MEEC

Ano Lectivo 2014/2015, 2 Semestre

Propagao e Radiao de Ondas Electromagnticas

(PROE)

(Propagao Guiada) Guias Metlicos

Enunciados de Problemas (com Solues)

Resolues de Problemas Seleccionados

Enunciados de Provas de Avaliao Anteriores

Edio de Custdio Peixeiro

Maro 2015

2/35

Problema GM1

I. Considere um guia, preenchido por ar, constitudo por dois planos metlicos paralelos, condutores perfeitos, separados por uma distncia b=5 cm.

a) Obtenha as expresses das amplitudes complexas das componentes do campo elctrico e do campo magntico dos modos TE e TM.

b) Mostre que da sobreposio das ondas incidentes e reflectidas nos dois planos metlicos, resultam campos electromagnticos que se propagam segundo a dimenso longitudinal da estrutura metlica (guiados pelos dois planos), formando ondas estacionrias na direco perpendicular aos planos metlicos.

c) Determine a frequncia de corte, a constante de propagao longitudinal, a impedncia transversal, a velocidade de fase e a velocidade de grupo dos cinco primeiros modos, na frequncia 7,5 GHz.

d) Esboce em grfico kz, ZTM, ZTE, vf e vg, dos cinco primeiros modos, em funo da frequncia.

e) Esboce as linhas de fora do campo elctrico e do campo magntico dos trs

primeiros modos, nos planos XY(z=z/8), XZ(y=b/4) e YZ, em t=0.

f) Compare as caractersticas do modo TM0, dos modos TEm e TMm (com m 0) e das ondas a propagar-se em espao livre.

II. Admita agora que se preencheu o interior do guia com um dielctrico sem perdas (2,250, 0), de altura a=b/2, como indicado na figura.

g) Obtenha as solues das componentes dos campos para os modos TE e TM.

h) Calcule as frequncias de corte dos seis primeiros modos.

i) Diga, justificadamente, se este guia ainda suporta um modo TEM.

Solues

a) Modos TM (Hz=Ex=Hy=0)

zkjc

0c

0x

zkjc

c

zy

zkjcz

zzz e)yk(cosAZk

kjHe)yk(cosA

k

kjEe)yk(senAE

b

y

x

b

y

x

a

3/35

2c

20zc kkk......,2,1,0nnbk

Modos TE (Ez=Ey=Hx=0)

zkjc

c

0zx

zkjc

c

zy

zkjcz

zzz e)yk(senAk

ZkjEe)yk(senA

k

kjHe)yk(cosAH

2c

20zc kkk......,2,1,0nnbk

b)

zky

bnjzky

bnj

z

zz

ee2

Aj)z,y,x(E

f

f1ksenkk

b2

cnf

n

b2

f

f

b2ncos

bncoskk

c0i0z

0cc

c

c

00ii0y

c) 2

c

0TE

2

c0TM

2

c0z

0c

f

f1

ZZ

f

f1ZZ

f

f1kk

b2

cnf

2

c0g

2

c

0f

f

f1cv

f

f1

cv

n Modo fc [GHz] kz [rad.m-1] ZT [] vf [m.s

-1] vg [m.s-1]

0 TM 0 50 120 3x10

8 3x108

TE - - - - -

1 TM

3 45,83 109,98

3,27x108 2,75x108 TE 130,93

2 TM

6 30 72

5x108 1,8x108 TE 200

d) Grficos

e) Modo TM0 (TEM)

)zkt(senH

)zkt(senE

zx

zy

4/35

Modo TM1

)zkt(senyb

cosH

)zkt(senyb

cosE

)zkt(cosyb

senE

zx

zy

zz

Campo elctrico no plano YZ (t=0) cte)zk(cosyb

cos z

Modo TE1

)zkt(senyb

senE

)zkt(senyb

senH

)zkt(cosyb

cosH

zx

zy

zz

Campo magntico no plano YZ (t=0) cte)zk(cosyb

sen z

f) O modo TM0 um modo TEM e como tal tem as caractersticas duma onda em

espao livre. Os modos de ordem superior (n1) tm caractersticas prprias que dependem da altura do guia e da frequncia.

g) Modos TM (Hz=Ex=Hy=0)

ay0e)yk(cos)ak(sen

)ba(ksenA

Zk

kj

byae)by(kcosAZk

kj

H

ay0e)yk(cos)ak(sen

)ba(ksenA

k

kj

byae)by(kcosAk

kj

E

ay0e)yk(sen)ak(sen

)ba(ksenA

byae)by(ksenA

E

zkj2c

2c

1c

22c

2

zkj1c

11c

1

x

zkj2c

2c

1c

2c

z

zkj1c

1c

z

y

zkj2c

2c

1c

zkj1c

z

z

z

z

z

z

z

22c

22

21c

21z kkkkk

aktank

Zk)ba(ktan

k

Zk2c

2

22c1c

1

11c Equao caracterstica dos modos TM

5/35

Modos TE (Ez=Ey=Hx=0)

ay0e)yk(sen)ak(cos

)ba(kcosA

k

Zkj

byae)by(ksenAk

Zkj

E

ay0e)yk(sen)ak(cos

)ba(kcosA

k

kj

byae)by(ksenAk

kj

H

ay0e)yk(cos)ak(cos

)ba(kcosA

byae)by(kcosA

H

zkj2c

2c

1c

2c

22

zkj1c

1c

11

x

zkj2c

2c

1c

2c

z

zkj1c

1c

z

y

zkj2c

2c

1c

zkj1c

z

z

z

z

z

z

z

22c

22

21c

21z kkkkk

aktank

Zk)ba(ktan

k

Zk2c

2c

221c

1c

11 Equao caracterstica dos modos TE

Os modos TM e TE (j) no so degenerados.

h) No corte (kz=0) tem-se kc1=k1 e kc2=k2 o que torna as equaes caractersticas dos modos TM e TE iguais.

f0=0 Modos TM0 e TE0

f1=2,313 GHz Modos TM1 e TE1

f2=4,948 GHz Modos TM2 e TE2

i) Como kc1 (e kc2) no se anulam as componentes longitudinais no so nulas e como tal no h modo TEM.

