problema da mochila valiosa com valor minimo de utilidade

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

JOÃO GONÇALVES FILHO & FELIPE DE ALMEIDA XAVIER

TRABALHO DE COMPLEXIDADE: PROBLEMA DA

MOCHILA VALIOSA

PROFESSOR: VALDISIO VIANA

FORTALEZA - CEARÁ

2012

RESUMO

Este trabalho aborda o Problema da Mochila Valiosa, em que temos que decidir dentre os ob-jetos disponíveis quais levar para a viagem na mochila, sendo que não podemos ultrapassaro peso suportado pela mochila e devemos levar o máximo possível de objetos mais valiosos.Foram implementados diversos algoritmos para resolver o problema, indo desde um algoritmoexato, como por Força Bruta, até heurísticas, como os algoritmos Gulosos por Peso, Utiliadadee Custo Relativo como também um Algoritmo Genético. No final deste trabalho expomos ostestes realizados com várias instâncias e um gráfico comparando os algoritmos.

SUMÁRIO

1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA MOCHILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 ALGORITMOS PARA O PROBLEMA DA MOCHILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Programação Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Algoritmo Guloso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 RESULTADOS DOS TESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Tempo de execução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Convergência das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3

1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA MOCHILA

Figura 1: Problema da mochila. Fonte: Wikipédia

No problema clássico 0-1 da mochila (knapsack problem), temos n itens que podem sercarregados na mochila, onde cada item j possui associado um peso p j e um valor de utilidadeu j e a mochila possui capacidade c para transportar os itens, nesse trabalho a soma das utilidadedos itens deve ser pelo menos d.

Então temos um problema de otimização combinatória onde queremos carregar itensque somem o máximo possível de utilidade sem estourar a capacidade da mochila. Na modela-gem desse problema utilizamos um vetor de tamanho n, onde cada elemento do vetor x j é umitem, se x j = 1, então o item está na bolsa, senão não está caso x j = 0.

Para exemplificar, suponha que Bob esteja indo viajar e sua mochila so comporte 15kgcomo mostrado na Figura 2, então ele precisa decidir quais itens irá levar consigo, querendo elesomar o máximo possível de dinheiro de seus itens, tendo em mente que ele precisa lever nomínimo d reais em de itens.

Podemos modelar o problema utilizando programação linear inteira da seguinte forma:

Maximizar z = ∑nj=1 u jx j

Sujeito a d ≤ ∑nj=1 p jx j ≤ c

x j ∈ {0,1}, j ∈ {1, ...n}

O problema da mochila é NP-Díficil (MARTELLO; PISINGER; TOTH, 2000) existem váriassoluções propostas, tanto exatas como de heurísticas, aqui abordaremos o de força bruta, comheurística gulosa, com programação dinâmica e algoritmo genético.

4

2 ALGORITMOS PARA O PROBLEMA DA MOCHILA

Dividimos os algoritmos implementados em duas categorias exatos e heurísticas. Osexatos irão retornar o valor ótimo para o problema, mas terá um custo computacional muito maisalto do que usando uma heurística que tenta chegar o mais próximo possível da solução ótima,os algoritmos gulosos e o de programação dinâmica pode ser visto em (VIANA; MOREIRA,2011).

2.1 Força Bruta

Esse algoritmo exato é o mais trivial de se pensar, a ideia dele é bem simples, teste to-das as possibilidades que existem e guarde a melhor, essa será a solução ótima para o problema.

Ele pode ser implementado de várias formas, mas nesse trabalho utilizamos contagemde números binários para poder fazer o teste de todas as possibilidades. Como uma soluçãopara mochila representada como vetor de 0’s e 1’s, inicializamos o vetor com 0’s, sendo essa aprimeira solução, então para gerar as demais possibilidades é feito um incremento de mais umem binário até que o algoritmo passe por todos os possível valores do vetor.

