Mdulo 5 - Determinao de diagramas em estruturas hiperestticas utilizando o Prncipio da Superposio. Se considerarmos como aes ou causas os esforos aplicados estrutura, os momentos fletores nas sees transversais sero efeitos produzidos pelas aes. Tais efeitos de momentos fletores, na hiperesttica, podem, portanto, ser determinados atravs da superposio dos momentos M0 do caso zero de carregamento e M1 do caso 1 de carregamento (aplicao do esforo unitrio adimensional de forma isolada), uma vez que se conhea o valor da incgnita hiperesttica X:

0 1M = M + X . M

Para obtermos o diagrama na estrutura hiperesttica com esta expresso, e de forma muito rpida, substitumos na expresso os valores de M0 e M1 para cada seo extrema de trecho (seo de incio ou fim de trecho), marcando o resultado para a seo no diagrama de M para a hiperesttica. Ao aplicarmos a expresso, no devemos nos esquecer de atribuir sinais contrrios para momentos M0 e M1 que tracionam lados oposto da barra, adotando um dos lados da barra como aquele do momento fletor positivo. Se o resultado da expresso para M for negativo, isto significa que o momento M na seo positivo e traciona o lado da barra que escolhemos como sendo aquele do momento fletor negativo. Determinados, desta maneira, o momentos M nas sees extremas dos trechos para a hiperesttica, ligamos os valores de M das sees extremas por reta, caso no haja fora distribuda no trecho, ou por parbola, caso tenhamos, no trecho, fora distribuda uniforme. Outra maneira de se obter o diagrama na hiperesttica , uma vez que conhecemos ao valor da reao igual incgnita hiperesttica X, determinar as demais reaes da hiperesttica atravs das equaes da Esttica e ento, chegar aos seus diagramas com a equivalncia esttica, como sempre fizemos. Porm, se um aluno praticar a determinao dos diagramas utilizando a superposio, perceber que esse processo o mais rpido dos dois descritos acima.

Exerccios Resolvidos: 1 - Determinar os diagramas de esforos internos solicitantes para a barra prismtica. EI = constante

Soluo Reaes: Temos quatro reaes de apoio a determinar, e a Esttica s pode nos fornecer, para isso, 3 equaes. A estrutura , portanto 4 3 = 1 uma vez hiperesttica, externamente. Devemos ter cuidado, ao procurarmos criar uma isosttica fundamental, para no adotarmos uma estrutura hiposttica em lugar de uma isosttica. H trs possveis isostticas fundamentais que podemos usar, que so aquelas onde: 1- Eliminamos o apoio mvel da seo A, 2 - Eliminamos o apoio mvel da seo B, 3 Trocamos o apoio fixo da seo C por um apoio mvel onde a translao vertical livre. A troca do apoio fixo da seo C por um apoio mvel com translao horizontal livre resulta uma estrutura hiposttica. Adotamos, por exemplo, a 1 isosttica: Esta isosttica se comporta como a hiperesttica se nela tivermos como aes o carregamento da hiperesttica e mais a reao VA (VA como parte do carregamento). Distribumos essas aes na isosttica no caso zero e no caso 1 de carregamento, sendo que o caso 1 multiplicado X = VA, que podem reproduzir o efeitos na hiperesttica por superposio dos efeitos que neles ocorrem. Escrevemos uma equao que diz que o deslocamento vertical de A no caso zero mais X vezes o deslocamento vertical de A no caso 1 igual a zero (deslocamento vertical de A na hiperesttica), equao de onde obtemos X.

A B C

2 m 1 m

6 tf.m 8 tf.m 4 tf.m

A B C

2 m 1 m

6 tf.m 8 tf.m

VA

HC

VB VC

4 tf.m

A B C

Caso zero

A B C

2 m 1 m

HC

VB1 = 1,5 VC = 0,5

A B C

2 m 1 m

6 tf.m 8 tf.m

HC

VB0 = 3 tf VC0 = 3 tf

4 tf.m

1

4

2 8

M0 (tf.m)

1

M1 (m)

Caso 1

Diagrama de M na hiperesttica:

x

4

x

L = 1 m 1

+ x

8

2 m

2

6

=

+

1

2 m

= 0 1M M dx

0 0

11 01

000

1 trecho 2 trecho

3

rea de M rea de M

valor de Mvalor de M rea de Mvalor de Mno CG de Mno CG de Mno CG de M

1 1 2 . 6 1 1 . 4 (-1) + 2.2 1 + 1 = 2 tf.m

2 2 2 3

2

L = 1 m

L = 1 m

+

1

2 m

=

1

+

2 m

11 1 1

1 1

1 trecho 2 trecho0 1

3

A A2

1

rea de Mrea de M valor de M valor de Mno CG de M no CG de M

X

M Mdx

1 . 1 2 2 . 1 2 2EI 1 + 1 = 1 m V = = - = - = - 2 tf V =2 tf M2 3 2 3 1

dxEI

1 1

21M dx

L = 1 m

0 1M = M + X . M

M0 (tf.m) 4

A B C

2 m 1 m

6 tf.m 8 tf.m

VA

HC

VB VC

4 tf.m

1

M1 (m)

2

4 + (-2).0 = 4 6 = 4 + (-2).(-1)

2 + (-2).1 = 0

8 = 8 + (-2).0

M (tf.m)

+X .

