probabilidade circa 1914 e a construção de pacheco...

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CINCIAS

Departamento de Estatstica e Investigao Operacional

Probabilidade Circa 1914

e a Construo de

Pacheco dAmorim

Rui Filipe Vargas de Sousa Santos

Doutoramento em Estatstica e Investigao Operacional

(Especialidade de Probabilidades e Estatstica)

2008

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CINCIAS

Departamento de Estatstica e Investigao Operacional

Probabilidade Circa 1914

e a Construo de

Pacheco dAmorim

Rui Filipe Vargas de Sousa Santos

Tese orientada pelo Professor Doutor Dinis D. F. Pestana

Doutoramento em Estatstica e Investigao Operacional

(Especialidade de Probabilidades e Estatstica)

2008

Dissertao apresentada Faculdade de Cincias

da Universidade de Lisboa, para a obteno do grau

de Doutor em Probabilidades e Estatstica.

i

Resumo

Diogo Pacheco dAmorim defendeu a sua tese de doutoramento, intitu-

lada Elementos de Clculo das Probabilidades, em 1914. Nela prope uma

construo rigorosa para a Teoria da Probabilidade baseada no conceito, que

considera primitivo, de tiragem ao acaso. Nesta estruturao o autor co-

mea por admitir um modelo padro, em que o agente da seleco procede

a escolhas (ou a lanamentos) em situao de plena aleatoriedade, com total

conhecimento do espao amostra. Assim, pode deduzir a possibilidade de

cada elemento sem recorrer ao polmico princpio da razo insuficiente de

J. Bernoulli e Laplace. O conceito primitivo de que parte o de probabili-

dade condicionada, ainda que a sua definio no seja geral. Um outro seu

conceito, o de ponto imagem, antecipa muitas ideias subjacentes s variveis

aleatrias, ficando perto de alcanar a definio de funo de distribuio.

Como eplogo, o autor analisa luz das leis limites, Lei dos Grandes Nme-

ros e Teorema Limite Central, os casos onde no somos ns os agentes e/ou

no temos total informao do espao amostra, expondo a sua viso sobre as

aplicaes da Probabilidade, isto , a sua concepo de Estatstica.

Neste trabalho comentaremos as principais ideias apresentadas por Pa-

checo dAmorim na sua tese de doutoramento, comparando-a com trabalhos

da mesma poca, nomeadamente da escola francesa, onde no s salientamos

os aspectos mais inovadores na sua conceptualizao de Probabilidade, mas

tambm mostramos as limitaes de alguns dos conceitos que usa.

Palavras chave: Axiomatizao da Probabilidade, Escolha Aleatria,

Probabilidade Condicional, Fundamentos da Probabilidade, Histria da Pro-

babilidade.

AMS (2000) Subject Classification: 60A05, 01A90.

iii

Abstract

Diogo Pacheco dAmorim presented his thesis Elements of Probability

Calculus in 1914. His main goal was the axiomatization of Probability. He

built up Probability upon the idea of random choice (or random throw); his

concept of possibilities, leading to conditional probability, elegantly solves

the problem of getting unequal probabilities for elementary events. But his

definition of conditional probability is not general. His ideas of image point

are a predecessor of many interesting developments on functions of random

variables, without, unfortunately, inventing the idea of distribution function.

His reconstruction of Fubinnis theorem clearly shows that he is aware of the

richness brought in, in dealing with random vectors, by the concept of de-

pendence. His construction, distinguishing several layers of incomplete kno-

wledge, begins by a thorough investigation of the standard model (random

choice performed by ourselves with perfect knowledge of the sample space);

then, using Bernoullis laws and their consequences, he devises objective ways

of deciding whether a random choice performed by someone else, or even by

a mechanical device, is undistinguishable from random choice performed by

the subject, and thence can be reduced to the standard model.

The main goal of this work is to analyse the contribution to the foundati-

ons of Probability Theory, and the bridge between probability and observed

data, contained in Pacheco dAmorim proposal. We also review other previ-

ous and contemporary contributions to point out the meaning and complexity

of the problem of the foundations of the notion of probability, which is part

of Hilberts sixth problem, and the deep difficulties previous to the definitive

axiomatization by Kolmogoroff in 1933.

Keywords: Axiomatization of Probability, Random Choice, Conditional

Probability, Foundations of Probability, History of Probability.

AMS (2000) Subject Classification: 60A05, 01A90.

Contedo

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xviii

Agradecimentos xix

I Introduo 1

1 Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco

dAmorim 3

II Traduo 17

2 Elements of Probability Calculus 21

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 CHAPTER I Finite sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 CHAPTER II Continuous Probability . . . . . . . . . . . . 47

2.3 CHAPTER III Random Figures . . . . . . . . . . . . . . . 61

v

vi Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

2.3.1 First Part Random rigid figures . . . . . . . . . . . 61

2.3.2 Second Part Random variable figures . . . . . . . . 71

2.4 CHAPTER IV Image Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.2 Law of possibilities and law of probability . . . . . . . 86

2.4.3 A priori and a posteriori laws . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5 CHAPTER V Jacob Bernoullis Theorems and the Error

Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.5.1 First Part Jacob Bernoullis theorems . . . . . . . . 93

2.5.2 Second Part Law of deviations (Error law) . . . . . 113

2.6 CHAPTER VI Mathematical Expectation and Mean Value 124

2.7 CHAPTER VII Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

III A Construo de Pacheco dAmorim 153

O Autor 157

Prefcio 161

Introduo 165

3 Classes Finitas 169

3.1 Elementos e classes possveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.2 Possibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.3 Probabilidade de A em relao a A . . . . . . . . . . . . . . 178

3.4 Teorema da Probabilidade Total e Composta . . . . . . . . . . 189

Contedo vii

3.5 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.6 Frmulas inversas da de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.7 Regra da Sucesso de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.8 Comentrio geral ao captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4 Probabilidade Contnua 221

4.1 Pontos e regies possveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.2 Possibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4.3 Probabilidade de X em relao a X . . . . . . . . . . . . . . 239

4.4 Problema do tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

4.5 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.6 Paradoxo de Borel-Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4.7 Lanamentos em regies ilimitadas . . . . . . . . . . . . . . . 262


5 Lanamento, Sorte, de Figuras 265

5.1 Lanamento, sorte, de figuras rgidas . . . . . . . . . . . . . 266

5.1.1 Problema do encontro dos dois amigos . . . . . . . . . 271

5.1.2 Paradoxo de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.1.3 Problema da Agulha de Buffon . . . . . . . . . . . . . 289

5.2 Lanamento, sorte, de figuras variveis . . . . . . . . . . . . 296

5.2.1 Figuras poligonais abertas . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.2.2 Figuras poligonais fechadas . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.2.3 Curvas flexveis e inextensveis . . . . . . . . . . . . . . 313


viii Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

6 Ponto Imagem 319

6.1 Definio de Ponto Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

6.2 Aplicao do Ponto Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6.2.1 Princpio de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

6.2.2 Primeiro caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

6.2.3 Segundo caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

6.2.4 Terceiro caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

6.3 Lei da Possibilidade e Lei da Probabilidade . . . . . . . . . . . 353

6.4 Leis a priori e leis a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

6.4.1 Leis a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

6.4.2 Leis a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

6.5 Probabilidade composta e Teorema de Bayes . . . . . . . . . . 372

6.5.1 Frmulas inversas da de Bayes . . . . . . . . . . . . . . 374


7 Teorema de Jacob Bernoulli e Lei dos Desvios 379

7.1 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.2 Teoremas de Jacob Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7.3 Ordem de convergncia do nmero de experincias em relao

aos afastamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.4 Probabilidade de um nmero racional . . . . . . . . . . . . . . 425

