probabilidades. carlos pacheco. uc. ingenieria industrial

7/23/2019 PROBABILIDADES. Carlos Pacheco. UC. INGENIERIA INDUSTRIAL

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UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA DE INGENIERA INDUSTRIALDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIN DE

OPERACIONES

PROBABILIDADES

ngel A. Carnevali F.

Brbula, Marzo 2008


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INDICE

NOTACIN 3AGRADECIMIENTO 4

CAPITULO I: INTRODUCCIN A LOS MODELOS PROBABILISTICOS 5 - 21

CAPITULO II: VARIABLES ALEATORIAS 22 - 42

CAPITULO III: MOMENTOS 43 - 50

CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOIIIVVV:::DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DE VARIABLES,

ALEATORIAS DISCRETAS 51 - 53

CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOIIIVVV:::DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DE VARIABLES,

ALEATORIAS CONTINUAS 54 - 77

CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOVVVIII:::CONFIABILIDAD 78 - 86

BIBLIOGRAFA 87


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NOTACION

Las letras griegas son usadas para:Parmetros:

genrico:

Localizacin:

Escala:

Forma:

Errores

Diferencias:

Distribucin:

Constante

Correlacin:

Espacios:

Funcin gamma:

Funciones: f, g, hFunciones de distribucin acumulada: F, G, H

ndices de sumatorias: i, j , k

Variables aleatorias maysculas: X ,Y ,Z

Realizaciones de V. A minsculas: x ,y ,z

Matrices y vectores letras cursivas: A ,B ,C ,X


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AGRADECIMIENTO

A Yamile Crdenas por su valiosa colaboracin en la trascripcin de este material.

A Carlos Pacheco por las correcciones realizadas.


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CAPITULO I

IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCCCCIIINNNAAALLLOOOSSSMMMOOODDDEEELLLOOOSSSPPPRRROOOBBBAAABBBIIILLLIIISSSTTTIIICCCOOOSSS

TEORA DE CONJUNTOSUn CONJUNTOes una coleccin bien definida de objetos.

A los objetos de un conjunto se les llama ELEMENTOS.

Un SUBCONJUNTOes un conjunto en el que cada elemento de dicho conjunto pertenece aotro conjunto.

NOTACIN:A B; A esta contenido en B A es subconjunto de B. En este caso se dice que A es un

subconjunto propio de B ya que se excluye la posibilidad de que A = B.A = B todo elemento de A est en B y todo elemento de B est en AA B A es subconjunto de B pero cabe la posibilidad de que A = BX A el elemento X pertenece esta incluido en el conjunto A

A B A no est contenido en BA B A no es igual a BA B el elemento X no pertenece al conjunto A.

CONJUNTO VACO: es aquel que no contiene elementos ( )

CONJUNTO UNIVERSAL: conjunto que contiene cualquier conjunto (U=)

Dado un conjunto A se considera A U.

Dados A y B conjuntos tenemos:A B = X/ X A X B A B = {X/ X A X B A-B ={X/ X A y X B}A C = - A ={X/ X A}

LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS1.- IDEMPOTENCIA:

a) A A = A b) A A= A

2.-ASOCIATIVAS:a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C= A (B C)


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3.-CONMUTATIVA:a) A B = B A b) A B=BA

4.- DISTRIBUTIVAS:a) A (B C)=(A B) (A B) b) A (B C) = (A B) (A C)

5.-IDENTIDAD:a)A = A b) A U= U

c) A U= A d) A =

6.-COMPLEMENTO:a) A A C= U b) (A C)C = A

c) A A C = d) UC =

LEYES DE DE MORGAN

a) (A B) C = A C B C b) (A B) C = A C B C

Un conjunto se dice FINITOsi es vaco consta de n elementos.

Un conjunto se dice CONTABLEsi es finito si sus elementos se pueden ordenar en unasucesin; en caso de ser infinito y se puede ordenar en una sucesin se diceCONTABLEMENTE INFINITO.

RECUERDE: Una sucesin es una funcin cuyo dominio son los naturales, es decir: N R sus elementos se denotan por andonde el subndice n indica la posicin delelemento en la sucesin.

Se define el CONJUNTO PRODUCTO como el conjunto de todos los pares ordenados deelementos (a, b) donde la primera componente pertenece al primer conjunto y la segundacomponente pertenece al segundo conjunto, en este caso A y B respectivamente.

A * B = {(a, b) / a A, b B}

Dos conjuntos A y B se dicen DISJUNTOSsi A B = Una PARTICIN de un conjunto A, es una subdivisin de A entre subconjuntos no vacosque son disjuntos y cuya unin es A; es decir,

A1, A2,..., Anes una particin de A si:

1) AiAj= ij 2) U AiA

Sea un conjunto se dice que Aoes una SIGMA-ALGEBRAde conjuntos( = LGEBRA) si:i) A AoA CAoii) Si AiAoi = 1, 2,..., n U AiAo


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PROBABILIDAD

PROBABILIDADes el estudio de experimentos aleatorios.

EXPERIMENTOproceso por medio del cual se obtiene una observacin.

EVENTOcualquier resultado del experimento.

EVENTO SIMPLE evento que no se puede descomponer. A cada evento simple lecorresponde uno y slo un punto muestral.

ESPACIO MUESTRALconjunto de todos los posibles puntos muestrales tambin se definecomo el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

PUNTO MUESTRALresultado particular de un experimento.

Dos eventos A y B se llaman MUTUAMENTE EXCLUYENTESsi son distintos, es decir, A B =

Un ESPACIO DISCRETOes un espacio muestral finito o numerablemente infinito de puntosmuestrales.

Un evento definido en un espacio muestral discreto S es una coleccin de puntos muestrales,es decir, un subconjunto de S.

FRECUENCIAnmero de veces que aparece un resultado en un experimento.

FRECUENCIA RELATIVAfrecuencia dividida por el nmero total de veces que se realiz elexperimento.

EXPERIMENTO ALEATORIO es aquel en el que todo resultado tiene la mismaprobabilidad de salir.

DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD COMBINATORIAcocienteentre nmero de resultados del experimento, favorables al experimento y el nmero deresultados posibles e igualmente probables.

DEFINICIN FRECUENCIAL DE PROBABILIDADes la frecuencia relativa de un evento en

n intentos repetidos de un experimento aleatorio cuando n tiende a infinito.

DEFINICIN SUBJETIVA DE PROBABILIDADes el grado de confianza que una personaposee en la factibilidad de un evento.

Supngase que un espacio muestral S est asociado con un experimento. Se define unaFUNCIN DE PROBABILIDADdel espacio de eventos del experimento (un conjunto y la-LGEBRA de conjuntos de) en el intervalo [0,1] tal que a cada evento A definido en S se


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le asigna un nmero P (A), denominado PROBABILIDAD de A, de tal manera que secumplen los axiomas siguientes:1.-P (A) 02.-P (S) = 13.-Si A1, A2, A3,, An forman una sucesin de eventos de S, que se excluyen mutuamentepor parejas (disjuntos dos a dos), es decir,

AiAj= ij con i = 1, 2nentonces:P (A1 U A2U...) = P (U Ai) = P (Ai) = P (A1) + P (A2) +...

TEOREMA:Sea el conjunto vaco entonces P () = 0

TEOREMA:P (A C)= 1P (A)

TEOREMA:Si A B entonces la P (A) P (B)

TEOREMA:Si A y B son dos eventos entonces P (A-B) = P (A)P (A B)

TEOREMA:Si A y B son dos eventos entonces P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B)

COROLARIO: Sean A, B, C eventos entoncesP ( A U B U C ) = P ( A )+P ( B )+P ( C )- P (A B)-P ( A C )-P ( B C) + P (A B C)

ESPACIOS MUESTRALES

FINITOS: Sea S un espacio muestral finito, S = a1, a2,..., an un espacio finito deprobabilidad se obtiene al asignar a cada punto a i S un nmero real pillamado probabilidadde ai que satisface las propiedades siguientes:

i) Cada pies no negativo, pi 0ii) La suma de los p i es uno, p1 + p2 +...+ pn = 1La probabilidad P (A) de un evento A se define entonces como la suma de las probabilidadesde los puntos de A.

FINITOS EQUIPROBABLES: Un espacio finito S de probabilidad donde cada punto muestraltiene la misma probabilidad se llama ESPACIO EQUIPROBABLE UNIFORME.Si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/nSi un evento A contiene r puntos su probabilidad es r/n, es decir:

P (A) = Nmero de elementos de A / Nmero de elementos de S

P (A) = Nmero de maneras en que el evento A puede sucederNmero de maneras en que el espacio muestral S puede suceder


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INFINITOS: Sea S un espacio muestral infinito contable es decirS = a1, a2,...como en el caso finito obtenemos un espacio de probabilidad asignado a cadaaiS un nmero real pi ,llamado, su probabilidad, tal que:i) pi0ii) p1+ p2 +...+ pn =pi = 1

La probabilidad P (A) de un evento A es entonces la suma de las probabilidades de suspuntos.

Ejemplo:Considere el experimento de lanzar una moneda hasta que salga cara.

INFINITOS NO CONTABLES: Aquellos que tienen medida geomtrica finita como lalongitud, el rea, el volumen y en los cuales un punto se selecciona al azar, son los nicoscasos que consideraremos.Dado un evento A la probabilidad es la relacin medida de A entre medida del espacio S.

P (A) = Longitud de A / longitud de SP (A) = rea de A / rea de SP (A) = volumen de A / volumen de S

Estos espacios se llaman UNIFORMES.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La Probabilidad Condicional de un evento A, ya que ocurri un evento B, es igual a P (A/B) =P (A B)/P(B) siempre que la P ( B ) 0

En un espacio finito equiprobable:P (A/B) = Nmero de elementos de A B / Nmero de elementos de BP (A B) = P (A) *P (B/A)Sean A1, A2,, Aneventos:P (A1 A2... An) = P (A1)*P (A2/A1)*P (A3/A1A2)P (An/A1A2An-1)Esto se conoce como el TEOREMA DE LA MULTIPLICACIN.

Ejemplo:Un lote de doce artculos tiene cuatro defectuosos, se toman al azar tres artculos del lote

uno tras otro. Hallar la probabilidad pde que los tres estn buenos.1.-Por Teorema de la Multiplicacin:

(8/12)*(7/11)*(6/10) = 14/552.-Por Combinatoria:

C8,3/ C12,3= 14/55

Esto se conoce como pruebas sin sustitucin muestreo sin sustitucin.


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INDEPENDENCIA: Se dice que un evento B es INDEPENDIENTE de un evento A si laprobabilidad de que B suceda no est influenciada porque A haya sucedido. Es decir, P ( B )= P ( B/A )

Dos eventos A y B se dicen INDEPENDIENTESsi: P ( A B ) = P(A)*P(B)

Tres eventos A, B, C son independientes si:i) Los eventos son independientes dos a dos, es decirP ( A B ) = P(A)*P(B) P ( A C ) = P(A)*P(C) P ( B C ) = P(B)*P(C)ii) P (A B C) = P (A)*P (B)*P (C)

Ejemplo 1:Lanzamiento de una moneda tres veces y los eventos:

A = {Primeros lanzamientos son caras}B = {Segundos lanzamientos es cara}C = {Exactamente se lanzan dos caras seguidas} entonces:

A y B son independientes; A y C son independientes; B y C son dependientes.

