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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Antonio Fernando Silveira Alves
Um Estudo das Atividades Propostas em um Curso de
Licenciatura em Matemática, na Disciplina de Introdução ao
Cálculo Diferencial e Integral, na Modalidade a Distância
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2011
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Antonio Fernando Silveira Alves
Um Estudo das Atividades Propostas em um Curso de
Licenciatura em Matemática, na Disciplina de Introdução ao
Cálculo Diferencial e Integral, na Modalidade a Distância
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.
São Paulo
2011
Banca Examinadora
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Com todo meu amor, para meu pai, Oswaldo Alves (In Memoriam) e minha mãe, Maria Lucia Arruda
Silveira Alves (In Memoriam), que foram os alicerces para a minha vida.
À minha esposa Verusca, pelo incentivo,
compreensão e amor nos momentos dif íceis.
A todos de minha família, em especial, minhas irmãs, Mônica, Marta e Mara, meus cunhados e
meus sobrinhos, que sempre estarão ao meu lado e no meu coração.
Agradeço a Deus por ter-me dado saúde, vontade
e a oportunidade de estudar, e acima de tudo, por ter-me dado esta família amada e maravilhosa.
AGRADECIMENTOS
Ao professor Doutor Armando Traldi Júnior pelas
orientações, paciência e incentivo durante esses dois últimos
anos.
Às professoras Doutora Celina Aparecida Almeida Pereira
Abar e Doutora Adair Mendes Nacarato por aceitarem
participar da Banca Examinadora e pelas contribuições
dadas na qualificação, essenciais para a conclusão deste
trabalho.
Aos professores do Programa de Estudos de Pós Graduados
em Educação Matemática da PUC-SP, que tanto
contribuíram à minha formação.
Aos amigos Emerson Tadeu Rici pelas conversas e dicas e
Priscilla Ferro Rici pela revisão do texto.
Aos amigos Andrés Calonge Mendes, Diogo Martins
Gonçalves de Morais e Cristiane Betini pela compreensão
pela minha ausência.
Aos amigos Silvério Domingos Ribeiro e Jacinto Ordem pelo
auxílio e que compartilharam momentos importantes neste
processo de formação e que tanto colaboraram.
Aos colegas da Escola Martim Francisco que me apoiaram
nesta jornada, em especial a Adine Bayeux, Vânia, Marli
Varandas, e às diretoras Márcia Pereira Marchesin,
Filomena, Mari e Regina de Oliveira Semcovici que sempre
me auxiliaram no que foi preciso para a conclusão deste
trabalho.
Aos supervisores responsáveis pelo programa Bolsa
Mestrado da Diretoria de Ensino Centro-Oeste – DECO
pelo auxílio e orientações referentes às documentações
durante esses 36 meses
A todos que de alguma forma contribuíram para a
realização deste trabalho.
À Secretaria de Educação de São Paulo pela bolsa de
estudos concedida pelo Programa Bolsa Mestrado.
Os meus sinceros agradecimentos.
RESUMO
Este trabalho teve como objetivo de pesquisa verificar se as atividades propostas na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em Matemática na
modalidade EaD propiciam a utilização de diferentes estratégias de ensino, tais como:
investigação, resolução de problemas e exercícios; e verificar quais são os
questionamentos, “dúvidas” propostas pelos alunos e qual o encaminhamento dado a
esses questionamentos pelo professor da disciplina. Para a realização deste estudo,
analisamos as atividades propostas aos futuros professores, durante o desenvolvimento
da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Também utilizamos como documentos para
análise, as interações virtuais originadas a partir da utilização da ferramenta “Fórum de
Discussões”. Para realizar as análises, utilizamos o quadro teórico proposto por Ponte
(2003) que define quatro tipos de tarefas: i) exercícios; ii) problemas; iii) exploração; iv)
investigação. Utilizamos como metodologia a pesquisa qualitativa realizada por meio de
estudo de caso de uma Instituição de Ensino Superior da rede privada da cidade de São
Paulo. A análise dos dados revelou uma predominância das atividades do tipo exercícios
em relação às atividades de resolução de problemas e explorações. Não foram
verificadas atividades de caráter investigativo. As interações virtuais concentraram-se em
dúvidas que foram categorizadas como dúvidas tecnológicas. As dúvidas matemáticas
concentraram-se em temas relacionados ao estudo das funções polinomiais, modulares,
racionais e maior inteiro e ao estudo das funções trigonométricas, principalmente na
determinação de valores do seno e cosseno de ângulos superiores a 90º. Quanto aos
encaminhamentos dado às dúvidas pelo professor, verificamos que ocorreu um equilíbrio
entre encaminhamentos com respostas diretas e encaminhamentos com respostas que
levam ao processo investigativo. Ao final da pesquisa realizada, foi possível elaborar um
"guia" com exemplos de atividades de Cálculo Diferencial e Integral explorando as
situações de exercícios, problemas, exploração e investigações.
Palavras-chave: Educação a Distância. Formação de Professores de Matemática.
Atividades de exploração. Atividades de Investigação.
ABSTRACT
This study had as objective to verify if the activities proposed for the subject Differential
and Integral Calculus of a Bachelor Mathematics Degree in a Distance Education Course
render the use of different learning strategies, such as investigation, problems solving and
exercises. We also aimed at verifying which are the questions and doubts sent by the
students to the teachers, as well as the reference these teachers give to these questions.
To do so, we analyzed the activities proposed to the future teachers during Differential
and Integral Calculus subject. We also used as analysis documents the virtual
interactions originated from the use of “Discussion Forum” tool. To handle the analysis,
we used Ponte (2003) theoretical model, which defines 4 kinds of tasks: i) exercises; ii)
problems; iii) exploration; iv) investigations. We used qualitative research as methodology,
carried out through the case study of a São Paulo’s private Superior Education Institution.
Data analyses revealed the prevalence of exercises activities in relation to solving
problems and exploration activities. Investigative activities were not found. We concluded
that virtual interactions were focused in doubts which were categorized as “technical
doubts”. Among the mathematical doubts we noticed that they were concentrated in
polynomial, modular, rational and greatest integer functions and the study of trigonometric
functions, especially on sine and cosine values for angles higher than 90º. In relation to
the doubts sent to the professors, we found that there was a balance between the direct
answers sent to the students’ doubts and the ones which led to an investigative process.
At the end of the performed study it was possible to create a "guide" containing examples
of Differential and Integral Calculus activities exploring the exercises situations, problems,
exploration and investigations.
Key words: Distance Education. Mathematics teacher’s formation. Exploration activities.
Investigation activities.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Classificação das Tarefas – Grau de Dificuldade e Estrutura .................... 28
Quadro 2: Classificação das Tarefas – Tempo e Contextualização ........................... 28
Quadro 3: Exemplo de atividade classificada como Exercício .................................... 30
Quadro 4: Exemplo de atividade classificada como Problema ................................... 30
Quadro 5: Exemplo de atividade classificada como Exploração ................................ 34
Quadro 6: Exemplo de atividade classificada como Investigação .............................. 35
Quadro 7: Exemplo de atividade com contexto matemático ....................................... 36
Quadro 8: Exemplo de atividade com contexto real ................................................... 36
Quadro 9: Categoria de análise: Atividades propostas ............................................... 50
Quadro 10: Categoria de análise: Fórum de discussões ............................................ 50
Quadro 11: Atividade classificada como Problema ..................................................... 58
Quadro 12: Atividade classificada como Exercício ..................................................... 59
Quadro 13: Atividade classificada como Exploração .................................................. 61
Quadro 14: Resumo da classificação das atividades ................................................. 62
Quadro 15: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento
para exploração/investigação ..................................................................
65
Quadro 16: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento
para resposta direta .................................................................................
66
Quadro 17: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA ........................ 67
Quadro 18: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso de Softwares ................ 68
Quadro 19: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA ........................ 69
Quadro 20: Resumo da classificação Interações Virtuais ........................................... 70
Quadro 21: Dúvidas matemáticas por tópico .............................................................. 70
Quadro 22: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro .........................................................................
72
Quadro 23: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro .........................................................................
73
Quadro 24: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro .........................................................................
75
Quadro 25: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro .........................................................................
76
Quadro 26: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro .........................................................................
76
Quadro 27: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 78
Quadro 28: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 79
Quadro 29: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 79
Quadro 30: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 80
Quadro 31: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 80
Quadro 32: Resposta com encaminhamento direto para atividade classificada
como exercício ........................................................................................
87
Quadro 33: Resposta com encaminhamento para investigação para atividade
classificada como exploração ..................................................................
88
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Cálculo da área da região limitada entre o gráfico e o eixo das
abscissas (Ox) .............................................................................................
35
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12
Origem do Trabalho .............................................................................................. 12
Estrutura do Trabalho ........................................................................................... 14
CAPÍTULO 1 .................................................................................................... 16
JUSTIFICATIVA, PROBLEMÁTICA E RELEVÂNCIA ......................................... 16
1.1 Educação a Distância: A Formação Inicial do Professor ............................... 16
1.2 As Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da
Educação Básica ...........................................................................................
19
1.3 Relações entre a formação e a prática docente ............................................ 22
1.4 Objetivo e Questões de Pesquisa .................................................................. 22
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 26
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 26
2.1 Tipos de Tarefas ............................................................................................ 26
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 38
PESQUISAS SOBRE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
NA MODALIDADE A DISTÂNCIA ........................................................................
38
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 44
METODOLOGIA DA PESQUISA ......................................................................... 44
4.1 Estabelecendo o Roteiro da Pesquisa ........................................................... 44
4.2 Unidades de Análise e Coleta dos Dados ...................................................... 47
4.3 Cenário da Pesquisa ...................................................................................... 50
4.3.1 A Instituição ........................................................................................ 50
4.3.2 O Curso ............................................................................................... 51
4.3.3 A Disciplina “Funções e Limites” ......................................................... 53
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 56
DESCREVENDO OS DADOS COLETADOS E ANÁLISES EFETUADAS ......... 56
5.1 Organização e Classificação das Atividades ................................................. 58
5.1.1 Unidade de Análise: Atividades ........................................................... 58
5.1.2 Unidade de Análise: Fórum de Discussões ........................................ 63
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 84
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 92
ANEXO ...................................................................................................................... 96
Ementa da disciplina Funções e Limites ............................................................... 96
12
INTRODUÇÃO
Origem do Trabalho
Minha formação inicial como docente ocorreu em duas universidades,
sendo uma parte numa instituição pública do interior do estado de São Paulo e
outra numa instituição privada da cidade de São Paulo. As duas etapas foram
centradas no modelo tradicional de ensino, calcadas fortemente no estudo e
aprendizagem de conceitos matemáticos.
No ano de 2006, tive a oportunidade de atuar em uma Instituição de Ensino
Superior de Educação a Distância na cidade de São Paulo, desempenhando a
função de professor tutor das disciplinas de Matemática, Estatística e Tecnologia
para o Ensino a Distância em cursos de Licenciatura em Letras e em Pedagogia
na cidade de São Paulo. Atualmente leciono a disciplina de Matemática em
escolas de educação básica da rede estadual e municipal de São Paulo e as
disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I, II e IV, Cálculo Numérico, Vetores e
Geometria Analítica e Análise Combinatória e Probabilidades para os cursos de
Engenharia de Produção e Ambiental de uma Instituição de Ensino Superior da
rede privada da cidade de São Paulo.
Durante o desenvolvimento das minhas atividades como tutor, quando tive
os meus primeiros contatos com a Educação a Distância (EaD), comecei a me
questionar de que maneira ocorreria o ensino nessa nova modalidade, que
mesmo com tantos recursos tecnológicos, não estaria imune aos desafios e
dificuldades inerentes ao processo de ensino-aprendizagem, em especial, ao da
matemática. Com o passar do tempo, senti a necessidade de buscar uma
formação que abordasse as metodologias de ensino de matemática, em
13
particular, num curso a distância, pois em minha formação inicial, esse tema não
havia sido discutido.
Ciente de que na EaD, o aluno necessita de independência no seu
processo de aprendizagem, meus questionamentos estavam relacionados aos
tipos de atividades que deveriam ser propostas. Atividades que pudessem
desenvolver a autonomia desejada para uma aprendizagem eficiente.
Sendo assim, os questionamentos a seguir despertaram meu interesse na
busca de respostas: a) Quais as diferentes possibilidades de se ensinar
matemática em um curso a distância? b) Quais são os tipos de atividades que
podem ser propostos num curso a distância? c) Qual deve ser a mediação do
professor frente às atividades propostas? d) Será que a apresentação de
conceitos matemáticos e a resolução de listas de exercícios é a melhor estratégia
para se ensinar matemática na EaD?
A partir desses questionamentos e sentindo a necessidade de aperfeiçoar
meus conhecimentos, matriculei-me no curso de Mestrado Profissional em Ensino
de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), na
expectativa de discutir essas questões com uma abordagem mais teórica.
Ao iniciar o mestrado na PUC, me aproximei do grupo de pesquisa,
“Organização e desenvolvimento curricular e formação de professores de
matemática”. Entre os temas de pesquisas desenvolvidas pelo grupo, me
despertou o interesse o projeto “Formação de Professores de Matemática” que
investigou os processos de formação inicial e continuada de professores de
matemática, procurando identificar as mudanças ocorridas na formação docente
frente às novas necessidades do sistema educacional brasileiro. O projeto
buscava compreender o desenvolvimento e a construção de diferentes
competências profissionais durante o processo de formação.
Um ponto que consideramos pertinentes a ser discutido no ambiente do
grupo é a formação de professores nos cursos a distância, sendo que esta
modalidade de formação inicial tem apresentado um sensível crescimento nos
últimos anos, em relação ao número de cursos ofertados.
14
Diante da minha experiência profissional na função de professor tutor num
curso EaD, da participação no grupo de pesquisa de formação de professores e
mediante aos questionamentos acima relacionados, despertou-me o interesse em
fazer uma pesquisa que buscasse compreender como ocorre a formação de
professores de matemática num curso de Licenciatura em Matemática na
modalidade a distância.
Estrutura do Trabalho
Este trabalho está organizado conforme descrito a seguir:
O primeiro capítulo traz a trajetória da construção desta pesquisa,
discorrendo sobre a formação inicial dos professores nos cursos a distância
baseada nas Diretrizes Curriculares de Formação de Professores. Nesse capítulo
anunciamos o problema, o objetivo e as questões de pesquisa.
No segundo capítulo descrevemos a fundamentação teórica em que
pautamos essa pesquisa.
No terceiro capítulo temos a revisão bibliográfica dos estudos que
contribuíram para a construção deste estudo, incluindo as pesquisas que
abordam a formação de professores de matemática nos cursos a distância e a
elaboração de material didático para disciplina de Cálculo Diferencial e Integral
para cursos a distância.
O quarto capítulo traz a metodologia de pesquisa, a forma como foi
realizada a coleta de dados e a descrição das categorias que serviram de base
para a análise dos dados coletados. Na sequência descrevemos a instituição, a
disciplina e a estrutura do curso sobre o qual foi feito este estudo.
