1ª parte - ESCOLHA MÚLTIPLA1ª parte - ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Qual das figuras representa o ângulo de amplitude 2 rad ?

( A ) ( B ) ( C ) ( D )

2. Indica a resposta correcta:

(A) No 3ºQ o seno é negativo e crescente (C) No 4ºQ o seno é negativo e crescente.

(B) No 3ºQ o cosseno é positivo e decrescente (D) No 4ºQ o cosseno é negativo e crescente.

3. Se um ângulo pertence ao segundo quadrante, então o ângulo ( - ) pertence ao:

( A ) 1º Q ( B ) 2º Q ( C ) 3º Q ( D ) 4º Q

4. O conjunto de valores de m que verificam simultaneamente as condições e é:

( A ) ( B ) ( C ) ( D )

5. Sabendo que sen(π + a) > 0 e que cos(2π - a)< 0, podemos dizer que a pertence ao:

(A) 1º Q (B) 2º Q (C) 3º Q (D) 4º Q

6. De entre os pares de amplitudes seguintes, quais os ângulos que têm o mesmo lado extremidade?

(A) (B) (C) (D)

7. O ponteiro das horas de um relógio rodou 1890º desde o dia 1 de Janeiro às 12 horas até ao momento em que parou. O ponteiro dos minutos, quer no início, quer no momento de paragem, apontava o 12. Então o relógio parou:

(A) no dia 5 de Janeiro às 12 horas (C) no dia 3 de Janeiro às 15 horas.

(B) no dia 4 de Janeiro às 3 horas (D) no dia 3 de Janeiro às 24 horas.

8. De um ângulo x sabe-se que e cosx é negativo. Então, x pertence ao:

(A) 2º Q (B) 4º Q (C) 1º Q (D) 3º Q

9. Numa circunferência de raio 4 cm, um arco de 2cm tem amplitude:

(A) (B) (C) (D) 2 rad

10. Se representar no círculo trigonométrico o ângulo com a amplitude 2005º, em que quadrante se situa o lado extremidade?

1

(A) 1º Q (B) 2º Q (C) 3º Q (D) 4º Q

11. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) cos(2 rad) > cos(1 rad) (C) sen(2 rad) > sen(3 rad)

(B) (D) tg(2 rad) > tg(1 rad)

12. Os lados extremidade dos ângulos de amplitudes , -135º+k.180º, , situam-se:

(A) no 2ºQ (B) no 3ºQ (C) nos 1º e 3º quadrantes (D) nos 2º e 4º quadrantes

13. A que intervalo pertence o ângulo de amplitude β, sabendo que :

(A) (B) (C) (D)

14. Um estudante de Engenharia observa o topo de um prédio construído num terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros do prédio, passa a vê-lo sob um ângulo de 60.º. Considerando que a base do prédio está ao nível do olho do estudante, então a altura do prédio é:

(A) 20 m (B) 20 3 m (C) 40 3 m (D) 40m

15. Um homem com 1,80m de altura está de pé a 3m de um candeeiro, que está a 3,60m do solo. O comprimento da sombra do homem, produzida pela luz do candeeiro, é:

(A) 6,48 m (B) 5,4 m (C) 4,8 m (D) 3,0 m

16. O arbusto da figura tem 1,4 m de altura. Quando os raios de sol incidem no chão segundo um ângulo de 40º, o valor, aproximado às décimas, do comprimento da sombra que o arbusto projecta é:

(A) 2,2 m (B) 1,8 m (C) 1,7 m (D) 1,2 m

17. Sabendo que senb.cosb > 0, então b pode ser:

(A) (B) (C) (D)

18. Considera as seguintes afirmações:

I – “O seno é sempre crescente no 1ºQ”II – “ O co-seno é sempre decrescente e positivo no 2ºQ”III – “ A tangente é apenas crescente no 2º Q”

Quais das afirmações são verdadeiras?

(A) A I e a II (B) A II e a III (C) A I e a III (D) Apenas a I

19. Num triângulo rectângulo [RST] sabe-se que .Considera as afirmações:

I- II- III - IV -

2

x

Quanto ao valor lógico pode dizer-se que:

(A) são todas verdadeiras (C) só a III é falsa

(B) só a II é falsa (D) só I e IV são verdadeiras

20. Considere o triângulo isósceles em que a medida do lado menor é metade das medidas do lado maiores (ou seja ).Sendo , qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) (B) (C) (D)

2ª parte2ª parte

21. Representa, se possível, no círculo trigonométrico, os ângulos que satisfazem as condições:

a) c)

b) d)

22. Indica, no sistema no circular, um ângulo, tal que:

a) o seno é e a tangente é negativa b) o co-seno é -0,3

c) a tangente é -83 e o seno é negativo

23. Indica, justificando, qual o valor exacto de:

a) b) c) d)

24. Calcula as coordenadas dos pontos A, B, C e D, sabendo que o raio das circunferências mede 18 cm.

25. Recorrendo ao círculo trigonométrico, determina os valores de , tais que:

a) b) c)

26. Sabendo que , calcula , com aproximação ao metro.

27. Mostra que

3

28. Mostra que:

a) b)

29. Num referencial, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um hexágono regular [CDEFGH].

a) Explica porque é que a abcissa de D é

b) Determina as coordenadas exactas dos pontos E e G.

c) Qual é a medida do comprimento do arco CE na unidade considerada?

d) Se o raio passasse a ter 5 unidades de comprimento, qual era a abcissa de D?

