probabilidade-0

7/23/2019 probabilidade-0

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Universidade Federal Fluminense

Instituto de Matemtica e Estatstica

Probabilidade

Ana Maria Lima de FariasDepartamento de Estatstica


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Contedo

1 Probabilidade: conceitos bsicos 1

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Experimento aleatrio, espao amostral e evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Experimento aleatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Espao amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Eventos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Operaes com eventos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Interseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Excluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Unio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4 Complementao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.5 Diferena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.6 Propriedades das operaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Probabilidade: axiomas e propriedades 14

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Definio axiomtica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Espaos amostrais finitos e equiprovveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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CONTEDO

3 Probabilidade condicional e independncia de eventos 29

3.1 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Regra da multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Independncia de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 45

4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Os teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Exerccios propostos 59

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Captulo 1

Probabilidade: conceitos bsicos

1.1 Introduo

No nosso cotidiano, lidamos sempre com situaes em que est presente a incerteza doresultado, embora, muitas vezes, os resultados possveis j sejam conhecidos. Por exemplo:o sexo de um embrio pode ser masculino ou feminino, mas s saberemos o resultado exatoquando o beb nascer. Se estivermos interessados na face voltada para cima ao jogarmosum dado, os resultados possveis sero 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mas s saberemos o resultado quandoo experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfcie sobre a qual foilanado. conveniente, ento, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presenteem cada um desses acontecimentos. Tal medida a probabilidade.

No estudo das distribuies de frequncias, vimos como essas so importantes paraentendermos a variabilidade de um fenmeno aleatrio. Por exemplo, quando sorteamosuma amostra de empresas para analisar a distribuio do nmero de empregados, sabe-mos que uma outra amostra fornecer resultados diferentes. No entanto, se sortearmos umgrande nmero de amostras, esperamos que surja um determinado padro que ir refletira verdadeira distribuio da populao de todas as empresas. Atravs de um modelo te-rico, construdo com base em suposies adequadas, podemos reproduzir a distribuio defrequncias quando o fenmeno for observado diretamente. Esses modelos so chamadosmodelos probabilsticose sero estudados na segunda parte deste curso. A probabilidade

a ferramenta bsica na construo de tais modelos e ser estudada nesta primeira parte.


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CAPTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BSICOS

1.2 Experimento aleatrio, espao amostral e evento

Consideremos o lanamento de um dado, a fim de estudarmos a proporo de ocorrnciasdas suas faces. O primeiro fato a observar que existem apenas 6 resultados possveis, asfaces 1, 2, 3, 4, 5, 6. O segundo fato uma suposio sobre o dado: em geral, razovel

supor que ele seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo nmero de vezes e,portanto, essa proporo deve ser 16

Nessas condies, nosso modelo probabilstico para olanamento de um dado pode ser expresso da seguinte forma:

Face 1 2 3 4 5 6 TotalFrequncia terica 16

16

16

16

16

16 1

Suponhamos que uma mulher esteja grvida de trigmeos. Sabemos que cada bebpode ser do sexo masculino (M) ou feminino (F). Ento, as possibilidades para o sexo dastrs crianas so: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposio razovel

que todos esses resultados sejam igualmente provveis, o que equivale a dizer que cadabeb tem igual chance de ser do sexo masculino ou feminino. Ento cada resultado tem umachance de 18 de acontecer. Assim, o modelo probabilstico para esse experimento seria

Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF TotalFreq. terica 1

818

18

18

18

18

18

18

1

Por outro lado, se s estivermos interessados no nmero de meninas, esse mesmoexperimento nos conduzir ao seguinte modelo probabilstico:

Meninas 0 1 2 3 TotalFreq. terica 1

838

38

18

1

Nesses exemplos, vimos que a especificao de um modelo probabilstico para um fen-meno casual depende da especificao dos resultados possveis e das respectivas proba-bilidades. Vamos, ento, estabelecer algumas definies antes de passarmos definiopropriamente dita de probabilidade.

1.2.1 Experimento aleatrio

Umexperimento aleatrio um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto ,mesmo repetindo-se o experimento sob as mesmas condies, os resultados sero diferentes.

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Em contraposio aos experimentos aleatrios, temos os experimentos determinsticos, que,repetidos sob as mesmas condies, conduzem a resultados idnticos. Neste curso, estaremosinteressados apenas nos experimentos aleatrios.

1.2.2 Espao amostral

Oespao amostralde um experimento aleatrio o conjunto de todos os resultados possveisdo mesmo. Iremos denotar tal conjunto pela letra grega mega maiscula, . Quando oespao amostral for finito ou infinito enumervel, ser chamado de espao amostraldiscreto.Caso contrrio, isto , quando for no enumervel, iremos cham-lo de espao amostralcontnuo.

1.2.3 Eventos aleatrios

Os subconjuntos de so chamados de eventos aleatriose os elementos de so cha-mados de eventos elementares. Os eventos, sendo conjuntos, sero representados por letrasmaisculas do nosso alfabeto, enquanto os elementos de um evento sero representados porletras minsculas.

EXEMPLO 1.1 Lanamento de uma moeda

O lanamento de uma moeda um experimento aleatrio, uma vez que, em cada lanamento,mantidas as mesmas condies, no podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cair

para cima. Por outro lado, se colocarmos uma panela com gua para ferver e anotarmos atemperatura de ebulio da gua, o resultado ser sempre 100C. Logo, este um experimentodeterminstico.

EXEMPLO 1.2 Lanamento de um dado

Consideremos o experimento aleatrio lanamento de um dado. O espao amostral ={1 2 3 4 5 6} sendo, portanto, um espao discreto. Os eventos elementares so {1} {2} {3} {4} {5} {6}. Outros eventos so: face par={2 4 6} face mpar= {1 3 5}

face mpar menor que 5 = {1 3}, etc.

EXEMPLO 1.3 Lanamento de duas moedas



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Consideremos o lanamento simultneo de duas moedas. Vamos representar por Ka ocor-rncia de cara e por Ca ocorrncia de coroa. Um espao amostral para esse experimento ={K K K C C K C C } que tambm um espao discreto. Os eventos simples so {K K} {K C} {C K} {C C}e um outro evento cara no primeiro lanamento= {K C K K } Paraesse mesmo experimento, se estivermos interessados apenas no nmero de caras, o espaoamostral poder ser definido como ={0 1 2}

EXEMPLO 1.4 Medio do nvel de rudo

Considere o experimento que consiste em medir, diariamente e durante um ms, em decibis, onvel de rudo na vizinhana da obra de construo do metr em Ipanema. O espao amostralassociado a este experimento formado pelos nmeros reais positivos, sendo, portanto, umespao amostral contnuo. Um evento: observar nveis superiores a 80 decibis, representadopelo intervalo (80 ) que corresponde a situaes de muito barulho.

EXEMPLO 1.5 Bolas em uma urna

Uma urna contm 4 bolas, das quais 2 so brancas (numeradas de 1 a 2) e 2 so pretas(numeradas de 3 a 4). Duas bolas so retiradas dessa urna, sem reposio. Defina umespao amostral apropriado para esse experimento e os seguintes eventos:

A: a primeira bola branca;B: a segunda bola branca;C : ambas as bolas so brancas;

Soluo

Considerando a numerao das bolas, o espao amostral pode ser definido como:

= {( ) : = 1 2 3 4;= 1 2 3 4; =}= {(1 2) (1 3) (1 4) (2 1) (2 3) (2 4) (3 1) (3 2) (3 4) (4 1) (4 2) (4 3)}

Os eventos so:

A = {( ) : = 1 2;= 1 2 3 4; =}= {(1 2) (1 3) (1 4) (2 1) (2 3) (2 4)}

B = {( ) : = 1 2 3 4;= 1 2; =}= {(2 1) (3 1) (4 1) (1 2) (3 2) (4 2)}

C = {( ) : = 1 2;= 1 2; =}= {(1 2) (2 1)}



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EXEMPLO 1.6 Cartas de um baralho

Trs cartas so retiradas, sem reposio, de um baralho que tem trs cartas de cada umadas seguintes cores: azul, vermelha, preta e branca. D um espao amostral para esseexperimento e, em seguida, liste os eventos:

A: todas as cartas selecionadas so vermelhas;B: uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta so selecionadas;C : trs diferentes cores ocorrem;D: todas as quatro cores ocorrem.

Soluo

Vamos denotar porA V P e Bas cores azul, vermelha, preta e branca, respectivamente.Ento,

= {(1 2 3) := A V P B ; = 1 2 3}

Os eventos so:

A = {(V V V )}

B = {(V A P ) (V P A) (A V P ) (A P V ) (P V A) (P A V )}

C =

(V A P ) (V P A) (A V P ) (A P V ) (P V A) (P A V )(V A B ) (V B A) (A V B ) (A B V) (B V A) (B A V)

(V B P ) (V P B ) (B V P ) (B P V ) (P V B ) (P B V )(B A P ) (B P A) (A B P ) (A P B ) (P B A) (P A B )

Como temos quatro cores diferentes e apenas trs extraes, no possvel obter todas

as cores. Logo,

D =

1.3 Operaes com eventos aleatrios

1.3.1 Interseo

O evento interseode dois eventos A e B o que equivale ocorrncia simultnea de AeB(ver Figura 1.1). Seguindo a notao da teoria de conjuntos, a interseo de dois eventosser representada porA B



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Figura 1.1 Interseo de dois eventos: A B

Note queA B A e B (1.1)

EXEMPLO 1.7 Lanamento de dois dados - continuao

Consideremos o experimento lanamento de dois dados os eventos A=soma das faces

um nmero par e B= soma das faces um nmero maior que 9. Calcule A B.

Soluo

O espao amostral desse experimento, que tem 36 elementos,

= {(1 1) (1 2) (1 6) (2 1) (2 6) (6 6)}

Para que um elemento pertena interseo A B ele tem de pertencer, simultanea-mente, aos eventosAe B. O evento B

B = {(4 6) (5 5) (5 6) (6 4) (6 5) (6 6)}

Dos seus elementos, os nicos que pertencem ao eventoA, isto , aqueles que tm somadas faces par, so os elementos(4 6) (5 5) (6 4)e(6 6). Logo, AB= {(4 6) (5 5) (6 4) (6 6)} Note que no precisamos listar o evento A, que tem 18 elementos!

1.3.2 Excluso

Dois eventos,AeB, somutuamente exclusivosquando no podem ocorrer simultaneamente,isto , quando a ocorrncia de um impossibilita a ocorrncia do outro. Isso significa dizer que

os eventosAe Bno tm elementos em comum. Ento, esses dois eventos sero mutuamenteexclusivos quando sua interseo for o conjunto vazio, ou seja, A B= (ver Figura 1.2).

