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Formulações Multifluxo de Problemas de Otimização Combinatória

Henrique Pacca L. Luna

Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional

Escuela Latino Americana de Verano de

Investigacion Operativa - XII ELAVIO

Petrópolis - 2007

Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínima Distância

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A),

com um nó origem o e parâmetros

dij distância entre os nósi e j

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do grafo.


Variáveis Binárias

xij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário

Variáveis de Fluxo

fijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k


Modelo de Programação Linear Inteira Mista

Função Objetivo

Minimizar (1)

sujeito a

∑ dij xij(i,j) ε A


∑ fojk = 1 para o nóo e para todok ε V - { o} (2)

(o,j) ε A

∑ fikk = 1 para todo nók ε V - { o} (3)(i,k) ε A


xij ε {0,1}, para todo (i, j) ε A (6)

∑ fijk - ∑ fjlk = 0 para todo j e k ε V- { o} (i,j) ε A (j,l) ε A com j ≠ k (4)

0 ≤ fijk ≤ xij para todo (i, j) ε A, k ε V- { o} (5)


ReferênciaMaculan, Nelson., A New Linear Programming

Formulation for the Shortest s-Directed SpanningTree Problem, Journal of Combinatorics, Information & System Sciences, Vol. 11, Nos. 2-4, 53-56 (1986)

Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Fixo


com um nó origem o e o parâmetro

bij custo fixo da ligação entre os nós i e j

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo fixo de instalação que ligue o nó origem a todos os nós do grafo




Variáveis de Fluxo




Função Objetivo

Minimizar (7)

sujeito a (2), (3), (4), (5) e (6).

∑ bij xij(i,j) ε A

Vencer Distâncias é Custoso

bij = + dijbij = + dijbij = + dij

Custo fixo em função da distância no arco (i,j)

dij

bij

bij = + dij


Sendo a relação entre o custo fixo e a distância no arco (i, j) dada por

bij = α + β dij

Observa-se que, quando α = 0, o problema se reduz aoproblema da árvore geradora de mínima distância. Quandoα = 1 e β = 0 o problema se reduz, trivialmente, ao problema da árvore geradora.

Problema da Árvore Geradora Dirigida deMínimo Custo Variável

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros

cijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através do arco (i,j)

qk quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V – { o}

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que ligue o nó origem a todos os nós de demanda da rede.

Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável


Função Objetivo

Minimizar (8)

sujeito a

∑ ∑ cijk fijkk ε V–{ o} (i,j) ε A

O Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável

∑ fojk = qk para o nóo e para todok ε V - { o} (2’)

(o,j) ε A

∑ fikk = qk para todo nók ε V - { o} (3’)

(i,j) ε A

O Problema da Árvore Geradora Dirigida de Mínimo Custo Variável


∑ fijk - ∑ fjlk = 0 para todo j ek ε V- { o}

(i,j) ε A (j,l) ε A com j ≠ k (4)

0 ≤ fijk ≤ qk xij para todo (i, j) ε A, k ε V- { o} (5’)

Levar Carga Longe é Custoso

k

cijk = k dij

dij

cijk

Custo de uma unidade de fluxo do produto k em função da distância no arco (i,j) A

Custo de TransporteProporcional à Carga de cada Produto

Custo do fluxo de k

fijk

cijk

Custo variável do fluxo do produto k no arco (i,j) A

Problema da Árvore de Steiner em Grafo Dirigido


com um nó origem o que precisa ser ligado a um sub-conjunto K de nós de demanda e parâmetros

dij distância entre os nósi e j

O problema consiste em encontrar uma árvore Steiner de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do conjunto K contido em V




Variáveis de Fluxo

fijk fluxo através do arco (i,j) do produto destinado ao nó k ε K



Função Objetivo

Minimizar (11)

sujeito a

∑ dij xij(i,j) ε A


∑ fojk = 1 para o nóo e para todok ε K (12)

(o,j) ε A

∑ fikk = 1 para todo nók ε K (13)(i,k) ε A



∑ fijk - ∑ fjlk = 0 para pares j V- { o},

(i,j) ε A (j,l) ε A k ε K com j ≠ k (14)

0 ≤ fijk ≤ xij para todo (i, j) ε A, k ε K (15)

Tempo é Dinheiro

bij = + dijbij = + dijbij = + dij

Custo do tempo de espera para o fluxo total do arco (i,j) A

Atrazo

gijC

C - capacidade

Problema da Árvore Geradora Congestionada deMínimo Custo

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros

cijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através do arco (i,j)

qk quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V – { o}

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que ligue o nó origem a todos os nós de demanda da rede.

Problema da Árvore Geradora Congestionada deMínimo Custo

Variáveis Bináriasxij variável booleana que vale 1 se o arco (i,j) é

escolhido para compor a árvore geradora e vale 0 em caso contrário

Variáveis de Fluxo


gij fluxo total de todos os produtos que passam pelo arco (i,j)

Problema da Árvore Geradora Congestionada de Mínimo CustoModelo de Programação Linear Inteira Mista

Função Objetivo

Minimizar

sujeito a

∑ [ (bij xij +τij (gij) + ∑ cijk fijk ] (18)(i,j) ε A k ε V–{ o}

O Problema da Árvore Geradora Congestionada de Mínimo Custo


∑ fijk - ∑ fjlk = 0 para todo j ek ε V- { o}

(i,j) ε A (j,l) ε A com j ≠ k (4)

0 ≤ fijk ≤ qk xij para todo (i, j) ε A, k ε V- { o} (5’)

O Problema da Árvore Geradora Congestionada de Mínimo Custo

∑ fijk - gij ≤ 0, para todo (i,j) e A (19)

k ε V – { o}

gij ≥ 0 para todo (i, j) ε A (20)

problema da Árvore - instituto de computação - uff · com um nó origem o e os parâmetros cijk...

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