7.4.1 Os nmeros Normais de Borel . . . . . . . . . . . . . . 429

7.5 Lei dos desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444


Contedo ix

8 Esperana Matemtica e Valor Mdio 461

8.1 Esperana Matemtica e valor mdio em Classes . . . . . . . . 463

8.1.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

8.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

8.2 Esperana matemtica e valor mdio em Regies . . . . . . . . 473

8.2.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

8.2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

8.3 Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

8.4 Problema da curva flexvel e inextensvel . . . . . . . . . . . . 485

8.4.1 Abandonando a hiptese de independncia . . . . . . . 497

8.4.2 Problema de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

8.4.3 Passeios aleatrios em reticulados . . . . . . . . . . . . 525

8.4.4 O movimento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

8.5 Problema da agulha de Buffon tratado como valores esperados 545

8.6 Lei dos Grandes Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

8.7 Propriedades da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559


9 Concluso 573

9.1 Reduo ao fenmeno padro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

9.2 Leis de Bernoulli e anlogas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

9.3 Probabilidade versus certeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

9.4 Informao incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

9.4.1 Primeiro sub-grupo Caso discreto . . . . . . . . . . 586

x Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

9.4.2 Segundo sub-grupo Caso contnuo . . . . . . . . . . 589

9.5 Aleatoriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

9.6 Estatstica circa 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601


IV Concluso 613

10 Comentrio Geral Construo de Pacheco dAmorim 615

10.1 Formalizao da concepo geral de Pacheco dAmorim . . . . 617

10.2 Grundbegriffe de Kolmogoroff (1933) . . . . . . . . . . . . . . 625

10.2.1 Contextualizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

10.2.2 Axiomtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

10.2.3 Variveis Aleatrias e Funo de Distribuio . . . . . 649

10.2.4 Esperana Matemtica e Probabilidade Condicionada . 660

10.2.5 Espaos de dimenso superior e independncia . . . . . 664

10.2.6 Aplicabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

10.2.7 Comentrio aos fundamentos de Kolmogoroff e a verso

condicional de Rnyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

10.3 Os Colectivos de von Mises e a viso frequencista . . . . . . . 679

10.3.1 A axiomtica de Richard von Mises . . . . . . . . . . . 681

10.3.2 O Clculo das Probabilidades nos colectivos . . . . . . 682

10.3.3 Os Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . 689

10.3.4 Independncia versus Estatstica clssica . . . . . . . . 691

10.4 A Permutabilidade de Bruno de Finetti e a viso bayesiana . . 692

Contedo xi

10.4.1 Axiomtica de Bruno de Finetti . . . . . . . . . . . . . 695

10.4.2 Definio de probabilidade e princpio da coerncia . . 696

10.4.3 Aditividade versus -aditividade . . . . . . . . . . . . 701

10.4.4 Probabilidade Condicionada . . . . . . . . . . . . . . . 707

10.4.5 Permutabilidade e Teoremas de Representao . . . . . 710

10.4.6 A viso lgica indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

10.5 Comentrio final construo de Diogo Pacheco dAmorim . . 722

Bibliografia 727

xii Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

Lista de Figuras

2.1 Figure 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Figure 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Figure 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Figure 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Figure 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 Figure 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7 Figure 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8 Figure 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.9 Figure 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.10 Figure 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.11 Figure 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.12 Figure 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1 Lanar, sorte, um ponto numa regio composta . . . . . . . 226

4.2 Lanar, sorte, um ponto num complexo de regies 1 . . . 226

4.3 Lanar, sorte, um ponto num complexo de regies 2 . . . 227

4.4 Lanar, sorte, um ponto num crculo . . . . . . . . . . . . . 231

4.5 Lanar, sorte, um ponto num complexo de regies . . . . . 232

xiii

xiv Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

4.6 Inverso da ordem de lanamento de um complexo de regies 237

4.7 Lanar, sorte, um ponto num quadrado . . . . . . . . . . . 246

4.8 Problemas dos Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.9 Problemas dos Tringulos 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5.1 Lanar, sorte, a regio plana A na regio plana B . . . . . 271

5.2 Problema do encontro de dois amigos . . . . . . . . . . . . . 272

5.3 Problema de Bertrand Soluo de Pacheco dAmorim . . . . 274

5.4 Problema de Bertrand 1a Soluo de Bertrand . . . . . . . 276



5.7 Erro de Pacheco dAmorim no Problema de Bertrand . . . . . 280

5.8 Lanamento, sorte, de pontos num crculo . . . . . . . . . . 281

5.9 Cordas escolhidas aleatoriamente . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.10 Simulao do Problema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 283

5.11 Duas cordas com possibilidades distintas . . . . . . . . . . . . 286

5.12 Problema da Agulha de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.13 Regio de lanamento da agulha . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.14 Campo de variao da agulha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

5.15 O jogo do franc-carreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5.16 Tirar, sorte, a forma de um vrtice . . . . . . . . . . . . . . 297

5.17 Tirar, sorte, a forma de um tringulo . . . . . . . . . . . . . 299

5.18 Tirar, sorte, a forma de um quadriltero . . . . . . . . . . . 300

5.19 Quando um quadriltero sorte sai tringulo . . . . . . . . . 303

Lista de Figuras xv

5.20 Quadrilteros tirados sorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.21 Grficos dos ngulos de um quadriltero . . . . . . . . . . . . 306

5.22 Tirar, sorte, a forma de um pentgono (original) . . . . . . 308

5.23 Tirar, sorte, a forma de um pentgono (alterado) . . . . . . 309

6.1 Leis priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

6.2 Leis posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

8.1 Simulao do Problema curva flexvel . . . . . . . . . . . . . 490

8.2 Simulao do Problema curva flexvel com dependncia . . . . 498

8.3 Passeios aleatrios utilizando distribuio Beta . . . . . . . . 501

8.4 Grfico de f(x) = sin(x)x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

8.5 Grfico de g(x) = 3(

sin(x)x3

cos(x)x2

). . . . . . . . . . . . . . . 510

8.6 Passeios aleatrios com n distinto . . . . . . . . . . . . . . . . 514

8.7 Passeios com normalizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

8.8 Passeios com distncia esperada fixa . . . . . . . . . . . . . . 522

8.9 Passeios aleatrios em reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . 527

xvi Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

Lista de Tabelas

5.1 Simulao do Problema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 283

5.2 Variao dos ngulos de um quadriltero . . . . . . . . . . . . 307

7.1 Valores de enpnq

p

q

em 50 provas com p = 0.5 . . . . . . . 397

8.1 Simulao do Problema curva flexvel . . . . . . . . . . . . . 491



8.4 Simulao do Problema curva flexvel com dependncia Beta . 502

8.5 Quadrado das distncias entre os pontos extremos . . . . . . 513

8.6 Quadrado das distncias entre os pontos extremos . . . . . . 519

8.7 Simulao com processo com limite esperado fixo . . . . . . . 520

8.8 Evoluo de E (d2) em funo de n e . . . . . . . . . . . . . 521

8.9 Distncias entre os pontos extremos . . . . . . . . . . . . . . 523

8.10 Simulao com distncia esperada fixa . . . . . . . . . . . . . 524

8.11 Simulao de pela Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 564

8.12 Simulao de pela agulha de Buffon com = 1 e = 0.5 . . 565

8.13 Simulao de pela agulha de Buffon com = = 1 . . . . . 566

xvii

xviii Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

8.14 Simulao de pelo lanamento de um ponto . . . . . . . . . 567

8.15 Erros de estimao pela frmula de Wallis . . . . . . . . . . . 568

Agradecimentos

Para que fosse possvel a realizao deste trabalho muitos foram os que,

directa ou indirectamente, deram um contributo significativo para a sua con-

cretizao. Por este motivo, gostaria de expressar aqui a minha enorme

gratido a todos aqueles que, de alguma forma, contriburam para este fim,

especialmente:

Ao Professor Dinis Pestana, pelo tema sugerido, pela contnua orientao

e disponibilidade, pela preciso e pertinncia dos comentrios, pela confiana

e apoio desmedido, pelo entusiasmo contagiante e renovado em cada conversa,

pela compreenso e amizade patenteada ao longo deste projecto, bem como

pelas sugestes e crticas imprescindveis concretizao deste trabalho;

Professora Sandra Mendona, pela troca de ideias, sempre proveitosas e

enriquecedoras, que me ajudaram a compreender melhor algumas das teorias

concebidas por Pacheco dAmorim;

Ao Professor Jos Bayolo Pacheco de Amorim, pela sua autorizao na

divulgao da edio diplomtica da traduo da tese de doutoramento do seu

pai, bem como pelo manifesto apoio nesta investigao e na disponibilidade

em partilhar connosco histrias sobre os feitos de Diogo Pacheco dAmorim;

Ao Instituto Politcnico de Leiria e ao Centro de Estatstica e Aplicaes

da Universidade de Lisboa pelas facilidades com que, ao longo dos ltimos

xix

xx Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

anos, me criaram condies favorveis para a concretizao desta dissertao;

Ao Nuno Dias, colega de pesquisa em Histria da Matemtica em Portu-

gal, pelas diversas informaes que me facultou e pela sua contnua preocu-

pao com a minha investigao;

Ao Miguel Felgueiras, colega de gabinete e de pesquisa em Probabilidades,

pela permanente troca de ideias bem como pelo ambiente que me propiciou;

A todos os meus colegas do Instituto Politcnico de Leiria, nomeadamente

do Departamento de Matemtica, pela forma como me encorajaram e confia-

ram nas minhas capacidades, em todas as circunstncias, tornando-me apto

a completar este ciclo;

A todos os meus amigos pelas oportunas manifestaes de companheiris-

mo e de encorajamento que me permitiram manter o nimo sempre elevado;

Ao Nuno, Dalila e ao David pela sua enorme amizade e por estarem

sempre presentes;

Aos meus Pais, Jorge e Antonieta, por toda a dedicao com que me

criaram, desde o seu amor e carinho constantes at ao investimento que efec-

tuaram na minha educao, cuja contnua orientao tornou possvel atingir

esta meta;

Susana e ao Pedro, minhas fontes inspiradoras, por tudo o que abdi-

caram em prol das minhas pesquisas; pelo seu amor infinito, a sua pacincia

ilimitada e a sua confiana inesgotvel, que foram factores determinantes ao

longo deste trabalho, cujo apoio incondicional tornou esta tarefa exequvel.

Dedicatria xxi

Aos meus Pais,

Susana

e ao Pedro.

xxii Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim

Parte I

Introduo

1

Captulo 1

Probabilidade Circa 1914 e a

Construo de Pacheco dAmorim

Le nom seul de calcul des probabilits est un paradoxe: la pro-

babilit, oppose la certitude, cest ce quon ne connat pas?