=

Obs. X = - 2 tf Momentos em lados opostos da barra devem ter sinais opostos na superposio.

2 - Determinar o diagrama de momento fletor para a estrutura, constitudas por barras prismticas com mesma seo transversal. EI = constante

Reaes: Temos quatro reaes de apoio a determinar, e a Esttica s pode nos fornecer, para isso, 3 equaes. A estrutura , portanto 4 3 = 1 uma vez hiperesttica, externamente. Devemos ter cuidado, ao procurarmos criar uma isosttica fundamental, para no adotarmos uma estrutura hiposttica em lugar de uma isosttica. H duas possveis isostticas fundamentais que podemos usar, que so aquelas onde: 1- Trocamos o engastamento deslizante da seo A por um apoio move com translao horizontal livre, 2 - Trocamos o apoio fixo da seo B por um apoio mvel onde a translao vertical livre. A troca do apoio fixo da seo B por um apoio mvel com translao horizontal livre resulta uma estrutura hiposttica. Adotamos, por exemplo, a 1 isosttica:

A

B

3 m

A

B

2 m

10 kN.m 20 kN/m

VA

VB

HB

MA

3 m

A

B

2 m

10 kN.m 20 kN/m

Esta isosttica se comporta como a hiperesttica se nela tivermos como aes o carregamento da hiperesttica e mais a reao MA (MA como parte do carregamento). Distribumos essas aes na isosttica no caso zero e no caso 1 de carregamento, sendo que o caso 1 multiplicado X = MA, que podem reproduzir o efeitos na hiperesttica por superposio dos efeitos que neles ocorrem. Escrevemos uma equao que diz que o deslocamento angular de A no caso zero mais X vezes o deslocamento angular de A no caso 1 igual a zero (deslocamento angularl de A na hiperesttica), equao de onde obtemos X.

3 m

A

B

2 m

10 kN.m 20 kN/m

VA0 = 40kN

VB0 = 40 kN

HB0 = 60 kN

3 m

A

B

2 m VA1 = 0,5 m-1

VB1 = 0,5 m-1

HB1 = 0

1

Caso zero Caso 1

90

90

10 1

1

M0 (tf.m) M1 (adimensional)

L = 2 m

=

0

1

0 010

0

1 trecho

3

rea de MValor de Mrea de M rea de MFrmula Valor de M Valor dno CG de M

no CG de M

20.3 (-1) + (-1) 3.90 1 2.80 2- + -1 + 2.10 -1 + -1

12 2 2 2 2 3

1

0

2 trecho

2

e Mno CG de M

= -153,3 kN.m

1 0 1M .M dx =

90

x

90

=

+

parbola

+

1

90

x

L = 3 m L = 3 m

10

L = 2 m 1

=

+

10

80

0 10 1 0 1

A 222111

M M 1dx M M dx M M dx

153,3EI EIM X 41,8 kN.m1 3,667M M dxM dxdxEIEI

Determinamos o diagrama de momento fletor M na hiperesttica fazendo a superposio:

2

1M dx = 1

L = 3 m

x 1

L = 3 m

+

L = 2 m L = 2 m

x =

11

011

1

2 trecho1 trecho

Valor de Mrea de Mno CG de M Valor de Mrea de M

no CG de M

2.1 23.1 1 + 1 = 3,667 m

2 3

1 1

0 1M = M + X . M

Obs. X = 41,8 kN Momentos em lados opostos da barra devem ter sinais opostos na expresso da superposio.

90

M0 (tf.m) M1 (adimensional)

1

1

1

90 10

+ X.

+ X. + X.

+ X. =

=

=

=

M (tf.m)

48,2

48,2

10 = 10 + 41,8 . 0

41,8 = 0 + 41,8 . 1

Exerccios propostos. 3 Determinar o diagrama de momento fletor para a barra prismtica. EI = constante. Resposta: 4 - Determinar o diagrama de momento fletor para a estrutura, constituda de barras prismticas com mesma seo transversal. EI = constante. Resposta:

A B C

2m

2 tf.m

2m

4 tf.m

0,75

3,25

2

M (tf.m)

4 m

3 m

A

B

2tf/m

C

4 tf.m

5,46

4 3,54

3,54

M (tf.m)

5 - Determinar o diagrama de momento fletor para a estrutura, constituda de barras prismticas com mesma seo transversal. EI = constante. Resposta:

6 - Determinar o diagrama de momento fletor para a barra prismtica. EI = constante. Resposta:

2 m

A

B

3 m

10 kN.m

1,8

8,2

M (kN.m)

A B C

6 tf

1,5 m

4 tf.m

1 m 1 m

5,14 4 0,86

M (tf.m)

7 - Determinar o diagrama de momento fletor para a estrutura, constituda de barras prismticas com mesma seo transversal. EI = constante.

Resposta: 8 - Determinar o diagrama de momento fletor para a estrutura, constituda de barras prismticas com mesma seo transversal. EI = constante. Resposta:

3tf.m

4m

3m 4m

A B

C

0,88

2,12

M (tf.m)

3 tf.m

4m

4 m 3 m

A

B

6 tf.m

3

3,93

2,07

0,82

M\(tf.m)