probabilidade aula 03 prof. christopher freire souza centro de tecnologia universidade federal de...

ProbabilidadeAula 03

Prof. Christopher Freire SouzaCentro de TecnologiaUniversidade Federal de Alagoaswww.ctec.ufal.br/professor/cfs

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Objetivo

•Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades

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Probabilidade - Christopher Freire

Souza

Conteúdo

•Fundamentos•Contagem•Regra da adição•Regra da multiplicação•Probabilidade através de simulações

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Souza

Para que?• Processos determinísticos

▫ Satisfeitas algumas condições, comportamento conhecido

▫ Ex: Ao colocar água pura para esquentar, qual a chance dela entrar em ebulição a 100oC?

• Processos estocásticos▫ Comportamento aleatório▫ Ex: Ao puxar uma peça de

dominó, qual a chance de ser: A bomba de sena? Uma bomba? Não-bomba? Bomba de sena, caso se

queira adivinhar a bomba que seu parceiro comentou ter puxado.

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Probabilidade• Técnica matemática

aplicada para medir a chance de ocorrência de um evento

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Conteúdo• Breve revisão de Análise

Combinatória• Espaço Amostral• Evento• Probabilidade de um

evento (uma bomba)• Probabilidade para

experimentos não-eqüiprováveis

• Probabilidade do evento complementar (não-bomba)

• Probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos (bomba de sena)

• Probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro já ocorreu (bomba de sena dentre bombas)

• Probabilidade de coincidências

• Probabilidade para eventos correlacionados

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Análise combinatória• Contagem• Princípio multiplicativo• Fatorial• Arranjo simples

• Permutação simples• Permutação com repetição• Combinação simples

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Contagem• Problema: Eric, Elane e

Alison disputam uma eleição para representante discente. Quantos resultados diferentes pode ter esta eleição?

1. Er, A, El2. Er, El, A3. A, Er, El4. A, El, Er5. El, A, Er6. El, Er, A

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Princípio multiplicativo(Contagem sem descrição)• Problema: Eu tenho duas

calças e quatro camisas e não sabia o que vestir para vir dar esta aula. De quantas formas eu poderia me vestir, considerando que eu não me importo se a calça e a blusa combinam?

• Uma forma de resolver é multiplicar a quantidade de opções de calça pela de blusa.

• Assim temos: 2x4=8

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Fatorial• É comum, nos problemas

de contagem, calcular o produto cujos fatores são números naturais consecutivos de n a 1.

• n!=n.(n-1).(n-2) .... .3.2.1,

sendo n natural e maior que 1.

• Observe que:• n!=n.(n-1)!

• Assim, 0!=1

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Arranjo simples(Contagem de formas de agrupar elementos sem repetição de elementos)

• Quantos conjuntos de três letras (r =3) podem ser criados com as 26 letras do alfabeto (n=26)?

• A ordem dos elementos importa


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26

25

24

A n,r = 26.25.24 = 15600

Permutação simples• Problema: No

passatempo Sudoku, uma única linha de uma matriz 3 x 3 não foi preenchida. Sabe-se que restam apenas os números 3, 5 e 9 como opções. Não havendo uma dica de que número poderia estar em cada “casa”, de quantas formas pode ser preenchida a linha?


121 4 7

6 2 8

? ? ?

3 5 9

3 9 5

5 3 9

5 9 3

9 5 3

9 3 5

3 2 1Opções

P = 3.2.1 = 6

1 4 7

6 2 8

? ? ?

3

5

9

3

5

9

3 5

9

Pn=A n,n

Permutação com repetição

• Anagrama extraído do Código da Vinci:▫ “O, Draconian devil! Oh,

lame saint”• Decifrado para:

▫ “Leonardo da Vinci – The Mona Lisa”

• Problema: Quantos anagramas tem a palavra FERVOROSO?

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!2!3

!91234

!2

56

!3

789

!2!3 42,63,9

P

AA

Combinação simples• Qual o número de

maneiras nas quais cinco cartas podem ser selecionadas de uma baralho?

• A ordem dos elementos não importa

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3 4 5 6 7

52

51

50

49

48

C. r! = A

Espaço amostral• Conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento aleatório (processo estocástico).

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Evento• Qualquer subconjunto

do espaço amostral.• Impossível: Peça com 13

pontos• Simples: Peça com zero

pontos• Certo: Peça com menos

que 13 pontos

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Evento• Complementar: Mais que

zero pontos, é o evento complementar do evento zero pontos.