Cependant, beaucoup de savants minents se sont occups de ce

calcul, et lon ne saurait nier que la science nen ait tir quelque

profit. Comment expliquer cette apparente contradiction?

[Poincar, 1902, p. 210]

No incio do sculo xx, a Teoria da Probabilidade (ou Clculo de Proba-

bilidades como nessa altura apelidada, nomeadamente pela escola francesa)

atravessa um perodo conturbado na sua evoluo.

O Clculo das Probabilidades, para utilizar a mesma nomenclatura que

Hacking (1975), emergiu no sculo xvii com a anlise dos resultados de jogos

de azar (1), sendo habitualmente identificado o despontar desta cincia com

a correspondncia entre Fermat (16011665) e Pascal (16231662) em 1654

(1) Segundo o Dicionrio Etimolgico da Lngua Portuguesa, azar advm do rabe az-

zahar que significa felicidade, acto, caso feliz, dado; segundo o Dicionrio Aurlio azar

tem origem no rabe em az-zahar ou az-zahr e significa m sorte; fortuna adversa;

3

4 Introduo

para resolver os problemas propostos por Chevalier de Mr (16101685)

sobre a fraco da aposta que cabe a cada adversrio quando uma partida

de jogos interrompida antes da concluso.

Os resultados dos jogos de azar so caracterizados por terem duas facetas

primeira vista antagnicas. Por um lado, so descritos por uma desordem

individual, isto , pela impossibilidade de previso de um resultado especfico,

consequncia da incerteza associada a cada um dos resultados particulares

de um jogo de azar (caso contrrio no seria realmente um jogo de azar);

por outro lado, so tambm caracterizados pela sua ordem colectiva, ou seja,

pela regularidade existente quando visualizamos um conjunto (com um n-

mero razovel) de resultados. Os fenmenos caracterizados por esta dupla

faceta, denominados fenmenos aleatrios, so o alvo de anlise da Teoria

da Probabilidade. Todavia, os fenmenos aleatrios no se restringem aos

resultados de jogos de azar.

Ao longo do sculo xvii verifica-se uma crescente observao e coleco de

dados, nomeadamente de tabelas de mortalidade(2), sendo cada vez mais no-

tria a regularidade das frequncias relativas quando temos um conjunto com

um nmero elevado de observaes, tornando-se evidente que os resultados

revs; fatalidade; desgraa; infortnio; casualidade; acaso. Tiago de Oliveira (1991a)

refere que a palavra azar deriva do rabe al azhar que apresenta no s a conotao

que habitualmente lhe damos de m-sorte ou m-fortuna, mas tambm designa acaso,

sendo az-zahar a patrona da fortuna, correspondente deusa Tykhe (ou Tych) da

mitologia grega e deusa Fortuna presente na mitologia romana. Refira-se que estes

deuses simbolizam o acaso dos destinos humanos que, segundo os seus caprichos, ser

benvolo ou malvolo.

(2) Por exemplo, os trabalhos realizados por John Graunt (16201674), John de Witt

(16251672) e Edmond Halley (16561742), para citar algumas das mais importantes re-

ferncias desta poca.

Probabilidade Circa 1914 e a Construo de Pacheco dAmorim 5

dos jogos de azar no so os nicos fenmenos aleatrios(3).

Por este motivo aparecem, nesta poca, as primeiras tentativas de infe-

rncia estatstica, verificando-se um aumento da importncia da Teoria da

Probabilidade na Estatstica, surgindo novos resultados tericos para justi-

ficar esta aproximao, destacando-se a Lei [fraca] dos Grandes Nmeros de

Bernoulli (1713)(4) e os primeiros enunciados do Teorema Limite Central,

inicialmente restritos s provas de Bernoulli, em de Moivre (1738) e Laplace

(1812). Assim, a Teoria da Probabilidade conseguiu, lentamente, libertar-se

da sua inicial dependncia dos jogos de azar, o que leva, por exemplo, Laplace

a afirmar

en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui

ne sont en effet, pour la plupart, que des problmes de probabilit.

[Laplace 1812, Introduction, p. i ]

No entanto, apesar da crescente progresso de interesse da Teoria da

Probabilidade, como ser possvel desenvolver esta teoria sem ter os seus

conceitos bsicos, tais com probabilidade, acaso ou aleatrio, rigorosamente

definidos? Desta forma, sendo essencial obter-se uma definio clara destas

(3) Hacking (1975), Stigler (1986), Bernstein (1998) e Hald (2003) fazem uma boa descri-

o das origens da Teoria da Probabilidade, das suas primeiras obras, no s da sua inicial

dependncia na anlise de resultados de jogos de azar e do clculo combinatrio, como

ainda do seu aumento de importncia na Estatstica com a constatao de regularidade

quando se possui uma grande quantidade de dados.

(4) Esta Lei foi apresentada pela primeira vez por Jakob (ou Jacob, que foi traduzido

para Jacques pelos francfonos, para James pelos anglo-saxnicos e para Giacomo pelos

italianos) Bernoulli (16541705) na quarta parte da sua obra inacabada e pstuma, pu-

blicada pelo seu sobrinho Nicolau Bernoulli oito anos aps a sua morte, sob o ttulo de

Ars Conjectandi (A arte de conjecturar). Este resultado foi depois designado por Lei

dos Grandes Nmeros por Poisson (1837, p. 7), sendo ainda hoje um dos resultados mais

importantes da Teoria da Probabilidade e da sua ligao Estatstica.

6 Introduo

noes, ao longo do sculo xix diversas obras debatem quer as possveis

definies destes conceitos quer os limites de aplicabilidade desta cincia.

Porm, a obteno de uma definio rigorosa de alguns destes conceitos uma

tarefa delicada, como podemos deduzir das seguintes palavras de Bertrand

(18221900).

Comment oser parler des lois du hasard? Le hasard nest-il pas

lantithse de toute loi? En repoussant cette dfinition, je nen

proposerai aucune autre.

[Bertrand, 1888, p. vi ]

Assim, neste perodo sentida uma insatisfao geral na definio de pro-

babilidade baseada na equiprobabilidade, principal definio adoptada desde

a publicao da obra prima de Laplace (17491827), Thorie Analytique des

Probabilits em 1812(5). Nesta definio, actualmente denominada clssica

ou laplaceana, a probabilidade de um dado acontecimento igual ao quo-

ciente entre o nmero de casos favorveis a esse acontecimento e o nmero

total de casos possveis, sob a hiptese de os casos serem igualmente provveis

(equiprobabilidade) e serem em nmero finito. As hipteses, excessivamente

restritas, subjacentes a esta definio tornam necessria uma nova definio

de probabilidade, de forma a incluir as situaes em que no existe equi-

probabilidade dos acontecimentos ou situaes onde o universo no finito,

quer este seja numervel ou no (contnuo). Todavia, parece haver um certo

cepticismo na possibilidade de existncia de uma definio mais geral de pro-

babilidade, bem patente nas seguintes palavras de Poincar (18541912).

On ne peut gure donner une dfinition satisfaisant de la Proba-

bilit. On dit ordinairement: la probabilit dun vnement est le

(5) Ian Hacking (1975) identifica a origem da utilizao da equipossibilidade (ou equi-

probabilidade) num memorandum intitulado De incerti aestimatione de Leibniz que data

de 1678.


rapport du nombre des cas favorables cet vnement au nombre

total des cas possibles.

[Poincar, 1896, pg. 24]

H ainda a acrescentar, para salientar as dificuldades sentidas nesta pro-

cura de uma definio mais geral de probabilidade, um descrdito na Teoria

da Probabilidade devido existncia de inmeros paradoxos, como os apre-

sentados por Bertrand em 1888. Um dos paradoxos (Bertrand 1888, p. 45),

actualmente conhecido por paradoxo de Bertrand, consiste em apresentar trs

possibilidades distintas de resoluo de um problema, qualquer uma delas ri-

gorosamente coerente e em consonncia com uma abordagem intuitiva, mas

que fornecem trs valores distintos para a probabilidade pretendida. Outro

paradoxo apresentado por Bertrand (1988, p. 4) coloca em causa a extenso,

muitas vezes utilizada, da definio clssica probabilidade contnua, isto

, utilizando uma medida representativa da sua proporo geomtrica (com-

primento, rea, volume) e definindo a probabilidade de uma regio (regio

favorvel) como sendo o quociente entre a sua medida e a medida da regio

total (universo) sob a hiptese de a probabilidade ser proporcional medida e

a medida do universo ser finita (interpretao geomtrica de probabilidade).

Deste modo, a Teoria de Probabilidade , nesta altura, assombrada por

diversos paradoxos(6) que ilustram a ambiguidade existente em diversas no-

es bsicas tais como a escolha ao acaso (au hasard), sendo necessria a

construo de uma teoria que clarifique estes conceitos.