EXEMPLO 1.8 Lanamento de dois dados



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Figura 1.2 Eventos mutuamente exclusivos: A B=

Consideremos, novamente, o experimento lanamento de dois dadosSejam os eventos A=soma das faces mpar e B= duas faces iguais. Ento,Ae Bso mutuamente exclusivos,porque a soma de dois nmeros iguais sempre um nmero par.

1.3.3 Unio

A uniode dois eventos A e B o evento que corresponde ocorrncia de pelo menosum deles. Note que isso significa que pode ocorrer apenas A, ou apenas B, ou A e Bsimultaneamente. Esse evento ser representado porA B; (ver Figura 1.3).

Figura 1.3 Unio de dois eventos: A B

Observe queA B A ou B (1.2)

EXEMPLO 1.9 Lanamento de duas moedas

Consideremos o experimento lanamento de duas moedas, em que o espao amostral ={K K K C C K C C }. Sejam os eventos A = ocorrncia de exatamente 1 cara e B= duasfaces iguais. EntoA = {K C C K }e B= {C C K K } ;logo,A B= e A B= SejaCoevento pelo menos uma carae, ento, C={K C C K K K } e BC= e BC={K K} =



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1.3.4 Complementao

O complementarde um evento A , denotado por A ou A a negao de A Ento, o comple-mentar de A formado pelos elementos que nopertencem a A(ver Figura 1.4).

Figura 1.4 Complementar do evento A= A

Observe que

A /A (1.3)e tambm que

A A= (1.4)


Consideremos o experimetno lanamento de um dado e seja A = face par. Ento, A oevento face mpar. Note que A= {2 4 6}e A= {1 3 5}e =A A

1.3.5 Diferena

A diferena entre dois eventos A e B, representada por A\ B o evento formado peloselementos do espao amostral que pertencem a A, mas no pertencem a B(ver Figura 1.5).Perceba que podemos pensar em A \ Bcomo o complementar de Brelativoao evento A.

Note queA \ B A e /B A B (1.5)

e tambm que

A=(A \ B) (A B) (1.6)Alm disso, A \ B=B\ Aconforme ilustrado na Figura 1.6.

De maneira anloga, B\ A o complementar de A relativoao evento B.



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Figura 1.5 Diferena A \ B

Figura 1.6 Diferena B\ A


Consideremos, novamente, o lanamento de dois dados e os eventos A= soma das faces par e B= soma das faces maior que 9. Vamos considerar as duas diferenas, A \ BeB\ A. Temos

A = (1 1) (1 3) (1 5) (2 2) (2 4) (2 6) (3 1) (3 3) (3 5)

(4 2) (4 4) (4 6) (5 1) (5 3) (5 5) (6 2) (6 4) (6 6)

B = {(4 6) (5 5) (5 6) (6 4) (6 5) (6 6)}

Logo,

A\B =

(1 1) (1 3) (1 5) (2 2) (2 4) (2 6) (3 1) (3 3) (3 5)

(4 2) (4 4) (5 1) (5 3) (6 2)

B\A = {(5 6) (6 5)}

1.3.6 Propriedades das operaes

Sejam A B C eventos de um espao amostral Ento, valem as seguintes propriedades.



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1. Identidade

A =

A = (1.7)

A = AA = A (1.8)

Note que o equivalente do conjunto universal da teoria de conjuntos.

2. Complementar

=

= (1.9)

A A =

A A = (1.10)

3. Involuo

A= (A) =A

4. Idempotncia

A A = A

A A = A (1.11)

5. Comutatividade

A B = B A

A B = B A (1.12)

6. Associatividade

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C) (1.13)

7. Distributividade

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C) (1.14)



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A ilustrao da primeira propriedade est na Figura 1.7. Na linha superior, ilustramoso lado esquerdo da igualdade A (B C): no diagrama esquerda, temos o eventoA e, no diagrama do centro, o evento B C Para assinalar a interseo desses doiseventos, basta considerar as partes que esto sombreadas em ambos os diagramas, oque resulta no diagrama direita, onde temos o evento A (B C). Na linha inferior,ilustramos o lado direito da igualdade (A B) (A C): no diagrama esquerda,

temos o evento A Be, no diagrama do centro, o evento A C Para determinar aunio desses dois eventos, basta considerar todas as partes que esto sombreadasem algum dos diagramas, o que resulta no diagrama direita, onde temos o evento(A B) (A C) Analisando os diagramas direita nas duas linhas da figura, vemosque A (B C)=(A B) (A C).

Figura 1.7 Ilustrao da propriedade distributiva: A (B C) = (A B) (A C)

A ilustrao da segunda propriedade est na Figura 1.8. Na linha superior, ilustramos olado esquerdo da igualdade A(B C): no diagrama esquerda, temos o evento Ae, nodiagrama do centro, o eventoBC Para determinar a unio desses dois eventos, bastatomar todas as partes que esto sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta nodiagrama direita, onde temos o evento A (B C) Na linha inferior, ilustramos o lado

direito da igualdade(A B) (A C): no diagrama esquerda, temos o eventoA Be,no diagrama do centro, o evento AC. Para determinar a interseo desses dois eventos,basta considerar todas as partes que esto sombreadas em ambos os diagramas e issoresulta no diagrama direita, onde temos o evento (A B) (A C) Analisando os



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diagramas direita nas duas linhas da figura, vemos queA (B C)=(A B)(A C).

Figura 1.8 Ilustrao da propriedade distributiva: A (B C) = (A B) (A C)

8. Absoro

A (A B) = A

A (A B) = A (1.15)

9. Leis de De Morgan

A B = A B

A B = A B (1.16)

Na primeira linha da Figura 1.9, ilustra-se a primeira propriedade A B = A B.Observe que, no diagrama esquerda, temos o evento A B. J nos dois diagramascentrais, temos, respectivamente, Ae B; e no diagrama direita, A B, que igual aodiagrama esquerda, ou seja, A B= A B

Na segunda linha da Figura 1.9, ilustra-se a segunda propriedade A B=A B: nodiagrama esquerda temos A B; nos dois diagramas centrais, respectivamente, Ae B; e no diagrama direita, A B, que igual ao diagrama esquerda, ou seja,A B= A B



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Figura 1.9 Ilustrao das leis de De Morgan



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Captulo 2

Probabilidade: axiomas e propriedades

2.1 Introduo

Considere, mais uma vez, o experimento aleatrio que consiste no lanamento de um dadoequilibrado. Como j visto, o espao amostral desse experimento = {1 2 3 4 5 6}, ealguns eventos de interesse so A=sair face 2, B=sair face par, etc. A questo que secoloca, agora, como atribuir probabilidadea esses eventos. Ou seja, queremos determinarum nmero que expresse a verossimilhana de cada um desses eventos.

Uma soluo seria lanar o dado um grande nmero de vezes e observar a proporodos lanamentos que resultam no evento A. Se denotarmos por (A)o nmero de vezes que

ocorreu o evento Aem lanamentos, a definio de probabilidade com base na frequnciarelativa

P(A) = lim

(A)

Essa definio tem alguns problemas, a saber: quo grande deve ser? quem garanteque a razo (A)

converge e converge sempre para o mesmo nmero cada vez que repetimos

o experimento? Temos que buscar, ento, uma nova forma de definir probabilidade.

2.2 Definio axiomtica de probabilidadeA abordagem que adotaremos ser a utilizao da definio axiomtica da probabilidade.Isto , vamos estabelecer algumas propriedades mnimas que se espera sejam satisfeitas pela


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CAPTULO 2. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES

probabilidade de qualquer evento. Tais propriedades so os axiomas da probabilidade.1.

A ttulo de motivao, vamos usar o experimento do lanamento de um dado, bem comoa definio frequentista vista acima. A primeira observao que podemos fazer a seguinte:dado um experimento aleatrio, desejamos atribuir probabilidade aos eventos do respectivoespao amostral, ou seja, para cada evento, queremos determinar um nmero que indique

a probabilidade desse evento. Assim, probabilidade uma funo definida no conjunto detodos os eventos de um espao amostral . Vamos denotar tal funo por P.

Uma primeira propriedade bastante intuitiva que a probabilidade de qualquer eventodeve ser um nmero no negativo, ou seja, para qualquer evento A, P(A) 0.

Para apresentar a segunda propriedade, considere o seguinte evento associado aoexperimento do lanamento de um dado: C =face menor que 7. bastante intuitivo verque, ao lanarmos um dado,sempreobteremos uma face menor que 7, ou seja, a proporo devezes que obteremos o evento Cser sempre 1, no importa quantas vezes lancemos o dado.Note, tambm, queC= . Assim, a segunda propriedade que vamos exigir da probabilidade

que P() = 1.A terceira propriedade envolve a unio de eventos mutuamente exclusivos. Vimos que,

seA B= , ento(A B) =(A) + (B)e, assim, a definio frequentista da probabilidadenos daria que P(A B) =P(A) + P(B). Esse o terceiro e ltimo axioma que precisamospara definir probabilidade.

DEFINIO Definio axiomtica de probabilidade

Seja um espao amostral associado a um experimento aleatrio. Pro-babilidade uma funo, denotada por P, que associa a cada evento A deum nmero real P(A), que satisfaz os seguintes axiomas:

I. Axioma 1: P(A) 0

II. Axioma 2: P() = 1

III. Axioma 3: A B= P(A B) =P(A) +P(B)

Vamos, agora, apresentar propriedades da probabilidade que resultam dos Axiomas I aIII.

1Axioma: (1) Premissa imediatamente evidente que se admite como universalmente verdadeira sem exigncia

de demonstrao. (2) Proposio que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposiesde uma teoria ou de um sistema lgico ou matemtico. (dicionrio Aurlio)



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1. P() = 0

Demonstrao

Temos que = e como = , podemos aplicar o Axioma III para obter queP() =P() +P(), de onde segue que P() = 0.

2. P(A) = 1 P(A)

Demonstrao

Temos que =A Ae como A A= , podemos aplicar o Axioma III para obter queP() =P(A)+P(A)e o Axioma II nos d que1 =P(A)+P(A), de onde segue o resultado.

3. P(A \ B) =P(A B) =P(A) P(A B)

Demonstrao

Veja a Figura 2.1 para visualizar melhor esse resultado. um erro comum pensar queP(A \ B) =P(A) P(B), o que pode resultar em uma probabilidade negativa. O eventoA \ B a parte sombreada mais escura; a parte sombreada mais clara corresponde aA Be o evento A a unio dessas duas partes, ou seja,

A= (A \ B) (A B)

de onde segue o resultado pela aplicao do Axioma III, j que as partes sombreadasno tm interseo.

