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Probabilidade

1. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é

a) 12

.245

b) 14

.245

c) 59

.2450

d) 59

.1225

e) 11

.545

2. (Uepg 2014) Considerando o conjunto 2C {x |1 x 30}, assinale o que for correto.

01) O conjunto C tem 32 subconjuntos. 02) Se A {x |1 x 5}, então A C {2, 3, 4}.

04) Escolhendo-se, ao acaso, dois elementos desse conjunto, a probabilidade de que ambos sejam ímpares é de 20%.

08) Escolhendo 3 elementos desse conjunto e efetuando o produto entre eles, pode-se obter 20 produtos distintos.

16) Escolhendo-se ao acaso um elemento desse conjunto, a probabilidade de que seja par é de 40%.

3. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 4 caixas de alturas distintas. A caixa maior tem 1m de altura,

cada caixa seguinte, em tamanho, tem um terço da altura da anterior. a) Determine a altura da nossa pilha de 4 caixas. b) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo

ser a caixa mais alta? c) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo

ser a caixa mais alta e a do topo ser a mais baixa?


4. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O número do cartão de crédito é composto de

16 algarismos. Zezé teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Então, existem 280 números satisfazendo essas condições.

02) No prédio onde Gina mora, instalaram um sistema eletrônico de acesso no qual se deve criar uma senha com 4 algarismos, que devem ser escolhidos dentre os algarismos apresentados no teclado da figura. Para não esquecer a senha, ela resolveu escolher 4 algarismos dentre os 6 que representam a data de seu nascimento. Dessa forma, se Gina nasceu em 27/10/93, então ela pode formar 15 senhas diferentes com 4 algarismos distintos.

04) Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas ganha um novo estilo chamado de

“filha única”. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de uma cor diferente das demais, fazendo a mesma coisa nas duas mãos, conforme mostra o exemplo na figura. Larissa tem três cores diferentes de esmalte, então, usando essa forma de pintar as unhas, poderá fazê-lo de 6 maneiras diferentes.

08) Uma fábrica de automóveis lançou um modelo de carro que pode ter até 5 tipos de

equipamentos opcionais. O número de alternativas deste modelo com respeito aos equipamentos opcionais é igual a 120.

16) Jogando-se simultaneamente dois dados idênticos e não viciados, observa-se a soma dos

valores das faces que ficam voltadas para cima. A soma com maior probabilidade de ocorrer é 7.

32) O número de soluções inteiras não negativas de x y z 6 é igual a 28.

64) Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 145, então o menor deles é 3.


5. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado

Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões

são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.

c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas,

ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P 1/ 50.

Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores.

6. (Upf 2014) Duas bolsas de estudo serão sorteadas entre 9 pessoas, sendo 7 mulheres e

2 homens. Considerando-se que uma pessoa desse grupo não pode ganhar as duas bolsas, qual a probabilidade de duas mulheres serem sorteadas?

a) 7

12

b) 7

9

c) 2

7

d) 1

21

e) 7

36

7. (Unicamp 2014) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto? b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco

números? 8. (Uepa 2014) Com as cidades imobilizadas por congestionamentos, os governos locais

tomam medidas para evitar o colapso do sistema viário. Por exemplo, em Pequim, na China, serão sorteadas mensalmente 20 mil novas licenças de emplacamento para os 900 mil interessados. Para o sorteio, os 900 mil interessados foram divididos em 20 mil grupos com o mesmo número de integrantes.

Texto adaptado da revista National Geographic Brasil, edição 159-A. Se num desses grupos estão presentes 3 membros de uma mesma família, a probabilidade de essa família adquirir uma licença para emplacamento: a) é inferior a 3%. b) está compreendida entre 3% e 4%. c) está compreendida entre 4% e 5%. d) está compreendida entre 5% e 6%. e) é superior a 6%.


9. (Upe 2014) Em um certo país, as capitais Santo Antônio e São Bernardo são interligadas

pelas rodovias AB 13, AB 16, AB 22 e AB 53, e as capitais São Bernardo e São Carlos são

interligadas pelas rodovias BC 14, BC 38, BC 43, BC 57 e BC 77. Não existem rodovias

interligando diretamente as capitais Santo Antônio e São Carlos. Se uma transportadora escolher aleatoriamente uma rota para o caminhoneiro Luís ir e voltar de Santo Antônio a São Carlos, qual a probabilidade de a rota sorteada conter, apenas, rodovias de numeração ímpar? a) 4% b) 9% c) 10% d) 15% e) 40% 10. (Ufrgs 2014) Considere as retas r e s, paralelas entre si. Sobre a reta r , marcam-se 3

pontos distintos: A, B e C; sobre a reta s, marcam-se dois pontos distintos: D e E.