6/35

Problema GM2 (Resolvido)

Considere um guia de ondas metlico sem perdas, de seco rectangular [axb], com a=3 cm, b=1,8 cm e preenchimento ar.

a) Obtenha as expresses das amplitudes complexas das componentes de suporte dos modos TE e TM.

b) Justifique a impossibilidade de se propagarem no guia modos TMmn com m ou n iguais a zero.

c) Determine as frequncias de corte dos cinco primeiros modos de propagao, normalizadas frequncia de corte do modo fundamental. Identifique a regio de frequncias do regime unimodal.

d) Esboce em grfico a variao com a frequncia da constante de propagao longitudinal do modo fundamental. Comente o resultado.

e) Compare as condies de propagao nas seguintes regies de frequncia:

[f < fc1] ; [fc1 1,25 fc1] ; [1,25fc1 fc2] e [f > fc2]

em que fc1 e fc2 so as frequncias de corte dos 2 primeiros modos de propagao.

f) Analise a estrutura de campos dos dois primeiros modos que se propagam no guia.

g) Compare a potncia transmitida nos dois primeiros modos.

7/35

Problema GM3

Considere um guia de seco rectangular (a=22,86 mm, b=12,16 mm) sem perdas, preenchido por ar, a operar na banda de frequncias 7-13 GHz.

a) Determine as frequncias de corte e identifique os quatro primeiros modos.

b) Esboce num grfico a variao com a frequncia das constantes de propagao e do comprimento de onda no guia, dos quatro primeiros modos.

c) Esboce num grfico a variao com a frequncia das velocidades de fase e de grupo, dos quatro primeiros modos.

d) Esboce o andamento das linhas de fora do campo elctrico e do campo

magntico do modo fundamental, nos planos XY (z=z/4), YZ (x=a/2, 0zz) e XZ

(0zz), para t=0.

e) Calcule as expresses analticas da densidade de corrente no interior das quatro

paredes do guia e esboce o seu andamento para t=0 e 0zz).

f) Considere as frequncias de operao 7 GHz, 9 GHz e 13 GHz, e tendo em conta os resultados das alneas anteriores, seleccione a frequncia mais adequada para enviar informao atravs do guia com um mnimo de disperso.

g) Compare a potncia transmitida frequncia f=13 GHz nos dois primeiros modos de propagao. Comente o resultado.

h) Altere as dimenses do guia (axb) de modo a:

(i) manter a frequncia de corte do modo fundamental; (ii) garantir a propagao em regime unimodal frequncia f=13 GHz.

i) Com base nos resultados das alneas anteriores, explique:

(i) a vantagem do regime unimodal; (ii) de que forma o redimensionamento do guia poder afectar o valor da potncia

mxima que possvel transmitir no guia.

Solues

a) 22

cmnb

n

a

m

2

cf

fcmn [GHz] m

0 1 2

n

0 - 6,562 13,123

1 12,336 13,972 18,001

2 24,671 25,529 27,944

TE10, TE01, TE20, TM11(TE11)

8/35

b) 2

cmn

0

2

cmn0z

f

f1

c

f2

f

f1kk

2

cmn

0

2

cmn

0

zz

f

f1

f

f1f

c

k

2

c) 2

cmn

0f

f

f1

cv

2

cmn0g

f

f1cv

d) )zkt(cosxa

cosH)t,z,y,x(H z0zz

)zkt(senxa

sena/

kH)t,z,y,x(H z

z0zx

)zkt(senxa

senZa/

kH)t,z,y,x(E z0

00zy

e) zxJs zktsenxa

sena/

kHzktcosx

acosH z

z0zz0z

0)(y

0)(yb)(y ss JJ

yJs zktcosH z0z 0)(x 0)(xa)(x ss JJ

f) A melhor frequncia 9 GHz, porque a 7 GHz a disperso (intramodal) muito elevada e a 13 GHz pode haver disperso intermodal (regime multimodal).

g) baZ4

E863,0

f

f1ba

Z4

EP

0

20

2

10c

0

20

10z

10z0

20

2

01c

0

20

01z P366,0baZ4

E316,0

f

f1ba

Z4

EP

h) a=22,86 mm b=11,54 mm

i) O regime unimodal garante a inexistncia de disperso intermodal. Ao diminuir b diminui a rea da seco transversal do guia e consequentemente a potncia transportada tambm diminui.