Figura 2.1 Diferena de dois eventos A \ B= A B.

Volte Figura 2.1 para ver que o evento B\ A = BA corresponde parte nosombreada do evento Be que P(B\ A) =P(B A) =P(B) P(A B)



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4. Para dois eventos Ae Bquaisquer,

P(A B) =P(A) +P(B) P(A B)

Demonstrao

Note que esse resultado generaliza o Axioma III para dois eventos quaisquer, ou seja,no estamos exigindo que Ae Bsejam mutuamente exclusivos. Veja a Figura 2.2:

Figura 2.2 Unio de dois eventos quaisquer A B

Toda a parte sombreada representa a unio dos dois eventos, que pode ser decompostanas duas partes com diferentes sombreamentos, isto , A B = (A\ B) B. Como(A \ B) B= , o Axioma III nos d que

P(A B) =P(A \ B) +P(B)

P(A B) =P(A) P(A B) +P(B)

como consequncia da Propriedade 3.

Note que, se somssemos P(A) + P(B)estaramos contando duas vezes a probabilidadeda interseo, da o resultado.

5. Se B A, ento P(B)P(A)

Demonstrao

Veja a Figura 2.3; note que

B A A = B (A \ B)

P(A) =P(B) +P(A \ B)P(A)P(B)

uma vez que P(A \ B) 0.



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Figura 2.3 B A

6. P(A) 1 para qualquer evento A

Demonstrao

Esse resultado consequncia imediata da propriedade anterior, uma vez que A P(A) P() = 1

Eis um resumo dos axiomas e propriedades da probabilidade:

AxiomasP(A) 0P() = 1A B= P(A B) =P(A) +P(B)PropriedadesP() = 0

P(A) = 1 P(A)P(A \ B) =P(A B) =P(A) P(A B)P(A B) =P(A) +P(B) P(A B)A B P(A) P(B)P(A) 1

2.3 Espaos amostrais finitos e equiprovveis

Vamos considerar, agora, uma situao especial, em que o espao amostral finito e

todos os seus eventos elementares so igualmente provveis. Esse contexto leva definioclssica de probabilidade, que foi a primeira definio formal de probabilidade, explicitadapor Girolamo Cardano (1501-1576).



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Sejam E1 E2 ENos eventos elementares de . Ento,

=E1 E2 EN

e esses eventos elementares so mutuamente exclusivos dois a dois. Pode-se provar, porinduo, que

P() = 1 =P(E1 E2 EN) =P(E1) +P(E2) + +P(EN)

Como estamos supondo que todos eles so igualmente provveis, resulta

P(E) = 1

N =

1

()

Mas, qualquer eventoA pode ser escrito como unio de eventos elementares. Logo,

P(A) =(A)

(

DEFINIO Definio clssica de probabilidade

Seja um espao amostral finito, cujos eventos elementares so todosigualmente provveis, isto , podemos escrever

=E1 E2 EN

onde

P(E) = 1N

= 1()

Ento, para qualquer eventoA ,

P(A) = (A)

()


No lanamento de um dado, qual a probabilidade de se obter face maior que 4?

Soluo



23/69


Note que esse um espao amostral finito em que os eventos elementares so igual-mente provveis, pois estamos supondo que o dado seja honesto. J sabemos que () = 6

e que o evento de interesse A= {5 6)Logo, P(A) =2

6=

1

3

EXEMPLO 2.2 Carta de um baralho

Considere um baralho usual composto de 52 cartas divididas em 4 naipes: ouros, copas, pause espadas, cada naipe com 13 cartas. As cartas dos 2 primeiros naipes so vermelhase asdos dois ltimos, pretas. Em cada naipe, as cartas podem ser s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,Valete, Dama e Rei. Essas trs ltimas so figurasque representam a realeza. Retira-se,ao acaso, uma carta desse baralho. Qual a probabilidade de que seja

(a) uma figura?

(b) uma carta preta?

(c) uma figura ou uma carta preta?

Soluo

Temos um espao amostral finito em que os eventos elementares so igualmente prov-veis, pois estamos retirando a carta aleatoriamente. Como h 52 cartas ao todo, () = 52Vamos denotar por Fo evento carta retirada uma figura e por Po evento carta retirada preta.

(a) Em cada um dos 4 naipes h trs figuras. Logo, o nmero total de figuras 4 3, ouseja, (F) = 12Logo,

P(F) =12

52=

3

13

(b) Metade das cartas de cor preta. Logo,

P(P) =26

52=

1

2

P(F P) =P(F) +P(P) P(F P) =12

52+

26

52

6

52=

32

52=

8

13



24/69


EXEMPLO 2.3 Escolha de um nmero

Um nmero escolhido entre os 20 primeiros inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade deque o nmero escolhido seja

(a) par?

(b) primo?

(c) quadrado perfeito?

Soluo

Temos um espao amostral finito com eventos elementares equiprovveis, pois estamosescolhendo o nmero aleatoriamente.

(a) Vamos denotar por Po evento nmero par. Logo,

P={2 4 6 8 10 12 14 16 18 20} P(P) =10

20=

1

2

(b) Seja Ro evento nmero primo

R={1 3 5 7 11 13 17 19} P(R) = 8

20=

2

5

(c) Se Q o evento quadrado perfeito, ento,

Q= {1 4 9 16} P(Q) = 4

20=

1

5

EXEMPLO 2.4 Bolas em uma urna

Uma urna contm 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 8 bolas verdes. Uma bola escolhid,aao acaso, desta urna. Qual a probabilidade de que essa bola

(a) no seja verde?

(b) seja branca?



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(c) no seja nem branca nem verde?

Soluo

Temos um total de 6 + 2 + 8 = 16bolas. Logo, () = 16. Vamos denotar por P B V os eventos bola preta, branca e verde, respectivamente.

(a) Queremos a probabilidade de V, ou seja, do complementar de V.

P(V) = 1 P(V) = 1 8

16=

8

16=

1

2

(b)

P(B) = (B)

()=

2

16=

1

8

(c) Se a bola no branca nem verde, ela tem de ser preta. Observe que estamos pedindoP(B V)Pela lei de De Morgan e pela Propriedade 2 e Axioma III, temos

P(B V) = P(B V) = 1 P(B V)

= 1 [P(B) +P(V)] = 1 2

16

8

16=

6

16

= 3

8=P(P)


Consideremos, novamente, o lanamento de dois dados e vamos definir os seguintes eventos:

A = soma das faces par B= soma das faces maior que 9, C = soma das faces mparmenor que 9. Agora vamos calcular a probabilidade de tais eventos.

Soluo

A visualizao do espao amostral desse experimento pode ser vista na tabela a seguir,onde, para cada par possvel de resultados, apresentamos tambm a soma das faces:

Dado 21 2 3 4 5 6

1 (1 1) 2 (1 2) 3 (1 3) 4 (1 4) 5 (1 5) 6 (1 6) 72 (2 1) 3 (2 2) 4 (2 3) 5 (2 4) 6 (2 5) 7 (2 6) 8

Dado 3 (3 1) 4 (3 2) 5 (3 3) 6 (3 4) 7 (3 5) 8 (3 6) 91 4 (4 1) 5 (4 2) 6 (4 3) 7 (4 4) 8 (4 5) 9 (4 6) 10

5 (5 1) 6 (5 2) 7 (5 3) 8 (5 4) 9 (5 5) 10 (5 6) 116 (6 1) 7 (6 2) 8 (6 3) 9 (6 4) 10 (6 5) 11 (6 6) 12



26/69


Podemos ver que :

=

(1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) (1 6) (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) (2 6) (3 1) (3 2) (3 3) (3 4) (3 5) (3 6) (4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5) (4 6)

(5 1) (5 2) (5 3) (5 4) (5 5) (5 6) (6 1) (6 2) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6)

() = 36

A=

(1 1) (1 3) (1 5) (2 2) (2 4) (2 6) (3 1) (3 3) (3 5) (4 2) (4 4) (4 6) (5 1) (5 3) (5 5) (6 2) (6 4) (6 6)

(A) = 18

B= {(4 6) (5 5) (5 6) (6 4) (6 5) (6 6)} (B) = 6

C=

(1 2) (1 4) (1 6) (2 1) (2 3) (2 5) (3 2) (3 4) (4 1) (4 3) (5 2) (6 1)

(C) = 12

Logo,

P (A)= 1836

=12

P (B)= 636

=16

P (C)= 1236

=13

EXEMPLO 2.6 Bolas de uma urna

Em uma urna ,h 4 bolas brancas e 3 verdes. Duas bolas so retiradas dessa urna, seqen-cialmente e sem reposio. Qual a probabilidade de obtermos

(a) 2 bolas brancas?(b) 2 bolas verdes?

(c) 2 bolas de cores diferentes?

Soluo

Vamos indicar por B1, B2, B3 e B4 as quatro bolas brancas e por V1 V2 e V3 as trsbolas verdes. O espao amostral para este experimento

={(C1 C2); C1 C2= B1 B2 B3 B4 V1 V2 V3; C1=C2}A primeira bola pode ser qualquer uma, logo, h 7 bolas possveis. Como a extrao semreposio, para a segunda bola, s h 6 possibilidades. Assim, o nmero total de pares 7 6 = 42, ou seja, () = 42.



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(a) Para os pares do evento A= 2 bolas brancas, a primeira bola pode ser qualquer umadas brancas, e a segunda, qualquer uma das brancas restantes. Logo,

(A) = 4 3P(A) =12

42=

2

7

(b) Analogamente, se B= 2 bolas verdes,

(B) = 3 2P(B) = 6

42=

1

7

(c) O evento C = bolas de cores diferentes o complementar do evento D = bolas decores iguais. Por sua vez, D=A B, e assim, como A e Bso mutuamente exclusivos,temos

P(D) =P(A) +P(B) =2

7+

1

7=

3

7P(C) = 1 P(D) = 1

3

7=

4

7

EXEMPLO 2.7 Extrao de bolas de uma urna

interessante notar o seguinte fato sobre a extrao das bolas: em vez de fazermos extraessequenciais, podemos retirar 2 bolas simultaneamente. Em ambos os casos, as extraes sosem reposio, ou seja, a mesma bola no pode sair duas vezes. O que muda, ento?