Ejemplo 2:Lanzamiento de dos monedas y los eventos:

A = {Caras en la primera moneda}B = {Caras en la segunda moneda}C = {Caras en una moneda exactamente} entonces:

A y B; A y C; B y C son independientes pero A, B y C no lo son.

PRUEBAS REPETIDAS E INDEPENDIENTES:Sea S un espacio finito de probabilidad, por n pruebas repetidas e independientessignificamos el espacio de probabilidad T que consta de n- uplas elementos de S con la

probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de suscomponentes:P ((a1, a2, , an)) = P ( a1)*P (a2 )**P ( an)

PARTICIONES Y TEOREMA DE BAYES

TEOREMA DE BAYES: Supngase que A1, A2,..., An es una particin de un espacio muestralS y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier i:

P (Ai/B) = P (Ai)*P (B/Ai)/ P (A1)*P (B/A1)+P (A2)*P (B/A2)+...+P (An)*P (B/An)P (Ai/B) = P(Ai)*P(B/Ai)/P(Aj)*P(B/Aj)

DEMOSTRACIN:Como {Ai} i = 1, 2, ..., n son una particin de S esto implica A iAj = ij y que U Ai = A1U A2U...U An = S como B = S B = (A1U A2U...U An ) B =


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(A1B)U (A2B) U...U (AnB) entonces:P(B)=P((A1B)U (A2 B)U...U(AnB))=P(A1B )+P(A2 B)+...+P(AnB)Todos los Ai B son mutuamente excluyentes y por el Teorema de la Multiplicacin:P(B) = P(A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+...+P(An)*P(B/An) (1)Por otra parte para cualquier i la probabilidad condicional de Aidado B se define por:

P (Ai/ /B) = P (Ai

B)/P (B) = P(Ai)*P(B/Ai)/P(B)Sustituyendo P (B) por (1) nos queda el Teorema.

OBSERVACIN:La importancia del Teorema de Bayes radica en que partiendo de las probabilidades iniciales a priori P (Ai) i = 1,2,..., n y de las verosimilitudes como tambin son llamadas lasprobabilidades condicionales jAP j = 1,., n (Asignacin de probabilidades con un procesoque va de lo general a lo particular)Permite determinar las probabilidades finales a posteriori.

Con esto tenemos las herramientas para calcular probabilidades y resolver cualquierejercicio. Adems de poder profundizar ms en la teora de probabilidades.Pero nos falta repasar.

TECNICAS PARA LA ENUMERACIN DE PUNTOS MUESTRALES TCNICAS DECONTAR(ANLISIS COMBINATORIO)

TEORA (PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO):

Sean iA i= 1, , m Conjuntos con niElementos respectivamente definimos la n-UPLA (a1,

a2, ,am) tal que ai iA i Entonces existen

1i

m

n i= n1, n2nm nUPLAS con estas

propiedades.

DEFINICIN: El arreglo ordenado de r objetos o elementos distintos se denominapermutacin. El nmero de maneras en que se pueden ordenar n objetos distintos tomados ra la vez se denota por el smbolo nrP

TEOREMAn

rP !rn!n

COROLARIO !nPnn


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TEOREMA El nmero de formas en las que se pueden asignar n objetos distintos en k

grupos diferentes que contienen n1, n2,.nkobjetos respectivamente!n!.....n!n

!nN

k21

En

donde

K

1i

i nn

NOTACIN: !n!.....n!n

!nk2!

n

nnkn.....21

DEFINICIN: El nmero de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el nmero desubconjuntos, cada uno de tamao r, que se pueden formar a partir de los n objetos, estenmero lo denotaremos nrnr

TEORA !r!rn

!nnr

PRUEBAS DE SUSTITUCIN Sea un conjunto A con n elementos bolas, se toma unabola elemento y se regresa al conjunto y se toma otra. Se repite el proceso r veces.Cuntas formas maneras distintas hay de escoger las bolas? Respuesta n r

PRUEBAS SIN SUSTITUCIN Y si no se regresa la bola, cuantas hay? R: P nr

LEMA nrn rn

TEORA r

1n

n

1r

+

n

r

DIAGRAMAS DE ARBOL: Dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posiblesde una serie de experimentos, en donde cada experimento puede suceder en un nmerofinito de maneras.

CALCULO DE PROBABILIDADES DE UN EVENTO

1) MTODO DE LOS PUNTOS MUESTRALES1. defina el experimento2. Establezca los eventos simples asociados con el experimento y someta a prueba cada unopara asegurarse de que no se puede descomponer mas, esto define el espacio muestral S.3. Asigne a cada punto muestral en S una probabilidad adecuada, verificando P (E i) 0

1EP i 4. Defina el evento de estudio A, como una coleccin especfica de puntos muestrales.5. Encuentre =(A) sumando las probabilidades de los puntos muestrales de A.

2) MTODO DE LA COMPOSICIN DE EVENTOS

1. Defina el experimento


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2. Interprete claramente la naturaleza de los puntos muestrales, identifique algunos paracomprender el proceso.3. Formule una ecuacin que exprese el evento de estudio A como una composicin de dos ms eventos utilizando uniones, intersecciones y/o complementos. Ntese que esto es unaecuacin entre conjunto de puntos. Asegrese de que el evento obtenido por la composiciny el evento A representen el mismo conjunto de puntos muestrales.

4. Aplique las leyes aditiva y multiplicativa de probabilidad al paso 3 y encuentre P(A).OBSERVACIN El paso 3 es el ms difcil porque podemos formar muchas composiciones,que son equivalentes al evento A. El truco es formar una composicin en la cual se conocentodas las probabilidades que aparecen en el paso 4. VERIFIQUE SU EXPRESIN.

EJEMPLO Tres mquinas A, B, C producen respectivamente 50%, 30%, 20% del total deartculos de una fbrica, los porcentajes de desperfecto de produccin de estas mquinasson 3%, 4%, 5%, si un artculo se selecciona al azar hallar la probabilidad de que el artculosea defectuoso.

RESOLUCINSea x el evento de que un artculo es defectuoso, por teora anterior Cul?

P(x) = P (A) P(X/A) +P (B) P (X/B) +P(C) = (0, 5)*(0.03) + (0.3)*(0.04) + (0.2) *(0.05) = 0.037

Suponga que se seleccion un artculo y result defectuoso hallar la probabilidad de que elartculo fuese producido por la mquina A, es decir hallar P(A /X)

P (A /X) =

37

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)C/X(P)C(P)B/X(P)B(P)A/X(P)A(P

)A/X(PAP

PROBLEMAS PROPUESTOS

1._Sean A y B dos eventos tales que:

P (A) = 0.60P (B) = 0.20P (A/B) = 0.10

A

0.5

C

0.2

B

0.3

D

0.03

N

D

0.04

N

N

D

0.05


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Evaluar las siguientes probabilidades:

AP )A(P

)A(P )A(P

)BA(

)A(P

, )BA(

)BA( ).AUB(P

- Pruebe que si A y B son eventos independientes entonces A y Bc, Acy B, Ac y B, Acy Bctambin lo son. Halle la condicin para que dos eventos disjuntos sean independientes.

Cul de las siguientes igualdades se cumple:

SI NO

___ ___ (A )CB(A)CA()B ___ ___ (A BBAB )()

___ ___ (A )BA()B'

2._Se debe examinar un grupo grande de personas respecto a dos sntomas comunes decierta enfermedad, se considera que 20% de las personas presentan solamente el sntoma A,30% tienen solamente el sntoma B, 10% tienen ambos sntomas, y el resto no tiene sntomaalguno. Para una persona escogida al azar de este grupo, encuentre las probabilidades delos eventos siguientes.2.1) a) Que la persona no presente sntoma alguno.

b) Que la persona presente al menos un sntoma.c) Que la persona presente ambos sntomas dado que presenta el sntoma B.2.2) Sea Y la variable aleatoria que representa el nmero de sntomas que presenta unapersona elegida al azar del grupo. Calcule las probabilidades asociadas a cada valor de Y.

3._Se escogen cinco cartas de una baraja comn de 52 Cul es la probabilidad de que lascinco cartas sean del mismo palo?

4._Se tienen 2 cajas, la caja A, contiene 4 fichas blancas y 5 fichas rojas. La caja B, contiene3 fichas blancas y 2 fichas rojas.Se lanza un dado. Si el dado resulta en el nmero 1 o 2, se toma una ficha al azar de la caja

A y se coloca en la caja B. Posteriormente, se revuelve la caja B, y se extrae finalmente unaficha.Si el dado resulta en los nmeros 3, 4,5, o 6, se toma una ficha al azar de la caja B secoloca en la caja A. Posteriormente, se revuelve la caja A y se extrae finalmente una ficha.Cul es la probabilidad de que la ficha finalmente extrada, sea roja?

5._ Si consideramos que en un lanzamiento de 10 dados por lo menos uno fue As Cul esla probabilidad de que resulten 2 ms Ases?


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6._ Una maquinaria para producir un nuevo tubo electrnico experimental genera tubosdefectuosos de vez en cuando, de una manera aleatoria. El Ingeniero Supervisor de unamquina en particular, ha notado que los tubos defectuosos parecen agruparse (y, por tanto,aparecen de manera no aleatoria) y esto sugiere el mal funcionamiento de alguna parte de lamquina, una prueba para detectar la no aleatoriedad de un evento, se basa en el nmero decorridas de artculos defectuosos y buenos (una corrida es una sucesin no interrumpida de

artculos defectuosos, o de artculos buenos), mientras ms pequeo sea el nmero decorridas, ms grande es la evidencia que indica la no aleatoriedad. De doce tubos producidospor la mquina, los primeros 10 eran buenos y los dos ltimos defectuosos(BBBBBBBBBBDD), suponga la aleatoriedad.a) Cul es la probabilidad de observar la secuencia antes mencionada (resultante de doscorridas) Dado que 10 de los 12 tubos son buenos?b) Cul es la probabilidad de observar dos corridas?c) Cul es la probabilidad de que el nmero de corridas R sea R 3?

7._Usando las leyes de probabilidades para dos eventos, demostrar que:a) )C(P)B(P)A(P)CBA(P )CBA(P)CB(P)CA(P)BA(P

b) )BA/C(P)A/B(P)A(P)CBA(P 8._ -En cierta fbrica hay tres mquinas identificadas como 1,2 y 3. Al final de cada da lasmquinas son inspeccionadas para decidir si requieren con la inspeccin diaria de lasmquinas, sean A1, A2y A3 eventos definidos como sigue:

a) Exprese en funcin de los Ai los siguientes eventos:

a-1) ninguna de las mquinas requiere mantenimiento.

a-2) al menos una de las mquinas requiere mantenimiento.

a-3) al menos dos de las mquinas requieren mantenimiento.

b) Considere que los eventos Ai son independientes entre s y que P (A1) = 0.10,P (Z2) = P (A3) = 0.05.

b-1) Si exactamente dos mquinas requieren mantenimiento. Cul es la probabilidad de quela mquina 1 requiera mantenimiento?.

b-2) Si al menos una de las mquinas requiere mantenimiento, Cul es la probabilidad deque la mquina 1 no requiera mantenimiento?.

