Pontos notaveis de um triangulo, cırculos

Monica Moulin Ribeiro MerkleInstituto de Matematica, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil

monica@im.ufrj.br

30 de setembro de 2016

Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 10

Base media

DEF. A base media de um triangulo ABC relativa ao vertice A(ou ao lado BC ) e o segmento que une os pontos medios M e N doslados AB e AC do triangulo.

Todo triangulo tem tres bases medias. O triangulo que tem comolados as bases medias de um triangulo ABC e chamado de triangulomedial de ABC .

TEOREMA da base media. Se MN e a base media de um trianguloABC relativa ao lado BC entao a reta determinada por M e N eparalela a reta determinada por B e C . Alem disso MN = BC/2.

DEF. A base media de um trapezio e o segmento que liga ospontos medios dos lados nao paralelos.

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Base media

DEF. A base media de um triangulo ABC relativa ao vertice A(ou ao lado BC ) e o segmento que une os pontos medios M e N doslados AB e AC do triangulo.

Todo triangulo tem tres bases medias. O triangulo que tem comolados as bases medias de um triangulo ABC e chamado de triangulomedial de ABC .

TEOREMA da base media. Se MN e a base media de um trianguloABC relativa ao lado BC entao a reta determinada por M e N eparalela a reta determinada por B e C . Alem disso MN = BC/2.

DEF. A base media de um trapezio e o segmento que liga ospontos medios dos lados nao paralelos.

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Base media

DEF. A base media de um triangulo ABC relativa ao vertice A(ou ao lado BC ) e o segmento que une os pontos medios M e N doslados AB e AC do triangulo.

Todo triangulo tem tres bases medias. O triangulo que tem comolados as bases medias de um triangulo ABC e chamado de triangulomedial de ABC .

TEOREMA da base media. Se MN e a base media de um trianguloABC relativa ao lado BC entao a reta determinada por M e N eparalela a reta determinada por B e C . Alem disso MN = BC/2.

DEF. A base media de um trapezio e o segmento que liga ospontos medios dos lados nao paralelos.

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Base media

DEF. A base media de um triangulo ABC relativa ao vertice A(ou ao lado BC ) e o segmento que une os pontos medios M e N doslados AB e AC do triangulo.

Todo triangulo tem tres bases medias. O triangulo que tem comolados as bases medias de um triangulo ABC e chamado de triangulomedial de ABC .

TEOREMA da base media. Se MN e a base media de um trianguloABC relativa ao lado BC entao a reta determinada por M e N eparalela a reta determinada por B e C . Alem disso MN = BC/2.

DEF. A base media de um trapezio e o segmento que liga ospontos medios dos lados nao paralelos.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres medianas se intersectam nomesmo ponto G .

DEF. O ponto de intersecao das medianas de um triangulo echamado de baricentro.

Se AM e a mediana relativa ao vertice A, entao AG = 2GP.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres mediatrizes se intersectam nomesmo ponto O.

DEF. O ponto de intersecao das mediatrizes de um triangulo echamado de circunncentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres medianas se intersectam nomesmo ponto G .

DEF. O ponto de intersecao das medianas de um triangulo echamado de baricentro.

Se AM e a mediana relativa ao vertice A, entao AG = 2GP.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres mediatrizes se intersectam nomesmo ponto O.

DEF. O ponto de intersecao das mediatrizes de um triangulo echamado de circunncentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres medianas se intersectam nomesmo ponto G .

DEF. O ponto de intersecao das medianas de um triangulo echamado de baricentro.

Se AM e a mediana relativa ao vertice A, entao AG = 2GP.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres mediatrizes se intersectam nomesmo ponto O.

DEF. O ponto de intersecao das mediatrizes de um triangulo echamado de circunncentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres medianas se intersectam nomesmo ponto G .

DEF. O ponto de intersecao das medianas de um triangulo echamado de baricentro.

Se AM e a mediana relativa ao vertice A, entao AG = 2GP.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres mediatrizes se intersectam nomesmo ponto O.

DEF. O ponto de intersecao das mediatrizes de um triangulo echamado de circunncentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres medianas se intersectam nomesmo ponto G .