Soluo

Nas extraes simultneas, no podemos diferenciar a ordem das bolas: por exemplo,os pares V1V2 e V2V1 so os mesmos. Dessa forma, a cardinalidade do espao amostral ficareduzida por 2, que 2! nmero de maneiras de organizar as 2 bolas. Se fossem 3 bolas,ficaria reduzido por 3! = 6 Para ajudar na compreenso dessa diferena, vamos listar o



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espao amostral nos dois casos, bem como os eventos que estudamos.

Evento Extraes sequenciais Evento Extraes simultneas2 bolas B1B2 B1B3 B1B4 2 bolas B1B2 B1B3 B1B4brancas B2B1 B2B3 B2B4 brancas B2B3 B2B4

B3B1 B3B2 B3B4 B3B4

B4B1 B4B2 B4B32 bolas V1V2 V1V3 2 bolas V1V2 V1V3verdes V2V1 V2V3 verdes V2V3

V3V1 V3V2

Branca B1V1 B1V2 B1V3 Uma B1V1 B1V2 B1V3e verde B2V1 B2V2 B2V3 branca B2V1 B2V2 B2V3

B3V1 B3V2 B3V3 e uma B3V1 B3V2 B3V3B4V1 B4V2 B4V3 verde B4V1 B4V2 B4V3

Verde V1B1 V1B2 V1B3 V1B4e V2B1 V2B2 V2B3 V2B4branca V

3B

1 V

3B

2 V

3B

3 V

3B

4

Note que as probabilidades so as mesmas em ambos os casos:

P(2 verdes) P(2 brancas) P(cores diferentes)Extraes sequenciais 6

42 = 17

1242 =

27

2442 =

47

Extraes simultneas 321 =

17

621 =

27

1221 =

47

EXEMPLO 2.8 Ou exclusivo

Prove que:P

A B

A B

=P(A) +P(B) 2 P(A B)

Observe que a afirmao trata da probabilidade da ocorrncia de exatamente umdos eventosAou B.

Soluo

Pela Propriedade 3, temos queP

A B

= P(A) P (A B)

P

A B

= P(B) P (A B)



29/69


Somando essas igualdades termo a termo, obtm-se que:

P

A B

+P

A B

=P(A) P (A B)+P(B) P (A B)

Como A Be A Bso mutuamente exclusivos, a soma de suas probabilidades a proba-bilidade da sua unio, ou seja,

P

A B

+P

A B

=P

A B

A B

Logo,P

A B

A B

=P(A) +P(B) 2 P (A B)

EXEMPLO 2.9 Questes certas em uma prova prova

Em uma prova, caram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86

erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um. Sorteando-se, aoacaso, um desses alunos, qual a probabilidade de que o sorteado:

(a) no tenha acertado qualquer um dos dois problemas?

(b) tenha acertado apenas o segundo problema?

Soluo

Vamos denotar por P1 e P2 os eventos acertar problema 1 e acertar problema 2

respectivamente. Os dados do problema nos do que:(P1 P2) = 120 (acertar os 2)

(P1) = 132 (acertar o primeiro)

(P2) = 86 (errar o segundo)

P1 P2

(P1 P2)

= 54 (acertar apenas um)

Usando o resultado do exemplo anterior, tem-se que:

P1 P2

(P1 P2)

= (P1) + (P2) 2(P1 P2)

54 = 132 + (P2) 2 120

(P2) = 162

Logo, o nmero total de alunos

() =(P2 P2) =(P2) + (P2) = 162 + 86 = 248



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(a) Pela lei de De Morgan, tem-se que:

P

P1 P2

= P

P1 P2

= 1 P (P1 P2)=

= 1 [P(P1) +P(P2) P(P1 P2)] =

= 1 132

248

162

248+

120

248

= 74

248=

37

124

(b) Pela Propriedade 3, tem-se que:

P

P2 P1

=P(P2) P(P1 P2) =162 120

248 =

42

248=

21

124

EXEMPLO 2.10 Atribuio de probabilidade

Dado que ={1 0 1} verifique se possvel definir uma medida de probabilidade em tal que

P({1 1}) = 0 6

P({0 1}) = 0 9

P({1 0}) = 0 5

Justifique sua resposta.

Soluo

Note que o evento {1 1}= {1}{1}Logo, as probabilidades dadas se transformamno seguinte sistema de 3 equaes com 3 incgnitas:

P(1)+ P(1) = 0 6

P(0) + P(1) = 0 9

P(1) + P(0) = 0 5

Da primeira equao, obtemos P(1) = 0 6 P(1) Substituindo na segunda, obtemos o

seguinte sistema de 2 equaes e 2 incgnitas:

P(0) + 0 6 P(1) = 0 9

P(1) + P(0) = 0 5



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ou

P(0) P(1) = 0 3

P(0) + P(1) = 0 5

Somando termo a termo, resulta

2 P(0) = 0 8 P(0) = 0 4

Substituindo, obtemos

P(1) = 0 5 P(0) = 0 5 0 4 P(1) = 0 1

Substituindo novamente, obtemos

P(1) = 0 6 P(1) = 0 6 0 1 = 0 5

Como todos os valores obtidos esto no intervalo (0 1), a atribuio dada vlida.



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Captulo 3

Probabilidade condicional eindependncia de eventos

3.1 Probabilidade condicional

Consideremos o lanamento de um dado equilibrado e o evento A = sair face 2. J vimosque o espao amostral desse experimento ={1 2 3 4 5 6}e, se no tivermos qualquerinformao alm de o dado ser equilibrado, P(A) = 16

Suponhamos, agora, que o dado tenha sido lanado e a seguinte informao fornecida:saiu face par. Qual a probabilidade de ter sado face 2?

Note a diferena: agora ns temos uma informao parcial sobre o experimento e de-vemos us-la para reavaliar a nossa estimativa. Mais precisamente, sabemos que ocorreu oevento B=face par. Com essa informao, podemos nos concentrar no evento B= {2 4 6} uma vez que as faces 1, 3, 5 ficam descartadas em funo da informao dada. Dentro dessastrs possibilidades, a probabilidade do evento Apassa a ser 1

3

Calculamos, assim, a probabilidade do evento A sabendo que ocorreu o eventoB Essaprobabilidade ser denotada P (A | B)(l-se probabilidade de Adado B).

Consideremos, agora, o lanamento de dois dados equilibrados e os eventos A =somadas faces par e B= soma das faces maior ou igual a 9. Se sabemos que ocorreuB,qual a probabilidade de ter ocorrido A?

Queremos calcular P(A|B)Temos que

A=

(1 1) (1 3) (1 5) (2 2) (2 4) (2 6) (3 1) (3 3) (3 5)

(4 2) (4 4) (4 6) (5 1) (5 3) (5 5) (6 2) (6 4) (6 6)


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CAPTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDNCIA DE EVENTOS

B= {(3 6) (4 5) (4 6) (5 4) (5 5) (5 6) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6)}

Se ocorreu B a nica chance de ter ocorrido A que tenha ocorrido o evento

A B= {(4 6) (5 5) (6 4) (6 6)}

e, nesse caso, a probabilidade 410 ou seja,

P(A|B) = 4

10=

4361036

=P(A B)

P(B)

Esses dois exemplos ilustram o fato geral que est representado na Figura 3.1. Sesabemos que aconteceu o evento B, esse evento passa a ser o novo espao amostral e,nesse novo espao amostral, a nica parte de A presente A B a parte sombreada maisclara.

Figura 3.1 Probabilidade condicional P(A|B).

Com esses exemplos, ilustramos uma situao bastante comum, em que temos de cal-cular a probabilidade de um evento tendo uma informao parcial. Esse o conceito deprobabilidade condicional.

DEFINIO Probabilidade condicional

A probabilidade condicional do evento A, dada a ocorrncia do eventoB,

P(A|B) =P (A B)

P (B)

Note que, nessa definio, temos que supor que o evento B um evento possvel, jque ele ocorreu. Logo, bvio que P(B)> 0



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EXEMPLO 3.1 Gnero e esporte

Um grupo de 100 alunos foi classificado quanto ao sexo e atividade de lazer preferida,obtendo-se a distribuio dada na tabela a seguir.

Sexo Atividade de lazerCinema Praia Esporte TotalMasculino 10 12 13 35Feminino 15 41 9 65Total 25 53 22 100

1. Qual a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso nesse grupo, seja dosexo masculino?

2. Se a pessoa escolhida preferir a praia como atividade de lazer, qual ser a probabilidadede ser um homem?

Soluo

Vamos definir os seguintes eventos: M=masculino; F =feminino; C =cinema;P=praia; E=esporte.

1. O problema pede P(M)Como h 35 homens dentre as 100 pessoas,

P(M) = 35

100= 0 35

2. O problema pede P(M|P)Por definio,

P(M|P) =P(M P)

P(P) =

1210053

100

=12

530 2264

Note que a probabilidade do evento aluno do sexo masculino se modifica quandosabemos que a pessoa prefere ir praia como atividade de lazer.

EXEMPLO 3.2 Aposentadoria

De um total de 500 empregados de uma empresa, 200 possuem plano pessoal de apo-sentadoria complementar, 400 contam com o plano de aposentadoria complementar oferecidopela empresa e 200 empregados possuem ambos os planos. Sorteia-se, aleatoriamente, umempregado dessa empresa.



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(a) Qual a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposentadoria complementar?

(b) Qual a probabilidade de que ele no possua qualquer plano de aposentadoria comple-mentar?

(c) Se o empregado conta com o plano de aposentadoria complementar oferecido pela em-

presa, qual a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria comple-mentar?

(d) Se o empregado tem plano pessoal de aposentadoria complementar, qual a probabili-dade de que ele conte com o plano de aposentadoria complementar da empresa?

Soluo

Vamos denotar por Eo evento empregado tem o plano aposentadoria complementarda empresa e por Po evento empregado possui plano pessoal de aposentadoria comple-mentar. O problema diz que

P(P) =200

500=

2

5 P(E) =

400

500=

4

5 P(P E) =

200

500=

2

5

Note que essas informaes podem ser dispostas em forma de tabela, como podemosver a seguir:

Plano pessoal TotalSim No

Plano da Sim 200 200 400

Empresa No 0 100 100Total 200 300 500

Os nmeros em negrito so as informaes dadas no problema. O restante calculadoobservando-se os totais de linha e de coluna.

