problemas de geometria do gustavo
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7/25/2019 Problemas de Geometria Do Gustavo
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Problemas de Geometria do Gustavo
1 Na figura, ABCD retngulo, M o ponto mdio de CD e o tringulo ABM e!il"tero# $endo AB % 1&, 'al'ule a medida de AP#
Se AB = 15, teremos ainda que AM = BM = AB, ento AM = 15.
Unindo-se os vrtices A e C, traamos a diagona do quadrado AC, que se
encontra com B! no centro, "ormando um outro tri#nguo, A!C, que $% &ossui duas
medianas agora traadas, AM e !'. (u se$a, ) o *aricentro deste tri#nguo.
Se "i+ermos A) = , )M = 15 , &eo teorema do *aricentro que AMA)3
2=
153
2=, 10=,
( Na figura, ) o ponto mdio de AB# )P paralelo a BC# $endo AC % *+ 'm,
determine a medida de P#
(*serve que os tri#nguos ABC e A) so seme/antes. !esta "orma, &odemos
mostrar que0
A)
AC
A.
AB=
A)m
m 302= cmA) 15=
!esta "orma, ) tam*m &onto mdio de AC, ou se$a, B) mais uma
mediana.reativa ao tri#nguo ABC, am da mediana C. m todo tri#nguo ret#nguo,
a mediana reativa 2 /i&otenusa igua 2 sua metade, ou se$a, em nosso caso, 15.
)eo teorema do *aricentro, )B)(3
1= . 3ogo, 15
3
1=)( 5=)(
* Na figura ao lado, ABCD um retngulo, M um ponto mdio de CD e o
tringulo ABM e!il"tero# Determine, em metros, a medida do segmento M$,sabendo ue AB % (1 m#
A B
D CM
P
A B)
C
P
A
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( racioc4nio em®ado o mesmo da questo 1. (u se$a, como 21=AB m,
teremos tam*m que, como ABM eqi%tero, mABBMAM 21=== .
Unindo-se os vrtices ! e B, "ormaremos a diagona !B, que se encontra no
centro com AC, no &onto '. Com duas medianas 6C' e BM7 no tri#nguo "ormado BC!,
o &onto S , na verdade, o *aricentro deste tri#nguo.
)eo teorema do *aricentro, tem-se que BMMS3
1= . !esta "orma, 21
3
1=MS
7=MS m.
. /m um tringulo ABC, de base BC igual a 0 'm, a soma das medianas dos
lados iguais 1 'm# $endo G o ponto de en'ontro dessas medianas, determine o
per2metro do tringulo GBC#
8a "igura &ro&osta, 18=+ CMB8 . Acontece que B8 e CM se
encontram em 9, dividindo-se cada um dees, em dois segmentos. 8o caso de B8 este
se divide em B9 e98
e, no caso deCM
, este se divide em C9 e 9M . Como 9 o *aricentro deste tri#nguo ABC, teremos que B8B9
3
2= e CMC9
3
2= . Como
18=+ C8B8 , teremos que 183
2=+C9B9 . 3ogo, teremos que o &er4metro do
tri#nguo 9B! ser% dado &or : ; 1< = 1 cm.
& $e o uadril"tero ABCD um paralelogramo e M o ponto mdio de AB,determine 3#
NM
B C
G
A
A B
CD
16
xP
M
-
A
BC
D
$
M -
-
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Unindo-se os vrtices ! e B, "ormar4amos a diagona !B, que se intersecciona
com AC no centro do &araeogramo em ' 6ou se$a, uma mediana &ara o "ormadotri#nguo A!B7.
( teorema do *aricentro nos garante que !M)M3
1= . 3ogo, teremos que0
( ),, += 163
1 ,, +=163 8=,
4 Determine o per2metro do tringulo A5$ da figura, onde AB e AC medem 1&
'm e 1 'm, respe'tivamente, sendo B) e C) as bissetri6es do ngulo B e C dotringulo ABC e 5$ paralelo a BC#
Se$am B e C so as *issetri+es dos #nguos B e C, res&ectivamente, e >S a
reta &araea a BC &assando &eo &onto .
Com e"eito, os #nguos >B e BC so iguais como aterno - internos.
)ortanto, >B is?scees e > = B>. Anaogamente, &rova-se que S = CS, $%
que CS tam*m is?scees.
3ogo, &rova-se que >S = B> ; CS.
( &er4metro de A>S ser% dado &or0 A> ; >S ; AS.
@% que A> = e AS = , teremos que B> = 15 e CS = 1 .
( &er4metro de A>S seria0 ; ; 615 7 ; 61 7 = cm.
A
B
5
C
$)