DEF. O ponto de intersecao das medianas de um triangulo echamado de baricentro.

Se AM e a mediana relativa ao vertice A, entao AG = 2GP.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres mediatrizes se intersectam nomesmo ponto O.

DEF. O ponto de intersecao das mediatrizes de um triangulo echamado de circunncentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Pontos notaveis de um triangulo

PROP. Em um triangulo ABC , as tres alturas se intersectam nomesmo ponto H.

PROVA. Construcao de triangulo MNP, que possui ABC comotriangulo medial.

OBS. O circuncentro de um triangulo e o ortocentro de seu triangulomedial.

DEF. O ponto de intersecao das alturas de um triangulo e chamadode ortocentro.

PROP. Em um triangulo ABC , as tres bissetrizes se intersectam nomesmo ponto I .

DEF. O ponto de intersecao das bissetrizes de um triangulo echamado de incentro.

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Reta tangente a um cırculo

DEF. Se uma reta r e um cırculo Γ tem apenas um ponto em comum,dizemos que r e tangente a Γ. O ponto em comum e chamado deponto de tangencia.

Como caracterizar retas tangentes a cırculos?

PROP. Uma reta r e tangente a um cırculo Γ com centro no ponto Ose e somente se a reta r e perpendicular ao raio OP, onde P e oponto de intersecao de r e Γ.

OBS. A reta tangente a um cırculo por um ponto P e unica.

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Reta tangente a um cırculo

DEF. Se uma reta r e um cırculo Γ tem apenas um ponto em comum,dizemos que r e tangente a Γ. O ponto em comum e chamado deponto de tangencia.

Como caracterizar retas tangentes a cırculos?

PROP. Uma reta r e tangente a um cırculo Γ com centro no ponto Ose e somente se a reta r e perpendicular ao raio OP, onde P e oponto de intersecao de r e Γ.

OBS. A reta tangente a um cırculo por um ponto P e unica.

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Reta tangente a um cırculo

DEF. Se uma reta r e um cırculo Γ tem apenas um ponto em comum,dizemos que r e tangente a Γ. O ponto em comum e chamado deponto de tangencia.

Como caracterizar retas tangentes a cırculos?

PROP. Uma reta r e tangente a um cırculo Γ com centro no ponto Ose e somente se a reta r e perpendicular ao raio OP, onde P e oponto de intersecao de r e Γ.

OBS. A reta tangente a um cırculo por um ponto P e unica.

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Reta tangente a um cırculo

DEF. Se uma reta r e um cırculo Γ tem apenas um ponto em comum,dizemos que r e tangente a Γ. O ponto em comum e chamado deponto de tangencia.

Como caracterizar retas tangentes a cırculos?

PROP. Uma reta r e tangente a um cırculo Γ com centro no ponto Ose e somente se a reta r e perpendicular ao raio OP, onde P e oponto de intersecao de r e Γ.

OBS. A reta tangente a um cırculo por um ponto P e unica.

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Angulos centrais

DEF. Dados dois pontos A e B num cırculo Γ com centro no pontoO, a reta que contem os pontos A e B divide o plano em doissemi-planos e o cırculo em dois arcos. Quando AB e um diametro, osarcos sao chamados de semi-cırculos. Quando AB nao e umdiametro, temos o arco maior (que fica contido no semi-plano quecontem O) e o arco menor. O angulo AOB e chamado de angulocentral e sua medida e igual a medida em graus do arco menor.

A medida do arco maior e igual a 360◦ − AOB.

Se AB e um diametro, AOB = 180◦.

PROP. Angulos centrais iguais subentendem cordas congruentes(iguais). Cordas congruentes determinam angulos centrais iguais, emum mesmo cırculo ou em cırculos de mesmo raio.

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Angulos centrais

DEF. Dados dois pontos A e B num cırculo Γ com centro no pontoO, a reta que contem os pontos A e B divide o plano em doissemi-planos e o cırculo em dois arcos. Quando AB e um diametro, osarcos sao chamados de semi-cırculos. Quando AB nao e umdiametro, temos o arco maior (que fica contido no semi-plano quecontem O) e o arco menor. O angulo AOB e chamado de angulocentral e sua medida e igual a medida em graus do arco menor.