Podemos ver abaixo o pseudocódigo do algoritmo:

1 entrada:

2

3 c: capicidade total da mochila

4 n: numero de itens da mochila

5 d: valor minimo de peso carregado

6 P[1...n]: vetor dos pesos dos itens

7 U[1...n]: vetor dos valores de utilidade dos itens

8

9 saida: um vetor X[1..n] que representa a solucao encontrada ,

10 o valor da solucao encotrada e o somatorio das valores

11 de utilidade que estao na mochila

12

13 forcaBruta(c,n,d,P[],U[])

14 totaldeIteracoes = potencia(2,n) - 1

15 melhorSolucao = 0

16 melhorNumero = 0

17 para i = 0 ate totaldeIteracoes

18 pegaBinario(X,n,i) // coloca em X a solucao corrente

19 solucaoCorrente = pegaSolucao(X,b,c,d)

20 // retorna o valor da solucao para o vetor atual de X

5

21 // caso nao seja uma solucao valida , ou seja menor que d,

22 // retorna -1

23 se (solucaoCorrente > melhorSolucao)

24 melhorSolucao = solucaoCorrente

25 melhorNumero = i

26 pegaBinario(X,n,melhorNumero)

27 retorne X

É fácil notar que a complexidade do pior caso desse algoritmo é de O(2n), pois comotemos um vetor binário de tamanho n, existirão todas essas possibilidades. Por exemplo para n =3 temos 8 possibilidades, para vermos isso basta aplicarmos um pouco de análise combinatória,para cada posição do vetor temos dois valores possíves 0 e 1, como o tamanho é 3, entãocalculamos 2∗2∗2 = 8. Esse algoritmo é inviável, quando n já chegar a valores altos, o tempode resposta desse algoritmo será de anos.

2.2 Programação Dinâmica

A ideia do uso da programação dinâmica é de reaproveitar soluções anteriores paraconseguir as posteriores, guardando elas em uma tabela. Para conseguirmos montar essa tabelatransformamos uma recursão em iteração.

Para isso definimos a tabela t da seguinte forma: t[i,Y ], onde i = 0,1..n é a quantidadede itens para essa solução e Y = 0,1...c é a quantidade máxima de peso carregado para essasolução. Assim notamos que t[0,Y ] = 0 para todo Y , agora se i > 0 temos que:

t[i,Y ] = A se p[i] > Y et[i,Y ] = max(A,B) se p[i] <= Y , onde

A = t[i−1,Y ] e B = t[i−1,Y − p[i]] + u[i]

Quando p[i]>Y indica que esse item tem uma peso maior que a capacidade da mochilapara essa solução, então ela tem o mesmo valor que anterior, por isso atribuimos à ela o valormáximo anterior t[i−1,Y ]. Caso contrário existe capicidade na mochila então ne caso atribui-mos à B o valor de solução máxima com Y − p[i] de capacidade e acrescentamos a utilidade doitem i, somando u[i]. O pseudocódigo desse algoritmo é mostrado abaixo:






6

6




10

11 PGDinamica(c,n,d,P[],U[])


13

14 para y = 0 ate c

15 t[0][y] = 0

16 para i = 1 ate n

17 a = t[i-1][y]

18 se p[i] > Y

19 b = 0

20 senao

21 b = t[i-1][y-P[i]] + U[i]

22 t[i][y] = max(a,b)

23

24 //essa parte monta X

25

26 para i = n ate 1

27 se t[i][y] = t[i-1][y]

28 X[i] = 0

29 senao

30 X[i] = 1

31 y = y - P[i]

32 melhorSolucao = melhorSolucao + U[i]

33 retorne X

Para montar o vetor X, é feito o 1o se, que indica que solução da posição [i, j] é iguala de [i−1,y], então é por que não houve inclusão de item entre essas duas soluções nesse casoX [i] = 0, indicando que esse item não foi colocado, caso contrário ele é colocado setando 1, eentão diminuindo Y de P[i], indicando que i está na mochila, logo seu peso deve ser descontadode Y. Assim prossegue até ter percorrido todos os itens.

Enxergamos que as dimensões da tabela é nXc e ela que indica a complexidade dessealgoritmo, ou seja ele possui O(nc), isso indica que temos uma grande melhoria em relação aode força bruta, mas ainda assim existem alguns problemas, podemos ter problemas com poucositens, porém com algoritmo com custo elevado, isso vai depender da proporção de c escolhida,além disso podemos temos que checar o uso da memória que pode ser muito extenso.

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2.3 Algoritmo Guloso

Diferente dos anteriores o algoritmo guloso não garante a solução ótima, ele consegueuma aproximada, em alguns casos ele pode até conseguir retornar a solução ótima. O algoritmobusca o colocar os melhores itens até que não haja mais espaço na mochila, para saber quais sãoos melhores itens, o algoritmo guloso pode se basear, no valor de utilidade do item, no peso doitem, ou no custo relativo que é p j

u j.