9/35

j) Problema GM4

Considere um guia de seco rectangular (a=2,5 cm e b=1,1 cm) sem perdas e preenchimento ar.

a) Determine a banda de frequncia [fmin, fmx] em que se propaga apenas o modo fundamental. Explique qual o interesse de se trabalhar apenas nessa banda.

b) Obtenha a expresso da componente transversal do campo elctrico do modo fundamental, em valor instantneo, e represente graficamente o seu andamento segundo x, segundo y e segundo z. Interprete fisicamente e comente esse andamento.

c) Esboce o andamento das linhas de fora do campo magntico do modo fundamental.

d) Determine o valor mximo da potncia que o guia pode transportar, para f=0,8fmx, sem se verificar disrupo. Considere o campo elctrico de disrupo no ar 30 kV.cm-1.

Solues

a) fmin=6 GHz fmax=12 GHz

Nesta banda no h disperso intermodal (regime unimodal).

b) )zkt(cosxa

senEE z0y

c) )zkt(cosxa

cosHH z0zz

)zkt(senxa

senHa/

kH z0zx

d) 2

10c

0

20

10zf

f1ba

Z4

EP

E0=3x106 V.m-1

f=0,8fmax=9,6 GHz Pzmax=1,281 MW

10/35

Problema GM5

Considere um guia de seco rectangular (a=2b=5 cm) com paredes metlicas e preenchimento ar.

a) Determine a banda de frequncia [fmin, fmx] em que se propagam apenas trs modos. Diga quais so os modos, porque que apenas eles se propagam e como se diferenciam.

b) Compare as estruturas dos campos elctricos dos trs modos.

c) Calcule o tempo que um impulso que modula uma portadora de frequncia 9 GHz leva a percorrer 1 m, para cada um dos trs modos.

d) Esboce o andamento da corrente do modo fundamental, no interior das paredes do guia.

e) Compare a potncia de perdas dos modos degenerados considerados nas alneas anteriores, descrevendo os passos necessrios para o seu clculo e realando as diferenas.

Solues

a) fmin=6 GHz fmax=6,708 GHz

Nesta banda apenas os modos TE10, TE20 e TE01 se podem propagar porque tm frequncias de corte menores ou iguais a fmin. Estes modos diferenciam-se pela sua estrutura de campos.

b) Modo TE10 )zkt(cosxa

senEE z0y

Modo TE20 )zkt(cosxa

2senEE z0y

Modo TE01 )zkt(cosyb

senEE z0x

c) Modo TE10 18

2

10c0g sm10828,2

f

f1cv

t = L/vg =3,54 ns

Modo TE20 18

2

20c0g sm10236,2

f

f1cv

t = L/vg =4,47 ns

Modo TE01 18

2

01c0g sm10236,2

f

f1cv

t = L/vg =4,47 ns

d) zzktsenxa

sen

/a

kHxzktcosx

a

cosH0)(yJ z

zz0zz0s

0)(yJb)(yJ ss

yzktcosH0)(xJ zz0s 0)(xJa)(xJ ss

11/35

e) dl2

RP

Pp

cpc tgH

Modo TE20

2

20c

2

20c

20zc

pcf

f

a

b21

f

f

2

aHRP

Modo TE01

2

01c

2

01c

20zc

pcf

f

b

a21

f

f

2

bHRP

12/35

Problema GM6

Um guia de ondas rectangular (axb) constitudo por paredes de cobre (c=5,8x107

S.m-1) e est preenchido com polietileno (r=2,25, d=1x10-4 S.m-1). Pretende-se

utilizar esse guia na gama de frequncias 5 7 GHz.

a) Calcule a e b. Explicite os critrios utilizados.

b) Calcule a velocidade de grupo nas frequncias limite da banda.

c) Esboce o andamento de c e d, do modo fundamental, entre 0 e 10 GHz, em dB.m-1.

d) Admitindo que o campo elctrico tem uma amplitude mxima 1 kV.m-1 em z=0, calcule a potncia transportada nesse ponto, nas frequncias limite da banda.

e) Calcule a potncia perdida entre z=0 e z=1 m, nas frequncias limite da banda.

Solues

a) Impondo fmin=1,25fc10 e fmax=0,9fc01

mm25aGHz4GHz25,1

5

a2

c

a2

cf

r

0d10c

mm86,12bGHz)7(,7GHz9,0

7

b2

c

b2

cf

r

0d01c

b) r

dc

dg

cc

f

fcv

0

2

101

180g

180g sm1064,1c547,0)GHz7f(vsm102,1c4,0)GHz5f(v

c) r

0d

cc

12

c

2

cd

c10c

ZZ

2RmdB

f

f

a

b21

f

f1bZ

Rlog20

d

dd

cd

dd mdB

f

fc

tan

12

tanlog20 1

210

d) W262,0)GHz7f(PW192,0)GHz5f(Pf

f1ba

Z4

EP zz

2

c

d

20

z

e) dc2zzzp e1)0z(P)lz(P)0z(PP mW6,13PmNp0367,00209,00158,0GHz5f p

1

mW4,13PmNp0263,00153,00110,0GHz7f p1

13/35

Problema GM7

I. Considere um guia rectangular, sem perdas, com preenchimento ar e dimenses a=3 cm e b=1,8 cm. Pretende-se transmitir um sinal de frequncia f1=9 GHz.

a) Calcule as frequncias de corte dos cinco primeiros modos.

b) Admitindo que amplitude mxima do campo elctrico entrada do guia (z=0) 100 mV.cm-1, calcule a potncia transportada por cada um dos dois primeiros modos (em z=0), frequncia f1.

c) Sem alterar a frequncia de corte do modo fundamental redimensione o guia para que apenas se propague o modo fundamental para f=f1. Indique qual o efeito que o redimensionamento tem na potncia mxima que possvel transmitir.