Escolhendo ao acaso um polígono cujos vértices coincidam com alguns desses pontos, a probabilidade de que o polígono escolhido seja um quadrilátero é de

a) 1

.4

b) 1

.3

c) 1

.2

d) 2

.3

e) 3

.4

11. (Ufpr 2014) Um programa de computador usa as vogais do alfabeto para gerar

aleatoriamente senhas de 5 letras. Por exemplo: EEIOA e AEIOU são duas senhas possíveis. a) Calcule a quantidade total de senhas que podem ser geradas pelo programa. b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal em posições consecutivas. Por

exemplo: AAEIO, EIIIO, UOUUO são senhas inseguras. Qual a probabilidade do programa gerar aleatoriamente uma senha insegura?

12. (Uerj 2014) Em uma sala, encontram-se

dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito. Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito equivale a:

a) 1

5040 b)

1

945 c)

1

252 d)

1

120


13. (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores

inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:

a) 1

2 b)

3

5 c)

1

3 d)

2

3 e)

3

8

14. (Ucs 2014) Um candidato foi aprovado no Vestibular da UCS para um dos cursos de Engenharia. Supondo que quatro cursos de Engenharia são oferecidos no Campus de Bento Gonçalves e onze na Cidade Universitária em Caxias do Sul, qual é a probabilidade de o aluno ter sido aprovado para um curso de Engenharia com oferta na Cidade Universitária em Caxias do Sul?

a) 1

15

b) 1

11

c) 11

15

d) 4

15

e) 4

11

15. (Mackenzie 2014) Em uma secretaria, dois digitadores atendem 3 departamentos. Se em cada dia ъtil um serviзo de digitaзгo й solicitado por departamento a um digitador escolhido ao acaso, a probabilidade de que, em um dia ъtil, nenhum digitador fique ocioso, й

a) 1

2

b) 3

4

c) 7

8

d) 2

3

e) 5

8

16. (Unesp 2014) Em um condomínio residencial, há 120 casas e 230 terrenos sem

edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 20% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário de terreno sem edificação é de

a) 24

350

b) 24

47

c) 47

350

d) 23

350

e) 23

47


17. (G1 - ifce 2014) Considere o lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis e não

viciados, isto é, em cada dado, a chance de se obter qualquer um dos resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6) é a mesma. A probabilidade de que a soma dos resultados seja 8 é

a) 1

.36

b) 5

.36

c) 1

.2

d) 1

.3

e) 1

.18

18. (Ufg 2014) Para discutir com seus alunos a ideia de sinônimo, um professor adota a seguinte estratégia de ensino: inicialmente, recita parte de um poema, transcrita a seguir. ¨…Todo dia é ano novo no regato cristalino pequeno servo do mar

nas ondas lavando as praias na clara luz do luar...”

Disponível em: <http://pensador.uol.com.br/frase/MTUyODAy>. Acesso em:10set. 2013. Posteriormente, escreve no quadro um conjunto com cinco palavras A = {cervo, cativo, veado, prisioneiro, corço}. Por fim, solicita a um aluno que escolha aleatoriamente uma palavra do conjunto A que tenha o mesmo significado da palavra em negrito apresentada no poema. Diante do exposto, a probabilidade de que o aluno escolha uma palavra que não mude o significado da palavra servo é:

a) 1

5

b) 2

5

c) 3

5

d) 4

5

e) 1 19. (Fgv 2014) Dois eventos A e B de um espaço amostral são independentes. A probabilidade

do evento A é P(A) 0,4 e a probabilidade da união de A com B é P A B 0,8.

