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Problemas da Mochila
Angela Fernanda Noeli Pimentel
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSMESTRADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS
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Definição - Problemas da Mochila
Problemas da Mochila envolvem a escolha de itens a serem colocados em uma ou mais mochilas de forma a maximizar uma função de utilidade.
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Mochila 0-1
Mochila Inteira
Múltiplas Mochilas
Empacotamento em Mochilas
Tipos de Problemas da Mochila
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Um viajante levará consigo apenas uma mochila para sua viagem. Sua mochila possui uma dada capacidade e deve ser preenchida com alguns objetos que lhe sejam úteis durante a viagem. Cada objeto possui um peso e um dado valor para o viajante e este possui apenas uma unidade de cada objeto a ser escolhido. Quais objetos devem ser levados pelo viajante em sua mochila de forma a maximizar o valor da mochila?
Mochila 0-1
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Seja wj o peso do j-ésimo objeto e pj seu valor Se o objeto xj aparece na mochila, então xj = 1,
caso contrário xj = 0. Se denotarmos por c a capacidade da
mochila, e por n a quantidade de objetos disponíveis para escolha e F(c) como o maior valor obtido para a mochila de capacidade c usando n objetos, então o problema pode ser formulado como:
Mochila 0-1
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Mochila 0-1
F(c) = max ∑ pjxj (pj > 0)
sujeito a ∑ wjxj ≤ c (wj, c > 0 )
onde: xj = 1 ou xj = 0
n
j=1
n
j=1
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Mochila Inteira
+
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Considera-se a necessidade de utilizar várias mochilas com capacidades distintas.
Este problema ocorre em carregamento de
contêineres e em situações de corte nas indústrias de papel e aço.
Múltiplas Mochilas
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Objetiva determinar o número mínimo de mochilas de mesma capacidade b que empacotem n itens de peso wj, j=1, ..., n.
Este é um dos diversos problemas de empacotamento, que envolvem também o arranjo de objetos em dispositivos bidimensionais e tridimensionais, tais como nos problemas de carregamentos de produtos sobre paletes ou dentro de contêineres ou caminhões.
Empacotamento em Mochilas
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Considere n projetos e um capital b para investimento.
O projeto j tem um custo aj e um retorno esperado pj. O problema consiste em selecionar os projetos que maximizam o retorno total esperado sem ultrapassar o limite de capital.
Defina as variáveis
xj =
Mochila 0-1 – Seleção de Projetos
1 se o projeto j é selecionado
0 caso contrário
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Mochila 0-1 – Seleção de Projetos
n
j=1
n
j=1
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Considere um capital para investimento b = 100, n = 8 projetos, e os seguintes vetores de parâmetros:
p= [pj]= [41 33 14 25 32 32 9 19]
a= [aj]= [47 40 17 27 34 23 5 44]
Mochila 0-1 – Seleção de Projetos
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Mochila 0-1 – Seleção de Projetos
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Solução ótima é dada por: x2 = x4 = x6 = x7 = 1 com valor 99
Solução utiliza 95 unidades de capital: 47 + 27 + 23 + 5 = 95
Mochila 0-1 – Seleção de Projetos
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M. Arenales, V Armentano, R. Morabito e H. Yanasse. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Instituto de Matemática e Estatística. São Paulo. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~regis/Publications/wscad2002.pdf >.
Referências