probabilidade e estatística -...

Probabilidade e Estatística

Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

Análise de Variância

Introdução

A análise de variância (Anova) é utilizada para comparar médias de três ou mais populações.

Ho:

H1: pelo menos uma das médias é diferente das outras

Premissas da Anova:

• As populações têm a mesma variância;

• As amostras são retiradas de populações com

distribuição normal;

• As amostras são aleatórias e independentes.

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

As hipóteses são:

Experimentos com um fator

Valores para ANOVA com um fator

Observações Grupos (Tratamentos)

1 2 3 … … k

1 x11 x21 x31 … … x1

2 x12 x22 x32 … … xk2

3 x13 x23 x33 … … xk3

... … … … … … …

Total T1 T2 T3 Tk

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

O objetivo da análise de variância para experimentos com um fator é comparar a variação devida aos tratamentos (entre os grupos) com a variação devida ao acaso (dentro do grupo, também chamado de variação residual). A variação entre os grupos tem o objetivo de verificar se as amostras de cada grupo são provenientes de populações diferentes.

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia



Supõe-se que cada resposta xij é dada pelo

modelo matemático:

xij = μ + αk + εij

Onde:

μ é a média

αk é o efeito do grupo k (variação devida aos

tratamentos)

εij é o resíduo (erro aleatório, por exemplo,

erro de medida)

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Procedimentos:

1º) Enunciar as hipóteses Ho e H1

2º) Fixar o nível de significância α

Fcrit

α

3º) Determinar Fcrit na distribuição F com (k – 1)

graus de liberdade no numerador e (N – k)

graus de liberdade no denominador

k = no total de grupos

N = no total de observações


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

N

Tx=SQT ∑∑

k

=i

n

=jij

i 2

1 1

2 -

N

T

n

T=SQE ∑

k

=i i

i2

1

2

-

∑k

=iin=N

1

∑k

=iiT=T

1

SQR = SQT - SQE

4º) Determinar a soma quadrática total

5º) Determinar a soma quadrática entre os grupos

6º) Determinar a soma quadrática dentro dos

grupos (resíduos)


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma

quadrática Quadrado médio Fcalc

Entre os grupos k – 1 SQE QME = SQE/(k – 1) QME/QMR

Dentro do grupo

(Resíduos) N – k SQR QMR = SQR/(N – k)

Total N – 1 SQT

7º) Montar o quadro para Anova

8º) Se Fcalc < Fcrít aceitar a hipótese Ho


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

repetições Máquinas (Grupos)

∑ 1 2 3 4

1 25 31 22 33

2 26 25 26 29

3 20 28 28 31

4 23 27 25 34

5 21 24 29 28

∑ 115 135 130 155 535

No rep. 5 5 5 5 20

Média 23 27 26 31

Exemplo 1 A tabela abaixo apresenta o tempo (em minutos) que 4 máquinas levou

para realizar um determinado serviço. Supondo que os tempos das

máquinas estão normalmente distribuídos e que as variâncias são

iguais, é possível afirmar ao nível de significância de 5% que os

tempos médios das máquinas são significativamente diferentes?

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

repetições Máquinas (Grupos)

∑ 1 2 3 4

1 625 961 484 1089

2 676 625 676 841

3 400 784 784 961

4 529 729 625 1156

5 441 576 841 784

∑ 2671 3675 3410 4831 14587

Tabela de xij2

Exemplo 1

Ho: as médias são iguais

H1: pelo menos uma das médias é diferente das outras

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 1

Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma

quadrática

Quadrado

médio Fcalc

Entre os grupos 4 – 1 = 3 163,75 QME = 54,55 7,79

Dentro do grupo

(Resíduos) 20 – 4 = 16 112,00 QMR = 7,00

Total 20 – 1 = 19 275,75

Quadro para Anova

Com 3 graus de liberdade no numerador, 16 graus de

liberdade no denominador e α = 5% tem-se Fcrit = 3,24.

Como Fcalc > Fcrit, rejeita Ho, ou seja, existe pelo menos um

tempo médio diferente, ao nível de 5% de significância.