9. _ Se dispone de un grupo de 20 msicos de los cuales 5 son guitarristas. De este grupo demsicos se formar una banda de 4 integrantes escogidos totalmente al azar.

a. Cul es la probabilidad de que al menos sea escogido uno pero no ms de dosguitarristas?

b. Cul es la probabilidad de que el primero o el cuarto escogido sean guitarristas?c. Cul es la probabilidad de que el segundo sea guitarrista si conocemos que en el gruposeleccionado hay un guitarrista exactamente?


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10._Se tiene una fbrica donde se producen filtros de Aceite. Se conoce que diariamente seproducen 10.000 filtros y que de esa produccin histricamente el 2% es defectuoso. Paracontrolar la calidad del producto se toman 50 filtros y se observan. Si aparecen 2 ms filtrosdefectuosos se inspecciona el equipo. Se pregunta: Cul es la probabilidad de que durante7 das consecutivos en 3 de ellos sea necesario inspeccionar la maquinaria?

11._Supngase que dos refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un envo de seisrefrigeradores uno por uno sin reemplazo.

a) Cul es la probabilidad de que se encuentre el ltimo refrigerador defectuoso en lacuarta prueba.

b) Cul es la probabilidad de que no haya que probar ms de cuatro refrigeradores paraencontrar los dos defectuosos.

c) Dada que uno de los dos defectuosos ha sido identificado se encuentre en la tercera ocuarta prueba.

12._ Pedro recibe un promedio de 5 llamadas entre las 9 y las 10 a.m. en das laborables,recibindolas al azar. I) Encontrar la probabilidad de que Pedro reciba una (1) o msllamadas entre las 9 y las 10 a.m. de un da cualquiera. ii) Encontrar la probabilidad de quereciba exactamente dos (2 llamadas entre las 9 y las 9:12 a.m. iii) calcule la probabilidad deque en una semana de cinco (5) das haya exactamente dos (2) das cuando Pedro noreciba llamadas entre las 9 y las 9:12 a.m.

13._Una mquina encartonadora funciona satisfactoriamente el 97% del tiempo y en talescircunstancias produce con una fraccin defectiva del 1% un funcionamiento insatisfactorioocurre cuando hay desajustes en las guas que lleva los estuches y en tal caso el 10% de losartculos son defectuosos. Un da cualquiera se seleccionan 10 artculos al Azar Cul es laprobabilidad de que hayan al menos dos defectuosos?

14._ Se afirma que una prueba para diagnosticar una enfermedad la detecta con una

probabilidad de 0.9 si la persona tiene la enfermedad. Si una persona no est afectada por laenfermedad, la prueba tambin indicar que no la tiene con la tiene con probabilidad de 0.9.Solamente 1% de la poblacin tiene la enfermedad en cuestin. Si se escoge una persona al

Asar de la poblacin y el diagnstico indica que tiene la enfermedad Cul es la probabilidadde que realmente tenga la enfermedad? Es confiable la prueba?

15._ Para ir a su trabajo un individuo puede hacerlo en autobs o en tranva y eso lo hacecon probabilidades 0,3 y 0,7 respectivamente, cuando viaja en autobs, llega tarde el 30% delas veces, y cuando viaja en tranva llega tarde 20% de las veces. Dado que un dadeterminado el individuo llega tarde Cul es la probabilidad que haya viajado en autobs?

16._Se ensea a un mono a reconocer los colores al introducir una pelota roja, una negra yuna blanca en una caja de los mismos colores, una bola para cada caja. Si el mono no haaprendido los colores y simplemente echa una pelota en cada caja al azar, encuentre lasprobabilidades siguientes:a) No hay correspondencia en los colores.b) Hay una sola correspondencia de colores.


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17._ Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en unexamen de seleccin simple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa larespuesta a la pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar, es 0.2.Suponga adems que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta cuando seresponde al azar es de 0.25.Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, Cul es la probabilidad de que

realmente sepa la respuesta correcta?18._ En bsqueda de un Gerente para ocupar el cargo de Gerente General en una pequeaempresa perteneciente a un grupo de Empresas Metalmecnica, se tiene 3 candidatos.El concurso se basa en 3 etapas a ser cubiertas en forma consecutiva:Etapa 1: se someten a una prueba escrita.Etapa 2: se entrevistan con el Director de Mercadeo.Etapa 3: se entrevistan con los Directores de Finanzas y Produccin.Para que un candidato quede seleccionado en estas tres etapas deber aprobar cada una deellas. En el momento en que desapruebe una de ellas queda eliminado.

A continuacin se indica las probabilidades de que cada candidato apruebe en cada una dedicha etapas en forma independiente:

CANDIDATO ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 31 0.92 1.0 0.752 1.00 0.8 0.953 0.85 0.6 1.00

Determine las siguientes probabilidades:1) Exactamente un candidato queda seleccionado.2) Si al cabo de la primera etapa, todos los candidatos han aprobado. Cul es laprobabilidad de que al final ninguno sea seleccionado?3) Realizar una operacin hasta obtener resultado satisfactorio haber efectuado tresrealizaciones. Realizaciones independientes con probabilidad de resultado satisfactorio iguala 0.6 Piense el tipo de pregunta que se podra hacer?

19._ Si la probabilidad de acertar en el blanco es 1/5 y se hacen disparos en formaindependiente.a) Cul es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces?b) Cul es la probabilidad del evento anterior si se acert por lo menos una vez?c) Cul es la cantidad esperada de disparos acertados y su varianza?

20._Si un grupo de 100 artculos contiene 5 artculos defectuosos, halle la probabilidad deque una muestra aleatoria de 5 artculos contenga 1 defectuoso.

21._ Supngase que la variable aleatoria X tiene valores posibles 1, 2,3, Y P(x=j) =j2

1

j= 1,2,..a) Calcular P(X es par)b) Calcular P(X 5)c) Calcular P(X es divisible por 3)


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22._ Cierto procedimiento de realizarse en no ms de 10 minutos. Cada vez que elprocedimiento se realiza, la probabilidad de completarlo dentro del tiempo requerido es de0.90. Las realizaciones del procedimiento son independientes. Contando a partir de ciertarealizacin, si las primeras tres realizaciones se han realizado dentro del tiempo requerido,cul es la probabilidad de que la primera vez que el procedimiento es efectuado en untiempo excesivo ocurra antes de la octava realizacin?

23._ Una aerolnea sabe que el 5% de las personas que hacen una reservacin para undeterminado vuelo no se presentan al momento de la partida. Por ste motivo la compaaarea ha decidido como poltica vender 52 pasajes en aquellos vuelos en los cuales haycabida para 50 pasajeros Cul es la probabilidad de que halla un asiento disponible paracada pasajero que se presente?(Deje los clculos indicados)

24._Un jugador de baloncesto, acierta un tiro libre con una probabilidad del 70%. El jugadorlanza (once) 11 tiros libres.a) Cul es la probabilidad de que acierte 8 o ms tiros libres?

Asuma independencia entre los lanzamientos. (Nota: esta suposicin no es muy realista,pues no considera elementos como el cansancio y el aprendizaje).b) Cul es la cantidad esperada de tiros libres acertados y su varianza?

25._ Supngase que usted ha contratado la semana pasada cinco nuevos empleados y quela probabilidad de que un empleado haya falsificado la informacin en su solicitud de trabajoes 0.35. a) Cul es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sidofalsificado? b) dos ms? c) Si su compaa tiene 2.300 empleados Cul es el valoresperado del nmero y de solicitudes que hayan sido falsificadas?

26_ En un juego una persona recibe $ 15 cuando saca una jota una reina y recibe $5.00

si saca un Rey un As. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar $ 4.00 Jugara usted?Justifique su respuesta.

27._ Una mquina produce unidades de cierto artculo bajo condiciones esencialmenteiguales. Alrededor de 5% de las unidades producidas por la mquina son defectuosas. Uninspector clasifica independientemente unidades producidas por la mquina en cuestin. Siuna unidad es defectuosa, la probabilidad de que el Inspector la clasifique como defectuosaes de 0.95, mientras que si una unidad es buena, la probabilidad de que el Inspector laclasifique como buena es de 0.98, Considere un grupo de 20 unidades a ser clasificadas porel Inspector.a) Cul es la probabilidad de que a lo sumo dos de las unidades sean mal clasificadas?

b) Cul es la probabilidad de que por lo menos diecisis de las unidades sean clasificadascomo buenas?

28._ Supngase que un depsito contiene 10.000 partculas. La probabilidad de que una deestas partculas salga del depsito es igual a 0,0004 Cul es la probabilidad de que ocurranms de 5 salidas? (suponga independencia en las salidas).


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29._ En un almacn se encuentran 210 piezas de las cuales 42 presentan problemas decalidad. Una empresa del mercado hace un pedido de 20 piezas. El inspector del almacn sedirige al mismo y toma una muestra del tamao del pedido y si se consiguen a lo sumocuatro piezas con defectos de calidad, se acepta el lote y lo enva a la compaa quedemand dicha cantidad.a) Cul es la probabilidad de que el inspector tenga la necesidad de tomar la segunda

muestra e inspeccionarla?b) Cul es la probabilidad de que el inspector tenga que revisar ms de 9, pero menos de15 piezas para tomar la decisin de rechazar el lote?

30._Un sistema de proteccin area en Chechenia cuenta con un sub -sistema que detectala incursin de aviones enemigos en zona prohibida el 80% de las oportunidades, y de unsub -sistema de defensa que derriba el 60% de los aviones que entran en dicha zona.a) Si en un da cualquiera 15 aviones enemigos penetran en dicha zona. Cul es laprobabilidad de que cuando ms 12 pero no menos de 9 sean derribados, si se sabe que almenos 5 fueron derribados?b) Cul es la probabilidad de que tengan que incursionar cuando menos 8 pero no ms de12 aviones para observar el quinto avin no derribado?

31._En una prueba de conocimientos generales. Pedro tiene que responder 250 preguntas.Para cada pregunta, Pedro tiene independientemente una probabilidad de 0.05, 0.8, 0,15de obtener una calificacin de 0, 1, 2, respectivamente. Calcular la probabilidad de que lacalificacin total de Pedro sea mayor que 290. Explique claramente sus resultados.

32._ Una mquina produce al azar un dos por ciento de artculos defectuosos. Calcular laprobabilidad de que en una muestra de 100 artculos producidos por la mquina, se tenganmenos de 3 artculos defectuosos.

33._Se tienen 4 fbricas proveedoras de ciertos materiales elctricos (resistencias, fusibles ycondensadores). En la tabla siguiente se dan las proporciones y la fraccin defectiva decada fbrica para cada componente.

RESISTENCIA FUSIBLES CONDENSADORESPROVEEDOR fd% Prop. fd% Prop. fd% Prop.

A 0,5 1 1 1 0,05 1B 1,5 1 0,01 2 0,05 1C 0,75 2 0,05 1 0,05 2C --- --- --- --- 0,05 3

Si tenemos todos los componentes del mismo tipo juntos, y se empaquetan 2 resistencias, 1fusible y 2 condensadores, formando un KIT.

a) Calcule la probabilidad de que en un Kit haya al menos un componente malo.b) Dados 5 Kit, cul es la probabilidad de tener por lo menos 2 Kit malos.c) Dado que en un Kit. Una resistencia se encuentra mala, cul es la probabilidad que seadel proveedor B.