II. Admita agora que o guia tem paredes de cobre (r=1, r=1, =5,8x107 S.m-1).

d) Calcule a expresso da constante de atenuao no guia.

e) Esboce (f) e calcule (f1) em dB.m-1.

Solues

a) 22

cmnb

n

a

m

2

cf

fcmn [GHz] m

0 1 2

n

0 - 5 10

1 8,(3) 9,718 13,017

2 16,(6)

TE10, TE01, TM11(TE11), TE20

b) Wf

fba

Z

ETEP cz 78,291

4

2

1

10

0

20

10

Wf

fba

Z

ETEP cz 53,131

4

2

1

01

0

20

01

c) a=3 cm, b=1,(6) cm

A potncia mxima diminui porque a rea da seco transversal do guia diminui.

d) 12

c

2

c0

cc mNp

f

f

a

b21

f

f1bZ

R

e) c(f1) = 0,0553 dB.m-1

14/35

Problema GM8 (Resolvido)

Pretende-se transmitir um sinal atravs de um guia de ondas de seco rectangular (a=2,29 cm, b=1,02 cm) de comprimento L=40 cm, com paredes de cobre

(=5,8x107 S.m-1) e preenchido por ar. O sinal constitudo por duas componentes

espectrais de frequncia 0 e 0 (com 600 MHz ), de igual

amplitude.

a) Caracterize o tipo de sinal a transmitir.

b) Supondo que as frequncias disponveis para a portadora do sinal so f1=7,0 GHz, f2=9,0 GHz e f3=12,8 GHz, determine a frequncia mais adequada para a transmisso, isto , aquela que minimiza os efeitos da disperso e da atenuao.

Sugesto: Esboce o andamento de vg() (assumindo paredes condutoras

perfeitas) e de z , para os 3 primeiros modos de propagao.

c) Calcule o tempo de propagao de cada uma das ondas de frequncia

0 e 0 no troo de guia. Comente o resultado.

15/35

Problema GM9

I. Considere um guia de ondas circular, sem perdas, com raio 6,35 mm e preenchimento ar.

a) Calcule as frequncias de corte e identifique os correspondentes cinco primeiros modos.

b) Diga qual a gama de frequncias para regime unimodal.

c) Escreva a expresso da componente de suporte do modo fundamental, em valor instantneo.

d) Deduza, a partir da componente de suporte, as componentes transversais dos campos elctrico e magntico do modo fundamental.

e) Esboce num grfico a variao radial e azimutal da amplitude (normalizada ao valor mximo) da componente de suporte do modo fundamental.

f) Esboce as linhas de fora do campo elctrico e do campo magntico do modo fundamental, numa seco transversal do guia.

II. Admita agora que as paredes so de cobre (c=5,8x107 S.m-1) e o interior est

preenchido com um dielctrico homogneo (r=2,0, d=1x10-4 S.m-1)

g) Indique quais os efeitos do preenchimento dielctrico.

h) Calcule as frequncias de corte dos dois primeiros modos.

i) Obtenha as expresses das constantes de atenuao associadas s perdas nas

paredes (c) e no dielctrico (d) do modo fundamental.

j) Calcule c e d do modo fundamental, para f=12 GHz.

Solues

a) a2

cpfTMM odos

a2

cpfTEM odos 0mncmnmn

0'mn

cmnmn

fcmn [GHz] 13,843 18,084 22,963 28,813

Modo TE11 TM01 TE21 TE01 TM11

b) Regime unimodal entre 13,843 GHz e 18,084 GHz.

c) )zkt(cosa

841,1J)(cosH)t,z,,(H z10zz

d) zkj10z2z

2ze

a

841,1J)(senH

1

a

841,1j

H1

hjE

zkj'10z

z2

zea

841,1J)(cosH

a

841,1j

H

hjE

z

00TE

TE

zkj'10z

zz2z

k

ZkZ

Z

Ee

a

841,1J)(cosH

a

841,1

kj

H

h

kjH z

16/35

TE

zkj10z2

zz2z

Z

Ee

a

841,1J)(senH

1

a

841,1

kj

H1

h

kjH z

e)

a0841,1J

a

841,1J

),(H

)0,(H

1

1

maxz

z

f) )zkt(cosa

841,1J)(cosH)t,z,,(H z10zz

)zkt(sena

841,1J)(cos

h

kH)t,z,,(H z

'1

z0z

)zkt(sena

841,1J)(sen

1

h

kH)t,z,,(H z12

z0z

0Ez

)zkt(sena

841,1J)(sen

1

hH)t,z,,(E z120z

)zkt(sena

841,1J)(cos

hH)t,z,,(E z

'10z

Para, por exemplo z=0 e t=/2 (t=T/4)

0)4

T,0,,(Hz

a

841,1J)(cos

h

kH)

4

T,0,,(H '1

z0z

a

841,1J)(sen

1

h

kH)

4

T,0,,(H 12

z0z

0Ez

a

841,1J)(sen

1

hH)

4

T,0,,(E 120z

a

841,1J)(cos

hH)

4

T,0,,(E '10z

g) Baixa a frequncia de corte dos modos, introduz perdas (d0) e aumenta a capacidade de potncia (o campo de disrupo de um dielctrico maior do que o do ar).

h) GHz788,92

843,13fTEM odo c11

GHz787,122

084,18fTMM odo c01

i)