A medida do arco maior e igual a 360◦ − AOB.

Se AB e um diametro, AOB = 180◦.

PROP. Angulos centrais iguais subentendem cordas congruentes(iguais). Cordas congruentes determinam angulos centrais iguais, emum mesmo cırculo ou em cırculos de mesmo raio.

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Angulos centrais

DEF. Dados dois pontos A e B num cırculo Γ com centro no pontoO, a reta que contem os pontos A e B divide o plano em doissemi-planos e o cırculo em dois arcos. Quando AB e um diametro, osarcos sao chamados de semi-cırculos. Quando AB nao e umdiametro, temos o arco maior (que fica contido no semi-plano quecontem O) e o arco menor. O angulo AOB e chamado de angulocentral e sua medida e igual a medida em graus do arco menor.

A medida do arco maior e igual a 360◦ − AOB.

Se AB e um diametro, AOB = 180◦.

PROP. Angulos centrais iguais subentendem cordas congruentes(iguais). Cordas congruentes determinam angulos centrais iguais, emum mesmo cırculo ou em cırculos de mesmo raio.

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Angulos centrais

DEF. Dados dois pontos A e B num cırculo Γ com centro no pontoO, a reta que contem os pontos A e B divide o plano em doissemi-planos e o cırculo em dois arcos. Quando AB e um diametro, osarcos sao chamados de semi-cırculos. Quando AB nao e umdiametro, temos o arco maior (que fica contido no semi-plano quecontem O) e o arco menor. O angulo AOB e chamado de angulocentral e sua medida e igual a medida em graus do arco menor.

A medida do arco maior e igual a 360◦ − AOB.

Se AB e um diametro, AOB = 180◦.

PROP. Angulos centrais iguais subentendem cordas congruentes(iguais). Cordas congruentes determinam angulos centrais iguais, emum mesmo cırculo ou em cırculos de mesmo raio.

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Angulos inscritos

Um angulo e inscrito quando seu vertice e um ponto do cırculo eseus lados sao cordas.

TEOREMA DO ANGULO INSCRITO. A medida do angulo inscrito eigual a metade da medida do arco correspondente (arco que naocontem o vertice).

PROVA. Examinar casos possıveis com relacao a posicao do centro docırculo.

OBS. Todos os angulos inscritos que subentendem o mesmo arco tema mesma medida.

OBS. Todos os angulos que subentendem um semicırculo sao retos.

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Angulos inscritos

Um angulo e inscrito quando seu vertice e um ponto do cırculo eseus lados sao cordas.

TEOREMA DO ANGULO INSCRITO. A medida do angulo inscrito eigual a metade da medida do arco correspondente (arco que naocontem o vertice).

PROVA. Examinar casos possıveis com relacao a posicao do centro docırculo.

OBS. Todos os angulos inscritos que subentendem o mesmo arco tema mesma medida.

OBS. Todos os angulos que subentendem um semicırculo sao retos.

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Angulos inscritos

Um angulo e inscrito quando seu vertice e um ponto do cırculo eseus lados sao cordas.

TEOREMA DO ANGULO INSCRITO. A medida do angulo inscrito eigual a metade da medida do arco correspondente (arco que naocontem o vertice).

PROVA. Examinar casos possıveis com relacao a posicao do centro docırculo.

OBS. Todos os angulos inscritos que subentendem o mesmo arco tema mesma medida.

OBS. Todos os angulos que subentendem um semicırculo sao retos.

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Angulos inscritos

Um angulo e inscrito quando seu vertice e um ponto do cırculo eseus lados sao cordas.

TEOREMA DO ANGULO INSCRITO. A medida do angulo inscrito eigual a metade da medida do arco correspondente (arco que naocontem o vertice).

PROVA. Examinar casos possıveis com relacao a posicao do centro docırculo.

OBS. Todos os angulos inscritos que subentendem o mesmo arco tema mesma medida.

OBS. Todos os angulos que subentendem um semicırculo sao retos.

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Angulos inscritos

Um angulo e inscrito quando seu vertice e um ponto do cırculo eseus lados sao cordas.