(a) O problema pede

P(P E) =P(P) +P(E) P(P E) =2

5+

4

5

2

5=

4

5

(b) O problema pede

P(P E) =P(P E) = 1 P(P E) = 1 4

5=

1

5



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(c) O problema pede

P(P|E) =P(P E)

P(E) =

2545

=1

2

(d) O problema pede

P(E|P) =

P(P E)

P(P) =

25

25 = 1

EXEMPLO 3.3 Campanha publicitria

A probabilidade de que uma nova campanha publicitria fique pronta antes do prazoestipulado pela diretoria foi estimada em 0,60. A probabilidade de que a diretoria aproveessa campanha de 0,50. A probabilidade de que ambos os objetivos sejam atingidos 0,30.

(a) Qual a probabilidade de que pelo menos um dos objetivos seja atingido?

(b) Qual a probabilidade de que nenhum objetivo seja atingido?

(c) Se a campanha ficar pronta antes do prazo estipulado, qual a probabilidade de ela sera provada pela diretoria?

Soluo

Vamos definir os eventos P=campanha pronta antes do prazo e A=diretoria aprova

campanha. O problema fornece as seguintes informaes:

P(P) = 0 6 P(A) = 0 5 P(A P) = 0 3

(a) P(A P) =P(A) +P(P) P(A P) = 0 6 + 0 5 0 3 = 0 8

(b) P(A P) =P(A P) = 1 P(A P) = 0 2

(c) P(A|P) =P(A P)

P(P) =

0 3

0 6= 0 5

interessante notar que a probabilidade condicional apresentada acima realmentedefine uma lei de probabilidade, ou seja, a funo que associa o nmero P(A|B) a cadaeventoAde satisfaz os axiomas de probabilidade. De fato:



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Axioma 1:

P(A|B) =P(A B)

P(B) 0

pois P(A B) 0 e P(B)> 0

Axioma 2:

P(|B) =P( B)

P(B) =P(B)P(B) = 1

Na verdade, como P(B|B) = P(B)P(B)

= 1 toda a probabilidade condicional est concentrada

em B, o que justifica considerarmos Bcomo o novo espao amostral para essa nova lei deprobabilidade.

Axioma 3:

Sejam A1 e A2 dois eventos mutuamente exclusivos (veja a Figura 3.2). Usando a pro-priedade distributiva, temos

P(A1 A2|B) = P[(A1 A2) B]P(B) = P[(A1 B) (A2 B)]P(B)

Figura 3.2 P(A1 A2|B) =P(A1|B) +P(A2|B).

Mas, como A1 e A2 so mutuamente exclusivos, resulta que (A1 B)e (A2 B)tambmo so esses dois eventos correspondem parte sombreada mais clara da figura. Logo,

P(A1 A2|B) = P[(A1 B) (A2 B)]

P(B) =

= P(A1 B) +P(A2 B)

P(B) =

= P(A1 B)

P(B) +

P(A2 B)P(B)

=

= P(A1|B) +P(A2|B)



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Sendo a probabilidade condicional uma lei de probabilidade, todas as propriedades vis-tas anteriormente, que eram consequncia dos axiomas, valem tambm para a probabilidadecondicional. A propriedade que usaremos com maior frequncia P(A|B) = 1 P(A|B).

Observe que a definio de probabilidade condicional est vinculada ao eventoB ao

qual estamos condicionando. Ou seja, se condicionarmos a outro eventoC, estaremos defi-

nindo uma outra funo de probabilidade a funo de probabilidade condicional em C.

3.1.1 Regra da multiplicao

A definio de probabilidade condicional leva a um resultado importante, conhecido comoregra da multiplicao.

! Regra da multiplicao para dois eventos

Sejam Ae Beventos de um espao amostral Ento,

P(A B) =

P(B) P(A|B)

P(A) P(B|A)

Esse resultado nos permite calcular a probabilidade da interseo de dois eventos e

muito til para modelar experimentos que tm carter sequencial, isto , que so executadosem etapas, uma seguida da outra. Em tais situaes, pode ser til desenhar um diagramade rvorepara ilustrar os eventos em questo. Vamos ver alguns exemplos.

EXEMPLO 3.4 Radar

Se um avio est presente em determinada rea, um radar detecta sua presena comprobabilidade 0,99. No entanto, se o avio no est presente, o radar detecta erradamentea presena de um avio com probabilidade 0,02. A probabilidade de um avio estar presente

nessa rea de 0,05. Qual a probabilidade de um falso alarme? Qual a probabilidadede o radar deixar de detectar um avio? (Note que esses so os dois erros possveis nessasituao.)

Soluo



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Vamos definir os eventos a seguir.

A = avio presente

D = radar detecta presena de avio

Os eventos complementares so:

A = avio no est presente

D = radar no detecta avio

O problema nos fornece as seguintes informaes:

Pr (D|A)= 0 99 Pr

D|A

= 0 02 Pr(A) = 0 05

Pela lei do evento complementar, temos que

Pr

D|A

= 0 01 Pr

D|A

= 0 98 Pr(A) = 0 95

Na Figura 3.3, este experimento ilustrado atravs de um diagrama de rvore. Cada n narvore corresponde ocorrncia de um evento condicionada ocorrncia de todos os eventosrepresentados pelos ns anteriores no caminho correspondente. Assim, a parte superior darvore corresponde ocorrncia do evento radar detecta avio, condicionada ocorrnciado evento avio presente. J a parte inferior corresponde ocorrncia do evento radarno detecta avio, condicionada ocorrncia do evento avio no est presente.

Figura 3.3 Problema do radar

O problema pede

Pr(D A) falso alarme

Pr(D A)



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Pela regra da multiplicao, temos:

P(D A) =P

A

P

D|A

= 0 95 0 02 = 0 019

P(D A) =P (A) P

D|A

= 0 05 0 01 = 0 0005

Note que a probabilidade de um erro a soma dessas probabilidades.

EXEMPLO 3.5 Extrao de 2 cartas

Considere que duas cartas de um baralho (13 cartas de cada um dos naipes copas, paus,ouros, espadas) sejam extradas, sem reposio, uma depois da outra. Qual a probabilidadede

(a) nenhuma das duas ser de copas?

(b) pelo menos uma carta ser de copas?

Soluo

Para solucionar esse problema, devemos notar que as cartas no baralho so igualmenteprovveis, antes e depois da primeira extrao. Vamos definir os seguintes eventos:

C1 = copas na primeira extrao

C2 = copas na segunda extrao

Na Figura 3.4, temos o diagrama de rvore que representa esse experimento.

A parte superior da rvore corresponde ocorrncia de copas na primeira extrao evento C1 e a parte inferior no-ocorrncia de copas na primeira extrao evento C1.Na primeira extrao, temos 13 cartas de copas e 39 que no so de copas. Logo,

P(C1) =13

52

P(C1) =39

52

Na segunda extrao, dado que na primeira saiu copas, temos 12 cartas de copas e 39

cartas que no so de copas em um baralho com 51. O evento representado pelo caminhosuperior da rvore C1 C2 e sua probabilidade

P(C1 C2) =P(C1) P(C2|C1) =13

52

12

51



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Figura 3.4 Extrao de 2 cartas de um baralho

Continuando com a parte superior, vemos que

P(C1 C2) =P(C1) P(C2|C1) =13

52

39

51

Note que, pela lei do complementar, P(C2|C1) +P(C2|C1) = 1

Na parte inferior, temos:

P(C1 C2) =P(C1) P(C2|C1) =39

52

13

51

P(C1 C2) =P(C1) P(C2|C1) =39

52

38

51

Novamente, pela lei do complementar, P(C2|C1) +P(C2|C1) = 1.

A partir desse diagrama de rvore podemos calcular qualquer probabilidade desejada.Por exemplo, o evento nenhuma carta de copas o evento C1 C2, e o evento pelo menosuma carta de copas, o complementar do evento nenhuma carta de copas.

EXEMPLO 3.6 Trs cartas de um baralho

Suponhamos agora a extrao de trs cartas sem reposio e o evento nenhuma cartade copas. Como podemos generalizar a regra da multiplicao para esse caso?

Soluo



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Como antes, vamos definir os eventos C = carta de copas na sima extrao, =1 2 3. Veja a Figura 3.5, que ilustra o espao amostral desse experimento.

Figura 3.5 Extrao de 3 cartas de um baralho

Como antes, quando caminhamos ao longo de cada galho no diagrama de rvores, cadan representa a ocorrncia de um evento condicional ocorrncia dos eventos anteriores.Por exemplo, vamos considerar o galho superior: o primeiro n corresponde ao evento C1;o segundo, ao evento C2, condicionado ocorrncia de C1; e o terceiro e ltimo, ao eventoC3, condicionado ocorrncia de C1 C2. Quando multiplicamos as probabilidades desses 3

eventos, obtemos a seguinte probabilidade da interseo:

P(C1 C2 C3) =P(C1) P(C2|C1) P(C3|C1 C2) =13

52

12

51

11

50



43/69


Analogamente, a probabilidade de no sair qualquer carta de copas nas 3 estraes

P(C1 C2 C3) =P(C1) P(C2|C1) P(C3|C1 C2) =39

52

38

51

37

50

Estes exemplos ilustram a regra geral da multiplicao.

! Regra geral da multiplicao

Seja A1 A2 A uma sequncia de eventos de um espao amostral Ento,

P (A1 A2 A)=P (A1) P (A2|A1) P (A|A1 A2 A1)

EXEMPLO 3.7 Transporte pblico e bandejo

Em uma pesquisa realizada com um grupo de alunos da UFF, constatou-se que 10%dos estudantes no utilizam transporte pblico para ir s aulas e que 65% dos estudantesque utilizam o transporte pblico fazem refeies no bandejo do campus. Selecionando-se,aleatoriamente, um estudante desse grupo, calcule a probabilidade de que ele use transporte

pblico e faa refeies no bandejo.

Soluo

Vamos definir os seguintes eventos: T =aluno utiliza transporte pblico e B=alunocome no bandejo. O problema nos fornece

P(T) = 0 10 P(B|T) = 0 65

O problema pedeP(T B) =P(T) P(B|T) = 0 9 0 65 = 0 585

EXEMPLO 3.8 Bolas de uma urna



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Uma urna contm seis bolas pretas e cinco bolas amarelas. Extraem-se, sequencial-mente, trs bolas dessa urna, sem reposio. Qual a probabilidade de que as trs bolassejam da mesma cor?

