1. Princpios de contagem Introduo A escolha do presente que voc deseja ganhar em seu aniversrio, a de- ciso de uma fbrica quanto s alternativas de investimento nesse ano e a seleo do time que um tcnico de futebol deve fazer para o prximo jogo so decises que, na maioria das vezes, esto relacionadas a uma quantida- de muito grande de possibilidades. Como encontrar essas quantidades e escolher a melhor opo? Com o auxlio da anlise combinatria possvel organizar as informa- es objetivando a contagem rpida das escolhas, sem a necessidade de cont-las uma a uma. Em alguns casos, inclusive, alm de ser inconveniente, isso praticamente impossvel. Vejamos, inicialmente, uma situao em que a quantidade de possibilida- des no representada por um nmero muito grande. Suponha, por exemplo, que uma fbrica de sua cidade pretenda aumen- tar o faturamento no prximo ano e, para alcanar essa meta, necessita tomar trs decises importantes: 1. deciso: aumentar ou diminuir o nmero de funcionrios; 2. deciso: realizar um emprstimo junto a um de trs bancos finan- ceiros; 3. deciso: estabelecer uma nova poltica de investimentos ou manter a atual. Cada deciso tem uma quantidade especfica de possibilidades de esco- lha. Tomando as trs decises, de quantas maneiras ela poder tentar alcan- ar a meta estabelecida? A primeira deciso poder ser tomada de duas maneiras: aumentando ou diminuindo a quantidade de funcionrios. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br

2. 204 Princpios de contagem A segunda deciso poder ser tomada de trs maneiras: banco 1, banco 2 ou banco 3, por exemplo. A terceira deciso poder ser tomada de duas maneiras: alterando ou mantendo a poltica de investimentos. Observe as opes de escolha descritas em uma rvore de possibilidades: aumentar Banco 1 Banco 1 alterar manter alterar manter alterar manter alterar manter alterar manter alterar manter Banco 2 Banco 2 Banco 3 Banco 3 diminuir 1 deciso 2 deciso 3 deciso (7 maneiras) (2 maneiras) (1 maneira) (8 maneiras) (3 maneiras) (9 maneiras) (4 maneiras) (10 maneiras) (5 maneiras) (11 maneiras) (6 maneiras) (12 maneiras) Logo, a empresa poder tomar as decises de 12 maneiras distintas. Observe que, quando multiplicamos o nmero de maneiras de a empre- sa tomar cada deciso, encontramos o nmero total de maneiras de as trs decises serem tomadas: 1. deciso: 2 maneiras 2. deciso: 3 maneiras 3. deciso: 2 maneiras Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 3. Princpios de contagem 205 Nmero total: 2 . 3 . 2 = 12 maneiras As rvores de possibilidades so instrumentos teis na contagem dos agrupamentos que podemos realizar em uma determinada situao, pois elas organizam as informaes. Porm, se as quantidades de escolhas au- mentarem muito, ser impraticvel constru-las. Nesses casos, necessitare- mos de mtodos que nos permitam solucionar problemas de contagem com maior rapidez. Princpio fundamental da contagem Suponha que na cantina de seu colgio existam 5 tipos de sucos de frutas disponveis para a venda: laranja, pssego, ma, abacaxi e caju. Alm disso, existem dois tipos de gua mineral: com gs e sem gs.Voc deseja pedir um nico tipo de bebida entre as anteriores, sem restries, para matar a sede. Quantas opes de escolha existem? IESDEBrasilS.A. Existem 5 opes de sucos e 2 opes de gua. Como voc escolher apenas uma delas ou um dos sucos ou uma das guas minerais ento ter 7 (5 + 2) opes de escolha. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 4. 206 Princpios de contagem suco 5 + 2 = 7 ou gua bebidas Observe que as opes de escolha da bebida so exclusivas, ou seja, esco- lhida uma delas, as demais so eliminadas, sem a necessidade de uma nova escolha. O raciocnio utilizado para o clculo do nmero de escolhas cha- mado de princpio aditivo: Se existem m1 maneiras de tomar a deciso D1 e existem m2 maneiras de tomar a deciso D2 , sendo D1 e D2 decises exclusivas, ento o nmero de maneiras de tomar ou a deciso D1 ou a deciso D2 m1 + m2 . Emoutrasituao,imaginequenacantinadeseucolgioexistam5opes de sucos de frutas: pssego, ma, morango, caju e mamo. Voc deseja es- colher apenas um desses sucos, mas dever decidir tambm se o suco ser acompanhado de gua ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos acompanhamentos, de quantas maneiras poder pedir seu suco? IESDEBrasilS.A. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 5. Princpios de contagem 207 fruta 5 . 2 = 10 e acompanhamento sucos Observe que existem 5 opes de frutas e 2 opes de acompanhamen- to para cada fruta possvel de ser escolhida. Como voc escolher uma das frutas e, em seguida, um dos acompanhamentos, ento poder pedir seu suco de 10 (5 . 2) maneiras possveis. No difcil perceber que, para cada fruta escolhida, existiam dois acom- panhamentos. Por isso, as quantidades de opes foram multiplicadas. Para generalizar o raciocnio exposto, acompanhe a definio do princ- pio multiplicativo: Se existem m1 maneiras de tomar uma deciso D1 e, para cada uma dessas maneiras, existem m2 maneiras de tomar a deciso D2 , ento o nmero de maneiras de tomar sucessivamente as decises D1 e D2 igual a m1 . m2 . Embora o conceito anterior contemple apenas duas decises, impor- tante destacar que o princpio pode ser estendido para mais escolhas. Exemplo 1: A biblioteca pblica de uma cidade quer instalar a internet para que a populao possa consultar livros e arquivos. Aps uma anlise de possveis provedores, a direo verificou que existem 10 provedores que podem fazer a instalao em sua casa. No entanto, para ter acesso internet, alm do nico provedor, precisa ainda escolher um de dois tipos de conexo: banda- larga ou discada. Se qualquer um desses provedores oferece os dois tipos de conexo, quantas opes de acesso internet existem? A direo escolher apenas um dos 10 provedores. Para cada um deles, existem ainda 2 opes de escolha de conexo. Logo, pelo princpio multipli- cativo, existem 10 . 2 = 20 opes de acesso. Exemplo 2: Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 5, 8 e 9 de modo que: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 6. 208 Princpios de contagem a) os algarismos possam ser repetidos? b) os algarismos sejam distintos? Soluo: a) Para cada posio, podemos fazer a escolha de 5 maneiras, pois os alga- rismos podem ser repetidos. Assim, temos: 5 5. . 5 = 125 Logo, podemos formar 125 nmeros. b) Inicialmente, existem 5 escolhas para o algarismo das centenas. Es- colhido o algarismo das centenas e, sabendo que os algarismos so distin- tos, existem 4 escolhas para o algarismo das dezenas. Escolhido tambm o algarismo das dezenas, existem 3 escolhas restantes para o algarismo das unidades. As escolhas foram diminuindo uma a uma, pois os algarismos so distintos: 5 4. . 3 = 60 Portanto, existem 60 nmeros. Fatorial Na resoluo de problemas de anlise combinatria, frequente a ocor- rncia de multiplicaes cujos fatores so nmeros inteiros que formam uma sequncia decrescente, na qual cada fator uma unidade menor do que o anterior. Para exemplificar, considere a sequncia formada pelos seis primeiros corredores de uma prova de atletismo. