O DESENVOLVIMENTO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA E SUA COM PREENSÃO POR MEIO DA ÁLGEBRA GEOMÉTRICA

Lucimeire de Lourdes Adorno Ferreira 1

Clélia Maria Ignatius Nogueira 2

Resumo

O trabalho desenvolvido apresenta como tema a álgebra geométrica e sua abstração. Partindo do pressuposto de que o conhecimento matemático é historicamente construído e incorporando a perspectiva de permanente evolução, tem como objetivo a exploração do conteúdo que envolve expressões algébricas, utilizando material manipulável numa seqüência de atividades propostas e verificar como se dá a abstração dos conceitos aplicados. Por meio dessa exploração pretende-se possibilitar que o aluno reconheça as contribuições que a Matemática oferece para compreender as informações e posicionar-se diante delas. Para a execução da pesquisa, seguiram-se as diretrizes da Engenharia Didática, de M. Artigue, que as define como um processo empírico, no sentido que deve extrair os dados da realidade, compará-los às hipóteses e estabelecer ações para transformá-la.

Palavras-chave. Álgebra geométrica. Material manipulável. Expressões algébricas.

Abstract

The research work to be developed has as theme the geometric algebra and its abstraction. Breaking of the presupposed that the mathematic knowledge is historically built and incorporating the permanent perspective of permanent evolution, has as goal the exploration of the polynomial content, notable products and factorization of algebraic expressions, using manipulative material in a sequence of proposed activities and verify how the abstraction of the applied concepts happens. Through this exploration seeks to intend the student to recognize the contributions that Math offers to understand the informations and position itself in front of them. For the execution of the research, we will follow the guidelines of the Didatic Engineering, by M. Artigue, that sets them as an empiric process, towards that it must extract the reality data and compare them to hypotheses. Key works: Geometric algebra. Manipulative material. Algebraic expressions.

1 Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná E-mail: lladorno@seed.pr.gov.br 2Professora orientadora Universidade Estadual de Maringá E-mail: clelia@wnet.com.br

2

INTRODUÇÃO

Durante meu trabalho como professora, deparei-me com situações no ensino

de Matemática em que os alunos me questionavam sobre o porquê de estarem

aprendendo determinado conteúdo. Paralelamente a essa situação, entre os

educadores intensificavam-se as discussões sobre “dar significado aos conteúdos

matemáticos” em muitos cursos, palestras e grupos de estudo. Nos pequenos

grupos formados pelos professores de Matemática dentro das escolas em que

trabalhei, havia e há até hoje, uma divisão clara entre aqueles que preferiam

continuar a atuar da forma tradicional, conteudista e aqueles poucos que adotaram

outras metodologias. Os professores que optavam por atuar utilizando materiais

manipuláveis e jogos, que sem dúvida atraíam a atenção dos alunos para a

Matemática, eram questionados sobre os resultados obtidos com a aprendizagem.

Ao longo dos anos fui percebendo que quando utilizava algum material manipulável

para introduzir conteúdos ou um jogo para a consolidação da aprendizagem, os

alunos se interessavam mais pelas aulas e o aproveitamento era melhor.

Estreitando essa análise para alunos de 7ª série, cuja faixa etária é de doze a

quinze anos em média, na qual o conteúdo de Álgebra ocupa grande parte do

programa curricular e requer um maior grau de abstração, sempre procurei materiais

didáticos que auxiliassem essa compreensão, de forma a não deixar as aulas de

Matemática como ensino de regras ou “siga o modelo”. Foram várias tentativas, ano

após ano, algumas com sucesso na aprendizagem e outras não, pois ensinar e

aprender são processos que sofrem influências externas, como o empenho da

turma, a continuidade do aprendizado na série seguinte e o desempenho das

diversas equipes que trabalham na escola, entre outras.

Ao realizar uma atividade que envolve a utilização de materiais manipuláveis,

o que se percebe é uma agitação, um envolvimento, uma turma motivada ao

trabalho, porém, quando se sistematiza o conteúdo, os alunos perdem o “pique” e

voltam ao marasmo.

Para compreender melhor esse fato e mesmo como fazer para que a

sistematização e formalização dos conceitos elaborados pudessem motivar os

alunos, se não da mesma forma que as atividades realizadas, mas com um nível de

interesse pelo menos razoável para a compreensão do que estava sendo feito, senti

que apenas minha prática como professora não era suficiente. Havia necessidade

3

de mais conhecimento teórico, tanto no campo da Matemática, como, e

principalmente, os de caráter pedagógico. De maneira geral, senti necessidade de

teorizar a minha prática.

O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo de abstração e

generalização, além de possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para

resolver problemas, porém, existem dificuldades relativas ao fazer pedagógico com a

linguagem algébrica e em cálculos algébricos realizados que impossibilitam que os

alunos compreendam os conceitos associados.