Pode-se concluir que a probabilidade do evento B é: a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/2


20. (Uepb 2014) Urna academia de dança de salão é formada por jovens com idade entre 14 e

26 anos, distribuídos por faixa etária conforme a tabela de distribuição de frequência que se segue. Um participante foi sorteado pela academia para receber uma passagem aérea em viagem internacional. A probabilidade de o sorteado ter idade igual ou superior a 18 anos e inferior a 24 anos é:

Faixa de idade em anos Frequência

14 16 20

16 18 60

18 20 40

20 22 24

22 24 20

24 26 16

Total 180

a) 5

9

b) 7

15

c) 8

15

d) 31

45

e) 2

3

21. (Uepa 2014) Uma universidade realizou uma pesquisa online envolvendo jovens do ensino médio para saber quais meios de comunicação esses jovens utilizam para se informarem dos acontecimentos diários. Para incentivá-los a preencher os dados referentes à pesquisa, cujas respostas estão registradas no quadro abaixo, a universidade sorteou um tablet dentre os respondentes.

Mulheres Ouvem apenas rádio. 350

Assistem televisão e consultam a internet. 150

Homens Assistem televisão e consultam internet. 375

Utilizam apenas internet. 125

TOTAL DE JOVENS ENTREVISTADOS 1.000

Sabendo-se que o respondente sorteado consulta a internet para se manter informado diariamente, a probabilidade do sorteado ser um homem: a) é inferior a 30%. b) está compreendida entre 30% e 40%. c) está compreendida entre 40% e 60%. d) está compreendida entre 60% e 80%. e) é superior a 80%. 22. (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do

lançamento simultâneo de três dados. Se A Ω é o evento para o qual a soma dos resultados

dos três dados é igual a 9 e B Ω o evento cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule:

a) n( );Ω

b) n(A) e n(B);

c) P(A) e P(B).


23. (Uea 2014) A tabela mostra o resultado de um levantamento feito para avaliar

qualitativamente três empresas (X, Y e Z) que fazem a ligação fluvial entre duas localidades. Nesse levantamento, as pessoas entrevistadas deveriam relacionar as três empresas em ordem de preferência decrescente:

Entrevistados Ordem de preferência

relacionada

37,5% X, Y, Z

5,0% X, Z, Y

12,5% Y, X, Z

4,0% Y, Z, X

25,0% Z, X, Y

16,0% Z, Y, X

Escolhendo-se aleatoriamente uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela prefira a empresa Y à empresa X é de a) 32,5%. b) 16,5%. c) 20%. d) 28,5%. e) 16%. 24. (Upe 2014) Dois atiradores, André e Bruno, disparam simultaneamente sobre um alvo. - A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%. - A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%. Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bruno acerta no alvo”, são independentes, qual é a probabilidade de o alvo não ser atingido? a) 8% b) 16% c) 18% d) 30% e) 92% 25. (Pucrj 2014) Considere um dado comum (6 faces). Jogando o dado uma vez, qual é a

probabilidade de sair a face 1?

a) 5

6

b) 3

5

c) 2

3

d) 4

5

e) 1

6


26. (G1 - ifsp 2014) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além

disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh–. As pessoas do tipo O com Rh– são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir.

A B AB O

Rh+ 27 24 23 55

Rh– 15 13 13 30

Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A probabilidade de que o sorteado seja doador universal é a) 7,5%. b) 10%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%. 27. (Uerj 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.

Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42 28. (Ufsm 2014) A tabela mostra o resultado de uma pesquisa sobre tipos sanguíneos em que foram testadas 600 pessoas.

Tipo de sangue O A B AB O A B AB

Número de pessoas

228 216 48 15 30 48 12 3

Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter sangue do tipo A ou A ?

a) 2

.25

b) 11

.50

c) 9

.25

d) 19

.50

e) 11

.25


29. (Espm 2014) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela

abaixo.

A B C

Homens 42 36 26

Mulheres 28 24 32

Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é:

a) 1

2

b) 1

3

c) 1

4

d) 2

5

e) 2

7

30. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50

reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a

a) 1

.4

b) 2

.5

c) 2

.3

d) 3

.5

31. (Uepg 2014) Sendo 1P , 2P e 3P , respectivamente, as probabilidades de ocorrência dos

eventos abaixo, assinale o que for correto.

- 1E : Em três lançamentos sucessivos de uma moeda, dar 3 caras.

- 2E : Sair uma bola verde de uma urna com 4 bolas verdes e 6 brancas.

- 3E : Sortear um múltiplo de 5 dentre 30 cartelas numeradas de 1 a 30.

01) 3 1P P

02) 1 2P P

04) 2 3P 2P

08) 1 3 2P P P


32. (Uem 2014) O desempenho de um time de futebol em cada partida depende do seu

desempenho no jogo anterior. A tabela abaixo apresenta as probabilidades de esse time ganhar, empatar ou perder um jogo, tendo em vista o resultado do jogo anterior.