Apesar desta depreciao na Teoria da Probabilidade, existe uma enorme

motivao na procura de uma definio mais geral de probabilidade. Um dos

factores determinantes a crescente importncia da Teoria da Probabilidade

na Fsica, pois nesta altura que surgem as primeiras ideias que iro dar ori-

(6) Szkely (1986) explora bem diversos paradoxos na evoluo da Teoria da Probabili-

dade e da Estatstica.

8 Introduo

gem, na terceira dcada do sculo xx, Mecnica Quntica e ao paradigma

da incerteza aplicado ao mundo microscpico. Provavelmente por este motivo

David Hilbert (18621943), um dos matemtico mais notveis da poca, na

sua famosa alocuo no Congresso Internacional de Matemtica de Paris de

1900(7), expe um conjunto de 23 problemas por resolver que deveriam orien-

tar a investigao em Matemtica durante o sculo xx, consistindo um desses

problemas, o sexto, na axiomatizao das reas da Fsica onde a Matemtica

desempenha um papel predominante, figurando o Clculo das Probabilidades

e a Mecnica como as primeiras da lista. Desta forma, David Hilbert desafia

a comunidade matemtica a procurar uma fundamentao rigorosa para a

Teoria da Probabilidade a fim de que esta possa ser tratada de uma forma

axiomtica, como as outras reas da Matemtica, de modo a ser utilizada

sem ambiguidade. Plato (1994) refere diversas tentativas frustradas de axio-

matizao da probabilidade anteriores ao tratado de Kolmogoroff, que surge

em 1933, onde se apresenta a primeira axiomatizao de probabilidade que

definitivamente resolve os paradoxos patentes nesta teoria, intitulada Grund-

begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie e traduzida para ingls em 1950 por

Foundations of the Theory of Probability. Esta axiomtica baseia-se nas ca-

ractersticas das funes de conjuntos, nomeadamente na rea actualmente

denominada por Teoria da Medida, definindo probabilidade como uma me-

dida em que a probabilidade do universo unitria. Contudo, as bases para

que a probabilidade fosse tratada como uma medida foram criadas, essencial-

mente, por mile Borel (18711956), Henri Lebesgue (18751941), Maurice

Frchet (18781973), Constantin Carathodory (1873-1950), Johann Radon

(18871956), Otto Nikodym (1889 1974), entre outros, algumas das quais

so posteriores tese de doutoramento de Diogo Pacheco dAmorim.

neste panorama, antecedente aos fundamentos de Kolmogoroff e a resul-

(7) Estes problemas podem ser consultados em Hilbert (1902).


tados que permitiram uma maior abstraco na Teoria da Medida, que sur-

gem os Elementos de Clculo das Probabilidades de Diogo Pacheco dAmorim,

em 1914, sendo objectivo do autor, conforme enuncia no Prefcio da sua

obra, responder ao desafio de David Hilbert, isto , fornecer resposta aos pro-

blemas que na poca assombravam a Teoria da Probabilidade, generalizando

a definio de probabilidade e clarificando os conceitos bsicos desta Teoria,

de forma que esta consiga desenvolver-se sem ambiguidade ou paradoxos.

Assim, Pacheco dAmorim procura dar uma definio mais geral de pro-

babilidade, assentando a construo da sua teoria na proposio, que con-

sidera primitiva, de tirar, sorte, um elemento de uma classe finita (ou,

o correspondente para a probabilidade contnua, lanar, sorte, um ponto

numa regio limitada), considerando que esta proposio perfeitamente

clara quando somos ns os agentes da tiragem e desfrutamos de total conhe-

cimento do espao amostra. Pacheco dAmorim constri toda a teoria sob

estas hipteses, generalizando na Concluso da sua obra quer para o caso

em que a tiragem de um elemento (ou lanamento de um ponto) no efec-

tuada por ns, mas por um ser semelhante a ns ou por um agente de outra

natureza, quer para a situao em que ns no possumos total informao

do espao amostra.

Com base no seu conceito primitivo, Pacheco dAmorim define possibi-

lidade de uma classe (regio) para posteriormente definir probabilidade de

uma classe (regio) A em relao a outra classe (regio) A que contm a

primeira. Desta forma, para Pacheco dAmorim, a probabilidade de uma

classe (regio) s est definida em relao a outra classe (regio), pelo que a

definio de probabilidade de Pacheco dAmorim corresponde ao conceito de

probabilidade condicionada actualmente utilizado, restrito ao caso em que

A A(8). De facto, com a sua construo, Pacheco dAmorim consegue ge-

(8) Refira-se que Pacheco dAmorim no o nico que define probabilidade somente na

10 Introduo

neralizar o conceito de probabilidade para acontecimentos no equiprovveis

atravs de uma elaborada construo de complexos de classes (regies).

Um outro aspecto que consideramos notvel na tese de doutoramento de

Pacheco dAmorim a sua constante tentativa de aproximar Probabilidade

e Medida, apresentando, no captulo Ponto Imagem, uma admirvel cons-

truo que nos permite passar de um ponto lanado sorte directamente

numa regio (distribuio uniforme na regio) para outro que sua imagem.

Desta forma o autor obtm a funo densidade de uma varivel aleatria,

ou lei de possibilidade de uma regio, como ele a denomina, que pode ser

distinta da uniforme sem ser necessrio recorrer aos complexos de regies.

Assim, parece-nos que Pacheco dAmorim fica prximo de obter a definio

moderna de varivel aleatria, faltando-lhe o conceito de funo de distri-

buio, noo que actualmente fundamental para a construo da Teoria

da Probabilidade. Ainda no mesmo captulo, Pacheco dAmorim apresenta

uma notvel reconstruo do Teorema de Fubinni (ou Teorema de Fubinni-

Tonelli), usando a noo de projeco e de condicionamento, permitindo

abordar o clculo de integrais mltiplos de forma simples, com integrais ite-

rados.

Parece-nos que, nesta parte da sua obra, Pacheco dAmorim tem um

mrito excepcional no trabalho que desenvolve, demonstrando ter a intuio

de que a Teoria da Medida o caminho correcto para a construo rigorosa da

Teoria da Probabilidade, antecipando, de certa forma, as ideias notveis de

Frchet de que probabilidade uma faceta de medida, e que os instrumentos

para tratar probabilidade e integral so os mesmos.

Temos que admitir, contudo, que a sua obra , por vezes, pouco clara.

situao de condicionamento, pois, por exemplo, Keynes (1921), de Finetti (1937), Jeffreys

(1939) ou Rnyi (1955) tambm o fazem, apesar de a sua fundamentao ser bem distinta

da apresentada por Pacheco dAmorim em 1914.


Uma das razes assenta na notao adoptada, que pouco diversificada,

sendo utilizado o mesmo smbolo para diversos objectos, como, por exemplo,

quando o autor utiliza (A), que entre outras coisas pode significar um ele-

mentos da classe (A), a prpria classe (A), o nmero de elementos da classe

(A), um ponto de uma regio (A), a prpria regio (A), a medida da regio

(A). Outra razo que contribui para aumentar a dificuldade de interpretao

de algumas afirmaes de Pacheco dAmorim a escassa, quase inexistente,

bibliografia por ele usada. O autor, ao longo de toda a sua obra, limita-se

a fazer, em notas de rodap, sete referncias a cinco obras: aos clssicos J.

Bernoulli [Ars Conjectandi ] e Laplace [Essai Philosophique sur les Probabi-

lits ], e aos seus contemporneos H. Poincar [La Science et lHypothse],

E. Borel [lments de la Thorie des Probabilits] e Bertrand [Calcul des

Probabilits ] que pertencem escola francesa de probabilidades. Refira-se

tambm que, destas sete referncias, uma feita no Prefcio e cinco na

Concluso da tese, restando apenas uma referncia ao longo do desenvol-

vimento da sua teoria. Desta forma, torna-se difcil distinguir o que criado

por Pacheco dAmorim do que reconstrudo com base em outras obras por

ele consultadas.

Torna-se, tambm, delicado interpretar algumas afirmaes do autor, de

entre as quais salientamos, pela estranheza que nos causaram, particular-

mente trs. A primeira encontra-se numa referncia ao Teorema de Bayes,

ao afirmar que:

errnea a deduo que desta frmula se faz nos livros de pro-

babilidade

[Pacheco dAmorim, 1914, p. 27]

quando, por exemplo, Laplace (1774, 1812) parece dominar bem o assunto.

Refira-se, contudo, que Pacheco dAmorim no o nico insatisfeito com

as demonstraes deste teorema existentes na poca, pois Bertrand (1888, p.

12 Introduo

2526) e, alguns anos mais tarde, Keynes (1921, p. 176) tambm mostram um

certo descontentamento com as fundamentaes normalmente apresentadas

na poca acerca da frmula de Bayes. Todavia, parece-nos que as dificuldades

sentidas por Pacheco dAmorim se devem ao facto de a sua definio de

probabilidade condicionada P (A | B) = P(A)P(B)

ser restrita ao caso A B,pois, se esta definio fosse estendida para o caso geral, por exemplo atravs

de P(A | B) = P(A B | B), teria obtido a definio de probabilidadecondicionada actualmente utilizada, o que levaria a uma demonstrao do

Teorema de Bayes menos penosa.