Soluo

Vamos definir os eventos P = bola preta na extrao e A = bola amarela naextrao, = 1 2 3

Seja M=3 bolas de mesma cor. Ento,

P(M) = P(P1 P2 P3) +P(A1 A2 A3)

= P(P1) P(P2|P1) P(P3|P1 P2) +P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 A2)

= 6

11

5

10

4

9+

5

11

4

10

3

9

= 4

33+

2

33=

2

11

3.2 Independncia de eventos

Considere novamente um baralho usual, com 52 cartas, 13 de cada naipe, do qual serretirada uma carta. Vamos definir os seguintes eventos:

C = carta de copasR = carta um rei

V = carta vermelha

J vimos que P(C) = 1352

= 14

;P(R) = 452

= 113

e P(V) = 2652

= 12

Vamos agora calcular as seguintes probabilidades condicionais: P(R|C)e P(V|C). Noprimeiro caso, estamos calculando a probabilidade de sair um rei, dado que a carta decopas. No segundo caso, estamos calculando a probabilidade de sair uma carta vermelha,dado que saiu uma carta de copas.

P(R|C) = P(R C)P(C) =

1

5214

= 452

= 113

=P(R)

P(V|C) = P(V C)

P(C) =

P(C)P(C)

= 1=P(V)



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No primeiro caso, saber que a carta de copas no acrescentou informao til paraavaliarmos a probabilidade de sair rei, ou seja, saber ou no que saiu copas no altera aprobabilidade de sair rei.

J no segundo caso, saber que saiu carta de copas faz com que mudemos a probabilidadede sair carta vermelha. Como podemos ver, se sabemos que saiu carta de copas, ento a

carta temde ser vermelha.Esses exemplos ilustram um conceito importante. No primeiro caso, dizemos que os

eventosRe C so independentese, no segundo caso, que os eventos V e C so dependen-tes. No primeiro caso, o conhecimento da ocorrncia de C no ajuda para reavaliarmos aprobabilidade de C. J, no segundo caso, o conhecimento da ocorrncia de C faz com quemudemos nossa estimativa da probabilidade de V

DEFINIO Eventos independentes

Sejam A e Beventos de um espao amostral Ento, A e B so inde-pendentesse

P(A|B) =P(A)

Essa definio tem algumas implicaes importantes.

Ae Bso independentes P(A B) =P(A) P(B)

Demonstrao

A BindependentesP(A|B) =P(A)P(A B)

P(B) =P(A)P(A B) =P(A) P(B)

P(A B) =P(A) P(B) =A e Bso independentes.

Demonstrao

P(A B) =P(A) P(B)P(A|B) =P(A B)

P(B) =

P(A) P(B)P(B)

=P(A) A Bindependentes

Provamos, ento, queAe Bso independentesP(A B) =P(A) P(B). Esse resultadonos permite estabelecer uma outra definio equivalente para a independncia de doiseventos.



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DEFINIO Eventos independentes

Sejam A e B eventos de um espao amostral Ento, A e B soindependentesse

P(A B) =P(A) P(B)

Se Ae Bso independentes, ento Be Atambm o so (comutatividade).

Demonstrao

A BindependentesP(B|A) =P(B A)

P(A) =

P(A) P(B)P(A)

=P(B) B Aindependentes

Se Ae Bso independentes A Bso independentes.

Demonstrao

P(AB) =P(B)P(AB) =P(B)P(A) P(B) =P(B)[1P(A)] =P(B) P(A) A Bindependentes

Ae BindependentesA Bindependentes.

Demonstrao

P(A B) = P(A B)

= 1 P(A B)

= 1 P(A) P(B) +P(A B)

= 1 P(A) P(B) +P(A) P(B)

= [1 P(A)] P(B)[1 P(A)]

= P(A) P(B) P(A)

= P(A)[1 P(B)]

= P(A) P(B) A Bindependentes

Se Ae Bso eventos possveis e independentes A B= .

Demonstrao

Por hiptese, temos que P(A) > 0 e P(B)> 0. Pela hiptese de independncia, P(A B) =P(A) P(B)> 0 A B=.

Logo,seA eBso eventos possveis e independentes, entoA eBno somutuamenteexclusivos.



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Se Ae Bso eventos possveis tais que A B= A Bno so independentes.

Demonstrao

P(A|B) =P(A B

P(B) = 0=P(A) A Bno so independentes.

Logo, seA eBso eventos possveis e mutuamente exclusivos, ento A eB no soindependentes.

EXEMPLO 3.9 Previdncia, continuao

No Exemplo 3.2, analisamos os dados que sero apresentados na tabela a seguir,referentes participao de funcionrios de uma empresa em planos de aposentadoria com-plementar:

Plano pessoal TotalSim No

Plano da Sim 200 200 400Empresa No 0 100 100Total 200 300 500

Naquele exemplo, estudamos os eventos E = empregado tem o plano de aposenta-doria complementar da empresa e P=empregado possui plano pessoal de aposentadoriacomplementar. Vamos ver se esses eventos so independentes.

Soluo

Temos

P(P) =2

5 P(E) =

4

5

P(P E) =2

5 = P(P) P(E)

Logo, os eventos Pe Eno so independentes. Outra forma de ver isso

P(E|P) =200

200= 1=P(E) =4

5



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Captulo 4

Teorema da Probabilidade Total eTeorema de Bayes

Neste captulo, voc estudar dois importantes teoremas da teoria das probabilidades ever suas aplicaes em diversas situaes envolvendo tomadas de deciso. Esses teoremas,conhecidos como Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes, resultam diretamenteda definio de probabilidade condicional e das propriedades j vistas da probabilidade.Sua apresentao ser feita, inicialmente, atravs de exemplos, para que voc compreendabem o contexto de sua aplicao. Em seguida, ser apresentada a formulao geral dessesteoremas.

4.1 Exemplos

EXEMPLO 4.1 Produo de duas mquinas

Em uma linha de produo de certa fbrica, determinada pea produzida em duasmquinas. A mquina 1, mais antiga, responsvel por 35% da produo, e os 65% restan-tes vm da mquina 2. A partir dos dados passados e das informaes do fabricante dasmquinas, estima-se em 5% a proporo de peas defeituosas produzidas pela mquina 1 eem 2,5% a proporo de peas defeituosas produzidas pela mquina 2. As peas produzidaspelas duas mquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem para

venda posterior, sem distino de qual mquina a produziu.

(a) Qual a proporo de peas defeituosas colocadas no mercado por essa fbrica?


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CAPTULO 4. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E TEOREMA DE BAYES

(b) Se um cliente identificar uma pea defeituosa, qual ser a probabilidade de ela ter sidoproduzida pela mquina 1?

Soluo

(a) Na Figura 4.1, representa-se a situao em anlise. Nosso experimento aleatrio osorteio de uma pea produzida por essa fbrica, e nosso espao amostral, representadopelo retngulo, o conjunto de todas as peas produzidas em determinado perodo.Podemos ver que o espao amostral est dividido em 2 eventos mutuamente exclusivos:M1 peas produzidas pela mquina 1, e M2, peas produzidas pela mquina 2. Maisprecisamente, =M1 M2 isso significa que M1e M2formam uma partiodo espaoamostral1. Outro evento de interesse D=pea defeituosa. Podemos ver que esseevento tem interseo com os eventos M1e M2ou seja, h peas defeituosas produzidasna mquina 1 e na mquina 2.

Figura 4.1 Espao amostral para o Exemplo 4.1

Pelos dados do problema, temos uma estimativa a prioridas propores de peas pro-duzidas em cada mquina, ou seja, as probabilidades a prioridos eventos M1 e M2 so:

P(M1) = 0 35

P(M2) = 0 65

Sabemos, tambm, a proporo de peas defeituosas produzidas por cada mquina. Essaproporo se traduz em uma probabilidade condicional: se a pea foi produzida pelamquina 1, existe 5% de chance de ser defeituosa. Para a mquina 2, essa chance reduz-se a 2,5%. Em termos de probabilidade, temos

P(D|M1) = 0 05P(D|M2) = 0 025

1A1 A2 A formam uma partio do espao amostral se (i) A A= =; (ii)

=1

A=



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Como M1 e M2 formam uma partio de podemos escrever

D=(D M1) (D M2)

Mas M1 e M2 so mutuamente exclusivos; logo, (D M1) (parte sombreada mais clara)e (D M2) (parte sombreada mais escura) tambm o so. Assim, pelo Axioma 3 da

probabilidade, resulta que

P(D) = P [(D M1) (D M2)]

= P(D M1) +P(D M2)

Pelo teorema da multiplicao, sabemos que P(A B) =P(A) P(B|A)Logo,

P(D) = P(M1) P(D|M1) +P(M2) P(D|M2)

= 0 35 0 05 + 0 65 0 025 = 0 03375

Observe que a probabilidade de uma pea ser defeituosa uma mdia ponderadadasprobabilidades de defeito em cada mquina. Os pesos so definidos de acordo com onvel de produo (probabilidade) de cada mquina.

(b) Na segunda parte do exemplo, temos uma informao sobre a pea: ela defeituosa,isto , sabemos que ocorreu o evento D. O que o problema pede que, com essainformao, reavaliemos a probabilidade de a pea ter sido produzida pela mquina 1.Essa probabilidade chamada de probabilidade a posteriori, ou seja, a probabilidadeque calculamos com base em informao parcial obtida depois de realizado o experimentode sorteio e teste da pea. Em notao matemtica, temos de calcular P(M1|D). Pordefinio, temos

P(M1|D) =P(M1 D)

P(D)

Usando a regra da multiplicao e o resultado encontrado no item anterior, resulta

P(M1|D) = P(M1) P(D|M1)

P(M1)P(D|M1) +P(M2) P(D|M2)

= 0 35 0 05

0 35 0 05 + 0 65 0 025

= 0 0175

0 03375= 0 5185

Compare os resultados:

Sem qualquer informao sobre o resultado do experimento, nossa estimativa paraa probabilidade de ocorrncia de M1 pea produzida pela mquina 1 era 0,35.



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Com a informao de que a pea defeituosa, a probabilidade de ter sido produzidapela mquina 1 aumenta para 0,5185.

EXEMPLO 4.2 Produo de trs mquinas

Considere novamente a situao do Exemplo 4.1, mas com a seguinte modificao:as peas so produzidas em trs mquinas, que so responsveis por 30%, 35% e 35% daproduo, respectivamente. As propores de peas defeituosas produzidas por tais mquinasso 5%, 2,5% e 2%.

(a) Qual a proporo de peas defeituosas produzidas na fbrica?

(b) Se um cliente identificar uma pea defeituosa, qual ser a probabilidade de ela ter sidoproduzida na mquina 1? E na mquina 2? E na mquina 3?

Soluo

(a) O espao amostral desse experimento est ilustrado no diagrama de rvore da Figura4.2.