A concepção de Matemática adotada é a de que o conhecimento matemático

é historicamente construído, e, portanto, está em permanente evolução. Assim, o

ensino da Matemática precisa incorporar essa perspectiva, possibilitando ao aluno

reconhecer as contribuições que a História da Matemática oferece para

compreender as informações e posicionar-se diante delas.

A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA

Na construção histórica encontramos evidências de fragmentos que

demonstram que o desenvolvimento da Álgebra está ligado a diferentes aspectos

culturais de diversos povos. Baumgart (1992) afirma que é estranha e intrigante a

origem da palavra “álgebra”, pois ela não se sujeita a uma etimologia nítida. Álgebra

é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, usada no título do livro “Hisab al-jabr

w'as-muqabahh”, escrito em Bagdá, por volta do ano 825 pelo matemático

Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. A tradução literal do título do livro é “ciência da

restauração (ou reunião) e redução”, mas, ainda de acordo com Baumgart (1993),

matematicamente seria melhor “ciência da transposição e cancelamento” ou

simplesmente “a ciência das equações”.

Embora em suas origens a palavra “Álgebra” refira-se a equações, hoje seu

significado é mais amplo, e para uma definição satisfatória é necessário um enfoque

em duas fases:” (1) Álgebra antiga (elementar) que é o estudo das equações e

métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) que é o estudo das

estruturas matemáticas. “ Como essa divisão é tanto cronológica como conceitual, é

4

conveniente traçar o desenvolvimento da Álgebra em termos dessas duas fases”.

(BAUMGART, 1993. p 3).

Segundo Fraile (1998) a origem do zero é um fenômeno notável da História

da humanidade e sua aparição considera o pensar humano das diversas

civilizações. A linguagem algébrica, segundo Boyer (1974), passa por três estágios:

o primitivo (RETÓRICO) completamente verbal e escrito com palavras, o

intermediário (SINCOPADO) em que são adotadas algumas abreviações; e o final

(SIMBÓLICO) em que o poder de síntese das expressões é transmitido pelos

símbolos. Ele ainda afirma que essa é uma divisão arbitrária do desenvolvimento da

Álgebra e é uma simplificação excessiva, mas serve como uma aproximação dos

fatos ocorridos. Foram três mil anos para se chegar à representação algébrica atual.

Esse desenvolvimento histórico nos faz perceber o quanto foi difícil a construção da

linguagem algébrica.

Além dos fatos históricos, pesquisas recentes em Educação Matemática,

demonstram o quanto o ensino de Álgebra é complexo e tem revelado dificuldades

tanto de professores quanto de alunos. Destaca-se aqui que as características da

linguagem algébrica e as dificuldades observadas nos seus diferentes estágios de

sua construção histórica podem auxiliar a construção do conhecimento algébrico

pelo aluno.

Ao se fazer uma leitura histórica da construção da ciência, verifica-se que os

cientistas quando iniciam uma investigação, observam os fatos, levantam hipóteses,

conjecturam concepções, realizam experimentações e por fim se propõem à

definição mais precisa dos conceitos. Este é o método da descoberta, um método

analítico, diferente daquele apresentado na formação do professor, que parte das

definições, enuncia, apresenta leis e deduções, um método sintético. Cabe ao

professor permitir que o aluno percorra os caminhos da História, que a utilize

juntamente com a geometria como base do ensino da álgebra e não como simples

ilustração. (SERGIO3, 1954 apud MARTINS, 2002).

Quando se tenta responder à questão “por onde começar” há uma

diversificada discussão sobre como introduzir os conceitos algébricos. Falcão (2003,

p.7) defende que as atividades realizadas devem contemplar “aspectos relevantes

3 Antonio Sérgio, Paidéia (Sugestões e conselhos de há mais de trinta anos); Ensaios Tomo VII (p 290 – 293); publicações

Europa-América; Lisboa: 1954.

5

do campo conceitual algébrico e se baseiem em atividades que possibilitem aos

alunos um nível de representação conceitual ao seu alcance”.

A provável origem da Álgebra deu-se na Babilônia, por volta de 1 700 a.C.,

com estilo retórico e relativo grau de sofisticação. Os babilônios eram capazes de

resolver uma variedade surpreendente de equações com coeficientes numéricos.

Procedimentos algébricos surgem no Egito quase na mesma época que na

Babilônia, 1850 a.C a 1650 a.C, porém faltavam os métodos sofisticados e a

variedade da álgebra babilônica. Na Grécia, até cerca de 540 a.C, a Álgebra era

geométrica, formulada pelos pitagóricos, que tinham conhecimento da Álgebra

babilônica. Diofanto (250 a. C) introduziu o estilo sincopado de escrever equações,

sua abordagem é inteligente, mas não desenvolveu um método sistemático de

encontrar soluções gerais e sua abordagem segue as linhas babilônicas. Já na

Álgebra hindu e na arábica, não constam registros anteriores aos séculos IV ou V

d.C, sendo que Brahmagupta e Bhaskara foram os mais destacados algebristas

hindus e resolviam equações completando quadrados. Quando a Álgebra chega à

na Europa, por volta de 1100 d.C, havia regredido tanto em estilo como em

conteúdo, pois a sincopação de Diofanto e Bramahmagupta e seus estudos

relativamente contemporâneos, não contribuíram para uma eventual irrupção da

Álgebra. O renascimento algébrico se deu na Itália (1200-1300), com o Líber abaci

(1 202) de Fibonacci (Leonardo de Pisa), no qual o autor resolvia equações usando

o estilo retórico de al-Khowarizmi, defendendo o uso de numerais indo-arábicos, dos

quais havia tomado conhecimento em suas viagens como comerciante

(BAUMGART, 1993. p 11).