A segunda afirmao enigmtica a que nos referimos resulta da distino

que o autor faz entre esperana matemtica e valor mdio, mencionando em

nota de rodap:

Embora esta distino entre esperana matemtica e valor mdio

no costume vir explicitamente feita nos livro de probabilidades,

todos os autores do a estes termos a significao que acabamos

de atribuir-lhes.


Ora, nas obras da poca por ns consultadas, no identificamos, nem

implicitamente nem explicitamente, esta distino (pelo menos de forma se-

melhante utilizada por Pacheco dAmorim). H, ainda no captulo dedicado

esperana matemtica e valor mdio, outra afirmao bastante misteriosa:

O valor provvel do quadrado da distncia que separa os pontos

extremos duma curva flexvel, lanada sorte sobre um plano,

nulo, qualquer que seja o comprimento da curva, logo que seja

finito.


Se o quadrado da distncia, que naturalmente no assume valores nega-

tivos, tem valor esperado nulo, ento Pacheco dAmorim est a afirmar que,


se lanarmos sorte uma curva flexvel e inextensvel sobre um plano (com

comprimento finito e fixo) vamos obter quase certamente uma curva fechada.

No nos parece tal ideia aceitvel.

O captulo do Lanamento, sorte, de figuras decepcionante,

no sendo decifrveis as intenes do autor. Com as suas definies de lan-

amentos de figuras consegue, de facto, obter uma nica resposta para o

problema (paradoxo) de Bertrand. Contudo, acrescente-se ainda que, ao

contrrio das trs resolues apresentadas por Bertrand (1888, p. 45), a

soluo de Pacheco dAmorim no satisfatria, pois nela no existe uma

correspondncia biunvoca entre o ponto lanado sorte e as cordas, isto , a

cada ponto no corresponde uma nica corda e vice-versa, enquanto nas trs

propostas de resoluo de Bertrand esta relao verificada (com excepo

de, numa das solues, o centro da circunferncia que um conjunto singular,

de medida nula). Todavia, neste captulo, o autor resolve o problema da agu-

lha de Buffon utilizando um argumento interessante e porventura inovador,

que para a discusso da probabilidade no necessrio considerar o plano

R2, sendo suficiente considerar um paralelograma com uns lados paralelos s

rectas da folha e os outros paralelos direco achada para a agulha (uti-

lizando a Proposio IX do Captulo II, pois todos os paralelogramas assim

definidos possuem a mesma probabilidade e a Definio IV pelo facto de ser

possvel obter uma regio plana to grande quanto se queira com a unio de

paralelogramas assim definidos).

H, tambm, a salientar, pela negativa, alguns erros incompreensveis.

Referimo-nos, por exemplo, s frmulas inversas do Teorema de Bayes

aquando da anlise das classes finitas (p. 27 e 28), onde atravs de Pi

=

ip

i

kp

k

deduz (correctamente) a frmula de i

=P

i

pi

( Pk

pk

)1e induz (er-

radamente), justificando-se pela simetria da primeira frmula em relao a

ie a p

i, que p

i=

Pi

i

( Pk

k

)1, esquecendo-se que na deduo da primeira

14 Introduo

utiliza o facto de

i= 1 que, obviamente, no pode utilizar na segunda,

poisp

i6= 1 (provavelmente uma das razes deste erro a sua notao no

ser clara, no especificando que pidepende quer das causas quer dos efeitos,

pois trata-se de uma probabilidade condicionada).

Em relao ao tratamento dos teoremas limite (resultados assimptticos),

onde dada maior importncia Lei dos Grandes Nmeros que ao Teorema

Limite Central, consideramos que Pacheco dAmorim vacila entre os dois ex-

tremos qualitativos opostos. Por um lado, a sua anlise decepcionante pelo

facto de ser restrita a uma linha clssica de aproximar probabilidades (em

provas de Bernoulli com probabilidade fixa p) atravs da regra de Stirling,

no se ocupando do contexto mais geral de considerar uma sucesso de vari-

veis aleatrias convergentes para uma varivel aleatria gaussiana, problema

deveras mais delicado, cuja anlise exige outro tipo de ferramentas mais so-

fisticadas, como as transformadas de Laplace. Desta forma, parece-nos que o

autor desconhece os resultados obtidos pela escola russa, como, por exemplo,

as demonstraes de Markoff (1913) dos resultados obtidos por Lyapounov

em 1901. Contudo, mesmo tendo em considerao o alheamento do autor em

relao a estes resultados seus contemporneos, Pacheco dAmorim poderia

ter tentado ir mais longe, pois j Laplace (1812) e Poisson (1837) analisam

esta situao, apesar de no fornecerem demonstraes rigorosas, e este te-

orema assume um papel preponderante na Teoria da Probabilidade, razo

pela qual Plya (1920) o denominou por Teorema Limite Central. Por outro

lado, existe uma originalidade na justificao de que a convergncia para a

distribuio gaussiana (lei dos desvios) s se verifica se a ordem do nmero

de provas relativas ao afastamento a segunda, justificando este resultado

pela demonstrao de que, considerando um valor qualquer positivo e o

nmero de sucessos a mais relativamente ao nmero de sucessos esperado, a

probabilidade de > mn

n+1 para n > 1 converge para zero e a probabilidade


de < m1n quando n > 2 tambm converge para zero(9).

Apesar dos erros contidos na sua obra e de algumas afirmaes obscu-

ras, as ideias apresentadas por Pacheco dAmorim, quer a sua abordagem

filosfica na construo da probabilidade e na sua aplicao, quer na apro-

ximao constante entre o tratamento integral e probabilidade, quer a sua

demonstrao do Teorema Limite Central, so de uma originalidade e de uma

riqueza invulgar, razo pela qual consideramos urgente uma anlise cuidada

desta obra. Vamos, ento, apresentar uma anlise detalhada dos principais

assuntos dissecados por Pacheco dAmorim na sua tese de doutoramento inti-

tulada Elementos do Clculo das Probabilidades. Desta forma, comearemos

por expor, na segunda parte deste trabalho, a traduo para Ingls da tese

de doutoramento de Pacheco dAmorim efectuada em colaborao com o

Professor Doutor Dinis Pestana e a Professora Doutora Sandra Mendona.

Na Terceira parte, que intitulamos A construo de Diogo Pacheco

dAmorim, comentaremos os Elementos do Clculo das Probabilidades ca-

ptulo a captulo, isto , vamos expor a construo de Pacheco dAmorim tal

e qual como o autor a concebeu, ilustrando a sua validade e as suas limita-

es e comparando os seus resultados com os patentes nas principais obras

internacionais disponveis na poca (onde nos centramos na escola francesa

pelo facto desta constituir a principal fonte bibliogrfica do autor). Fina-

lizaremos este trabalho com uma apreciao geral tese de doutoramento

de Pacheco dAmorim onde apresentaremos, com o objectivo de salientar a

riqueza da proposta de Pacheco dAmorim, outras construes posteriores

sua obra, tais como as axiomticas de Kolmogoroff e de Rnyi, fundamenta-

(9) Na verdade, no encontramos este tratamento em mais nenhuma obra na poca e

Manuel dos Reis (1929) atribui, na sua tese de Doutoramento, a primazia destes resultados

a Pacheco dAmorim (apesar de considerar que estes poderiam ser obtidos como corolrios

do Teorema de Moivre-Laplace, como ilustraremos no captulo 7).

16 Introduo

das na Teoria da Medida, a viso frequencista de Richard von Mises, baseada

em colectivos, e a interpretao bayesiana personalista de Bruno de Finetti,

fundada na permutabilidade.

Parte II

Traduo

17

Elements of Probability Calculus 19

Traduo

Esta parte tem como finalidade apresentar a traduo, para Ingls, da

tese de doutoramento de Pacheco dAmorim que foi efectuada em colabora-

o com o Professor Doutor Dinis Pestana e a Professora Doutora Sandra

Mendona, estando disponvel on-line(10) com um formato diferente. Na ver-

so disponvel na Internet houve o cuidado de paginar de acordo com a obra

original, correspondendo cada pgina da traduo pgina com igual nume-

rao do original, pelo que o ficheiro disponvel contm, lado a lado, o fac

simile da obra e a respectiva verso em ingls. Na traduo que de seguida

apresentamos o aspecto foi alterado com o objectivo de melhorar a apre-

sentao e esta no se tornar demasiado longa, mas mantendo o contedo.

Saliente-se que, nesta traduo, o principal objectivo foi obter um texto que

espelhasse as ideias concebidas por Diogo Pacheco dAmorim. Neste sentido,

da parte dos tradutores, houve a tentativa de apresentar, com o maior rigor,

a fundamentao de Pacheco dAmorim, tentando no proceder a qualquer

interpretao ou aperfeioamento, por maior que fosse a inclinao natural

para faz-lo. Todavia, com o objectivo de tornar mais clara a sua leitura, si-

tuaes houve onde sentimos a necessidade de alterar ligeiramente a notao

e, em alguns casos, efectuar algumas correces (que assinalmos em forma

de nota de rodap).

Deste modo expomos, de seguida, a traduo dos Elementos de Clculo

das Probabilidades de Diogo Pacheco dAmorim.

(10) Consultar, por exemplo, em

www.estg.ipleiria.pt/rsantos/Elements_of_Probability_Calculus.pdf.