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34._Un fsico toma 25 medidas independientes de la gravedad especfica de cierto cuerpo.Sabe que las limitaciones de su equipo son tales que la desviacin tpica de cada medicines unidades. Encuentre la probabilidad de que el promedio de sus mediciones difiera de laverdadera gravedad del cuerpo en menos de .

35._Un fabricante ensamblador de computadoras, alquila con opcin a compra sus equipos

y ofrece a sus clientes, servicio de mantenimiento. Datos estadsticos indican que de cadacien llamadas, 60 son debidas a fallas en la fuente de poder; 30 por errores en la operacin;y 10 debido fallas del CPU. Si las llamadas varan aleatoriamente con respecto a la causa dela falla, Cul es la probabilidad de que en las prximas 6 llamadas, tres sean por fallas en lafuente de poder y tres por errores de operacin?

36._Cualquier persona que se detiene en una estacin de gasolina solicita:- Revisin de neumticos con probabilidad 0.12- Revisin de aceite con probabilidad 0.29- Ambas cosas con probabilidad 0.07

a) Cul es la probabilidad de que una persona dada solicite al menos uno de losservicios?

b) Si una persona dada solicita revisin de aceite. Cul es la probabilidad de que nopida revisin de cauchos?

c) Considere diez personas que se detienen en la estacin. Asuma que solicitanservicios independientemente entre s. Cul es la probabilidad de que al menos dosde ellas pidan revisin de aceite y de cauchos?

37._Se seleccionan al azar diez artculos de un lote grande. El lote se acepta si ninguno delos diez artculos es defectuoso y se rechaza si dos ms son defectuosos. Si uno de losdiez artculos est defectuoso, se obtiene otra muestra de diez y el lote se rechaza si en losveinte artculos el nmero total de artculos defectuosos es de dos ms; de lo contrario ellote se acepta. Calcular la probabilidad de aceptar el lote si el 5% de los artculos en el loteson defectuosos.


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CAPITULO IIVARIABLES ALEATORIAS

DEFINCIN: UNA VARIABLE ALEATORIA X De un espacio muestra S es una funcin deS en el conjunto de los nmeros reales R, tal que la imagen inversa de cada intervalo de Res un evento ( suceso) de S.

OBSERVACIN Si S es un espacio discreto en el cual cada subconjunto es un suceso,entonces cada funcin de valores reales de S es una variable aleatoria pero si S es nocontable, existen ciertas funciones de valores reales de S que no son variables aleatorias.

TEOREMA Sean X e Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S entonces X+Y,X+k, kX, XY con K e R son variables aleatorias definidas por

(X+Y) (s) = X (s) + Y (s) (K(X) (s) = K X(s) S S(X+ k) (s) = X(s) + k (XY) (s) = Y (s)

NOTACINP(X =a) P(a X b) P(X a) P(X = a, Y = b)

P(X=a) = P ({s asXS / P (a X b) = P( {s bsXaS /

DISTRIBUCIN Y ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA

DEFINICIONES Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjuntoimagen finito. A saber X(S) = {X1, X2, .Xn}. Convertimos X(S) en un espacio deprobabilidad definiendo la probabilidad de X i como P(X = xi) que escribimos f(Xi)m estafuncin f: X(S) definida por f(Xi) = P( X = Xi) se llama Funcin de Distribucin Probabilidad de X.

La distribucin f satisface las condiciones siguientes:

i) f (Xi) 0 ii) 1xfn

1i

i

Se expresa generalmente en forma de tabla

Si X es una variable aleatoria con la distribucin anterior, entonces la Media esperanza valor esperado de X, denotada por E(X) uxse define como E(X) = X1f(X1) + X2f(X2)

y+ Xnf (Xn) = )(1

i

n

i

i Xfx

= )(1

i

n

i

i Xpx

TEOREMA X variable aleatoria y k un nmero real, entoncesi) E (kX) = kE(X) ii) E(X+k) = E(X) + k

Xi X2 Xnf(X1) f(X2) f(Xn)


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TEOREMA Sean X e Y variable aleatoria del mismo espacio muestral S Entonces:E (X + Y) = E (X) + E (Y)

DEFINICIONES Sea X una variable aleatoria con distribucin Xi f(X1)Entonces La varianza de X denotada por VAR (X) se define como:

VAR (X) = 2

i

2n

i uXEXfuX Donde u es la media de X

La Desviacin estndar Desviacin Tpicade X denotada por

x es X= )X(VAR

TEOREMA VAR(X) = 222in

1i

2 uxEuxfx

TEOREMA Sea X una variable y k un nmero Real, entoncesi) Var (X + k) = Var(X) ii) Var (kX) =K2Var (X)Por lo tanto x+k = x y kx= K x

NOTAS:a) Supngase que para cada punto X isobre el eje X se coloca una unidad con masa f (Xi.).Entonces la media es el centro de gravedad y la varianza es el momento de inercia delsistema.b) muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribucin; de aqu que nos refiramos

a la media, la varianza y la desviacin estndar de una distribucin en lugar de la variablealeatoria fundamental.

c) Sea X una variable aleatoria con media u y desviacin estndar > 0. La variable aleatoriaZxestandarizada que corresponde a X se define pro

Kk =

ux Compruebe E (Xx) = 0 Var (Xx) = 1

DISTRIBUCIN CONJUNTA

DEFINICIN:Sean X e Y variables aleatorias de un espacio Muestral S con los respectivosconjuntos imagen X(S)= { X1, X2,,Xn} Y (S) = {Y1,Y2,,Ym}El conjunto producto X(S) x Y (S) = {(X1, Y1), (X1, Y2),, (Xn, Ym) } es un espacio deprobabilidad definiendo la probabilidad de la pareja ordenada (X i, Yi) como P(X =Xi, Y =Yj)

que escribimos h(Xi,Yi) esta funcin h de X(S) x Y(S) definida por h(Xi, Yj) se llamadistribucin conjunta funcin de probabilidad conjunta de X e Y y se da en forma de tabla.

XY Y1 Y2 .. Ym SUMA

X1 h(x1,y1) h(x1,y1) h(x1,ym) f(x1)X2 h(x2,ym) f(x2).

Xn h(xn,y1) h(xn,y2) h(xn,ym) f (xn)SUMA g(y1) g( y2) g (ym) 1


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Las funciones f y g se definen por: f (xi) =

m

J

ji yxh1

,

g ( yj) = )yx(h jn

1i

,i

Se llaman distribuciones Marginales

La Distribucin conjunta h satisface i) h (xi, yi) 0 ii) 1)yx(h j1

i1

m

1j

i

DEFINICIN X e Y Var aleatorias con la distribucin conjunta anterior con medias uxentonces la covarianza de X e Y denotada por COV (x, y)

Se define por COV (x, y) = ),())((,

jiyixi

ji

i yxhyxx = E )( xx

TEOREMA COV (X, Y) =E (xy) - yx = yxjijij

i yxhyx ),( DEFINICIN DE LA CORRELACIN DE X e Y Denotada por (X, Y) se define por

YX

YXCOVyx

),(),( , la correlacin es no dimensionada y tiene las siguientes propiedades.

i) )x,y()y,x( ii) 11 iii) 1)x,x( 1)x,x(

iv) 0,),()),( casiyxdcybax

OBSERVACIN COV (x,y) y )y,x( son medidas de la manera como X e Y estnrelacionadas entre si.

Nota: La nocin de una distribucin conjunta h se extiende a un nmero finito de variablesaleatorias de manera obvia.

VARIABLE ALEATORIA INDEPENDIENTESDEFINICIN: Se dice que un nmero finito de variables Aleatorias X1, X2,, Xn de unespacio muestral S son INDEPENDIENTES si

P(X1= X1i, X2= X2i,Xn = Xni) = P (X1= X1i)*P (X2= X2i)* P (Xn= Xni)

En particular X e Y son independientes si P(X=x i) (Y = yj) = P(X=xi) P (Y=yj)

Ahora si X e Y tienen las distribuciones f y g respectivamente y la distribucin conjunta h,entonces la ecuacin anterior se puede escribir h (X i, Yj) = f (Xi) g (yj)


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En otras palabras X e Y son independientes si cada elemento h(X i,Yj) es el producto de suselementos marginales.

TEOREMA Sean X y Y v.a.i. entonces i) E (XY) = E(X) E (Y)ii) Var (X+Y) = var(X) + var (Y) iii) Cov (X,Y) = 0

TEOREMA Sean X1, X

2,, X

nv.a.i entonces Var (X

1+ X

2+.+Xn) = Var (X

1)

++

Var (Xn).

GENERALIZANDOSean X e Y v.a de S, se dice que Y es una funcin de X si Y se puede representar por algunafuncin de valor real de una variable real Y = (x), esto es Y (s)= ssx )( SEjemplos kX, X2, X+k (X+k)2 son funciones de X con )kx(kx,x,kx)x( 2 2

TEOREMA X e Y v.a. de S. Y = )x( entonces E (Y)= )()(1

i

n

i

i xfx

Donde f es la funcin de distribucin de xSimilarmente una v.a. Z es funcin de X e Y si Z= )y,x( Esto es Z(s)= ssysX )(),( S

TEOREMA Sean X, Y, t v.a. de S con Z = )Y,X( entonces

E (Z) = )(),( ,,

ji

ji

i yxhYjX donde h es la distribucin conjunta de X e Y

X v.a. de S con un conjunto imagen infinito contable, o sea X(S)= {X 1, X2,..}. ConvertimosX(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de X icomo f (Xi) = P(X= Xi) yllamamos f la distribucin de X.

E(X) = )X(fX i1i i

Var (X)= )x(fux i1i2

i

cuando estas series convergen

TEOREMA Var (X) existe si y solo si u = E(X) y E(X2) existen ambos y var(X) = E(x)2u2como en el caso finito.

DEFINICIN Var (X) existe, se define la desviacin estndar

x )x(Var

Es fcil extender las nociones de distribucin conjunta, v.a.i y funciones de variablesaleatorias, adems si existen Var (x) y Var (y) (x,y v.a. sobre S)

Entonces COV (X,Y) = )y,x(h)uy)(ux( 2iyj,i

2xi existe y se cumple la relacin:

COV (X,Y) = x2iij,i

i u)yx(hyx uy

DEFINICIN Las variables aleatorias cuyo conjunto imagen es finito contablemente infinitose llaman DISCRETAS


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DEFINICIN Una variable aleatoria cuyo conjunto imagen es un intervalo se llamancontinuas. De la definicin de variables aleatorias tenemos que bXa es un suceso deS y por consiguiente P(a )bX est bien definida. Entonces existe una funcin continua

f: R R tal que P bxa b

adx)x(f . La funcin f se llama funcin de distribucin o de

probabilidad continua funcin de densidad de la variable aleatoria continua x que satisface.

I) f (x) 0 ii) 1dx)x(f

El valor esperado de X E(x) = R dx)x(xf cuando existe.