O quinto capítulo traz a descrição dos dados coletados durante o
desenvolvimento da disciplina juntamente com a classificação e a análise de
acordo com o quadro teórico. A análise dos dados proporcionou respondermos a
questão de pesquisa elaborada inicialmente e algumas reflexões.
15
Finalizamos com as considerações finais, nas quais apresentamos os
resultados deste estudo e as contribuições que este estudo proporcionou ao autor
para a prática docente.
16
CAPÍTULO 1
JUSTIFICATIVA, PROBLEMÁTICA E RELEVÂNCIA
Neste capítulo discutiremos a carência de professores formados em nível
superior no Brasil e também a legislação relacionada à formação de professores,
como as diretrizes curriculares para a formação de professores, diretrizes
curriculares para formação de professores de matemática, a Lei de Diretrizes e
Bases da Educação Nacional (LDB), os Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias (PCNEM)
e sobre o desenvolvimento da Educação a Distância no Brasil (EaD) e suas
relações com a formação de professores de matemática.
1.1 Educação a Distância: A Formação Inicial do Pro fessor
Diferentes estudos (GATTI; BARRETO, 2009; PASSOS, 2008) mostram
que o sistema educacional atual apresenta falta de professores para atender a
demanda emergida devido à expansão do acesso à Educação Básica iniciada nos
anos 90. Nos últimos anos, tem ocorrido o aumento da oferta de cursos para a
formação inicial de professores e para a formação continuada, muitos deles
provenientes de ações do setor público, de maneira a atender o que estipula a Lei
9434/96 - Lei de Diretrizes e Bases (LDB), em seu artigo 87, § 4º, que diz que “até
o fim da Década da Educação somente serão admitidos professores habilitados
em nível superior ou formados por treinamento em serviço”.
17
Com o aumento do número de vagas para os alunos da educação básica,
emerge a necessidade da contratação de professores, cuja formação específica
não acompanhou em números absolutos a evolução da demanda originada.
Segundo Passos (2008), as disciplinas matemática, química, física e biologia
apresentam conjuntamente um déficit de 270 mil professores devidamente
habilitados, problema causado pela má gestão do ensino público dos últimos
governos.
A autora também discute que após a promulgação da LDB em 1996,
algumas medidas, mesmo que ainda tímidas, vêm sendo tomadas pelo Estado
para amenizar o problema. Destacamos dentre elas a complementação
pedagógica em licenciaturas paralelas de 540 horas ou licenciaturas “rápidas” de
120 horas aos bacharéis de quaisquer áreas. Ainda dentro desse conjunto de
iniciativas, temos a criação do Programa Pró-licenciatura (2005) que oferece
gratuitamente cursos de formação inicial a distância para professores em
exercício nos anos/séries finais do ensino fundamental ou ensino médio dos
sistemas públicos de ensino. O objetivo é melhorar a qualidade de ensino na
educação básica por meio de formação inicial consistente e contextualizada do
professor em sua área de atuação. O programa é desenvolvido no âmbito da
Universidade Aberta do Brasil (UAB), outra iniciativa que institucionaliza os
programas de formação de professores a distância como política pública de
formação.
O Sistema UAB foi criado pelo Ministério da Educação no ano de 2005, em
parceria com a Associação Nacional dos Dirigentes das Instituições Federais de
Ensino Superior (ANDIFES) e com Empresas Estatais, no âmbito do Fórum das
Estatais pela Educação com foco nas Políticas e na Gestão da Educação
Superior. Trata-se de uma política pública de articulação entre a Secretaria de
Educação a Distância (SEED/MEC) e a Diretoria de Educação a Distância
(DED/CAPES) com vistas à expansão da educação superior, na esfera do Plano
de Desenvolvimento da Educação (PDE).
Atualmente, 88 instituições integram o Sistema UAB, entre universidades
federais, universidades estaduais e Institutos Federais de Educação, Ciência e
Tecnologia (IFETs). Dessa maneira, a UAB incentiva a formação de professores
18
com a oferta de vagas não-presenciais para o Plano Nacional de Formação de
Professores da Educação.
Cumprindo o que prevê a LDB no que tange a incentivar e promover o
desenvolvimento da EaD no Brasil, o governo adotou várias medidas, além da
criação da Universidade Aberta do Brasil e do Pró-Licenciatura já citados.
Destacamos a criação da Secretaria de Educação a Distância (SEED/MEC) em
1996, que desenvolve diversos programas e projetos, como o TV Escola, Pro-Info,
RIVED, WebEduc, entre outros.
Os programas mencionados estão respaldados na legislação, conforme
apresentaremos a seguir:
Na LDB (Lei 9394/96) observamos o Art. 80º, que indica o desenvolvimento
e a veiculação de programas de EaD para todos os níveis e modalidades de
ensino e para educação continuada. No Art. 87º, que estabelece a Década da
Educação, no parágrafo 3º, define que os municípios e, supletivamente, o Estado
e a União, deverão realizar programas de capacitação para todos os professores
em exercício, utilizando também, para isso, os recursos da educação a distância.
Dessa maneira, a EaD surge como uma alternativa para a formação de
professores para atuar na educação básica. Além disso, ela aparece como uma
oportunidade à população para a formação inicial em um curso de licenciatura ou
para os professores em exercício não devidamente habilitados, que estariam
impossibilitados de concluir sua formação devido a diversos fatores, como
dificuldade de acesso às universidades (NUNES, 1994).
O número de alunos matriculados em cursos na modalidade EaD, vem
aumentando sensivelmente nos últimos anos, passando de 309.957 no ano de
2004 para quase 1 milhão no ano de 2007, o que mostra uma evolução de
213,8% no período de 2004 a 2007, conforme constatado na última edição do
Anuário Brasileiro Estatístico de Educação Aberta e a Distância realizado em
2008 (AbraEAD/2008).
Observa-se também um grande aumento na oferta de cursos de
Licenciatura em Matemática. Gatti e Barreto (2009), de acordo com o Censo da
Educação Superior de 2006, verificou a existência de 176 cursos de licenciaturas
19
na modalidade EaD. Desse total, 53 cursos ou 30% estão voltados para as áreas
de Matemática e Ciências da Natureza, aquelas que apresentam o maior déficit
de docentes titulados depois dos cursos de formação de professores dos anos
iniciais de escolaridade. O censo relaciona ainda, 24 cursos de Licenciatura em
Matemática na modalidade EaD, com 12.359 alunos ingressando no ano de 2006,
somando-se às 10.582 matrículas já existentes em 30/06/2006.
Como visto, temos um grande número de cursos na modalidade EaD para
a formação de professores de matemática. Mas qual o perfil esperado dos futuros
professores de matemática que atuarão na educação básica, quer sejam
formados por cursos na modalidade presencial ou na modalidade EaD?
As respostas para esse questionamento estão descritas nas legislações
que norteiam a formação de professores para a educação básica, que
discutiremos a seguir.
1.2 As Diretrizes Curriculares para a Formação de P rofessores da
Educação Básica
As Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da
Educação Básica, em nível superior – DCFP – (Parecer CNE/CP/09/2001),
indicam alguns princípios norteadores, destacando-se a relação entre a formação
oferecida e a prática esperada dos futuros professores, que visam alterar a
formação tradicional, estabelecendo relações entre os conhecimentos específicos
com os conhecimentos pedagógicos necessários para a prática docente.
De acordo com as DCFP (2001), espera-se que os cursos de formação de
professores se pautem pelos elementos indispensáveis ao processo de
construção do conhecimento profissional, como a ênfase no conhecimento
didático-pedagógico da matemática, a vinculação da formação acadêmica com a
prática profissional e as práticas investigativas que possibilitem a articulação entre
a teoria e a prática.
20
As Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,
Bacharelado e Licenciatura – DCNLM – (Parecer CNE/CES 1.302/2001),
estabelecem as normas para a organização curricular dos cursos de Licenciatura
em Matemática, e delimitam o perfil esperado dos formandos oriundos dos cursos
de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Entre as competências e
habilidades que devem ser desenvolvidas nos alunos egressos desses cursos,
destacamos: a) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas ideias e
tecnologias para a resolução de problemas; b) habilidade de identificar, formular e
resolver problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na
análise da situação-problema; c) conhecimento de questões contemporâneas. No
que se refere às competências e habilidades próprias do educador matemático,
as DCNLM (2001), apontam que o “licenciado em matemática deverá ter a
capacidade de desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade, a
autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos educandos, buscando
trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e
algoritmos” (DCNLM, 2001, p. 04, grifo meu).
Temos ainda, a Resolução CNE/CP 1 de 18 de fevereiro de 2002, que
institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da
Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena.
Em seu Art. 2º, essa resolução determina que “a organização curricular de cada
instituição deve promover a formação para a atividade docente, de maneira que o
futuro professor esteja apto a desenvolver nos alunos diversas habilidades, entre
as quais, o aprimoramento em práticas investigativas, o uso de tecnologias da
informação e da comunicação e de metodologias, estratégias e materiais de apoio
inovadores” (CNE/CP 1, 2002, p. 01, grifo meu).
No Art. 3º, destaca-se que a formação dos professores deve contemplar
alguns princípios norteadores que considerem a aprendizagem como processo de
construção de conhecimentos, habilidades e valores em interação com a
realidade e com os demais indivíduos, no qual são colocadas em uso
capacidades pessoais. Evidencia, ainda, o papel da pesquisa, com foco no
processo de ensino e de aprendizagem, uma vez que ensinar requer tanto dispor
de conhecimentos e mobilizá-los para a ação, como compreender o processo de
construção do conhecimento.
21
Chamamos a atenção para o Art. 5º, Parágrafo único, no qual consta que
“a aprendizagem deverá ser orientada pelo princípio metodológico geral, que
pode ser traduzido pela ação-reflexão-ação e que aponta a resolução de
situações-problema como uma das estratégias didáticas privilegiadas”
(RESOLUÇÃO CNE/CP 1, 2002, p. 03).
Por meio da análise das legislações apresentadas, constatamos que a
formação dos futuros professores da educação básica, deve ser fundamentada
em estratégias e metodologias que rompam com o modelo tradicional e que forme
um profissional capaz de desenvolver em seus alunos o espírito crítico, reflexivo e
investigativo, além da capacidade de aplicar os conceitos estudados para a
resolução de situações problemas e relacionar os conceitos com situações da
vida real.
Essas habilidades devem ser desenvolvidas não somente nas disciplinas
pedagógicas, mas também nas disciplinas de caráter específico, ou seja, durante
o desenvolvimento de todo o curso, como podemos verificar nas Diretrizes
Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica –
DCFP (2001):
As competências tratam sempre de alguma forma de atuação, só existem “em situação” e, portanto, não podem ser aprendidas apenas no plano teórico nem no estritamente prático. A aprendizagem por competências permite a articulação entre teoria e prática e supera a tradicional dicotomia entre essas duas dimensões, definindo-se pela capacidade de mobilizar múltiplos recursos numa mesma situação, entre os quais os conhecimentos adquiridos na reflexão sobre as questões pedagógicas e aqueles construídos na vida profissional e pessoal, para responder às diferentes demandas das situações de trabalho.
Cursos de formação em que teoria e prática são abordadas em momentos diversos, com intenções e abordagens desarticuladas, não favorecem esse processo. O desenvolvimento de competências pede uma outra organização do percurso de aprendizagem, no qual o exercício das práticas profissionais e da reflexão sistemática sobre elas ocupa um lugar central (Parecer CNE/CP/09/2001, 2001, p. 30)
22
1.3 Relações entre a formação e a prática docente
Verificamos por meio das Diretrizes Curriculares as orientações a respeito
formação dos professores. Após a sua formação inicial, o professor deverá ter
como referência para a sua prática docente os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCNs), que indicam as habilidades e competências esperadas dos alunos
egressos da educação básica.
Analisando ambos os documentos, observamos algumas similaridades em
suas expectativas, como a formação de cidadãos críticos, reflexivos, que
possuam habilidades investigativas que os permitam compreender as ciências e o
mundo em que vivemos.
Ao discutir a prática docente em seus anos iniciais, Bireaud (1995) refere-
se ao isomorfismo, e afirma que o professor somente terá condições de
desenvolver essas habilidades em seus alunos, se o mesmo vivenciar esse
processo em sua formação, pois o professor tende a repetir em sua prática, o
modelo didático-pedagógico utilizado durante a sua formação.
Dessa forma, nos parece que o princípio do isomorfismo, deve estar no
cerne da formação docente, pois o futuro professor ao desempenhar sua
profissão, terá tanto mais oportunidade de desenvolver as habilidades e
competências expressas nos documentos oficiais, quanto mais oportunidades
tiver de vivenciar essas situações durante a sua formação.
1.4 Objetivo e Questões de Pesquisa
Tendo em vista os seguintes aspectos: i) a falta de professores habilitados
na disciplina de matemática para atender a atual demanda de número de alunos
matriculados na educação básica; ii) a possibilidade de os cursos na modalidade
a distância contribuírem para a formação desses professores; iii) as Diretrizes
Curriculares, que determinam que os futuros professores devem vivenciar durante
o seu processo de formação, estratégias e metodologias de ensino que
desenvolvam o espírito crítico, investigativo e a capacidade de aplicar os
23
conceitos estudados para a resolução de situações problemas e relacionar os
conceitos com situações da vida real, elegemos como objeto de estudo, as
atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de
Licenciatura em Matemática na modalidade EaD, oferecido por uma instituição da
rede privada da cidade de São Paulo.
Na instituição de ensino onde realizamos este estudo, optamos por
acompanhar a disciplina “Funções e Limites”, que aborda as ideias iniciais do
Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. Essa disciplina se mostra muito
importante na formação docente, pois, de acordo com as pesquisas, é uma área
que: a) possibilita uma diversidade de registros de representações de seus
conteúdos, que dependendo de sua abordagem, pode favorecer a unificação de
conceitos dos quadros da álgebra, da geometria e da geometria analítica; b) traz
noções de conceitos estudados na educação básica, como número real, infinito,
funções, continuidade; c) possibilita explorar as relações de seus conceitos com
outras áreas do conhecimento.
Em relação ao objeto de estudo, encontramos na literatura pesquisada,
Ponte (2003) que discute sobre as diferentes atividades que podem ser
propostas, classificando-as em exercícios, problemas, exploração e investigação
e o papel de cada uma no processo de ensino-aprendizagem.
Diante deste cenário, temos como objetivo de pesquisa: verificar se as
atividades propostas na disciplina de Cálculo Difer encial e Integral de um
curso de Licenciatura em Matemática na modalidade E aD propiciam a
utilização de diferentes estratégias de ensino, tai s como: investigação,
resolução de problemas e exercícios; e verificar q uais são os
questionamentos, “dúvidas” propostas pelos alunos e qual o
encaminhamento dado a esses questionamentos pelo pr ofessor da
disciplina.