Para colocarmos os itens na mochila, precisamos fazer uma ordenação, se nos base-armos pelo valor de utilidade, então nesse caso ordenamos o vetor de utilidades, em ordemdecrescente e assim vamos percorrendo esse vetor e "colocando"os itens na mochila enquantohouver capacidade e não acabar os itens. Podemos ver a implementação no código abaixo (omodo de fazer o algoritmo se baseando no peso e no custo relativo é de maneira semelhante)

1 entrada:

2






8




12

13 gulosoPorUtilidade(c,n,d,P[],U[])

14 ordeneBaseadoNoValorUtilidade(P[],U[],n)

15 X = {0 ,0 ,...0}

16 pesoLivreCorrente = c


18 para i = 1 ate n

19 se P[i] <= pesoLivreCorrente

20 pesoLivreCorrente = pesoLivreCorrente - P[i]

21 X[i] = 1

22 melhorSolucao = melhorSolucao + U[i]

23 se melhorSolucao >= d

24 retorne X

25 senao

26 retorne naoEncontrouSolucao

Pode ser visto que pode ser ele não consiga encontrar nenhuma solucação devido a

8

restrição que a soma dos valores de utilidade deve ser pelo menos d, em nossos testes, tantoo guloso baseado peso como custo relativo, tentam executar o por valor de utilidade, caso elesnão consigam atigir d, mas se o de valor de utilidade não conseguir solução, então realmentenão é retornado nenhuma solução.

A complexidade desse algoritmo fica dependente do método de ordenação usado, seusarmos por exemplo o MergeSort, teremos complexidade de O(nlogn+ n) que é mesmo queO(nlogn). Em nossa implementação utilizamos o QuickSort que apesar de ter uma complexi-dade no pior caso de O(n2), ele possui no caso médio Θ(nlogn) e utilizando técnicas para evitarpior caso, ele consegue resultados semelhantes ao MergeSort ou até melhores como obtidos em(HOARE, 1962)

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2.4 Algoritmo Genético

Algoritmo Genético é uma técnica inspirada pela biologia evolutiva, sendo uma classeparticular de algoritmos evolutivos, que é utilizada para encontrar soluções para problemas deotimização combinatória, cujo objetivo é descobrir a melhor combinação dos recursos disponí-veis para otimizar seu uso.

Algoritmos Genéticos são implementados como uma simulação de computador em queas melhores soluções são encontradas em uma população que vai evoluindo a cada geração. Oprocesso de evolução geralmente se inicia com uma população criada aleatoriamente. A cadageração, as soluções na população sofrem cruzamentos e mutações, suas adaptações então sãoavaliadas e alguns indivíduos são selecionados para a próxima geração.

A seguir temos o processo do Algoritmo Genético:

Inicializa População

Avalia População

Seleciona Reprodutores

Cruza Selecionados

Muta Resultantes

Avalia Resultantes

Atualiza População

Deve Parar?

FIM

Não

Sim

Figura 2: Processo de AG

Explicando o algoritmo implementado:

O Algoritmo Genético para o Problema da Mochila Valiosa (PMV) foi implementadoseguindo a estrutura como mostrado abaixo:

Cromossomo

O cromossomo do AG para a Mochila foi montado utilizando os próprios itens da

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Mochila, onde cada alelo representa a presença de um objeto na Mochila com 0 ou 1. Assim,para um PMV com 5 objetos temos a representação de um cromossomo:

1 0 1 1 0

De acordo com o cromossomo acima, a Mochila estaria carregando os objetos 1, 3 e 4;

Gerar População Inicial

A população inicial é criada de forma aleatória. Como a representação de um indivíduoé de forma binária, é sorteado um número aleatoriamente entre 1 e 2Nob jetos . Em seguida, essenúmero é transformado em binário para fazer parte da população inicial. Com isso, consegui-mos buscar um indivíduo em todo o espaço de possíveis soluções. No entando, o cromossomosó é considerado válido se a soma do peso dos objetos contidos na Mochila não ultrapassa c e asoma do valor desses objetos seja pelo menos d (Checagem de Validade). O valor do tamanhoda população inicial é parametrizado.

Fitness

A função Fitness é baseada no somatório dos Valores dos objetos contidos em cadaMochila. Ela é formulada através uma regra de três simples, onde para cada indivíduo temos:

f itnessi =Valori∗100Sumvaloresi

i ∈ N, onde N é a quantidade de alelos do cromossomo, o que nos dá um valor entrezero e cem.

