Parcial 3: “DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD NORMAL ESTANDARIZADA”

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA IIEquipo 2

INDICE

INTRODUCCION HISTORIA DESARROLLO DEL TEMA. DEFINICIÓN EJEMPLOS BÁSICOS EJERCICIOS CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCION En estadística y probabilidad se llama

distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo básico de una variable aleatoria binomial cuando el numero de ensayos de vuelve cada vez más grande.

Historia :

Este fue el enfoque original seguido por De Moivre en 1733. desafortunadamente, su trabajo se perdió por algún tiempo, Karl Gauss desarrolló, de manera independiente, la distribución normal casi cien años después.

DESARROLLO DEL TEMA

Definición: Una variable aleatoria normal con : =0

y 2=1 recibe el nombre de variable aleatoria normal estándar y se denota como Z.

Si X es una variable aleatoria normal con E(X) = y V(x)= 2 , entonces la variable aleatoria

Z=(X-)/ Es una variable normal con E(Z)=0 Y

V(Z)=1. esto es, z es una variable aleatoria normal estándar.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Las propiedades mas importantes son:

1.- Los estadísticos o la moda, mediana y la media, corresponde al punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su mayor altura.

2.- La curva es simétrica alrededor de su eje vertical.

3.- La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica

4.- El área total bajo la curva es igual a 1

Z=(X-)/1 Formula-----------

2 grafica -----------

Z=distribución normal

X = variable aleatoria

m= media poblacional

= desviación estándar

EJEMPLOS BASICOS

1.- Dada una distribución normal con = 50 y =10, encuentra la probabilidad de que una variable X asuma un valor entre 45 y 62

FORMULA:Z=(X-)/ Z1= 45-50 / 10 = - 0.5 Z2= 62-50 / 10 = 1.2SIGUIENDO LA TABLA:Z1= 0.5 = 0.3085Z2= 1.2 = 0.8849PROBABILIDAD = 0.8849- 0.3085=0.5764= =57.54%

Cierto tipo de batería para un automóvil se considero que dura 3 años con una desviación estándar de 0.5 años suponiendo que la duración de las baterías son normalmente distribuidos. Encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años

  = 3 = 0.5 FORMULA:Z=(X-)/ Z= 2.3-3 / 0.5 = -1.4= 0.0808 P (x<30) = 0.0808= 8.08%   La probabilidad de que una determinada batería dure

menos de 2.3 años es de el 8.08 %

APLICACIÓN PRÁCTICA

En un proceso un proceso industrial el diámetro de un balero es una importante parte componente. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser 3.0 ± 0.01 cm la implicación es que no se aceptara ningún balero que se salga de esta especificación. Se sabe que el proceso del diámetro de un balero tiene una distribución normal con µ = 3.0 cm y = 0.005cm

A) determine el porcentaje de baleros que serán rechazados por no cumplir la especificación

Datos: = 3 = .005 FORMULA:

Z=(X-)/ Z= 2.99-3 / .005= -2=0.0228 Z= 3.01-3 / .005= 2=0.9772 0.9772 - .0228 = .95441-.9544 = .0456 = 4.56 %El porcentaje de baleros que serán rechazados por no

cumplir la especificación es de 4.56 %

B) Si la empresa produce 1000 baleros al día, ¿cuantos serán rechazados?

-Se aplica una regla de 3 para obtener el número de baleros rechazados suponiendo que la empresa produce 1000 baleros

 100 – 4.56 = 45 baleros 1000 - ? 

2.- Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios hasta su oficina en el centro de la ciudad.

En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos.

Asuma que la distribución de los tiempos de traslado esta normalmente distribuida.

a) Determine la probabilidad de que un traslado le tome al menos media hora.

Datos: = 24 = 3.8

FORMULA:Z=(X-)/ Z= 30-24 / 3.8 = 1.578INTERPRETACIÓN MATEMATICA:P (x<30) = 0.0582 = 5.82%  La probabilidad de que un traslado le tome

al menos media hora es de el 5.82%

Datos : = 24 = 3.8

FORMULA:Z=(X-)/ Z= 15-24 / 3.8 = -2.36=.0091 =1 - .001 = 0. 9909P (x<30) = 0.9909= 99.09%el porcentajes de las veces llega tarde a

su trabajo es de el 99.09% 

b) Si la oficina abre a las 9am y el sale de su casa a las 8:45 diariamente ¿Qué porcentajes de las veces llega tarde a su trabajo?

c) Si deja su casa a las 8:35 y en la oficina se sirve un café entre las 8:50am y las 9:00am, ¿Cuál será la probabilidad de que se pierda el café?

Datos : = 24 = 3.8

FORMULA:Z=(X-)/ P(x>25)=Z=25-24 / 3.8=.26=0.6056 =1 - 0.6056 = 3974=39.74%P (x>25) = 3974=39.74%la probabilidad de que se pierda el café será de39.74%

d) Encuentra el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos

Datos : = 24 = 3.8

FORMULA:X= (Z * ) + Z= 0.15= 1-.15= .85= 1.04 X= 24 + (Z * ) = 24+ (1.04*3.8)X= 27.95El periodo arriba del cual se encuentra el 15%

de los traslados más lentos es de : 27.95

Tabla 2

Conclusión:

El resultado para la media y la varianza de Z puede obtenerse de manera directa a partir de las definiciones. La creación de una nueva variable aleatoria con esta transformación se conoce como estandarización. La variable aleatoria Z representa la distancia de x a partir de su medida en términos de desviación estándar.

Bibliografía:

Douglas C. Montgomery, y George C. Runger. Probabilidad y estadística aplicadas en la ingeniería y ciencias.

Probabilidad y estadística. Cuarto semestre, unidad II.

Elaborado por:

Julio Antonio Olivera B. Marisela Feliciano Avelino Guadalupe Gómez Tapia