Portanto, temos como questões de pesquisa:
•••• Quais são os diferentes tipos de atividades (exercícios, problemas,
exploração, investigação) propostos na disciplina de “Funções e Limites”,
em um curso de Licenciatura em Matemática, na modalidade a distância?
24
•••• Quais são os questionamentos efetuados pelos alunos em relação à
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral ao desenvolverem as
atividades propostas no curso? Os questionamentos estão relacionados
a dúvidas de conceitos matemáticos ou a dúvidas tecnológicas?
•••• Qual a postura do professor da disciplina em relação à resposta aos
questionamentos dos alunos? As respostas são dadas por meio de um
encaminhamento direto ou as respostas são direcionadas para os
processos de investigação e exploração?
26
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Tipos de Tarefas
Neste capítulo, apresentamos os pressupostos teóricos utilizados na
construção da questão de pesquisa, e na análise dos dados coletados.
Como visto no capítulo anterior, as Diretrizes Curriculares Nacionais para a
Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior (DCFP, 2001),
e as Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado
e Licenciatura – (DCNLM, 2001) indicam alguns princípios norteadores para a
formação inicial dos professores de matemática. Entre esses princípios,
destacamos que a formação dos professores deve ser estruturada de maneira
que possibilite aos futuros professores desenvolverem em seus alunos
habilidades relacionadas ao processo investigativo e a habilidade de aplicar os
conceitos estudados para a resolução de situações-problemas.
A metodologia de resolução de problemas e a utilização de processos de
investigação também são recomendadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais
quando estes mencionam que “os PCNEM explicitam três conjuntos de
competências: comunicar e representar; investigar e compreender; contextualizar
social ou historicamente os conhecimentos” (PCN+, 2002, p. 15), além de
salientar que “a resolução de problemas é peça central para o ensino de
matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o
indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios” (idem, p. 112).
27
Ainda encontramos no PCN+ (2002), que a resolução de problemas
envolve atividades muito mais elaboradas que a simples aplicação de conceitos e
técnicas matemáticas, pois essa metodologia isolada não garante de fato a
aprendizagem. O aluno pode buscar em seu repertório situações semelhantes já
desenvolvidas e repetir o processo aplicado anteriormente. Atividades que
envolvam a resolução de problemas devem ser pautadas por situações reais, que
exijam do aluno a articulação de seus conhecimentos anteriores perante uma
situação nova, que ofereçam ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo,
construir estratégias de resolução e argumentações, relacionar diferentes
conhecimentos e perseverar na busca da solução.
Considerando que as atividades de investigação são recomendadas nos
PCNs e as habilidades que estas desenvolvem são esperadas tanto em alunos da
educação básica quanto nos professores egressos dos cursos de Licenciatura em
Matemática conforme as DCNLM (2001), e ainda com base no isomorfismo, que
nos diz que o professor tende a repetir na sua prática docente o modelo
pedagógico utilizado na sua formação inicial, procuramos compreender o que são
atividades do tipo exercícios, problemas, exploração e investigação e como essas
atividades podem ser desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem.
Para realizar este estudo, utilizaremos como subsídio, as ideias de Ponte
(2003), que apresenta diferentes categorias para classificar as atividades
desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem da matemática e que
estabelece quatro diferentes dimensões: i) grau de dificuldade: fácil ou difícil; ii)
estrutura: aberta ou fechada; iii) contexto referencial; iv) tempo necessário para
resolução.
Em relação às duas primeiras dimensões, grau de dificuldade e estrutura,
analisando-as conjuntamente, Ponte (2003) define quatro tipos de tarefas.
28
• Grau de dificuldade
• Estrutura
Quadro 1: Classificação das Tarefas – Grau de Dific uldade e Estrutura (Ponte, 2003).
As dimensões tempo e contextualização estão organizadas da seguinte
maneira:
• Tempo
Curta Média Longa
Exercícios Problemas Projetos
Tarefas de investigação
Tarefas de exploração
• Contexto referencial
Realidade Matemática pura
Quadro 2: Classificação das Tarefas – Tempo e Conte xtualização (Ponte, 2003).
Analisando os quadros acima, observamos que, em relação à dimensão
tempo e estrutura, as tarefas de investigação e exploração estão agrupadas,
sendo que ambas demandam um tempo médio para a sua realização e
apresentam estrutura aberta, diferenciando-se apenas de acordo com a dimensão
grau de dificuldade, sendo que as atividades de exploração estão categorizadas
com grau de dificuldade fácil e tarefas de investigações, como grau de dificuldade
difícil.
Fácil
Exercício Exploração
Fechado Aberto
Problema Investigação
Difícil
29
As tarefas que envolvem exercícios e problemas, de acordo com a
dimensão estrutura, estão categorizadas como tarefas de estrutura fechada,
sendo que os exercícios apresentam grau de dificuldade fácil e os problemas,
grau de dificuldade difícil. De acordo com a dimensão tempo, os exercícios
necessitam de curta duração para sua realização, enquanto os problemas
demandam um tempo médio.
Ponte (2003) utiliza ainda a dimensão contexto para categorizar as tarefas.
As tarefas podem situar-se no contexto da matemática pura, em que os
conteúdos abordados e sua resolução referem-se somente à matemática, ou ao
contexto real, no qual ocorre a relação entre os conceitos estudados e a
resolução de problemas, explorações e investigações, situados na vida real.
A seguir, discutiremos mais detalhadamente as diferenças entre os tipos de
tarefas categorizadas.
Polya (1975), apud Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), afirma que um
problema é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um método que
permita a resolução imediata, enquanto um exercício é uma questão que pode ser
resolvida por meio de um método já conhecido. Ambos apresentam pontos em
comum: a) são situações de estruturas fechadas; b) o seu enunciado indica
claramente o que é dado e o que é pedido; c) a solução é sabida de antemão pelo
professor e a resposta do aluno está certa ou errada.
Sendo assim, conforme as características descritas anteriormente,
citaremos como exemplo de exercícios a atividade abaixo, proposta para
estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática que já estudaram o
conceito de limite.
30
1) Calcular os limites:
a) 1→x
lim 112
−−
x
x
b) 3→x
lim 634
2
2
−−+−
xx
xx
c) 21→x
lim 252
3522
2
+−−+
xx
xx
Quadro 3: Exemplo de atividade classificada como Ex ercício, segundo Ponte (2003).
Utilizaremos a atividade abaixo para ilustrar o que, segundo Ponte (2003), é
considerado como um exemplo de problema, proposto para alunos de
Licenciatura em Matemática que ainda não estudaram o tema otimização.
1) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm³.
O material da tampa e da base deve custar R$ 3,00 por centímetro
quadrado e o material para o lado custa R$ 1,50 por centímetro quadrado.
Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material
seja mínimo.
Quadro 4: Exemplo de atividade classificada como Pr oblema, segundo Ponte (2003).
Já as investigações, tratam de situações abertas. A questão não está bem
definida no início, dando maior liberdade a quem investiga para definir quais os
rumos a serem tomados. Não existe uma única resposta correta, uma vez que as
investigações podem ser iniciadas por caminhos distintos e dessa forma chegar a
resultados também diferentes. As investigações apresentam um dos principais
fatores para a aprendizagem. Há o envolvimento ativo do aluno na sua resolução.
O aluno aprende quando mobiliza seus recursos cognitivos e afetivos com vista a
atingir um objetivo (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003).
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-
aprendizagem, portanto,
31
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).
As atividades de investigação e exploração são indicadas para momentos
em que se pretende que o aluno descubra relações entre os entes matemáticos,
perceba padrões e regularidades no objeto em estudo. Essas atividades permitem
que os alunos envolvam-se ativamente com a matemática e com o processo de
aprendizagem, pois, segundo Ponte (2003), a realização de investigação
matemática envolve quatro momentos principais: o primeiro, no qual se reconhece
o problema, efetuam-se explorações e a formulação de questões; o segundo
refere-se ao processo de formulação de conjecturas; o terceiro inclui a realização
de testes e eventual refinamento das conjecturas; e por último, realiza-se a
argumentação, demonstração e a avaliação do trabalho realizado.
Durante este processo, cabe ao professor a função de mediador do
processo de construção do conhecimento, instigando os alunos, efetuando
intervenções nos momentos críticos e questionando-os de maneira que os leve a
atingir os objetivos propostos inicialmente. Dessa forma, o professor é peça
central para o desenvolvimento da aprendizagem. Além de propor atividades de
caráter investigativo, o professor deve conduzir o desenvolvimento das atividades
seguindo os mesmos preceitos da investigação, evitando dar as respostas
prontas aos alunos, interrompendo assim o processo da investigação. As tarefas
de exploração e investigação também favorecem o desenvolvimento da
autonomia dos alunos em relação ao processo de aprendizagem.
Discutindo sobre as características que diferenciam os tipos de atividades e
as intervenções do professor durante o processo de resolução, Ernest (1998)
concebe o processo de resolução de problema como uma “atividade de procura
de um caminho de uma reposta” e esse “processo não pode pressupor uma
resposta única, pois uma questão pode ter múltiplas soluções, ou nenhuma”
(Ibidem).
32
Ernest (1998) afirma que a postura de inquirição que o professor deve ter
diante do processo de resolução das atividades pelos alunos é uma característica
essencial tanto para os problemas quanto das investigações.
Para o autor, a investigação deve ser entendida como “um processo de
inquirição”, isto é,
É a actividade de procura de um caminho para a resposta. Contudo este processo não pode pressupor uma resposta única, pois uma questão pode ter múltiplas soluções, ou nenhuma, e demonstrar este facto representa um nível mais elevado de resolução de problemas. (ERNEST, 1998, p. 30).
Ernest (1998) relaciona características comuns à resolução de problemas e
as investigações. Ambas são entendidas como uma abordagem pedagógica em
que professores e alunos exercem papéis fundamentais. Na abordagem de
resolução de problemas, cabe ao professor colocar o problema e, ao aluno, a
tarefa de encontrar a resolução. Nas investigações, o professor propõe o ponto de
partida, a situação inicial, porém são os alunos que definem os caminhos a serem
trilhados nesse processo. São eles que definem quais as estratégias que serão
utilizadas e quais questões poderão ser formuladas a partir da situação inicial.
Nesse momento, o processo de inquirição realizado pelo professor, orienta os
alunos nos caminhos que devem seguir.
Alguns pesquisadores como Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005),
Grando, Nacarato e Gonçalves (2008) discutem que os limites que diferenciam
uma exploração de uma investigação nem sempre são claros, uma vez que
ambas diferem somente no grau de dificuldade apresentado, sendo difícil prever
inicialmente qual o grau de complexidade que uma tarefa aberta terá para um
grupo de alunos.
Segundo Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), as explorações tendem
a ser mais livres e menos sistemáticas, demandando um tempo relativamente
pequeno de trabalho. As explorações são frequentemente utilizadas para
introduzir um novo tema de estudo ou para problematizar e produzir significados a
um conceito matemático. Já as investigações, por sua vez, levam mais tempo –
podendo ter duração de duas aulas a até um semestre letivo.
33
Para ilustrar atividades de exploração, utilizaremos o exemplo a seguir,1
que tem como objetivo introduzir a definição de derivada através do cálculo de
limites:
Sabemos que na Física, podemos calcular a velocidade média de um determinado móvel
em um trajeto, se conhecermos informações como a distância percorrida e o tempo gasto
para percorrer essa distância.
Numa viagem, um automóvel iniciou seu percurso na cidade A, situada no Km 43 da
rodovia Isaac Newton com destino a cidade B, situada no Km 523 da mesma rodovia. Para
realizar esse percurso levou o tempo de 6 horas.
Desta forma, podemos determinar a velocidade média do percurso:
t
sVm ∆
∆= = 0643523
−−
= 6
480= 80 hkm /
Com base no exemplo visto, observe a questão abaixo:
Vamos supor que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até o solo
em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por ttts 42 +−=)( metros.
Como você faria para determinar a velocidade exata, ou seja, a velocidade instantânea,
para um determinado tempo fixado, por exemplo, para 10 =t segundo?
Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas e nem
mesmo como definir matematicamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma
resposta aproximada para este problema.
Parece ser razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no instante
10 =t , a velocidade média calculada sobre um intervalo de tempo 0ttt −=∆ , com t
próximo de 0t . Por exemplo, para 2=t segundos temos:
1=∆t
e
)()()()(
1211
sst
stsVm −=
∆−∆+=
Calculando esse valor temos, obtemos:
2422 2 .)()( +−=s = 484 =+−
1411 2 .)()( +−=s = 341 =+−
_____________ 1 Atividade adaptada de: Forster, S.R.L. Cálculo: Derivadas. Apostila. Universidade de Santo Amaro. São
Paulo, 2009.
34
Substituindo na equação da mV temos:
34 −=mV = 1 m/s
Como a nossa intenção é determinar a velocidade no instante 10 =t , e para isso
tentaremos obter uma resposta aproximada, nos parece razoável repetir o processo anterior,
algumas vezes, com valores de t∆ cada vez mais próximos de zero. Para isso basta tomar
valores de t cada vez mais próximos de 10 =t .
Efetue os cálculos solicitados e preencha a tabela abaixo:
t 1,5 1,25 1,125 1,0625 ... 1,0078 1,0039 1,0019 1,0009
Vm
Após o preenchimento da tabela responda as questões:
O que você observa sobre os valores das velocidades médias quando os valores de t se
aproximam de 1?
a) Já é possível responder a questão inicial do problema proposto? Se positivo, qual a
velocidade instantânea para 10 =t ?
b) Em relação ao método utilizado, de aproximações dos valores de t∆ cada vez mais
próximos de zero, o que você conclui, relacionando com as ideias de limites estudadas
anteriormente?
c) Escreva suas conclusões acima utilizando a notação de limite.
d) Complete a sentença abaixo:
De um modo geral, podemos concluir que a velocidade instantânea em um ponto
qualquer é definida por: ____________________________________
O limite das velocidades médias nos permitiu calcular a velocidade instantânea em
10 =t .
E esse limite é precisamente a derivada da função )(ts calculada em 1=t
e) Escreva como podemos determinar a derivada de uma função )(xf qualquer,
utilizando a expressão encontrada acima, expressa através do cálculo de limites.
Quadro 5: Exemplo de atividade classificada como Ex ploração, segundo Ponte (2003) 2.
Para ilustrar atividades de investigação, utilizaremos o exemplo a seguir,
proposto para alunos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do curso de _____________ 2 Atividade adaptada de: Forster, S. R. L. Cálculo: Derivadas. Apostila. Universidade de Santo Amaro. São
Paulo, 2009.
35
Licenciatura em Matemática, que ainda não tiveram contato com o conceito de
integral. Para realizar a investigação é proposto que os alunos desenvolvam
métodos para o cálculo da área de uma figura plana.
Você estudou na educação básica, conceitos de geometria plana que possibilitam
efetuar o cálculo da área de polígonos. Os problemas para o cálculo de área, não
apresentam grandes dificuldades se a figura plana for um retângulo, um paralelogramo ou
um triângulo.