Las funciones variables aleatorias se definen justamente como en el caso discreto y puededemostrarse que si Y= ),X( entonces

E(Y) = R dx)x(f)x( cuando la integral existe

La varianza Var (x) se define por Var (x)= E ((x-u)2= dx)x(f)ux(R

2

Cuando existe la integral, se puede demostrar que Var (x) existe si y solo s existen u=E(X) yE(X2)u2= 2

R

2 udx)x(fx

La desviacin estndar x = )X(Var cuando Var (x) existe

DEFINICIN Un nmero finito de variables aleatorias continuas a saber X i,X2,,Xnse diceque son INDEPENDIENTES, si para unos intervalos 2,1n222112,11 aa,...a,a,aa

p (a11 X1 a12, a21 X2 a22,.an1 Xn an2) =p (a11 X1 a12) . p (a21 X2 a22).p(an1 X1 a22)..p(an1 Xnan2)

FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULATIVASea X una variable aleatoria (discreta continua), la funcin de distribucin acumulativa F deX es la funcin F: R R definida por f(a) = p (x a). F es montona creciente. F(a) F(b)siempre que a b y el lmite de F por la izquierda es o y por la derecha es 1Lim F(x) = 0 lim F(x) = 1

Si X es discreta F(x) = xx

i

i

)x(f donde f es la distribucin de probabilidades de X.

Si X es continua F(x) = x

dt)t(f donde f es la funcin de densidad de probabilidades de X.


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TEOREMA (DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF) sea X una variable aleatoria con media uy desviacin estndar , entonces para cada:

>0 p( (x-u)| ) 2

2

TEOREMA (LEY DE LOS GRANDES NMEROS) Sea X1, X2,.una sucesin de variables

aleatorias independientes con la misma distribucin con media u y varianza 2, Sea Sn(s1+X2+.xn) /n, entonces para un:

> 0 Lim P(| Snu | ) = 0 equivalenten

nlim P (| nS - u) < ) = 1

EJERCICIOSa) se lanza un dado corriente, designemos x como el doble del nmero que aparezca y

denotemos y como 1 3 segn el nmero sea impar o par. Hallar la distribucin, laesperanza, la varianza y la desviacin estndar de:i) X ii) Y iii) X+Y iv) XY

b) Halle la esperanza de los lanzamientos de una moneda hasta que resulte cara 5 sellos.c) Sea X v.a y Y = X2Distribucin de X

Xi -2 -1 1 2F(xi) 1/4 1/4 1/4 1/4

Determine: i) La Distribucin de Y

ii) La Distribucin conjunta de X e Yiii) Cov (X,Y) y P(X,Y)

FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

DEFINICIN Sea C un evento (subconjunto) asociado con el recorrido Y, Ry, como sedescribi anteriormente. Defnase B C Rxcomo sigue

B= x Rx/ H (x) C en palabras, B es el conjunto de los valores de x tales que

H(x) C, Si B y C estn relacionados de esta manera se llaman EVENTOSEQUIVALENTES.DEFINICIN: Sean X v.a sobre S (espacio muestral), Rxel recorrido de X, H una funcinreal, sea la v.a Y = H(x) con recorrido Ry, para cualquier evento C con recorrido Ryse defineP(C) = P x Rx / H (x) C , es decir, la probabilidad de un evento asociado con elrecorrido de Y esta definida como la probabilidad del evento equivalente en trminos de X.que tambin se puede escribir:P(C) = P CsXHSPCxHRx x )((/1)(/


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OBSERVACIN: No toda funcin de una variable aleatoria da como resultado una v.a sinembargo las funciones que aparecen en las aplicaciones estn entre las que se puedenconsiderar y no nos preocuparemos por sta dificultad.

CASO 1 Sea X una v.a discreta, Y = H(x) tambin es una v.a discreta.

a) Sean X1, X2, Xn,..los valores posibles de X, p(xi) = P(X=xi) y H es una funcin tal que acada valor de y le corresponda exactamente un valor de x, entonces la distribucin deprobabilidades de Y se obtiene:Valores posibles de Y yi= H (xi) i= 1,2.Probabilidades de Y g (yi) = P (Y=yi) = p (xi)b) A menudo la funcin H no tiene esta caracterstica, y varios valores de X dan el mismovalor de Y, sean Xi1, Xi1,,Xik,., los valores de X que tienen la propiedad H (Xij)= Yiparatoda j, ENTONCES:g (yi) = P(Y=yi) = p(xi1) + p (xi2) +

CASO 2 X una V.A. continua. Y= H (x) toma valores discretos, para obtener la distribucinde probabilidades de Y, determine el evento equivalente (en el recorrido de X, Rx) quecorresponde a los diferentes valores de Y. Si {Y = y i) es equivalente a un evento A, en elrecorrido de X entonces.g (yi) = P(Y= yi) = A dx)x(f

CASO 3 SeanX una V.A. continua, H una funcin continua, f la funcin de densidad fdp de X,Entonces Y= H(x) es una V.A. continua y queremos hallar su f.d.p.

- Obtenga G, la f.d.a de Y, donde G (y) = P (Y y), despus de encontrar el evento A (en R x)que equivale al evento {Y y}- Diferencie G (y) con respecto a y para obtener g (y)

- Determine estos valores de y en Ry para los cuales g (y) >

Lo ms importante aqu es sustituir el evento {Y y} por el evento equivalente en trminos dela V.A. X. Esto es sencillo si la funcin es una funcin estrictamente montona (creciente decreciente) de X. es decir podemos resolver y= H(x) para x en trminos de y, x= H-1(y)donde H-1es la funcin inversa de H. As si H es estrictamente creciente {X (x) y} equivale

A {H H -1(y)} mientras que si H es estrictamente decreciente { H (X) y}equivale A { X H -1(y)}

TEOREMA Sea X una V.A.continua con fdp f donde f(x) > 0 para a x b, supngaseque y= H(x) sea una funcin estrictamente montona (creciente decreciente) supngase

que H es derivable (por lo tanto continua) para todo x. Entonces, la variable aleatoria ydefinida como Y= H(X) tiene una fdp y dada por g (y) = f(x)

dy

dx donde x se expresa en

trminos de y, si H es creciente, entonces y es distinta de cero para los valores de y quesatisfacen.H(a) y H (b), si H es decreciente, entonces g es distinta de cero para los valores de y quesatisfacen H (b) y H (a)


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EJEMPLOS

1) Supngase que X tiene f.d.p f(x) = 2x 0 x 1 Sea H(x) = 3x + 1. Para otra parte

Encontrar la fdp de Y= H (x) tenemos G (y) = P (Y y) = P (3X + 1 y)= P (X (y 1)/3)

23/)1y(

03/)1y(xdx2

X= (y-1)/3 As g (y) = G1 (y) = )1y(

9

2

Puesto que f(x) > 0 para 0 x 1 encontramos que g(y) > 0 para 1 y 4 el evento A queequivale al evento { Y y}es simplemente {X (y 1)/3 } por otro mtodo tenemos G(y) =

P(Y y) = P ( X )3

1y = F (

3

1ydonde F es la FDA de X

dy

du.

du

)y(dG

dy

)y(dG donde u=

3

1y por lo tanto G1(y) = F1(u). 1/3 = f(u) . 1/3 = 2 (

3

1y) . 1/3

tambin usando el Teorema se tiene f(x)= 2x 0x 1 y= 3x + 1 por lo tanto X= (y-1)/3

3/1dy

dx . As g (y) = 2 )1y(9/23/13/)1y( 1 y 1 que concuerda con el resultado

anterior.

2) X v.a continua como en 1), sea H(x) = x para encontrar la f.d.p de Y = H(x) hacemos:

G= (y) =P (Y y) = P (

1

yln

2x)yln(1xdx2)ylnx(P)y por lo tanto g(y)

= G1(y) = -2 ln y/y, puesto que f(x) > 0 para 0 < X < 1 encontramos que g(y) > 0 para 1 < y


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g (y) = G1(y)=

)(

2

1

2

)(

2

)(yf

yy

yf

y

yfyf (

As g (y) = y

2

1( y

2

1)

2

1

21 0 < y < 1

Lo que conduce al siguiente resultado general.

TEOREMA X v.a continua con f.d.p f, y = x2, entonces Y tiene una f.d.p dada por g(y)

= )(2

1yf

y + )( yf

VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES CONTINUAS

DEFINICIN: (X,Y) es una v.a Bidimensional continua si puede tomar todos los valores enun conjunto no numerable del plano euclidiano.

OBSERVACIN:Puede suceder que uno de los componentes (x, y) sea discreto y el otrocontinuo.DEFINICIN: (X,Y) v.a.b continua que toma todos los valores enana regin R del planoeuclidiano, la Funcin de densidad de probabilidades conjuntas f es una funcin quesatisface las condiciones siguientes:

a) f(x, y) 0 Ryx ),(

b) 1),( dxdyyxfR

OBSERVACIN: f((x,y) = 0 Ryx ),( y se puede considerar dxdyyxfR

),(2

DEFINICION: Sea (X,Y) v.a.b La funcin de distribucin acumulativa (FDA) F de la v.a.b.(X,Y) est definida por F(X,Y) = P (X , Y y)

F es una funcin de dos variables y tiene propiedades anlogas a la FDA unidimensional semencionar ste ),,(/),(2 yxfyxyxF donde F sea diferenciable. Resultado anlogo al

de una dimensin )()(

xfdx

xdF donde f es la f.d.p de una v.a unidimensional.

DEFINICIN: Sea f f.d.p. de una v.a.b.c (X, Y). Se definen g y h las funciones de densidadde probabilidades marginales de:

X como g(x) =

dyyxf ),( y como h (y) =

dxyxf ),(

Estas f.d.p. corresponden a las f.d.p. bsicas de las v.a unidimensionales X e Yrespectivamente es decir:

P (a X b) = P ((a X b); - < Y <

d

c

d

cdxxgdydxyxf )(),()


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30

DEFINICIN:Sea (X,Y) v.a.b.c con f.d.p. conjunta f, sean g y h las f.d.p. marginales de X y Yla f.d.p. condicional de X para Y =y dada, est definida por

g (x/y) = )()(

),(yh

yh

yxf> 0

La f.d.p. condicional de Y para X=x dada, se define h (y/x)= )()(

),(xg

xg

yxf> 0

OBSERVACIN: Las f.d.p. condicionales son f.d.p. unidimensionales, por ejemplo para y fijatenemos g(x/y) 0 y

1)(

)(),(

)(

1

)(

),()/(

yh

yhdxyxf

yhdx

yh

yxfdxyxg

Anlogamente para h (y/x)

OBSERVACIN: Una interpretacin intuitiva de g(x/y) se obtiene si consideramos lasuperficie representada por la f.d.p. conjunta f con el corte del plano y=c, la interseccin del

plano con la superficie Z= f(x,y) resultar en una f.d.p. unidimensional, llamada la f.d.p. de Xpara y= c, esta es precisamente g(x/c).

DEFINICIN: Sea (x,y) v.a.b decimos que X y Y son v.a INDEPENDIENTES, si y slo sif (x,y) = g(x) h(y) ),( yx , donde f es la f.d.p. conjunta y g y h son las f.d.p. marginales de Xy Y respectivamente.

TEOREMA:1) (X, Y) v.a.b. discreta, entonces X y Y son INDEPENDIENTESsi y solo si P (xi/yi= p(xi) i, j lo que es equivalente si y solo si q(yi/xi)= q (yi) donde p y que son las funciones dedistribucin de X y Y.

