Probabilidade e estatística-Mat013

Professora - Hévilla Nobre Cezar

hevilla@unifei.edu.brMestre em Matemática Aplicada

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI - ICE

Ementa Estatística descritiva. Probabilidade. Distribuição de Probabilidade de

variáveis. discretas e contínuas. Amostragem. Distribuição de amostras. Estimativa pontual e intervalar. Teste de Hipóteses. Correlação Linear e regressão.

Objetivo Dominar os conceitos básicos de

estatística e probabilidade, aplicando-os a situações rotineiras na área de trabalho;

Usar pacotes gráficos e estatísticos para agilizar os resultados de uma análise de dados.

Aprender como tratar estatisticamente os dados provenientes da área de trabalho.

Bibliografia

Magalhães, M. N. de; Lima, A. C. P., Noções de Probabilidade e Estatística, ed. EDUSP, edição (2004).

Bussab, W. O.; Morettin, P.A.,Estatística Básica, Editora Saraiva, 4ª edição (1987).

Triola, M.F., Introdução à Estatística, 7ª ou 8ª ed., ed.,LTC.

Estatística

Definição: é a ciência que investiga os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados.

Estatística Descritiva X Estatística Inferencial

população = universo = espaço amostral

EstatísticaEstatística Descritiva

S

EstatísticaEstatística Descritiva

S

0

5

10

15

20

Classes F.A. F.R.10 - 20 2 0,0220 - 30 4 0,0430 - 40 6 0,0640 - 50 12 0,1150 - 60 10 0,0960 - 70 25 0,2470 - 80 12 0,1180 - 90 19 0,18

90 - 100 7 0,07100 - 110 5 0,05110 - 120 3 0,03120 - 130 1 0,01

106

• média• moda• mediana• desvio médio• desvio padrão• assimetria

+ +

classe 1 classe 2

100

90

80

70

60

50

+ +

classe 1 classe 2

++ ++

classe 1 classe 2

100

90

80

70

60

50

Estatística

Inferência estatística é a parte da metodologia da Ciência que tem por objetivo a coleta, redução, análise e modelagem dos dados, a partir do que, finalmente, faz-se a inferência para uma população da qual os dados foram obtidos. Importante - fazer previsões a partir

das quais se podem tomar decisões.

População e amostra

População (universo) = conjunto de todos os possíveis valores de uma variável ou característica.

Amostra = conjunto de observações extraída de uma população.

Tipos de Variáveis

Qualitativas – apresentam como possíveis realizações uma qualidade do indivíduo pesquisado

Quantitativas – apresentam como possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração

Classificação de uma variável

Variável

Qualitativa

QuantitativaContínua

Discreta

Ordinal

Nominal

Software Estatístico

Action Excel Minitab

Apresentação Gráfica

Para variáveis qualitativas Gráficos em barra Gráficos em setores (“pizza”)

Apresentação Gráfica

Para variáveis quantitativas existe uma variedade de representações gráficas Barras Colunas Gráficos de dispersão Histogramas

1

2

3

4

535% 25%

20%15%

5%

Gráfico de Setores – para porcentagem

Distribuição de freqüência

Quando se estuda uma variável, o maior interesse é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações.

Distribuição de freqüência

Análise da variável – grau de instrução

Grau de instrução

Freqüência

Proporção Porcentagem

Fundamenta

MédioSuperior

983

0,450,400,15

454015

Total 20 1,00 100

Freqüência

Freqüência( ) – número de vezes que ocorre as realizações.

in

Proporção ou freqüência relativa

Uma outra medida importante para análise de uma variável, é a proporção de cada realização em relação ao total

Proporção( ) -

onde n = número total de realizações

ifn

nf ii

Porcentagem

A porcentagem é uma medida útil quando se quer comparar resultados de duas pesquisas distintas.

Definição:

Obs: a porcentagem é a freqüência de uma variável em um total de 100 realizações.

ii fP 100

Exemplo 1

Exemplo1

Exemplo

Grau de instrução

Freqüência

Freqüência relativa

Porcentagem

Fundamental

9 0.45 45

Médio 8 0.40 40

Superior 3 0.15 15

Total 20 1.000 100.00

Gráfico de freqüências

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

fundamental médio superior

freqüência

Medidas de tendência central

Média, Mediana e Moda.

Medidas de posição

Utilizam-se as medidas de posição para representar o conjunto de dados.

As medidas de posição central são: Esperança ou média Mediana Moda

Média A Média aritmética de um conjunto de

valores é o valor obtido pela soma dos valores dividida pelo número de total de valores do conjunto.

n

ii

n xnn

xxx

1

1 1...

x – valores distintos de uma variável

n - total de valores do conjunto

Média Quando os valores possuem

freqüências diferentes, definimos a média da seguinte forma:

if

i

n

iinn xfxfxfxfx

1

2211 ...

Onde, é a freqüência relativa

ix é o valor da variável

Mediana

A mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando os valores estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente).

2

)(1

22

2

1

nn

n

xx

x

Xmd

Se n ímpar

Se n par

Moda

A moda de um conjunto de valores é o valor que ocorre com maior freqüência.

Se dois valores ocorrem com mesma freqüência máxima, dizemos que o conjunto é bimodal.

Se mais de dois valores ocorrem com mesma freqüência máxima, dizemos que o conjunto é multimodal.

Exemplo – variável discretaNúmero

Número de filhos

1 0

2 0

3 1

4 1

5 1

6 1

7 2

8 2

9 2

10 3

11 3

12 4

Moda = 1 Mediana =

1+2/2=1.5 Média = 20/12 =

1.666

Exemplo – variável contínua

Classes de Salários

Ponto médio

Freqüência Freqüênciarelativa

[4.00 , 8.00) [8.00 , 12.00)[12.00 , 16.00)[16.00 , 20.00)[20.00 , 24.00)

6.0010.0014.0018.0022.00

1012851

0,27780,33340,22220,13890,0278

Total - 36 1,0000

Moda = 10,00 Mediana = 10,00

Média = 6.00 x 0,2778 + 10.00 x 0,3334 + 14.00 x 0,2222 + 18.00 x 0.1389 + 22.00 x 0,0278 = 11,22

Outras medidas de posição

Quartis, Decis e Percentis

A média e a moda podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados, pois: São afetadas por valores extremos; Apenas com esses dois valores não

temos idéia da simetria da distribuição dos dados.

Para contornar esses fatos, consideramos outras medidas de posição.

Quartis, Decis e Percentis

São medidas de posição convenientes para comparar valores dentro de um mesmo conjunto de dados, ou entre conjuntos de dados diferentes.

Quartis

É uma medida de posição que divide as observações (ordenadas em ordem crescente) em quatro grupos.

Dessa forma, temos três quartis denotados por , e .

2Q 3Q1Q

Quartis - separa os 25% inferiores dos

75% superiores dos valores ordenados

- é a mediana

- separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos valores ordenados

2Q

1Q

3Q

Decis

É uma medida de posição que divide as observações em 10 grupos com cerca de 10% das observações em cada grupo.

Demotamos os decis por: D1 - 10%, D2 - 20%, D3 - 30% , D4 - 40%,

D5 - 50% ,

D6 - 60%, D7 - 70%, D8 - 80% e D9 - 90%

Percentis

Divide os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.

Denotamos por: P1 - 1%, P2 - 2%, , P3 - 3%, ... , P99 -

99%.