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 7. Princpios de contagem 209 IstockPhoto. O nmero total de resultados de uma pro- vadeatletismopodesercalculadousando a operao fatorial. Considerando-se todas as sequncias possveis desses 6 corredores, quantos resultados existem? A quantidade de maneiras de se formar a sequncia depender do nmero de escolhas que poderemos fazer para cada colocao. Analisando, inicialmente, o nmero de escolhas da 1. colocao da prova, e assim por diante at a ltima, temos: O 1. corredor pode ser escolhido de 6 maneiras possveis: 6 Escolhido o 1. corredor, existem 5 maneiras de escolher o 2.: 6 5 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 8. 210 Princpios de contagem Escolhidos o 1. e o 2. corredores, existem 4 maneiras de escolher o 3.: 6 5 4 Escolhidos o 1., o 2. e o 3. corredores, existem 3 maneiras de escolher o 4.: 6 5 4 3 Escolhidos o 1., o 2., o 3. e o 4. corredores, existem 2 maneiras de es- colher o 5.: 6 5 4 3 2 Escolhidos o 1., o 2., o 3., o 4. e o 5. corredores, existe 1 maneira de escolher o 6.: 6 5 4 3 2 1 Utilizando o princpio multiplicativo, existem: 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 ma- neiras de ordenarmos os seis primeiros corredores dessa prova. Observe que, para encontrar o nmero de sequncias que podem ser for- madas pelos 6 corredores, efetuamos a multiplicao da quantidade de corre- dores (6) por todos os nmeros que antecedem o nmero 6 at o nmero 1. Para facilitar a representao dessas multiplicaes, a partir de agora uti- lizaremos o smbolo!para represent-las, ou seja: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 9. Princpios de contagem 211 6 ! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 L-se fatorial de 6 ou 6 fatorial A operao empregada ao nmero 6 denominada fatorial e somente ser empregada a nmeros naturais. Observe outros exemplos de fatoriais de nmeros naturais: 8 ! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 (fatorial de 8) 7 ! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 (fatorial de 7) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 (fatorial de 5) Exemplos: Calcule o valor do fatorial de 4. 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Verifique se 5! 3! = 2!. 5! 3! = (5 . 4 . 3 . 2 . 1) (3 . 2 . 1) = 120 6 = 114 2! = 2 . 1 = 2 Logo, 5! 3! 2!. Em geral, se m e n so nmeros naturais, m! n! (m n)!. correto escrever 3! . 2! = (3 . 2)!? 3! . 2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 6 . 2 = 12 (3 . 2)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Ento, 3! . 2! (3 . 2)!. Portanto, se m e n so nmeros naturais, em geral, m! . n! (m . n)!. A partir das ideias expostas, podemos definir fatorial de um nmero natural: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 10. 212 Princpios de contagem O fatorial de um nmero natural n, n2, representado por n!, definido como sendo o produto de n por todos que o antecedem at o nmero 1, ou seja: n! = n . (n 1) . (n 2) . ... . 3 . 2 . 1 Para que todos os problemas de contagem possam ser resolvidos adequa- damente, faz parte da definio ainda que: 1! = 1 e 0! = 1 O conceito de fatorial est intimamente ligado formao de filas ou se- quncias, no sentido de que, se uma fila tem n pessoas, existem n! manei- ras possveis de se ordenar essas n pessoas. Sendo assim, vamos refletir um pouco sobre duas questes importantes: os valores de 1! e 0!. De quantas maneiras poderemos ordenar uma fila de uma nica pessoa? Com uma s pessoa, existe apenas uma fila. Isso explica porque defini- mos 1! = 1. E uma fila com nenhuma pessoa, ou seja, com zero (0) pessoa, de quantas maneiras podemos orden-la? Embora seja um pouco estranho imaginar uma fila sem pessoa alguma, podemos pensar que, como no existe uma pessoa sequer na fila, podemos orden-la de uma nica maneira:no ordenando. J que no existe pessoa alguma, a opo de no ordenar existe e nica. Por isso, 0! = 1. Listando alguns resultados de fatoriais de nmeros naturais de 0 a 10, temos: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40 320 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362 880 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 11. Princpios de contagem 213 Como existem fatoriais apenas de nmeros naturais, para citar alguns exemplos, no esto definidos os seguintes fatoriais: (3)! ou 4 5 ! ou 2 ! Suponha que uma corrida automobilstica seja disputada por 11 carros distintos. Desconsiderando a possibilidade de empates, quantos resultados so possveis para essa corrida? Podemos escolher o primeiro colocado de 11 maneiras. Escolhido o pri- meiro, o segundo pode ser escolhido de 10 maneiras. Prosseguindo nesse raciocnio e utilizando o princpio multiplicativo, temos: 11 . 10 . 9 . ... . 3 . 2 . 1 = 11! = 11 . 10! = 11 . 3 628 800 = 39 916 800 Assim, existem 39 916 800 resultados possveis para a corrida. Nos problemas de contagem a operao fatorial apresenta-se como uma ferramenta importante, minimizando as operaes aritmticas e simplifican- do os clculos. Por exemplo, qual o valor de 20! 17! ? No h a necessidade de calcularmos separadamente cada um dos fato- riais. Observe: 20! 17! = 20.19.18.17! 17! = 20.19.18 = 6840 A simplificao foi efetuada desenvolvendo o fatorial do maior nmero (20!) at a ocorrncia de um fator que seja igual ao menor fatorial (17!). Aps a simplificao, as operaes restantes so efetuadas. Exemplo 1: Uma secretria deveria enviar 5 cartas a cada um dos clientes de uma em- presa. Apesar de saber os endereos dos clientes, ela no sabia qual deveria ser o destino de cada carta. Se os contedos das cartas so distintos e cada cliente receber uma carta diferente, de quantas maneiras ela poder enviar as cinco cartas? Vamos supor que os clientes sejam designados por A, B, C, D e E. Assim, o cliente A poder receber uma das 5 cartas. Escolhida a carta de A, o cliente B Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 12. 214 Princpios de contagem poder receber 4 cartas. Escolhidas as duas cartas para A e B, o cliente C poder receber 3 cartas. Escolhidas as trs cartas para A, B e C, o cliente D poder re- ceber 2 cartas. Escolhidas as quatro cartas para A, B, C e D, o cliente E poder receber uma nica carta. Logo, pelo princpio multiplicativo existem: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras Exemplo 2: Determine o valor de y em (y 3)! = 720. (y 3)! = 720 (y 3)! = 6! y 3 = 6 y = 6 + 3 y = 9 Exemplo 3: Simplifique 51! + 52! 50! . Inicialmente, vamos desenvolver 51! e 52! at o aparecimento do fator 50!, pois 50 o menor entre os nmeros 50, 51 e 52: 51! + 52! 50! = 51 . 50! + 52 . 51 . 50! 50! O numerador apresenta os fatores comuns 51 e 50!. Vamos coloc-los em evidncia e, em seguida, simplificar 50! com o denominador: 51! + 52! 50! = 51 . 50! + 52 . 51 . 50! 50! = 51 . 50!. . (1 + 52) 50! = 51 . 53 = 2 703 Exemplo 4: Resolva a equao (n + 2)! (n + 1)! = 16n!. (n + 2)! (n + 1)! = 16n! (n + 2) . (n + 1) . n! (n + 1) . n! = 16n! Fatorando, temos: (n + 1) . n! . [(n + 2) 1] = 16n! Para que um produto seja nulo, ao menos um dos fatores deve ser nulo. Se n! 0, ento: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 13. Princpios de contagem 215 (n + 1) . (n + 1) = 16 (n + 1)2 = 16 n + 1 = 4 ou n + 1 = 4 n = 3 ou n = 5 (no convm, pois n0) Logo, S = {3}. Permutaes simples Imagine que voc deseja reorganizar na estante seus 12 livros prediletos. JupiterImages/DPIImages. Permutao na organizao de livros. Quantas sequncias poderamos formar com a disposio dos 12 livros distintos na estante, lado a lado? O 1. livro pode ser escolhido de 12 modos diferentes. Escolhido o 1., existem 11 modos para escolher o 2. livro. Escolhidos os dois primeiros, exis- tem 10 maneiras para escolher o 3. livro. Se continuarmos com esse procedi- mento at o ltimo livro, teremos 12! maneiras de ordenar esses 12 livros: 12! = 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 479 001 600 O resultado , digamos, surpreendente: com exatamente 12 livros distin- tos, existem 479 001 600 maneiras possveis de orden-los, lado a lado, em Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 14. 