OBSERVACIN: La distribucin conjunta determina en forma nica las marginales, pero elinverso no es verdadero. Solo es verdadero cuando hay independencia.

TEOREMA: Sea (X,Y) v.a.b Sean A C Rx, B C Ry, entonces si X, Y son v.a independientes setiene )()()( BPAPBAP en el caso continuo se demuestra

P(A

BA BA

A BBPAPdyyhdxxgdxdyyhxgdxdyyxfB )()()()()()(),()

FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sea (X,Y) una v.a.b es claro que Z= H1(X,Y) es una v.a sobre el mismo espacio muestral de(X,Y), Z(s) = H1(X,Y) es una v.a sobre el mismo espacio muestral de (X,Y), Z(s) = H 1(X(s) ,Y (s)) (v.a unidimensional). Encontrar su f.d.p. es complicado. A veces es ms fcil introducirotra v.a W = H2 (H,Y) y obtener la f.d.p. conjunta de Z y W, supongamos K(z,w); y

conociendo esta. Calcular la f.d.p. de Z g (z) =

.),( dwwzk

Faltara por resolver cmo elegir la v.a W? Cmo calcular la f.d.p. conjunta? En el primercaso se escoge la V.A. ms sencilla posible. En el segundo:


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31

TEOREMA: Sea (X,Y) una v.a.b.c con f.d.p. conjunta f. sean Z= H 1(X,Y) y W= H2(X,Y) ysupongamos que H1y H2satisfacen las siguientes condiciones:

a) Las ecuaciones Z= H1(x,y) W= H2(x,y) se pueden resolver nicamente para X y Y entrminos de Z y W, digamos X= G1(z,w) y Y= G2(z,w)

b) Las derivadas parciales wyzywxzx /,/,/,/ existen y son continuas. Entoncesla f.d.p. conjunta de (Z,W), digamos K(z,w) est dada por la expresin K (z,w) =

f[1(z,w), 2(z,w)] / J (z,w) donde J(x.w) es el jacobiano de la transformacin (x,y) (z,w) y a veces se denota),(/),( wzjyx

J (z,w) =

w

y

w

x

z

y

x

x determinante de la matriz

OBSERVACIONES SOBRE EL TEOREMA ANTERIOR

Considere la FDA. conjunta de la v.a.b (z,w), k(z,w) = P(Z z, W w) = w z

dtdstsk ),(

donde k es la f.d.p. buscada, cmo se supone que la transformacin (x,y) (z,w) es uno auno se puede encontrar el evento equivalente a {Z z, W w} en trminos de X y Y. sea esteevento C, esto es {(x,y) C} si y slo si {Z z, W w}, por lo tanto

w z

c

dydxyxfdtdtk ),(2),2( Como f es conocida se puede calcular el segundo miembro

de la integral, diferencindola respecto a Z y W se obtiene la f.d.p. deseada.

VARIABLES ALEATORIAS n DIMENSIONALESExtender lo antes expuestos a ms de dos variables es bastante fcil y no se tratar aqu.Pero se le recomienda pensar en ello ya que le puede ser til en el futuro.

DISTRIBUCIN DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE DE V.A. INDEPENDIENTES.0) Sea (X,Y) una v.a.b.c.i por lo tanto la f.d.p. f se puede escribir como f(x,y) = g(x) h (y).

1) Sea W= XY luego la f.d.p. de W, digamos p, est dada por p(w) duuu

whug

1)()(

2) Sea Z= x/y entonces la f.d.p. de Z, digamos q, est dada por

dvvvhvzg ))(()(

En 1) W= WY u = x as x = u y = w/u J =u

1

En 2) Z= x/y v = y as x = vz y = v J = v


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ESPERANZA CONDICIONAL. DEFINICIN: a) SI (X, Y) es una v.a.b.d Definimos la

esperanza condicional de X para Y = yj como E(X/yj) =

1

)/(i

jii yxpx

b) SI (X,Y) es una v.a.b.c Definimos la esperanza condicional de X para Y = y como:

E(X/y) =

dxyxxg )/(

Anlogamente se define la esperanza condicional de Y para X

OBSERVACIONES: Es importante darse cuenta de que en general E(X/y) es una funcin dey, y por lo tanto es una v.a [Anlogo para E (Y/x)] [estrictamente hablando, E(X/y) es el valorde la v.a E(X/Y)

TEOREMA:1) E[E (X/Y)] = E(X)2) E[E(Y/X)] = E (Y)

0) Anlogo comentario para 2)

TEOREMA: X, Y V.A.I. Entonces E(X/Y) = E(X) E (Y/X) = E(Y)

La covarianza de X1y X2 se define como:

COV(X1,X2)= E [(X1u1)(X2u2)] ;donde u1= E(X1) y u2= E(X2)

COV(X1,X2)= E(X1,X2)E(X1)*E(X2)

S X1y X2son independientes COV(X1,X2)=0.

1) es importante reconocer que laesperanza interna se toma respecto a ladistribucin condicional de X, dado que Yes igual a y, mientras que la esperanzaexterior se toma respecto a la distribucinde probabilidades de Y.


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1._Se forma una Empresa de Explotacin petrolera con suficiente capital para financiar 10exploraciones. La probabilidad de que una exploracin en particular sea exitosa es de 0,1.Supngase que las exploraciones son independientes. Encuentre la Media y la Varianza delnmero de exploraciones exitosas.

OBSERVACIN: Slo es vlido calcularlas no el resultado.

2._ Supngase que X y Y son variables aleatorias independientes con las distribucionesrespectivas.

Hallar la distribucin conjunta de X y Y y comprobar que COV (X, Y) = 0

3._ El polietileno es sometido a un proceso de extraccin para ser convertido en un productoterminado. El producto terminado puede verse afectado por cuatro tipos de defectos como loson: deficiencia en el volumen final, con probabilidad de 55% de ocurrencia; falta demaleabilidad con probabilidad de 58%, falta de elasticidad con probabilidad de 60% ydeficiencias por causa de la mala calidad de la materia prima con probabilidad de 60% deocurrencia. Se inspecciona una unidad del producto y se registra si presenta o no cada unode los defectos en cuestin. Considere la siguiente variable aleatoria X= Nmero total dedefectos que presenta la unidad.a) Obtenga la distribucin de probabilidades de la variable aleatoria X (fdp).b) Calcule la mediana, moda y desviacin estndar de la variable aleatoria Xc) Si se escoge una unidad al azar y se sabe que como mximo tiene tres defectos. Cul esla probabilidad que tenga al menos dos defectos?

4._una fbrica produce diariamente 10 recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay unaprobabilidad constante p = 0,1 de producir uno defectuoso. Antes de que estos depsitos sealmacenen son inspeccionados y los defectuosos puestos aparte. Supongamos que hay unaprobabilidad constante r= 0,1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Sea Xigual al nmero de recipientes clasificados como defectuosos al trmino de un da deproduccin. (Suponemos que todos los recipientes que se fabrican en un da se inspeccionanese mismo da.) a) Calcular P(X = 3) y =P (X > 3) y obtener una expresin para P(X = k).

5._ Un conductor irresponsable transita por una avenida, donde hay 8 semforos. Laprobabilidad de que cualquier semforo est en verde es 0,6

a) Calcule la probabilidad de que el quinto semforo de su ruta sea el segundo queencuentre en verde. * Asuma que el conductor no respeta la luz roja.

b) Defina la v.a. y su funcin de probabilidades de lo siguiente:

Nmero de semforos que recorre el conductor antes de encontrar el primer semforo enrojo y calcule la probabilidad que la v.a. X tome el valor X = 7.

Xi 2 3f(x1) 0,7 0,3

Yj -2 5 8g(yi) 0,3 0,5 0,2


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6._Un carro circular por la avenida Universidad, donde encuentra 4 semforos. En cada unode los semforos el carro tiene una probabilidad igual a de encontrar la luz roja.

a) Simule la trayectoria del carro 20 veces.

b) En base a los resultados de la simulacin determine:

A= (N de semforos que puede avanzar el carro sin detenerse)

c) Dibuje el histograma de frecuencias del evento A y la Ojiva correspondiente.

d) Determine la Media, Varianza y el Fractil. 75.

Si consideramos el evento A del problema anterior como una v.a. X, determine lafuncin de Probabilidad y la Funcin de Distribucin de dicha v.a. X. Calcule el E(X),V(X) y el valor de X tal que P(X x) = . 75..

Compare los resultados con los obtenidos en el problema 1 y saque conclusiones.

7._Se sabe que un grupo de cuatro componentes contiene dos defectuosos. Un inspectorprueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vezencontrado el segundo defectuoso, se concluye la prueba.

8._ f(x)

0,4 0,62)

-1 x

Sea Y = 2x-3 Halle g (y) (f.d.p. de y)

9._Sea X una variable aleatoria cuya funcin de densidad se ilustra en la siguiente grfica:f (x)

X-1 1

a) Determine la expresin para la funcin de densidad.

b) Determine la F.D.A. y su grficac) Si se hacen 4 determinaciones independientes de x Cul es la probabilidad de que almenos 2 de ellas sean superiores a 2.5?Defina la variable de inters en este caso y determine su F.D.A.


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10._ Dada la siguiente grfica de la funcin de densidad de probabilidad de una variablealeatoria X, determine:

f(x)

-1 1 2 x

a) La expresin de la f.d.p. de xb) La FDA de X. Grafquelac) Usando la FDA calcule P(X 0.75) P(0,5 X 1,5)

SEA Y= 23X Explique como determinara V (y) indicando la expresin de calculo sin hacerlos mismos.

11._

Determine el valor de a

12._Suponga una variable Y con la funcin de densidad

C*y y2 0 y < f (y) =

0 en cualquier otro punto

a) Determine cb) Calcule la media de Yc) La mediana de una variable aleatoria continua es el valor y tal que F (y) = 0.5.

Calcule la Mediana de Y

0.20.1

80 90a

X


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36

13._Sea X una variable aleatoria con funcin densidad de probabilidad:

C * x2; si (x) < 1

f (x)

0 ; si (x) 1

a) Hallar el valor de cb) Hallar la esperanza y la varianza de la variable aleatoria.c) Halle la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria.d) Calcule P (-20 < x 0.5)

14._El porcentaje de impurezas por unidad de produccin en cierto producto qumico es unavariable aleatoria y que tiene una funcin de densidad.

f (y) a y2(a-y) 0 y 1


a) Calcule ab) Si una unidad de produccin con ms de 40% de impurezas no se puede vender

Cul es la probabilidad de que una unidad de produccin seleccionada al azar nose pueda vender porque hay demasiadas impurezas?

c) Encuentre la media y la varianza del porcentaje de impurezas en una unidad deproduccin escogida al azar del producto qumico.

15._Una tienda de abarrotes al menudeo tiene una demanda diaria Y para cierto tipo decomestible que se vende por libra, en donde Y, medida en ciento de libras, tiene unafuncin de densidad de probabilidad

f(y) cy2 0 y 10 en otro punto

(No se puede almacenar ms de 100 libras).El dueo desea ordenar 100 K libras del comestible, el compra el comestible a 6 centavospor libra y lo vende a 10 centavos por libra.

a) Qu valor de k maximizar su ganancia diaria esperada?b) Calcule P(-20 < y < 0,5)

Halle la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria.