O moderno simbolismo só despontou por volta de 1500 e o francês François

Viète foi um marco, um divisor de águas no pensamento algébrico, ao separar a

solução empírica de equações - solução manipulativa - da moderna corrente que

teve seu início com as propriedades teóricas das equações. Viète introduziu o uso

das letras para indicar números desconhecidos da forma como são utilizadas até

hoje, escrevendo equações e estudando suas propriedades. Ele foi o primeiro a

utilizar letras como coeficientes genéricos (positivos) aproximando a representação

simbólica das equações à praticada atualmente.

O trabalho realizado por Viète possibilitou a escrita de expressões de

equações e suas propriedades e, a partir daí, as expressões algébricas passaram a

ser objetos de operações matemáticas. Apesar do avanço proporcionado pelos

6

estudos de Viète e da beleza da Álgebra elaborada por ele, esta ainda estava

incompleta e a Álgebra de Descartes veio não apenas completá-la, mas também

complementá-la, ao possibilitar a síntese entre Geometria e Álgebra, agora de uma

maneira sistematizada e formal, transformando a Álgebra geométrica dos gregos,

em uma Geometria algébrica, utilizando os principais objetos algébricos, as

equações, para representar entes geométricos, como retas, curvas, planos, sólidos,

entre outros.

JOGOS E MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Fiorentini (2006) afirma que enquanto os matemáticos estabelecem processos

hipotético-dedutivos para desenvolver a Matemática pura e aplicada, os Educadores

Matemáticos buscam métodos interpretativos e analíticos das Ciências Sociais e

Humanas, visando uma formação integral, humana e crítica do aluno e do professor.

A Educação Matemática é uma área de conhecimento e cujo objeto de estudo

ainda está em construção, envolve o domínio do conteúdo específico, a Matemática,

e o domínio de idéias e processos pedagógicos relativos à transmissão, à

assimilação ou à apropriação, proporcionando a construção do saber matemático.

Busca-se na Educação Matemática caminhos para a melhoria da qualidade

do ensino e da aprendizagem, pois esta, enquanto campo de investigação e

produção de conhecimentos envolve as múltiplas relações e determinações entre

ensino, aprendizagem e conhecimento matemático em um contexto sociocultural

específico.

Ao observar o desempenho dos alunos, os educadores matemáticos que se

propõem a refletir sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra, apontam a

necessidade de uma metodologia de ensino que favoreça a produção de

significados para a Álgebra, todavia, é importante destacar que não há um

consenso, entre os estudiosos do assunto, sobre o significado da Álgebra. Há os

que, de uma forma mais freqüente, concebem esse ramo da Matemática como

“cálculo literal” ou “uma generalização da aritmética”, porém esses conceitos se

referem a uma determinada habilidade desenvolvida pelo uso da Álgebra, mas não

abrangem os processos cognitivos envolvidos em seu aprendizado, podendo ainda

7

induzir a interpretações equivocadas de que não há generalizações na aritmética

(OLIVEIRA, 2002, P.35).

O principal desafio do professor é buscar estratégias que facilitem a ação

pedagógica em sala de aula, propiciando ao aluno situações que envolvam

conteúdos essenciais à aprendizagem e garantam a autonomia de pensamento,

tornando-o capaz de aprender sozinho. Essa autonomia ou habilidade de aprender é

construída individualmente pelo sujeito. Para isso, atividades que possibilitem

condições suficientes para o aluno interpretar situações-problema, que desenvolvam

habilidades como organização, atenção e concentração são imprescindíveis

(NOGUEIRA, 2005).

Fiorentini e Miorim (1990) afirmam que, antes de optar por um material ou

jogo, devemos refletir sobre a proposta político-pedagógica; sobre o papel histórico

da escola; sobre o tipo de sociedade que queremos; sobre o tipo de aluno que

queremos formar; sobre qual Matemática acreditamos ser importante para esse

aluno. O professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de

material porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido por si só. Os

materiais e seu emprego sempre devem estar em segundo plano. A simples

introdução de jogos ou atividades no ensino da matemática não garante uma melhor

aprendizagem dessa disciplina. É freqüente vermos em alguns professores uma

mistificação dos jogos ou materiais manipuláveis.