216 Princpios de contagem uma estante. Apenas para ilustrar, se perdssemos 1 minuto para ordenar cada uma das sequncias, demoraramos cerca de 910 anos para que todas as sequncias de livros fossem ordenadas. Cada sequncia possvel de se ordenar os livros chamada de permu- tao simples desses livros. Pensando de uma forma abrangente, podemos dizer que o nmero de maneiras de ordenar n objetos distintos o nmero de permutaes simples de n objetos. Representando por Pn o nmero de permutaes simples, observe o pr- ximo conceito: O nmero de permutaes simples de n objetos distintos dado por Pn =n!. A palavra simples indica que os elementos permutados so distintos. No difcil perceber que a frmula do nmero de permutaes simples uma consequncia imediata do princpio multiplicativo. Por exemplo, a quantidade de permutaes simples das letras a, b, c, d dada por: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Essas 24 sequncias possveis so as seguintes: abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbac acdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba Considere que sete amigos vo ao cinema e ocupam as sete nicas pol- tronas de uma mesma fileira. De quantas maneiras podemos distribuir os sete amigos entre essas sete poltronas? A quantidade total de maneiras igual quantidade de permutaes simples de sete elementos, ou seja: P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 Logo, existem 5 040 maneiras possveis. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 15. Princpios de contagem 217 Utilizamos o conceito de permutao quando ordenamos elementos, ou seja, quando, dado um agrupamento de elementos, formamos sequncias di- ferentes dispondo esses elementos em novas ordens. Exemplo 1: Na compra de ingressos para um jogo de futebol, minutos antes do jogo, uma fila de seis torcedores formada na bilheteria. De quantas maneiras a fila poderia ser ordenada? A quantidade de filas a quantidade de permutaes simples de seis ele- mentos. Esse nmero igual a P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720. Exemplo 2: A produo de um automvel exige a ocorrncia de cinco etapas prin- cipais: A, B, C, D e E, todas distintas, no simultneas, no necessariamente nessa ordem e cada uma delas ocorrendo uma nica vez. IstockPhoto. Etapas da montagem de um carro. a) De quantas maneiras o automvel pode ser produzido? A quantidade total de sequncias dada por: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 b) De quantas maneiras o automvel pode ser produzido, se a etapa A a 1. e B a ltima etapa? Fixando A como sendo a 1. etapa e fixando B como sendo a ltima etapa, podemos permutar as trs etapas intermedirias. Logo, a quantidade de se- quncias nesse caso : Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 16. 218 Princpios de contagem P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 c) De quantas maneiras o automvel pode ser produzido, de modo que as etapas A e B sejam consecutivas, em qualquer ordem? Vamos considerar as etapas A e B como sendo um nico elemento (AB) da sequncia. Isso pode ser feito de P4 maneiras. No entanto, quando as etapas A e B ficam juntas, podemos tambm permut-las, mantendo-as juntas, mas em outra ordem (AB ou BA). Assim, a quantidade total em que A e B so con- secutivas, em qualquer ordem, dada por: P4 . P2 = 4! . 2! = (4 . 3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 24 . 2 = 48 d) De quantas maneiras o automvel pode ser produzido, de modo que as etapas A e B no sejam consecutivas? Para calcular a quantidade de sequncias em que A e B no so consecu- tivas, basta considerar a quantidade total de sequncias, sem restrio (120), e dessas subtrair a quantidade de sequncias que apresentam as etapas A e B consecutivas (48). Assim, temos: 120 48 = 72 e) De quantas maneiras o automvel pode ser produzido, de modo que a etapa A preceda a etapa B? De todas as sequncias que podemos formar (120), metade delas (60) apresenta A precedendo B, e a outra metade apresenta B precedendo A. Logo, existem 60 sequncias em que A precede B. Permutaes com repetio Existem situaes nas quais devemos ordenar elementos em que pelo menos um deles repetido. Nesses casos, a permutao no simples, mas, sim, com repetio de elementos. Para compreender essa diferena vamos exemplificar falando um pouco de um famoso torneio de xadrez. Considerada por muitos a maior rivalidade da histria do xadrez mundial, as partidas entre os enxadristas russos Garry Kasparov e Anatoly Karpov ul- trapassaram dcadas e emocionaram at mesmo as mentes mais brilhantes da poca. Na disputa ocorrida pelo ttulo mundial, em 1985, nas quatro pri- meiras partidas em que no ocorreu empate, foram duas vitrias para cada um deles. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 17. Princpios de contagem 219 Se ocorreram duas vitrias para cada um dos enxadristas, como o torneio poderia ter se desenvolvido em relao a essa sequncia de vitrias? Sendo G (Garry Kasparov) e A (Anatoly Karpov), as sequncias possveis de vitrias nessas quatro partidas so as seguintes: AAGG AGAG AGGA GGAA GAGA GAAG Logo, so 6 maneiras. Podemos tambm calcular a quantidade de maneiras sem descrev-las. Acompanhe o raciocnio: Na sequncia de 4 elementos, existem 2 iguais a A e 2 iguais a B. Logo, poderamos pensar em permutar os 4 elementos, o que nos originaria 4! ma- neiras, caso fossem todos distintos. Entretanto, nessas 4! maneiras, pela re- petio de A, teramos contado a mesma sequncia 2! vezes e, pela repetio de B, outras 2! vezes. Representando por P2,2 4 a quantidade de sequncias possveis e conside- rando-se as repeties apresentadas, temos: P 2,2 4 = 4! 2! 2! = 4 . 3 . 2! 2 . 1 . 2! = 6 O duelo de Ks, como ficou conhecido o jogo entre esses enxadristas, apresentou a seguinte sequncia de vitrias no torneio pelo ttulo mundial de 1985: 1. Kasparov, G. 2. Karpov, A. 3. Karpov, A. 4. Kasparov, G. Ao final, foram 24 partidas, sendo 5 vitrias de Kasparov, 3 vitrias de Karpov e 16 empates. Com o resultado, Kasparov sagrou-se campeo mun- dial de xadrez pela Fdration Internationale des checs (FIDE), em francs. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 18. 220 Princpios de contagem Exemplo 1: Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra OSSOS? Os anagramas so os seguintes: OSSOS SOSOS SSSOO SSOSO SOSSO SSOOS SOOSS OSSSO OSOSS OOSSS Existem 10 anagramas. Para calcular a quantidade total de anagramas, sem necessariamente des- crev-los, podemos utilizar o seguinte raciocnio: Se todas as letras fossem distintas, teramos 5! anagramas. Quando troca- mos entre si as 2 letrasO, obtemos o mesmo anagrama, no um anagrama distinto. Isso faz com que, na nossa contagem de 5!, tenhamos contado o mesmo anagrama 2! vezes, pois h 2! modos de trocar as letras O entre si. Da mesma forma, isso ocorre tambm para as 3 letras S que podem ser ordenadas de 3! modos. Dessaforma,aquantidadetotaldeanagramasencontradapermutando- se as 5 letras e dividindo-se o total obtido pela quantidade de permutaes de 2 elementos (letra O) e pela quantidade de permutaes de 3 elementos (letra S): P5 P2 .P3 = 5! 