PROBABILIDADE DE

GANHAR EMPATAR PERDER

RESULTADO DO JOGO

ANTERIOR

GANHOU 0,5 0,3 0,2

EMPATOU 0,2 0,6 0,2

PERDEU 0,3 0,3 0,4

Considere P a matriz formada pelas entradas da tabela de probabilidades dada acima e assinale o que for correto. 01) As entradas da diagonal da matriz P representam as probabilidades de o time conseguir,

no jogo atual, o mesmo resultado (vitória, empate ou derrota) do jogo anterior. 02) A probabilidade de o time ganhar o seu terceiro jogo não depende do resultado do primeiro

jogo. 04) A probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo, tendo perdido o primeiro, é de 30 %. 08) Se o time tem 50 % de chance de ganhar o primeiro jogo e 40 % de chance de empatá-lo,

então a probabilidade de ele perder o segundo jogo é de 22 %. 16) As entradas da matriz P

2 (multiplicação de P por P) representam as probabilidades de cada

resultado do time no terceiro jogo (vitória, empate ou derrota), tendo em vista o resultado do primeiro jogo.

33. (Fuvest 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

a) 1

3

b) 5

12

c) 17

36

d) 1

2

e) 19

36

34. (Pucrs 2014) Dois dados são jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma

igual a 10 nas faces de cima é

a) 1

18

b) 1

12

c) 1

10

d) 1

6

e) 1

5


35. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo

de lado igual a L.

Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente

destampada (área em branco), sendo AE AF L / 2. João e Maria arremessam bolinhas de

diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que os arremessos são realizados de forma independente. a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a

probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)? b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os

lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca?

c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca?

36. (Uerj 2014) Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as

regiões I, II e III, conforme mostra a ilustração.

Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regiões I, II e III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII. Para esse atirador, valem as seguintes relações: - PII = 3PI - PIII = 2PII

Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a região I exatamente duas vezes ao fazer dois lançamentos.


37. (Fgv 2014) a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer

cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta.

b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional

ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo?

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir.

Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. 38. (Insper 2014) A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira

tentativa é

a) 1

.2

b) 1

.3

c) 1

.4

d) 1

.5

e) 1

.6

39. (Insper 2014) Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo.

Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é a vez do segundo jogador, que utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi virada pelo primeiro jogador. Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele certamente forma um par, pois sabe onde está a carta correspondente. Caso contrário, ele vira uma das outras três cartas que ainda não foram viradas. A probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a estratégia descrita é

a) 1

.2

b) 5

.8

c) 2

.3

d) 3

.4

e) 5

.6


Gabarito: Resposta da questão 1: [D]

Divisíveis por 4: A {4,8,12,16,20, ,48} e n(A) 12

Divisíveis por 5: B {5,10,15, ,50} e n(B) 10

Divisíveis por 4 e 5: A B {20,40} e n(A B) 2

Portanto, a probabilidade pedida será: 12 10 2 1 118 59

P50 49 2450 1225

Resposta da questão 2:

01 + 16 = 17.

Tem-se que C {1, 2, 3, 4, 5}.

[01] Correto. Sendo n(C) 5, segue que o conjunto C possui n(C) 52 2 32 subconjuntos.

[02] Incorreto. Se A {2, 3, 4, 5}, então A C .

[04] Incorreto. A probabilidade de que os dois elementos escolhidos sejam ímpares é dada por

3

2 3 3100% 30%.

5!5 10

2! 3!2

[08] Incorreto. O número de produtos distintos, tomando-se 3 elementos do conjunto C, é igual

a 5 5!

10.3 3! 2!

[16] Correto. De fato, a probabilidade de escolher ao acaso um número par do conjunto C é

2100% 40%.

5


a) As alturas das caixas, em metros, são 1 1

1, ,3 9

e 1

.27

Logo, a altura da pilha é igual a

41

1403

1 m.1 27

13

b) Existem 3P 3! configurações nas quais a caixa de baixo é a mais alta. Portanto, como

existem 4P 4! disposições possíveis, segue que a probabilidade é 3! 1

.4! 4

c) Analogamente ao item (b), tem-se que a probabilidade é 2! 1

.4! 12



01 + 04 + 16 + 32 = 53. [01] Correto. Se o número formado pelos quatro últimos dígitos é par, tem os algarismos

distintos e começa com 3, então existem 5 possibilidades para o algarismo das unidades,

8 possibilidades para o algarismo das centenas e 7 para o das dezenas. Portanto, pelo

Princípio Multiplicativo, existem 8 7 5 280 números satisfazendo essas condições.

