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Prefacio

O Congresso e o resultado do esforco de alguns pesquisadores que visam organi-zar a area de Sistemas Fuzzy no Brasil. Esse processo de organizacao comecou em2009 durante a realizacao do mini-simposio “Fundamentos e aplicacoes de logicaFuzzy”realizado durante o XXXII Congresso Nacional da Sociedade Brasileirade Matematica Aplicada e Computacional e seu principal foco foi a criacao deum meio que viabilizasse a interacao entre os varios grupos existentes na area.Assim, surgiram os Congressos Brasileiro de Sistema Fuzzy, cuja primeira edicaofoi realizada em Sorocaba-SP no perıodo de 9 a 12 de Novembro de 2010.

Os livros dos mini-cursos juntamente com os anais e o livro de resumos es-tendidos compoem o material academico produzido pelo evento.

Este livro faz parte do conjunto de 3 mini-cursos ministrados durante o Se-gundo Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy (II CBSF) realizado emNatal-RN no perıodo de 06-09 de novembro de 2012; a saber:

– Uma Introducao a Teoria dos Conjuntos Fuzzy;– Reconhecimento de Padroes Fuzzy e Aplicacoes; e– Usando a Teoria dos Conjuntos Fuzzy na Modelagem de Fenomenos Biologicos.

A organizacao do II CBSF espera, dessa forma, que tanto esse mini-cursoquanto o restante da programacao do evento sirva de meio para lhe motivar ainteragir cada vez mais com essa area fascinante que sao os Sistemas Fuzzy.

Natal, Novembro 2012 Regivan Hugo N. SantiagoCoordenador do II CBSF

Organizacao

A coordenacao do II CBSF foi de responsabilidade do grupo de pesquisa: Logica,Linguagem, Informacao, Teoria e Aplicacoes (LoLITA) da UFRN e foirealizado gracas as seguintes instituicoes e pessoas:

Instituicoes Financiadoras

Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior — CAPESFundacao de Apoio a Pesquisa do Estado do Rio Grande do Norte — FAPERNGoverno do Estado do Rio Grande do Norte

Instituicoes Apoiadoras

North American Fuzzy Information Processing SocietyEuropean Society for Fuzzy Logic and TechnologyInternational Fuzzy Systems AssociationSociedade Brasileira de AutomaticaSociedade Brasileira de ComputacaoSociedade Brasileira de Inteligencia ComputacionalSociedade Brasileira de Matematica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN

Comite Executivo

Regivan H. N. Santiago (UFRN) CoordenadorBenjamın Bedregal (UFRN) Vice-coordenadorFernando A. C. Gomide (UNICAMP)Laecio C. de Barros (UNICAMP)

Organizacao Local

Adriao Duarte Doria Neto (UFRN)Benjamın Bedregal (UFRN)Joao Marcos (UFRN)Regivan H. N. Santiago - (UFRN)

Comite de Avaliacao

Coordenadores: Wladimir Seixas (UFSCar)Jose Arnaldo Roveda (Unesp)

Avaliadores

Adilson Brandao — UFSCarAdriao D. D. Neto — UFRNAhmed Esmin — UFLAAndre P. Lemos — UFMGAnne M. Canuto — UFRNAurora Pozo — UFPRBenjamın Bedregal — UFRNDavid C. Martins Jr — UFABCFernando Gomide — UnicampFrancisco De A. Carvalho — UFPEFrancisco J. Fernandes — UPNAGracaliz Dimuro — FURGGuilherme Barreto — UFCHeloisa Camargo — UFSCarHeriberto R.-Flores — U. de TarapacaHumberto Bustince — UPNAJoao Marcos — UFRNJoao F. L. Alcantara — UFCJose A. R. — UnespJulio Pereira — USPLaecio Barros — UnicampMagda S. Peixoto — UFSCarMarcelo E. Coniglio — UnicampMarcos E. Valle — UELMaria J. Castanho — UNICENTROMarilton Aguiar — UFPelMarina Mizukoshi — UFG

Mario Benevides — UFRJMarjory Abreu — UFRNMarley Vellasco — PUC-RioMichal Baczynski — Univ. of SilesiaMyriam Delgado — CEFET-PRNeli R. Ortega — USPPaulo E. Almeida — CEFET-MGPedro Tonelli — USPPeter Sussner — UnicampRegivan Santiago — UFRNRenata Reiser — UFPelRicardo Tanscheit — PUC-RioRicardo Coelho Silva — UNIFESPRodney C. Bassanezi — UFABCRonei Moraes — UFPBRosana Jafelice — UFURoseli Romero — USPSandra Sandri — INPESandra Masalskiene — UnespSimone Andre Costa — UFPelTsang Ing Ren — UFPEVilem Novak — University of OstravaViviane D. Mattos — UFRRJWeldon Lodwick — Univ. of ColoradoWladimir Seixas — UFSCarYurilev C.-Cano — U. de Tarapaca

Avaliadores Ad-hoc

Alexandre S. Simoes — UNESPAndre G. Pereira — UFRNAntonio C. Martins — UNESPCarlos S. dos Santos — UFABCFlaulles Bergamaschi — UESBHenrique Lazari — UNESPJean Piton — UFSCarJuan G. Lazo — PUC-RioLuciana Foss — UFPelMarcus E. Cintra — USP

Martin Figallo — U. Nacional del SurMaurıcio Figueredo — UFSCarRenata Z. de Oliveira — UNESPRicardo M. Araujo — UFPelRogerio Vargas — UESCRonildo Moura — UFRNSilvia M. Nassar — UFSCTiago B. de Carvalho — UFPEViviane L. de Mattos — FURG

II Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy

Natal - RN

MINICURSO

Usando a Teoria dos Conjuntos Fuzzy naModelagem de Fenômenos Biológicos

Rosana Sueli da Motta JafeliceLaécio Carvalho de BarrosRodney Carlos Bassanezi

2012

Prefácio

O objetivo deste minicurso é apresentar os conceitos e ferramentas básicas da Teoria dos Con-juntos Fuzzy como instrumento de aplicações, especialmente em situações e fenômenos bio-lógicos. A teoria dos conjuntos fuzzy foi introduzida por L. Zadeh em meados dos anos 60com a intenção de dar um tratamento matemático a certos termos lingüísticos subjetivos como"aproximadamente", "em torno de", dentre outros. Devido à possibilidade de manipulação deinformações incertas e seu respectivo armazenamento em computadores, a teoria dos conjuntosfuzzy tem se tornado uma das áreas emergentes em tecnologia contemporânea. O tratamentofuzzy de variáveis lingüísticas subjetivas ganhou um espaço substancial na modelagem matemá-tica, particularmente quando não dispomos de dados suficientes para uma estatística ou entãoquando a situação não comporta medições e dependemos de informações subjetivas de especia-listas. Neste sentido, modelos provenientes da Teoria dos Conjuntos Fuzzy têm sido usados emBiomatemática para fazer diagnósticos médicos, promover estratégias de controle de pragas,estabelecer condições de previsão da transferência de indivíduos HIV positivos assintomáticospara sintomáticos e em muitas outras aplicações.

Acreditamos que o material proposto neste minicurso possa despertar a curiosidade dos es-tudantes e ser uma fonte de consulta para futuras aplicações. Assim, procuramos desenvolvero conteúdo de maneira didática e coerente com as aplicações que exemplificam a teoria.

Acredite que vai dar certo... seja fuzzy!

ii

Agradecimentos

A primeira autora e o segundo autor agradecem ao CNPq peloauxílio financeiro (processo no 477918/2010-7) e

(processo no 306872/2009-9), respectivamente.

iii

Conteúdo

1 Conjuntos Fuzzy 21.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Representações de Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Operações Padrões entre Conjuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Normas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Níveis de um Conjunto Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Operações Aritméticas com Números Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Princípio de Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Sistema Baseado em Regras Fuzzy 152.1 Relações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Composição entre Relações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Equações Relacionais Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Regras e Inferência Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Variáveis Lingüísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Aplicações do SBRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 Vitalidade das Violetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2 Grau de Risco da Obesidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7.3 Qualidade da Água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.4 Exposição Ocupacional causada pelo HIV . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Aplicações 343.1 Diagnóstico Médico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Base de Conhecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Modelo de Evolução da AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Informações Médicas sobre HIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Variáveis Lingüísticas e Base de Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Influência do Tratamento na Sobrevida da População HIV-Positiva . . . . . . . . 43

iv

3.3.1 O Modelo Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Variáveis Linguísticas e Regras Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.3 Modelagem da Influência da Adesão na Sobrevida (φ) . . . . . . . . . . . 443.3.4 Sobrevida dos Indivíduos HIV-Positivos Dependendo da Adesão ao Tra-

tamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.5 Sobrevida dos Indivíduos Brasileiros HIV-Positivos . . . . . . . . . . . . 473.3.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Eliminação de Fármacos do Organismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.1 Modelo Farmacocinético Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.2 A Meia-Vida (t 1

2) de um Fármaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.3 Modelo Farmacocinético Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.4 Base de Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.5 Insuficiência Renal e a Eliminação de Fármacos . . . . . . . . . . . . . . 533.4.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Sistemas p-fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.1 Modelo p-fuzzy de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.2 Modelo p-fuzzy de Transferência da População HIV Assintomática para

Sintomática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografia 61

Capítulo 1

Conjuntos Fuzzy

Uma semente não constitui uma pilha nem duas nem três ...mas por outro lado todo mundoirá concordar que 100 milhões de sementes constitui uma pilha. Afinal qual é o limite

apropriado? Nós podemos dizer que 325647 sementes não constitue uma pilha mas 325648constitue? (Borel 1950)

1.1 IntroduçãoA característica essencial da modelagem matemática de processos variacionais, utilizando siste-mas de equações determinísticas, é a precisão obtida nas previsões de fenômeno. Evidentemente,tais previsões ou inferências estão sempre dependentes de informações precisas que são inseri-das como valores médios dos parâmetros utilizados. Por outro lado, nos modelos estocásticos,as soluções médias dos modelos são obtidas a posteriori quando se tem alguma distribuiçãoestatísticas de dados referentes ao fenômeno analisado.

Os modelos estocásticos são freqüentemente utilizados para analisar variações sujeitas àsdistribuições estatísticas. Se pretendemos modelar alguma situação onde seus elementos ouvariáveis são heterogêneas, relativamente a alguma característica, devemos considerar tal ca-racterística no processo evolutivo.

Os modelos clássicos de biomatemática, particularmente os de dinâmica populacional e epi-demiologia, são fundamentados em hipóteses quase sempre provenientes da fisico-química, ondeo encontro de duas substâncias (variáveis de estado) é modelado pelo produto de suas concen-trações - lei da ação das massas. Isto é usado, por exemplo, nos modelos de Lotka-Voltera deinteração entre espécies e nos modelos de Kermak-Mackendrick de epidemiologia. A taxa depredação do modelo presa-predador ou a força de infecção dos modelos epidemiológicos, porexemplo, são valores médios obtidos empiricamente, o que nem sempre traduz corretamente ofenômeno correspondente. No entanto, é sabido que a força de infecção, por exemplo, dependefundamentalmente do ‘poder’ de infecção de cada indivíduo que compõe essa população. Nessecaso, devemos distinguir cada elemento quanto a esse poder de infecção, de acordo com algumparâmetro comportamental (hábitos de vida, por exemplo) ou biológico como sua carga viral

1.2. CONJUNTOS FUZZY 3

[9] e [28]. Para modelar tais características, claramente incertas, temos optado pela teoria dosconjuntos fuzzy como alternativa à teoria estocástica.

1.2 Conjuntos FuzzyUm subconjunto fuzzy ! do conjunto universo U é definido em termos de uma função depertinência u que a cada elemento x de U associa um número u(x), entre zero e um chamadode grau de pertinência de x a !. Assim, o conjunto fuzzy ! é simbolicamente indicado por suafunção de pertinência

u! : U → [0, 1] .

Os valores u!(x) = 1 e u!(x) = 0 indicam, respectivamente, a pertinência plena e a nãopertinência do elemento x a !.

É interessante notar que um subconjunto clássico A de U é um particular conjunto fuzzypara o qual a função de pertinência é a função característica de A, isto é,

uA : U →{0, 1}.

Do ponto de vista formal, a definição de subconjunto fuzzy foi obtida simplesmente ampliando-se o contra domínio da função característica, que é o conjunto {0,1}, para o intervalo [0,1]. Oexemplo a seguir pode ser considerado como um caso típico de subconjunto fuzzy.

Exemplo 1 Considere o subconjunto fuzzy F dos números inteiros próximos de zero:

F={n∈ Z : n é próximo de zero}

O número 0 (zero) pertence a esse conjunto? E o número 1000? Dentro do espírito da lógicafuzzy, poderíamos dizer que ambos pertercem a F porém com diferentes graus de pertinência,de acordo com a propriedade que caracteriza o conjunto. Ou seja, a função de pertinência de Fdeve ser ’construída’ de forma coerente com o termo ’pequeno’ que caracteriza seus elementos noconjunto universo dos números naturais. Uma possibilidade para a função de pertinência de F é

uF (n) =1

n2 + 1(1.1)

Se esse for o caso, poderíamos dizer que o número 0 pertence a F com grau de pertinênciauF (0) = 1, enquanto 1000 pertence a F com grau de pertinência uF (1000) ∼= 10−6, Figura 1.1.

Notemos que a escolha da função uF neste caso foi feita de maneira totalmente arbitrária,levando em conta apenas o significado da palavra ‘pequeno’. Portanto, existem infinitas manei-ras de modelar matematicamente o conceito de ‘número natural pequeno’. Uma outra maneirapossível é

1.3. REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS FUZZY 4

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

números inteiros (n)

uF(n)

10−6

Figura 1.1: Conjunto fuzzy dos números inteiros ‘próximos de zero’.

uF (n) =n+ 1

n4 + 1. (1.2)

Claro que a escolha dessas funções para representar o conjunto fuzzy em questão depende decomo tais funções estão relacionadas com o contexto do problema a ser estudado. Do ponto devista apenas da teoria de conjuntos fuzzy, qualquer uma das duas funções de pertinência (1.1)ou (1.2), pode ser representante do nosso conjunto fuzzy F . Porém, o que deve ser notado éque cada uma destas funções produz conjuntos fuzzy distintos. Finalmente, está implícito quedois conjuntos fuzzy A e B são iguais quando uA(x) = uB(x), para todo x ∈ U .