2! .3! = 5 . 4 . 3! 2 . 1 . 3! = 10 Em geral, a quantidade de permutaes com elementos repetidos obtida do seguinte modo: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 19. Princpios de contagem 221 A quantidade de permutaes de n elementos, dos quais um deles repe- tido vezes, outro repetido vezes, outro vezes, ..., e assim por diante, dada por: P , , , ... n = n! ! . ! . ! ... Exemplo 2: Em todos os dias de aula, Joo vai a p ao colgio. Ele gosta de fazer cami- nhos diferentes, alternando o passeio entre as quadras percorridas. O mapa a seguir ilustra parte da cidade, na qual se observa a casa de Joo, represen- tada pelo ponto J, e o colgio, representado pelo ponto C. J C Considerando os caminhos distintos de menor trajeto possvel, quantos existem levando Joo de casa ao colgio? Para que o caminho seja de menor trajeto possvel, exatamente 7 quadras devem percorridas, sendo 4 na direo leste e 3 na direo sul. Qualquer trajeto pode ser pensado como uma sequncia codificada pelas letras L e S, indicando uma quadra andada em direo ao leste ou sul, respectivamente. Observe dois trajetos possveis: S L L S S L L S S S L L L L Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 20. 222 Princpios de contagem A cada permutao dessas letras, identificamos um novo caminho que poderia ser percorrido. Assim, o nmero de permutaes dessas letras o nmero total de caminhos possveis. Permutando 7 letras (7 quadras) com repetio de 4 letras L (4 quadras para o leste) e de 3 letras S (3 quadras para o sul), obtemos: P4 , 3 7 = 7! 4! . 3! = 7 . 6 . 5 . 4! 4! . 3 . 2 . 1 = 35 Logo, existem 35 caminhos possveis. Combinaes simples Imaginequeumarevistaespecializadatenhaselecionadocincoroqueiros, considerados os maiores da histria e j falecidos: Elvis Presley, John Lennon, Freddie Mercury, Jimi Hendrix e Jim Morrison. A lista havia sido constituda por uma pesquisa de opinio junto a crticos musicais, com base na influn- cia para a poca, na originalidade e, principalmente, na obra de cada cantor. Domniopblico. Elvis Presley (1935-1977) Domniopblico. John Lennon (1940-1980) CarlSenger. Freddie Mercury(1946-1991) ChrysWalter/WireImage. Jim Morrison (1943-1971) Domniopblico. Jimi Hendrix (1942-1970) Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 21. Princpios de contagem 223 Se voc propusesse a seus amigos a seguinte questo: Dessa lista, escolha trs dos cinco roqueiros que, em sua opinio, seriam os melhores! Voc no quer que seus amigos elejam o 1. melhor, o 2. melhor ou o 3. melhor roqueiro. Basta escolher trs entre os cinco. Nenhuma ordem de classificao necessria. Um de seus amigos poderia escolher Elvis Presley, John Lennon e Freddie Mercury. Outro amigo poderia escolher John Lennon, Freddie Mercury e Elvis Presley. Nesse caso, ambos os amigos teriam feito a mesma escolha, pois o interesse est em quais msicos so escolhidos, e no em que ordem se d a escolha. Um terceiro amigo poderia escolher Freddie Mercury, John Lennon e Jim Morrison. Embora dois desses msicos estejam presentes tambm nas outras selees, o fato de um dos msicos ser diferente torna a escolha tambm di- ferente. No difcil perceber que, numa situao como essa, se a escolha no for dos mesmos trs msicos, certamente ela ser diferente. Esse exemplo ilustra um conceito que, em Matemtica, conhecido como combinao simples: Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinao sim- ples desses n elementos, tomados p a p, np, qualquer subconjunto de p elementos distintos formado com os n elementos dados. Por se tratar de escolher elementos para formar subconjuntos, a definio anterior esclarece que: A ordem dos elementos escolhidos no importante . Escolher Elvis Presley, Jimi Hendrix e Jim Morrison o mesmo que esco- lher Jim Morrison, Elvis Presley e Jimi Hendrix. Os elementos escolhidos no podem ser repetidos. No se pode escolher Freddie Mercury, John Lennon e Freddie Mercury. A natureza dos elementos escolhidos importante. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 22. 224 Princpios de contagem Escolher Freddie Mercury, Elvis Presley e John Lennon diferente de esco- lher Freddie Mercury, Elvis Presley e Jimi Hendrix. De quantas maneiras possvel escolher trs roqueiros entre os cinco? Vamos apresentar todas as escolhas possveis: Elvis Presley, John Lennon e Freddie Mercury (1 escolha) Elvis Presley, John Lennon e Jimi Hendrix (2 escolhas) Elvis Presley, John Lennon e Jim Morrison (3 escolhas) Elvis Presley, Freddie Mercury e Jimi Hendrix (4 escolhas) Elvis Presley, Freddie Mercury e Jim Morrison (5 escolhas) Elvis Presley, Jimi Hendrix e Jim Morrison (6 escolhas) John Lennon, Freddie Mercury e Jimi Hendrix (7 escolhas) John Lennon, Freddie Mercury e Jim Morrison (8 escolhas) John Lennon, Jimi Hendrix e Jim Morrison (9 escolhas) Freddie Mercury, Jimi Hendrix e Jim Morrison (10 escolhas) Existem 10 escolhas de trs msicos entre os cinco. Em outras palavras, 10 a quantidade de combinaes simples de 5 ele- mentos (5 msicos disponveis) tomados 3 a 3 (3 msicos escolhidos). Essa relao pode ser representada por: C 3 5 = 10 Para calcular a quantidade de escolhas, podemos raciocinar do seguinte modo: Para o 1. msico existem 5 escolhas; Para o 2. msico existem 4 escolhas; Para o 3. msico existem 3 escolhas. Logo, para os trs msicos existem: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 23. Princpios de contagem 225 5 4. . 3 = 60 escolhas Entretanto, as escolhas dos mesmos trs msicos so iguais. Assim, como podemos ordenar os trs elementos distintos de 3! maneiras e, cada uma dessas maneiras encontra-se repetida no clculo anterior, devemos dividir o resultado por 3!: 5 . 4 . 3 3! = 5 . 4 . 3 3 . 2 . 1 = 60 6 = 10 escolhas O resultado anterior confirma a quantidade de escolhas que havamos obtido anteriormente, listando uma a uma. Ento, podemos escrever: C 3 5 = 5 . 4 . 3 3! Multiplicando e dividindo o numerador e o denominador do 2. membro por 2!, temos: C 3 5 = 5 . 4 . 3 . 2! 3! 2! Reduzindo o numerador a um nico fatorial e observando que 2! = (5 3)!, temos: C 3 5 = 5! 3! (5 3)! Dados 5 elementos distintos, essa ltima frmula calcula a quantidade de escolhas (subconjuntos) de 3 elementos distintos entre os 5 elementos dados. Esse raciocnio pode ser generalizado. Acompanhe: Considere n e p nmeros naturais, tais que np. Para escolher p elemen- tos distintos entre n elementos distintos dados, a quantidade de escolhas dada por: C p n = n! p! (n p)! Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 24. 226 Princpios de contagem A quantidade de combinaes simples de n elementos tomados p a p ser representada por C p n ou Cn, p . Caso ocorra np, define-se C p n = 0, pois no h maneira alguma de escolher mais elementos distintos do que os ele- mentos disponveis. Observe alguns exemplos: C 2 6 = 6! 2! . (6 2)! = 6 . 5 . 4! 2 . 1 . 4! = 6 . 5 2 . 