[02] Incorreto. Como a data do aniversário de Gina não possui algarismos repetidos, segue-se

que o número de senhas que ela pode formar, com 4 algarismos distintos, corresponde ao

número de arranjos simples de 6 elementos tomados 4 a 4, ou seja,

6, 46!

A 6 5 4 3 360.(6 4)!

[04] Correto. Existem 3 escolhas para o dedo anelar e 2 para os outros dedos da mão. Em

consequência, pelo Princípio Multiplicativo, as unhas podem ser pintadas de 3 2 6

modos distintos.

[08] Incorreto. É possível escolher 0,1, 2, 3, 4 ou 5 opcionais. Por conseguinte, existem

55 5 5 5 5 52 32

0 1 2 3 4 5

alternativas com respeito aos equipamentos opcionais.

[16] Correto. Seja Ω o espaço amostral. Temos

(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6,1), (6, 2), (6, 3),

Ω

(6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja iS , com i 2, 3, ,12, o conjunto formado pelos resultados cuja soma é igual a i.

Por inspeção, é fácil ver que

2 3 6 7 8 12n(S ) n(S ) n(S ) n(S ) n(S ) n(S ).

Desse modo, como 7S {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)}, vem 7n(S ) 6 e, portanto,

a soma com maior probabilidade de ocorrência é 7.

[32] Correto. O número de soluções inteiras não negativas de x y z 6 é igual a

3, 6

8 8!CR 28.

6 2! 6!

[64] Incorreto. Sabendo que 2 é o único primo par, segue-se que a soma de quatro primos

distintos maiores do que 2 é um número par.


Portanto, se a, b, c e d são primos tais que a b c d e a b c d 145, só pode ser

a 2. Resposta da questão 5:

a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a

Sul 3.

b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 9 9!

362 7! 2!

modos de escolher duas unidades da região Nordeste e 4 4!

62 2! 2!

modos de escolher

duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma

unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3

maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos

7 5 11N 36 6 7 4 3 3 2 3 7.

c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de

2 4

81 81!

7 74! 7!

81 80 79 78 77 76 75

7 6 5 4 3 2

50 2 3 11 13 19 79

maneiras. Logo,

5 11

2 4

2 3 7P

50 2 3 11 13 19 79

1 18 63 108

50 19 79 143

1,

50

pois 18 63

,19 79

e 108

143 são menores do que 1.


[A]

Total de sorteios possíveis: 362

89C 2,9

Total de sorteio onde os contemplados são mulheres: 212

67C 2,7

Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 21 7

P .36 12


a) Podemos sortear três números distintos entre doze possíveis de 12 12!

2203 3! 9!

maneiras. Portanto, a probabilidade pedida é 1

.220


b) Uma aposta em cinco números corresponde a 5 5!

103 3! 2!

apostas de três números.

Em consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 2 10 R$ 20,00.

Resposta da questão 8: [E]

Cada grupo possui 900000

4520000

integrantes. Logo, supondo que será sorteada uma licença

para cada grupo, tem-se que a probabilidade pedida é 3

100% 6,67%.45

Resposta da questão 9: [B] Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de rotas para ir e voltar de Santo

Antônio a São Carlos é dado por 4 5 5 4 400. Por outro lado, o número de rotas com

rodovias de numeração ímpar é igual a 2 3 3 2 36. Em consequência, o resultado pedido é

36100% 9%.

400


[A]

Número de triângulos com vértices nesses pontos:

5,2 3,3C C 10 1 9

Número de quadriláteros com vértices nesses pontos:

3,2 2,2C C 3 1 3

Probabilidade de se escolher um quadrilátero: 3 3 1

P .9 3 12 4


a) Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podem ser

geradas 5 5 5 5 5 3125 senhas.

b) Temos 5 escolhas para a primeira posição, 4 escolhas apara a segunda posição, 4

escolhas para a terceira posição, e assim por diante, até a quinta posição. Daí, pelo Princípio

Multiplicativo, existem 5 4 4 4 4 1280 senhas seguras.