Exemplo 2 O conjunto fuzzy dos fumantes dado por u(c, t) = ct1+ct em que c é proporcional

ao número de cigarros fumados por unidade de tempo e t o tempo em que o indivíduo fumoudurante sua vida [6].

A seguir apresentaremos algumas representações de conjuntos fuzzy.

1.3 Representações de Conjuntos FuzzyAs representações das funções que definem os elementos de um conjunto fuzzy facilitam a vi-sualização deste conjunto, e podem ser feitas na forma tabular (ou de lista), graficamente e naforma analítica.Para conjuntos finitos, as funções podem ser representadas por tabelas. A tabela representandoum conjunto fuzzy lista todos os elementos do conjunto com seus respectivos graus de perti-nência. No exemplo a seguir temos uma ilustração deste caso. Os exemplos de 3 a 7 foramapresentados em [33].

Exemplo 3 Seja A o conjunto dos alunos ‘estudiosos’ de uma sala de aula de uma facul-dade, e sejam os alunos desta sala: Fernando, Carlos, Márcia e André. Este conjunto A éum subconjunto do conjunto universo X com todos os alunos da faculdade. Nem todos osalunos do conjunto A estudam diligentemente, logo alguns têm um grau de mais estudioso,


outros menos estudiosos variando entre os valores 0 e 1. Para os alunos citados tem-se arepresentação na Tabela 1.1:

Estudante Grau de estudoCarlos 0.3Márcia 0.7

Fernando 0.8André 0.9

Tabela 1.1: Alunos e graus de estudo.

Alternativamente à Tabela 1, pode-se listar os pares consistindo de cada elemento com seugrau de estudo, da seguinte forma:

A=0.8/Fernando + 0.3/Carlos + 0.7/Márcia + 0.9/André

Aqui o símbolo ‘/’ é apenas usado para associar o elemento do conjunto universo X e seugrau de pertinência ao conjunto fuzzy A. Assim, também o sinal de + não significa soma;simplesmente conecta os elementos do grupo. A forma geral para representar o conjunto fuzzyA quando X é finito tem a forma:

A =∑

uA(x)/x

Uma outra forma de se representar um conjunto fuzzy é feita graficamente.A representação gráfica é a mais usada na literatura fuzzy por ter uma interpretação mais

intuitiva. No caso de se fazer representação em duas dimensões, o eixo vertical representa ograu de pertinência no intervelo [0,1], e o eixo horizontal contém a informação a ser modelada.

A seguir temos três exemplos de representação gráfica de conjuntos fuzzy. No exemplo 4,temos uma curva que inicia em 1 (no eixo vertical) e se aproxima do eixo horizontal, ou seja, éuma curva decrescente. No exemplo 5 temos uma curva que cresce e depois decresce, na formade sino. No exemplo 6, temos uma curva que inicia próxima ao eixo horizontal e vai crescendoaté o limite de 1.

Exemplo 4 Um conjunto fuzzy J compatível com o conceito de jovem deve, no mínimo,indicar que, quanto menos idade um indivíduo tiver, mais jovem será. Sua função grau depertinência uJ(x) pode ser representada como na Figura 1.2.

Exemplo 5 O conjunto fuzzy de pessoas de ‘meia idade’ poderia ser representado pelafunção uA(x) ilustrada na Figura 1.3.

Neste exemplo, a curva tem a forma de sino, crescendo da esquerda para a direita até umacerta idade, e depois decrescendo com a idade. Que a curva deva ter esta forma acreditamosque é consenso. As controvérsias talvez apareçam a respeito da idade, onde há mudança docrescimento da curva.

Exemplo 6 Suponha que a universidade defina níveis de experiência acadêmica, de acordocom o número de créditos feitos pelos alunos, conforme a Tabela 1.2.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

idade (anos)

uJ(x)

1

Figura 1.2: Função de pertinência de jo-vens.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 idade (anos)

uA(x)

Figura 1.3: Função de pertinência de pes-soas de meia idade.

Nível Créditos (em horas)Iniciante 0 - 42

Segundanista 43 - 82Júnior 83 - 114Sênior 115 - 146

Tabela 1.2: Níveis de experiência acadêmica.

Ao contrário da teoria clássica de conjuntos que definiriam precisamente os níveis de expe-riência, o termo vago grau de experiência acadêmica corresponde a um genuíno conjuntofuzzy. Os créditos (em horas) é que classificam os níveis dos indivíduos, porém há diferenças decréditos dentro de cada nível. Por exemplo, o indíviduo com 126 créditos é mais sênior queaquele que tem 95 créditos. Uma representação gráfica para este exemplo pode ser a Figura 1.4.

Nesta fase, em que os conjuntos fuzzy estão sendo definidos, é de fundamental importânciaas informações fornecidas pelo especialista da área do fenômeno estudado.

A representação analítica é também bastante utilizada em teoria dos conjuntos fuzzy. Vejao exemplo 7:

Exemplo 7 O conjunto fuzzy A dos números reais em torno de 6 (Figura 1.5) pode serrepresentado analiticamente da seguinte forma:

uA(x) =

x− 5 se 5 ≤ x < 67− x se 6 ≤ x ≤ 70 caso contrário

(1.3)

Para conjuntos fuzzy triangulares usamos a notação A(x; a, b, c) onde a, b e c são as abscissasdos vértices do triângulo. No exemplo acima, temos A(x; 5, 6, 7).

1.4. OPERAÇÕES PADRÕES ENTRE CONJUNTOS FUZZY 7

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1700

1

creditos (em horas)

uA(x)

Figura 1.4: Função de pertinência para oNível Sênior.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

números reais (x)

uA(x)

1

Figura 1.5: Conjunto fuzzy dos númerosreais ‘em torno de 6’.

Na próxima seção definiremos as operações padrões entre conjuntos fuzzy.

1.4 Operações Padrões entre Conjuntos FuzzySejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções características uA e uB,respectivamente. Os conjuntos

A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B},

A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B},

A′= {x ∈ U : x (∈ A}

têm, respectivamente, as funções características

uA∪B(x) = max{uA(x), uB(x)},

uA∩B(x) = min{uA(x), uB(x)},

uA′ (x) = 1− uA(x), ∀x ∈ U .

Pensando novamente em conjuntos fuzzy como sendo caracterizados pelas funções de per-tinências que são extensões de funções características, podemos definir união, intersecção ecomplementar de conjuntos fuzzy.

1.4. OPERAÇÕES PADRÕES ENTRE CONJUNTOS FUZZY 8

Definição 1.4.1 Sejam A e B conjuntos fuzzy (Figura 1.6). As funções de pertinência querepresentam os conjuntos fuzzy união (Figura 1.7), intersecção (Figura 1.8) e complementar(Figura 1.9) de conjuntos fuzzy são dadas por,

uA∪B(x) = max{uA(x), uB(x)},

uA∩B(x) = min{uA(x), uB(x)},

uA′ (x) = 1− uA(x), ∀x ∈ U ,

respectivamente.

1A B

Figura 1.6: Conjuntos fuzzy A e B.

1A B

A∪B

Figura 1.7: União dos conj. fuzzy A e B.

1A B

A∩B

Figura 1.8: Interseção dos conjuntosfuzzy A e B.

1A A’

Figura 1.9: Conjunto Fuzzy A e seu com-plementar A

′ .

1.5. NORMAS TRIANGULARES 9

Particulamente, se A e B forem conjuntos clássicos, então as funções características das res-pectivas operações, acima definidas, satisfazem estas igualdades, mostrando a coerência destasdefinições. Por exemplo, se A é um subconjunto (clássico) de U, então a função caractéristica,do seu complementar é tal que uA′ (x) = 0 se uA(x) = 1 (i.e. x ∈ A) e uA′ (x) = 1 se uA(x) = 0(i.é. x (∈ A). Neste caso, ou x∈ A ou x (∈ A. Na teoria fuzzy não temos necessariamente essadicotomia, nem sempre é verdade que A ∩ A

′= φ assim como não é verdade que A ∪ A

′= U .

O exemplo a seguir ilustra tais fatos.Exemplo 8 Suponha que o conjunto universo U seja composto pelos pacientes de uma

clínica, identificados pelos números 1, 2, 3, 4 e 5 . Sejam A e B os conjuntos fuzzy querepresentam os pacientes com febre e dor, respectivamente. A Tabela 1.3 ilustra a união,intersecção e o complemento.

Paciente Febre(uA) Dor(uB) uA∪B uA∩B uA′ uA∩A′

1 0.7 0.6 0.7 0.6 0.3 0.32 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.03 0.4 0.2 0.4 0.2 0.6 0.44 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.55 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 0.0

Tabela 1.3: União, intersecção e complementar dos conjuntos A e B.

Os valores das colunas, exceto os da primeira, indicam os graus com que cada paciente per-tence aos conjuntos fuzzy A, B, A ∪ B, A ∩ B, A′ , A ∩ A′, respectivamente, onde A e B sãosupostamente dados. Na coluna A∩A′, o valor 0.3 indica que o paciente 1 está tanto no grupodos febris como dos não febris. Como dissemos antes, este é um fato inadmissível na teoriaclássica de conjuntos na qual temos a lei do terceiro excluído (A ∩ A′ = φ).

1.5 Normas TriangularesAs normas triangulares são generalizações dos operadores união e intersecção. Formalmente,temos a definição:

Definição 1.5.1 Uma co-norma triangular (s−norma) é uma operação binária s : [0, 1] ×[0, 1] → [0, 1] satisfazendo as seguintes condições:

• Comutatividade: xsy = ysx

• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz

• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xsw ≤ ysz

1.5. NORMAS TRIANGULARES 10

• Condições de fronteira: xs0 = x, xs1 = 1

Exemplos:

1. União Padrão: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xsy = max(x, y).

2. Soma Algébrica: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xsy = x+ y − xy.

3. Soma Limitada: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xsy = min(1, x+ y).

4. União Drástica: s : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com

xsy =

x se y = 0y se x = 01 caso contrário.

Definição 1.5.2 Uma norma triangular (t−norma) é uma operação binária t : [0, 1]× [0, 1] →[0, 1] satisfazendo as seguintes condições:

• Comutatividade: xty = ytx

• Associatividade: xt(ytz) = (xty)tz

• Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xtw ≤ ytz

• Condições de fronteira: 0tx = 0, 1tx = x

Exemplos:

1. Intersecção Padrão: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xty = min(x, y).

2. Produto Algébrico: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xty = xy.

3. Diferença Limitada: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com xty = max(0, x+ y − 1).

4. Intersecção Drástica: t : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] com

xty =

x se y = 1y se x = 10 caso contrário.

Exercício:

Considere dois conjuntos fuzzy com funções de pertinência triangulares A(x; 1, 2, 3) eB(x; 2, 2, 4).

1.6. NíVEIS DE UM CONJUNTO FUZZY 11

1. Encontre a intersecção e a união dos conjuntos A e B e expresse-as analiticamente, usandoos operadores min e max.

2. Determine a ‘intersecção’ com a t−norma Produto Algébrico xty = xy e a ‘união’ com as− norma Soma Algébrica xsy = x+ y − xy.

3. Encontre os complementares de A e de B e a intersecção destes conjuntos com os conjuntosoriginais A e B, usando as t− normas Intersecção Padrão xty = min(x, y) e ProdutoAlgébrico xty = xy. Repita o mesmo com a operação união usando as s−normas UniãoPadrão xsy = max(x, y) e Soma Algébrica xsy = x+ y − xy.

Na próxima seção definiremos o conceito de nível de um conjunto fuzzy que é de fundamentalimportância na teoria de conjuntos fuzzy.

1.6 Níveis de um Conjunto FuzzyDefinição 1.6.1 Sejam A um conjunto fuzzy e α ∈ [0, 1]. Definimos como α-nível de A oconjunto

[A]α = {x ∈ U : uA(x) ≥ α}.

Definição 1.6.2 Suporte de um conjunto fuzzy A são todos os elementos de U que têm graude pertinência diferente de zero em A e denotamos por supp(A).

supp(A)= {x ∈ U : uA(x) > 0}

Denotaremos por F(U) o conjunto de todos os conjuntos fuzzy de U .

1.7 Números FuzzyAssim como no caso clássico, aqui também temos o objetivo de fazer ‘contas’. A diferença é queaqui pretendemos calcular quantidades imprecisas. Por exemplo, todos nós somos unânimesem dizer que o dobro de uma quantidade ‘em torno de 5’ resulta em outra ‘em torno de 10’.Para isto, ‘criaremos’ objetos que generalizam os números reais. Tais objetos serão chamadosde números fuzzy [23]. Inicialmente, definimos o supremo de um conjunto.

Definição 1.7.1 Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E. Aomenor dos limites superiores de A dá-se o nome de supremo de A que é indicado por supA.

Definição 1.7.2 Um conjunto fuzzy N é chamado número fuzzy quando o conjunto universo,onde N está definido, é o conjunto dos números reais R e a função de pertinência uN : R → [0, 1]é tal que:

1.8. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS FUZZY 12

1. uN(x) atinge o 1, isto é, uN(x0) = 1 para algum x0.

2. [N ]α é um intervalo fechado, ∀α ∈ (0, 1].

3. O suporte de N é limitado.

Observamos que, com a Definição 1.7.2, todo número real r é um caso particular de númerofuzzy cuja função de pertinência é sua função característica:

ur(x) =

{1 se x = r0 se x (= r

(1.4)

1.8 Operações Aritméticas com Números FuzzyDefinição 1.8.1 Sejam A e B dois números fuzzy, e ζ um número real.

1. A soma de números fuzzy A e B é o número fuzzy, A+B, cuja função de pertinência é

uA+B(x) = supx=y+zmin[uA(y), uB(z)]. (1.5)

2. A multiplicação de ζ por A é o número fuzzy, ζA, cuja função de pertinência é

uζA(x) =

{uA(ζ−1x) se ζ (= 00(x) se ζ = 0

(1.6)

onde 0(x) =

{1 se x = 00 se x (= 0

.