Ora, que outra função tem o ensino de Matemática senão o ensino de

Matemática? É para cumprir essa tarefa fundamental que recorremos a todos os

recursos de que dispomos.

Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um “aprender” mecânico,

repetitivo, de fazer sem saber o que faz e porque faz. Muito menos um “aprender”

que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo, do qual o aluno

participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente

produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da

realidade e o material ou o jogo pode ser fundamental para que isso ocorra.

Nesse sentido, o material mais adequado, nem sempre, será o visualmente

mais bonito e nem o já construído. Muitas vezes, durante a construção de um

material, o aluno tem a oportunidade de aprender Matemática de uma forma mais

efetiva. Em outros momentos, o mais importante não será o material, mas sim a

8

discussão e resolução de uma situação-problema ligada ao contexto do aluno, ou

ainda, a discussão e utilização de um raciocínio mais abstrato.

A utilização do lúdico como uma estratégia metodológica de ensino, é

defendida e incentivada por diferentes autores. Por meio dessa estratégia os alunos

são sujeitos da sua aprendizagem. Respeitando seu contexto e sua motivação, é

possível proporcionar o prazer da “redescoberta” que muitas vezes lhes é negado

em detrimento do êxito do próprio ensino.

A utilização do lúdico não deve ser explorada apenas com a intenção de

tornar a aula mais agradável. Para que jogos e materiais manipuláveis favoreçam a

aprendizagem, alguns princípios devem ser promovidos em sala de aula, como

possibilitar muitas e variadas experiências de ensino relacionadas a um mesmo

conceito matemático; dar significado para a aprendizagem; oferecer situações para

que o aluno possa redescobrir padrões, regras e relações, entre outros.

Apreciando o que afirma Fiorentini e Miorin (1990) quanto à concepção

orgânica da participação da História na produção do saber docente, compreende-se

que a mesma assume um papel interdisciplinar ao retirar a Matemática do

isolamento com abordagem técnico conteudista e colocá-la como colaboradora na

formação de um cidadão crítico.

O papel da História é também didático-metodológico quando vê na

problematização um método naturalmente crítico e caracteristicamente humano, não

o mais rápido, porém com significado, e produz no professor necessidade de

avaliação crítica. E mais, um papel psicológico motivacional propiciando ambiente

pedagógico que estimule a participação do aluno, permitindo a desibinição, os

poderes cognitivos e afetivos e finalmente um papel político – crítico estimulando a

reflexão e debate em torno dos papéis que a matemática desempenha nas relações

de poder associado em cada momento histórico.

Na Álgebra, em especial, há dificuldades relativas ao trabalho com a

linguagem algébrica em situações de resoluções de problemas e em cálculos

algébricos realizados quando os alunos não compreendem os conceitos associados.

Ao estabelecer situações de aprendizagem que levem o aluno perceber que a

transformação de uma expressão algébrica em outra equivalente, mais simples,

facilita encontrar a solução de um problema é que esse trabalho se torna

significativo, no sentido de favorecer a construção dessa linguagem, com os

9

símbolos e regras específicas que constituem o cálculo algébrico e, particularmente

de possibilitar a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos.

Concordamos que a estratégia pedagógica de exploração de situações que

levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades e o

estabelecimento de relações se sobressai à de desenvolver o estudo da Álgebra

apenas enfatizando os cálculos com expressões, de forma mecânica.

Assim, o principal objetivo de nossa investigação foi estabelecer estratégias

para a generalização e a abstração dos conceitos envolvidos nas situações

algébricas apresentadas mediante a utilização de material manipulável.

Há muitas discussões em torno da utilização de materiais manipuláveis. Os

livros didáticos atuais incentivam a sua utilização o que vem sendo incorporado pelo

professor, porém alguns especialistas valorizam pouco o seu uso, considerando

perda de tempo. Diante disso vem a questão: é relevante a utilização de materiais

manipuláveis em sala de aula?

Segundo Nogueira (2005) ao optar pela utilização de materiais manipuláveis o

professor pode ter diferentes propósitos, entre eles, facilitar a compreensão de um

determinado conceito ou como motivação em problemas que exigem conceitos

matemáticos avançados.

Esses materiais podem efetivamente ser “concretos”, como o material

dourado ou a representação de um material. Deve-se ter em mente que o aluno não

construirá o seu conhecimento matemático apenas “manipulando” os objetos. Cabe

ao professor formular questões adequadas, que permitam ao aluno observar os

aspectos do material que sejam relevantes para a construção do conceito em

questão. Ao escolher um determinado material devem-se explorar todas as

possibilidades com antecedência, para que não ocorram surpresas e também para

evitar que o material seja utilizado apenas como brinquedo.

Levando-se em conta a natureza abstrata dos conceitos matemáticos

Nogueira (2005) afirma que o uso inadequado de materiais também deve ser evitado

ao máximo, pois se as atividades não forem bem dirigidas aos alunos, os resultados

podem ser muito diferentes do que se deseja. As ações do professor precisam ser

muito bem elaboradas, a passagem das ações concretas para a abstração dos

conceitos deve ser cuidadosamente preparada e não pode deixar de ser efetivada.