Portanto, a probabilidade do programa gerar uma senha insegura é


1280 256 3691 1 .

3125 625 625

Resposta da questão 12: [B]

Um armazenamento perfeito pode ser feito de 5P 5! modos. Além disso, os halteres podem

ser armazenados de (2, 2, 2, 2, 2)10

10!P

2! 2! 2! 2! 2!

maneiras. Portanto, a probabilidade pedida

é dada por

5! 2 2 2 2 2 1.

10! 10 9 8 7 6 945

2! 2! 2! 2! 2!

Resposta da questão 13: [C] 360 = 2

3.3

2.5

Número de divisores positivos de 360: (3 + 1).(2 + 1).( 1 + 1) = 24 Divisores de 360 que são múltiplos de 12: {12,24,36,60,72,120,180,360} n = 8 Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = 1/3. Resposta da questão 14:

[C]

A probabilidade pedida é igual a 11 11

.4 11 15


[B]

Cada departamento pode solicitar um digitador de 2 maneiras distintas. Logo, pelo Princípio

Multiplicativo, os três departamentos podem solicitar um digitador de 2 2 2 8 modos em um

dia útil. Por outro lado, um dos digitadores ficará ocioso, em um dia útil, desde que o outro

digitador seja solicitado por todos os departamentos, e isso pode ocorrer de 2 maneiras. Em

consequência, a probabilidade pedida é dada por 2 3

1 .8 4


[E] P: probabilidade pedida. 20% de 120 = 24 10% de 230 = 23

Logo, 23 23

P .23 24 47

Resposta da questão 17: [B] Temos 36 resultados possíveis (seis vezes seis) e 5 possibilidades cuja soma dos resultados é


8. Podemos então dizer que a probabilidade será dada por:

5P

36


[B] A palavra servo no poema poderia ser substituída por cativo ou prisioneiro, portanto a

probabilidade pedida será 2

P .5


[D]

Desde que A e B são independentes, tem-se P(A B) P(A) P(B). Portanto, do Teorema da

Soma, vem

P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0,8 0,4 P(B) 0,4 P(B)

0,4P(B)

0,6

2P(B) .

3


[B] Sendo P, a probabilidade pedida, temos:

40 24 20 84 7P

180 180 15

Resposta da questão 21: [D]

Sendo B o evento “consulta a internet para se manter informado” e A o evento “homem”,

queremos calcular P(A | B). Logo, segue-se que o resultado é igual a

375 125P(A | B)

150 375 125

500

650

76,92%.


a) Supondo que os dados possuem seis faces e que os resultados possíveis no lançamento

de um desses dados sejam 1, 2, 3, 4, 5 e 6, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que

n( ) 6 6 6 216.

b) Se (a, b, c) é a terna ordenada que exprime um resultado do lançamento dos três dados,

então o número de elementos do conjunto A corresponde ao número de soluções inteiras e

positivas da equação a b c 9, com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6. Esse resultado é

dado por


63

8 8!CR 28.

6 6! 2!

Contudo, ainda devemos descontar as soluções (7,1,1), (1, 7,1) e (1,1, 7). Assim, vem que

n(A) 28 3 25.

Analogamente, o número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 10 é igual a

73

9 9!CR 36.

7 7! 2!

Dentre essas soluções devemos descontar aquelas em que {a, b, c} {1,1, 8} (3 soluções) e

{a, b, c} {1, 2, 7} (3! 6 soluções). Portanto, segue-se que n(B) 36 3 6 27.

c) Supondo que os dados são equilibrados, vem

n(A) 25P(A)

n( ) 216

e

n(B) 27 1P(B) .

n( ) 216 8


[A] P = 12,5% + 4,0% + 16,0% = 32,5%. Resposta da questão 24:

[A] Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é dada por

(1 0,8) (1 0,6) 0,08 8%.

Resposta da questão 25: [E]

Tem-se um resultado favorável dentre seis possíveis. Portanto, a probabilidade é 1

.6


[C]

30 1515%.

200 100


[B] Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápis retirado de B não ter ponta:

3 5 15

10 10 100


Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápis retirado de B não ter ponta:

7 6 42

10 10 100

Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter ponta será dada por:

15 42 57P 0,57.