1 = 15 Existem 15 maneiras possveis de escolher 2 elementos distintos entre 6 elementos distintos disponveis. C 4 8 = 8! 4! . (8 4)! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4! 4 . 3 . 2 . 1 . 4! = 8 . 7 . 6 . 5 4 . 3 . 2 . 1 = 70 Existem 70 maneiras possveis de escolher 4 elementos distintos entre 8 elementos distintos disponveis. C 3 7 = 7! 3! . (7 3)! = 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 . 4! = 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 = 35 Existem 35 maneiras possveis de escolher 3 elementos distintos entre 7 elementos distintos disponveis. Os exemplos anteriores enfatizam a ideia de que utilizamos combinaes simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher elementos distintos. Exemplo: Suponha que um clube de tnis da capital deseja inscrever alguns jogado- res para participarem de um campeonato importante no prximo ms. Exis- tem 10 jogadores do clube interessados em participar do torneio. Vamos responder a algumas perguntas referentes inscrio dos jogado- res no torneio: Se exatamente dois jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? C 2 10 = 10! 2! . (10 2)! = 10 . 9 . 8! 2 . 1 . 8! = 10 . 9 2 . 1 = 45 Logo, existem 45 maneiras de inscrever 2 jogadores. Se exatamente cinco jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? C 5 10 = 10! 5! . (10 5)! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 5! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 252 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 25. Princpios de contagem 227 Portanto, existem 252 maneiras de inscrever 5 jogadores. Se exatamente oito jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? C 8 10 = 10! 8! . (10 8)! = 10 . 9 . 8! 8! 2 . 1 = 10 . 9 2 . 1 = 45 Assim, existem 45 maneiras de inscrever 8 jogadores. Observe que dois dos resultados anteriores so iguais. Essa igualdade ocor- reu porque a quantidade de escolhas de 2 jogadores entre os 10 jogadores a mesma quantidade de escolhas de 8 jogadores entre os 10 jogadores: C 2 10 = C 8 10 = 45 Observe que 2 + 8 = 10. Assim, para cada escolha de 2 jogadores que par- ticipam do torneio, existe tambm uma escolha de 8 jogadores que no par- ticipam. Da mesma forma, para cada escolha de 8 jogadores que participam, existe tambm uma escolha de 2 que no participam. Tais combinaes so chamadas de combinaes com taxas complementares. Outros exemplos de combinaes com taxas complementares: C 3 7 = C 4 7 , pois 3 + 4 = 7 C 2 6 = C 4 6 , pois 2 + 4 = 6 C 1 9 = C 8 9 , pois 1 + 8 = 9 Em geral, sendo n e p nmeros naturais, tais que np, as combinaes C p n e C n p n tm taxas complementares, pois p + (n p) = n. Logo, podemos escrever: C p n = C n p n Exemplo 1: De um grupo formado por cinco pessoas, devem-se escolher exatamente duas delas para formar uma comisso que ficar encarregada de organizar um almoo de confraternizao. De quantas maneiras possvel escolher essa comisso? Para compor a comisso, basta escolher duas pessoas entre as cinco dis- ponveis, logo: C 2 5 = 5 . 4 2 . 1 = 10 maneiras Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 26. 228 Princpios de contagem Portanto, a comisso pode ser escolhida de 10 maneiras possveis. Exemplo 2: Um torneio de damas, no qual cada jogador joga com todos os outros uma nica vez, tem 351 jogos. Quantos jogadores disputam o torneio? Sendo x a quantidade de jogadores e observando que cada jogo dispu- tado por dois deles, temos: C 2 x = 351 x! 2! (x2)! = 351 x (x-1) (x2)! 2.1 (x2)! = 351 x . (x 1) 2 . 1 = 351 x2 x 702 = 0 x = x . b2 4ac 2a x = (1) (1)2 4 . 1 (702) 2 . 1 x = 1 2809 2 = 1 53 2 Se x0, ento x = 1 + 53 2 = 54 2 = 27. Logo, o torneio disputado por 27 jogadores. Exemplo 3: Numa circunferncia so marcados 6 pontos distintos, conforme ilustra a prxima figura. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 27. Princpios de contagem 229 a) Quantas retas ficam determinadas com esses 6 pontos? Uma reta fica determinada por dois pontos escolhidos em qualquer ordem, logo: C 2 6 = 6 . 5 2 . 1 = 15 Assim, 15 retas ficam determinadas pelos seis pontos. b) Quantos tringulos podem ser construdos com esses 6 pontos? Um tringulo fica determinado por trs pontos no colineares, escolhidos em qualquer ordem. Como todos os seis pontos pertencem mesma circun- ferncia, no existem trs colineares. Logo: C 3 6 = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 = 20 Existem 20 tringulos possveis de serem construdos com os seis pontos. c) Quantos polgonos convexos podem ser construdos com esses 6 pontos? Com seis pontos podemos construir tringulos, quadrilteros, pentgo- nos e hexgonos, todos convexos. Logo, utilizando o raciocnio do item an- terior, a quantidade de polgonos dada por: C 3 6 + C 4 6 + C 5 6 + C 6 6 = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 + 6 . 5 . 4 . 3 4 . 3 . 2 . 1 + 6 . 5 . 4 . 3 . 2 5. 4 . 3 . 2 . 1 + 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 C 3 6 + C 4 6 + C 5 6 + C 6 6 = 20 + 15 + 6 + 1 = 42 Portanto, 42 polgonos convexos podem ser construdos. Exemplo 4: Uma empresa de produtos de higiene faz uma promoo na qual pre- tende distribuir um pequeno kit de produtos para clientes que atingem um determinado nmero de pontos acumulados com a compra de produtos. Cada kit composto por 4 produtos distintos, escolhidos entre 7 tipos de produtos para o rosto e 6 tipos de produtos para o corpo. a) Quantos kits distintos podem ser distribudos? Se existem 13 produtos disponveis ao todo e o kit deve conter 4 produ- tos distintos, ento a quantidade de kits dada por: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 28. 230 Princpios de contagem C 4 13 = 13 . 12 . 11 . 10 4 . 3 . 2 . 1 = 715 Assim, podem ser distribudos 715 kits. b) Quantos kits distintos podem ser distribudos, se cada um deles deve conter dois produtos distintos para o rosto e 2 produtos distintos para o corpo? Devemos escolher 2 produtos para o rosto, entre 7 possveis, e 2 produtos para o corpo, entre 6 possveis, para formar o kit. Logo, a quantidade de kits nessas condies : C 2 7 . C 2 6 = 7 . 6 2 . 1 . 6 . 5 2 . 1 = 21 . 15 = 315 Nessas condies, podem ser distribudos 315 kits. c) Quantos kits distintos podem ser distribudos, se em cada um deles deve haver pelo menos um produto para o rosto e pelo menos um produto para o corpo? O kit pode conter 1 produto para o rosto e 3 para o corpo, ou 2 produtos para o rosto e 2 para o corpo, ou 3 produtos para o rosto e 1 para o corpo. Logo, podemos escrever: C 1 7 . C 3 6 + C 2 7 . C 2 6 + C 3 7 . C 1 6 = 7 . 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 + 7 . 6 2 . 1 . 6 . 5 2 . 1 + 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 . 6 = C 1 7 . C 3 6 + C 2 7 . C 2 6 + C 3 7 . C 1 6 = 7 . 20 + 21 . 15 + 35 . 6 = 665 Existem 665 maneiras de montar o kit nas condies apresentadas. Importante: Em anlise combinatria existem duas ferramentas bsicas de contagem: a atitude de ordenar, correspondendo ao que chamamos de permutao, e o procedimento intuitivo de escolher, correspondendo ao que denominamos combinao. Quando essas duas atitudes so reunidas, ou seja, quando de- vemos escolher elementos distintos e orden-los, estamos empregando o conceito de arranjos simples. O conceito de arranjos simples , portanto, con- sequncia de dois raciocnios estudados. Sendo n e p nmeros naturais, tais que np, a quantidade de arranjos simples, representada por A p n ou An, p dada por: A p n = C p n . Pp A p n = n! p! (n p)! . p! A p n = n! (n p)! Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 29. Princpios de contagem 231 Exemplo 1: Calcule o valor do nmero de arranjos simples tomados 3 a 3, ou seja, A 3 6 . Utilizando o conceito de arranjos simples, temos: A 3 6 = C 3 6 . P3 = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5 . 4 = 120 Utilizando a frmula do nmero total de arranjos simples, temos: A 3 6 = 6! (6 3)! = 6 . 5 . 4 . 3! 3! = 6 . 5 . 4 = 120 Utilizando o princpio multiplicativo: A 3 6 = 6 . 5 . 4 = 120 Exemplo 2: Em um grupo de sete pessoas, trs sero sorteadas para receber, cada uma, um nico prmio. a) De quantas maneiras poder ocorrer a premiao, se os prmios so iguais? Se os prmios so iguais, basta escolher trs pessoas premiadas entre as sete. Isso pode ser feito de: C 3 7 = 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 . = 35 maneiras b) E se os prmios so distintos? Se os prmios so distintos, devemos escolher trs pessoas premiadas entre as sete e, em seguida, ordenar a distribuio dos prmios. Isso pode ser feito de: A 3 7 = C 3 7 . P3 = 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1 = 7 . 6 . 5 = 210 maneiras Ampliando seus conhecimentos O prximo texto foi extrado do livro A Matemtica do Ensino Mdio Volume 2. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 30. 232 Princpios de contagem Princpios bsicos (LIMA, 2001, p. 85-87) O princpio fundamental da contagem diz que se h x modos de tomar uma deciso D1 e, tomada a deciso D1 , h y modos de tomar a deciso D2 , ento o nmero de modos de tomar sucessivamente as decises D1 e D2 xy. Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Soluo: Formar um casal equivale a tomar as decises: D1 : Escolha do homem (5 modos); D2 : Escolha da mulher (5 modos). H 5 . 5 = 25 modos de formar um casal. Exemplo 2: Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e no se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Soluo: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. H 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir da, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta 3 . 26 = 192. Exemplo 3: Quantos so os nmeros de trs dgitos distintos? Soluo: O primeiro dgito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele no pode ser igual a 0. O segundo dgito pode ser escolhido de 9 modos, pois no pode ser igual ao primeiro. O terceiro dgito pode ser escolhido de 8 modos, pois no pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dgito. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 31. Princpios de contagem 233 A resposta 9 . 9 . 8 = 648. Voc j deve ter percebido nesses exemplos qual a estratgia para resol- ver problemas de combinatria: 1) Postura Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ao solicitada pelo problema e ver que decises devemos tomar. No exemplo 3, ns nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o nmero de trs dgitos; no exemplo 2, ns nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no exemplo 1, ns nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Diviso Devemos, sempre que possvel, dividir as decises a serem to- madas em decises mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar um nmero de trs dgitos foi dividido em escolher cada um dos trs dgitos. Vamos voltar ao exemplo anterior Quantos so os nmeros de trs dgi- tos? para ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estratgia, tornar complicadas as coisas mais simples. Comeando a escolha dos dgitos pelo ltimo dgito, h 10 modos de esco- lher o ltimo dgito. Em seguida, h 9 modos de escolher o dgito central, pois no podemos repetir o dgito j usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro dgito? A resposta depende. Se no tivermos usado o 0, haver 7 modos de escolher o primeiro dgito, pois no podemos usar nem o 0 nem os dois dgitos j usados nas demais casas; se j tivermos usado o 0, haver 8 modos de escolher o primeiro dgito. Um passo importante na estratgia para resolver problemas de combina- tria : 3) No adiar dificuldades Pequenas dificuldades adiadas costumam se tranformar em imensas dificuldades. Se uma das decises a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa a deciso que deve ser tomada em pri- meiro lugar. No exemplo 3, a escolha do primeiro dgito era a deciso mais restrita do que as outras, pois o primeiro dgito no pode ser igual a 0. Essa portanto a deciso que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme aca- bamos de ver, posterg-la s serve para causar problemas. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 32. 234 Princpios de contagem Atividades de aplicao 1. Construa uma rvore de possibilidades relativa ao seguinte problema de contagem e, em seguida, determine o nmero total de escolhas: Uma fbrica produz automveis cujos modelos podem ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os clientes podem decidir entre as seguintes opes: Modelo: conversvel ou no conversvel. Combustvel: gasolina, bicombustvel ou gs. De quantas formas pode-se escolher um carro com essas opes? 2. Todas as semanas um grupo formado por cinco casais de amigos se renem para danar tango. No final do ano acontecer o festival es- tadual de dana e dois integrantes do grupo, um do sexo masculino e um do sexo feminino, sero escolhidos para participar do festival. Se a escolha no ser feita por critrios tcnicos, e sim por sorteio, de quantas maneiras o casal poder ser escolhido? 3. Um aluno no estudou para a prova de Anlise Combinatria. Por isso, no sabia resolver exatamente 4 das 5 questes da prova. As questes eram de mltipla escolha, cada uma com cinco alternativas, em que apenas uma delas era correta. Assim, ele resolveu responder ao aca- so essas 4 questes. De quantas maneiras o gabarito da prova desse aluno poderia ser preenchido, considerando que ele acertou a nica questo que sabia resolver? 4. Uma bandeira formada por trs listras paralelas, sendo que cada uma delas deve ser colorida com apenas uma das cores: branca, azul, vermelha e verde. a) De quantas maneiras a bandeira poder ser colorida de modo que todas as listras tenham cores distintas? b) De quantas maneiras a bandeira poder ser colorida de modo que as listras adjacentes no tenham a mesma cor? Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 33. Princpios de contagem 235 5. Quantos nmeros de 3 algarismos podem ser formados utilizando os algarismos do sistema decimal de modo que: a) os algarismos sejam distintos? b) os algarismos possam ser repetidos? c) sejam mpares e de algarismos distintos? d) no tenham um algarismo igual a 7? e) tenham pelo menos um algarismo igual a 7? 6. Marque V ou F conforme a afirmao seja verdadeira ou falsa, respec- tivamente: a) ( ) 0! = 0 b) ( ) 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 c) ( ) Se x! = y!, ento x = y. d) ( ) m! + n! = (m + n)! para m e n nmeros naturais quaisquer. e) ( ) a! b! = (a b)! para a e b nmeros naturais e ab. f) ( ) 3n! = (3n)! , sendo n um nmero natural qualquer. 7. Supondo a existncia de todos os fatoriais, simplifique as fraes: a) 8! 4! = b) 10! 3! 