30. Considera a figura ao lado, onde está representada uma bandeira num mastro colocado na vertical. Em certa hora do dia, os raios de sol definem com o plano do chão um ângulo de 65º.

a) Sabendo que o mastro tem 3m de altura. Determina o comprimento da sombra do mastro (em metros, arredondado ao decímetro).

b) Após um dia ventoso que inclinou o mastro, o Joaquim mediu a sombra projectada pelo mastro à mesma hora do dia anterior, e verificou que media 2m. Determina a medida do ângulo definido pelo mastro da bandeira e o chão (em graus, arredondado às unidades).

31. Um poste de iluminação projecta no solo uma mancha de luz circular com, aproximadamente, 19,6 m2 de área.

Sabendo que =32º e =25º, determina a altura do poste.

32. A figura representa o “ Padrão dos Descobrimentos “, em Lisboa. Para medir a sua altura, utilizou-se um teodolito que permite medir amplitudes de ângulos. Registaram-se as medidas seguintes:

= 2º e = 39º A distância

do Padrão P

ao aparelho

T é 60 m

Determina, com aproximação às centésimas, a altura do monumento.

33. Dos ângulos compreendidos entre 0 e , indica os que têm:

a) seno simétrico do seno de b)co-seno igual ao seno de

34. No triângulo da figura, e .

4

A

B

Cx

a) Escreve uma expressão que relacione a área do triângulo com a amplitude do ângulo x. Qual é o domínio da variável x?

b) Determina x, de modo que a área seja 1,5 cm2.

5

x

35. Na figura, [ABC] é um triângulo em que:

= 2; [BH] é a altura relativa ao vértice B; = 1;

x é a amplitude do ângulo e .

a) Mostra que a área do triângulo [ABC], em função de x, é dada pela expressão:

b) Admitindo que o triângulo rectângulo [BHC] é isósceles, determina o valor exacto da área do triângulo [ABC].

36. A pedido de um cliente, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima com a forma de um trapézio, em que

. Designando por α a amplitude do ângulo ADC:

a) Determina o valor exacto da área do trapézio quando

b) Exprime a altura h do trapézio e o comprimento da base maior em função de α.

c) Prova que a área é dada, em dm2 , por

37. Considera o hexágono regular da figura cujo centro geométrico coincide com a origem do referencial e tem lado 4. Sabe-se que .

a) Indica, justificando:

i) sen α.

ii) cos β.

iii) a amplitude do ângulo θ, em radianos.

b) Considera que o hexágono efectuou uma rotação de 30º, em sentido negativo, em torno da origem do referencial. Indica justificando, quais as novas coordenadas do ponto A.

38. Considera a baliza de futebol representada esquematicamente na figura.

a) Uma bola é rematada do ponto A que se encontra a 15,6m da linha de golo. Bate na trave, no ponto C, e embate no solo dentro da baliza, no ponto B, a 1m da linha de golo, tal como evidencia o esquema.

i) Determina a amplitude do ângulo de remate, ou seja, a amplitude de (aproximação às décimas).

ii) Determina a amplitude do ângulo que a bola faz ao bater na trave, ou seja, a amplitude do ângulo β, com aproximação às décimas.

b) As dimensões da baliza são 7,32 metros de largura, 2,44 metros de altura, 0,75m de profundidade na parte superior e 1,5 metros na parte inferior. Considerando as partes laterais trapézios rectângulos, determina a área de rede da baliza, aproximada às unidades.

6

B

A C1

H

2

x

39. A figura ao lado representa, de forma esquemática, uma nora com 1,5 metros de raio, que roda no sentido positivo em torno do centro O e está dividida em oito partes iguais, através de oito “raios”. Admite que a nora tem um movimento de rotação com uma velocidade constante de 4,5º por segundo. A linha a azul representa a altura de água relativamente à nora.

a) Qual é a amplitude, em radianos, do arco descrito pelo ponto A, fixo na nora, ao fim de dois minutos? Justifica a tua resposta.

b) O ponto A foi observado durante o tempo necessário para descrever um arco de amplitude 1890º. Determina durante quanto tempo foi feita a observação.

c) Determina o valor exacto da área do sector circular descrito por [OA], durante 20 segundos.

d) Partindo da posição indicada na figura, o ponto A descreveu um arco de amplitude 11 radianos. O ponto ficou abaixo ou acima da linha de água? Justifica.