Essas ações devem também ser dosadas para que não transformem atividades de

elaboração de conhecimentos em uma aula expositiva e mecanizada. A observação

10

deve ser constante para que ocorra a verificação de que o aluno está fazendo as

abstrações necessárias e esperadas.

ENGENHARIA DIDÁTICA

Para o desenvolvimento da investigação/intervenção seguiram-se as

diretrizes da Engenharia Didática que, segundo Artigue (1995), caracteriza-se por

ser um esquema experimental baseado nas realizações didáticas em sala de aula,

no que diz respeito à concepção, realização, observação e análise de seqüências de

ensino. Essa escolha justifica-se pelo fato de se tratar de uma concepção que dá

importância tanto à dimensão teórica como experimental da pesquisa, favorecendo

uma ligação entre essa e a ação pedagógica.

A Engenharia Didática constitui-se em uma forma de sistematizar a aplicação

de um determinado método na pesquisa didática (Artigue 1995) e ainda possibilita o

enfrentamento de problemas práticos para os quais não existe teoria prévia.

Abrange uma distinção temporal em seu processo experimental, composta de quatro

fases:

• Análises preliminares: levam em conta as concepções envolvidas. Nessa fase, o

pesquisador ainda busca o quadro teórico orientador do processo e os

conhecimentos didáticos adquiridos previamente sendo que estas informações

serão retomadas e aprofundadas nas demais fases desta metodologia;

• Concepção e análise a priori: nessa fase, o investigador estabelece o número de

variáveis pertinentes ao problema elaborado a fim de controlar o comportamento

dos alunos envolvidos na pesquisa. Essas variáveis podem ser macro-didáticas

(ligadas à organização global da engenharia) ou micro-didáticas (ligadas à

organização local da engenharia, de uma seqüência ou da fase), mas de

qualquer forma, podem ser independentes ou dependentes ao conteúdo didático

enfocado;

• Experimentação: fase de realização da engenharia com a população de alunos

pesquisados por meio do contato com o pesquisador e /ou professor e /ou

observadores. Nessa etapa também ocorrem a “Oficialização” ou

“Institucionalização” dos conceitos trabalhados na atividade aplicada;

11

• Análise posteriori e validação: essa fase consiste no tratamento das informações

obtidas com base nos dados coletados na experimentação e nas observações

realizadas durante a aplicação da seqüência de ensino. E, por fim, realizam-se as

confrontações entre as análises a priori e a posteriori, validando ou não a

essência das hipóteses formuladas na investigação.

Seguindo as idéias de Artigue (1995) considera-se um conteúdo do sistema

de ensino cujo resultado é pouco satisfatório e faz-se uma análise deste com a

intenção de propor mudanças para um melhor desempenho.

PROPOSTA DE INTERVENÇÃO

Como análise preliminar observou-se durante três anos letivos anteriores o

resultado da aprendizagem em turmas de sétimas séries nos conteúdos ligados à

Álgebra, mais especificamente o cálculo com expressões algébricas. Com a turma

em que se utilizou material manipulável, o professor da série seguinte alegou que os

alunos não tinham “agilidade” na realização dos cálculos; para aquela na qual se

trabalhou regularidades e regras, na série seguinte, os alunos falhavam na

interpretação; e naquela onde se tentou mesclar as duas metodologias

anteriormente citadas, ocupou-se muito tempo prejudicando o andamento do

planejamento.

Como nossa ação naquele momento estava baseada quase que

exclusivamente, em nossa vontade de mudar, na experiência com a docência e, em

alguns estudos realizados de maneira informal e assistemática, sentíamos que, se

pudéssemos fundamentar teoricamente nossa de uma maneira mais sólida

poderíamos confirmar (ou não), nossa conjectura de que a utilização de materiais

manipuláveis e a compreensão das operações algébricas por meio de atividades

envolvendo geometria, realmente colaborariam com os processos de ensino e

aprendizagem de Álgebra.

Assim, com a participação no PDE (Programa de Desenvolvimento

Educacional do Paraná) surge a oportunidade de realizar esses estudos de maneira

sistematizada, inclusive com a realização de uma investigação/intervenção que

possibilitasse a confirmação ou não nossa conjectura acerca da utilização de

materiais manipuláveis em aulas de Álgebra.

12

Na etapa da análise a priori para essa proposta de intervenção, elaboramos

uma seqüência de ensino com questões cujo objetivo era identificar monômios como

generalização das operações e propriedades dos números já estudadas e

desenvolver habilidades de cálculos com monômios e polinômios utilizando áreas de

figuras geométricas.

Segundo Artigue (1995), é nessa fase que são delimitadas as variáveis de

controle, as quais permitem conhecer o que se pretende experimentar. Essas

variáveis foram analisadas durante a aplicação da seqüência, e é sobre elas que

devemos ter controle a fim de relacionarmos o conteúdo em questão como a

seqüência proposta para desenvolver a apreensão dos conceitos envolvidos.