Que estratégias você utilizaria para calcular a área da figura abaixo?
Quadro 6: Exemplo de atividade classificada como In vestigação, segundo Ponte (2003) 3.
Figura 1: Cálculo da área da região limitada entre o gráfico e o eixo das abscissas (Ox).
Como visto anteriormente, Ponte (2003) classifica as tarefas a serem
desenvolvidas em quatro tipos: exercícios, problemas (ambos com estrutura
fechada, variando apenas no grau de dificuldade para a sua resolução),
explorações e investigações (ambas com estrutura aberta, diferenciando-se
também pelo grau de dificuldade para a resolução). Nesse contexto, Ponte
(2003), considera os projetos como uma atividade de investigação, pois eles nada
mais são do que uma investigação de caráter mais prolongado.
_____________ 3 Atividade desenvolvida pelo pesquisador para ilustrar como exemplo de atividade de investigação
36
Analisado a dimensão contexto referencial temos que as tarefas podem ser
contextualizadas numa situação real, ou formuladas puramente em termos
matemáticos.
Nesse cenário, tarefas contextualizadas numa situação puramente
matemática são tarefas que se referem à matemática e somente a ela. São
tarefas do tipo:
•••• Calcular o limite da função 1→x
lim 112
−−
x
x
•••• Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 22 += xxf )( ,
nos pontos (1,3) e (0,2).
Quadro 7: Exemplo de atividade com contexto matemát ico, segundo Ponte (2003) 4.
Tarefas contextualizadas numa situação real são tarefas com referências a
situações da vida real.
Como exemplo, citaremos o problema5 a seguir, no qual se discute o
conceito de otimização do custo de produção de um determinado produto:
Um fabricante de armários usa mogno reflorestado para produzir cinco peças por dia.
Cada entrega de um contêiner de madeira custa R$ 5.000,00, enquanto sua estocagem
custa R$ 10,00 por dia, por unidade armazenada (uma unidade é a quantidade de matéria-
prima necessária para produzir uma peça). Quanta matéria-prima deve ser encomendada de
cada vez e com que freqüência, de modo a minimizar o custo médio diário nos ciclos de
produção entre as entregas?
Quadro 8: Exemplo de atividade com contexto real, s egundo Ponte (2003)
Os documentos oficiais, os PCN+ (2002) e diversos autores, entre eles
Ponte (2003), afirmam que não devemos simplesmente substituir os exercícios
tradicionais, que enfatizam a repetição de procedimentos, por meio de atividades
como “calcule”, “determine o valor”, pela resolução de problemas e investigações.
_____________ 4 Atividade elaborada pelo pesquisador a partir da leitura de diferentes livros didáticos. 5 Thomas, G.B. et al. Cálculo. Volume 1. 11. ed. Pearson. São Paulo, 2009, p. 309.
37
Cada tipo de tarefa desempenha uma função no processo de aprendizagem e
todas devem ser utilizadas pelo professor.
Esses autores afirmam que o nosso desafio é saber articular os diferentes
tipos de tarefas de maneira a promover o desenvolvimento matemático dos
alunos com diferentes níveis de desempenho. Ponte (2003) afirma que, em vez
de uma dicotomia, temos um continuum entre exercício e problema, e que seu
interesse educativo depende de muitos fatores para além de seu grau de
dificuldade.
A utilização de investigações no processo de ensino-aprendizagem é
defendida por vários autores além de Ponte (2003), como Polya (1981, p. 101 e
157) e Braumann (2002, p. 5), que afirmam que a realização de investigações na
resolução de problemas constitui-se uma ferramenta poderosa no processo de
construção do conhecimento.
Diante do referencial teórico exposto, utilizaremos as quatro dimensões
apresentadas: dificuldade, estrutura, tempo e contexto para categorizar as
atividades propostas no curso de Curso de Licenciatura em Matemática.
Modalidade Educação a Distância durante o desenvolvimento da disciplina
“Funções e Limites” e relacionar os questionamentos efetuados pelos alunos na
ferramenta fórum de discussões às respostas e encaminhamento dados pelo
professor do curso a essas dúvidas.
38
CAPÍTULO 3
PESQUISAS SOBRE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA NA MODALIDADE A DISTÂNCIA.
Neste capítulo, apresentaremos a revisão bibliográfica, focando estudos
com a temática de formação de professores de matemática nos cursos a
distância.
Procurando maiores reflexões sobre essa temática, iniciamos a nossa
revisão bibliográfica pesquisando nos bancos de dados de Instituições de Ensino
Superior, buscando por dissertações, teses e artigos que discorreram sobre os
temas relevantes para a realização deste estudo.
Entre os trabalhos analisados, Forster (2007) pesquisou a elaboração de
material didático para o conteúdo “limites e continuidade de funções de uma
variável real”, para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II do curso de
Licenciatura em Matemática na modalidade a distância de uma universidade
privada de São Paulo. O autor utilizou dois referenciais teóricos: os registros de
representação semiótica, de Raymond Duval e as teorias de Piaget e Vygotsky.
Como metodologia, utilizou a metodologia de design, que combina a
pesquisa educacional empírica com o planejamento teórico de ambientes de
aprendizagem, apoiado em análises qualitativas e quantitativas dos dados
coletados em observações de diversas naturezas.
Os resultados encontrados por Forster apontam que o material e as
metodologias aplicadas foram bem aceitas, revelando maior preferência por parte
39
dos alunos aos materiais de mídia impressa. Mostrou também que o desempenho
dos alunos está relacionado com o nível de interação durante o curso, pois os
alunos que tiveram maior nível de interação apresentaram melhor desempenho. O
estudo também constatou que as atividades com diferentes tipos de registros de
representações semióticas provocaram questionamentos, favoreceram o
aprendizado de conceitos matemáticos e permitiram observar se os conceitos
foram assimilados pelos alunos. Por fim, a pesquisa de Forster conclui que o
material elaborado não foi suficiente para atingir plenamente os objetivos de
promoção da aprendizagem, sugerindo, assim, uma reorganização do material.
Abordando outra questão, Semedo (2004) pesquisou a formação de
professores de matemática na modalidade a distância, analisando as perspectivas
de formandos e formadores sobre os conteúdos, o funcionamento e o sistema de
avaliação usado no curso de uma universidade em Cabo Verde, Portugal. Foram
estudas questões relativas às perspectivas de formandos e formadores em
relação ao processo de adaptação ao curso na modalidade a distância, aos
materiais utilizados, aos conteúdos, à construção de conhecimentos e de
competências e às perspectivas gerais sobre o curso.
O enquadramento teórico do estudo de Semedo (2004) analisa os
principais conceitos relativos à formação a distância, incidindo sobre os modelos
pedagógicos usados nesse dispositivo, sobre os sistemas de interação e sobre as
principais potencialidades e desvantagens relativamente ao modelo presencial.
No que diz respeito ao desenvolvimento profissional, discutiu sobre as principais
questões relativas à formação de professores em Matemática e em Ciências da
Educação. Em seguida, aborda a problemática da pedagogia no ensino superior,
discorrendo também a respeito da missão desse nível de ensino e da
problemática do insucesso escolar nessa etapa de formação.
Como metodologia, o autor adotou o estudo de caso de natureza
qualitativa, coletando os dados por meio de entrevista com os participantes
(formandos e formadores), realizando a análise documental e a reflexão sobre as
conversas informais mantidas após as entrevistas. A análise dos dados foi feita
segundo categorias definidas a partir das questões do estudo.
40
As conclusões obtidas por Semedo (2004) em relação aos formandos
revelam que todos se adaptaram ao curso na modalidade a distância, mesmo
sendo esse o primeiro contato com ela. Os formandos afirmaram que o curso
contribuiu para a melhoria de seu desempenho profissional e para dar mais
coesão ao seu conhecimento em matemática, ampliando assim, os recursos para
a atividade docente. Os formandos avaliaram positivamente vários elementos do
curso, como os testes formativos e as sessões presenciais e relataram, como
fatores negativos, as deficiências de caráter administrativo, a interrupção do curso
pelo período de um ano por questões financeiras, além de terem se mostrado
insatisfeitos com o sistema de avaliação usado – consideraram que o exame final
é insuficiente para medir a aprendizagem que tiveram durante o curso.
Em relação aos formadores, verificou-se um nível satisfatório de adaptação
ao curso e à modalidade de formação a distância. Eles consideraram muito
significativo o contato com professores de diversas ilhas, com grande experiência
profissional e que essa experiência foi importante para quem, como eles,
trabalham na formação de professores. Destacaram a grande motivação dos
formandos e que estes corresponderam bem ao que lhes foi pedido.
A análise do curso que fizeram corrobora a análise feita pelos formandos
em relação aos materiais disponibilizados, testes formativos e encontros
presenciais, apontando que as falhas de caráter administrativo e a interrupção do
curso poderiam ter levado ao fracasso todo o trabalho desenvolvido.
Tanto os formandos como os formadores, criticaram o fato de não terem
sido utilizadas as novas tecnologias de informação e de comunicação, pelas
quais, poderiam ter maior facilidade na comunicação direta entre formandos e
formadores, evitando assim os problemas encontrados referentes à comunicação
e ao desenvolvimento das atividades de ambas as partes.
Numa abordagem mais restrita, Santana (2008) apresenta sua pesquisa na
qual aborda a modelagem matemática e a dinâmica da formação a distância com
o objetivo de verificar como os alunos do curso de licenciatura a distância relatam
suas experiências em uma disciplina de Modelagem Matemática. Para tanto,
analisa o desenvolvimento da disciplina Modelagem Matemática, num curso a
distância, semipresencial.
41
Santana (2008) compreende a modelagem como um ambiente de
aprendizagem no qual, os alunos são convidados a indagarem ou investigarem
situações com referência na realidade por meio da matemática (BARBOSA, 2003;
2006), sob a perspectiva sóciocrítica, em que tal atividade oferece oportunidades
para que os alunos discutam o papel da matemática na sociedade e a natureza
dos modelos matemáticos.
A metodologia adotada pelo autor foi desenvolvida na abordagem
qualitativa, por meio de entrevistas e da observação dos momentos presenciais
do curso e análise de documentos (material do fórum de discussão). Os
participantes dessa pesquisa foram alunos de uma Instituição privada de Ensino
Superior a Distância que cursaram a disciplina Modelagem Matemática Aplicada
ao Ensino, durante o 6º período da Licenciatura, no ano de 2007.
A relação entre alunos e professores, no que tange a comunicação, foi
estudada por Schneider (2008), que pesquisou a comunicação on-line na
mediação pedagógica num curso de formação de professores de matemática na
modalidade a distância da UNISUL Virtual. O tema da pesquisa centrou-se na
comunicação on-line do professor na EaD com o intuito de verificar se é possível
uma comunicação dialógica entre professor e aluno num curso on-line, se essa
comunicação on-line do professor em EaD é uma mediação pedagógica ou
imediatismo pedagógico, e se é possível se evidenciar uma EaD emancipatória
num curso de formação de professores.
Como metodologia, Schneider (2008) utilizou o estudo de caso
exploratório, com uma abordagem qualitativa de natureza descritiva. Para atender
os objetivos da pesquisa, utilizou entrevistas, questionários e análise de
documentos.
Como referencial teórico, o autor apoiou-se na análise de conteúdo de
Franco (2005) e na teoria das comunicações de Vinicius Lima (2004) que teoriza
oito modelos para o estudo das comunicações: Manipulação, Persuasão, Função,
Informação, Linguagem, Mercadoria, Cultura e Diálogo.
A partir das análises feitas, constatou-se que a comunicação entre
professor e aluno nesse tipo de curso não é dialógica, já que o diálogo
42
apresentado mostrou-se de forma unidirecional e vertical, professor – conteúdo –
aluno, e o aluno é colocado como um sujeito passivo, contemplativo e receptivo,
não colaborando para a formação de um cidadão crítico, reflexivo. O estudo
sinalizou também as frustrações, anseios e dilemas dos alunos num curso de
formação de professores de matemática na modalidade a distância e discutiu a
necessidade de se repensar a estrutura do curso para não formar professores
apenas com um diploma, sem conhecimento e sem didática, eliminado os
procedimentos tradicionalistas, alterando para processos que dêem ênfase à
participação ativa dos alunos, à colaboração e que favoreçam as associações e
formulações, tornando assim, os alunos, atores principais no processo de
aprendizagem.
Discutindo sobre o processo de formação de professores, Caldeira (2008)
apresenta um artigo, no contexto do projeto “Educação Matemática de
Professores de Matemática” do Programa de Extensão Universitária Universidade
sem Fronteiras – SET/PR – subprograma: Apoio às Licenciaturas. As perguntas
de investigação do autor são: que processos de aprendizagem de futuros
professores podem ser identificados no desenvolvimento de tarefas no Projeto
“Educação Matemática de Professores de Matemática” do Programa Universidade
sem Fronteiras? Como a participação nesse programa colabora com esses
processos de aprendizagem?
Os objetivos de sua pesquisa são: busca identificar os processos de
negociação de significados como mecanismo de aprendizagem de futuros
professores envolvidos no projeto; estudar os processos de aprendizagem destes
futuros professores; analisar as mudanças por meio da participação das reuniões
com os colegas e coordenadores do projeto; investigar se o grupo estudado se
caracteriza como uma comunidade de prática.
Como referencial teórico, Caldeira (2008) se apóia nos pressupostos de
trabalho em comunidades de prática, sob a perspectiva teórica da Aprendizagem
Situada de Jean Lave e Etienne Wenger (1991).
A pesquisa foi realizada com abordagem qualitativa de cunho interpretativo
utilizando-se de entrevistas, notas de campo, gravações entre outros.
43
Sendo assim, verificamos que os estudos presentes na literatura têm se
concentrado na pesquisa sobre a formação de professores de matemática na
modalidade a distância, e, em alguns casos, debruçados sobre disciplinas
específicas, e na utilização da metodologia de estudo de caso de caráter
qualitativo. Neste trabalho, pretendemos lançar um olhar diferenciado, analisando
as atividades propostas no curso de Cálculo Diferencial e Integral, buscando
verificar se as atividades propostas nesta disciplina propiciam aos futuros
professores o desenvolvimento de estratégias e de metodologias de ensino por
meio da investigação, da exploração, da formulação de conjecturas e da
resolução de problemas, colaborando, assim, para formar um profissional crítico,
reflexivo e capaz de desenvolver essas mesmas habilidades em seus futuros
alunos.
44
CAPÍTULO 4
METODOLOGIA DA PESQUISA
4.1 Estabelecendo o Roteiro da Pesquisa
Para responder as questões de pesquisa, foi necessário delinear os
trajetos para atingir o objetivo proposto.
Dentre as metodologias de pesquisa estudadas, optamos pela metodologia
qualitativa, por razões que estão diretamente ligadas ao objeto de pesquisa e que
estão relacionadas a seguir.
As pesquisas referentes à formação de professores não são recentes.