Como j visto anteriormente, cada galho da rvore corresponde ao condicionamento do

evento aos eventos dos galhos anteriores. Assim, na parte superior da rvore, temos oseventos D|M1 e D|M1 Na parte do meio, temos os eventos D|M2 e D|M2; e na parteinferior,D|M3 e D|M3

Os dados do problema do que



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P(M1) = 0 30 P(D|M1) = 0 05P(M2) =P(M3) = 0 35 P(D|M2) = 0 025

P(D|M3) = 0 02

Como antes, M1 M2 e M3 formam uma partio dee, portantopodemos escrever

D=(D M1) (D M2) (D M3)

Mas M1 M2e M3so mutuamente exclusivos; logo,(D M1),(D M2)e(D M3)tambmo so. Pelo Axioma 3 da probabilidade, resulta que

P(D) = P [(D M1) (D M2) (D M3)]

= P(D M1) +P(D M2) +P(D M3)

Pelo teorema da multiplicao, sabemos que

P(A B) =P(A) P(B|A)

Logo,

P(D) = P(M1) P(D|M1) +P(M2) P(D|M2) +P(M3) P(D|M3)= 0 30 0 05 + 0 35 0 025 + 0 35 0 02 = 0 03075

Como antes, a probabilidade de uma pea ser defeituosa uma mdia ponderada dasprobabilidades de defeito em cada mquina, com os pesos definidos de acordo com onvel de produo de cada mquina.

(b) Na segunda parte do exemplo, deseja-se saber P(M1|D) P(M2|D) e P(M3|D) Por defi-nio, temos

P(M1|D) =P(M1 D)

P(D)Usando a regra da multiplicao e o resultado encontrado no item anterior, temos

P(M1|D) = P(M1) P(D|M1)

P(M1) P(D|M1) +P(M2) P(D|M2) +P(M3) P(D|M3)

= 0 30 0 05

0 30 0 05 + 0 35 0 025 + 0 35 0 02

= 0 015

0 03075= 0 487805

P(M2|D) = P(M2) P(D|M2)


= 0 35 0 025

0 30 0 05 + 0 35 0 025 + 0 35 0 02

= 0 00875

0 03075= 0 284553



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P(M3|D) = P(M3) P(D|M3)


= 0 35 0 02

0 30 0 05 + 0 35 0 025 + 0 35 0 02

= 0 0070 03075

= 0 227642

Note que 0 487805 + 0 284553 + 0 227642 = 1 000000. Esse resultado imediato apartir do fato de que P() = 1. Se a pea sorteada defeituosa, ela s pode ter vindode umas das trs mquinas.

EXEMPLO 4.3 Soro da verdade

Sabe-se que um soro da verdade, quando aplicado em um suspeito, 90% eficazquando a pessoa culpada e 99% eficaz quando inocente. Um suspeito retirado de umgrupo de pessoas em que 95% jamais cometeram qualquer crime.

(a) Qual a probabilidade de o soro dar a resposta certa?

(b) Se o soro indica culpado, qual a probabilidade de o suspeito ser inocente?

Soluo

(a) Vamos definir os seguintes eventos (veja a Figura 4.3):

C= suspeito culpado C= suspeito inocenteU= soro indica culpado U= soro indica inocente

Note que voc deve definir os eventos de acordo com a execuo do experimento. Ao seaplicar um soro da verdade, a resposta ser culpado ou inocente e no soro acertaou soro erra. Errar ou acertar depender de o suspeito ser culpado ou inocente.

Os dados do problema nos do as seguintes probabilidades:

P(U|C) = 0 90

P(U|C) = 0 99

P(C) = 0 95



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Usando o resultado sobre probabilidade do evento complementar, completamos as pro-babilidades necessrias:

P(U|C) = 0 90 P(U|C) = 0 10

P(U|C) = 0 99 P(U|C) = 0 01P(C) = 0 95 P(C) = 0 05

A partio do espao amostral definida pelos eventos C e C, para os quais temos asprobabilidades a priori. Os eventos de interesse so Ue U

Seja o evento A = soro acerta o diagnstico. Note que o soro pode diagnosticarcorretamente se o suspeito culpado ou inocente, ou seja:

A=(C U)

C U

Logo,

P(A) = P (C U)+P C U= P(C) P(U|C) +P(C) P(U|C)

= 0 05 0 90 + 0 95 0 99 = 0 9855

(b) Queremos calcular P(C|U)Por definio, temos:

P(C|U) =P(C U)

P (U)

O soro pode indicar culpado, sendo o suspeito culpado (acerto do diagnstico), ou ino-cente (erro no diagnstico), ou seja:

P (U) =

P (U

C)+

P U

C= P (U|C) P(C) +P

U|C

P(C)

= 0 90 0 05 + 0 01 0 95

= 0 045 + 0 0095 = 0 0545



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P

U C

=P

U|C

P(C) = 0 01 0 95 = 0 0095

Logo,

P(C|U) =0 0095

0 0545= 0 1743

EXEMPLO 4.4 Trs moedas

Uma caixa contm trs moedas. A moeda 1 honesta, a moeda 2 tem duas caras e amoeda 3 viciada de tal modo que cara duas vezes mais provvel que coroa. Uma moeda escolhida ao acaso e lanada.

(a) Qual a probabilidade de observarmos cara e moeda 1?

(b) Qual a probabilidade de observarmos cara?

(c) Se o resultado foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lanada tenha sido a moeda1?

Soluo

Vamos definir os eventos

K =cara C=coroa

M1= moeda 1 M2= moeda 2 M3= moeda 3

dado que

P(K|M1) =1

2P(K|M2) = 1

Para a moeda 3, como a probabilidade de cara duas vezes a probabilidade de coroae a soma dessas probabilidades tem de ser 1, resulta que

P(K|M3) =2

3

Como a moeda lanada escolhida aleatoriamente, temosP(M1) =P(M2) =P(M3) =

1

3

Veja a Figura 4.4:



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(a) Aqui a soluo consequncia direta da regra de multiplicao:

P (K M1)=P (M1) P (K|M1)=

1

3

1

2=

1

6

(b) Os eventos que formam a partio do espao amostral so M1 M2 e M3. Logo,

P (K) = P (K M1)+P (K M2)+P (K M3)

= P (M1) P (K|M1)+P (M2) P (K|M2)+P (M3) P (K|M3)

= 1

3

1

2+ 1 +

2

3

=

1

3

13

6 =

13

18

(c) O problema pede

P (M1|K)=P (K M1)

P (K) =

P (M1) P (K|M1)P (K)

=16

1318

= 3

13

EXEMPLO 4.5 Deciso gerencial

Um gerente de banco tem de decidir se concede ou no emprstimo aos clientes queo solicitam. Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a ficarinadimplente. Com base em dados passados, ele estima em 15% a taxa de inadimplncia.Dentre os inadimplentes, ele tem 80% de chance de tomar a deciso certa, enquanto essa



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chance aumenta para 90% entre os clientes adimplentes. Esse gerente acaba de recusar umemprstimo. Qual a probabilidade de ele ter tomado a deciso correta?

Soluo

Os fatos envolvidos nesse processo decisrio so: cliente inadimplente ou no e

gerente concede ou no o emprstimo. Vamos definir os seguintes eventos:

I = cliente inadimplente

C = gerente concede emprstimo

Usaremos a notao de evento complementar para definir

I = cliente adimplente

C = gerente no concede emprstimo

Note que temos duas possibilidades de acerto e duas possibilidades de erro. Os acertosso cliente inadimplente e gerente no concede o emprstimo e cliente adimplente egerente concede o emprstimo. Os erros so: cliente inadimplente e gerente concede oemprstimo e cliente adimplente e gerente no concede o emprstimo.

A rvore que representa o espao amostral dada na Figura 4.5.


As probabilidades dadas so

P(I) = 0 15 P(C|I) = 0 80 P(C|I) = 0 90Pela lei do complementar, temos

P(I) = 0 85 P(C|I) = 0 20 P(C|I) = 0 10



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Com relao ao que o problema pede, temos que, dado que o gerente recusouo em-prstimo, a deciso s ser certa se o cliente for inadimplente. Logo, temos de calcular

P(I|C) =P(I C)

P(C)

Mas o gerente pode recusar o emprstimo sendo o cliente inadimplente ou no, ou seja,

P(C) = P(C I) +P(C I)

= P(I) P(C|I) +P(I) P(C|I)

= 0 15 0 80 + 0 85 0 10 = 0 205

Logo,

P(I|C) = P(I C)

P(C)

= P(I) P(C|I)

P(I) P(C|I) +P(I) P(C|I)

= 0 15 0 80

0 205 = 0 5854

4.2 Os teoremas

Considere a Figura 4.6, onde A1 A2 A uma partio do espao amostral e B um

evento qualquer em .

Figura 4.6 Partio do espao amostral



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Como a unio de todos os As o espao amostral, segue que

B=(A1 B) (A2 B) (A B)

O fato de alguns desses termos serem o conjunto vazio (por exemplo, BA4 = )no invalida o resultado, uma vez que A = A Por definio de partio, os As so

mutuamente exclusivos dois a dois; logo, os eventosA Btambm o so. Ento, pela lei daprobabilidade de eventos disjuntos, podemos escrever

P (B) = P [(A1 B) (A2 B) (A B)] =

= P (A1 B)+P (A2 B)+ +P (A B)

e a regra da multiplicao fornece

P(B) =P(A1) P(B|A1) +P(A2) P(B|A2) + +P(A) P(B|A)

Esse resultado conhecido como Teorema da probabilidade total.

! Teorema da Probabilidade Total

SejaA1 A2 Auma partio do espao amostral e sejaBum eventoqualquer em . Ento,

P(B) =

=1

P (A) P (B|A)

Como visto, a probabilidade P(A) denominada probabilidade a priori do evento AContinuando no contexto da Figura 4.6, suponhamos agora que B tenha ocorrido. Vamosusar essa informao para calcular a probabilidadea posteriorido evento Aou seja, vamoscalcular P(A|B)Por definio, temos

P (A|B)=P (A B)

P(B)

Usando a regra da multiplicao e o teorema da probabilidade total, resulta que

P (A|B)= P (A

) P (B

|A

)

=1

P

A

P

B|A

Esse resultado conhecido como Teorema de Bayes.



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! Teorema de Bayes

SejaA1 A2 Auma partio do espao amostral e sejaBum eventoqualquer em . Ento

P (A|B)= P (A) P (B|A)

=1

P

A

P

B|A

importante que, na resoluo de exerccios e tambm na aplicao prtica dessesteoremas, voc identifique os eventos de interesse, os que definem a partio do espaoamostral e quais so as probabilidades a priori. Em geral, so essas probabilidades queidentificam a partio de. Vamos considerar mais um exemplo para ilustrar esses pontos.