2

c22

cd

cc

f

f

1841,1

1

f

f1aZ

R

17/35

2

cd

dd

f

f1c2

tan

j) c (f=12 GHz) = 0,0316 Np.m-1

d (f=12 GHz) = 0,0230 Np.m-1

18/35

Problema GM10

Considere um guia de ondas rectangular, sem perdas, com dimenses a=2b=4,3, e preenchimento ar.

a) Calcule as frequncias de corte e identifique os correspondentes quatro primeiros modos.

b) Calcule a banda de frequncia do regime unimodal.

c) Calcule o raio de um guia circular cujo modo fundamental tenha a mesma frequncia de corte que o modo fundamental do guia rectangular.

d) Calcule as frequncias de corte e identifique os correspondentes quatro primeiros modos do guia circular.

e) Compare a banda de frequncias do regime unimodal dos dois guias e comente o resultado.

f) Compare as reas das seces transversais dos dois guias e comente o resultado.

Solues

a) mm922,10"3,4b2ab

n

a

m

2

cf

22

cmn

fcmn [GHz] m

0 1 2

n

0 - 1,373 2,747

1 2,747 3,071

2 5,493

TE10, TE20TE01, TM11TE11

b) 1,373 GHz < f < 2,747 GHz

c) a=6,40 mm

d) a2

pcfTMM odos

a2

pcfTEM odos mn0cmn

'mn0

cmn

1 modo, TE11 fc = 1,373 GHz 2 modo, TM01 fc = 1,794 GHz 3 modo, TE21 fc = 2,278 GHz

4 modo, TE01TM01 fc = 2,859 GHz

e) Guia rectangular 1,373 GHz < f < 2,747 GHz

Guia circular 1,373 GHz < f < 1,794 GHz

A largura de banda para regime unimodal de um guia rectangular pode atingir, como acontece neste caso, o valor mximo igual frequncia de corte do modo

19/35

fundamental, enquanto que no guia circular sempre 0,306 da frequncia de corte do modo fundamental.

f) Guia rectangular ab=59,65 cm2

Guia circular a2=128,68 cm2

20/35

Problema GM11 (Resolvido)

I. Considere uma cavidade ressonante paralelepipdica com paredes de cobre

(c=5,8x107 S.m-1), dimenses a=22,86 mm, b=10,16 mm, e d=41,295 mm,

preenchida com ar.

a) Calcule as frequncias de ressonncia e identifique os correspondentes quatro primeiros modos.

b) Escreva as expresses das componentes dos campos elctrico e magntico, do modo fundamental, em valor instantneo.

c) Calcule o factor de qualidade do modo fundamental.

II. Admita agora que a cavidade preenchida homogeneamente com um dielctrico

caracterizado macroscopicamente por r=2,25, r=1, d=1x10-4 S.m-1.

d) Calcule a frequncia de ressonncia do modo fundamental.

e) Calcule o factor de qualidade do modo fundamental.

f) Estime a largura de banda de meia-potncia do modo fundamental da cavidade.

21/35

Resolues

de

Problemas Seleccionados

22/35

Resoluo do Problema GM2

a) Modos TE (Componente de suporte Hz, Ez=0)

222z

2c2

2

2

22Tz

2cz

2T kkk

yx0HkH

Utiliza-se o mtodo de separao de variveis

zkj ze)y(Y)x(X)z,y,x(F

0ky

Y

Y

1

0kx

X

X

1

0ky

Y

Y

1

x

X

X

1

2y2

2

2x2

2

2c2

2

2

2

2c2y

2x kkk

A soluo geral

)yk(senB)yk(cosA)y(Y)xk(senB)xk(cosA)x(X y2y2x1x1

A soluo particular obtm-se impondo as condies nas fronteiras (cnf). Sendo as paredes do guia condutoras perfeitas impem-se o anulamento das componentes tangenciais do campo elctrico e normais do campo magntico.

zkjy2y2x1x1z ze)yk(senB)yk(cosA)xk(senB)xk(cosA)z,y,x(H

zkjy2y2x1x12c

zxz2c

zx

ze)yk(senB)yk(cosA)xk(cosB)xk(senAk

kkj

x

H

k

kj)z,y,x(H

zkjy2y2x1x12c

zyz2c

zy

ze)yk(cosB)yk(senA)xk(senB)xk(cosAk

kkj

y

H

k

kj)z,y,x(H

yTEyz

z2c

x HZHk

Zk

y

H

k

Zkj)z,y,x(E

xTExz

z2c

y HZHk

Zk

x

H

k

Zkj)z,y,x(E

0)z,y,x(Ez

0B

0H

0E

0E

0xcnf 1

x

z

y

.........,2,1,0mmak0)ak(sen

0H

0E

0E

axcnf xx

x

z

y

23/35

0B

0H

0E

0E

0ycnf 2

y

z

x

.........,2,1,0nnbk0)bk(sen

0H

0E

0E

bycnf yy

y

z

x

zkjyx0zz

ze)yk(cos)xk(cosH)z,y,x(H

zkjyx0z2

c

zxx

ze)yk(cos)xk(senHk

kkj)z,y,x(H

zkjyx0z2

c

zyy

ze)yk(sen)xk(cosHk

kkj)z,y,x(H

yTEx HZ)z,y,x(E

xTEy HZ)z,y,x(E

0)z,y,x(Ez

.......,2,1,0n,mb

nka

mk yx

Zk

kZ

zTE

m e n no podem ser ambos nulos

Modos TM (Componente de suporte Ez, Hz=0)