Inicialmente as pesquisas se baseavam na coletas de dados e se organizavam de
modo quantitativo, centrando-se nas relações entre o conhecimento do professor
e o rendimento dos alunos. Porém esse método não se mostrou capaz de
responder aos questionamentos existentes, além de produzirem resultados
conflitantes. Essa situação levou a um novo direcionamento nas questões de
pesquisa, e com isso, alterou-se o modelo de pesquisa para o modelo qualitativo
(MARCELO, 1993).
Entre as abordagens qualitativas, temos o estudo de caso, que segundo
Ponte (1994):
pode ser caracterizado como um estudo de uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma pessoa, ou uma unidade social. Tem por objetivo conhecer em profundidade o seu “como”
45
e os seus “porquês”, evidenciando a sua unidade e a sua identidade próprias. É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única em muitos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global do fenômeno de interesse (PONTE, 1994, p. 2).
Em educação, e em especial em Educação Matemática, têm-se tornado
cada vez mais frequente os estudos de caso de natureza qualitativa.
Ponte (1994) apresenta algumas características do estudo de caso e afirma
que esse tipo de estudo é um modelo de pesquisa com um forte cunho descritivo,
objetivando auxiliar o pesquisador a compreender profundamente uma
determinada situação, apoiando-se numa descrição factual, literal, sistemática e o
mais completa possível do seu objeto de estudo. É uma investigação de natureza
empírica, baseada fortemente em trabalho de campo ou análise documental,
estudando uma dada entidade no seu contexto real, tirando a maior quantidade
de informações possíveis de fontes múltiplas de evidências como entrevistas,
observações, documentos e artefatos (YIN, 1984 apud PONTE, 1994).
Os estudos de caso podem ser classificados como exploratórios, nos quais
o objetivo é obter informações preliminares a respeito de um objeto, descritivos,
com finalidade de descrever, informar “como é” o caso em análise e por último,
podem ser analíticos, com a finalidade de problematizar o seu objeto de estudo,
construir ou desenvolver uma nova teoria ou confrontá-la com uma teoria já
existente (YIN, 1984 apud PONTE, 1994).
Neste estudo, denominamos como caso a ser estudado a disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral ministrada num curso de formação inicial de
professores de matemática oferecido na modalidade a distância. Nesse curso, a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é nomeada “Funções e Limites”. Para
este estudo, faremos uma breve descrição do curso e da disciplina para, em
seguida, efetuar um estudo de caso analítico, realizando a análise das atividades
propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e as interações virtuais
originadas a partir da ferramenta fórum de discussões, de acordo com os
subsídios teóricos apresentados por Ponte (2003), que classifica as atividades
46
propostas como exercícios, problemas, explorações e investigações, sendo as
duas últimas, as atividades que permitem aos alunos realizarem conjecturas,
formular hipóteses, validar seus resultados, compreender os conceitos estudados,
colaborando assim para que a aprendizagem ocorra de maneira significativa.
Um estudo de caso pode seguir duas perspectivas, uma interpretativa, que
procura compreender o objeto de estudo e outra, pragmática com o objetivo de
proporcionar uma perspectiva global do objeto de estudo do ponto de vista do
pesquisador. Um estudo de caso produz um tipo de conhecimento que busca
encontrar algo de muito universal no mais particular (ERICKSON, 1986 apud
PONTE, 1994).
Por meio da análise das atividades propostas, esta pesquisa busca verificar
quais são os tipos de atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral num curso de formação inicial de professores de matemática na
modalidade a distância, relacionar os questionamentos postados pelos alunos na
ferramenta fórum de discussão às atividades propostas e verificar se essas
atividades propiciam aos futuros professores desenvolver em seus alunos as
habilidades inerentes ao processo investigativo e de resolução de situações-
problema. Sendo assim, este estudo busca produzir um conhecimento
relacionando um caso particular a algo universal.
De acordo com cada pesquisa, temos diferentes tipos de estudo de caso:
(1) Estudo de caso intrínseco, quando há um interesse intrínseco em algo
particular; (2) Estudo de caso instrumental, quando o caso é utilizado para se
compreender outro fenômeno; e (3) Estudo de caso agregado, quando há vários
casos que possibilitam compreender melhor sobre um determinado fenômeno
(STAKE, 1994).
Dessa forma, definimos este estudo como um estudo de caso intrínseco,
pois busca um interesse intrínseco em algo particular, analisando as atividades
propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral num curso de
Licenciatura em Matemática na modalidade a distância.
47
De acordo com as definições expostas anteriormente, este estudo será
uma pesquisa qualitativa, na modalidade estudo de caso, com natureza
pragmática, analítica e de caráter intrínseco.
4.2 Unidades de Análise e Coleta dos Dados
O estudo de caso baseia-se fortemente em trabalho de campo ou análise
documental e, com isso, a coleta dos dados a serem observados tem um papel de
extrema relevância, assim como a maneira como é realizada, define os rumos da
pesquisa.
O referencial teórico é fundamental para orientar tanto a investigação como
o processo de análise e nos auxilia a responder os questionamentos do tipo: O
que observar? Que dados colher? Que perguntas fazer? Que tipos de categorias
construir? (PONTE, 1994).
Para realizar a coleta dos dados e efetuar a análise das atividades
propostas e das interações virtuais originadas a partir da ferramenta fórum de
discussões, obtivemos o acesso ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA),
utilizado para a realização do curso. Esse acesso nos permitia apenas observar o
andamento do curso e coletar os dados de nosso interesse, não sendo possível
participar da resolução das atividades propostas nem intervir nos debates do
fórum de discussão. O acesso às atividades foi efetuado junto com um professor
que ministrava uma disciplina no mesmo curso. O professor responsável pela
disciplina observada foi informado da nossa intenção de pesquisa e autorizou o
nosso acesso. É relevante informar que a nossa participação nesse processo
deu-se unicamente sob a perspectiva de pesquisador, e nossas ações
restringiram-se apenas às observações como descritas acima, não sendo este
autor professor ou tutor do curso.
As atividades foram disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem
(AVA) e foram organizadas em sete tópicos. Cada tópico abordou um tema
específico dos conceitos inerentes ao Cálculo Diferencial e Integral, iniciando pelo
48
estudo das funções e finalizando com a introdução ao estudo de limites. A
distribuição dos tópicos foi assim organizada:
• Tópico 1 – Reta Real e Plano Cartesiano;
• Tópico 2 – Funções e Variáveis;
• Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro;
• Tópico 4 – Funções Trigonométricas;
• Tópico 5 – Função Bijetora e Função Inversa;
• Tópico 6 – Função Exponencial e Função Logarítmica;
• Tópico 7 – Introdução ao conceito de Limite
Após o acompanhamento do curso, de posse dos dados coletados,
iniciamos o processo de análise dos dados.
Para o nosso estudo, identificamos duas unidades de análise: a) as
atividades propostas aos alunos durante a realização da disciplina; b) as
interações virtuais realizadas entre os alunos e os formadores do curso realizadas
por meio da ferramenta “Fórum de Discussões”.
A escolha das atividades propostas aos alunos e das interações virtuais
oriundas do fórum de discussões como unidades de análise justifica-se devido à
relação de isomorfismo que ocorre nos anos iniciais da carreira docente, o que
nos indica que o professor tende a repetir em sua prática os modelos de ensino
vistos em sua formação inicial (BIREAUD, 1995).
Os documentos utilizados para compor as unidades de análise foram
coletados da seguinte forma:
• Download de todas as atividades disponibilizadas aos alunos no
Ambiente Virtual de Aprendizagem da disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral;
• Acompanhamento das interações virtuais realizadas entre alunos e
formadores do curso, em cada tópico da disciplina, por meio da
ferramenta “fórum de discussões”.
49
A análise dos documentos coletados foi realizada de acordo com as duas
unidades de análise definidas anteriormente, apoiando-se, para isso, no quadro
teórico utilizado.
Denominamos a primeira unidade de análise atividades. Essa unidade de
análise procura classificar as atividades propostas durante a realização da
disciplina, de acordo com as quatro dimensões definidas por Ponte (2003): grau
de dificuldade, estrutura, tempo e contextualização. Dessa forma, definimos duas
categorias para a análise de classificação das atividades propostas. Denotaremos
a primeira categoria por a) grau de dificuldade e estrutura. Conforme o quadro
teórico adotado, as análises dessas duas dimensões conjuntamente definem
quatro tipos de tarefas. Sendo assim, necessitaremos dividir essa categoria em
quatro subcategorias: a1) atividades de exercícios; a2) atividades de resolução de
problemas; a3) atividades de exploração; a4) atividades de investigação. Para
definirmos a segunda categoria, utilizaremos a dimensão contexto. Assim, a
segunda categoria será denominada b) contextualização. De acordo com os
subsídios teóricos de Ponte (2003), necessitamos também dividir a segunda
categoria em duas subcategorias: b1) contexto real; b2) contexto matemático.
Denominamos a segunda unidade de análise fórum de discussões. Essa
unidade de análise procura identificar as interações virtuais ocorridas durante a
realização da disciplina por meio da ferramenta fórum de discussões. Sendo
assim, as interações virtuais serão divididas em duas categorias: a) dúvidas
tecnológicas, que contém as discussões que abordaram dúvidas sobre a
utilização do ambiente virtual e suas ferramentas; b) dúvidas matemáticas,
contendo discussões que abordaram dúvidas sobre os conceitos matemáticos
abordados em cada tópico. A primeira categoria, dúvidas tecnológicas, foi dividida
em duas subcategorias: a1) dúvidas sobre a utilização dos softwares matemáticos
utilizados para a realização das atividades propostas durante a disciplina; a2)
dúvidas tecnológicas sobre a utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem
(AVA). A segunda categoria, dúvidas matemáticas, foi dividida em duas
subcategorias: b1) encaminhamento para exploração e investigação, contendo as
dúvidas esclarecidas pelo formador com encaminhamento que propiciam o
desenvolvimento de exploração e investigação sobre os conceitos em questão;
b2) encaminhamento para resposta direta, contendo as dúvidas esclarecidas pelo
50
formador com encaminhamento para resposta direta. Neste estudo, definimos a
subcategoria resposta direta, como as respostas efetuadas de maneira objetiva,
pronta e de forma clara aos questionamentos efetuados pelo aluno, não sendo
necessário que este busque aprofundamentos no tema em questão para
esclarecer suas dúvidas.
UNIDADE DE ANÁLISE: TAREFAS/ATIVIDADES PROPOSTAS
Categorias: I) Dimensões: Grau de dificuldade e Estr utura II) Dimensão: Contexto
Subcategorias Exercícios Problemas Explorações Investigações Contexto
Real
Contexto
Matemático
Quadro 9 – Categoria de análise: Atividades propost as
Quadro 10 – Categoria de análise: Fórum de discussõ es
4.3 Cenário da Pesquisa
4.3.1 A Instituição
A pesquisa teve como base uma Instituição de Ensino Superior privada da
cidade de São Paulo. Essa instituição oferece cursos de graduação em diversas
áreas há mais de 50 anos, entre eles o curso de Licenciatura em Matemática,
reconhecido em 1943. São oferecidos também cursos de pós-graduação em
matemática desde 1975 e em Educação Matemática desde 1994, tendo sido
credenciado pela CAPES em 1997.
UNIDADE DE ANÁLISE: FÓRUM DE DISCUSSÕES
Categorias: I) DÚVIDAS
TECNOLÓGICAS II) DÚVIDAS MATEMÁTICAS
Subcategorias
Dúvidas
sobre a
utilização dos
softwares
matemáticos
Dúvidas
sobre a
utilização do
AVA
Encaminhamento para
exploração/investigação
Encaminhamento
para resposta direta
51
A instituição já ministrou cursos de especialização para professores da
rede pública voltados para o uso da tecnologia no contexto da escola e dos
núcleos de tecnologia educacional na modalidade semipresencial, nos anos de
2000 e 2001 e, desde então, vem desenvolvendo vários projetos na modalidade
EaD em parceria com instituições governamentais e órgãos do sistema
educacional, entre eles, o curso Programa de Educação Continuada (PEC) –
Formação Universitária Estado e Municípios (com 4.200 alunos) apoiado em
diferentes tecnologias incorporadas em ações descentralizadas e realizadas em
pólos; o Curso de Especialização em Desenvolvimento de Projetos Pedagógicos
com o uso de Novas Tecnologias (distribuídos por 16 Estados Brasileiros); o
Projeto Práxis: formação de educadores via Telemática; o Centro Virtual
Interamericano para a Formação de Educadores a Distância; a Formação de
gestores escolares e coordenadores para a gestão de tecnologias de informação
e comunicação. Todos os cursos são desenvolvidos em parceria com o Programa
Nacional de Informática na Educação (ProInfo), a Secretaria de Educação a
Distância (SEED) e o Ministério da Educação (MEC) entre outros.
4.3.2 O Curso
A graduação em Licenciatura em Matemática na modalidade a distância
passou a ser oferecida no ano de 2009.
O curso tem a duração de 3 (três) anos divididos em 6 (seis) semestres
com carga horária total de 2.952 horas. São oferecidas 100 vagas e foi
reconhecido em 05/08/2008. Tem como público alvo, num primeiro momento, os
professores da rede pública do Estado de São Paulo, que não tenham
completado a sua graduação, e aos estudantes em geral que tenham concluído o
ensino médio.
De acordo com o projeto pedagógico do curso de Licenciatura em
Matemática na modalidade a distância da instituição, sua finalidade é formar
professores de matemática da Educação Básica, buscando no aluno egresso um
perfil que relacione os conteúdos matemáticos ao estudo de seu ensino didático
em disciplinas específicas dos núcleos de Cálculo, de Álgebra, de Geometria e de
52
Matemática Aplicada, assim como em disciplinas do núcleo de Educação
Matemática, numa configuração que possibilite o rompimento da dicotomia entre
conhecimentos pedagógicos e conhecimentos específicos e da dicotomia entre
teoria e prática. Propõe-se a formar um profissional crítico da realidade nacional,
capaz de elaborar diagnósticos e propor soluções aos desafios da ação
profissional e capaz de desenvolver o ensino e a aprendizagem de modo a levar
seus futuros alunos a se tornarem sujeitos do seu próprio processo de construção
de conhecimentos. O professor de matemática precisa ser um profissional com
grande competência para formular questões que estimulem a reflexão de seus
alunos, que possua sensibilidade para apreciar a originalidade e a diversidade na
elaboração de hipóteses e de proposições de solução aos problemas.
Em relação à formação específica, o curso orienta-se no sentido de que o
egresso possa:
• Construir modelos matemáticos para representar os problemas e suas
soluções.
• Criar e desenvolver tarefas e desafios que estimulem os estudantes a
coletar, organizar e analisar informações, resolver problemas e construir
argumentações lógicas.
• Estimular a interação entre três componentes básicos da matemática: o
formal, o algorítmico e o intuitivo.