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37

16._Sea X una variable aleatoria con la siguiente funcin de densidad:

f (x) =4

1x 20 x

x2

1 < X 3

= 0 otro caso

Determine:

a) La funcin de distribucin acumulada de x.b) El valor esperado, moda, varianza y fractil 0.75.c) P (1 < x 2,5), p (x 2.3 / x > 1.5)

17._El porcentaje de alcohol en cierto compuesto es una variable aleatoria y

Con la siguiente funcin de densidad f (y)= cy3*(1-y) 0 < y < 10 en cualquier otro punto

Suponga que el precio de venta del compuesto depende del contenido de alcohol.Especficamente, si 1/3 < y < 2/3. El compuesto se vende por C 1Bolvares el litro; de otramanera se vende por C2Bolvares el litro. Si el costo de produccin es C3Bolvares por litro,encuentre la distribucin de probabilidad de la ganancia neta por litro.

18._ sea X una variable aleatoria con la siguiente Funcin de Distribucin de Probabilidad:

(1/2X2); 0 X

fdp ; X 11/3

0 ; otro caso.

a) Halle la funcin de distribucin acumulada (FDA)b) Halle la mediana, el valor esperado E(X) y la varianza (X).c) Si se hacen 10 determinaciones independientes de la variable aleatoria X. Cul es laprobabilidad de que al menos dos se encuentren entre 1/3 y 7/3?

19._ Considere la funcin de densidad de probabilidad

0,5 -1 x 0f(x )

0,5 + CX 0 x 1

a) Halle la esperanza y la varianza de Xb) Calcule P (-0,5 x 1,5)c) Halle la funcin de distribucin acumulada


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20._Sea X una VA. Continua que tiene la siguiente funcin de densidad.

2(2-x) 1 x 2f(x)

0 en otro caso

a) Determine la funcin de distribucin acumulada de X

b) Calcule mediante la funcin de distribucin acumulada de X

P (0,5 x 1,5)

c) Determine E(x) y la Mediana de Xd) Sea Y = 2X + 3 Obtenga la funcin de densidad de Y

21._El Tiempo requerido por los estudiantes para presentar un examen de una hora es unavariable aleatoria con una funcin de densidad dada por:

Cy2+ y 0 y 1f(y)

o en otro punto

a) Determine el valor de Cb) Obtener F (y)c) Graficar f (Y) y F (y)d) Utilizar F (Y) de b) para encontrar F (-1), F (0), F (1)e) Calcular la probabilidad de que un estudiante termine en menos de media hora.f) Dado que un estudiante necesita al menos 15 minutos para presentar el examen,encuentre la probabilidad de que necesite al menos 30 minutos para terminarlo.

22._Sea (X,Y) una v.a. bidimensional continua con f.d.p. conjunta f(x,y) = 2*exp(-x-y) x>0 y> 0. Halle las marginales. Son independientes X e Y? Determine P (y-x7).

f (x,y) = 2 )( yx

g (x) =

00

)()( 222 xyxyx dy no son independientes x e y ya que

2 )()( 4 yxyx

h (y) = yyx dx 220

)(

P (Y-X < 5/ X +Y > 7) =

7

1 7 0

)(

7

)(

7

1

5

7 7

5

0

)()(

22

22

)7(

)75(

dydxdydx

dydxdydx

YXP

YXXYP

yx

XY

yx

XY

XY

XYyxyx

x>0y> 0


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23._ Sea (x,y) una variable aleatoria bidimensional continua uniformemente distribuida en lasiguiente regin Calcule P(x > y):

24._El kilometraje en miles de Km que dura cierto tipo de neumtico es una variablealeatoria x con densidad:

f (x) 020

1 20/

x

x

0 x 0 Haciendo uso de la funcin de distribucin acumulada de x calcule:a) Probabilidad de que un neumtico dure a lo sumo 1000 Km.b) Probabilidad de que un neumtico que ha rodado 1000Km. Dure al menos 5.000 km.

ms

25._Sea x una v.a. continua con densidad:

f(x) =

xx21

11

Obtenga la densidad de Y= yx

1

comente el resultado.

26._ Sea X el nmero de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo componentedefectuoso. a) Halle la distribucin de probabilidades de X. b) Halle la esperanza y lavarianza de X.

27._Las calificaciones correspondientes a 80 estudiantes de una clase de estadstica fueronclasificadas en la siguiente forma:Calificaciones N de Estudiantes

2030 3

3040 64050 5 En base a estos datos: hallar:5060 7 a) Media de las calificaciones.6070 10 b) Mediana y moda de las mismas.7080 29 c) Desviacin estndar de las mismas.

8090 1290100 8

d) Qu porcentaje de alumnos est comprendido entre X s e) Porcentaje de alumnos con nota superior a 65 puntos.


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28._En una fabrica de perros las mquinas A, B, C producen respectivamente el 25, 35 y 40por ciento del total. En esta produccin 321 ,, son los porcentajes de perros defectuosospor mquina.

a) Halle 321 ,, donde

1= E(X) donde X tiene distribucin f (z) = 212 z1

Z )7,3(

X3(V2 Donde Y tiene distribucin f (z) =

/z1 >0

3= E (Y) 2 0 y

b) Si se toma al azar un perro y se le encuentra defectuoso Cul es la probabilidad de quehaya sido producido por las mquinas A, B, C?c) Si se producen 100 unidades y si el precio de venta es Bs. 3 por perro y el costo deproduccin es Bs. 1.d) Halle la esperanza de la Ganancia neta.

29._ De un grupo de ingenieros de 3 Elctricos, 2 Industriales y un Qumico debeseleccionarse un equipo de trabajo de dos personas sea Y1el nmero de electricistas y Y2elnmero de industriales en el equipo. Encuentre la distribucin de probabilidad conjunta de Y 1y Y2.

30._ Se disea cierto motor experimental de tres cilindros en lnea de tal forma que estefunciona mientras trabajen al menos 2 cilindros, suponga que los cilindros funcionan deforma independiente y que la funcin de distribucin acumulada del tiempo de vida de cada

cilindro est dada por:

1 - )/t( con 2 Aos = 1,25

a) Cul es la probabilidad de que uno de los cilindros est funcionando para una misin de1 ao y medio?

b) Cul es la probabilidad de que el motor funcione para una misin de 2 aos y medio?

c) Usando 6 corridas de montecarlo, estime la confiabilidad del motor para una misin de 2

aos y medio. Estime tambin la esperanza de vida del motor y su desviacin estndar.


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CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOIIIIIIIII

MMMOOOMMMEEENNNTTTOOOSSS

MOMENTOS R-SIMO MOMENTO POBLACIONAL R-SIMO MOMENTO CENTRAL

COEFICIENTE ASIMETRA Y CURTOSIS FUNCIN GENERADORA DE MOMENTOS

Una distribucin de frecuencia se puede analizar con mayor certeza si se calculan lasconstantes o momentos de la distribucin. Los momentos se emplean para el clculo demedidas que describan la distribucin, y para determinar la curva apropiada a usar ensmoothing de una distribucin matemtica.

El primer momento de una distribucin de frecuencia como medida alrededor de algnorigen arbitrario es:El segundo momento (alrededor de un origen arbitrario) es:El tercer momento (alrededor de un origen arbitrario) es:

El cuarto momento(alrededor de un origen arbitrario) es:Los momentos ms importantes son aquellos que se calculan respecto a la media comoorigen:

Donde x representa la desviacin del valor actual de la media.La suma de la desviacin alrededor de la media es cero y, adems el primer momento serigual a cero.Los otros momentos alrededor de la media se obtienen ms fcilmente:

(1)El clculo de los momentos provenientes de una distribucin de frecuencia

Sea X una variable aleatoria. El r-simo momento de X alrededor del cero se define:

'

r= X

r

E = Xr

p

X donde X es discreta

'

r= X

r

E =

X

r dX xf donde X es continua

El primer momento alrededor del cero es la MEDIA VALOR ESPERADOy se denotapor .El r-simo momento central de X el r-simo momento alrededor de la media de X sedefine por:

r= E x r =

x

r

x p x si X es discreta

=

x

r

f

X dX si X es continua


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OBSERVACIN: El momento central cero de cualquier variable aleatoria es uno, 10

.

El primer momento central de cualquier variable aleatoria es cero, 01

. El segundo

momento central es la varianza, Var X2

2'

22 .

COEFICIENTE DE VARIACIN: Compara la dispersin relativa de dos distribuciones deprobabilidad.

V = /Donde V es una medida estandarizada.

xE 33

Es el tercer momento central est relacionado con la asimetra de la

distribucin de probabilidad de X;

3'

2

'

3323

Para las distribuciones que tienen un solo pico

3< 0 asimtrica negativamente.

3> 0 asimtrica positivamente.

Si 3=0 la distribucin es simtrica.

COEFICIENTE DE ASIMETRA:

2

2/3

3

3 Tercer momento estandarizado

3 >0 asimtrica positiva

3


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43

2

2

4

4 Medida relativa de la curtosis

4 >3 pico relativamente alto (Leptocrtica).

4


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La DESVIACIN MEDIAde una variable aleatoria es E X -

p

xX

x | Si X es discreta

df XXx

Si X es continua

FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS (f.g.m)

Sea X una variable aleatoria el valor esperado de exp. (tX) recibe el nombre de FUNCINGENERADORA DE MOMENTOSy se denota mx(t) si existe.

peem X

X

txtx

tx E si X es discreta

= dfe XX

tx

si X es continua

OBSERVACIONES:

mx(t) es solo funcin de t. Si t =0 ,mx(0)=E(e0)=1

Si existe es nica y determina por completo la distribucin de probabilidad de X. Enotras palabras si dos variables aleatorias tienen la misma f.g.m entonces tienen lamisma distribucin de probabilidad.

Si existe para-c


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asociadas con el uso de los momentos para caracterizar una distribucin las cualesinvestigaremos.

Si la fgm existe, ella caracteriza un infinito conjunto de momentos. La pregunta naturales cuando el infinito conjunto de momentos est caracterizado determina nicamenteuna funcin de distribucin.

La respuesta es NO, caracterizando el conjunto de momentos no es suficiente paradeterminar una funcin nicamente porque puede haber dos variables aleatoriasdistintas que tienen los mismos momentos.

Ejemplo:

Caso especial de una Log normal:

Xf e X 2log 2

2

1

1

0 < X <

Si X1~ f1 entonces ex rr

E 1

r = o, 1,...,...

As X1tiene todos sus momentos; ahora suponga X2 ~ f2

dff XXX xsen log2112 0X


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Ejemplo:

X ~ N ( 2

, ) Y ~ ( rr 2

, ) variables aleatorias independientes

2

22

tM tExptX

2

22

trM rtExptY

2

222

trMMM trExptYtXtZ

Ejercicio:

X ~ Poisson () y Y ~ Poisson () X, Y independientes

X +Y = Poisson (+)

TEOREMA

X1,..., Xnvariables aleatorias independientes Mx1 (t),..., Mxn (t) sus fgm.