Taxa

A função da taxa é utilizada para conseguirmos classificar os indivíduos em termos deproporção baseado agora no valor do fitness de cada indivíduo. Também é formulado atravésde uma regra de três simples, onde para cada um calculamos:

ratei =f itnessi∗100Sum f itnessi

i ∈ N, onde N é a quantidade de alelos do cromossomo, o que nos dá um valor entrezero e cem, sendo que agora, o somatório das taxas nos dá um valor fechado em cem, parapodermos aplicar o próximo passo.

Roleta

A função da roleta foi implementada justamente utilizando o valor da taxa de cadaindivíduo, como essas taxas são valores que somam um total de cem, é possível determinarum valor máximo para cada indivíduo da população que será utilizado para a seleção dessesindivíduos para o cruzamento. Assim, uma população com quatro indivíduos, teríamos:

11

1 0 1 1 0, 32.7

1 0 1 1 1, 41.5

1 0 0 1 0, 15.0

0 0 0 1 0, 10.8

onde os valores ao lado do cromossomo representam a taxa de cada um, com issoconseguimos que o 1a indivíuo tenha um valor máximo de 32.7, o 2o um valor de 74.2, o 3o umvalor de 89.2 e o 4a 100.

Crossover

Antes de realizar o Crossover, é feita uma seleção de pares de indivíduos que irãoparticipar do cruzamento mútuamente, onde os que possuem maior fitness têm uma melhorchance de participarem do cruzamento juntos. Assim, para o exemplo anterior do valor máximo,seriam gerados 4 números aleatórios em que cada um cairia dentro de um espaço de um dosindivíduos. Com isso, supondo que teríamos sorteado na seguinte ordem 2, 3, 1, 4, o cruzamentoseria aplicado entre os indivíduos 2, 3 e depois 1, 4. O cruzamento irá gerar novos indivíduoscom a mesma quantidade que a população inicial. Ele é baseado em um ponto de corte que éparametrizado. O cruzamento é então aplicado em cima desse ponto de corte, onde o 1o filhorecebe do ponto de corte ao começo do cromossomo pai 1 junto do ponto de corte ao final docromossomo do pai 2. Isso de modo inverso é feito para o filho 2. Dessa forma geramos osindivíduos novos para a população.

Mutação

A mutação é ralizada por meio da aleatoriedade, onde a quantidade de indivíduos quesofrerão mutação é dependente do tamanho do cromossomo. A taxa de mutação também éparametrizada, e é com ela que é decidido se cada alelo escolhido para mutação sofrerá ou nãoa mutação naquele cromossomo. A mutação quando aplicada sobre o alelo, ela apenas inverteseu valor, saindo de zero para um ou de um para zero, dependendo do valor antes da mutação.

Avaliação

A função de avaliação é utilizada justamente para tratar os novos indivíduos gerados.Ela vai calcular o somatório dos valores de cada objeto para cada cromossomo. Em seguida,aplica a função fitness, junto com a população inicial para poder classificar todos os indivíduos.

Atualização

A última etapa do processo evolutivo se baseia em atualizar a população escolhendoos melhores indivíduos que irão para a próxima geração. A função de atualização ordena osindivíduos baseado na fitness para poder capturar os melhores cromossomos. Um detalhe nessaetapa é que a possibilidade de repetição de indivíduo pode gerar uma convergência precoce para

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a solução do problema, onde a população seria preenchida com o mesmo indivíduo repetido.Para evitar esse problema, nessa etapa de atualização, eliminamos todos os indivíduos repetidosdentre os indivíduos pai e indivíduos filho. Ao terminar a fase de atualização, a nova populaçãoestá pronta para ir para a próxima geração. A quantidade de geração realizadas também éparametrizada.

Um detalhe de implementação sobre o algoritmo genético é que em um caso, paraefeito de testes, chamamos os algoritmos Gulosos por custo e por volume para gerar a populaçãoinicial, os demais indivíduos foram gerados de forma aleatória como explicado anteriormente.No próximo tópico poderemos ver o resultado da aplicação dos algoritmos Gulosos na geraçãoda população inicial. Como o cálculo para o tempo de execução é obtido depois que rodatodas as iterações, não é tão notável a diferença de tempo para encontrar a melhor solução,mas abservando as execuções do algoritmo, notamos uma rápida convergência para a melhorsolução possível encontrada.

