Probabilidades 9º Ano

Probabilidades 9º Ano

Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava

religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:

“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o

jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um

dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O

meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.

Como dividir as 60 pistolas?

Probabilidades 9º Ano

Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência

marca o início da Teoria das Probabilidades.

Blaise Pascal

Fermat

Probabilidades 9º Ano

Importância do estudo da Teoria das Probabilidades

METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.

SEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?

JOGOSPorque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

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Termos e conceitosExperiências

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida não sabemos o resultado

À partida já conhecemos o resultado

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Termos e conceitos

Espaço de Resultados

Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço de resultados = S = {Vitória, Empate, Derrota }

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto

Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

Probabilidades 9º Ano

Termos e conceitosAcontecimentos

Um acontecimento é um subconjunto do espaço de resultados.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Acontecimento A: “Sair um número par”

A = { 2, 4, 6 }

Acontecimento B: “ Sair um número maior que 2”

B = { 3, 4, 5, 6 }

Probabilidades 9º Ano

Termos e conceitos

Acontecimento

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

Espaço de resultados = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

ELEMENTAR COMPOSTO

A: “ Sair o nº 3 ”

A={ 3 }

Só tem um elemento

B: “ Sair o nº ímpar ”

B={ 1, 3, 5 }

Tem mais do que um elemento

PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO

Lei de LAPLACE

1749 - 1827

Lei de LAPLACE

EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda

E = { N, C }

A moeda tem duas faces: N – nacional; C - Comum

Qual é a probabilidade de sair N no lançamento de uma moeda?

( )P N =Número de casos favoráveisNúmero de casos possíveis

Nº casos favoráveis = 1

Nº casos possíveis = 2 ( ) 1P F = =0,5 =50%

2

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado

( )nº de casos f avoráveis 1

P A = =nº de casos possíveis 6

Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:

A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma face “5”Um dado tem 6 faces

2)B: “ Sair um número maior que 2 “

Nº casos favoráveis = 4

Nº casos possíveis = 6

3

2

6

4BP

B = { 3, 4, 5, 6 }

Num cesto de fruta há: 10 laranjas, 8 maçãs e 2 peras.Tira-se ao acaso uma peça de fruta do cesto. Qual a probabilidade de ser:

uma maçã

nº de casos favoráveis:

nº de casos possíveis:

P(sair maçã)

uma pêra

nº de casos favoráveis:

nº de casos possíveis:

P(sair pêra)

8

10+8+2=20

8

20

2

5 0,4 40%

2

10+8+2=20

2

20

1

10 0,1 10%

uma laranja

nº de casos favoráveis:

P(sair laranja)

uma maçã ou uma pêra

nº de casos favoráveis:

P(sair pêra)

10

10

20

1

2 0,5 50%

Um limão

nº de casos favoráveis:

P(sair limão)

uma maçã ou uma pêra ou uma laranja

nº de casos possíveis:

P(sair ……)

0

0

20 0 0%

20

20

20 1 100%

10

10

20

1

2 0,5 50%

Acontecimento impossível

A probabilidade de sair um acontecimento impossível é 0

Acontecimento certo

A probabilidade de sair um acontecimento certo é 1

De um modo geral

0 ( ) 1P A

0% ( ) 100% P A

0% 25% 50% 75% 100%

Impossível

Improvável Pouco provável

Tão provável como

Provável Muito provável

Certo

Actividade 1

Jogo das Moedas

Número de jogadores: Dois jogadores ou duas equipasMaterial: 2 moedas de um euro; papel e lápis Regras do jogo: Um dos jogadores será o A e o outro será o B.

Cada jogador, na sua vez, atira duas moedas ao ar. Se sair as duas faces comuns a todos os países da União Europeia, o B ganha um ponto; caso contrário, ganha o A um ponto.

O vencedor é aquele que obtiver maior pontuação ao fim de dez lançamentos.

1. Representa por C a face comum a todos P a face portuguesa.

Completa o seguinte diagrama de árvore:

1ª moeda

2ª moeda

CP

PC

PP

2. Os dois jogadores têm as mesmas hipóteses de ganhar? Porquê?

Não, porque as duas faces C saem uma vez, as outras saem três vezes

3. Se fosses tu a jogar, quem escolherias ser? 0 A ou o B?

CP PC PPCC

Escolhia o A.

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Actividade 2EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Qual é o espaço de resultados?

Qual é a probabilidade de

sair dois números maiores que 3?

9 1

36 4P

Probabilidades 9º Ano

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante

Arroz de frango Bife grelhado LampreiaSobremesa: Fruta da época Pudim

Prato:

Entrada: Sopa Canja

Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada,

um prato e uma sobremesa? Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )

( C,L,P )

12 refeições

diferentes!

Probabilidades 9º Ano

Cálculo de ProbabilidadesEntrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de

comer bife ou fruta?

3

2

12

8P

Frequência relativae estimativa da probabilidade.

Vamos recordar …

Frequência

absoluta?!?

A frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que ele ocorre quando realiza a experiência um determinado número de vezes.

O que sabes sobre a frequência absoluta?

Frequência relativa?!?!?!

...

A frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência absoluta e o número de vezes que se repete a experiência.

E sobre a frequência relativa?

28Total

2Boavista

3Sporting

9Benfica

14Porto

frequência relativa

(%)

frequência relativa

frequência absoluta (vitórias)

Clube

Tabela de frequências

14

0,5028

9

0,3228

3

0,1128

2

0,0728

1,00

50%

32%

11%

7%

100%

Lei dos grandes números

Para um grande número de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.

P(A) Freq. relativa de A

Diagramas de Venn

Intersecção dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizam simultaneamente.

União dos acontecimentos A e B é o acontecimento que se realiza se e só se A ou B se realizam.

A B

A B

FIM!!