de probabilidad del tiempo entre arribos de clientes que llegan por servicio.
5) Longitud de la cola = Número de usuarios en la cola.
6) Clientes en el sistema = Clientes en el servicio + Clientes en la cola.
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PRINCIPALES MODELOS DE COLAS.-
1) Una estación de servicio / una cola
COLA ESTACIONDE SERVICIO
E
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PRINCIPALES MODELOS DE COLAS.-
2) Varias estaciones de servicio en paralelo / una cola
COLA
E 2
E 3
E 1
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3) Varias estaciones de servicio en serie (secuenciales)
4) Varias estaciones, varias colas
COLA
E 1 E 2
COLA COLA
E 3
E 5
E 1
COLA
E 2
COLAE 4
COLAE 6
COLA
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5) Servicios en serie de servicios en paralelo
COLA
E 1
COLA
E 2
E 3 E 4
COLA
COLA
E 5
COLA
E 6COLA
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