• Intersecção e união, como na teoria de conjuntos

• Disjunto (mutuamente excludente): intersecção é nula.


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Probabilidade de um evento• Problemas:

▫ Qual a probabilidade de puxar uma bomba?▫ Qual a probabilidade de puxar uma sena?▫ A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é

maior que a probabilidade de puxar uma bomba?• Conceito:

▫ Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo número de valores possíveis, considerando-se: igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis excludência mútua entre valores.


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onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de ocorrência; nS, os possíveis resultados de um experimento e; nA, aqueles que denotam o evento.

Axiomas fundamentais: 0≤P(A) ≤ 1

P(S)=1p/ A C B, P(A) ≤ P(B)

Probabilidade em experimentos não-eqüiprováveis• Problema: Como estimar a probabilidade de

obter cara numa moeda viciada?• Nos casos em que não se conhece o conjunto de

valores da população ou as chances de sair cada resultado são diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela freqüência.

• Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes, obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia cara ao lançar a mesma moeda é de 73,1%.


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.

Probabilidade do evento união• Problema: Qual a

probabilidade de puxar uma sena ou uma quina?

• n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB)• P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

• Se eventos forem mutuamente excludentes, P(AUB)=P(A)+P(B)

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Probabilidade do evento diferença• Problema: Qual a

probabilidade de puxar uma sena sem ser uma bomba?

• n(A-B)=n(A)-n(A&B)• P(A-B)=P(A)-P(A&B)

• Se eventos forem mutuamente excludentes, P(A-B)=P(A)

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Probabilidade de um evento complementar (P(Ac))•Problema: Qual a probabilidade de, ao

puxar uma peça, não ser bomba?

•P(A)+ P(Ac)=P(S)•P(A)+P(Ac)=1•P(Ac)=1-P(A)


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Probabilidade do tipo “um ou mais” ou “pelo menos um”•Qual a probabilidade de ao puxar uma

peça ter pelo menos um ponto?

•A probabilidade do evento união de todos os resultados que atendem o critério de “pelo menos um” equivale à probabilidade do complementar da intersecção do evento nenhum.

P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)


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Probabilidade condicional Problema: Num jogo

de 6 peças, seu parceiro acusou ter puxado apenas uma bomba. Qual a probabilidade de ter sido a bomba de sena?

• PA(B)=P(A&B)/P(A)

• PA(B) = dado que ocorreu A, ocorrer B

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Probabilidade de eventos simultâneos

•Problema: Qual a probabilidade de você puxar uma bomba e ela ser de sena?

•P(AB)=PA(B).P(A)

•PA(B)=P(AB)/P(A)


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Probabilidade de eventos independentes (coincidência)• Qual a probabilidade de

puxar uma sena e faltar água?

• Dado que: P(AB)=PA(B).P(A)

• Se PA(B)=P(B), P(AB)=P(B).P(A)

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Probabilidade indireta de eventos (Teorema da probabilidade total)• Problema: Qual a probabilidade de não-

atendimento de demanda por água de uma cidade (P(A)), se sabe-se que:▫Existem dois reservatórios (R1=150m3 e

R2=187,5 m3 ) que funcionam de forma complementar (B:R1 ativo, Bc:R2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é desativado)

▫Probabilidades de ativar: P(B)=0,7; P(Bc)=0,3.▫Probabilidade de superar capacidade: PA(B)=0,3;

PA(Bc)=0,1

• Dado que:


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Probabilidade de eventos correlacionados (Teorema de Bayes)•Problema: Supondo que, para o caso do

problema anterior, a demanda não tenha sido atendida, como estimar a probabilidade de o reservatório 1 ter sido ativado.

•Ganho de acurácia na estimativa de probabilidade, onde de forma subjetiva se descreve relação entre eventos


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Probabilidade através de simulações

• Conhecendo-se o processo (formulação conceitual) que descreve um fenômeno (e.g. a relação entre precipitação e vazão), como obter a probabilidade de ocorrência de um valor de vazão?

• Inserir repetidas vezes, dado de precipitação aleatoriamente definido dentro de uma faixa de valores possíveis, de maneira a obter um histograma

• Aplicações:▫Análise de sensibilidade de modelos▫Análise de incerteza de estatísticas


Souza

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