Uma maneira alternativa, e mais prática de se fazer estas operações é por meio dos α-níveisdos conjuntos fuzzy envolvidos, de acordo com o Teorema 1.8.1 [23].

Teorema 1.8.1 Se M e N são dois números fuzzy e ζ um número real, então para todo α ∈[0, 1] tem-se

[M +N ]α = [M ]α + [N ]α = {a+ b;a ∈ [M ]α e b ∈ [N ]α}

e[ζN ]α = ζ[N ]α = {ζa; a ∈ [N ]α} (1.7)

Na próxima seção definiremos o Princípio de Extensão, que dentre outros conceitos, genera-liza as operações anteriores.

1.9. PRINCíPIO DE EXTENSÃO 13

1.9 Princípio de ExtensãoEssencialmente, o princípio da extensão é utilizado para obter a imagem de conjuntos fuzzyatravés de uma função clássica.

Sejam X e Y conjuntos e f uma aplicação de X em Y . Seja A um conjunto fuzzy em X. Oprincípio de extensão afirma que a imagem de A pela função f é um conjunto fuzzy B = f(A)em Y , cuja função de pertinência é dada por

uB(y) = supx

uA(x) (1.8)

para x ∈ X e y = f(x), para cada y ∈ Y . A Figura 1.10 ilustra tal princípio.

f

B

Au

Bu

Figura 1.10: Princípio de extensão [30].

O princípio de extensão pode ser descrito da seguinte forma:

• O grau de pertinência de um valor do contradominío é definido diretamente pelo grau depertinência de sua pré-imagem.

• Quando um valor do contradomínio é mapeado por vários do domínio, o seu grau depertinência é obtido pelo sup dos graus de pertinência dos valores da entrada.

O princípio de extensão pode ser facilmente generalizado para funções de várias variáveis.Sejam X = X1 × X2 × ... × Xn e Y conjuntos universos. Considere os conjuntos fuzzy Ai

em Xi, i = 1, ..., n, e uma função f : X −→ Y . Os conjuntos fuzzy A1, A2,...,An são então

1.9. PRINCíPIO DE EXTENSÃO 14

‘transformados’ pela f produzindo o conjunto fuzzy B = f(A1, A2, ..., An) em Y , cuja funçãode pertinência é

uB(y) = supx

min[uA1(x1), uA2(x2), ..., uAn(xn)], (1.9)

para x ∈ X, x = (x1, ..., xn) ∈ X1 ×X2 × ...×Xn e y = f(x).No próximo capítulo introduziremos as variáveis lingüísticas e o sistema baseado em regras

fuzzy.

Capítulo 2

Sistema Baseado em Regras Fuzzy

2.1 Relações FuzzyEstudos de associações, relações ou interações entre os elementos de diversas classes é de grandeinteresse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundo real. Matematicamente, oconceito de relação é formalizado a partir da teoria de conjuntos. Desta forma, intuitivamentepode-se dizer que uma relação será fuzzy quando optamos pela teoria dos conjuntos fuzzy e seráclássica quando optamos pela teoria clássica de conjuntos para conceituar a relação em estudo.Qual dos modelos adotar, entre estes dois, depende muito do fenômeno estudado. Porém, aopção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem maior robustez no sentido de que esta incluia teoria clássica de conjuntos [5]. Definiremos a seguir relações fuzzy.

Definição 2.1.1 Uma relação fuzzy R, sobre U1 × U2 × ...× Un, é qualquer subconjunto fuzzydo produto cartesiano U1 × U2 × ...× Un. Se o produto cartesiano for formado por apenas doisconjuntos, U1 × U2, a relação é chamada de fuzzy binária sobre U1 × U2.

A principal vantagem na opção pela relação fuzzy é que a relação clássica indica apenas sehá ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy além de indicar se existe ounão relação, indica também o grau desta relação.

Uma noção que será muito importante para o nosso trabalho é o produto cartesiano entreconjuntos fuzzy.Definição 2.1.2 O produto cartesiano fuzzy A1 × A2 × ... × An dos subconjuntos fuzzy A1,A2,..., An de U1, U2,..., Un, é a relação fuzzy R cuja função de pertinência é

uR(x1, x2, ..., xn) = uA1(x1) ∧ uA2(x2) ∧ ... ∧ uAn(xn) (2.1)

onde ∧ é a t-norma min.A noção e utilização de produto cartesiano fuzzy ficará mais clara quando introduzirmos oconceito de sistemas baseados em regras fuzzy, que são sistemas compostos de regras da forma‘Se...então...’, pois estas regras podem ser interpretadas como produtos cartesianos de conjuntosfuzzy.

2.2. COMPOSIÇÃO ENTRE RELAÇÕES FUZZY 16

2.2 Composição entre Relações FuzzyConsidere R e S duas relações fuzzy binárias em U1 × U2 e U2 × U3, respectivamente.

Definição 2.2.1 A composição RoS é uma relação fuzzy binária em U1 × U3, com função depertinência dada por

uRoS(x1, x3) = maxx2∈U2

[min(uR(x1, x2), uS(x2, x3))]. (2.2)

Quando os conjuntos U1, U2 e U3 são finitos, então a forma matricial da relação RoS, dada pelacomposição max-min, é obtida como uma multiplicação de matrizes substituindo-se o produtopelo mínimo e a soma pelo máximo.

Definiremos um caso especial da composição max-min, que será utilizada no Capítulo 3 emuma importante aplicação: diagnóstico médico.

Definição 2.2.2 Sejam U1 e U2 dois conjuntos, F(U1) e F(U2) as classes dos conjuntos fuzzyde U1 e U2, respectivamente, e R uma relação fuzzy binária sobre U1 × U2. Então a relação Rdefine um funcional de F(U1) em F(U2) que a cada elemento A1 ∈ F(U1), faz corresponder oelemento A2 ∈ F(U2) cuja função de pertinência é dada por:

uA2(x2) = uR(A1)(x2) = maxx1∈U1

[min(uA1(x1), uR(x1, x2))] (2.3)

2.3 Equações Relacionais FuzzyAs equações relacionais fuzzy foram primeiramente citadas em Diagnóstico Médico [34]. Vamosapresentar um resumo da formulação matemática das mesmas.

Uma equação relacional tem a forma:

S ∗X = D (2.4)

onde S, X e D são relações fuzzy e ∗ é uma operação entre relações fuzzy, como por exemploa da fórmula (2.3).

A fórmula (2.4) é uma equação relacional porque uma, dentre as três relações, será incógnitadependendo do problema em questão. Quando forem conhecidas S e X, a incógnita será a re-lação D, que é obtida diretamente da operação entre S e X. Esta será a abordagem enfatizadaneste texto. Quando forem conhecidas S e D, sendo X a incógnita, então estamos diantes deum problema que faz parte da área de pesquisa chamada ‘Problemas Inversos’. Um exemplodesta área é a resolução de sistemas lineares Ax = b, cuja solução é x = A−1b quando A teminversa.

O leitor interessado nas equações relacionais fuzzy ligadas a problemas inversos pode consul-tar [8], [23] e [30]. Nosso objetivo é propor um sistema fuzzy a partir das equações relacionais

2.3. EQUAÇÕES RELACIONAIS FUZZY 17

fuzzy que imite a atuação de um médico no diagnóstico de seus pacientes.Apenas para constar, aqui no contexto o problema inverso seria adotado se tivéssemos um

banco de dados de pacientes já diagnosticados. Nesse caso, o objetivo seria encontrar a matrizX que produziu esses diagnósticos. Intuitivamente, X faria o papel do médico que ‘produziu’os diagnósticos do banco de dados.

As operações entre as relações fuzzy de nosso interesse são ∗ = ◦ e ∗ = ◦w como definidas aseguir:

Considere P e Q duas relações binárias definidas sobre U × V e V ×W , respectivamente, asrelações de composição P ◦Q e P ◦w Q, definidas sobre U ×W por

(P ◦Q)(x, z) = supy∈V [inf(P (x, y), Q(y, z))]

e(P ◦w Q)(x, z) = infy∈V [w(P (x, y), Q(y, z))],

sendo w uma operação em [0, 1]× [0, 1] como, por exemplo, a implicação fuzzy de Gödel

g : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]

onde

(a ⇒ b) = g(a, b) =

{1 se a ≤ bb se a > b.

O teorema a seguir tem grande utilidade no estudo das equações relacionais fuzzy e aquienunciaremos o resultado.

Teorema 2.3.1 Dadas as relações fuzzy S e D definidas U × V e U × W , respectivamente,seja A = {X : X é relação fuzzy em V ×W e S ◦X = D}. Então se A (= ∅, tem-se S−1 ◦g Dcomo elemento maximal de A.

Note que o teorema anterior fornece S−1 ◦g D como solução da equação relacional S ◦X = D.Deste modo, este teorema indica uma maneira de se construir uma relação fuzzy que, quandocomposta com uma primeira (no caso S), produz um resultado pré-estabelecido que, neste caso,é uma relação fuzzy D.

Bem, como já dissemos só iremos explorar o caso de equações na forma em que S e X sãoconhecidas. As equações relacionais fuzzy foram apresentadas aqui, porém sua aplicação apa-recerá só no capítulo 3.

Na próxima seção será apresentado um outro tema que envolve relações onde o sistema fuzzyé dado por uma coleção de regras fuzzy o qual é utilizado na teoria de controladores fuzzy [8],[23] e [30].

2.4. REGRAS E INFERÊNCIA FUZZY 18

2.4 Regras e Inferência FuzzyUma regra fuzzy é uma sentença da forma ‘Se X é A então Y é B’, onde A e B são conjuntosfuzzy em X e Y , respectivamente. Tal regra pode ser interpretada como uma relação fuzzy Rentre A e B cuja função de pertinência uR(x, y) depende de uA(x) e uB(x) para cada (x, y) ∈X × Y . Nesse texto, utilizamos a função mínimo para essa dependência, ou seja,

uR(x, y)=uA(x) ∧ uB(y).

Desta forma, R = A × B. Essa foi a modelagem dada por Mamdani para representar a regra‘Se X é A então Y é B’. Na teoria de raciocínio aproximado, essas sentenças são modeladaspor implicações fuzzy [8]. Para uma coleção de regras fuzzy, usa-se um operador s-conormapara conectá-los, como por exemplo máximo. Ver o método de Mamdani na seção 2.5.

2.5 Variáveis LingüísticasUma variável lingüística é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente por termoslingüísticos (que fornece um conceito à variável) e quantativamente por uma função de perti-nência, Figura 2.1.

Variável Lingüística

Termos Lingüísticos

AltaMédiaBaixa

Temperatura

Figura 2.1: Variáveis Lingüísticas.

Exercício:

Assuma que você está dirigindo em uma rodovia com velocidade máxima de 100km/h. Comovocê caracteriza descrições tal como baixa, média, alta em termos de variáveis lingüísticas? Esobre não baixa e não alta?

2.6. SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY 19

2.6 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contêm quatro componentes: um processador deentrada que realiza a fuzzificação dos dados de entrada, uma coleção de regras fuzzy chamadabase de regras, uma máquina de inferência fuzzy e um processador de saída que fornece umvetor como saída [19] e [17]. Estes componentes estão conectados conforme indicado na Figura2.2, supondo x ∈ Rn e y ∈ Rm.

Figura 2.2: Sistemas baseados em regras fuzzy.

Uma vez estabelecida uma base de regras, isto é, como relacionamos os conjuntos fuzzy pelaforma Se...então..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entre a entrada e a saída daforma y = f(x), x ∈ Rn e y ∈ Rm (caminho em negrito na Figura 2.2). Esta classe de sistemaé amplamente utilizada em problemas de modelagem, controle e classificação. Os componentesdo SBRF são descritos a seguir:

• Processador de Entrada (Fuzzificação)

Neste componente as entradas do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzy em seusrespectivos domínios. A atuação de um especialista na área do fenômeno a ser modeladoé de fundamental importância para colaborar na construção das funções de pertinênciaspara a descrição das entradas.


• Base de Regras

Este componente, juntamente com a máquina de inferência, pode ser considerado o núcleodos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele é composto por uma coleção de proposiçõesfuzzy na forma Se...então.... Cada uma destas proposições pode, por exemplo, ser descritalingüisticamente de acordo com o conhecimento de um especialista. A base de regrasdescreve relações entre as variáveis lingüísticas, para serem utilizadas na máquina deinferência fuzzy que descreveremos no próximo item.

• Máquina de Inferência Fuzzy

É neste componente que cada proposição fuzzy é traduzida matematicamente por meiodas técnicas de raciocínio aproximado [8]. Os operadores matemáticos serão selecionadospara definir a relação fuzzy que modela a base de regras. Desta forma, a máquina deinferência fuzzy é de fundamental importância para o sucesso do sistema fuzzy, já quefornece a saída a partir de cada entrada fuzzy e da relação definida pela base de regras.Apresentaremos dois métodos particulares de Inferência Fuzzy: o Método de Mamdanie o Método de Takagi-Sugeno. A diferença básica entre esses métodos recai no tipo deconseqüente e no procedimento de defuzzificação. Para simplicidade, somente modelos deregras com duas entradas e uma saída serão ilustradas.

– Método de MamdaniUma regra Se (antecedente) então (conseqüente) é definida pelo produto cartesianofuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem o antecedente e o conseqüente da regra. Ométodo de Mamdani agrega as regras através do operador lógico OU, que é mode-lado pelo operador máximo e, em cada regra, o operador lógico E é modelado pelooperador mínimo. Veja as regras a seguir:Regra 1: Se (x é A1 e y é B1) então (z é C1).Regra 2: Se (x é A2 e y é B2) então (z é C2).

A Figura 2.3 ilustra como uma saída real z de um sistema de inferência do tipoMamdani é gerada a partir das entradas x e y reais e a regra de composição max-min.A saída z ∈ R é obtida pela defuzzificação do conjunto fuzzy de saída C = C

′1 ∪ C

′2

da Figura 2.3.