222z

2c2

2

2

22Tz

2cz

2T kkk

yx0EkE

Utiliza-se o mtodo de separao de variveis

zkj ze)y(Y)x(X)z,y,x(F

0ky

Y

Y

1

0kx

X

X

1

0ky

Y

Y

1

x

X

X

1

2y2

2

2x2

2

2c2

2

2

2

2c2y

2x kkk

A soluo geral

24/35

)yk(senB)yk(cosA)y(Y)xk(senB)xk(cosA)x(X y2y2x1x1

A soluo particular obtm-se impondo as condies nas fronteiras (cnf). Sendo as paredes do guia condutoras perfeitas impem-se o anulamento das componentes tangenciais do campo elctrico e normais do campo magntico.

zkjy2y2x1x1z ze)yk(senB)yk(cosA)xk(senB)xk(cosA)z,y,x(E

zkjy2y2x1x12c

zxz2c

zx

ze)yk(senB)yk(cosA)xk(cosB)xk(senAk

kkj

x

E

k

kj)z,y,x(E

zkjy2y2x1x12c

zyz2c

zy

ze)yk(cosB)yk(senA)xk(senB)xk(cosAk

kkj

y

E

k

kj)z,y,x(E

TM

yy

z

z2c

xZ

EE

Zk

k

y

E

Zk

kj)z,y,x(H

TM

xx

z

z2c

yZ

EE

Zk

k

x

E

Zk

kj)z,y,x(H

0)z,y,x(Hz

0A

0H

0E

0E

0xcnf 1

x

y

z

.........,2,1,0mmak0)ak(sen

0H

0E

0E

axcnf xx

x

y

z

0A

0H

0E

0E

0ycnf 2

y

x

z

.........,2,1,0nnbk0)bk(sen

0H

0E

0E

bycnf yy

y

x

z

zkjyx0zz

ze)yk(sen)xk(senE)z,y,x(E

zkjyx0z2

c

zxx

ze)yk(sen)xk(cosEk

kkj)z,y,x(E

zkjyx0z2

c

zyy

ze)yk(cos)xk(senEk

kkj)z,y,x(E

25/35

TM

yx

Z

E)z,y,x(H

TM

xy

Z

E)z,y,x(H

0)z,y,x(Hz

.......,2,1,0n,mb

nka

mk yx

Zk

kZ zTM

b) Para os modos TM, nem m nem n podem ser nulos pois isso implicaria o

anulamento de todas as componentes do campo (Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz).

c) 2

210c

22

cmnb

anmf

b

n

a

m

2

cf

fcmn/fc10 m

0 1 2 3

n

0 - 1 2 3

1 1,(6) 1,944 2,603

2 3,(3)

Regime unimodal entre fc10=5 GHz e fc01=8,333 GHz.

d) 2

10c10z

f

f1

c

f2k

e) f < fc1 No h modos com condies de propagao

fc1 f 1,25fc1 Apenas o modo fundamental tem condies de propagao (regime unimodal) mas com disperso muito intensa

26/35

1,25fc1 f fc2 Apenas o modo fundamental tem condies de propagao e com disperso pequena

f > fc2 Modos TE10 e TE01 com condies de propagao (regime multimodal)

f) Modo TE10

zkj0zz

zexa

cosH)z,y,x(H

zkj

0zz

xzex

asenH

a/

kj)z,y,x(H

zkj0xTEy

zexa

senEHZ)z,y,x(E

0z00

0 HZa/

kjE

0EEH zxy

Modo TE01

zkj0zz

zeyb

cosH)z,y,x(H

zkj

0zz

yzey

bsenH

b/

kj)z,y,x(H

zkj0yTEx

zeyb

senEHZ)z,y,x(E

0z00

0 HZb/

kjE

0EEH zyx

g) 2

10c

0

20

2

10c

2

10c

20z010z

f

f1ba

Z4

E

f

f1

f

f

4

baHZP

2

01c

0

20

2

01c

2

01c

20z001z

f

f1ba

Z4

E

f

f1

f

f

4

baHZP

27/35

Resoluo do Problema GM8

a)

ztcosztcosE2ztcosEztcosEE

000

000000

Grupo de 2 ondas correspondente a uma portadora de frequncia f0 modulada

em amplitude por uma onda de frequncia f.

b) 2

c0g

f

f1cv

12

c

2

c0

cc mNp

f

f

a

b21

f

f1bZ

R

Primeiro modo (TE10) fc10=6,55 GHz

Segundo modo (TE20) fc20=13,10 GHz

Terceiro modo (TE01) fc01=14,71 GHz

Frequncia da Portadora [GHz]

Frequncias Limite [GHz]

vg/c0 c [dB.m-1] Observaes

7,0

6,4 0 No h propagao

7,6 0,507 0,168 Regime unimodal com disperso e atenuao

severas

9,0 8,4 0,626 0,133 Regime unimodal com

disperso e atenuao moderadas

9,6 0,731 0,112

12,8 12,2 0,844 0,097

13,4 0,872 0,095 Regime multimodal

A frequncia mais adequada para a portadora 9 GHz.