TEOREMA DO ANGULO INSCRITO. A medida do angulo inscrito eigual a metade da medida do arco correspondente (arco que naocontem o vertice).

PROVA. Examinar casos possıveis com relacao a posicao do centro docırculo.

OBS. Todos os angulos inscritos que subentendem o mesmo arco tema mesma medida.

OBS. Todos os angulos que subentendem um semicırculo sao retos.

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Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Angulo de segmento, angulo ex-centrico interior e anguloex-centrico exterior

DEF. Caso limite de um angulo inscrito: chamamos de angulo desegmento um angulo com vertice A num ponto do cırculo, um ladouma corda do cırculo e outro lado numa reta tangente ao cırculo peloponto A.PROP. A medida de um angulo de segmento BAC e igual a metadeda medida do angulo central AOB correspondente.Um angulo e chamado de angulo ex-centrico interior quando eformado por duas cordas que se intersectam no interior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno interior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricointerior AEB = 1

2 [AB + CD].Um angulo e chamado de angulo ex-centrico exterior quando eformado por duas cordas que se intersectam no exterior do cırculo.PROP. Considere as cordas AD e BC se intersectando num ponto Eno iexterior de um cırculo Γ. Entao a medida do angulo ex-centricoexterior AEB = 1

2 |AB − CD|.Monica Merkle - IM/UFRJ 8 / 10

Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos circunscritos

PROP. Tres pontos nao colineares determinam um cırculo.

OBS. Dado um triangulo, existe um cırculo passando pelos seusvertices.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo circunscrito ao triangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu interior see somente se o triangulo e acutangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence a um de seuslados se e somente se o triangulo e retangulo.

PROP. Em um triangulo, seu circuncentro pertence ao seu exterior see somente se o triangulo e obtusangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculocircunscrito passando pelos seus vertices?

PROP. Existe um cırculo circunscrito a um quadrilatero convexo se esomente se possui um par de lados suplementares.

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Cırculos inscritos

PROP Dado um triangulo, existe um cırculo tangente a seus lados.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo inscrito ao triangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculo inscrito aele?

PROP. Se os dois lados de um angulo de vertice P sao tangentes aum cırculo nos pontos A e B, entao APB = 180◦ − AB e PA = PB.

PROP. Existe um cırculo inscrito a um quadrilatero convexo ABCD see somente se AB + CD = AD + BC .

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Cırculos inscritos

PROP Dado um triangulo, existe um cırculo tangente a seus lados.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo inscrito ao triangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculo inscrito aele?

PROP. Se os dois lados de um angulo de vertice P sao tangentes aum cırculo nos pontos A e B, entao APB = 180◦ − AB e PA = PB.

PROP. Existe um cırculo inscrito a um quadrilatero convexo ABCD see somente se AB + CD = AD + BC .

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Cırculos inscritos

PROP Dado um triangulo, existe um cırculo tangente a seus lados.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo inscrito ao triangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculo inscrito aele?

PROP. Se os dois lados de um angulo de vertice P sao tangentes aum cırculo nos pontos A e B, entao APB = 180◦ − AB e PA = PB.

PROP. Existe um cırculo inscrito a um quadrilatero convexo ABCD see somente se AB + CD = AD + BC .

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Cırculos inscritos

PROP Dado um triangulo, existe um cırculo tangente a seus lados.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo inscrito ao triangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculo inscrito aele?

PROP. Se os dois lados de um angulo de vertice P sao tangentes aum cırculo nos pontos A e B, entao APB = 180◦ − AB e PA = PB.

PROP. Existe um cırculo inscrito a um quadrilatero convexo ABCD see somente se AB + CD = AD + BC .

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Cırculos inscritos

PROP Dado um triangulo, existe um cırculo tangente a seus lados.

DEF. Dizemos que este cırculo e o cırculo inscrito ao triangulo.

Dado um quadrilatero (convexo), existe sempre um cırculo inscrito aele?

PROP. Se os dois lados de um angulo de vertice P sao tangentes aum cırculo nos pontos A e B, entao APB = 180◦ − AB e PA = PB.

PROP. Existe um cırculo inscrito a um quadrilatero convexo ABCD see somente se AB + CD = AD + BC .

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