– Processador de Saída (Defuzzificação)Na teoria dos conjuntos fuzzy pode-se dizer que a defuzzificação é um processo de serepresentar um número real por um conjunto fuzzy. Em sistemas fuzzy, em geral asaída é um conjunto fuzzy. Assim, devemos escolher um método para defuzzificar a


Figura 2.3: Método de Mamdani com composição max-min.

saída e obter um número real que a represente. A seguir, relacionaremos o métodomais comum de defuzzificação.

∗ Centro de gravidadeEste método de defuzzificação é semelhante à média ponderada para distribui-ção de dados, com a diferença que os pesos são os valores C(zi) que indicamo grau de compatibilidade do valor zi com o conceito modelado pelo conjuntofuzzy C.

Para um domínio discreto tem-se

G(C) =

∑ni=0 uiC(zi)∑ni=0 C(zi)

(2.5)

Para um domínio contínuo tem-se

G(C) =

∫R uC(u)du∫R C(u)du

(2.6)

onde R é a região de integração.

2.7. APLICAÇÕES DO SBRF 22

2.7 Aplicações do SBRF

Nesta seção apresentaremos quatro exemplos de aplicações do SBRF, os três primeiros elabo-rados pelos alunos Flávia Cristina Queiroz, Eder Lúcio da Fonseca e Edinei Leandro dos Reis,respectivamente, do Curso de Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uber-lândia. O último exemplo foi elaborado pela aluna Ana Luíza Pereira Saramago do Curso deMedicina da Universidade Federal de Uberlândia e foi apresentado no 45o Congresso Brasileirode Educação Médica [36].

2.7.1 Vitalidade das Violetas

Violeta é um tipo de flor muito apreciada pelos apaixonados por plantas. Possui folhas grandese flores miúdas.

Para que tenha vida longa pequenos cuidados diários são necessários. Por exemplo:

• Ser exposta de meia à uma hora ao Sol da manhã ou ao da tarde (pois o Sol é mais fraconestas horas).

• Ser aguada com aproximadamente 33 ml.

Assim, dados os valores da quantidade de água (ml) e da quantidade de Sol (minutos), tem-secomo resultado a ‘vitalidade da violeta’.

Neste exemplo, as variáveis lingüísticas são:

• Quantidade de água (ml), com domínio [0,66], dividido em faixas: menor que 20, entre20 e 38; maior que 38, e os termos lingüísticos são pequena, média e grande. As funçõesde pertinência são triangulares, como mostra a Figura 2.4.

• Tempo de exposição no Sol (min), com domínio [0,95], dividido em faixas: menor que30, entre 30 e 60; e maior que 60, e os termos lingüísticos são pequeno, médio e grande,respectivamente; também as funções de pertinência triangulares, Figura 2.5 .

• O domínio da váriavel de saída ‘vitalidade da violeta’ é [0,1] e com termos lingüísticos:ruim, média e boa, como mostra a Figura 2.6 .

A Tabela 2.1 apresenta as classificações da vitalidade da violeta como função da quantidadeda água A (ml) e tempo de exposição no Sol S (min). As regras fuzzy são apresentadadas naTabela 2.2.


!!!!!!!!!!!!Sol(S )Água (A)

< 20 20 - 38 > 38

< 30 média boa ruim30 - 60 média boa ruim> 60 ruim média ruim

Tabela 2.1: Classificações da vitalidade da violeta como função da quantidade de água A (ml)e tempo de exposição no Sol S.

0 10 20 30 40 50 60 700,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 grandemédiapequena

Quantidade de água (A)

Figura 2.4: Funções de pertinên-cia da quantidade de água (A).

0 20 40 60 80 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0grandemédiopequeno

Tempo de exposição no Sol (S)

Figura 2.5: Fun. de pertinênciado tempo de exposição do sol (S ).

!!!!!!!!!!!!Sol(S )Água (A) pequena média grande

pequena média boa ruimmédia média boa ruimgrande ruim média ruim

Tabela 2.2: Regras fuzzy.

Assim, dados os valores da quantidade de água e tempo de exposição, tem-se como resultadoa inferência de um valor, no intervalo [0,1] que representa a vitalidade das violetas V. Nestesentido, é possível obter uma saída do sistema de inferência. Por exemplo, com quantidade deágua 40 ml e tempo de exposição do Sol 60 min, após a defuzzificação encontramos um valor


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 boamédiaruim

Vitalidade das violetas (V)

Figura 2.6: Funções de pertinência da vitalidade das violetas (V ).

igual 0.7, orientando que esta quantidade de água e tempo de exposição no Sol geram umavitalidade de 0.7 numa escala de 0 a 1 para as violetas [3] .

2.7.2 Grau de Risco da ObesidadeDenomina-se obesidade uma enfermidade caracterizada pelo acúmulo excessivo de gordura cor-poral, associada a problemas de saúde, ou seja, que traz prejuízos à saúde do indivíduo.

A forma mais amplamente recomendada para avaliação da massa corporal em adultos é oIMC (índice de massa corporal), recomendado inclusive pela Organização Mundial da Saúde.Esse índice é calculado dividindo-se a massa do paciente em quilogramas (kg) pela sua alturaem metros elevada ao quadrado (quadrado de sua altura) [1]. O valor assim obtido estabeleceo diagnóstico da obesidade e caracteriza também os riscos associados conforme apresentado naTabela 2.3:

IMC (kg/m2) Grau de Risco Tipo de obesidade18 a 24,9 Saudável Ausente25 a 29,9 Moderado Sobrepeso (Pré-Obesidade )30 a 34,9 Alto Obesidade Grau I35 a 39,9 Muito Alto Obesidade Grau II

40 ou mais Extremo Obesidade Grau III (‘Mórbida’)

Tabela 2.3: Diagnóstico da Obesidade.


Conforme pode ser observado, o peso normal no indivíduo adulto com mais de 20 anos deidade varia conforme sua altura, o que faz com que possamos estabelecer os limites inferiores esuperiores da massa corporal para as diversas alturas conforme a Tabela 2.4 :

Altura (cm) Massa Inferior (kg) Massa Superior (kg)145 38 52150 41 56155 44 60160 47 64165 50 68170 53 72175 56 77180 59 81185 62 85190 65 91

Tabela 2.4: Altura × Massa.

O objetivo deste exemplo é analisar através de um SBRF o risco de obesidade de um indivíduotendo como variáveis lingüísticas de entrada a massa (kg) e a altura (cm). Assim, as variáveislingüísticas são:

• Massa (kg), com domínio [47,81], distribuídas em faixas: entre 47 e 64, entre 50 e 68,entre 53 e 72, entre 56 e 77; e entre 59 e 81, nos termos lingüísticos são baixa,médiabaixa, média, média alta e alta. As funções de pertinência são triangulares, como mostraa Figura 2.7.

• Altura (cm), [157,183], dividindo em faixas: entre 57 e 163, entre 162 e 168, entre 167 e173, entre 172 e 178; e entre 177 e 183, e os termos lingüísticos são baixa, média baixa,média , média alta e alta, respectivamente; também as funções de pertinência triangulares,Figura 2.8 .

• O domínio da váriavel de saída ‘Grau de Risco’ é o intervalo [18,35] e os termos lingüísticossão saudável, moderado e alto, com funções de pertinências trapezoidais como mostra aFigura 2.9 .

As regras fuzzy são apresentadadas na Tabela 2.5.

Assim, dados os valores da altura e a massa de uma pessoa, tem-se como resultado um valor,no intervalo [18,35] que representa o grau de risco de obesidade R. Neste sentido, é possívelobter uma saída do sistema de inferência, por exemplo, com altura 164 cm e peso 59 kg, apósa defuzzificação encontramos um valor igual 23.5, indicando que a pessoa está saúdavel.


50 55 60 65 70 75 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Massa (M)

Gra

u de

per

tinên

cia

média baixa média média altabaixa alta

Figura 2.7: Funções de pertinênciada massa (M ).

160 165 170 175 1800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Altura (A)

Gra

u de

per

tinên

cia

média baixa média média altabaixa alta

Figura 2.8: Funções de pertinênciada altura (A).

18 20 22 24 26 28 30 32 340

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Grau de Risco (R)

Gra

u de

per

tinên

cia

Saudável Moderado Alto

Figura 2.9: Funções de pertinência do grau de risco (R)."""""""""""""""Altura (A)

Massa (M ) baixa média baixa média média alta alta

baixa saudável moderado moderado moderado altomédia baixa saudável saudável moderado moderado moderado

média saudável saudável saudável moderado moderadomédia alta saudável saudável saudável saudável moderado

alta saudável saudável saudável saudável saudável

Tabela 2.5: Regras fuzzy.

2.7.3 Qualidade da ÁguaO objetivo deste exemplo é analisar a qualidade da água abordando três aspectos de pota-bilidade da água. Para a fuzzificação dos dados foram utilizadas informações da SABESP(Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo) que regulamenta e fiscaliza a qua-lidade da água para o consumo humano no estado de São Paulo.


As variáveis de entrada escolhidas para garantir a potabilidade da água são: cor aparente(medida em UH - unidade Hazen), pH (potencial hidrogeniônico, ou seja, concentração de íonsde Hidrogênio - onde os valores variam de 0 a 14), e a turbidez (causada pela presença desubstâncias suspensas e coloidais - é determinada pela quantidade de luz dispersada quando elapassa através de uma amostra e é medida em UT, ou seja, unidades de cor).

Além dessas três variáveis de entrada para água que vamos analisar, poderíamos utilizaroutras tais como: odor e sabor, nível de flúor, nível de cloro residual, quantidade de coliformesfecais e totais.

A variável de saída é a qualidade da água, com domínio [0,1] e os termos lingüísticos sãoboa, adequada e inadequada para o consumo, Figura 2.13.

As variáveis de entrada são classificadas a seguir, suas funções de pertinências são trapezo-dais, Figuras 2.10, 2.11 e 2.12.

• Cor aparente:

– Menor ou igual a 5UH - boa

– Maior que 5UH e menor ou igual a 15UH - adequada

– Maior que 15UH - inadequada

• pH

– De 6,5 a 8,5 - bom

– De 6 a 10 - adequado

– Menor que 6 ou Maior que 10 - inadequado

• Turbidez

– Menor ou igual a 1UT - boa

– Maior que 1UT e menor que 5UT - adequada

– Maior que 5UT - inadequada

Através das informações da SABESP, foi possível constatar que a qualidade da água é boa parao consumo quando a cor aparente e a turbidez se aproximam de ‘zero’ e o pH se manter emtorno de 7.

As Tabelas 3.10, 3.11 e 3.12 fornecem a base de regras quando a aparência da água é boa,adequada e inadequada, respectivamente, estas regras foram feitas utilizando as informaçõesda SABESP e o bom senso.


"""""""""""""""pH(H )Turbidez (T ) boa adequada inadequada

inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado baixo adequada adequada inadequada

bom boa boa inadequadaadequado alto adequada adequada inadequada

inadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.6: Regras fuzzy quando a aparência da água é boa.


inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado baixo adequada adequada inadequada

bom adequada adequada inadequadaadequado alto adequada adequada inadequadainadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.7: Regras fuzzy quando a aparência da água é adequada.


inadequado baixo inadequada inadequada inadequadaadequado baixo inadequada inadequada inadequada

bom adequada adequada inadequadaadequado alto inadequada inadequada inadequada

inadequado alto inadequada inadequada inadequada

Tabela 2.8: Regras fuzzy quando a aparência da água é inadequada.


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aparência (A)

Gra

u de

per

tinên

cia

boa adequada inadequada

Figura 2.10: Funções de pertinênciada aparência de água (A).

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pH (H)

Gra

u de

per

tinên

cia

inadequado baixo adequado altobomadequado baixo inadequado altoinadequado baixoinadequado baixoinadequado baixoinadequado baixoinadequado baixo

Gra

u de

per

tinên

cia

inadequado baixo

Figura 2.11: Funções de pertinênciado pH (H ).

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Turbidez (T)

Gra

u de

per

tinên

cia

boa adequada inadequada

Figura 2.12: Funções de pertinênciada turbidez (T ).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Qualidade da água (Q)

Gra

u de

per

tinên

cia

inadequada adequada boa

Figura 2.13: Funções de pertinênciada qualidade da água (Q).

Assim, é possível obter uma saída do sistema de inferência. Por exemplo, quando a aparênciada água é 15 UH, o pH é 7 e a turbidez é 0 UT , após a defuzzificação encontramos um valorigual 0.6, indicanndo que a qualidade da água é adequada.

2.7.4 Exposição Ocupacional causada pelo HIVDesde o início da epidemia de AIDS, a possibilidade de contaminação dos profissionais da saúdemotivou investigações dirigidas à quantificação desse risco. A estimativa deste risco de infecçãoem acidentes do trabalho cotidiano se torna difícil devido ao pequeno número de casos relatadosna literatura.

Quando indivíduos sofrem exposição ocupacional ao HIV, são avaliados vários parâmetroscom o objetivo de conhecer a gravidade da exposição e o risco de contaminação. Dentre essesparâmetros são destacados: carga viral do sangue do indivíduo fonte, tempo de exposição ao


Figura 2.14: Fluxograma da Profilaxia Anti-retroviral após Exposição Ocupacional do HIV [2].Exposição percutânea é quando ocorre acidentes com materiais perfurocortantes.

material contaminado e o volume do mesmo, conforme Figura 2.14.O objetivo deste estudo é modelar através de um SBRF, o risco de contaminação pelo HIV

em exposição ocupacional. Assim, vamos considerar as variáveis: carga viral (CV ), volume (V )


e tempo de exposição (T ), como variáveis lingüísticas que influenciam no risco de contaminação(RC ) do indivíduo e temos um sistema baseado em regras fuzzy, conforme a Figura 2.15.

MAMDANI

CV

RC T

V

Figura 2.15: Esquema do SBRF.

0 2000 4000 6000 8000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CargaViral

Gra

u de

per

tinen

cia

Baixa Média Alta

Figura 2.16: Funções de pertinênciada carga viral (CV ).

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Volume

Gra

u de

per

tinen

cia

Pequeno Médio Grande

Figura 2.17: Funções de pertinênciado volume (V ).