c) gv

Lt

Frequncia da Portadora [GHz] 7,0 9,0 12,8 Frequncias Limite [GHz] 6,4 7,6 8,4 9,6 12,2 13,4

t [ps] 263,0 213,0 182,4 158,0 152,9

28/35

Resoluo do Problema GM11

a) 222

0mnp

d

p

b

n

a

m

2

cf

GHz5,7fTE 101101

GHz617,13fTE 201201

GHz204,15fTE 011011

GHz156,16fTM 110110

b) )t(coszd

senxa

cosHH 0zz

)t(coszd

cosxa

send

aHH 0zx

)t(senzd

senxa

sena

HE 0zy

0EEH zxy

c)

1,7414)ab2(d)db2(a

1

R2

ZbdakQQ

33c

20

30

c

d) GHz5d

1

a

1

2

cf

22

r

0101

e)

6,6053)ab2(d)db2(a

1

R2

ZbdakQ

33c

2d

3d

c

6250tan

1Q

d

d

dd

1,3075Q

1

Q

1Q

1

dc

f) M Hz6,1Q

f)dB3(f 0

29/35

Enunciados

de

Provas de Avaliao Anteriores

30/35

Teste de 7 de Junho de 2013

I. Considere um guia de ondas com seco transversal rectangular de

dimenses ab (a>b). As paredes do guia

so de cobre (=5,8107 S.m-1) e o preenchimento ar.

a) A partir da informao contida no grfico, onde est representado o diagrama de disperso dos 3 primeiros modos, calcule a e b.

b) Calcule as frequncias de corte dos 5 primeiros modos. Identifique os modos e ordene-os por ordem crescente da frequncia de corte.

c) Esboce a curva da constante de atenuao do modo fundamental em funo da frequncia (no intervalo 0-20 GHz) e calcule o correspondente valor para f=6 GHz.

d) Calcule a potncia mxima transportvel (E0max=30 kV.cm-1) para f=6 GHz. Face

aos resultados obtidos nesta alnea e na anterior, indique aplicaes tpicas dos guias de paredes metlicas ocos.

II. Admita agora que se preenche o guia com um material dielctrico caracterizado

macroscopicamente por =0, =2,560 e =0.

e) Calcule a banda de frequncias para regime unimodal e discuta as vantagens e desvantagens do preenchimento dielctrico.

Teste de 17 de Janeiro de 2013

Considere um guia rectangular com a=4b=2 cm, paredes de cobre (=5,8107 S.m-1)

e preenchimento ar.

a) Calcule as frequncias de corte dos cinco primeiros modos e indique o significado fsico da frequncia de corte.

b) Considerando margens de segurana inferior de 25% (da frequncia de corte do modo fundamental) e superior de 5% (da frequncia de corte do segundo modo), determine a banda til para regime unimodal. Justifique a utilizao de margens de segurana e porque que a margem inferior muito maior do que a margem superior.

c) Calcule a atenuao (em dB.m-1) para a frequncia central da banda obtida na alnea anterior. Indique, justificando, qual a dimenso b que permite minimizar a atenuao sem alterar a banda de frequncias do regime unimodal.

d) Determine a impedncia caracterstica transversal ZTE do modo fundamental nas frequncias mnima e mxima da banda til para regime unimodal, calculada na alnea b). Se o guia for terminado em aberto e funcionar como antena a radiar para o espao livre, de impedncia caracterstica Z0=120 , que consequncias prticas ter o facto de ZTE ser diferente de Z0, e variar com a frequncia?

31/35

Teste de 9 de Novembro de 2012

Pretende-se dimensionar um guia de ondas de seco rectangular (ab), com

paredes de cobre (=5,8107 S.m-1) e preenchimento ar, para ser usado num sistema de radar que utiliza uma portadora de frequncia f0=10 GHz e uma largura de banda 2 GHz.

a) Dimensione a e b, por forma a minimizar a atenuao e maximizar a potncia transportada. Explicite e justifique os critrios utilizados.

b) Calcule o tempo de propagao, em 5 m do guia, nas frequncias limite usadas pelo radar. Comente o resultado obtido.

c) Calcule a potncia mxima transportvel pelo guia frequncia f0. Admita para a amplitude do campo elctrico mximo 30 kV.cm-1.

d) Discuta as vantagens e desvantagens deste guia face a um cabo coaxial.

Teste de 8 de Junho de 2012

I. Considere um guia de ondas metlico, de seco rectangular de dimenses a=2b , com paredes em cobre (=5,8107 S.m-1) preenchido por ar, a operar na frequncia f0=3 GHz, no modo fundamental.

a) Calcule as dimenses da seco transversal do guia que garantem que a operao se faz em f0=1,5 fc, em que fc a frequncia de corte do modo fundamental.

b) Calcule a constante de propagao longitudinal kz e as velocidades de fase vf e de grupo vg.

c) Determine o tempo de propagao de um sinal num troo de guia com L=50 cm de comprimento.

d) Admitindo que a potncia entrada do guia P=100 W, calcule o valor da potncia recebida no final do troo de guia com l=50 cm.

II. Considere que o guia estudado se encontra terminado por um curto-circuito.

e) Esboce o andamento do campo elctrico ao longo do guia, assinalando a localizao dos mximos e mnimos. Comente o valor obtido para o espaamento elctrico entre mximos ou mnimos.

32/35

Teste de 10 de Dezembro de 2011

Considere um guia de ondas de seco rectangular, em cobre, de dimenses a=2b= 4 cm, a operar na frequncia f=6 GHz.

a) Identifique os quatro primeiros modos de propagao e calcule as respectivas frequncias de corte e velocidades de grupo.

b) Para o modo fundamental, determine o valor mximo de Hx sabendo que a potncia transmitida vale Pz=3 kW.

c) A relao a2b conduz maior largura de banda na propagao unimodal. Justifique a afirmao anterior e enuncie as vantagens da propagao unimodal (no modo fundamental).