• Estimular seus alunos para que busquem alcançar uma ampla e
diversificada compreensão do conhecimento matemático e para vincular
a matemática com outras áreas do conhecimento humano.
Em relação às competências referentes aos conteúdos específicos, o curso
está organizado com os seguintes blocos de disciplinas/atividades curriculares:
• Aritmética e Álgebra; Teoria Elementar dos Números; Estruturas
Algébricas: Anéis e Corpos; Introdução à Álgebra Linear; Álgebra Linear
e Introdução à Teoria dos Grupos.
53
• Funções e Limites; Funções e Continuidade; Introdução ao Cálculo
Diferencial e Integral; Cálculo Diferencial; Cálculo Integral; Tópicos de
Análise Real.
• Geometria Euclidiana Espacial; Geometria Euclidiana Plana; Geometria
Analítica no Plano; Geometria Analítica no Espaço; Geometria das
Transformações; Geometrias não Euclidianas; Geometria Euclidiana
Axiomática.
• Análise exploratória de dados, Métodos Estatísticos, Análise
Combinatória; Cálculo de Probabilidades; Interfaces da Matemática com
a Física: Mecânica; Interfaces da Matemática com a Física: Óptica;
Interfaces da Matemática com a Economia.
4.3.3 A Disciplina “Funções e Limites”
De acordo com o interesse deste estudo, que busca verificar se as
atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de
Licenciatura em Matemática na modalidade EaD propiciam a utilização de
diferentes estratégias de ensino, decidimos acompanhar o desenvolvimento de
uma das disciplinas oferecidas no curso nessa modalidade. Como a origem dos
questionamentos que nos levaram a este estudo estão relacionadas às atividades
que devem ser propostas em um curso de formação de professores de
matemática na modalidade EaD, a disciplina a ser observada, deveria ser uma
disciplina de caráter específico matemático, pertencente à grade curricular do
curso.
Sendo assim, optamos por acompanhar a disciplina “Funções e Limites”,
que aborda as ideias iniciais do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. Essa
disciplina se mostra muito importante na formação docente, pois, de acordo com
as pesquisas, é uma área que: a) possibilita uma diversidade de registros de
representações de seus conteúdos, que dependendo de sua abordagem, pode
favorecer a unificação de conceitos dos quadros da álgebra, da geometria e da
geometria analítica; b) traz noções de conceitos estudados na educação básica,
54
como número real, infinito, funções, continuidade; c) possibilita explorar as
relações de seus conceitos com outras áreas do conhecimento.
Ao analisarmos a ementa6 da disciplina “Funções e Limites”, identificamos
que ela tem como objetivo, introduzir os principais conceitos que compõem o
Cálculo Diferencial e Integral, focando nos estudos sobre funções e limites,
buscando identificar o objeto matemático “função” em suas variadas
representações, manipular o conceito de limite e contribuir para uma postura
crítica e de maior autonomia ao estudante.
A cada semestre, as disciplinas oferecidas são organizadas em 3 (três)
blocos (1, 2 e 3), previstos para serem cumpridos em 6, 5 e 5 semanas
respectivamente, e mais uma semana para finalização das atividades do módulo
pelos estudantes que tiverem essa necessidade.
A disciplina “Funções e Limites”, objeto deste estudo é oferecida no
primeiro período do primeiro ano letivo e faz parte do Bloco 1 das disciplinas
oferecidas. Possui como objetivo(s) geral(is): Construir conceitos e ferramentas
para o Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvendo competências para a
construção de modelos matemáticos que possibilitem a resolução de problemas
e, como objetivo(s) específico(s): Identificar o objeto “função” em suas variadas
representações e utilizar o conceito de limite. Os temas centrais abordados na
disciplina são: Variável e função, Gráfico de função, Função inversa, Função
composta, Continuidade, Funções de múltiplas variáveis, Limite de uma
seqüência, Os números e, eπ , Limite por aproximação, Definição geral de limite.
Para dar suporte aos alunos foram desenvolvidos materiais didáticos,
constituídos primordialmente pelos conteúdos e atividades apresentados no
formato de hipermídia no ambiente virtual de aprendizagem. Esses materiais
contam também com diversos outros recursos, como materiais impressos,
vídeos, simulações, dentre outros, contendo as ideias iniciais que serão
abordadas em cada tópico e de atividades e exercícios complementares que
proporcionam a construção dos conhecimentos abordados.
_____________ 6 Ementa da disciplina no Anexo I
55
Para o desenvolvimento das atividades foi disponibilizado o ambiente
virtual de aprendizagem Moodle, no qual os alunos podem acessar os materiais
disponibilizados, interagir com outros alunos por meio do Chat, enviar suas
dúvidas ao professor responsável e participar dos fóruns de discussão.
Também foram disponibilizados os plug-ins, manuais de instrução e os
links para download dos softwares abertos (Geogebra e Cabri)7 necessários para
o desenvolvimento das atividades.
Os alunos são avaliados continuamente por meio da sua participação nas
atividades propostas e pela sua colaboração nas atividades de interação, sendo a
média final composta por 40% correspondente às atividades realizadas a
distância e 60% compostas por atividades avaliativas realizadas presencialmente.
_____________ 7 Maiores informações sobre os softwares podem ser obtidas em http://www.geogebra.org/cms/ e
http://www.cabri.com.br/index.php
56
CAPÍTULO 5
DESCREVENDO OS DADOS COLETADOS E ANÁLISES
EFETUADAS
Neste capítulo apresentamos algumas das atividades propostas na
disciplina Funções e Limites e algumas das interações virtuais ocorridas na
ferramenta fórum de discussões.
Num primeiro momento, utilizamos a unidade de análise: atividades. As
atividades estão descritas conforme foram distribuídas no desenvolvimento da
disciplina, ou seja, organizadas em sete (7) tópicos, sendo que os temas
abordados em cada tópico estão descritos a seguir:
• Tópico 1 – Reta Real e Plano Cartesiano;
• Tópico 2 – Funções e Variáveis;
• Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro;
• Tópico 4 – Funções Trigonométricas;
• Tópico 5 – Função Bijetora e Função Inversa;
• Tópico 6 – Função Exponencial e Função Logarítmica;
• Tópico 7 – Introdução ao conceito de Limite
Dentro de cada um dos tópicos, as atividades foram classificadas conforme
as duas categorias definidas anteriormente. A primeira categoria, grau de
dificuldade e estrutura foi dividida em quatro subcategorias: a1) atividades de
57
exercícios; a2) atividades de resolução de problemas; a3) atividades de
exploração; a4) atividades de investigação. A segunda categoria,
contextualização, também foi dividida em duas subcategorias: b1) contexto real;
b2) contexto matemático.
De acordo com os temas de cada tópico e objetivos propostos em cada
atividade, foram apresentados textos introdutórios com conceitos inerentes ao
tema estudado e conforme o objetivo de nosso estudo, nossa análise esteve
centrada nas atividades propostas durante o desenvolvimento da disciplina.
Após cada exemplo das atividades que destacamos, realizamos um
comentário sobre a atividade proposta contendo as justificativas para a
classificação efetuada.
Ao final da primeira unidade de análise, inserimos um quadro resumo,
contendo as classificações das atividades analisadas.
Posteriormente utilizamos a segunda unidade de análise: fórum de
discussões. As interações virtuais originadas a partir da ferramenta fórum de
discussões estarão organizadas conforme as duas categorias definidas
anteriormente. A primeira categoria, a) dúvidas tecnológicas, contém as
discussões que abordaram dúvidas sobre a utilização do ambiente virtual e suas
ferramentas. Esta primeira categoria foi dividida em duas subcategorias: a1)
dúvidas sobre a utilização dos softwares matemáticos utilizados para a realização
das atividades propostas durante a disciplina; a2) dúvidas tecnológicas sobre a
utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). A segunda categoria, b)
dúvidas matemáticas, contendo discussões que abordaram dúvidas sobre os
conceitos matemáticos abordados em cada tópico, também foi dividida em duas
subcategorias: b1) encaminhamento para exploração e investigação; b2)
encaminhamento para resposta direta.
Ao final da segunda unidade de análise, inserimos um quadro resumo,
contendo as classificações das discussões analisadas.
58
5.1 Organização e Classificação das Atividades
5.1.1 Unidade de Análise: Atividades
Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionai s e Maior Inteiro
Categoria: Grau de dificuldade e estrutura
Subcategoria: Problema
Categoria: Contextualização
Subcategoria: Contexto real
Atividade 3.1
3.1.1. Suponhamos que uma mercadoria esteja sendo vendida a R$1,50 o quilo. Denotemos
com p o preço a ser pago por uma certa quantidade dessa mercadoria e de x a quantidade
em quilos.
(a) Podemos dizer que p é função de x? Justifique. Se sim, qual a variável independente, a
variável dependente, o domínio e a imagem desta função?
(b) Represente esta função com sua expressão algébrica.
(c) Represente esta função num sistema cartesiano, com os valores de x marcados em um
eixo horizontal e os valores correspondentes de p num eixo vertical. Cuidado! Você tem
que respeitar o domínio da função para fazer esta representação.
3.1.2. No Brasil a temperatura ambiente é sempre dada em graus Celsius (ºC) e nos Estados Unidos em graus Fahrenheit (ºF). Para relacioná-las, lembremos que 0º C corresponde 32º F e 100° C corresponde a 212º F. Denotando com C e F os valores correspondentes da temperatura nas escalas Celsius e Fahrenheit, respectivamente, temos:
32212
32
0100
0
−−=
−− FC
ou ainda 9
32
5
−= FC ou 9
160
9
5 −= FC .
(a) Esta relação representa função? Se sim, qual é a variável independente e a variável
dependente?
(b) Represente-a graficamente (marque o ponto para o qual F = - 40º).
Quadro 11: Atividade classificada como Problema 8
Este primeiro bloco inicialmente busca retomar por meio da resolução de
problemas situados no contexto real, as relações de dependência existentes entre
_____________ 8 Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus, Renata Rossini, Rogério Ferreira da Fonseca.
59
as variáveis e a determinação da sentença matemática que representa essas
situações reais vistas no tópico anterior, tendo como objetivo principal a
construção do conceito de funções polinomiais de primeiro grau.
As atividades propostas reúnem as seguintes características: estrutura
fechada, grau de dificuldade difícil e tempo médio. De acordo com os
pressupostos de Ponte (2003), classificamos as atividades propostas acima como
problema, já que o aluno geralmente não dispõe de um método pronto para a
resolução e o desenvolvimento da ideia de linearidade e as relações de
proporcionalidade são os conhecimentos a serem desenvolvidos para a resolução
da tarefa. O enunciado indica claramente o que é dado e o que é pedido, admite
resposta única, o resultado já é sabido de antemão pelo professor e a resposta do
aluno está certa ou errada. Em relação ao contexto, podemos afirmar que as
atividades situam-se no contexto real.
Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionai s e Maior Inteiro
Categoria: Grau de dificuldade e estrutura
Subcategoria: Exercício
Categoria: Contextualização
Subcategoria: Contexto matemático
3.4.8. Indique as coordenadas do vértice das seguintes funções e aponte qual é a abscissa
onde a função assume um valor máximo ou mínimo e determine qual é valor da função
nesse respectivo ponto:
Quadro 12: Atividade classificada como Exercício 9
A atividade proposta apresenta estrutura fechada, grau de dificuldade fácil,
o aluno possui um método para a resolução, desenvolvido nas atividades _____________ 9 Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus,
Renata Rossini, Rogério Ferreira da Fonseca.
60
anteriores. Dessa forma, a atividade acima pode ser classificada como exercícios.
Podemos afirmar que o objetivo da atividade é consolidar os conhecimentos as
atividades propostas situam-se no contexto matemático.
Tópico 4 – Funções Trigonométricas Categoria: Grau de dificuldade e estrutura Subcategoria: Exploração Categoria: Contextualização Subcategoria: Contexto matemático Atividade 4.2
Abra o arquivo Cabri senoecossenoatividade4_2.fig. e utilize-o para responder os itens abaixo, você movimentar o ponto B no ciclo trigonométrico.
Fixe um ponto P e considere o triângulo retângulo OPP’.
Sabendo que a hipotenusa OP mede 1,0, determine:
A medida do cateto PP' ___________.
A medida do cateto OP' ___________.
Com os dados obtidos acima e considerando o triângulo retângulo OPP’, calcule cosseno do ângulo PÔP’ e seno do ângulo PÔP’. _________________
A abscissa do ponto P é ________________________.
A ordenada do ponto P é _______________________.
Movimentando o ponto P e considerando o triângulo retângulo OPP’, preencha a tabela a seguir, calculando os valores de seno e cosseno, para os ângulos PÔP’ dados.
Ângulo
PÔP’
Cateto
PP' Cateto
OP' Hipotenusa
OP Abscissa Ordenada Seno Cosseno
15º
30º
45º
60º
90º
120º
Compare, em cada caso, o seno com as coordenadas de P. O que você pode concluir? _______________________________________________________
Compare, em cada caso, o cosseno com as coordenadas de P. O que você pode concluir?
___________________________________________________
Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com mais de 90°, sem utilizar o triângulo retângulo? ___________________________________
Essa maneira também pode ser utilizada para ângulos com menos de 90°? Justifique. ______________________________________________________
61
Movimentando o ponto P no ciclo trigonométrico responda:
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo cosseno desse arco seja igual a 1,3?
Se sim, qual será este arco?________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo cosseno desse arco seja igual a -2?
Se sim, qual será este arco?________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo cosseno desse arco seja igual a -1?
Se sim, qual será este arco?________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo cosseno desse arco seja igual a 1? Se
sim, qual será este arco?________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo seno desse arco seja igual a -1,2? Se
sim, qual será este arco?___________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo seno desse arco seja igual a 3? Se
sim, qual será este arco?_____________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo seno desse arco seja igual a -1? Se
sim, qual será este arco?_____________________________
Você pode determinar um valor para o arco ∩AP , cujo seno desse arco seja igual a 1? Se
sim, qual será este arco?_____________________________
A partir das repostas anteriores, qual o maior valor possível para seno do arco ∩AP ? E para
cosseno do arco ∩AP ? __________________________________
Qual o menor valor possível para seno do arco ∩AP ? E para cosseno do arco
∩AP ?
___________________________________________________________
Existem arcos diferentes cujo seno desses arcos sejam iguais a 1? Se sim, de um exemplo.
____________________________________________________
Existem arcos diferentes cujo cosseno desses arcos sejam iguais a 1? Se sim, de um exemplo. __________________________________________________
Quadro 13: Atividade classificada como Exploração 10
A atividade possui estrutura aberta, grau de dificuldade fácil e possibilita ao
aluno desenvolver a ideia de periodicidade e observar as relações e regularidades
existentes no ciclo trigonométrico, sendo classificada como exploração e
situando-se no contexto matemático.
_____________ 10 Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus,
Renata Rossini, Rogério Ferreira da Fonseca.
62
Abaixo apresentamos um quadro resumo contendo a classificação das 80
atividades propostas na disciplina “Funções e Limites”.