20 Elements of Probability Calculus

Captulo 2

Elements of Probability Calculus

Preface

This volume, for which the title An Essay Towards Rationalizing Proba-

bility Calculus would perhaps be more appropriate, gives an outstanding

role to a concept that, until now, never got the relevance it deserves the

concept of extracting, at random, an element from a set or of throwing, at

random, a point in a region.

Henri Poincar(1) goes as far as saying that such a statement has, by

itself, no meaning. But the truth is that this proposition has a very clear

and precise meaning for the agent of the random extraction or of the random

throw, and this allows us to construct the theory of probability with clarity

and rigor. Starting from this primitive concept, the theory of probability

can be reduced to a systematic sequence of propositions and definitions, as

any other branch of pure mathematics. In this approach, discontinuous and

continuous probability are identical in all aspects, and paradoxes have no

place in the ensuing theory.

(1) H. POINCAR, La Science et lHypothse, p. 226.

21


Once the theory of probability of random extractions and of random th-

rows done by ourselves has been built, its extension to phenomena whose

outcomes are similar to extractions or throws performed by agents similar to

us is rather easy, in case the extractions are done under some rigid circums-

tances.

The theory thus constructed can be applied to the study of natural pheno-

mena, insofar as we reject, a priori, the determinist hypothesis, that, in fact,

is incompatible with probability theory; under this proviso, the application

is easily done.

The perspective we have adopted led us to change the form and the

essence of Probability. We had to generalize the definition of probability, a

generalization needed to prove Bayes formula, and absolutely unavoidable in

the study of continuous probability, as we can see in problem 3, page 48.

We had to distinguish the probability of one point from the probability of

another point which is the image of the first one, and from this the concept

of probability law emerged, etc.

The order of presentation couldnt, therefore, conform to the classical

one.

In this book, continuous probability is presented in parallel with dis-

continuous probability, and with the development it deserves. Bernoullis

theorems are a natural follow up, since they can be applied to both disconti-

nuous and continuous probability. After Bernoullis 3rd theorem, we present

some variants and extensions, necessary to establish the error law with the

rigorous demonstration its usual presentation lacks. We next develop the

theory of Mathematical Expectation, since the importance of this concept is

more evident with the application of Bernoullis 3rd theorem than with the

definition of mathematical expectation itself. Finally, we broaden the scope

Introduction 23

of applications of Probability, dealing with phenomena of which we are not

the agents. We also postpone until the end a classification of the phenomena

that are the object of this science, since we believe that the classification

is clear and rational after a deep understanding of how Probability deals

with the standard phenomenon, discussed in the Introduction, and develo-

ped in the core of this thesis. I had in mind to finish with a justification

of our concept of probability, and to add an Appendix developing the study

of probability in denumerable sets; but the unusual extension of the present

dissertation persuaded me to postpone the publication of these matters.

Introduction

The aim of Probability Calculus, as of any other science, is to find associations

relating known facts to other facts that, although being unknown, can be

related to the former ones.

We begin by an example, illustrative of what we consider our [degree of]

knowledge of the facts.

Suppose that one urn contains balls, identical in all aspects save, eventu-

ally, in their color.

There are three possible situations:

1. we do not know the colors of the balls in the urn, and therefore we do

not know the percentage of each color, as well;

2. we know the colors of the balls [for instance, there are white balls and

there are black balls], but we ignore the percentage of the balls of each

color;

3. we know the colors, and the percentage of balls of each color in the urn.


A ball will be randomly extracted from the urn, and we have to bet on

the color of the ball.

What bet should we choose?

In the first case, the question doesnt make sense. As we do not know

anything about the colors present in the urn, there is no reason whatsoever

to prefer any color to bet in.

In the second case, our ignorance has been moderated, since we know

that the ball that will be extracted can be either white or black.

But as we still ignore the percentage of balls of each color, there are no

grounds to decide which bet to take.

On the other hand, in the third case, assuming for instance that we know

that 90% of the balls are white, we would surely decide to bet that a random

extraction would produce white ball.

Obviously, we do not know for sure the color of the ball that will be

extracted, it can be black or white, but we do not hesitate in choosing white

as the sensible bet.

This distinguishes the third case from the former ones. It can serve as an

example on how to take rational decisions with incomplete information.

For this reason we shall say that the third case describes a known urn.

The third case deals with random extractions from one urn whose com-

position is qualitatively and quantitatively known.

We shall assume that any phenomenon whose outcomes can be identified

with random extractions of balls from one urn of qualitatively and quan-

titatively known composition is explained once that identification has been

made. More generally, we consider explained any phenomenon which can be

identified with a random selection of elements in a finite set, qualitatively

Introduction 25

and quantitatively known.

As we have seen, we have distinguished the third case as known, because

it can serve as a standard model on how to take decisions under uncertainty,

i.e., under circumstances that we synthesized in the form of taking a bet.

Let us analyze in more detail the reasons that led us, in that example, to

bet in white color.

The first reason was, indeed, the fact that we knew that more white

balls than black balls existed in the urn, or, as stated in the example, the

percentage of white balls was larger than the percentage of black balls.

The second one was the knowledge that the extraction was performed at

random.

If one of these assumptions is withdrawn, there is no rationale for choosing

to bet white ball.

The reason why the first condition is an argument in favor of betting in

white ball comes from Arithmetic; the explanation why the second condition

is needed can be found only in the emerging science of Probability.

In that science we will therefore take the statement

to extract an element, at random, from a finite set

as a primitive concept in this branch of Mathematics.

We shall build Probability Calculus starting from this primitive concept.

It is worth observing that we didnt choose the concept randomness or

uncertainty as the primitive concept upon which the theory of Probability

would be constructed, since these concepts are vague, and as such inadequate

to serve as the foundation for any science; our choice has been quite different,

the concept of extracting an element, at random, from a finite set.


Some could accuse us of using a foundation as vague as the concept of

randomness, since this concept is used in our primitive statement.

However, in the statement we choose as primitive, it is immaterial whether

the formulation at random is or isnt vague, insofar as the proposition using

it can be understood and expresses an idea that can guide our choices and

decisions under precise circumstances.

Whatever we say about this proposition is irrelevant either from the

mathematical viewpoint or in the perspective of applications.

The same could be said about the concepts of space in Geometry, or of

time in Mechanics.

The discussion of these concepts is irrelevant in Mathematics, they are

from the scope of Philosophy. Mathematics would be the same theoretical

construct if these concepts didnt exist. The knowledge of what we consider

Geometry and Mechanics would be latent in the symbolism of Mathematical

Analysis, and no more, but this knowledge would still be valid, although less

visible.

The usefulness of the concepts space and time can be compared to the

usefulness of coloring reagents in Chemistry: they enhance the visibility of

the phenomena, but these exist independently of being or not being enhanced

by the coloring reagent.

An important question must be raised at once: how can we distinguish

between random and non-random extractions?

It is obvious that there are extractions that are non-random, and therefore

we need a criterion to distinguish random from non-random extractions.

To construct such criterion, we shall assume that any individual knows

whether an extraction has been made at random if the extraction has been

made by him.

Introduction 27

Under this assumption, we shall build up a theory of probability, which is

a subjective science, as all pure science is. This theory will allow us to cons-

truct a criterion to distinguish between random and non-random extractions,

when we are not, ourselves, the agent performing the extraction.

This area of Probability Calculus is at the onset of applications.

The usefulness of science is its general ability to forecast events with an

approximation considered good enough in practical applications.

This pragmatism seems unfeasible in Probability Calculus.

In effect, how could we predict the color of the ball that will be extracted

from one urn containing two white balls and one black ball?

It is obvious that Probability Calculus is unable to make an useful pre-

diction, in this situation.

If instead of two white balls and one black ball, the urn composition was

one thousand white balls and one black ball, prediction of the outcome of

a random extraction would still be impossible, but to our intuition it would

seem more plausible to forecast that a white ball would be extracted.

The practical usefulness of Probability Calculus lies in this evaluation of

the degree of probability of a future event, and in the ensuing confidence

that our intuition attaches to the plausibility of events whose probability

approximates certitude.

Confidence based in probability will, in its essence, be different from cer-

titude, no matter how nearly the percentage of white balls in the urn appro-

ximates 1. But this doesnt deface the real practical usefulness of Probability

in decision making under incomplete or unreliable information.

What we have said about random extractions of elements from a finite

set can also be said about randomly throwing points in a bounded region of

space, in any number of dimensions.


2.1 CHAPTER I Finite sets

We shall denote A, B, . . . sets with a [finite] number of elements.

The symbol A B will denote the set of ordered pairs (a, b), obtainedfrom the sets A and B, by associating each a A with each b B.

The symbol #A denotes the cardinal of the set A.

With these notations, it is obvious that

#AB = #A #B.

Each ordered pair (a, b) AB is said to be compound of a and b.

The set A B is compound from the sets A and B. A set composed ofcompound elements (a, b) is not, necessarily, a compound set.