40. Uma partícula move-se numa trajectória circular, em torno de O, no sentido positivo, descrevendo arcos iguais em tempos iguais. Realiza uma volta em cada 2 segundos. O raio da trajectória é de 4 metros e a partícula, no instante inicial, estava na posição indicada na figura.

a) Qual é a amplitude, em graus, que a partícula descreve em torno de O em de

segundo?

b) Indica as coordenadas do ponto onde a partícula se encontra depois de descrever

um ângulo de .

41. O centro geométrico do rectângulo da figura coincide com a origem do referencial e está inscrito numa circunferência de raio 2. Sabe-se que

a) Indica, justificando:

i) sen α.

ii) cos β.

iii) a amplitude do ângulo θ, em radianos.

b) Considera que o rectângulo efectuou uma rotação, em sentido negativo, em torno da origem do referencial tal que o ponto A ficou coincidente com o ponto P. Indica justificando, quais as novas coordenadas do ponto B.

42. Na figura está representado, a sombreado, um polígono [ABEG]. Tem-se que

- [ABFG] é um quadrado de lado 2;- o ponto A coincide com a origem do referencial;- FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se

ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] [BD];

7

x

y

1 2-2

2

-2

AB

P

-

a) Mostra que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por

(Sugestão: pode ser-te útil considerar o trapézio [ACEG].)

b) Determina . Interpreta, geometricamente, cada um dos valores obtidos.

c) Considera agora

i) Prova que as coordenadas do ponto E são

ii) Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas GB e BE.

43. Na figura está representado um círculo trigonométrico. Sabe-se que

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo rectângulo [AOB], em função da amplitude, x ,do ângulo AOB?

(A) tgx (B) (C) (D) 2.senx.tgx

44. Na figura está representado um círculo trigonométrico. Sabe-se que

Qual das expressões seguintes dá o perímetro do rectângulo [ABCD], em função da amplitude de x?

(A) senx + cosx (B)2senx + 2cosx (C)4(senx+cosx) (D) 4.senx.cosx

45. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR].

O ponto desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. O ponto desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR]é sempre isósceles.Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a do triângulo [OPR] , em função de ?

(A) (B)

(C) (D)

46. Indica o valor lógico das seguintes afirmações. Justifica.

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(A) Se , sen > cos . (B) cos(1 rad)< 0.

(C) Existe um ângulo no 4ºQ cujo co-seno é igual a .

(D) Para qualquer ângulo do 2ºQ com amplitude , cos . tg > 0.

47. Seja .

a) Mostra que P pertence ao círculo trigonométrico.

b) Sendo um ângulo cuja extremidade é , determina sen, cos e tg.

48. O um triângulo [ABC] é isósceles e .A área deste triângulo, em cm2, é:

(A) 25 (B) 50 (C) (D)

49. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].

Sabe-se que:- os pontos A e B pertencem à circunferência;- o segmento [AB] é perpendicular ao eixo Ox;

- a amplitude de α é rad.

Determina o valor exacto da área do triângulo [OAB].

50. Uma roda de um parque de diversões, com 3m de raio, tem oito cadeiras, de A a H, igualmente espaçadas. Sabe-se que a roda demora 1 minuto a completar uma volta.

a) Qual é a amplitude, em radianos, do arco descrito pela cadeira A, ao fim de 3 minutos e meio? Justifica a tua resposta.

b) Determina o valor exacto da área do sector circular descrito por [OD], durante 20 segundos.

51. A única afirmação verdadeira é:

(A) Sendo e dois ângulos do 1º quadrante, se < , então cos < cos ;(B) Sendo e dois ângulos do 2º quadrante, se < , então sen < sen ;(C) Sendo e dois ângulos do 3º quadrante, se < , então tg < tg ;(D) Sendo e dois ângulos do 4º quadrante, se < , então tg < tg .

52. Considera o ponto . A afirmação verdadeira é:

(A) O ponto P é exterior ao círculo trigonométrico;(B) O ponto P é interior ao círculo trigonométrico;(C) O ponto P pertence ao círculo trigonométrico.

53. Numa pista circular o João desloca-se do ponto A para o ponto B sobre um arco de amplitude 135º de amplitude, percorrendo 250 metros.

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a) Determina o comprimento da pista.

b) Determina um valor aproximado do raio da pista.

c)Determina a amplitude, em radianos, do ângulo correspondente a um percurso de 300 m.

54. Completa com <, > ou =, justificando com esquemas do círculo trigonométrico.

a)cos (10 rad) ...... 0 b)

c) d)

e) f)

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