TÓPICO TEMA TIPO DE TAREFA QUANTIDADE CONTEXTO
REFERENCIAL QUANTIDADE
Exercícios 8 Problemas –
Contexto Real –
Exploração – 1
Reta Real e Plano Cartesiano
Investigação – Contexto
Matemático 8
Exercícios 7 Problemas 9
Contexto Real 9
Exploração – 2
Funções e Variáveis
Investigação – Contexto
Matemático 7
Exercícios 10 Problemas 10
Contexto Real 8
Exploração 9 3
Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro Investigação –
Contexto Matemático
21
Exercícios 5 Problemas 1
Contexto Real –
Exploração 2 4
Funções Trigonométricas
Investigação – Contexto
Matemático 8
Exercícios 1 Problemas 3
Contexto Real –
Exploração – 5
Função Bijetora e Função Inversa Investigação –
Contexto Matemático
4
Exercícios 5 Problemas 3
Contexto Real 5
Exploração – 6
Função Exponencial e Função Logarítmica Investigação –
Contexto Matemático
3
Exercícios 7 Problemas –
Contexto Real –
Exploração – 7
Introdução ao conceito de Limite
Investigação – Contexto
Matemático 7
Exercícios 43 Problemas 26
Contexto Real 22
Exploração 11 Total
Investigação 0 Contexto
Matemático 58
Quadro 14: Resumo da classificação das atividades 11
Ao classificarmos o conjunto de atividades propostas para o
desenvolvimento da disciplina “Funções e Limites” do curso em questão, segundo
os referenciais apresentados por Ponte (2003), considerando as dimensões “Grau
de dificuldade e Estrutura”, constatamos que 43, ou seja, 53,75% das atividades
propostas foram classificadas como tarefas do tipo exercícios, e 26 atividades
_____________ 11 Embora não tenham sido encontradas atividades de caráter investigativo, verificamos a utilização desta
estratégia de ensino na ferramenta fórum de discussão, conforme descrito nos capítulos posteriores.
63
foram classificadas como tarefa do tipo problemas, o que corresponde a 32,5% do
total proposto, sendo o restante, um total de 11 atividades, 13,75% das atividades
propostas, classificadas como tarefas de exploração. Isso nos mostra a
predominância de tarefas do tipo exercícios na elaboração do curso. Salientamos
que não identificamos nenhuma atividade, dentre o total de 80 atividades
propostas, que pudesse ser classificada como uma atividade de investigação.
Em relação à dimensão Contexto, observamos o total de 58 (72,5%)
atividades situadas no contexto matemático e 22 (27,5%) atividades situadas no
contexto real.
Podemos observar, dessa forma, ao analisarmos a dimensão contexto, a
predominância das atividades situadas no contexto matemático em relação às
atividades situadas no contexto real.
5.1.2 Unidade de Análise: Fórum de Discussões
Neste item concentramos nossa atenção na ferramenta fórum de
discussões como unidade de análise.
Para a disciplina Funções e Limites, o fórum de discussões não foi utilizado
de forma que provocasse discussões, debates e reflexões entre os alunos sobre
os temas de cada tópico estudado, colaborando, assim, para a construção e
aprofundamento do conhecimento de todos os alunos como um todo. A
ferramenta fórum de discussões foi utilizada como um mural de dúvidas em que
todos os alunos poderiam acessar os questionamentos postados pelos colegas de
curso. As respostas aos questionamentos efetuados pelos alunos ficaram sob a
responsabilidade do professor da disciplina.
Não nos compete julgar se a utilização da ferramenta foi feita de maneira
adequada ou não, ou se foi possível explorar todos os seus potenciais.
Levantamos a hipótese de que o propósito da utilização da ferramenta fórum de
discussões tenha sido concebido com outras finalidades pelos professores
formadores. Iremos focar nossa atenção apenas nas análises das interações
64
virtuais originadas a partir desta ferramenta, conforme as categorias definidas
anteriormente.
Durante o acompanhamento e desenvolvimento da disciplina Funções e
Limites, observamos um total de 60 tópicos nessa ferramenta, sendo que deste
total, 39 interações estavam relacionados a dúvidas que categorizamos como
dúvidas de ordem tecnológicas que se originaram a partir da utilização dos
softwares Geogebra e Cabri, dúvidas referente à utilização do ambiente virtual
Moodle e dúvidas referente a interpretações das atividades propostas e prazos
para a realização das mesmas.
Destacamos que ocorreu um encontro presencial no início da disciplina,
com o objetivo de mostrar aos alunos as formas de utilização dos softwares
Geogebra, Cabri e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Apenas 21 dúvidas estiveram relacionadas a temas que categorizamos
como dúvidas matemáticas, que abordaram dúvidas referentes aos conceitos
matemáticos necessários para a realização das atividades.
Salientamos que ocorreram alguns encontros presenciais, não oficiais e
não programados, entre o professor e os alunos do curso, com a finalidade de
esclarecimentos de dúvidas de caráter matemático. Conforme conversa com os
professores formadores, nos foi relatada essa disponibilidade de ambas as partes,
professores e alunos.
Dessa forma, consideramos que esses encontros ocasionais colaboraram
para a aprendizagem dos alunos, e consequentemente, para a redução da
quantidade de dúvidas de caráter matemático postadas no Ambiente Virtual de
Aprendizagem (AVA) por meio da ferramenta “fórum de discussões”.
Essa categoria, dúvidas matemáticas, foi dividida de acordo com o
encaminhamento da resposta dada pelo professor formador em duas
subcategorias: dúvidas com encaminhamento direto onde encontramos um total
de 10 interações virtuais e dúvidas com encaminhamento para
exploração/investigação contendo um total de 9 interações virtuais. Duas
respostas dadas pelo professor não foram classificadas nas categorias acima,
pois as respostas foram realizadas via Chat, conforme relatado no fórum de
65
discussões, sendo que não foi possível obter o registro do conteúdo dessas
interações, devido às características tecnológicas da ferramenta utilizada.
Relacionamos a seguir, algumas dessas interações para ilustrar como
ocorreram.
Efetuamos pequenas alterações de ordem ortográficas e gramaticais, nos
registros das dúvidas dos alunos, sem comprometer a essência das interações
realizadas.
Categoria: dúvidas matemáticas
Subcategoria: encaminhamento para exploração/invest igação
Assunto: Tópico 4
Aluno:
“Professor na pergunta: Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com
mais de 90°, sem utilizar o triângulo retângulo?
Eu acho que não dá para calcular seno e cosseno sem o triângulo retângulo pois são
relações do triângulo retângulo, eu estou certo?”
Professor:
“Seria possível calcular o seno de 120o utilizando o seno de 60o. Verifique isso no ciclo
trigonométrico. E o cosseno?
Quadro 15: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para exploração/investigação
Podemos observar, na interação acima, as dificuldades apresentadas por
um aluno, no que se refere à aprendizagem da trigonometria. Levantamos a
hipótese de que essa dúvida originou-se devido ao processo de ensino que o
aluno vivenciou, no qual pode ter ocorrido predominância nos estudos da
trigonometria no triângulo retângulo em relação ao estudo da trigonometria por
meio do ciclo trigonométrico. Isso talvez possa justificar a dificuldade do aluno em
determinar os valores do seno e cosseno de ângulos superiores a 90º.
Destacamos o encaminhamento da resposta dada pelo professor ao aluno,
incentivando-o a investigar os valores de seno e cosseno por meio do ciclo
trigonométrico.
66
Categoria: dúvidas matemáticas
Subcategoria: encaminhamento para resposta direta
Assunto: Tópico 4
Aluno:
“Professor, quando eu coloco 120° no quadrante 2 n o ciclo trigonométrico, a hipotenusa
continua positiva? me explique”
Professor:
“Neste caso a hipotenusa é o raio da circunferência, seu valor no ciclo trigonométrico é
igual a 1 não importa o quadrante, pois o raio de uma determinada circunferência tem
sempre o mesmo valor. Isso é diferente para o seno e o cosseno de um ângulo, pois
esses estão relacionados com as coordenadas do ponto P, que por sua vez está
relacionado com um determinado ângulo. Note que a mudança nas coordenadas do
ponto P dependem do quadrante, enquanto que o raio da circunferência (ou distância de
P ao ponto de origem do plano é constante, nesse caso 1). Uma circunferência pode ser
definida como um lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto C, chamado
centro da circunferência. Por favor, se permanecer com dúvidas entre em contato
novamente.
Quadro 16: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para resposta direta
Verificamos, na interação acima, a dificuldade do aluno em trabalhar com
ângulos acima de 90º, reforçando a discussão efetuada na dúvida relatada
anteriormente. Porém, neste exemplo, a pergunta está relacionada ao valor da
hipotenusa e não aos valores do seno e cosseno especificamente. Observamos
que o aluno confundiu a variação do sinal dos valores do seno e cosseno que
ocorre à medida que variamos os quadrantes nos quais se situam os ângulos a
serem estudados, com a variação do sinal da hipotenusa do triângulo retângulo o
que, de fato, como sabemos, não ocorre.
Para esta dúvida, como podemos verificar, a resposta do professor foi
classificada, de acordo com as categorias definidas, como resposta com
encaminhamento direto. Destacamos o empenho do professor em responder ao
questionamento efetuado da maneira mais completa possível, abordando vários
conceitos importantes, indo além do ponto principal da questão. Por outro lado, o
professor poderia proporcionar ao aluno que chegasse às mesmas conclusões se,
67
em sua reposta, estabelecesse um diálogo com o aluno, a fim de levá-lo a
pesquisar e encaminhá-lo ao processo investigativo, abordando os aspectos
necessários para o esclarecimento da dúvida e, consequentemente, a
aprendizagem dos conceitos em questão.
Categoria: dúvidas tecnológicas
Subcategoria: uso do Ambiente Virtual de Aprendizag em AVA
Assunto: Medida da reta!
Aluno:
Professor, quando eu estava mandando o restante das minhas tarefas do Tópico 1, sumiu a
caixinha para carregar os meus arquivos! O que eu faço? Será que o Sr poderia me
orientar??
Obrigada
Professor:
O máximo de arquivos que podem ser enviados para a ferramenta TAREFA é 20. Você
já chegou no 20. Que bom!
Vou abrir outra TAREFA TOPICO 1 - Parte 2 para que seja possível enviar mais
arquivos.
Com isso se resolve.
Quadro 17: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológica s – uso do AVA
Observamos na interação acima, um exemplo de dúvidas postadas na
ferramenta “fóruns de discussão” que classificamos como dúvidas de origem
tecnológicas, referentes à utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Observamos um total de 12 interações contendo nesta categoria. A disciplina
“Funções e Limites”, objeto deste estudo foi a primeira disciplina oferecida aos
alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a
distância ofertada pela instituição e, por mais conhecimentos tecnológicos que os
alunos possuam, esse tipo de dúvida é recorrente no início de um curso baseado
em plataformas de educação a distância.
68
Corroborando o que expressamos acima, podemos citar a experiência
deste autor, que ministrou cursos na EaD, na função de professor tutor, e também
realizou cursos como aluno, tendo contato com diferentes plataformas, como o
TelEduc, Moodle e outros AVAs: encontramos as mesmas dificuldades iniciais
relatadas pelos alunos da disciplina “Funções e Limites”.
Categoria: dúvidas tecnológicas
Subcategoria: uso de Softwares
Assunto: Sinais
Aluno:
“Olá professor,
Como eu faço pra por aqueles dois traços antes e depois do x na atividade 3.6.5? f(x)=
?x? Também não tenho o sinal de radical no meu teclado. Tenho que comprar outro
teclado?”
Professor:
“Olá, você pode utilizar o Word, no link inserir, depois símbolos, ou utilizar o Word
equation, se esse link não estiver na barra de ferramentas de seu Word faça o seguinte:
Clique em ferramentas, em seguida personalizar, depois clique em inserir, do lado
direito da tela vai aparecer várias ferramentas, procure o equation editor, clique e
mantenha clicado, arraste este link para a sua barra de ferramentas, preferencialmente
na primeira linha. Com esta ferramenta você pode inserir várias fórmulas matemáticas.
Quadro 18: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológica s – uso de Softwares
A interação relatada acima mostra a dificuldade inicial dos alunos em
utilizar os softwares disponibilizados para a realização das atividades propostas
durante o desenvolvimento do curso.
Como na categoria descrita anteriormente, esse tipo de dúvida tende a
concentrar-se nas disciplinas iniciais, pois provavelmente este deve ser o primeiro
contato da maioria dos alunos com este tipo de ferramenta.
A próxima interação demonstra o potencial que os softwares matemáticos
possuem para auxiliar no processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos.
A utilização da tecnologia e dos softwares para o processo de aprendizagem é
recomendada nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
69
Matemática, Bacharelado e Licenciatura – DCNLM (2001) – como destacamos no
capítulo inicial deste estudo.
Assunto: Tarefas tópico 1
Aluno:
Peço desculpa, pois mandei as tarefas do tópico 1 e trabalhando com o geogebra,
percebi e aprendi novos recursos, então entrei na pasta das tarefas enviadas e as
deletei e coloquei as novas. Espero que entenda.
Com relação a atividade 4, os dados solicitados são idênticos a da atividade 3? não
entendi. abraço
Professor
Olá
Quanto às mudanças, tudo bem, não há problema. Em relação aos itens 3 e 4, são
distintos, por favor, veja a orientação que dei no fórum. Se permanecer com dúvidas,
entre em contato novamente.
Quadro 19: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológica s – uso do AVA
Como verificamos, após a realização das atividades utilizando o software
Geogebra, o aluno relata que este software propiciou a ampliação do seu
entendimento dos conceitos estudados o que o levou a efetuar as correções nas
atividades enviadas anteriormente.
A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC’s) são
recomendadas tanto nas Diretrizes Curriculares como nos Parâmetros
Curriculares Nacionais devido ao potencial que apresentam para auxiliar o
processo de aprendizagem e a interação postada acima é um exemplo que
justifica a sua utilização.
A seguir apresentamos um quadro contendo o resumo da classificação das
dúvidas postadas pelos alunos na ferramenta “fóruns de discussões”.
70
Fórum de discussões
Tópicos aberto para discussões: 60
Dúvidas Tecnológicas
Total: 39 Dúvidas matemáticas: Total 21
Dúvidas
sobre o uso
de Softwares
Duvidas
sobre o
uso do
AVA
Não
identificadas
Respostas com
encaminhamento
direto
Respostas com
encaminhamento para
exploração/investigação
27 12 2 10 9
Quadro 20: Resumo da classificação Interações Virtu ais
Entre as duas categorias utilizadas para classificação das interações
virtuais, verificamos 39 interações realizadas na categoria dúvidas tecnológicas e
21 interações referentes à categoria dúvidas matemáticas.
Analisando o quadro a seguir, podemos verificar que as interações
referentes às dúvidas matemáticas concentraram-se nos quatro primeiros tópicos
da disciplina, sendo que o tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais
e Maior Inteiro e o tópico 4 – Funções Trigonométricas, apresentaram as maiores
incidências.