Adotamos uma base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral (CV ), dadaem cópias/ml, considerando um domínio de [0, 10000], subvidido nas faixas: menor que 1000,entre 1000 e 4500; e maior que 4500 e classificadas pelos termos lingüísticos: baixa, média e alta;o volume do material contaminado (V ), dado em gotas, considerado domínio [0, 20], divididonas faixas: menor que 1.5, entre 1.5 e 4.5; e maior que 4.5 e os termos lingüísticos são pequeno,médio e grande; o tempo de exposição (T ), dado em minutos, considerando um domínio de[0, 10], subdividido nas faixas menor que 1, entre 1 e 4; e maior que 4 e os termos lingüísticos são


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo de Exposição

Gra

u d

e pe

rtinê

ncia

Baixo Médio Alto

Figura 2.18: Funções de pertinênciado tempo de exposição (T ).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Risco de Contaminação

Gra

u de

per

tinên

cia

Baixo Médio MuitoAltoAlto

Figura 2.19: Funções de pertinênciado risco de contaminação (RC ).

"""""""""""""""Tempo (T )Volume (V ) pequeno médio grande

baixo baixo baixo baixomédio baixo baixo baixoalto baixo baixo baixo

Tabela 2.9: Regras fuzzy para carga viral baixa."""""""""""""""Tempo (T )

Volume (V ) pequeno médio grande

baixo médio médio médiomédio médio médio médioalto médio médio médio

Tabela 2.10: Regras fuzzy para carga viral média."""""""""""""""Tempo (T )

Volume (V ) pequeno médio grande

baixo alto alto altomédio alto alto muito altoalto alto muito alto muito alto

Tabela 2.11: Regras fuzzy para carga viral alta.

baixo, médio e alto. Como conseqüente, adotamos o risco de contaminação (RC ), considerandodomínio [0, 1], dividido nas faixas menor que 0.16, entre 0.16 e 0.5, entre 0.5 e 0.97; e maiorque 0.97 e os termos lingüísticos são baixo, médio e alto, muito alto, respectivamente.

O modelo é desenvolvido via SBRF (Sistema Baseado em Regras Fuzzy) e utilizamos oMétodo de Inferência de Mamdani e o Método de Defuzzificação, Centro de Gravidade, para


CV T V RC500 1 3 0.2174000 2 1 0.5518000 4 5 0.978

Tabela 2.12: Cálculo do Risco de Contaminação.

obter o comportamento do RC, ou seja, determinamos os valores do RC. As Figuras 2.16,2.17, 2.18 e 2.19 representam as funções de pertinência dos diversos conjuntos fuzzy associadosàs variáveis lingüísticas, carga viral (CV ), tempo de exposição (T ), volume (V ) e risco decontaminação (RC ), conforme Figura 2.14. As regras obtidas incorporando os conhecimentosdo especialista, estão nas Tabelas 2.9, 2.10 e 2.11.

Na Tabela 2.12 apresentamos o cálculo do risco de contaminação para alguns valores decarga viral, tempo e volume. Para este cálculo, utilizamos o sistema baseado em regras fuzzyconstruído anteriormente.

Desta forma, através da teoria dos conjuntos fuzzy, podemos estabelecer o grau de risco decontaminação ao HIV ao qual o indivíduo que sofreu exposição ocupacional está sujeito.

O próximo capítulo é dedicado à aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy aliada a outrasferramentas matemáticas. O destaque é para diagnóstico médico e também para modelarsistemas dinâmicos dados por equações diferenciais. Interessados no aprofundamento dessestópicos pode consultar [8].

Capítulo 3

Aplicações

Introdução

A literatura matemática que trata de fenômenos imprecisos tem crescido consideravelmente,principalmente no tocante à teoria dos conjuntos fuzzy, utilizada com sucesso nas áreas deEngenharia. As primeiras aplicações desta teoria em Biomatemática foi em diagnóstico médico[34] e [35]. Mais recentemente outros autores têm utilizado esta abordagem em problemas deepidemiologia [9], [18], [20], [21], [29] e [28]. Na seção 3.1 apresentaremos uma aplicação dediagnóstico médico, nas seções 3.2, 3.3 e 3.4, sistemas de equações diferenciais ordinárias comparâmetro fuzzy; na seção 3.5 apresentaremos o modelo de Malthus e modelo de evolução daAIDS através de regras fuzzy.

3.1 Diagnóstico MédicoA aplicação que veremos trata de estabelecer diagnóstico para doenças infantis. Tal estudo foidesenvolvido pelas alunas Mariana Fernandes dos Santos Villela e Patrícia Borges dos Santos doCurso de Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia [38], apresentadona 7a Semana da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia [39].

3.1.1 Base de ConhecimentosO objetivo é utilizar equações relacionais fuzzy da forma (2.4) em que as relações fuzzy sintomasdos pacientes e das doenças, com esses sinais, ‘captem’ os possíveis diagnósticos dos pacientes.

Para isto, foi preciso consultar um especialista na área. Neste caso consultamos dois pedia-tras. A idéia basica é relacionar os sintomas ou sinais de pacientes com as possíveis doenças.Tais doenças são catapora, caxumba, coqueluche e meningite. Considere os seguintes conjuntosuniversais:

• U1= conjuntos dos pacientes do especialista 1;

3.1. DIAGNÓSTICO MÉDICO 35

• U2= conjuntos dos pacientes do especialista 2;

• V = conjunto dos sintomas;

• W = conjunto das doenças.

Foram analisadas as informações de dois diferentes médicos, dos quais obtivemos conhecimentode sete pacientes P1, P2, P3, P4, P5, P6 e P7: sintomas s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10, s11,s12, s13, s14, s15, s16, s17 e s18 que apresentaram os diagnósticos d1, d2, d3 e d4, onde:

• s1 = pintas vermelhas no corpo• s2 = coceira• s3 = febre• s4 = cansaço• s5 = cefaléia• s6 = perda de apetite• s7 = rigidez na nuca• s8 = calafrios• s9 = confusão mental

• s10 = infecção das glândulas salivares• s11 = tosse seca• s12 = coriza• s13 = dor muscular• s14 = fraqueza• s15 = dor ao mastigar ou engolir• s16 = mal estar• s17 = vômito• s18 = dor de garganta

• d1= catapora• d2= caxumba

• d3= coqueluche• d4= meningite

Esses dados irão compor a base de conhecimentos que serão expressos por meio de relaçõesfuzzy. A Tabela 3.1 representa a relação fuzzy R onde seus valores indicam o grau com quecada sintoma está relacionado com cada doença. Esses valores são as médias aritméticas obtidasatravés de informações de dois especialistas. As colunas são os sintomas considerados e as linhassão as doenças.

######ds

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18

d1 1 1 0.45 0.4 0.5 0.4 0 0.1 0 0 0.2 0.3 0.05 0.2 0 0.1 0 0

d2 0 0 0.3 0.15 0.7 0.5 0 0.25 0 0.8 0.1 0 0.4 0.4 0.9 0.3 0.05 0.75

d3 0 0 0.9 0.45 0.25 0.25 0 0.15 0 0 1 0.55 0.1 0.1 0 0.6 0.05 0

d4 0.2 0 0.95 0.5 0.8 0.8 1 0.75 0.4 0 0 0 0.3 0.1 0 0.85 0.8 0

Tabela 3.1: Relação fuzzy sintomas × doenças (R).


As Tabelas 3.2 e 3.4 indicam os graus com que cada sintoma se manifestou nos pacientes,dados por especialistas. A partir da relação fuzzy R é possível obter o diagnóstico médico decada paciente, ou seja, o grau da doença para cada paciente, por meio de uma formúla:

uR(Pj)(dk) = max1≤i≤18

[min[uR(dk, si), uPj(si)]] (3.1)

onde j = 1, . . . , 7 e k = 1, . . . , 4.

######Ps


P1 0 0 0.7 0.5 0.1 0.2 0 0.5 0 0 1 0.5 0.1 0.5 0 0 0 0

P2 0 0 0.5 0.7 0.9 0.5 0.9 0.3 0.9 0 0.5 0.1 0.6 0.5 0 0.8 0.7 0

P3 0 0 0.5 0.3 0.8 0.7 0 0.2 0 1 0.5 0.2 0.3 0.5 0.9 0.7 0.3 0.8

P4 1 0.8 0.9 0.3 0 0.7 0 0.3 0 0 0 0 0.2 0.3 0 0.1 0 0

P5 1 0.5 0.9 0.2 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0.5 0.1 0.2 0 0 0 0

P6 0 0 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.3 0.1 0.1 0 0.1 0 0

P7 0 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.5 0.1 0.1 0 0.1 0.3 0

Tabela 3.2: Relação fuzzy pacientes × sintomas elaborados pelo especialista 1 (S) [38].

Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente obtidoatravés da equação (3.1). O paciente P1 pode ter a doenças dk, k = 1, . . . , 4 com os respectivosgraus de possibilidades dados pelo especialista 1 (da Tabela 3.2):

uR(P1)(d1) = max1≤i≤18

[min[uR(d1, si), uP1(si)]] = 0.45

uR(P1)(d2) = max1≤i≤18

[min[uR(d2, si), uP1(si)]] = 0.4

uR(P1)(d3) = max1≤i≤18

[min[uR(d3, si), uP1(si)]] = 1

uR(P1)(d4) = max1≤i≤18

[min[uR(d4, si), uP1(si)]] = 0.7

A formúla (2.4) pode ser aplicada na forma matricial e obter os diagnósticos de todos ospacientes de uma só vez. Para isto, basta fazer o produto fuzzy (troca-se produto por min esoma por sup da multiplicação tradicional de matrizes) da matriz S por X = Rt na equação(2.4). Assim,

S ∗Rt = D (que indica o diagnóstico de cada paciente), onde D é dada pela Tabela 3.3.A Tabela 3.3 representa a relação fuzzy D onde seus valores indicam o grau com que cada paci-ente está relacionado com cada doença. As linhas são os pacientes considerados e as colunas sãoas doenças. Portanto, notamos que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidadede estar com coqueluche (d3). O paciente P2 pode estar com meningite (d4), P3 pode estar comcaxumba (d1), P4 e P5 podem estar com catapora (d1) e, P6 e P7 podem estar com coqueluche


######Pd

d1 d2 d3 d4

P1 0.45 0.4 1.0 0.7

P2 0.5 0.7 0.6 0.9

P3 0.6 0.9 0.6 0.8

P4 1.0 0.5 0.9 0.9

P5 1.0 0.3 0.9 0.9

P6 0.3 0.3 1.0 0.3

P7 0.3 0.3 1.0 0.5

Tabela 3.3: Relação fuzzy pacientes × doença (D).

(d3). Segundo o especialista, os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças. O mesmoocorreu com os pacientes do especialista 2, a doença que teve maior possibilidade de ocorrerpara cada paciente na relação fuzzy D, que será feita pelo leitor como exercício, também foi adoença que os pacientes possuíam.

Note que a resposta da composição é também um conjunto fuzzy, ou seja, a composiçãonem sempre responde qual doença o paciente possui, porém fornece a distribuição de possibi-lidades do paciente no conjunto de doenças dado que ele apresenta uma certa distribuição depossibilidades no conjunto de sintomas [27]. Outra propriedade importante da relação fuzzy éque à medida que tem-se diagnósticos de novos pacientes, estes podem ser incluídos na basede conhecimentos e assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio derelações fuzzy, tal como faz o médico.

######Ps


P1 1.0 0.5 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P2 0 0 1.0 0 1.0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0

P3 1.0 0.7 1.0 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 0 0 0 0

P4 0 0 1.0 0 0 1.0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0

P5 0 0.7 0 0 1.0 1.0 1.0 0 1.0 0 0.9 0 0 0 0 0 1.0 0

P6 1.0 0.5 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 1.0 1.0

P7 1.0 0.9 0.9 0 0.5 0 0.5 0.5 0.3 0 0.4 0.5 0 0.4 0 0.5 0.7 0

Tabela 3.4: Relação fuzzy pacientes × sintomas elaborados pelo especialista 2 [38].

Exercícios:

1. Determine a relação fuzzy (D) dos graus de pertinência dos pacientes com as doençasutilizando as Tabelas 3.1 e 3.4.

3.2. MODELO DE EVOLUÇÃO DA AIDS 38

2. Problema Inverso: Determine a relação fuzzy (X) dos graus de pertinência dos sintomascom as doenças utlilizando as Tabelas 3.2 e 3.3.

Na próxima seção estudaremos um modelo de evolução da AIDS com parâmetro fuzzy.

3.2 Modelo de Evolução da AIDSA Saúde Pública considera importante para o controle da população HIV-positivos a contagemde células CD4+ e da carga viral. Neste capítulo, iniciaremos tratando a taxa de transferênciade assintomático para sintomático dependendo da carga viral v e do nível de CD4+. Nãoé raro ocorrer discrepância entre a contagem de células de CD4+ e de carga viral, ou seja,diminuição da carga viral e do CD4+, ou elevação da carga viral e do CD4+. Nestes casos, acontagem CD4+ é o melhor determinador para indicação terapêutica. Assim, posteriormentetrataremos a taxa de transferência de assintomático para sintomático dependendo do nível deCD4+. Neste modelo não estamos levando em conta tratamento com terapia anti-retroviralpara a população [19].

3.2.1 Informações Médicas sobre HIV

Inicialmente se acreditava que a AIDS tinha um longo período de latência clínica entre a infecçãoe o desenvolvimento da doença manifesta. Contrária a essa visão, recente pesquisa sobre ascontagens de células CD4+ e a replicação viral revela que o estágio intermediário da doença é,na verdade, altamente dinâmico. Essa pesquisa demonstrou, através da análise da meia-vidadas células, da taxa de replicação viral e da vida média do HIV, que diariamente sobreviveuma quantidade de vírus maior do que as de células CD4+ ( o HIV possui uma replicação de1010vírus/dia e a produção de CD4+ é, no máximo, 2x109unidades/dia). Ao longo do tempoessa diferença confere um desequilíbrio em favor do HIV, levando a apresentação clínica dossintomas relacionados à AIDS. Assim, a AIDS é uma conseqüência dos altos níveis de replicaçãocontínua do HIV em detrimento da menor velocidade de produção de células de defesa, que levaà inutilização e destruição dos linfócitos CD4+, mediadas pelo próprio vírus ou por mecanismosimunológicos.