Primitive concept

a)

We consider the statement to extract, at random [or to select], an element

from the set A as having a self evident meaning, and henceforth needing no

further explanation; in other words, to select, at random, an element from a

finite set is considered a primitive concept.

b)

The statement a is a randomly chosen element from the set A has the

same meaning; b) is better suited to the formal symbolism of mathematical

logic, while a) is more appropriate for the natural language.

From the above assertions, the propositions randomly extracting a card

from a card deck, randomly throwing a die (randomly selecting of one die

CHAPTER I Finite sets 29

face), randomly extracting a ball from an urn, etc., do not need further

explanation.

DEFINITION 1

Randomly extracting an element from A, or B, or C, . . . , is the same as

randomly taking an element from A B C , the set having all theelements from the sets A, B, C, . . .

DEFINITION 2

a)

Randomly extracting an element from A and, [independently,] another

from B is, by definition, the same as randomly extracting an element from

AB.

b)

Randomly extracting an element from A, another from B and another

from C, [the extractions being mutually independent] is, by definition, the

same as randomly extracting an element from A B and another from C,etc.

According to this definition, randomly choosing a suit and then randomly

choosing a number(2), [independently,] is the same as randomly choosing a

card from the card deck.

(2) In this context the numbers are 1 or ace, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knave, queen, king,

i.e. the card value, whichever the suit.


DEFINITION 3

a)

Let us associate to each a A a set Ba, and denote {a} B

athe set of

ordered pairs {(a, b) : b Ba}.

Randomly extracting an element from A and another element from the

corresponding set Ba

is, by definition, the same as randomly extracting an

element (a, b) from ABa.

b)

If to each b Ba

we associate a set Cb, randomly extracting an element

from A, another element from the corresponding set Ba

and another element

from the corresponding set Cb

is, by definition, the same as randomly extrac-

ting an element (a, b, c) from ABa C

b.

Possibility

1 Possible elements

According to the above definitions, random extractions have a meaning

either in a single set (primitive concept, definitions 1 and 2) or in a complex

of sets [definition 3, a) and b)].

All depends on the extracting system, and on the sets from where the

extractions are performed.

When the extractions are performed from a single set, or performed in

such a way that they are equivalent to extractions from a single set (primitive

concept, definitions 1 and 2), we say that all the elements from that set are

possible.


When the extractions are sequentially performed from a complex of sets,

as explained in definition 3 a), we say that the possible elements are those in

A ;

B =

aA{a} B

a.

On the other hand, in what concerns definition 3 b), the possible ele-

ments are those that can be sequentially extracted randomly choosing a A,and then randomly choosing one element b B

a, and next randomly

choosing an element c Cb, i.e., the elements from the complex of sets

A ;

B ;

C =

{(a, b, c)

(a,b)A ;

B

{(a, b)} Cb

}, etc.

2 Possible sets

The total possible set A [resp. B, AB, A ; B, etc.] is the set with allpossible elements.

Any A A is a possible set, i.e. is a set whose elements are possible.

DEFINITION 4

The possibility of a randomly chosen element a A (or in any of itspossible subsets), or unit possibility, is

a

=1

#A.

Thus, all elements randomly chosen in the same set (or randomly chosen

using an extracting system which is equivalent to random extraction from

the same set) are equally possible.

Proposition I

The possibility of a compound element (a, b) A B is the product ofthe possibilities of its components.


This is an obvious consequence of #AB = #A #B:

1

#AB =1

#A 1

#B,

and thus

(a,b)

= a

b.

DEFINITION 5

The possibility A

of a possible set A is the sum of the possibilities of

its elements,

A

=

aA

a.

Proposition II

If A is a possible set which may be partitioned into pairwise disjoint sets

A = A1 A

2 A

n

then

A

= A

1

+A

2

+ +A

n

.

This is an immediate consequence of Definition 5.

Proposition III

The possibility of the total possible set is 1.


a)

If all the possible elements result from random extractions performed in the

same set A, the proposition is obvious, since

A

=

aA

1

#A=

#A

#A= 1.

b)

Let us consider now sequential extractions from a complex of sets. Without

loss of generality, consider the extraction system in definition 3 a).

Let A = {a1 , a2 , . . . , an}, and denote Bak, k = 1, 2, . . . , n the set associ-

ated with each element ak A. From Proposition I, the possibility of any

element resulting from pairing ak

with bj B

ak

is

(a

k,b

j)=

1

#A #Ba

k

,

and therefore the possibility of the set akB

ak

is

bjBa

k

(a

k,b

j)=

1

#A

bjBa

k

1

#Ba

k

=1

#A.

Thus, in view of Proposition II, the possibility of the total possible set is

aA

1

#A= 1.

The above proof is easily extended for any complex extracting system.

Proposition IV

If the set AB is compound from the sets A and B, then

AB

= A

B,

since the possibility of each element (a, b) is the product of the possibility of

an element of A by the possibility of an element of B.


Probability

DEFINITION 6

Let A be a possible set and A A another possible set(3). We shall callprobability of A relative to A the number

PA

(A) =

A

A

,

A

andA

denoting, as above, the possibilities of A and of A, respectively.

In the above context, the set A is said to be the favorable set, and AA

is said to be the unfavorable or contrary set.

Sometimes we shall use the word case meaning element.

If the elements in A are equally possible, it follows that

A

= #A a,

A= #A

a

and therefore

PA

(A) =#A

#A.

In other words: When the elements in the possible set are equally possible,

the probability is the number of favorable cases divided by the number of

possible cases.

When the possible set A is the total possible set A, from

A

= 1

it follows that

PA(A) =

A(4).

(3) We shall use, as a rule, A A A.

(4) The most general definition of probability that can be found in Laplace is coincident

with this particular case, of the reference set being the total possibility set A, with A

= 1.


If the favorable set A is the possible class A,

PA

(A) = 1

and in this case probability is certitude.

If the favorable set is empty, A = ,

= 0

and therefore

PA

() = 0.

In this case, probability is renamed impossibility.

Therefore, probability takes values between 0 and 1.

Postulate

Let S and S be two extracting systems, originating qualitatively equal

elements. We say that those two systems are equivalent if qualitatively equal

sets have the same probability under S and S .

The term equivalent in the above postulate means that similar extractions

performed under S and under S imply similar decisions.

This postulate reduces all extracting systems to extractions from a single

set.

Proposition V

Total probability

If the possible set A is partitioned pairwise disjoint partial sets A1, A

2,

. . . , An,

A = A1 A

2 A

n,


we have (Prop. II)

A

= A

1

+A

2

+ +A

n

and henceforth

PA

(A) = PA

(A

1

)+ P

A

(A

2

)+ + P

A

(A

n

)

i.e., the probability of the union of pairwise disjoint sets is the sum of the

probabilities of the partial sets.

Proposition VI

Compound probability

a)

If A B is a possible set compound from A and B, and A B is apossible subset of A B, we have (Prop. IV)

AB

= A

B

and

AB

= A

B

and therefore

PAB

(A B) = PA

(A) PB

(B).

In case the sets A and B are independent, this proposition may be stated

as: the probability of a compound set is the product of the probabilities of its

components.


b)

Proposition VI has been proved under the hypothesis that both the favo-

rable and the possible sets are compound. It can, however, be generalized in

the following ways:

1st

If A B = AB is the total possible class, and thus

AB

= 1

we have

A

= B

= AB

= 1

and from this it follows that

PAB

(A B) = PA

(A) PB

(B).

2nd

If

AB

= A,

i.e., if the possible set is obtained from the total possible set by excluding

some elements a A together with all the elements from the correspondingsets B

a, from the fact that

B

= 1

it follows that

PAB

(A B) = PA

(A) PB

(B).


Proposition VII

Let A A A be possible sets. As

A

A

=

A

A

A

A

it follows that

PA(A) = P

A(A) P

A(A). (1.1)

Corollary

From (1.1) it follows that

PA

(A) =P

A(A)

PA(A)

Proposition VIII

On the probability of causes

When the random extractions are performed as described in Definition 3,

the set A is the set of causes, and the sets B =

aAB

ais the set of effects.

The problem of the probability of possible causes may be typified as

follows:

Let us consider a set of N urns, n1 of which have a fraction p1 of white

balls, n2 of which have a fraction p2 of white balls, etc.

Randomly choose one among the N urns, and from that urn randomly ex-

tract a ball; lets investigate the consequences of assuming that the extracted

ball is white.

What is the probability that this ball has been extracted from an urn

with percentage piof white balls?


The solution may be constructed as follows:

Under the hypothesis that the extracted ball is white, the elements of the

possible set A are all the compound elements of the form

(any urn, white ball).

Denoting A

the possibility of this set, from Prop. II and IV we get that

A

=n1N

p1 +n2N

p2 +

or, denoting

nk

N=

k,

A

=

kp

k.

The elements of the favorable set A are all the compound elements of the

form

(urn with pi 100% white balls, white ball);

and therefore (Prop. IV)

A

= ip

i.

Thus (Def. 6)

PA(A) =

ip

i

kp

k

, (1.2)

an expression known as Bayes formula.

In the above expression, i

is the probability of extracting, among the

N urns, one with percentage pi

of white balls, and it is known as a priori

probability of the urns with pi 100% white balls.