Teste de 5 de Abril de 2011

Considere um guia metlico de seco rectangular com a=2b=6 cm, a operar s frequncias f1=5,5 GHz e f2=6 GHz. a) Identifique os modos de propagao no guia em f1 e f2 e caracterize os

respectivos regimes de operao.

b) Esboce a variao de vfz e vgz na regio de frequncias 0 < f < f1. Assinale no grfico, a zona de frequncias em que a disperso das ondas no guia mnima. Justifique a sua resposta.

c) Calcule as velocidades de fase vfz e de grupo vgz frequncia de operao f1,no(s) modo(s) de propagao do guia.

d) Determine o(s) tempo(s) que um impulso, que modula uma portadora de frequncia f1, leva a percorrer a distncia L=1m ao longo do guia. Comente o resultado.

Teste de 13 de Dezembro de 2010

Considere um guia de ondas de seco transversal rectangular (a=10,7 mm e b=4,3 mm), com paredes de cobre (=5,8x107 S/m) e preenchimento de ar, a operar na frequncia f=20 GHz.

a) Calcule as frequncias de corte dos 3 primeiros modos que se propagam no guia. Determine a banda de frequncias do regime unimodal.

b) Calcule a atenuao no guia frequncia de operao, por unidade de comprimento (em dB/m).

c) Mantendo a dimenso a, redimensione b por forma a:

(i) manter a banda de frequncias do regime unimodal e (ii) minimizar a atenuao.

d) Justifique a seguinte afirmao: A regio de frequncias mais favorvel para transmitir um sinal atravs de um guia de ondas, situa-se entre 1,25 da frequncia do modo fundamental e 0,95 da frequncia do modo seguinte.

33/35

Teste de 29 de Julho de 2010 I. Pretende-se usar um guia metlico oco, de seco rectangular, com a=2b, preenchido por ar, para transmitir um sinal de frequncia f0=3 GHz, no modo fundamental (regime unimodal). a) Sendo que f0=1,5fc, em que fc a frequncia de corte do modo fundamental,

determine as dimenses da seco transversal do guia [axb] que satisfazem s condies de operao pretendidas.

b) Determine as velocidades de fase e de grupo, a constante de propagao

longitudinal kz e o comprimento de onda no guia z. Comente os resultados.

II. Considere um troo de guia com L=9 cm, terminado em curto-circuito.

c) Determine o comprimento elctrico do troo de guia.

d) Esboce o andamento do campo elctrico ao longo do guia, assinalando a localizao dos seus mximos e mnimos.

Exame de 22 de Janeiro de 2010

I. Considere um guia de ondas metlico sem perdas, de seco axb, com a=1,5b=3

cm, a operar na frequncia f0=9 GHz.

a) Identifique os modos que se podem propagar no guia de ondas e a banda de

frequncias do regime unimodal.

b) Para o modo fundamental, calcule a constante de propagao longitudinal kz e

as velocidades de fase e de grupo.

II. Considere agora um guia de ondas metlico sem perdas, de seco quadrada

a=b=2 cm, a operar na mesma frequncia f0=9 GHz.

c) Para os modos de propagao possveis, calcule as frequncias de corte e

escreva as respectivas equaes de disperso. Comente o resultado e

classifique os modos.

d) Admitindo que os diversos modos tm igual amplitude do campo E0, calcule a

potncia transportada em cada um deles e a potncia total transportada pelo

guia. Comente o resultado.

34/35

Exame de 3 de Julho de 2009

Pretende-se transmitir um sinal de frequncia f0=9 GHz utilizando um guia de ondas

metlico de seco rectangular (axb), com a=2,286 cm e b=1,016 cm. O guia pode

ser preenchido por ar (Guia A) ou por um dielctrico, suposto sem perdas, com

r=1,61 (Guia B).

a) Para os dois guias A e B:

Determine as frequncias de corte dos modos que se podem propagar frequncia f0 e identifique-os.

Caracterize o regime de propagao.

Identifique o modo fundamental do guia e a respectiva polarizao do campo elctrico.

Determine a gama de frequncias correspondente ao regime unimodal. Comente o resultado.

b) Considere o guia de ondas metlico B e uma fibra ptica com n 1.51 e n 1.42 .

Esboce em dois grficos distintos, o andamento de k ( )z para o modo

fundamental, no guia metlico e na fibra ptica.

c) Suponha que o guia A est inserido num link de comunicao e que se interpe uma chapa metlica AA no caminho de propagao no ar, tal como se indica nas figuras. Tendo em conta a polarizao do campo na antena emissora E e as condies nas fronteiras na chapa metlica, descreva o efeito da chapa na recepo de um sinal na antena R, nas situaes (i) e (ii).

A A

A

A

(i)

(ii)

Guia A

Guia A

Guia A

Guia A

Antena E Antena R

z o

b

y

35/35

Exame de 11 de Julho de 2008

Considere um guia rectangular (em cobre, =5,8107 S.m-1), com uma seco

transversal ( )a b tal que a=2 cm e b=1,25 cm.

a) Calcule a frequncia de corte dos dois primeiros modos de propagao fc1 e fc2, respectivamente, e identifique-os.

Admita que se pretende transmitir um sinal com uma portadora de frequncia f0 e

uma largura de banda f