7! = 8. Anagrama de uma palavra qualquer disposio das letras dessa pa- lavra. Por exemplo, um dos anagramas de PALCO CPAOL. Assim sendo, qual o nmero de anagramas da palavraPARTIDO? 9. Transitando por uma rodovia, o motorista de um carro passa consecu- tivamente por cinco semforos no sincronizados. Se dois deles esta- vam vermelhos e trs estavam verdes, em relao sequncia forma- da pelos sinais de cada semforo, de quantas maneiras esse motorista pode ter percorrido o trajeto? 10.Calcule o nmero de anagramas: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 34. 236 Princpios de contagem a) da palavra BRASIL. b) da palavra NATUREZA. 11.Andr, Bruno, Carlos e Diego desejam viajar de nibus para uma bela praia no prximo feriado. O pai de Bruno ficou responsvel pela com- pra das passagens pela internet. A figura a seguir ilustra as quatro pol- tronas que eles devero ocupar na viagem: lado esquerdo lado direito correDor Se Andr e Bruno desejam viajar de um mesmo lado do nibus em relao ao corredor, assim como Carlos e Diego, de quantas maneiras eles podem se distribuir entre as poltronas? 12.Na semana cultural de um colgio sero exibidas sete peas teatrais distintas, uma em cada dia. Sabe-se que apenas trs dessas peas so do gnero comdia. De quantas maneiras possvel organizar a pro- gramao teatral de forma que as trs peas de comdia sejam exibi- das em dias consecutivos? 13.Com relao palavra ALUNO, calcule: a) O total de anagramas. b) O total de anagramas cujas vogais aparecem em posies adjacentes. c) O total de anagramas cujas vogais aparecem em ordem alfabtica. d) O total de anagramas cujas vogais aparecem em posies adjacen- tes e em ordem alfabtica. 14.Voc faz parte de um grupo de 8 pessoas, sendo uma das 4 que deve- ro ser selecionadas para formar um grupo de trabalho voluntrio. De quantos modos o grupo poder ser formado de forma que voc seja um dos integrantes? 15.Num campeonato de futebol, todos os 20 times jogam uma nica vez Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 35. Princpios de contagem 237 contra todos os demais times. Quantas partidas sero realizadas? 16.A paz reina em um grupo de 8 alunos, pois todos so muito amigos, com exceo de Luiza, que sempre briga com Jaime e com Marcos. Nesse grupo ser constituda uma equipe de quatro alunos. A nica exigncia que cada integrante se relacione bem com todos os ou- tros. Dessa forma, quantas equipes podem ser formadas? 17.Em uma escola, trs dos 10 alunos que obtiveram a melhor mdia anu- al sero sorteados para ganhar uma viagem, com tudo pago e com direito a um acompanhante. Aps ficarem sabendo da notcia, Andr, Tiago e Letcia, que esto entre os 10 melhores alunos, ficaram euf- ricos com a possibilidade de desfrutar do merecido descanso aps o encerramento do ano letivo. Ser que temos boas chances? J pensaram de quantas maneiras o sorteio pode ser realizado? Acho que o nmero de resul- tados depende se o destino ser o mesmo para todos ou no! Ser que isso faz mesmo diferena? IESDEBrasilS.A. Se a direo da escola ainda no decidiu se os trs alunos sorteados iro para o mesmo destino ou cada um para um destino diferente, de acordo com a ordem do sorteio, responda: a) De quantas maneiras o sorteio pode sedesenrolar, considerando que todos os trs alunos sorteados iro para o mesmo destino? b) E se os trs alunos forem para destinos diferentes? Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 36. 238 Princpios de contagem Referncias ASIMOV, Isaac. Cronologia das Cincias e das Descobertas. Rio de Janeiro: Civi- lizao Brasileira. BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. 12. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 1996. DANTE, Luiz Roberto. Matemtica contexto e aplicaes. So Paulo: tica. 472 p. v. 2. Edio reformulada. DEVLIN, Keith. O Gene da Matemtica o talento para lidar com nmeros e a evoluo do pensamento matemtico. Rio de Janeiro: Record, 2004. GARBI, Gilberto G. O Romance das Equaes Algbricas. So Paulo: Makron Books, 1997. _____. A Rainha das Cincias um passeio histrico pelo maravilhoso mundo da Matemtica. So Paulo: Livraria de Fsica, 2006. HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemtica. 3. ed. Porto Alegre: Globo, 1952. IEZZI, Gelson et al. Matemtica cincia e aplicaes. 4. ed. So Paulo: Atual, 2006. 352 p. v. 1. LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemtica e outras Histrias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica. (Coleo do Professor de Matemtica). LIMA, Elon L. et al. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 2001. v. 1. _____. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 2001. v. 2. _____. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 2001. v. 3. LINTZ, Rubens G. Histria da Matemtica. Blumenau: FURB, 1999. v. 1. SINGH, Simon. O ltimo Teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 2002. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995. _____. Os Nmeros Governam o Mundo: folclore da Matemtica. 3. ed. Rio de Janeiro: Ediouro, 1999. 398 p. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 37. Princpios de contagem 239 Gabarito 1. conversvel Gasolina Gasolina Bicombustvel Bicombustvel Gs Gs No conversvel 1. escolha 4. escolha 2. escolha 5. escolha 3. escolha 6. escolha Assim, a escolha pode ser feita de 6 maneiras distintas. 2. Paraescolherointegrantedosexomasculinotemos5possibilidades.Para cada uma dessas possibilidades temos outras 5 possibilidades para esco- lher a integrante do sexo feminino. Assim, para escolher o casal temos 5 . 5 = 25 maneiras distintas. 3. Como o aluno sabia resolver e acertou uma das questes, para essa questo tinha apenas uma possibilidade. Para todas as demais, tinha 5 possibilidades para cada uma delas. Assim, o total de maneiras de preencher o gabarito da prova igual a: 1 . 5 . 5 . 5 . 5 = 625. 4. a) Se as listras devem ter cores distintas, h 4 escolhas de cores para a 1. listra, 3 escolhas de cores para a 2. listra e 2 escolhas de cores para a 3. listra, logo: 4 . 3 . 2 = 24 maneiras possveis. b) possvel escolher a 1. listra de 4 maneiras. Escolhida a cor da 1. listra, existem 3 escolhas possveis para a 2. listra, pois sendo a 2. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 38. 240 Princpios de contagem listra adjacente 1., deve ter cor distinta. Escolhidas as cores da 1. e 2. listras, a 3. listra poder ser colorida de 3 maneiras, pois a cor da 1. listra poder ser novamente utilizada. Assim, existem 4 . 3 . 3 = 36 maneiras possveis. 5. Embora tal restrio no ocorra para senhas, cdigos e similares, no esquea que, para nmeros do sistema decimal, no possvel iniciar com o algarismo zero, a no ser que o nmero seja o prprio zero. Va- mos resolver esse problema dividindo-o em problemas de se escolher cada ordem dos nmeros: centenas, dezenas e unidades. a) Se os algarismos so distintos, existem 9 escolhas para o algarismo das centenas, pois o nmero no pode iniciar por zero. Escolhido o algarismo das centenas, existem 9 escolhas para o algarismo das de- zenas, pois apesar de o algarismo das centenas no poder se repetir nas dezenas, o algarismo zero pode ser escolhido para o algarismo das dezenas. Escolhidos os algarismos das centenas e das dezenas, restam 8 escolhas para o das unidades. Logo, a quantidade de n- meros com trs algarismos distintos dada por 9 . 