Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas RetasConsiderando as retas r e s dadas pelas seguintes equações vetoriais:

: ,r P A tv t R

: ,s P B lw l R

e

Condição de paralelismo:Condição de paralelismo: As retas dadas são paralelas se e somente se , isto é,v mw

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

1 1 1, ,v a b c

2 2 2, ,w a b c

Condição de Coplanariedade: Condição de Coplanariedade: As retas dadas estão no mesmo plano se e somente se o produto misto entre os vetores diretores da reta e o vetor dados pelos respectivos pontos A e B é nulo, isto é,

Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas

1 1 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

, , 0

a b c

v w AB a b c

x x y y z z

��������������

Condição de Ortogonalidade: Condição de Ortogonalidade: As retas dadas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores o são, isto é,

Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas

1 2 1 2 1 2. 0v w a a b b c c

As retas dadas, no espaço, podem ser:

Coplanares: Concorrentes:

Paralelas: ou Coincidentes:

Não coincidentes:

Reversas:

Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas

r s I

r s s r

r s

r s

r s

, , 0v w AB ��������������

, , 0v w AB ��������������

Interseção de duas Retas

Para as retas r e s dadas,

: ,r P A tv t R

: ,s P B lw l R

1 1 1, ,v a b c

2 2 2, ,w a b c

Podemos escrever as seguintes equações:1

1

1

1

: ,

by x ma

r x Rc

z x na

2 2

2 2

2 2

: ,

x x a l

s y y b l l R

z z c l

e

Interseção de duas Retas

1

1

1

1

2 2

2 2

2 2

:

by x ma

cz x nar

x x a t

y y b t

z z c t

Assim eliminando o parâmetro das três últimas equações obteremos um sistema linear com 4 (ou menos) equações, e portanto, escalonando o sistema teremos a condição de interseção desejada.

Exercícios

1) Determinar a posição relativa das retas e caso seja possível sua interseção:

a) Retas e

b) Retas e

3 2:

3 1

y xr

z x

: 1 2 ,

2

x t

s y t t R

z t

2

: 1 2 ,

3

x t

s y t t R

z t

1

: ; 23 2

x zr y

Exercícios

2) Determinar as equações da reta r que passa no ponto A(-2,1,3) e é ortogonal simultaneamente às retas dadas:

1

2

: 1 2 ,

3

x t

r y t t R

z t

2

1: ; 2

3 2

x zr y

Ponto que divide um seguimento em Ponto que divide um seguimento em uma razão dadauma razão dada

Dados os pontos e

dizemos que o ponto divide o seguimento de reta na razão dada se:

1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

, ,P x y z

1 2PP

1 2PP r P P����������������������������

1P2P

P

Obs: Se a razão é negativa significa que o ponto P está entre

os dois pontos dados.

Exercícios

Determinar o ponto que divide os

seguimento dado por A(2,4,1) e B(3,0,5)

conforme indicado:

A)

B) Ao meio (razão –1)

1

3r