A contagem de células CD4+ em sangue periférico tem implicações prognósticas na evoluçãoda infecção pelo HIV, pois é a marca registrada de déficit imunológico e pode ser associada acertos parâmetros clínicos. É a medida de imunocompetência celular mais útil clinicamente noacompanhamento de pacientes infectados pelo HIV e a mais amplamente aceita, embora nãoseja a única. De maneira didática, pode-se dividir a contagem de células CD4+ por mililitrodo sangue periférico em quatro faixas (fonte: Ministério da Saúde www.aids.gov.br):

• CD4+ > 0.5 células/ml: Estágio da infecção pelo HIV com baixo risco de doença.Neste estágio, há boa resposta às imunizações de rotina e boa confiabilidade nos testes


cutâneos de hipersensibilidade tardia como o PPD1. Casos de infecção aguda podem terestes níveis de CD4+, embora, de modo geral, esses pacientes tenham níveis mais baixos.

• CD4+ entre 0.2 e 0.5 células/ml: Estágio caracterizado por surgimento de sinaise sintomas menores ou alterações constitucionais. Risco moderado de desenvolvimentode doenças oportunistas. Nesta fase podem aparecer candidíase oral, herpes simplesrecorrente, herpes zóster, tuberculose, leucoplasia pilosa oral, pneumonia bacteriana.

• CD4+ entre 0.05 e 0.2 células/ml: Estágio com alta probabilidade de surgimentode doenças oportunistas como pneumocistose, toxoplasmose de SNC, neurocriptococose,histoplasmose, citomegalovirose localizada. Está associado à síndrome consumptiva, leu-coencefalopatia multifocal progressiva, candidíase esofagiana, etc.

• CD4+ < 0.05 células/ml : Estágio com grave comprometimento de resposta imuni-tária. Alto risco de surgimento de doenças oportunistas como citomegalovirose dissemi-nada, sarcoma de Kaposi, linfoma não-Hodgkin e infecção por microbactérias do complexoAvium-Intracellulare. Alto risco de morte com baixa sobrevida.

A quantificação da carga viral e a contagem de CD4+ são utilizadas para iniciar ou alterara terapêutica anti-retroviral. Quando não há disponibilidade de quantificação da carga viralpode-se basear na contagem de células CD4+.

Em caso de início ou mudança de terapia anti-retroviral, alguns autores recomendam umamedida de acompanhamento da carga viral após 1 a 2 meses para avaliar o tratamento. Osresultados devem ser interpretados da seguinte maneira:

• Carga viral abaixo de 10.000 cópias de RNA por ml: baixo risco de progressão oupiora da doença.

• Carga viral entre 10.000 e 100.000 cópias de RNA por ml: risco moderado deprogressão ou piora da doença.

• Carga viral acima de 100.000 cópias de RNA por ml: alto risco de progressão oupiora da doença.

Em 2000 o Ministério da Saúde organizou um documento com o título: Recomendações paraterapia anti-retroviral em adultos e adolescentes infectados pelo HIV, que contém a Tabelas3.5.

A conversão do portador assintomático para portador sintomático depende das caracterís-ticas individuais, conforme a contagem da carga viral v e do nível de CD4+.

1PPD (Derivado Proteíco Purificado) teste recomendado de rotina anual para avaliação da necessidade dequimioprofilaxia para tuberculose.


Situação Clínica Contagem deCD4+(células/ml)

Carga Viral(cópias/ml)

Recomendações

Assintomático Contagem de CD4+não disponível

Carga viral nãodisponível

Não tratar

Assintomático ≥ 0.5 Independente dacarga viral

Não tratar

Assintomático ≥ 0.35 < 0.5 < 30000 Considerar trata-mento

≥ 30000 Considerar trata-mento

Assintomático ≥ 0.2 < 0.35 Independente decarga viral

Tratamento anti-retroviral

Assintomático < 0.2 Independente decarga viral

Tratar e iniciarprofilaxia para in-fecções oportunis-tas

Sintomático Independente da Conta-gem de CD4+

Independente dacarga viral

Tratar e iniciarprofilaxia para in-fecções oportunis-tas

Tabela 3.5: Recomendações para início da terapia anti-retroviral.

Consideramos o modelo fuzzy como um sistema de equações diferenciais, com as variáveisde interesse, nível de CD4+ (c) e carga viral (v) incertas.

dx

dt= −λ(v, c)x x(0) = 1

dy

dt= λ(v, c)x = λ(v, c)(1− y) y(0) = 0 (3.2)

Do ponto de vista matemático, podemos pensar em (3.17) como uma família de sistemas deequações diferenciais ordinárias dependendo dos parâmetros. No caso, dependendo de λ, quepor sua vez, depende de v e c. Assim, nos parece razoável que o controle de λ, e conseqüente-mente da população y (sintomáticos), possa ser feito a partir de v e c.

Resolvendo a primeira equação de (3.17) para cada par (v, c), temos:

x(t) = x0e−λ(v,c)t (3.3)

Com a condição inicial x0 = x(0) = 1, temos:


$$$$$$$$$CD4+V baixa média alta

muito baixo z4 = 1 z4 = 1 z4 = 1baixo z3 = 0.65 z4 = 1 z4 = 1médio z3 = 0.65 z3 = 0.65 z3 = 0.65

médio alto z2 = 0.15 z2 = 0.15 z3 = 0.65alto z1 = 0 z1 = 0 z3 = 0.65

Tabela 3.6: Base de regras fuzzy.

x(t) = e−λ(v,c)t

y(t) = 1− e−λ(v,c)t, t > 0. (3.4)

3.2.2 Variáveis Lingüísticas e Base de Regras

Como fizemos anteriormente, vamos estimar a taxa de transferência λ = λ(v, c) baseada nasinformações médicas. Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a cargaviral V e o nível de CD4+, e Λ como conseqüente. Os termos lingüísticos para V são baixa,média e alta e para o nível de CD4+ muito baixo, baixo, médio, médio alto e alto. Para a taxade transferência Λ os termos lingüísticos são fraca, média fraca, média e forte.

A Tabela 3.5 relata uma fase importante da transferência de assintomático para sintomático,quando o nível de CD4+ está entre 0.2 e 0.5 cels/ml, assim, dividimos a contagem de CD4+ emduas faixas: de 0.35 a 0.5 cels/ml não considerar tratamento; e de 0.2 a 0.35 cels/ml considerartratamento.

O método de inferência utilizado foi Takagi-Sugeno. As funções de pertinência da cargaviral e do nível de CD4+ são trapezoidais, Figuras 3.1 e 3.2; e as da taxa de transferência sãoconjuntos unitários, Figura 3.3. Observamos que dividimos os valores da carga viral por 200000cópias de RNA/ml e com informações médicas construímos a Figura 3.6. Por exemplo: Se V ébaixa e CD4+ é muito baixo então Λ é forte.

Simulamos 60 valores para a carga viral e o nível de CD4+ em um indíviduo HIV-positivo,e determinamos os valores de λ, utilizando o SBRF. Construímos a superfície mostrada naFigura 3.4.

Fazendo um corte na superfície paralela ao eixo do nível de CD4+, obtemos uma curva compropriedades qualitativas semelhantes à da Figura 3.5.

Propomos uma expressão analítica (3.5) para a taxa de transferência λ como função do nível


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1baixa média alta

Carga Viral (V) v

Figura 3.1: Funções de per-tinência da carga viral (V ).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nível de (CD4+)

muitobaixo baixo médio médio

alto alto

c

Figura 3.2: Funções de per-tinência do nível de CD4+.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Taxa de Transferencia ( Λ)

z1=0 z2=0.15 z3=0.65 z4=1

λ

Figura 3.3: Funções de pertinência da taxa de transferência (Λ).

00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.81

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Carga viral (v)Nivel de CD4+ (c)

Taxa

de

trans

fere

ncia

(λ)

Figura 3.4: Valores da taxa de transfe-rência defuzzificados.

c

λ

1

cmaxcMcmin

Figura 3.5: Taxa de trans-ferência λ em função de c.

de CD4+. Assim, escolhemos um conjunto fuzzy λ com a seguinte função de pertinência

λ(c) =

1 se c ≤ cmincM−c

cM−cmincmin < c ≤ cM

0 se cM < c ≤ cmax

(3.5)

3.3. INFLUÊNCIA DO TRATAMENTO NA SOBREVIDA DA POPULAÇÃO HIV-POSITIVA 43

em que cmin representa o menor nível de CD4+ na qual a chance do indivíduo se tornar sinto-mático é máxima e cM representa o nível de CD4+ na qual a chance de se tornar sintomáticoé miníma, e cmax é o maior nível de CD4+ possível, Figura 3.5.

A partir do corte paralelo ao eixo do nível de CD4+ na superfície da Figura 3.4, podemosobter os valores aproximados para cmin e cM , isto é, cmin é aproximadamente 0.05 cels/ml ecM é aproximadamente 0.5 cels/ml. Estes valores são compatíveis com as informações do Mi-nistério da Saúde, se o nível de CD4+ é menor que 0.05 cels/ml a tendência é o indíviduo sersintomático e quando o nível de CD4+ é maior que 0.5 cels/ml a tendência é que o indivíduoseja assintomático.

Na próxima seção apresentaremos um trabalho desenvolvido pelo aluno Eder Lúcio da Fon-seca do Curso de Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia [14] e foiapresentado no XXIX CNMAC [15].

3.3 Influência do Tratamento na Sobrevida da PopulaçãoHIV-Positiva

O objetivo deste trabalho é, mediante informações de especialistas da área da saúde, investigarcomo a adesão ao tratamento influencia a sobrevida da população brasileira HIV-positiva.Segundo estes, o grau de influência da adesão ao tratamento na sobrevida (φ) está relacionadocom a carga viral (v), com o nível de CD4+ (c) e a forma de adesão dos indivíduos emtratamento (a). Na próxima seção apresentaremos a modelagem fuzzy da influência da adesãoao tratamento na sobrevida da população brasileira HIV-positiva.

3.3.1 O Modelo Fuzzy

O grande ganho de sobrevivência dos pacientes de AIDS no País deve-se à introdução daterapia anti-retroviral de alta potência HAART (Highly Active Anti Retroviral Treatment) narede pública nacional. Baseando-se em [6] e [22], a Sobrevida (S) é obtida através da seguinteexpressão:

S =

∫

R

1

λ1 − φ(v, c, a)λ2· ρ(a)

δda (3.6)

onde λ1 é a taxa de mortalidade da população sintomática, λ2 é a constante oportuna de cadagrupo dependendo da adesão ao tratamento e ρ(a) é a densidade de distribuição da adesão.

Nas próximas subseções estimaremos o parâmetro φ(v, c, a) a partir de informações médicas,dadas linguísticamente na forma de regras fuzzy se-então.


3.3.2 Variáveis Linguísticas e Regras FuzzyAdotamos uma modelagem baseada em regras fuzzy com o uso de informações obtidas deespecialistas da área da saúde. Assumimos como antecedentes a carga viral (V ), o nível deCD4+ (C ) e adesão ao tratamento (A); enquanto o grau de influência da adesão ao tratamentoΦ é o consequente. Os termos linguísticos para V são baixa, média e alta, para o nível de CD4+C muito baixo, baixo, médio, médio alto, e alto e para a adesão ao tratamento A adequada einadequada. Para Φ, os termos linguísticos fraca, média fraca, média e forte. As funções depertinência que especificam o significado destas variáveis linguísticas são trapezoidais; Figu-ras 3.1, 3.2, 3.6 e 3.7, respectivamente. Com informações médicas construímos as bases deregras dispostas nas Tabelas 3.7 e 3.8.

Tabela 3.7: Base de regras fuzzy para φ com Adesão Inadequada.$$$$$$$$$CD4+

V baixa média alta

muito baixo fraca fraca fracabaixo fraca fraca fracamédio fraca fraca fraca

médio alto média fraca média fraca fracaalto média média fraca

Tabela 3.8: Base de regras fuzzy para φ com Adesão Adequada.$$$$$$$$$CD4+

V baixa média alta

muito baixo fraca fraca fracabaixo média fraca fraca fracamédio média fraca média fraca média fraca

médio alto média média média fracaalto forte forte média fraca

3.3.3 Modelagem da Influência da Adesão na Sobrevida (φ)Através da base de regras, obtida na subseção anterior, utilizamos o método de inferênciade Mamdani e o método de defuzzificação, centro de gravidade, para calcular os valores deφ(v, c, a), considerando valores de carga viral e nível de CD4+ [22].

Fixando os valores de (c) e de (v) no sistema baseado em regras fuzzy obtemos a Figura 3.8;obtida adotando valores hipotéticos de carga viral (v) e CD4+ (c).

No modelo (3.6), fixando os valores de (c) e de (v), baseado na Figura 3.8, assumimos que φ éuma função de a. Assim escolhemos um conjunto fuzzy φ com a seguinte função de pertinência:


Figura 3.6: Funções de Pertinência daadesão ao tratamento (A).

Figura 3.7: Fun. de pert. do grau deinfluência da adesão (Φ).

Figura 3.8: Gráfico de φ em função de a, com v=0.1 c=0.9

φ(a) =

b se a < amina+b(am−a)−amin

am−aminse amin ≤ a ≤ am

1 se a > am

(3.7)

Assim, obtemos uma expressão analítica para o grau de influência da adesão ao tratamentona sobrevida (φ) em função da adesão ao tratamento (a); Figura 3.9. Na equação (3.7), b éuma constante, com 0 ≤ b < 1, amin é o maior valor de adesão para que o grau de influênciada adesão na sobrevida de uma determinada população seja igual a b, am é o menor valor deadesão para que o grau de influência da adesão na sobrevida seja máximo e amax é a adesãomáxima.

Na próxima seção fazemos uma estimativa para a sobrevida (S) considerando a função φdependendo apenas da adesão ao tratamento (a).


Figura 3.9: Grau de Influência da adesãona sobrevida (φ(a)).

Figura 3.10: Fun. de pert. adotada parao conjunto fuzzy assumido por a.