100 100 100


[E]

- 216 48 264 11P(A A ) P(A ) P(A )

600 600 600 25

Resposta da questão 29: [B]

Queremos calcular a probabilidade condicional P(A | aluna).

Sabemos que a turma A possui 28 alunas e que o total de alunas do curso é igual a

28 24 32 84.

Portanto, a probabilidade pedida é 28 1

.84 3


[B]

Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de

50 reais e o número total de cédulas, isto é, n x y. Logo, para um saque de 400 reais,

temos:

20x 50y 4005n 40 3x

n x y.0 x 20

0 x 200 y 8

0 y 8

Como 40 3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos

2{(x, y) ; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}.Ω

Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade

pedida é igual a 2

.5


01 + 04 = 05.

Tem-se que 11 1 1 1

P ,2 2 2 8

24 2

P4 6 5

e 36 1

P .30 5


[01] Correto. Como 5 8 implica em 1 1

,5 8 vem 3 1P P .

[02] Incorreto. Temos 1 5

8 40 e

2 16.

5 40 Daí, sendo

5 16,

40 40 concluímos que 1 2P P .

[04] Correto. De fato, pois 2 32 1

P 2 2 P .5 5

[08] Incorreto. Do item [04] sabemos que 2 3P 2P . Logo, temos

1 3 2 1 3 3

1 3

P P P P P 2P

P P .

Porém, do item [01], sabemos que 3 1P P . Contradição.

Resposta da questão 32: 01 + 08 + 16 = 25. [01] Verdadeira. Elementos da diagonal principal possuem indicador da linha igual o indicador

da coluna. [02] Falsa.

[04] Falsa, pois P 0,4 0,3 0,3 0,2 0,3 0,5 0,33.

[08] Verdadeira, pois P 0,5 0,2 0,4 0,2 0,1 0,4 0,1 0,08 0,04 0,22.

[16] Verdadeira. Cada entrada da matriz produto é resultado do produto interno de uma linha por uma coluna. Resposta da questão 33: [C]

Existem 6 6 36 resultados possíveis, e os casos favoráveis são

(2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4),

(5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) e (6, 6).

Portanto, a probabilidade pedida é 17

.36


[B]

Número de elementos do Espaço Amostral: n(E) 6 6 36

Evento (a soma das faces ser 10): A 4,6 ; 5,5 ; 6,4 e n(A) 3.

Portanto, a probabilidade pedida será:

3 1P

36 12

Resposta da questão 35: a) A probabilidade pedida é dada por


2

1 L L

12 2 2.

4L

b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a

21 9

1 .4 16

Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é

9 71 .

16 16

c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o

resultado pedido é dado por 4 2

6 1 3 6! 1 9

4 4 4 4! 2! 256 16

915

4096

3,30%.


PI + PII + PIII = 1 PII = 3PI PIII = 2PI = 6PI Logo: PI + 3PI + 6PI = 1 PI = 1/10

Portanto, a probabilidade pedida será P 1/10 1/10 1/100 1%.


a) Seja (a, b, c), com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6 a terna ordenada que representa um

resultado do lançamento dos três dados. O número de ternas que apresentam soma igual a

9 corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 9, ou seja,

63

8 8!CR 28.

6 6! 2!

Contudo, desse resultado devemos descontar as ternas (1,1, 7), (1, 7,1) e (7,1,1) e, portanto,

existem 28 3 25 ternas favoráveis.

Finalmente, sendo 6 6 6 216 o número de ternas possíveis, tem-se que a probabilidade

pedida é igual a 25

.216

b) Sabendo que P(1) k, P(2) 2k, P(3) 3k, P(4) 4k, P(5) 5k e P(6) 6k, com k sendo

a constante de proporcionalidade, obtemos

2k 3k 5k 10P(primo) .

21k 21



[D]

Virando a primeira carta, a probabilidade de que a próxima forme um par é igual a 1

,5

pois

apenas uma das cinco cartas restantes é igual à primeira. Resposta da questão 39:

[C] A probabilidade de que o segundo jogador ganhe na primeira tentativa, isto é, ao virar a

primeira carta, é igual a 2 1

.4 2 Assim, como a probabilidade dele ganhar ao virar a segunda

carta é 1 11

,13 62

tem-se que a probabilidade dele formar um par usando a estratégia

descrita é igual a 1 1 2

.2 6 3

probabilidade - aulas particulares para todas as … · página 3 de 24 5. (fuvest 2014) deseja-se...

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