A seqüência de atividades elaborada abordou a linguagem algébrica mediante

o cálculo de áreas de figuras geométricas e utilizando a metodologia do trabalho em

grupo, estabelecendo um ambiente colaborativo, essencial para a discussão das

idéias e desenvolvimento da argumentação.

Além do cálculo de áreas de figuras geométricas para a contextualização e

significação das expressões e operações algébricas, as atividades propostas

utilizavam recorte e colagem com figuras desenhadas em papel quadriculado, com a

intenção de que a “manipulação das áreas” em questão favorecesse a compreensão

dos cálculos efetuados. O principal objetivo das atividades propostas foi a

identificação das regularidades presentes nos cálculos de área, primeiramente

realizados numericamente e, em seguida, de maneira literal.

Entendendo que a motivação é uma alavanca para a aprendizagem, nossa

hipótese a priori foi a de que as atividades elaboradas fossem suficientes para que

os alunos se mantivessem atentos e abertos a compreender o conteúdo proposto.

Hipótese que foi confirmada e descrita a seguir. No processo de experimentação, a

primeira atividade proposta envolvia a determinação das áreas do quadrado e do

retângulo, recortados em papel quadriculado e com o cálculo de sua área efetuado

conforme mostrado a seguir:

• Recorte e cole um quadrado com 4 unidades de medida de lado. Quantas

unidades de área são necessárias para recobrir o quadrado?

13

4

A = 4 x 4

4 A = 16 unidades de área ( )

• Recorte e cole um retângulo com 5 unidades de medida na base e 3 unidades

de medida de lado. Quantas unidades de área são necessárias para recobrir

a superfície do retângulo?

3

A = 3 x 5

5 A = 15 unidades de área ( )

• Recorte e cole um quadrado de lado x. Calcule a sua área.

x

A = x. x x A = x2

Foi interessante observar a reação de alguns alunos que não haviam passado

anteriormente pela experimentação em Matemática, conforme atesta a resposta à

questão: “Quantas unidades têm?” Um aluno respondeu depois de contar: “Tem 16.

Nossa! Que legal!” enquanto outro que já havia participado de atividades

semelhantes em outra ocasião, não sentiu necessidade da experiência, ou dito de

outra forma, já antevia o que iria acontecer, conforme seu comentário, “Ah, não

precisa, confio no cálculo”.

Entretanto, apesar da atividade motivar os alunos, variáveis externas ao

planejamento didático comprometeram sua execução. Tivemos perda na qualidade

do trabalho, quando este sofreu influência do ambiente escolar, a turma numerosa e

agitada se dispersava sempre que foi necessário o atendimento individual para

alguns alunos, procedimento essencial em atividades envolvendo experimentação,

quando não se pretende apenas a transmissão de informações e sim a elaboração

de conceitos.

A primeira parte da aplicação seqüência, atividade um à atividade dez,

transcorreu bem, apesar da turma ser indisciplinada. Nesse momento houve a

14

a2

2a

2a

necessidade de interrompê-la e retomarmos os conceitos de monômios e

polinômios, coeficiente, parte literal, bem como sua aplicação em situações

problemas

Ao reiniciar a atividade proposta, com o cálculo do quadrado da soma de dois

termos, percebemos que os alunos já haviam compreendido o conceito de área e

eram capazes de decompor a figura em outras menores, calcular a área de cada

uma delas e somá-las para compor a figura toda, como na atividade seguinte: • Utilizando papel quadriculado determine geometricamente (a + 2)2

A

2

Qual a área total da superfície do quadrado

representado?

A = ( a + 2 ) . ( a + 2 )

A = ( a + 2 ) 2

A = a2 + 4a + 4

2 a

A partir da compreensão da composição fomos aumentando a área (x + 3)2, (x

+ 4)2, (x + 5)2, e assim sucessivamente e, mediante a identificação das

regularidades, os alunos estabeleceram “regra” e chegaram à generalização.

Para trabalhar o quadrado da diferença de dois termos, só o papel

quadriculado não foi o suficiente, precisamos confeccionar o material em E.V.A. para

a visualização, acompanhamento e compreensão dos alunos. Fomos compondo a

figura juntamente com eles:

• “Primeiro recortem um quadrado de lado x, qual é sua área? Dessa área vou

tirar 2 unidades de cada um dos lados” - preenchemos a lateral com um

retângulo de área 2x, frisando bem que – 2 quer dizer “retirar” a área. Em

seguida, levando os alunos às conclusões necessárias, vimos que de um lado

o quadrado media x – 2 e do outro ainda x.