3.3.4 Sobrevida dos Indivíduos HIV-Positivos Dependendo da Adesãoao Tratamento.

A sobrevida (S) é dada pela seguinte integral:

S =

∫

R

1

λ1 − φ(a)λ2· ρ(a)

δda (3.8)

onde λ1 é a taxa de mortalidade da população sintomática, é a constante oportuna de cadagrupo dependendo da adesão ao tratamento e ρ(a) é a densidade de distribuição da adesão. Oconjunto fuzzy triangular ρ(a) é definido pela seguinte função de pertinência:

ρ(a) =

0 se a ≤ a− δ1δ (a− a+ δ) se a− δ < a ≤ a

−1δ (a− a− δ) se a < a ≤ a+ δ0 se a > a+ δ

O valor a é um valor central e δ é a dispersão de cada um dos conjuntos fuzzy que definemos valores da variável linguística. Estes conjuntos serão definidos a partir dos valores amin, ame amax.

Para resolver a equação (3.8) vamos considerar três diferentes casos, de acordo com a variávellinguística adesão ao tratamento a, e seus valores baixa e média e alta, com cada um destesvalores sendo um número fuzzy que depende dos valores amin, am e amax que aparecem nadefinição de φ [19]. Desta forma obtivemos os seguintes resultados:

1. Adesão BaixaQuando ρ(a) pertence ao intervalo [0, amin] na função φ(a), Figura 3.9. Neste caso toma-mos amin < a+ δ, logo φ(a) = b. Resolvendo a equação (3.8) nestas condições temos:


S =1

λ1 − bλ2

2. Adesão Alta

Quando ρ(a) pertence ao intervalo [am, amax] na função φ(a), Figura 3.9. Neste casotomamos am ≤ a − δ e a + δ ≤ amax, logo φ(a) = 1. Resolvendo a equação (3.8) nestascondições temos:

S =1

λ1 − λ2

3. Adesão Média

Quando ρ(a) pertence ao intervalo [amin, am] na função φ(a), Figura 3.9. Neste casotomamos a−δ > amax e a+δ < am. Assim, φ(a) = a+b(am−a)−amin

am−amin. Resolvendo a equação

(3.8) nestas condições temos:

S = (am−amin)δ2 · [ 1

(b−1) ·(amin

(b−1)λ2− bam

(b−1)λ2+ (am−amin)λ1

(b−1)λ22

) · ln((am−amin)λ1−(a−δ+b(am− a+

δ)−amin)λ2)− (−a+δ)(b−1)λ2

· ln((am−amin)λ1−(a−δ+b(am− a+δ)−amin)λ2)− 2(b−1) ·(

amin(b−1)λ2

−bam

(b−1)λ2+ (am−amin)λ1

(b−1)λ22

) · ln((am − amin)λ1 − (a + b(am − a) − amin)λ2) − 2a(b−1)λ2

· ln((am −amin)λ1−(a+b(am−a)−amin)λ2)+

1(b−1) ·(

amin(b−1)λ2

− bam(b−1)λ2

+ (am−amin)λ1

(b−1)λ22

·ln((am−amin)λ1−(a+δ+b(am− a−δ)−amin)λ2)− (−a−δ)

(b−1)λ2·ln((am−amin)λ1−(a+δ+b(am− a−δ)−amin)λ2)

3.3.5 Sobrevida dos Indivíduos Brasileiros HIV-Positivos

Segundo o Ministério da Saúde, mediante o fornecimento gratuito de anti-retrovirais pelo go-verno federal, a sobrevida do brasileiro HIV-positivo aumentou de 5 para 58 meses. Um aspectoimportante que merece ser observado é que, o fato de que as possíveis diferenças existentes nasobrevivência causadas por diferença de sexo, situação econômica, idade e categorias de expo-sição são anuladas quando se garante o mesmo acesso ao tratamento. Este fato é de grandeimportância, pois demonstra que, independente dos fatores socioeconômicos e culturais, o usoda terapêutica muda a história natural da doença e proporciona maior equidade na sobrevivên-cia dos afetados [26].

Para os resultados obtidos para a sobrevida (em meses) dependendo do tipo de adesão, naseção anterior, e assumindo a distribuição de população nos três intervalos distintos da funçãoφ(a), isto é, para a população com adesão baixa, média e alta. Também, considerando trêsvalores para b, conforme Tabela 3.9, obtemos valores de S coerentes com os dados fornecidospelo Ministério da Saúde. Ou seja, sempre que b se aproxima de 1, maior é a sobrevida doindivíduo.

3.4. ELIMINAÇÃO DE FÁRMACOS DO ORGANISMO 48

Tabela 3.9: Dados obtidos variando o valor de b.!!!!!!!!!!!!ConstantesAdesão

baixa média alta

b=0 S=5 S=10.7 S=58

b=0.5 S=9.2 S=16.9 S=58

b=0.99 S=52.44 S=55.9 S=58

3.3.6 ConclusõesA Tabela 3.9 é compatível com as informações do Ministério da Saúde, pois quando o indivíduotem adesão baixa ao tratamento, e dependendo do seu nível de CD4+ e carga viral, a estimativade sua sobrevida é de apenas 5 meses, como ocorria antes das terapias com antiretrovirais.Quando sua adesão ao tratamento é alta, independente da carga viral e do nível de CD4+, aestimativa de sua sobrevida é de 58 meses.

Na próxima seção apresentaremos uma parte da monografia da aluna Wanda AparecidaLopes que foi desenvolvida no VII Curso de Especialização em Matemática da UniversidadeFederal de Uberlândia [24] e foi apresentado no BIOMAT2005 [25].

3.4 Eliminação de Fármacos do OrganismoO objetivo desta seção é o estudo da eliminação de fármacos na corrente sanguínea. Primeiroestudaremos o modelo clássico e , em seguida, faremos o modelo fuzzy.

3.4.1 Modelo Farmacocinético ClássicoUm problema fundamental em Farmacologia é saber como cai a concentração de um fármacono sangue de um indivíduo. O conhecimento deste fato permite estabelecer qual a dosagem aser inserida e o intervalo de tempo que cada aplicação deve ser feita.

O modelo mais simples para descrever a eliminação do fármaco de um certo compartimentoé obtido quando supomos que a concentração (y) de um fármaco decai a uma velocidade que éproporcional, em cada instante, a sua própria concentração [11]. Em termos matemáticos istopode ser dado pela equação diferencial:

dy

dt= −ky (3.9)

onde k é a constante de velocidade de eliminação do fármaco.Suponha que seja dada ao indivíduo uma dose inicial y0, absorvida pelo sangue instantane-

amente, no instante t = 0. A solução geral da equação (3.9) é dada por:

y = y0e−kt (3.10)


Quando um conjunto de doses é dado em intervalos de tempos espaçados igualmente, obtemos(3.11) a qual representa o nível de saturação da droga para o indivíduo considerado.

ys =y0

1− e−kt (3.11)

onde:

• k é a constante de velocidade de eliminação do fármaco;

• y0 é uma dose inicial do fármaco;

• t é o intervalo entre as doses administradas;

• ys é a concentração máxima de fármaco tolerada pelo organismo, na qual se atinge níveistóxicos para o organismo.

A equação (3.11) pode ser representada na Figura 3.11. Nesta figura, pode ser verificado queapós a administração de quatro doses a concentração máxima do fármaco tolerada é atingidapelo organismo, e que a partir da quinta dose, temos uma estabilidade da concentração máximaatingida.

y0

ys

t0 t1 t2 t3

Figura 3.11: Curva de concentração de um fármaco no tempo.

3.4.2 A Meia-Vida (t 12) de um Fármaco

A meia-vida é o tempo necessário para que a concentração plasmática de determinado fármacoseja reduzida pela metade. A meia-vida plasmática dos fármacos é um dos índices básicos da


farmacocinética, colaborando para a interpretação dos efeitos terapêuticos ou tóxicos dos fárma-cos, como a duração do efeito farmacológico e do regime posológico adequado. O conhecimentoda meia vida é útil para se conseguir a concentração máxima plasmática média constante. Esseplatô da concentração constante é mantido pela repetição das doses com finalidade de substituira parte do fármaco que é eliminada.

Partindo da equação (3.10) determinemos a relação entre a meia-vida e a constante de velo-cidade de eliminação (k) de uma fármaco:

y = y0e−kt

ln y = ln y0 − kt (3.12)

Quando t = t 12

(tempo de meia-vida dos fármacos) então y =y02

, assim substituindo em(3.12) temos;

k =0, 693

t 12

(3.13)

3.4.3 Modelo Farmacocinético FuzzyNosso interesse principal é modelar a velocidade de eliminação de fármacos no organismo doindivíduo, segundo informações fornecidas pelo especialista. Consideramos que a velocidade deeliminação depende fortemente da função renal. Para isso, consideramos como um parâmetrofuzzy que depende das variáveis volume urinário (v), da clearance de creatinina (clcr) e do pHsérico (p). Esta constante pode variar de um indivíduo para outro, pois os fármacos que sãoexcretados pelo rim, sem serem transformados metabolicamente, como por exemplo, a digoxina2 e muitos antibióticos, depende do estado funcional desse órgão [16]. Então, a mesma dose demedicamento pode produzir as mais diferentes constantes de eliminação.

Depois de absorvidos e distribuídos no organismo, segundo as informações médicas, os fár-macos são eliminados por diferentes vias, consideramos apenas o sistema renal que é responsávelpela principal via de excreção de fármacos. Com as informações do especialista na área em [24],as variáveis que mais influenciam a velocidade de eliminação k de um fármaco são:

1. Volume Urinário: Consideramos como sendo a produção de urina em um indivíduo acada 24 hs, é classificado da seguinte maneira dependendo da quantidade;

• anúria: para um volume entre 0 e 100 ml.• oligúria: para um volume entre 100 e 300 ml.• diurese normal: para um volume entre 300 e 1500 ml.• poliúria: para um volume > 1500 ml.

2digoxina é um medicamento cardiotônico (substâncias que reforçam a energia do coração), e antiarrítmico(que controla os batimentos do coração)


2. Clearance de Creatinina: o teste de clearance de creatinina3 determina a eficiênciacom que os rins eliminam a creatinina do sangue. A taxa de clearance é expressa emtermos de volume de sangue (medido em mililitros) que pode ficar livre de creatinina em1 minuto. Os níveis de creatinina tornam-se anormais quando mais de 50% dos néfrons4

tenham sido danificados. O clearance de creatinina foi classificado da seguinte maneiradependendo da quantidade;

• muito baixo: entre 0 e 10 ml/min.

• baixo: entre 10 e 50 ml/min.

• médio baixo: entre 50 e 90 ml/min.

• normal: entre 90 e 120 ml/min.

• alto: > 120 ml/min.

3. pH Sérico: É o pH do sangue, classificado da seguinte maneira;

• básico: < 7.35

• normal: entre 7.35 e 7.45

• ácido: > 7.45

Consideramos a velocidade de eliminação do fármaco (k) como um parâmetro fuzzy que de-pende das variáveis volume urinário (v), clearance de creatinina (clcr) e pH sérico (p) [25], omodelo (3.9) vem a ser:

dy

dt= −k(v, clcr, p)y, (3.14)

cuja solução da equação é dada por:

y = y0e−k(v,clcr,p)t, t > 0. (3.15)

A principal diferença entre o modelo (3.14) e o modelo (3.9) é o fato que o parâmetro (k) éfunção do volume urinário (v), do clearance de creatinina (clcr) e do pH sérico (p), que permiteincorporar as informações médicas, citadas anteriormente.

Na subseção seguinte faremos um estudo dessa dependência por meio de um sistema baseadoem regras fuzzy.

3a creatinina é um produto final do metabolismo da creatina (creatina é um composto produzido naturalmentepelo nosso organismo para fornecer a energia necessária aos nossos músculos. Creatina é produzida pelo fígado eem seguida é levada pelo sangue para as células dos músculos) que aparece no soro em quantidades proporcionaisà massa muscular corpórea.

4os néfrons são unidades filtrantes dos rins; cada rim contém 1 milhão de néfrons o que torna esse órgãocapaz de filtrar as excretas que circulam no sangue.


3.4.4 Base de Regras

A base de regras fuzzy tem como antecedentes o volume urinário (v), clearance de creatinina(clcr) e pH sérico (p), e a velocidade de eliminação (k) como conseqüente. Os termos lingüísti-cos para v são: anúria, oligúria, diurese normal e poliúria, para o clcr são: muito baixo, baixo,médio baixo, normal e alto; e para p são: básico, normal e ácido. Para a velocidade de elimi-nação k consideramos o domínio entre 0 e 0.693, pois a partir da equação (3.13) e consultandobulas de fármacos observamos que podemos considerar o menor tempo de meia-vida do fármacoigual a uma hora. Assim, a maior velocidade de eliminação é 0.693. Os termos lingüísticos parak são: muito baixa , baixa e normal.

No modelo via SBRF utilizamos o método de inferência de Mamdani para obter o compor-tamento de k, ou seja simulamos alguns valores para v, clcr, p, e determinamos os valores dek, onde os valores assumidos são traduzidos pelas funções de pertinência ilustradas nas Figuras3.12, 3.13, 3.14, 3.15.

As Tabelas 3.10, 3.11, 3.13 e 3.12 fornecem a base de regras quando o volume urinário estáclassificado em anúria, oligúria, diurese normal e poliúria, respectivamente. Estas regras foramfeitas a partir de informações do especialista na área [24].

$$$$$$$$$(clcr)(p) ácido normal básico

muito baixa muito baixa muito baixa muito baixabaixa muito baixa baixa baixa

média baixa muito baixa baixa baixanormal normal normal normal

alta normal normal normal

Tabela 3.10: Regras fuzzy quando o volume urinário é anúria.


muito baixa muito baixa muito baixa muito baixabaixa muito baixa baixa baixa

média baixa baixa normal normalnormal baixa normal normal


Tabela 3.11: Regras fuzzy quando o volume urinário é oligúria.