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3 RESULTADOS DOS TESTES

Para os testes foram utilizadas 11 (0..10) instâncias, onde a primeira tem a seguinteentrada:

n=30 c=200 d=1000P= { 12, 11, 1, 22, 5, 12, 12, 13, 14, 90, 10, 10, 99, 17, 1, 2, 3, 5, 20, 7, 3, 12, 23, 43, 45,

2,7,5,1,1 }U= { 121,11, 22, 499, 112, 122, 133, 144, 190, 110, 120, 199, 171, 10, 2, 322, 153, 320, 177,

333, 212, 203, 43, 45, 27, 75, 251, 101, 100, 100 }

Paras as 10 restantes é usada variação da seguinte entrada:

n=100 c=5000 d=8000P= { Números randômicos inteiros entre 10 e 100 }

U= { Números randômicos inteiros entre 10 e 1000 }

3.1 Tempo de execução

Para realização dos testes cada instância foi rodada 30 vezes e depois tirada a médiado tempo gasto na execução,

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 2 4 6 8 10

Tem

po d

e E

xec

uçã

o(s

)

Número da Instância

Gráfico do Tempo de Execução

DinamicaGulosoUtilidade

GulosoPesoGulosoRelativo

GeneticoGeneticoGuloso

Figura 3: Gráfico de teste

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calculado a partir do comando time do linux e capturando o real time. Os testes foram execu-tados em uma máquina com processador quadcore, com 2GB de ram com sistema operacionalUbuntu 12.10. Não calculamos para o força bruta, devido ele gastar muito tempo executandopara instância com n = 100, para o algoritmo genético foi utilizado as seguintes configurações:

Para instâcia 0

população = 10 ponto de corte = 10 número de iterações = 1000 taxa de mutação = 10%

Para instâcias de {1..10}

população = 10 ponto de corte = 40 número de iterações = 1000 taxa de mutação = 10%

Na Figura 3 vemos que em termo de tempo gasto o algoritmo que mais custoso éo genético, isto é devido ele ter sido configurado para ter 1000 iterações e também por suaschecagens e tratamentos, diferente dos gulosos que o tempo de execução depende apenas de ummétodo de ordenação mais iterações para colocar os itens na mochila.

Para a de programação dinâmica podemos ver que para instância 0, onde n = 30, eleconsegue um tempo similar aos gulosos, sendo ele exato, isso se deve a capacidade pequenada mochila dessa instância c = 200, ficamos apenas com 30*200 passos para a de programaçãodinâmica.

Mas vemos que nas demais instâncias os gulosos conseguem manter um tempo prati-camente fixo, mas a de programação dinâmica sobe um pouco devido c = 5000 ter sofrido umaumento grande.

3.2 Convergência das soluções

Tirando o algoritmo de programação dinâmica, temos heurísticas para o problema,então pode ser que não retornem a solução ótima, na tabela seguintes pegamos 3 instâncias emostramos a melhor solução achada das 30 execuções de cada algoritmo:

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Algoritmo Solução Instância

Dinâmica 49810 1

Genético 48994 1

GenéticoGuloso 49810 1

GulosoUtilidade 49810 1

GulosoPeso 48137 1

GulosoRelativo 46404 1

Dinâmica 49411 2

Genético 48760 2



GulosoPeso 47081 2


Dinâmica 51979 3

Genético 51572 3



GulosoPeso 49767 3


Na instância 1 vemos que o genético sozinho não conseguiu atingir a solução ótima,apesar de chegar perto, mas quando juntamos os dois, o genético guloso nas 3 instâncias eleconsegue atingir a solução ótima(solução da de programação dinâmica). O melhor guloso foipor utilidade apenas na instância 2 que ele não conseguiu atingir o ótimo, os demais guloso nãoconseguiram atingir ótimo em nenhuma instância.

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BIBLIOGRAFIA

HOARE, C.A.R. Quicksort. The Computer Journal, Br Computer Soc, v. 5, n. 1, p. 10–16,1962.

MARTELLO, S.; PISINGER, D.; TOTH, P. New trends in exact algorithms for the 0–1 knap-sack problem. European Journal of Operational Research, Elsevier, v. 123, n. 2, p. 325–332,2000.

VIANA, G. V. R.; MOREIRA, F. V. C. Técnicas de divisão e conquista e de programação dinâ-mica para a resolução de problemas de otimização. Revista Científica da Faculdade LourençoFilho, v. 8, n. 1, p. 5–27, 2011.

problema da mochila valiosa com valor minimo de utilidade

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