Sea Z =n

1

X1+...+Xn; la fgm de Z es: Mzt)= n

1

Mxn(t)...MXn(t)

En particular si todas tienen la misma distribucin:

Mz (t)= (MX (t))n

COLORARIO:

X1,Xn variables aleatorias mutuamente independientes con fgm MX1(t),..., Mxn (t); ai,bi constantes i =1,..., n. Sea Z= (a1X1+b1) +...+ (an+bn) entonces la fgm de Z es:

MMeM tXntXn

t

tZ aab

n

i ...1

11

La ms importante aplicacin de este colorario es el caso de variables aleatoriasnormales. Una combinacin lineal de variables aleatorias independientes normales esnormal.

TEOREMA

X1,..., Xn vectores. Entonces X1,..., Xn son vectores aleatorios mutuamenteexcluyentes, si y slo si, existe una funcin g i (Xi) i= 1,..., n tal que fdp de X1,...,Xnpueda ser escrito como: f(X1,...,Xn)= g1(X1)...gn (Xn).

TEOREMA

X1,..., Xn vectores aleatorios independientes. Sean g i (Xi) funciones slo de Xi, i= 1,...,n.Entonces las variables aleatorias


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Ui = gi (Xi) i=1,..., n son mutuamente independientes.

TEOREMA

Sea Fx (X) y Fy (Y) FDA todos sus momentos existen:

a.- Si Fxy Fy tienen soporte acotado. Entonces Fx ()=FY () para todo , si y slo siExr= Her para todo r =0,1,...

b.- Si la fgm existe y Mx (t) = My (t).para todo t cerca de cero entonces FX ()=FY()

TEOREMA

Convergencia de la fgm.

Suponga {Xii =1,2,...} es una reunin de la variable aleatoria con fgm Mxi (t). Ms ansuponga que

MM tXtXii lim para t cerca de cero y que MX (t) es una fgm.

Entonces existe una nica FX cuyos momentos estn determinados por MX (t) y Xdonde FX(X) es continua tenemos:

FF XXXXii lim

Esto es convergencia para t 0 la distribucin FX esta nicamente determinada

FUNCIN GENERADORA DE CUMULANTES

X variable aleatoria; fgc es la funcin log M tX . Esta funcin puede ser usada para

generar los cumulantes de X


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FUNCIN GENERADORA DE MOMENTOS FACTORIAL de X esta definida comoEtXsi la esperanza existe. El nombre proviene del hecho que la funcin satisface:

1...1/ 1 rXXXEE tX

r

r

tdtd

Si X es discreta xXPEX

XX

tt se llama funcin generadora de probabilidad yaque los coeficientes de la serie de potencias da la probabilidad, es decir para obtenerla probabilidad para X =k calcule:

KXPEk t

X

k

k

tdtd

/ 1!1

FUNCIN CARACTERSTICA

La funcin caracterstica siempre existe y determina completamente la distribucinacumulada.

eitx

tXE Donde i =-1

VALORES ESPERADOS. REGLA DE SUMA

Sean X,Y variables aleatorios X^Y = mn. (X,Y) XY = mx.(X,Y) asX+Y = (XY)+(X^Y) sigue que E (XY)= EX +EY-E(X^Y)


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CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOIIIVVVDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

DISTRIBUCIN BINOMIAL1. Un experimento consta de n pruebas repetidas2. Cada prueba tiene dos resultados posibles. xito = E y Fracaso= F.

3. Probabilidad de xito=P, Probabilidad De Fracaso (1- P ) = 24. Las Pruebas son independientes.5. La variable aleatoria bajo estudio es Y= nmero de xitos observados en n pruebas.

TEOREMA: La probabilidad de k, xitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y

expresa por m. ) = knk qk

n

DEFINICIN: Si consideramos n y p como constante la funcin anterior P (k) = b (k,n,p) esuna distribucin de probabilidad discreta:

K 0 1 2 nP(k) qn

pq1

n 1n

22n pq

2

n

pn

Se le llama distribucin binomial puesto que para k= 0 , 1,2., ncorresponde a los trminossucesivos del desarrollo binomial (q+p)n

Esta distribucin se conoce tambin como distribucin del Bernoulli, y las pruebasindependientes con dos resultados se llaman pruebas de Bernoulli.

2

TEOREMA: La Distribucin binomial tiene media u=n*p varianza =n p q

OBSERVACION:Esta distribucin tiene muchas aplicaciones.a) Muestreo de productos defectuosos b) Muestreo de preferencias de voltajes, deconsumidores.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD GEOMETRICA

La variable aleatoria geomtrica Y es el nmero en la prueba en la cual ocurre el primer

xito. El experimento termina al obtener el primer xito.La probabilidad de la interseccin de Y eventos indiferentes da a lugar la distribucin deprobabilidad geomtrica. P (y)= q y-1 p y=1, 2,3 1p0

Se usa como modelo para las distribuciones de la longitud de tiempos de espera.


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DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICA

Supngase que una poblacin contiene un nmero finito N de elementos, cada uno de loscuales tiene una de dos caractersticas de esta manera elementos podran ser rojos y b= n -rnegros. Se selecciona una muestra aleatoria de N elementos de la poblacin y la variablealeatoria de inters es Y= nmero de elementos rojos en la muestra. Esta variable aleatoriatiene distribucin de Probabilidad Hipergeometrica.

Distribucin de Probabilidad Hipergeometrica

P (y)= y entero 0, 1,2,, n sujeto a condiciones y r ny rN

EJERCICIO: se seleccionan 10 personas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros condoctorado Cul es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados

incluya a los 5 mejores del grupo de 20?.DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD POISSON

La distribucin de Poisson se define como sigue:

P (k, )=!k

eK k=0, 1,2 Donde > 0 es una constante.

Esta distribucin infinita contable se presenta en muchos fenmenos naturales tales como el

nmero de llamadas telefnicas por minuto en un tablero de distribucin, el nmero deerratas por pgina en un texto grande y el nmero de partculas emitidas por unasustancia radioactiva.

TEOREMA La distribucin de Poisson tiene media u= varianza = desviacin estndar =

La distribucin Poisson es el lmite de una binomial cuando la probabilidad decrece cuando eln aumenta, haciendo = n*p y tomando lmite de la probabilidad binomial.

P (y) = ypyn

ynp1 cuando n se tiene

P (y) = lim ky

yny

!Yp1P

y

n

Aproximacin de la binomial por Poisson para un k pequeo siendo p pequeo y = n*pCalculo para n=100, p= 1/100 = n*p


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DISTRIBUCIN MULTINOMIAL

Supngase que el espacio muestral de un experimento se divide en S sucesosmutuamente excluyentes A1A2,., As con probabilidades respectivas p1, p2,, p2( p1+p2++p2= 1) entonces:

En n pruebas respectivas, la probabilidad de que A1suceda k, veces, A2suceda k2veces,.,y Assuceda k2veces es igual.

221 k

2

k

2

k

1

221

p....pp!K....!K!K

!nDonde k1+k2+.+k2= n

Esta es la distribucin Multinomial.

OBSERVACION Si S =2 obtenemos la Binomial.


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CCCAAAPPPIIITTTUUULLLOOOVVV

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.

DEFINICIONES:- Sea Y cualquier variable aleatoria. La funcin de distribucin de Y denotada por F(y), estdada por F(y) = P(Y y) - y <

- Las funciones de distribucin de variables aleatorias discretas siempre son funcionesescalonadas, puesto que la funcin de distribucin acumulativa solamente se incrementa enun nmero numerable de puntos.- Propiedades de F (y) a) lim F (y) = F (- 0)

y

b) lim F (y) = F ( ) = 1y

c) F (yb) F(ya) si yb>ya

- Sea Y una variable aleatoria con una funcin de distribucin F(y), se dice que Y es continuasi F(y) es continua para - < y <

- Para una V.A. continua Y se tiene P (Y=y) = 0 para cualquier y R

- Sea F (y) la funcin de distribucin de una variable aleatoria continua Y entonces f(y), dado

por f(y) = 1Fdy

)y(dF (y) siempre y cuando exista la derivada, se denomina la funcin de

densidad de probabilidad para la variable aleatoria y.

- Se deduce de los tres apartes anteriores que F (y) = y

dt)t(f donde f(y) es la funcin de

densidad de probabilidad.

- Propiedades de f (y) a) f (y) 0 y b) y

1dy)y(f

- La probabilidad de que Y se localice en el intervalo b,a est dada por P (a Y b) =

y)y(fb

a

d donde f (y) es la funcin de densidad de probabilidad para Y.- Si F es la funcin de distribucin de una variable aleatoria y F (Y0) indica la probabilidad deque Y Y0- P (Y=a)=0- Las constantes que determinan la forma especfica de una funcin de densidad sedenominan parmetros de la funcin de densidad.


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FUNCIONES DE DENSIDAD

UNIFORME f (y) =

001

2

01 y 02

en cualquier otro punto.

si la probabilidad de que una V.A. Y caiga dentro de ciertos intervalos con la mismaprobabilidad en un cierto rango, se dice que Y tiene una distribucin uniforme.

GAMMA

Algunas variables aleatorias son siempre no negativas y por varias razones tienendistribuciones de datos que son sesgadas (asimtricas) a la derecha, los intervalos de tiempo

entre fallas del motor de un avin, los intervalos de tiempo entre dos llegadas a la cola parauna caja registradora a la salida del supermercado, los tiempos que tardan en revisar elmotor de un automvil, tienen distribucin de frecuencias sesgada y las poblacionesasociadas a estas variables aleatorias frecuentemente tienen distribuciones que se puedenm))modelar adecuadamente por la funcin de densidad tipo GAMA.

F (y)

)(

/1

yeY , > 0 0 y


donde ( dyey y

01

) se conoce como la funcin GAMMA

La Integracin directa nos da (1)=1, por partes ( 1)1()1() r(n) = (n-1) ! parun nmero n enteroSi no es un entero, es imposible encontrar la antiderivada de la expresin

JI- CUADRADA o CHI - CUADRADA

Una variable aleatoria tipo GAMMA que tiene una funcin de densidad con parmetros2/v 2 se denomina variable Aleatoria CHI-CUADRADA ( 2 ). El parmetro v se

denomina nmero de Grados de Libertad Asociado a la V.A. CHI- CUADRADA.EXPONENCIAL

La funcin de densidad GAMMA para el caso especial 1 se denomina funcin dedensidad exponencial.

f (y) =

/ye

1 >0 0 y <



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- Modelos de duracin de componentes electrnicos tienen muchas veces este tipo defuncin de densidad.

- Si Y tiene funcin de densidad exponencial demuestre que

P (Y>a+b| Y>a) = P(Y>b) a,b>0

Esta propiedad suele denominarse DE LA PERDIDA DE LA MEMORIA de la distribucin.

NORMAL

f (y) =

2

22

2)( uy

e

> 0 - 0

La funcin de densidad Weibull proporciona un buen modelo para la distribucin de laduracin de muchos dispositivos mecnicos, plantas y animales

LOG-NORMAL

f (y) 1

y 2

22

2

)ln uy

e y>0


Si una variable aleatoria U tiene una distribucin normal con media u y una varianza

2, y si consideramos U= ln y, entonces se dice que Y tiene una distribucin Log normal.Esta distribucin se utiliza con frecuencia en las ciencias biolgicas y fsicas como modelo demagnitudes de volumen o de peso, de diversas cantidades, tales como partculas de carbnmolido, cultivos, colonias de bacterias y animales individuales.

Recuerde que:E

probabilidades. carlos pacheco. uc. ingenieria industrial

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