9 . 8 = 648. b) Existem 9 escolhas para o algarismo das centenas. Como os alga- rismos podem ser repetidos, existem 10 escolhas para o algarismo das dezenas e 10 escolhas para o algarismo das unidades, ou seja, temos 9 . 10 . 10 = 900 nmeros de trs algarismos. c) Vamos comear analisando as possibilidades para as unidades, pois a condio de que o nmero deve ser mpar restringe o al- garismo das unidades. Como essa a condio mais restritiva, de- vemos comear pela ordem das unidades. Se o nmero deve ser mpar, ento existem 5 escolhas para o algarismo das unidades (1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9). Escolhido o algarismo das unidades, existem 8 escolhas para o algarismo das centenas (todos, exceto o mpar das unidades e o zero). Escolhidos os algarismos das unidades e das centenas, existem 8 escolhas para o algarismo das dezenas (todos, exceto o algarismo mpar das unidades e o algarismo das cente- nas). Logo, teremos um total de 8 . 8 . 5 = 320 nmeros mpares de trs algarismos distintos. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 39. Princpios de contagem 241 d) Se o algarismo 7 no pode participar do nmero, existem 8 esco- lhas para o algarismo das centenas, 9 escolhas para o algarismo das dezenas e 9 escolhas para o algarismo das unidades. Dessa for- ma, existem 8 . 9 . 9 = 648 nmeros que no tm o algarismo 7 em qualquer ordem. e) No item (b) calculamos a quantidade total de nmeros com trs algarismos. No item (d) calculamos a quantidade de nmeros com trs algarismos que no tm o algarismo 7 em qualquer ordem. Logo, se subtrairmos os 648 nmeros dos 900 nmeros, a diferena ser a quantidade de nmeros com trs algarismos que tm pelo menos um algarismo igual a 7. Assim, a resposta 900 648 = 252. 6. Marque V ou F conforme a afirmao seja verdadeira ou falsa, respec- tivamente: a) ( F ) 0! = 1 b) ( V ) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ( ordem dos fatores no altera o produto) c) ( F ) 0! = 1! e 0 1. d) ( F ) A operao fatorial no distributiva em relao adio. e) ( F ) A operao fatorial no distributiva em relao subtrao. f) ( F ) Para n = 2, tem-se 3 . 2! = 6 (3 . 2)! = 6! = 720 7. a) 8! 4! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4! 4! = 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 b) 10! 3! 7! = 10 . 9 . 8 . 7! 3 . 2 . 1 . 7! = 120 8. Como a palavra tem todas as letras distintas, para escolher a 1. letra do anagrama existem 7 escolhas possveis. Escolhida a 1., existem 6 escolhas possveis para a 2. letra, e assim por diante. Logo, existem 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 anagramas possveis. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 40. 242 Princpios de contagem 9. A sequncia formada pelos cinco sinais dos semforos, sendo dois vermelhos e trs verdes. Logo, a quantidade de maneiras calculada pela quantidade de permutaes de cinco elementos com duas repe- ties de um deles (vermelho) e trs repeties do outro (verde): P 2, 3 5 = 5! 2! . 3! = 5 . 4 . 3! 2 . 1 . 3! = 10 10. a) A palavra BRASIL possui 6 letras distintas. Assim, o nmero de anagra- mas igual ao nmero de permutaes de seis elementos, ou seja, P6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 720. b) A palavra NATUREZA possui 8 letras, sendo que duas delas so iguais (A). Assim, o nmero de anagramas igual ao nmero de permuta- es de oito elementos com duas repeties, ou seja, P 2 8 . 5! 2! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2! 2! = 20160. 11.Considerando, inicialmente, as duplas (Andr e Bruno, Carlos e Diego), existem P2 maneiras de distribuirmos as duplas entre os lados do nibus. Para cada maneira, em cada lado, ambos os com- ponentes de cada dupla podem ser permutados. Dessa forma, existem: P2 . P2 . P2 = (2 . 1) . (2 . 1) . (2 . 1) = 2 . 2 . 2 = 8 maneiras. 12.Considerando que as trs peas de teatro correspondem a um nico elemento, para manter juntas essas peas, calcula-se a quantidade de permutaes de cinco elementos (1 de comdia e 4 de outros gne- ros), o que resulta em P5 . Para cada uma das sequncias anteriores possvel tambm trocar a ordem das trs peas de comdias. Isso pode ser feito de P3 maneiras. Logo, a quantidade de maneiras de organizar a programao da semana cultural dada por: P5 . P3 = (5 . 4 . 3 . 2 . 1) . ( 3 . 2 . 1) = 120 . 6 = 720 13. a) O total de anagramas da palavra ALUNO igual ao nmero de per- mutaes de cinco elementos, ou seja, P5 = 5! = 120. b) Se as vogais devem aparecer em posies adjacentes, ento pode- mos considerar as letras A, O e U como sendo uma s letra. Alm Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 41. Princpios de contagem 243 disso, podemos permutar as vogais entre si. Assim, o nmero de anagramas cujas vogais aparecem em posies adjacentes dado por P3 . P3 = 3! . 3! = 6 . 6 = 36. c) As vogais podem dispor-se de P3 = 6 maneiras distintas (AOU, AUO, OAU, OUA, UAO, UOA). Dessas, apenas a primeira nos interessa, pois as vogais devem aparecer em ordem alfabtica. Assim, o nmero de anagramas cujas vogais aparecem em ordem alfabtica igual a sexta parte do total de anagramas, ou seja, P5 6 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 6 = 20. d) Se as vogais devem aparecer em posies adjacentes e em ordem alfabtica, ento consideramos as letras A, O e U como sendo uma s letra, e nesse caso no podemos permutar as vogais entre si. As- sim, o nmero de anagramas cujas vogais aparecem em posies adjacentes e em ordem alfabtica igual a P3 = 3! = 6. 14.Se voc deve ser um dos integrantes, ento resta escolher outras 3 pessoas entre 7 possveis. Logo, a quantidade de modos que voc ser um dos integrantes do grupo igual a: C 3 7 = 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 = 35 15.Qualquer partida de futebol realizada com 2 times, em qualquer or- dem. Logo, a quantidade de partidas igual quantidade de escolhas de 2 times entre os 20: C 2 20 = 20 . 19 2 . 1 = 190 Assim, 190 partidas sero realizadas. 16.Existem dois tipos de equipes possveis de serem formadas: as que contam com a participao de Luiza e as que no contam. Inicialmen- te, calcularemos as que contam. Se Luiza uma das integrantes, bas- ta escolher os outros 3 integrantes entre os 7. Isso pode ser feito de C 3 7 = 7 . 6 . 5 3 . 2 . 1 = 35 maneiras. Se Luiza no uma das integrantes, basta escolher todos os 4 integrantes entre os 7, pois Luiza no ser escolhi- da. Isso pode ser feito de C 4 7 = 7 . 6 . 5 . 4 4 . 3 . 2 . 1 = 35 maneiras. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 42. 244 Princpios de contagem Assim, podem ser formadas 35 + 35 = 70 equipes. 17. a) Se o destino ser o mesmo, ento basta saber quais alunos sero premiados. O total de maneiras de escolher trs alunos dentre os 10 melhores da escola igual ao nmero de combinaes simples de 10 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, C 3 10 = 10 . 9 . 8 3 . 2 . 1 = 120. b) Nesse caso, no basta saber quais alunos sero premiados, pois a ordem relevante. Alm de escolher os trs alunos, precisamos orden-los. Assim, o total de maneiras de acontecer o sorteio C 3 10 . P3 = 10 . 9 . 8 3 . 2 . 1 . 3 . 2 . 1 = 720. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 43. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 44. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br