• É importante destacar que naquele momento tínhamos alunos muito atentos,

ansiosos pela conclusão da atividade, pois estavam curiosos pelos resultados

e comentavam que “estava interessante”. Seguindo com a atividade,

“retiramos” a área 2x do outro lado do quadrado e como estávamos usando

uma área equivalente a 2x, os alunos perceberam que não dava para “tirar”

15

2xx

2x

2x

2x

tudo, pois um, “pedaço” ficava para fora, exatamente a medida de -4

unidades. “Como tirar algo que não tenho?” Após algumas conjecturas

realizadas pelos alunos, de maneira independente ou direcionadas por nós,

concluímos pela uma compensação, “o que anula o -4 que eu quero tirar?” “É

o +4”, responderam eles. Então, foi possível estabelecer a conclusão:

“Tínhamos uma área de x2, dessa área tiramos 2 vezes a área 2x que dá 4x e

acrescentamos + 4”. Logo (x - 2)2 = x2 – 4x + 4.

x – 2 2

x – 2

2

X

x – 2 2

Da mesma forma que na situação anterior, apresentamos diferentes

situações: (x - 3)2, (x - 4)2, (x - 5)2, até que os alunos fossem capazes de identificar

a regularidade chegando à “regra” em si, porém escrita por eles.

Continuamos com a aplicação da seqüência de atividades, trabalhando os

conteúdos que envolvem produtos de expressões algébricas, fatorações e suas

aplicações em situações problemas.

A SOCIALIZAÇÃO DA EXPERIÊNCIA

A elaboração do Caderno Pedagógico “ Álgebra Geométrica” foi resultado de

leitura, pesquisa e busca de uma metodologia que atendesse às necessidades

encontradas durante os processos ensino e aprendizagem.

Após a conclusão da intervenção prevista no plano de trabalho do PDE, a

representante da disciplina de Matemática do Núcleo Regional de Ensino de

Maringá, fez um convite aos professores PDE / Matemática que quisessem

compartilhar essa pesquisa com outros professores da rede estadual, por meio de

cursos certificados pela PEC - Pró Reitoria de Extensão e Cultura e intermediados

4

16

pela CAE – Coordenadoria de Apoio ao Ensino Infantil, Fundamental, Médio e

Educação Especial, da UEM.

Aceitando o convite, preparamos 32 horas de trabalho presenciais e 8 horas

não presenciais, com 32 professores da rede estadual de ensino e quatro

professores PDE, sendo que cada um desses trabalhou o conteúdo por ele

pesquisado por 8 horas.

No dia reservado ao tema “O desenvolvimento da linguagem algébrica e sua

compreensão por meio da álgebra geométrica” iniciamos o trabalho fazendo uma

retrospectiva sobre a História da Álgebra, a importância da utilização de materiais

manipuláveis e a atenção que se deve ter ao optar pela sua utilização. Fizemos

questão de realizar cada uma das atividades propostas, oportunizando uma

discussão em torno das apresentações das atividades.

A cada atividade proposta, os professores relatavam suas dúvidas e também

suas angústias ao trabalhar com esse conteúdo que, a princípio, é tão abstrato.

Quando olhamos as operações algébricas, da forma como nos foi apresentada em

nossa formação, ou por muitos livros ainda disponíveis, as interpretamos como

meras operações e regras, destituídas de significado e que “talvez” servirão como

ferramenta em algum outro conteúdo matemático.

No decorrer das atividades o interesse foi significativo e as discussões

produtivas, com os professores sentindo-se à vontade para fazer intervenções que

viessem melhorar a qualidade da apresentação do caderno pedagógico. Entre

algumas observações relatadas pelos professores na avaliação do curso, podemos

destacar:

• “Consegui ver esse conteúdo de uma maneira tão gostosa de ensinar para os

alunos e que pena que ensinei tanto tempo de maneira sem graça”;

• “Aprendi uma forma diferente de ensinar polinômios, de modo que os alunos

visualizem no concreto a álgebra”;

• “Houve bastante interação e interesse no decorrer das atividades do curso,

promovendo assim o crescimento coletivo”;

• “O curso trouxe atividades interessantes sobre produtos notáveis e fatoração.

Gostei, pois tenho 7ª série e percebo que os alunos apresentam bastante

dificuldade para compreender as operações”;

17

• “Aprendi novas maneiras de aplicar um conteúdo que é tão abstrato para o

aluno. Dessa forma fica mais fácil o aluno entender”;

• “A aula foi dinâmica, com atividades práticas que com certeza contribuirão

para nossa prática pedagógica, tornando nossas aulas mais interessantes e

propiciando a aprendizagem aos alunos”;

• “O curso veio de encontro aos meus anseios enquanto professora em sala de

aula, contribuindo com atividades diversificadas que com certeza irão

despertar o interesse dos alunos”;

• “Tirei várias dúvidas e agora posso trabalhar concretamente com meus alunos

e de forma leve sem tanta dificuldade”;

• “Com o PDE, os professores participantes se dispuseram a fazer esse

repasse de estratégias alternativas que muito nos ajuda”.