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 2

Uma loja de departamento está

interessada em saber se existe

diferença entre as quantias médias

faturadas, através de três formas de

pagamento: dinheiro (D), cheque (C)

e cartão de crédito (CC). Um

levantamento das vendas (em

milhares de reais), em um dado

período de tempo foi realizado com

os resultados apresentados na

tabela. Assumindo distribuição

normal e que as variâncias são

iguais para os três grupos, verifique

se existem diferenças significativas

entre as médias, ao nível de

confiança de 95%.

Formas de pagamento

D C CC

56,00 80,90 73,25

20,50 51,29 56,65

37,37 40,95 123,21

28,64 72,65 56,50

132,47 37,29

60,32 44,65

60,00 40,64

∑ 142,51 498,58 432,19

n1 = 4; n2= 7; n3= 7; N= 18

T1 = 142,51; T2= 498,58

T3 = 432,19; T= 1073,28

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 2

Tabela de xij2

Forma de pagamento ∑

D C CC

3136,00 6544,81 5365,56

420,25 2630,66 3209,22

1396,52 1676,90 15180,70

820,25 5278,02 3192,25

17548,30 1390,54

3638,50 1993,62

3600,00 1651,61

∑ 5773,02 40917,19 31983,50 78673,73

SQT = 14677,63

SQE = 3273,91

SQR = 11470,71

QME = 16,15

QMR = 456,03

Fcalc= 0,03

Fcrit = 3,68 (α = 5%)

Aceita Ho

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 3 Foi utilizado três lubrificantes diferentes em máquinas para produção de

peças. A tabela apresenta as perdas de massa (em miligramas) das

peças por atrito para cada lubrificante. Supondo que os dados estão

distribuidos normalmente e que as variâncias são iguais, ao nível de

significância de 1%, as diferenças entre as médias são significativas?

Lubrificantes

∑ A B C

10 9 12

13 8 7

12 12 7

10 9 13

14 8 9

8 11 8

12 7 14

13 6 10

8 6

11

9

∑ 92 98 86 276

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 3

Lubrificantes

∑ A B C

100 81 144

169 64 49

144 144 49

100 81 169

196 64 81

64 121 64

144 49 196

169 36 100

- 64 36

- 121 -

- 81 -

∑ 1086 906 888 2880

Tabela de xij2

SQT = 159,43

SQE = 32,30

SQR = 127,13

MQE = 32,30/2 = 16,15

MQR = 127,13/25 = 5,08

Fcal = 16,15/3,18 = 3,18

Fcrit = 5,57 (α = 1%)

Aceita Ho

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Exemplo 4

A tabela abaixo apresenta a resistência de ruptura

realizada em amostras de duas marcas diferentes

de fio dental.

Considerando que os dados estão normalmente

distribuídos e que as variâncias são iguais, pode-

se afirmar, ao nível de 2,5% de significância, que a

resistência média do fio dental da marca A é

significativamente superior à resistência média da

marca B?

Marca Resistência (Pa)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média

A 20,2 23,0 24,2 19,4 21,4 20,8 - - - - 21,5

B 22,3 17,4 21,6 18,8 22,2 20,6 16,4 20,4 18,0 20,8 19,9

Exp

eri

men

tos c

om

um

fa

tor

Experimentos com dois fatores

São considerados, agora, dois tratamentos.

Este tipo de experimentos também recebe o

nome de delineamento de blocos aleatórios,

pois as unidades experimentais são obtidas

aleatoriamente para cada combinação de

tratamentos

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


Valores para ANOVA com dois fatores

Fator A Fator B

Total Nível 1 Nível 2 Nível 3 … Nível b

Nível 1 x11 x12 x13 … x1b A1

Nível 2 x21 x22 x23 … x2b A2

Nível 3 x31 x32 x33 … x3b A3

... … … … … … …

Nível a xa1 xa2 xa3

… xab Aa

Total B1 B2 B3 … Bb T

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

O modelo matemático é:

xij = μ + αi + βj + εij

Onde:

xij é o valor esperado com o efeito do i-ésimo

nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B

μ é a média (constante)

αi é o efeito do i-ésimo nível do fator A

βj é o efeito do j-ésimo nível do fator B

εij é o resíduo (efeito do erro aleatório)


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

As hipóteses são:


0≠ um menos pelo H

====H

i

ao

:

0...:

1

21


====H

j

bo

:

0...:

1

21

1) Efeito do Fator A:

2) Efeito do Fator B:

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma


Fator A a – 1 SQA QMA= SQA/(a – 1) QMA/QMR

Fator B b – 1 SQB QMB = SQB/(b – 1) QMB/QMR

Resíduos (a – 1).(b – 1) SQR QMR = SQR/(a – 1).(b – 1)

Total ab – 1 SQT -

Quadro para ANOVA com dois fatores

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


Os valores para cálculo são:

ab

Tx=SQ ∑∑

a

=i

b

=jijT

2

1 1

2 - ∑a

=iiA=Tsendo

1

:

ab

TA

b=SQ ∑

a

=jjA

2

1

2 -1

ab

TB

a=SQ ∑

b

=iiB

2

1

2 -1

SQR = SQT – SQA – SQB

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Exemplo

A tabela abaixo apresenta o número de peças defeituosas

produzidas por quatro operários trabalhando em três máquinas

diferentes. Faça uma análise de variância considerando os dois

fatores (máquinas e operários) utilizando 5% de significância.

Máquinas Operários

Total B1 B2 B3 B4

A1 35 38 41 32 146

A2 31 40 38 31 140

A3 36 35 43 25 139

Total 102 113 122 88 425

Exp

eri

men

tos c

om

do

is f

ato

res

Exemplo

Máquinas Operários

Total B1 B2 B3 B4

A1 1225 1444 1681 1024 5374

A2 961 1600 1444 961 4966

A3 1296 1225 1849 625 4995

Total 3482 4269 4974 2610 15335

Tabela de xij2

92,28212

425-15335-

22

1 1

2 ==ab

Tx=SQ ∑∑

a

=i

b

=jijT

17,712

425-)139140146(

4

1-

1 2222

2

1

2 =++=ab

TA

b=SQ ∑

a

=jjA

92,21412

425-)88122113102(

3

1-

1 22222

2

1

2 =+++=ab

TB

a=SQ ∑

b

=iiB

SQR = SQT – SQA – SQB = 282,92 – 7,17 – 214,92 = 60,83

Exp

eri

men

tos c

om

do

is f

ato

res

Exemplo

Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma

quadrática

Quadrado

médio Fcalc Fcrítico

Máquinas

(Fator A) 3 – 1 = 2 7,17 3,58

3,58/10,14 =

0,35

5,14

Operários

(Fator B) 4 – 1 = 3 214,92 71,64

71,64/10,14 =

7,06

4,76

Resíduos 2.3 = 6 60,83 10,14 - -

Total 11 282,92 - - -

Quadro para ANOVA com dois fatores

Como Fcalc = 0,35 < Fcrit = 5,14 conclui-se que o fator

máquina não influencia ao nivel de significância de 5% na

igualdade das médias

Como Fcalc = 7,06 > Fcrit = 4,76 conclui-se que o fator

operários influencia ao nível de significância de 5% na

igualdade das médias

Exp

eri

men

tos c

om

do

is f

ato

res

Experimentos com dois fatores repetidos

O modelo matemático é:

xij = μ + αi + βj + (αβ)ij + εij

Onde:

xij é o valor esperado com o efeito do i-ésimo

nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B

μ é a média (constante)

αi é o efeito do i-ésimo nível do fator A

βj é o efeito do j-ésimo nível do fator B

(αβ)ij é o efeito da interação entre αi e βj

εij é o resíduo (efeito do erro aleatório)

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


O modelo matemático das médias é:

( )ijjiij

ijijij

β+β++μ=μ

ε+μ=x

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


As hipóteses são:

0):

0)(:

≠( um menos pelo H

ji, todo para =H

ij1

ijo


====H

i

ao

:

0...:

1

21


====H

j

bo

:

0...:

1

21

1) Efeito do Fator A:

2) Efeito do Fator B:

3) Efeito da interação:

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Fator A Fator B

Total Nível 1 Nível 2 Nível 3 … Nível b

Nível 1

x111 x121 x131

…

x1b1

A1 … … … …

x11r x12r x13r x1br

Nível 2

x211 x221 x231

…

x2b1

A2 … … … …

x21r x22r x23r x2br

... … … … … … …

Nível a

xa11 xa21 xa31

…

xab1

Aa … … … …

xa1r xa2r xa3r xabr

Total B1 B2 B3 … Bb T


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma


Fator A a – 1 SQA QMA= SQA/(a – 1) QMA/QMR

Fator B b – 1 SQB QMB = SQB/(b – 1) QMB/QMR

Interação (a – 1).(b – 1) SQI QMI = SQI/(a – 1).(b – 1) QMI/QMR

Resíduos a.b.(r – 1) SQR QMR = SQR/a.b.(r – 1) -

Total a.b – 1 SQT - -

Quadro para ANOVA


An

ális

e d

e V

ari

ân

cia


Os valores para cálculo são:

abr

Tx=SQ ∑∑∑

a

=i

b

=jijk

r

=kT

2

1 1

2

1

-

abr

TA

br=SQ ∑

a

=jjA

2

1

2 -1

abr

TB

ar=SQ ∑

b

=iiB

2

1

2 -1

SQR = SQT – SQA – SQB – SQR

BA

a

=i

b

=jijI SQSQ

abr

TS

r=SQ ∑∑ ---

1 2

1 1

2∑

r

=kijkij x=S

1

sendo:

An

ális

e d

e V

ari

ân

cia

Exemplo Consumo

de cimento (kg/m3) – A

Tipo de areia - B ∑

Natural Britada

260

3,62 4,23

40,16

3,69 4,96

3,64 4,13

3,69 4,24

3,69 4,27

220

1,63 1,55

15,77

1,73 1,44

1,66 1,57

1,64 1,48

1,49 1,58

180

0,57 1,01

8,31

0,56 1,04

0,58 1,13

0,55 1,19

0,56 1,12

∑ 29,30 34,94 64,24

A tabela apresenta as

resistências à compressão

(MPa) para argamassas

produzidas com dois tipos

de areia e com três

consumos de cimento

diferentes. Avaliar a

influência das variáveis na

média das resistências ao

nível de significância de

5%.

Ex

pe

rim

en

tos

co

m d

ois

fa

tore

s r

ep

eti

do

s

Exemplo Tabela de xij

2

Consumo de cimento (kg/m3) – A

Tipo de areia - B ∑

Natural Britada

260

13,10 17,89

13,62 24,60

13,25 17,06

13,62 17,98

13,62 18,23

220

2,66 2,40

2,99 2,07

2,76 2,46

2,69 2,19

2,22 2,50

180

0,32 1,02

0,31 1,08

0,34 1,28

0.30 1,42

0,31 1,25

∑ 81,81 113,43 195,24 Ex

pe

rim

en

tos

co

m d

ois

fa

tore

s r

ep

eti

do

s

Exemplo

68,5730

24,64-24,195-

22

2

1 1

2

1

==abr

Tx=SQ ∑∑∑

a

=i

b

=jijk

r

=kT

50,5530

24,64-)31,877,1516,40(

10

1-

1 2222

2

1

2 =++=abr

TA

br=SQ ∑

a

=jjA

06,130

24,64-)94,3430,29(

15

1-

1 222

2

1

2 =+=abr

TB

ar=SQ ∑

b

=iiB

SQR = SQT – SQA – SQB – SQR = 0,21

=SQSQabr

TS

r=SQ BA

a

=i

b

=jijI ∑∑ ---

1 2

1 1

2

91,006,1-50,55-30

24,64-)49,582,262,715,883,2133,18(

5

1 2222222 =+++++=SQI

Ex

pe

rim

en

tos

co

m d

ois

fa

tore

s r

ep

eti

do

s

Exemplo

Fonte de

variação

Graus de

liberdade

Soma

quadrática

Quadrado

médio Fcalc Fcrit

Fator A 2 55,50 QMA= 27,75 3171,43 3,40

Fator B 1 1,06 QMB = 1,06 121,14 4,26

Interação 2 0,91 QMI = 0,45 51,43 3,40

Resíduos 24 0,21 QMR = 0,00875 -

Total 29 57,68 - -

Logo, o tipo de areia, o consumo de cimento e a

interação do tipo de areia e consumo de cimento

influenciam no resultado da resistência à compressão.

Quadro para ANOVA

Ex

pe

rim

en

tos

co

m d

ois

fa

tore

s r

ep

eti

do

s

probabilidade e estatística -...

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