The probability (1.2), Pi

= PA(A) =

ip

i

kp

k

, is the probability of ex-

tracting, among the N urns, one with percentage pi

of white balls, after

performing the first extraction, resulting in white ball; for that reason, it is

known as a posteriori probability of the urns with pi 100% white balls.

It is obvious that the causes we are investigating may arise in any random

extraction system, and that we cannot limit ourselves with extractions in a

single set.

We now generalize formula (1.2) for sequential extractions from a complex

of sets:

Denote

1 , 2 , . . . , n

the a priori probabilities of the n causes which may originate the extraction

of white ball, and denote

p1 , p2 , . . . , pn

the probabilities that each of these causes confers to the event extraction of

white ball.

Let us denote A the set that we obtain by associating each of the causes

with each of the balls whose extraction it can originate. On the other hand,

let us denote A the set that we obtain by associating each of the causes with

each of the white balls whose extraction it can originate. And let us denote

Ak, k = 1, 2, . . . , n the set that we obtain by associating each k-th cause with

each of the white balls whose extraction each of these causes can originate.

From Prop. VI, b), 1st, we know that

PA(A

i) =

ip

i; (1.3)

on the other hand (Prop. VII)

PA(A

i) = P

A(A)P

A(A

i) (1.4)


and (Prop. V)

PA(A) =

n

k=1

kp

k

since

A =n

k=1

Ak.

Thus

PA

(Ai) =

ip

i

n

k=1

kp

k

.

The above proof clearly shows that the usual argumentation that appears

in other probability books is erroneous. In fact, when the urns do not have

the same number of balls, the usual demonstration uses the formulas (1.3)

and (1.4), justifying their use with the compound probability principle. But

Proposition VI cannot be reduced to Proposition VII, since Prop. VII cannot

be applied to compound elements.

This error was not evident due to lack of clarification of the meaning of

compound event [and of complex event].

In fact, without this error it would have been impossible to establish

Bayes formula with the definition of probability adopted is those books, since

Bayes formula refers to a situation unforeseen in their definition: unequal

probability of elementary events in a possible set which is a proper subset of

the total probability set.

Proposition IX

Inverse formulas to Bayes formula

Denoting the a posteriori probability of the i-th cause Pi, we have esta-

blished that

Pi=

ip

i

kp

k

. (1.5)


This formula is symmetrical in what concerns the use of the k

and of pk,

which are given(5).

Let us now assume that the pk

and of Pk

are given, and that our aim is

to compute the a priori probabilities i. We now prove that

i=

Pi

pi P

k

pk

.

In fact, from (1.5) we get that

Pi

pi

=

i

kp

k

;

therefore,

Pi

pi

=

i

kp

k

=1

kp

k

and thus i=

Pi

pi P

k

pk

.

Due to the symmetry of (1.5), we also have the inversion formula

pi=

Pi

i P

k

k

. (6)

(5) Editors note: this is not true:

i= 1, but

p

ican be different from 1. For

instance, in the classical Laplaces urn problemp

i=

Nk=0

kN

= N+12 .

(6) Editors note: this is not true, unlessp

i= 1. The usefulness of the correct

expressionp

ip

k

=

Pi

i P

k

k

seems rather limited. On the other hand, i=

Pi

pi P

kp

k

is true.


Proposition X

Let us now solve the problem that follows, where we assume the conditions

stated for the problem of the probability of causes.

From a randomly chosen urn, extract one ball; this ball is white, and

after observation it is returned to the urn. What is the probability that a

second extraction from this urn will result in white ball?

1st solution

We shall solve this problem directly using the definition of probability.

The possible set is the set of all compound events of the form

(any urn, white ball, any ball)

and therefore

A

=

kp

k 1 =

kp

k.

The favorable set is the set of all compound events of the form

(any urn, white ball, white ball)

and thus

A

=

kp

kp

k=

kp

2

k.

From the above, we get

PA(A) =

kp

2

k

kp

k

.


2nd solution

We may alternatively solve the problem in the following way: the effect of

the observation of white ball in the first extraction is to change the a priori

probabilities k

by the a posteriori probabilities Pk

formerly computed. This

problem is therefore equivalent to the following one:

If n causes with probabilities

P1 , P2 , . . . , Pn

may result in a given effect with probabilities

p1 , p2 , . . . , pn ,

respectively, what is the probability of that effect?

The desired probability is (Prop. V)

P =

Pkp

k=

kp

2

k

kp

k

.

More generally:

If we perform m + n extractions from a randomly chosen urn (returning

each extracted ball to the urn after observation, before proceeding to the

next extraction), resulting in m white balls and n black balls, the probability

of getting white ball in the (m+ n+ 1)-th extraction is

P =

kp

m+1

kq

n

k

kp

m

kq

n

k

. [q = 1 p]

This result may be established by any of the two methods used in solving

the former problem, which was the particular case of two extractions.


Corollary

If the urns have the same a priori probability, i.e., if

k

= constant

then

P =

p

m+1

kq

n

k

p

m

kq

n

k

.

Problem

One urn contains N balls, either white or black, in unknown proporti-

ons. Assuming that all the possible proportions(0, 1

N, . . . , 1

)of white balls

are equiprobable, what is the probability of extracting white ball in the

(m+ n+ 1)-th extraction, if we know that the previous m + n extractions

resulted m times in white ball and n times in black ball?

The above problem is equivalent to the following one:

There are N + 1 urns, one of them with N black balls, another one with

1 white and N 1 black balls, another one with 2 white and N 2 blackballs, etc., until the last urn, containing N white balls.

Performing m + n extractions of one ball from a randomly chosen urn

(always returning the extracted ball to the urn before proceeding to the

next extraction), white ball is observed in m occasions, and black ball in n

occasions. What is the probability of extracting white ball in the (m+n+1)-

th extraction?

The solution is given in the corollary above, where we may use

pk

=k

Nand q

k=N kN

,


obtaining

P =

N

k=0

(k

N

)m+1 (N kN

)n

N

k=0

(k

N

)m (N kN

)n ,

which may be approximated by

P

N

0

( N

)m+1 (N N

)nd

N

0

( N

)m (N N

)nd

.

Using the substitution

= N x,

P

1

0

xm+1

(1 x)n dx

1

0

xm

(1 x)n dx

.

As1

0

xm

(1 x)n dx = (m+ 1) (n+ 1)(m+ n+ 2)

and, for natural n,

(n) = (n 1)!

it follows that

P (m+ 2) (n+ 1)(m+ n+ 3)

(m+ n+ 2)

(m+ 1) (n+ 1)

or

P m+ 1m+ n+ 2

,

where the closeness of the approximation improves with the increase of N .

CHAPTER II Continuous Probability 47

2.2 CHAPTER II Continuous Probability

If A, B, . . . denote bounded regions in a space with any number of dimensi-

ons, A B denotes the region with all the points from A, B, . . .

If A, B, . . . denote regions whatever, AB will denote the set of orderedpairs (a, b), obtained from the sets A and B, by associating each point a Awith each point b B.

In the above definitions the use of geometric terminology is merely me-

taphoric, the word point meaning no more than any n-uple of numbers.

It has been proved in Pangeometry that if A and B are regions and

(A), (B) the corresponding measures, then

(AB) = (A) (B);

more precisely, Pangeometry has generalized the concept of measure in hyper-

space in such a way that the relation

(AB) = (A) (B);

is valid.

We shall say that A B is a compound region from A and B, and itspoints (a, b) are referred to as compound points of a and b, similarly to the

conventions we have adopted in the former chapter, dealing with discontinu-

ous probability.

Primitive concept

a)

As in the case of probability of finite discontinuous sets, we consider as

primitive the concept of throwing [or selecting, or choosing, or extracting]

a point, at random, in the bounded region A in any number of dimensions.


b)

The statement X is a point thrown, at random, in A has the same mea-

ning as a), b) being better suited to the formal symbolism of mathematical

logic.

DEFINITION 1

Randomly extracting one point from A, or B, or C, . . . , is the same as

randomly choosing one point in the region A B C

DEFINITION 2

a)

Randomly throwing one point from A and another[, independently,] from

B is, by definition, the same as randomly throwing one point from AB.

b)

Randomly throwing one point from A, another from B and another from

C is, by definition, the same as randomly throwing one point from AB andanother from C, [independently,] etc.

Thus, randomly choosing one point X in the segment ab and one point

Y in the segment ac is the same as randomly choosing one point Z in the

parallelogram [abcd] (Fig. 1).

Randomly choosing one point in one arc and one point in a non coplanar

line segment is the same as randomly choosing a point in the cylindrical

surface generated by them, etc.

CHAPTER II Continuous Probability 49

a b

c d

X

Y Z

Figura 2.1: Figure 1

DEFINITION 3

a)

We now consider the case of constrained random selection, made in regi-

ons subject to some sort of mutual dependence.

Let us associate with each a A a region Ba, and denote {a} B

athe

set of ordered pairs {(a, b) : b Ba}.

Randomly selecting (or throwing) one point in A and another point in the

corresponding region Ba

is, by definition, the same as randomly choosing one

point (a, b) from ABa.

b)

If to each b Ba

we associate a regi

probabilidade circa 1914 e a construção de pacheco...

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