EXEMPLO 4.6 Alunos e carros

Em uma turma de Administrao, 65% dos alunos so do sexo masculino. Sabe-seque 30% dos alunos tm carro, enquanto essa proporo entre as alunas se reduz para 18%.Sorteia-se ao acaso um estudante dessa turma usando o seu nmero de matrcula e constata-se que ele possui um carro. Qual a probabilidade de que o estudante sorteado seja dosexo feminino?

Soluo

Os eventos em questo envolvem o sexo do aluno e a posse de um carro. Vamos definiros eventos de interesse da seguinte forma:

H=homem M=mulherC=possui carro C=no possui carro

Note que H e M definem uma partio do espao amostral, assim como C e C. Noentanto, as probabilidades a prioridadas referem-se a He M (o fato de ter, ou no, carro,no altera o sexo do aluno). Assim, a partio de ser definida em termos desses eventos.Os dados do problema fornecem que

P(H) = 0 65 P(M) = 0 35P(C|H) = 0 30 P(C|H) = 0 70P(C|M) = 0 18 P(C|M) = 0 82



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O problema pede P(M|C), e para calcular essa probabilidade, temos de calcular P(C)Peloteorema da probabilidade total, sabemos que

P(C) = P(C M) +P(C H)

= P(M) P(C|M) +P(H) P(C|H)

= 0 35 0 18 + 0 65 0 30 = 0 518

Logo,

P(M|C) = P(C M)

P(C) =

P(M) P(C|M)P(C)

= 0 35 0 18

0 518 = 0 12162



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Captulo 5

Exerccios propostos

1. Lanam-se trs moedas. Enumere o espao amostral e os eventosA = faces iguais;B= cara na primeira moeda; C=coroa na segunda e terceira moedas.

2. (a) Na Figura 5.1, assinale a rea correspondente a A B

(b) Na Figura 5.2, assinale a rea correspondente a A \ B

(c) Na Figura 5.3, assinale a rea correspondente a (A C) B

(d) Na Figura 5.4, assinale a rea correspondente a (A B) C

Figura 5.1 Questo 2(a) Figura 5.2 Questo 2(b)

Figura 5.3 Questo 2(c) Figura 5.4 Questo 2(d)

3. Defina um espao amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatrios:


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CAPTULO 5. EXERCCIOS PROPOSTOS

(a) Em uma pesquisa de mercado, conta-se o nmero de clientes do sexo masculinoque entram em um supermercado no horrio das 8 s 12 horas.

(b) Em um estudo de viabilidade de abertura de uma creche prpria de uma grandeempresa, fez-se um levantamento, por funcionrio, do sexo dos filhos com menos de5 anos de idade. O nmero mximo de filhos por funcionrio 4, e a informaorelevante o sexo dos filhos de cada funcionrio.

(c) Em um teste de controle de qualidade da produo, mede- -se a durao de lm-padas, deixando-as acesas at que queimem.

(d) Um fichrio com 10 nomes contm 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha apsficha at o ltimo nome de mulher ser selecionado e anota-se o nmero de fichasselecionadas.

(e) Lana-se uma moeda at aparecer cara pela primeira vez e anota-se o nmero delanamentos.

(f) Em uma urna, h 5 bolas identificadas pelas letras{A B C D E } Sorteiam-se duas bolas, uma aps a outra, com reposio, e anota-

se a configurao formada.(g) Mesmo enunciado anterior, mas as duas bolas so selecionadas simultaneamente.

4. SejamA B C trs eventos de um espao amostral. Exprima os eventos a seguir usandoas operaes de unio, interseo e complementao:

(a) somente Aocorre;

(b) exatamente um ocorre;

(c) A Be Cocorrem;

(d) nenhum ocorre;(e) pelo menos um ocorre;

(f) exatamente dois ocorrem.

(g) pelo menos dois ocorrem;

(h) no mximo dois ocorrem.

5. Considere o lanamento de dois dados e defina os seguintes eventos:

A= soma parB= soma 9

C=mximo das faces 6Calcule A B A B A \ B B\ A B C B\ C

6. Seja ={0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}. Considere os seguintes eventos:



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A= {1 3 5 7 9}

B= {0 2 4 6 8 9}

D= {9}

Determine os elementos dos seguintes eventos:

(a) A (B D)

(b) B (A D)

(c) A B

(d) A B

(e) A \ B

(f ) B\ A

(g) A B

(h) A B

7. Se P (A)= 1/3e P

B

= 1/4, Ae Bpodem ser mutuamente exclusivos?

8. Sejam Ae Beventos mutuamente exclusivos tais que P(A) = 0 5e P(B) = 0 4

(a) Calcule P(A B)

(b) Calcule P(B A)

9. Em uma cidade h trs clubes A, B, C Em um grupo de 1000 famlias constatou-seque 470 so scias do clube A;420 so scias do clube B, 315 so scias do clube C;110 so scias dos clubes Ae B; 220 so scias dos clubes Ae C; 140 so scias dos

clubes Be Ce 75 so scias dos 3 clubes. Escolhendo-se ao acaso uma famlia, qual a probabilidade de que ela

(a) no seja scia de qualquer um dos clubes?

(b) seja scia de apenas um clube?

(c) seja scia de pelo menos dois clubes?

10. Em um levantamento em um bairro de 1.000 moradores, verifica-se que:

220 tm curso superior;

160 so casados;

100 esto desempregados;

50 tm curso superior, so casados e esto empregados;

60 tm curso superior e esto desempregados;



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20 tm curso superior, so casados e esto desempregados.

Escolhe-se ao acaso um morador desse bairro. Qual a probabilidade de que ele

(a) tenha curso superior e seja casado?

(b) ou tenha curso superior e seja casado ou esteja empregado?

(c) ou tenha curso superior ou esteja desempregado?

11. Um lote formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.Um artigo escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:

(a) ele no tenha defeitos;

(b) ele no tenha defeitos graves;

(c) ele seja perfeito ou tenha defeitos graves.

12. Quatro bolsas de estudo sero sorteadas entre 30 estudantes, dos quais 12 so do

sexo masculino e 18 so do sexo feminino. Qual a probabilidade de que haja entre ossorteados:

(a) uma pessoa do sexo masculino?

(b) no mximo uma pessoa do sexo feminino?

(c) pelo menos uma pessoa de cada sexo?

13. Em uma urna h 15 bolas numeradas de 1 a 15. Trs bolas so retiradas da urna semreposio. Qual a probabilidade de que:

(a) o menor nmero seja 7?

(b) o maior nmero seja 7?14. Num perodo de um ms, 100 pacientes sofrendo de determinada doena foram interna-

dos em um hospital. Informaes sobre o tipo de tratamento aplicado em cada pacientee o resultado final obtido esto resumidas no quadro a seguir.

Tratamento TotalA B

Cura total (T) 24 16 40Resultado Cura parcial (P) 24 16 40

Morte (M) 12 8 20

Total 60 40 100Sorteia-se o registro de um desses pacientes.

(a) Qual a probabilidade de que seja de um paciente que teve cura total?



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(b) Qual a probabilidade de que esse registro seja de um paciente que faleceu ouque recebeu o tratamento A?

(c) Sabendo-se que esse paciente recebeu o tratamento A, qual a probabilidade deque tenha tido cura total?

15. Sejam A e Beventos de um espao amostral. Sabe-se que P(A) = 0 3; P(B) = 0 7 e

P(A B) = 0 21Verifique se as seguintes afirmativas so verdadeiras. Justifique suaresposta.

(a) Ae Bso mutuamente exclusivos;

(b) Ae Bso independentes;

(c) Ae Bso independentes;

(d) Ae Bso mutuamente exclusivos;

(e) Ae Aso independentes.

16. Dois dados equilibrados so lanados.(a) Calcule a probabilidade de sair seis em pelo menos um dado.

(b) Sabendo-se que saram faces diferentes nos dois dados, determine a probabilidadede sair seis em pelo menos um dado.

(c) Os eventos seis em pelo menos um dado e faces diferentes nos dois dados soindependentes?

17. Uma sala possui trs soquetes para lmpadas. De uma caixa com 10 lmpadas, dasquais seis esto queimadas, retiram-se trs lmpadas ao acaso, colocando-se as mes-mas nos trs bocais. Calcular a probabilidade de que:

(a) pelo menos uma lmpada acenda;

(b) todas as lmpadas acendam.

18. O Ministrio da Economia da Espanha acredita que a probabilidade de a inflao ficarabaixo de 3% este ano de 0,20; entre 3% e 4% de 0,45 e acima de 4% de 0,35. OMinistrio acredita que, com inflao abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais200.000 empregos de 0,6, diminuindo essa probabilidade para 0,3 caso a inflao fiqueentre 3% e 4%; no entanto, com inflao acima de 4%, isso totalmente impossvel.

(a) Qual a probabilidade de se criarem 200.000 empregos nesse ano?

(b) No ano seguinte, um economista estrangeiro constata que foram criados 200.000empregos novos. Qual a probabilidade de a inflao ter ficado abaixo de 3%?



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19. Na urna I h cinco bolas vermelhas, trs brancas e oito azuis. Na urna II h trsbolas vermelhas e cinco brancas. Lana-se um dado equilibrado. Se sair trs ou seis,escolhe-se uma bola da urna I; caso contrrio, escolhe-se uma bola da urna II. Calculea probabilidade de

(a) sair uma bola vermelha;

(b) sair uma bola branca;(c) sair uma bola azul;

(d) ter sido sorteada a urna I, sabendo-se que a bola retirada vermelha.

20. Joana quer enviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joana escreva a carta 8

10 A probabilidade de que o correio no a perca 9

10. A probabilidade de que o

carteiro a entregue tambm 910

(a) Construa o diagrama de rvore representando o espao amostral deste problema.

(b) Calcule a probabilidade de Camila no receber a carta.

(c) Dado que Camila no recebeu a carta, qual a probabilidade de que Joana no atenha escrito?

21. Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0 4 e P(A B) = 0 7 Seja P(B) = Determine o valor de para que

(a) Ae Bsejam mutuamente exclusivos;

(b) Ae Bsejam independentes.

22. Sejam A e Beventos possveis de um mesmo espao amostral . Se P(A|B) = 1verifique a veracidade das seguintes afirmativas, justificando sua resposta.

(a) Ae Bso independentes.

(b) Ae Bso mutuamente exclusivos.

23. Sejam A, B, Ceventos de um mesmo espao amostral. Sab

probabilidade-0

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