Assim, a partir do SBRF com o método de inferência de Mamdani e a defuzzificação pelocentro de gravidade, podemos determinar k = k(v, clcr, p).



muito baixa muito baixa muito baixa muito baixabaixa normal baixa baixa

média baixa normal normal normalnormal normal normal normal


Tabela 3.12: Regras fuzzy quando o volume urinário é diurese normal.


muito baixa muito baixa muito baixa muito baixabaixa normal baixa baixa

média baixa normal normal normalnormal normal normal normal


Tabela 3.13: Regras fuzzy quando o volume urinário é poliúria.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0normal

volume urinário

poliúriaoligúriaanúria

Figura 3.12: Funções de per-tinência de volume urinário.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

clearance de creatinina

mto baixa altanormalmd.baixabaixa

Figura 3.13: Fun. de pert.de clearance de creatinina.

3.4.5 Insuficiência Renal e a Eliminação de Fármacos

Nesta seção apresentamos a concentração de fármaco de três indivíduos a partir do volumeurinário (v), da clearance de creatinina (clcr) e do pH sérico (p), utilizamos o Sistema Baseadoem Regras Fuzzy para determinar a velocidade de eliminação (k) do fármaco, Tabela 3.14.


6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

pH sérico

básico ácidonormal

Figura 3.14: Funções depertinência de pH sérico.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

velocidade de eliminação

normalbaixamto baixa

Figura 3.15: Fun. de pert. develocidade de eliminação.

Assim, com uma prescrição de 500mg de um certo fármaco de oito em oito horas paratrês indivíduos, obtemos a velocidade de eliminação do fármaco para cada indivíduo, vejaTabela 3.14.

v clcr p k(v, clcr, p)Indivíduo 1 (I1) 1500ml diário 100 ml/min 7.4 0.6032Indivíduo 2 (I2) 100 ml diário 10 ml/min 7.35 0.0860Indivíduo 3 (I3) 300 ml diário 35 ml/min 7.25 0.2308

Tabela 3.14: Velocidade de eliminação do fármaco para cada indivíduo.

Para os valores de k(v, clcr, p) obtidos na Tabela 3.14 e através das equações (3.15) e (3.11),obtemos os gráficos da Figura 3.16, que ilustram como estão a concentração máxima de fármacotolerada pelo organismo e a eliminação do fármaco dos indivíduos 1 e 2, analogamente, obtemosos gráficos da Figura 3.17 para os indivíduos 1 e 3. O nível de saturação (ys1) do indivíduo1, que está com função renal normal, é em torno de 500 mg. O nível de saturação (ys2) doindivíduo 2, que está com função renal compremetida, é em torno de 1000 mg, Figura 3.16. Oindivíduo 3 também tem função renal comprometida. Porém, o nível de saturação do fármaco(ys3) é mais baixo e encontra-se em torno de 600 mg, Figura 3.17. O nível de concentraçãodo indivíduo 2 é muito maior do que o indivíduo 3 porque o volume urinário, o o clearance decreatinina e o pH sérico do indivíduo 2 são muito baixos em relação ao indivíduo 3, Tabela 3.14.Mas, os dois indivíduos estão com o nível de saturação acima do normal, porque estão com afunção renal comprometida e eliminam pouco fármaco. Logo, é necessário mudar a prescriçãodo indivíduo 2 e do indivíduo 3, pois, caso contrário, provavelmente terão uma intoxicação


medicamentosa.A Figura 3.18 mostra a concentração do indivíduo 1 e 2, ambos, com a mesma dose de

500 mg de fármaco. Para o individuo 2 mudamos o intervalo entre as doses. As doses estãosendo administradas a cada 24 horas. Isto resultou em um nível de saturação em torno de 600mg, mais próximo do nível de saturação do indivíduo 1 cuja função renal é normal. A Figura3.19, ilustra a concentração dos indivíduos 1 e 2, porém mantemos o intervalo de 8 horas entreas doses e mudamos a dose administrada do fármaco do indivíduo 2 para 250 mg, o resultadomostrou a mesma saturação de 500 mg para os dois indivíduos.

O procedimento indicado pelo modelo fuzzy de diminuir a dose do medicamento para quenão ocorra uma intoxicação do paciente está de acordo com o especialista. Pois, segundo oprofissional da área quando os pacientes estão com função renal comprometida, o procedimentoé diminuir a dose do medicamento, isto é, mudar a prescrição do fármaco.

0 5 10 15 20 25 30 350

200

400

600

800

1000

1200

I2

yS2

YS1

I1

intervalo�entre�as�doses

Figura 3.16: Concentração de fár-maco dos indivíduos 1 e 2 com amesma prescrição.

0 5 10 15 20 25 30 350

100

200

300

400

500

600

700


YS3

I3

YS1

I1

Figura 3.17: Concentração de fár-maco dos indivíduos 1 e 3 com amesma prescrição.

3.4.6 ConclusõesNesta seção foram apresentados modelos envolvendo a eliminação de fármacos do organismo.Exploramos a teoria dos conjuntos fuzzy para modelar a constante de velocidade de eliminação(k), considera-a como um parâmetro fuzzy que depende da função renal de um indivíduo. Destaforma podemos obter este parâmetro variando de indivíduo para indivíduo como a bibliografiada área afirma [41]. Assim, por meio de uma base de regras fuzzy, estudamos a influência dovolume urinário (v), da clearance de creatinina (clcr) e do pH sérico (p) que são as principaisvariáveis médicas que indicam a eficiência renal de um indivíduo.

A grande vantagem do modelo fuzzy (3.14) sobre o clássico (3.9) é incluir as variáveis médicasno modelo, já que é a partir delas que o médico indica a manutenção ou diminuição das dosesdos fármacos. No modelo consideramos a prescrição de certo fármaco para alguns indivíduos e

3.5. SISTEMAS P-FUZZY 56

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

100

200

300

400

500

600

Intervalo entre�as doses

yS2

I2

Y

I1

S1

Figura 3.18: Concentração de fár-maco dos indivíduos 1 e 2 alterandoo intervalo entre as doses.

0 5 10 15 20 25 30 350

100

200

300

400

500

600

YS1


S2Y= =�504.042

2I

I 1

Figura 3.19: Concentração de fár-maco dos indivíduos 1 e 2 alterandoa dose prescrita.

deteminamos as curvas de concentração de fármaco destes indivíduos. Concluímos que para osindivíduos com comprometimento renal, deve-se diminuir a dose prescrita para evitar qualquerrisco de intoxicação medicamentosa.

A próxima seção é dedicada ao estudo de sistemas dinâmicos em que a formulação é dada porum sistema baseado em regras fuzzy. Intuitivamente, tal abordagem é sugerida para substituiro campo de direções de uma equação diferencial. A notação p-fuzzy se refere à parcialmentefuzzy, já que nos utilizamos da lógica fuzzy. Porém, a solução é tipicamente, uma trajetóriaclássica.

3.5 Sistemas p-fuzzy

Muitas vezes nos deparamos com fenômenos que podem ser modelados por Equações Diferen-ciais Ordinárias que não apresentam solução analítica. Neste caso, fazemos uso da AnáliseNumérica, cuja teoria já é bastante aprofundada e seus resultados bastante conhecidos. Maisainda, muitas vezes, principalmente em fenômenos biológicos, tais equações são parcialmenteconhecidas, isto é, o campo de direções é conhecido apenas qualitativamente. Nesse caso, umaferramenta que temos utilizados é a teoria dos conjuntos fuzzy, mais especificamente os contro-ladores fuzzy que, com o auxílio da lógica fuzzy e de um especialista, são capazes de “captar”informações fundamentais de um determinado fenômeno.

O leitor interessado nesse assunto pode consultar [8], [13], [31] e [37].A seguir apresentaremos duas aplicações de sistemas p-fuzzy.


3.5.1 Modelo p-fuzzy de MalthusA proposta de utilização da matemática para estabelecer um modelo para o crescimento deuma população humana começou com o economista inglês T.R. Malthus (1798). Malthusafirma que ‘a capacidade de reprodução do homem é superior à capacidade da terra produzirmeios para sua subsistência e, a inibição do crescimento populacional é devida à disponibilidadede alimentos. A população quando não obstaculizada, aumenta a uma razão geométrica. Osmeios de subsistência aumentam apenas a uma razão aritmética. Pela lei de nossa natureza,que torna o alimento necessário à vida do homem, os efeitos dessas duas diferentes capacidadesdevem ser mantidos costantes’.

Atualmente, em dinâmica populacional, o que se convencionou chamar de modelo de Malthusassume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante, edesta forma, a população humana deveria crescer sem inibição. A formulação deste modeloem termos de uma equação diferencial não foi feita por Malthus, apesar de ser muito simples,mesmo para época em que foi postulado [12].

O modelo contínuo de Malthus é dado por:{ dP

dt= αP (t)

P (0) = P0

(3.16)

cuja solução é dada por P (t) = P0eαt, onde α é uma taxa de crescimento constante.O modelo p-fuzzy é construído a partir de um sistema baseado em regras fuzzy, onde a

entrada é a população (P ) e a saída a variação da população(dP

dt

). As funções de pertinência

são do tipo trapezoidais (veja Figuras 3.20 e 3.21), o método de inferência utilizado é o Métodode Mamdani e o de defuzzificação é o Centro de Gravidade. A base de regras fuzzy utilizada é:

• Se população é muito baixa entãodP

dtmuito baixa.

• Se população is baixa entãodP

dté baixa.

• Se população é média entãodP

dté média.

• Se população is alta entãodP

dté alta.

E utilizando o sistema baseado em regras fuzzy apresentado anteriormente, determinamoso valor de

dP

dtno próximo instante. Assim, calculamos o próximo valor de P , com integração

numérica, especificamente o método é o da regra do trapézio. Repetimos o mesmo raciocínioem 100 iterações obtendo a trajetória da população no tempo como mostra a Figura 3.22.


0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

população

grau

de

perti

nênc

iamédiamuitobaixa altabaixa

Figura 3.20: Funções de pertinênciada população.

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dP/dt

grau

de

perti

nênc

ia

médiamuitobaixa altabaixa

Figura 3.21: Funções de pertinênciada variação da população.

0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

250

tempo (t)

Malthus p−fuzzyMalthus deterministico

Figura 3.22: Trajetórias do modelo p-fuzzy contínuo com x0 = 2.

A seguir apresentaremos um trabalho desenvolvidos pelas alunas Mariana Fernandes dosSantos Villela e Karla Barbosa de Freitas do Curso de Graduação em Matemática da Uni-versidade Federal de Uberlândia, que foi apresentado no XIV Congresso Latino-Americano deBiomatemática [40].

3.5.2 Modelo p-fuzzy de Transferência da População HIV Assintomá-tica para Sintomática

A Síndrome da Imunodeficiência Adquirida (AIDS) tornou-se um problema mundial de saúde.É uma síndrome proveniente de um processo que compromete o sistema imunológico decorrentede infecção pelo HIV (vírus de imunodeficiência humana). O objetivo deste trabalho é utilizarum sistema baseado em regras fuzzy para elaborar um modelo da conversão de uma populaçãoHIV assintomática para uma sintomática, sem tratamento com antiretrovirais. Este tipo demodelo é denominado p-fuzzy, isto é, parcialmente fuzzy [8]. O modelo estudado é baseado nomodelo clássico proposto por Anderson (1986) [4], o qual estabelece que a taxa de conversão


(γ) da infecção para a AIDS está em função do tempo. Na história natural do HIV, seria atransferência entre a fase assintomática e sintomática com x+ y = 1; este modelo é descrito aseguir:

dx

dt= −γ(t)x x(0) = 1

dy

dt= γ(t)x = γ(t)(1− y) y(0) = 0 (3.17)

em que x representa a fração de indivíduos infectados, mas que ainda não desenvolveram adoença, enquanto y representa a fração de indivíduos infectados que já desenvolveram a doença.O modelo p-fuzzy é construído a partir de um sistema baseado em regras fuzzy, onde a entrada

é a fração da população sintomática (y) e a saída a variação da população sintomática(dy

dt

).

As funções de pertinência são do tipo trapezoidais (veja Figuras 3.23 e 3.24), o método deinferência utilizado é o Método de Mamdani e o de defuzzificação é o Centro de Gravidade. Abase de regras fuzzy utilizada é:

• Se a população é baixa então a variaçãody

dté média positiva.

• Se a população é média baixa então a variaçãody

dté média positiva.

• Se a população é média então a variaçãody

dté alta positiva.

• Se a população é alta então a variaçãody

dté baixa.

• Se a População é altíssima então a variaçãody

dté baixa negativa.

• Se a População é média alta então a variaçãody

dté baixa positiva.

As simulações numéricas apresentadas nas Figuras 3.25 e 3.26 são realizadas a partir deuma fração inicial da população sintomática y(t0), por integração numérica utilizando a regrado trapézio, e repetindo o processo para 800 iterações obtemos o comportamento de umapopulação HIV sintomática. A população assintomática (x(t)) é calculada através da equaçãox(t) = 1− y(t).

As Figuras 3.25 e 3.26 mostram que as curvas obtidas pelo modelo p-fuzzy estão próximasdos dados de Peterman (1985) [32], que foram apresentados no modelo clássico proposto porAnderson (1986) [4] para população sintomática.

Assim, através de um sistema baseado em regras fuzzy modelamos o comportamento dapopulação HIV assintomática e sintomática, sem o uso de equações diferenciais.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

população

grau

de

perti

nênc

iamédia baixa média altamédia altabaixa altíssima

Figura 3.23: Funções de pertinênciada população.

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dy/dt

grau

de

perti

nênc

ia

média posbaixa neg baixa pos alta pos

Figura 3.24: Funções de pertinênciada variação da população.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (t)

x(t)

população assintomáticadados de Peterman(1985)

Figura 3.25: Evolução no tempo dapopulação HIV assintomática.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo (t)

y(t)

população sintomáticadados de Peterman(1985)

Figura 3.26: Evolução no tempo dapopulação HIV sintomática.

Os dois exemplos de sistemas p-fuzzy ilustram o grande potencial da modelagem de sistemasdinâmicos por meio da teoria de controlador fuzzy. Mais especificamente, o potencial emmodelar equações diferenciais autônomas em que a taxa de variação das variáveis de estado sãomodeladas por meio de uma base de regras fuzzy.

O leitor com interesse em aprofundar seus estudos nessa área está convidado a consultar abibliografia citada no começo dessa seção.

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