Com essa socialização verificamos mais uma vez, agora com professores da

rede estadual, que o tema escolhido para a pesquisa no Programa de

Desenvolvimento Educacional, “O desenvolvimento da linguagem algébrica e sua

compreensão por meio da álgebra geométrica”, veio contribuir com a prática

pedagógica empregada em nossas aulas.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao compararmos os métodos tradicionais para o trabalho com expressões

algébricas e o que utiliza material manipulável, concluímos que a seqüência de

atividades proposta em que essas expressões são apresentadas associadas às

áreas de figuras geométricas, contribuiu no sentido de proporcionar significado aos

símbolos utilizados, favorecendo a elaboração do pensamento algébrico.

Quanto ao trabalho pedagógico realizado, é necessário destacar as

dificuldades encontradas. No início das atividades o interesse foi grande, pela

novidade do material, cuja utilização se mostrou viável, produtiva e com resultados

positivos, mas alguns fatores interferiram na qualidade do trabalho, como o número

de alunos que temos em nossas salas de aula, tornando quase impossível atender

às dúvidas individuais, o que acaba causando a dispersão de alguns grupos,

18

prejudicando assim o andamento do trabalho. Outros empecilhos que refletem no

desempenho do aluno, também são freqüentes como as suas ausências, a falta de

material, agravados pelo descompromisso da família com a escola para minimizá-

los.

É fantástica a possibilidade de investigação durante os processos de ensino e

aprendizagem em sala de aula. As leituras realizadas durante a pesquisa

contribuíram imensamente com a prática pedagógica e com as interferências que se

fizeram necessárias. Chegamos à conclusão que temos muito a aprender, porém

nos sentimos tão impotentes diante dos problemas que temos que transpor, que ,

desanimamos.

Com a utilização da seqüência didática constatamos grande interesse e uma

significativa participação dos alunos. Os trabalhos foram realizados ora

individualmente, ora em pequenos grupos e sempre concluídos com as discussões

gerais.

O desenvolvimento da pesquisa mostrou que explorar materiais manipuláveis

identificando o seu potencial de utilização no ensino da Matemática, é um trabalho

fascinante e compensador. Levar esse trabalho para a sala de aula motiva os

alunos, incentiva a autonomia, contribui com o raciocínio lógico, aumenta o interesse

e a participação, o que induz a uma melhor compreensão dos conteúdos.

Contudo, incorporarmos a utilização de materiais manipuláveis às salas de

Matemática vai muito além de proporcionarmos novos instrumentos aos alunos. A

aprendizagem deve desenvolver-se em um ambiente apropriado e em situações que

favoreçam a construção sólida dos conhecimentos, transformando a maneira como

se faz e como se percebe a Matemática.

REFERÊNCIAS

BAUMGART, J. K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Álgebra. Trad. Hyigino H. Domingues. São Paulo: Atual. 1992. BOYER, Carl B. História da Matemática . Trad. Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blucher. 1974. 488p.

19

CANON, Larry et al. Baldosas Algebraicas . Biblioteca nacional de manipuladores virtuales. 1999-2007. Disponível em <http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_189_g_1_t_2.html?open=activities. > Acesso em : 01 out. 2007. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática . São Paulo: Ed. Ática. 2004.

FALCÃO, Jorge Tarcísio da Rocha. Alfabetização algébrica nas séries iniciais: Como começar? Cultura Popular e Educação. Salto para o futuro. Tv Escola. 2003. Disponível em http://www.redebrasil.tv.br/salto/boletins2003/eda/teimp.htm. Acesso em 8 out.2007.

FIORENTINI, Dario e LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos . Campinas, SP: Autores Associados. 2006.

FIORENTINI, Dario e MIORIM,Maria Ângela. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática . São Paulo: Boletim da SBEM. N. 7. 1990.

MARTINS, Arsélio. Sobre a álgebra geométrica. O regresso à história. Disponível em http//www.prof2000.pt/users/Adam/hm/hmic.pdf. Acesso em 01 out. 2007.

MIGUEL, Antonio e MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática: Propostas e Desafios . Belo Horizonte: Autêntica. 2004. NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius e ANDRADE, Doherty. Educação Matemática e as operações fundamentais . (Formação de professores, EAD nº 21). Maringá: EDUEM. 2005. OLIVEIRA, Ana Tereza de C. C. de. Reflexões sobre a aprendizagem da álgebra . Educação Matemática em revista. N. 12. Ano 9. 2002. p 35. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educaç ão Básica . Curitiba: SEED, 2006. RABONI, Edméia Aparecida Rocha Silva. Saberes profissionais do professor de matemática: Focalizando o professor e a álgebra no ensino fundamental . Dissertação. Presidente Prudente. 2004. Disponível em

20

http://200.189.113.123/diaadia/diadia/modules/mydownloads_01/viewcat.php?cid=4&orderby=titleD&PHPSESSID=ec5fad39e90e5f1ae3ac03f00cd48d00. Acesso em 25 ago.2007.