Download - Posição relativa de duas Retas
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Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas RetasConsiderando as retas r e s dadas pelas seguintes equações vetoriais:
: ,r P A tv t R
: ,s P B lw l R
e
Condição de paralelismo:Condição de paralelismo: As retas dadas são paralelas se e somente se , isto é,v mw
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
1 1 1, ,v a b c
2 2 2, ,w a b c
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Condição de Coplanariedade: Condição de Coplanariedade: As retas dadas estão no mesmo plano se e somente se o produto misto entre os vetores diretores da reta e o vetor dados pelos respectivos pontos A e B é nulo, isto é,
Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
, , 0
a b c
v w AB a b c
x x y y z z
��������������
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Condição de Ortogonalidade: Condição de Ortogonalidade: As retas dadas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores o são, isto é,
Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas
1 2 1 2 1 2. 0v w a a b b c c
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As retas dadas, no espaço, podem ser:
Coplanares: Concorrentes:
Paralelas: ou Coincidentes:
Não coincidentes:
Reversas:
Posição relativa de duas RetasPosição relativa de duas Retas
r s I
r s s r
r s
r s
r s
, , 0v w AB ��������������
, , 0v w AB ��������������
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Interseção de duas Retas
Para as retas r e s dadas,
: ,r P A tv t R
: ,s P B lw l R
1 1 1, ,v a b c
2 2 2, ,w a b c
Podemos escrever as seguintes equações:1
1
1
1
: ,
by x ma
r x Rc
z x na
2 2
2 2
2 2
: ,
x x a l
s y y b l l R
z z c l
e
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Interseção de duas Retas
1
1
1
1
2 2
2 2
2 2
:
by x ma
cz x nar
x x a t
y y b t
z z c t
Assim eliminando o parâmetro das três últimas equações obteremos um sistema linear com 4 (ou menos) equações, e portanto, escalonando o sistema teremos a condição de interseção desejada.
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Exercícios
1) Determinar a posição relativa das retas e caso seja possível sua interseção:
a) Retas e
b) Retas e
3 2:
3 1
y xr
z x
: 1 2 ,
2
x t
s y t t R
z t
2
: 1 2 ,
3
x t
s y t t R
z t
1
: ; 23 2
x zr y
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Exercícios
2) Determinar as equações da reta r que passa no ponto A(-2,1,3) e é ortogonal simultaneamente às retas dadas:
1
2
: 1 2 ,
3
x t
r y t t R
z t
2
1: ; 2
3 2
x zr y
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Ponto que divide um seguimento em Ponto que divide um seguimento em uma razão dadauma razão dada
Dados os pontos e
dizemos que o ponto divide o seguimento de reta na razão dada se:
1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z
, ,P x y z
1 2PP
1 2PP r P P����������������������������
1P2P
P
Obs: Se a razão é negativa significa que o ponto P está entre
os dois pontos dados.
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Exercícios
Determinar o ponto que divide os
seguimento dado por A(2,4,1) e B(3,0,5)
conforme indicado:
A)
B) Ao meio (razão –1)
1
3r