TÓPICO TOTAL DE DÚVIDAS POR TÓPICO
1 4
2 3
3 5
4 5
5 1
6 1
7 2
TOTAL 21
Quadro 21: Dúvidas matemáticas por tópico
Os temas abordados no tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,
Racionais e Maior Inteiro e no tópico 4 – Funções Trigonométricas compõem um
dos principais eixos temáticos da matemática visto durante o Ensino Médio, e
71
também são de extrema importância para o estudo da disciplina Cálculo
Diferencial e Integral.
Isso nos mostra a grande dificuldade encontrada pelos alunos nesses
temas, o que nos leva a levantar a hipótese de que esses conteúdos não devem
ter sido trabalhados adequadamente quando os alunos cursaram o ensino médio.
De acordo com as recomendações do PCN+ (2002, p. 121) observamos
que o estudo das funções deve permitir ao aluno adquirir a linguagem algébrica
assim como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre
grandezas e modelar situações-problemas permitindo várias conexões dentro e
fora da própria matemática. Destaca ainda que os problemas de aplicação não
dever ser deixados para serem trabalhados no final, após a apresentação dos
conceitos, mas devem apresentar motivos e contextos para o aluno aprender
funções.
Provavelmente, os alunos devem ter tido sua formação focada nos
modelos tradicionais, com o forte emprego de definições e cálculos, às vezes
demasiadamente trabalhosos e desnecessários, sem nenhuma relação com a
aplicação desses conceitos, fato que não colabora para uma aprendizagem
consistente da matemática e que, de acordo com a experiência docente de mais
de 7 anos desse autor, atuando na Educação Básica, causa, na maioria das
vezes, resistência por parte dos alunos para a aprendizagem dos diversos tipos
de funções.
A seguir, relacionamos as dúvidas referentes ao tópico 3 – Funções
Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e ao tópico 4 – Funções
Trigonométricas.
Faremos uma análise das dúvidas enviadas pelos alunos, relacionando-as
com as atividades propostas a fim de verificar as diferentes metodologias e
estratégias de ensino que essas atividades propiciam de acordo com o referencial
teórico utilizado neste estudo.
72
Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior I nteiro
Assunto: Tarefas Tópico 3
Aluno:
Prof, tudo bem??!!
Quanto ao tópico 3.4.8 não consegui entender onde a função assume um valor máximo
ou mínimo.
Abraços
Professor:
Olá,
Estude novamente as coordenadas do vértice de uma parábola, veja o que descobre!
Se permanecer com dúvidas entre em contato.
Quadro 22: Dúvidas matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A atividade 3.4.8 que originou essa dúvida está descrita no quadro 12, foi
classificada como exercício e está situada no contexto matemático. A atividade
solicita ao aluno que determine as coordenadas dos vértices de funções
polinomiais de 2º grau e que indique a abscissa do ponto onde a função assume
valor máximo ou mínimo e que determine qual é o valor que a função assume
nesse ponto.
De acordo com o quadro 14, no qual apresentamos o resumo das
classificações das atividades propostas, no tópico 3 temos um total de 29
atividades, distribuídas em 10 atividades que foram classificadas como exercícios,
10 atividades que foram classificadas como problemas e 9 atividades que foram
classificadas como exploração. Em relação à dimensão contexto, encontramos
apenas 8 atividades situadas no contexto real e 21 atividades situadas no
contexto matemático.
Dessa forma, observamos que os temas abordados neste terceiro tópico
poderiam estar concentradas em atividades do tipo problemas, exploração e
investigação e situadas num contexto real, o que favoreceria uma aprendizagem
mais contextualizada aos alunos e propiciando-o a desenvolver estratégias
semelhantes para o ensino desses conceitos em sua prática docente futura.
73
Sendo essa uma das primeiras atividades envolvendo o cálculo de
máximos e mínimos, podemos levantar a hipótese de que se essa atividade
proposta estivesse situada num contexto real, a compreensão do conceito de
máximo e mínimo de uma função pelo aluno ocorreria com maior consistência e
facilidade.
A seguir apresentamos a segunda dúvida classificada como dúvida
matemática, referente ao tópico 3.
Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Oi Professor, tudo bem??!!!! No tópico 3.4.11 não consegui entender o que deve ser realizado nas questões: I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p. II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p da anuidade. III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro? Me ajuda!!!! Professor: Olá! Vamos lá! 3.4.11. (a) Um clube de saúde particular tem funções de custo e receita dados por C = 10.000 + 35q e R = pq, onde q é o número de membros anuais do clube e p é o preço da anuidade. A função de demanda para o clube é q = 3.000 – 20p. I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p. Se a função demanda é q = 3000 - 20p, então devemos utilizar essa informação para escrever C e R em função de p, para isto basta substituir q por (3000 - 20p) nas funções C e R. Por exemplo, para o custo temos: C = 10.000 + 35(3000 - 20p). Realize as operações e faça o mesmo para a função R. Note que para R você encontrará uma função quadrática! II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p da anuidade. Após realizar o item I você terá as Funções R e C em função de p, para encontrar L basta fazer R - C, ou seja, uma função menos a outra, já que L = R - C. III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro? Se você realizou corretamente os itens I e II, você deve ter encontrado uma função quadrática para L. Deve ter percebido também que uma função quadrática tem um valor máximo ou mínimo (dependendo do coeficiente a em y = ax2+bx+c, neste caso temos como variável independente p e variável dependente L), este máximo ou mínimo pode ser encontrado utilizando as coordenadas do vértice da parábola. Agora é com você! Se tiver problemas entre em contato novamente! Problemas que envolvem o cálculo de máximo ou mínimo de funções quadráticas. Aluno:
Muito Obrigada!!!!!!!!!!!
Quadro 23: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
74
A atividade que originou esta dúvida está descrita no interior dos
comentários feitos pelo aluno e pelo professor. Trata-se de uma atividade que foi
classificada como problema situado no contexto real.
Por meio da resposta dada pelo professor, percebemos que a dúvida do
aluno não está relacionada ao problema de determinar o máximo da função e sim,
em determinar a sentença matemática das funções custo e receita em função do
preço. Podemos inferir que essa dificuldade deve-se ao fato de, na maioria das
vezes, os estudos sobre funções serem efetuados diretamente por meio de
cálculos, sem relações com o contexto real, solicitando-se que sejam
determinados os valores das raízes das funções, valores máximos e mínimos,
sempre de maneira abstrata, e raramente abordados a partir de situações
problemas, em que o primeiro passo a ser dado para a resolução é a
determinação da sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis
envolvidas.
Diversos autores afirmam que muitos alunos tem dificuldades na resolução
de problemas algébricos bastante simples, principalmente quando estes
necessitam da tradução da linguagem corrente para a linguagem formal. “Sem a
capacidade de interpretar expressões, os alunos não dispõem de mecanismos
para verificar se um dado procedimento é correto” (LOCHHEAD e MESTRE,
1995, p. 148).
Em relação às tarefas propostas nessa disciplina, observamos em
atividades anteriores e posteriores às apresentadas, situações-problemas que
envolvem o estudo de funções e que, para a sua resolução, é necessário
determinar a sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis
envolvidas no problema, realizando-se, assim, a tradução da linguagem corrente
para a linguagem algébrica como descrita no parágrafo anterior.
A seguir, apresentamos a terceira dúvida classificada como dúvida
matemática, referente ao tópico 3.
75
Assunto: Tarefas Tópico 3
Aluno:
Professor na atv. 3.6.5, f(x)=IxI está em modulo portanto entendi que em modulo IxI + k
seria igual x+k ou seja igual a Ix+kI e a translação seria vertical em relação ao eixo y?
esta correto? ou a translação seria em grau?
Professor:
Olá,
Se somar uma constante k diferente de 0 à função f(x)=IxI, terá então f(x)=IxI + k, o
gráfico dessa nova função irá sofrer um translação vertical em relação ao gráfico de
f(x)=IxI. Se somar k a variável independente de f(x)=IxI, terá f(x)=Ix+kI, o que ocorre
com o gráfico nesse caso? É igual ao anterior? Veja o que descobre? Se quiser utilizar
o geogebra, selecione o link abs(x) na barra onde você digita as leis das funções.
Quadro 24: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A dúvida acima está relacionada à atividade 3.6.5. do tópico 3, que foi
classificada como uma atividade de exploração, situada no contexto
matemático. O estudo das transformações que ocorrem nos gráficos das
funções quando somamos ou multiplicamos uma constante à função ou à
variável independente é recomendado tanto nos PCNs quanto na Proposta
Curricular do Estado de São Paulo. Na Proposta Curricular do Estado de São
Paulo, sugere-se que esse tema seja abordado no 3º bimestre do 3º ano do
Ensino Médio (p. 58).
Segundo os PCNs, um dos objetivos centrais do estudo das funções é a
análise dos gráficos das funções. O estudo dessas transformações auxilia o
aluno a ampliar o conhecimento a respeito das funções e possibilita que ele
realize um esboço do gráfico de diversas funções a parir de uma função
elementar similar à função dada, evitando assim, todo o processo desgastante
para a construção de gráficos de uma função.
Destacamos novamente o incentivo do professor ao aluno para a
utilização dos softwares para a resolução da atividade proposta.
76
A seguir apresentamos a quarta dúvida classificada como dúvida
matemática, referente ao tópico 3.
Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Bom dia professor, O senhor disse que ia me explicar a atividade 3 no Chat lembra? Professor: Você precisa desenhar um intervalo, por exemplo, para x>2 pode ser feito uma semi-reta em cima do eixo das abscissas (eixo x), é necessário indicar que o número 2 não pertence ao intervalo, isso pode ser feito colorindo de vermelho o ponto 2 e de outra cor o restante da semi-reta que satisfaz a condição x > 2 (x maior que 2). Indique que o intervalo é aberto em 2.
Quadro 25: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro
A dúvida acima não nos permite efetuar uma análise mais profunda, em
virtude de não termos condições de verificar qual era exatamente a dúvida do
aluno. Por meio da resposta do professor, sabemos que a dúvida refere-se à
representação de intervalos na reta numérica.
A seguir apresentamos a quinta dúvida classificada como dúvida
matemática, referente ao tópico 3.
Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Professor o ponto que toca ou corta os eixos x e y são onde a parábola corta os pontos das retas x e y? Professor: Isso mesmo, são os pontos onde a parábola toca ou corta os eixos das abscissas (eixo x) e das ordenadas (eixo y). Aluno: Obrigado!!!
Quadro 26: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro.
77
A dúvida anterior está relacionada à atividade 3.4.10 que foi classificada
como exercício, estando situada no contexto matemático. A atividade consiste em
preencher uma tabela na qual, na primeira coluna são fornecidos diversos
gráficos de funções polinomiais do 2º grau, e as demais colunas devem ser
preenchidas com as informações referentes à expressão algébrica, coordenadas
do vértice, eixo de simetria, domínio e imagem da função e os pontos onde a
função toca ou corta os eixos x e y.
A dúvida do aluno está relacionada à compreensão e à determinação do
zero da função, ou seja, da raiz da função fornecida, bem como, no
estabelecimento da relação entre o valor do termo independente da expressão
algébrica que representa a função e o valor onde o gráfico intercepta o eixo das
ordenadas.
Essa atividade contempla de uma única vez, a aplicação de todos os
conceitos estudados nas atividades anteriores, durante o tópico 3, sendo um dos
principais objetivos da atividade, estabelecer as relações entre as transformações
ocorridas nos gráficos das funções e as alterações ocorridas na expressão
algébrica das funções quando somamos uma constante ao valor da variável
independente, ou quando somamos uma constante à expressão da função.
Podemos verificar que a princípio, de acordo com a pergunta efetuada, o
aluno não tem o conceito de raiz da função bem definido e que também não
domina a relação existente entre o valor do termo independente e o ponto onde o
gráfico intercepta o eixo das ordenadas.
Por meio da atividade proposta, podemos intuir que o aluno terá condições
de verificar essas relações existentes, bem como ampliar os demais conceitos
abordados nessa atividade e nas atividades anteriores, principalmente em relação
às transformações ocorridas nos gráficos.
A seguir apresentamos as dúvidas classificadas como dúvidas
matemáticas, referente ao tópico 4.
78
Tópico 4 – Funções Trigonométricas .
A análise das dúvidas referentes ao tópico 4 – Funções Trigonométricas,
será feita de maneira diferente da realizada para as dúvidas referentes ao tópico 3
– Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro. Essa alteração
deve-se ao fato de que, as 5 dúvidas postadas referentes ao tópico 4 estarem
relacionadas diretamente a realização da atividade 4.2, cujo tema principal é o
cálculo dos valores do seno e cosseno dos ângulos superiores a 90º por meio do
ciclo trigonométrico.
Sendo assim, apresentaremos primeiramente, de forma agrupada, as 5
dúvidas matemáticas referentes ao tópico 4 e, posteriormente, efetuaremos a
análise dessas dúvidas, relacionando-as com as atividades propostas, a fim de
verificar as diferentes metodologias e estratégias de ensino que essas atividades
propiciam de acordo com o referencial teórico utilizado neste estudo.
Assunto: Tarefas Tópico 4
Aluno:
Professor na pergunta:
Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com mais de 90°, sem utilizar
o triângulo retângulo?
Eu acho que não dá para calcular seno e cosseno sem o triângulo retângulo pois são
relações do triângulo retângulo, eu estou certo?
Professor:
Seria possível calcular o seno de 120o utilizando o seno de 60o. Verifique isso no ciclo
trigonométrico. E o cosseno?
Quadro 27: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Tri gonométricas
79
Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno: Professor, quando eu coloco 120° no quadrante 2 no ciclo trigonométrico, a hipotenusa continua positiva? me explique Professor: Neste caso a hipotenusa é o raio da circunferência, seu valor no ciclo trigonométrico é igual a 1 não importa o quadrante, pois o raio de uma determinada circunferência tem sempre o mesmo valor. Isso é diferente para o seno e o cosseno de um ângulo, pois esses estão relacionados com as coordenadas do ponto P, que por sua vez está relacionado com um determinado ângulo. Note que a mudança nas coordenadas do ponto P dependem do quadrante, enquanto que o raio da circunferência (ou distância de P ao ponto de origem do plano é constante, nesse caso 1). Uma circunferência pode ser definida como um lugar geométrico dos pontos eqüidistantes a um ponto C, chamado centro da circunferência. Por favor, se permanecer com dúvidas entre em contato novamente.
Quadro 28: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Tri gonométricas
Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno: Professor, na ativ. 4.2 como se precisa do valor de um dos catetos para eu poder definir o outro então o que eu faço? devo representar um dos catetos como sendo 1-x? Professor: Primeiro abra o arquivo seno e cosseno atividade 4.2, em seguida clique no ponto P e movimente-o, observe as mudanças de valores nas coordenadas do ponto P(genericamente é o par ordenado (x, y)), tente interpretá-los e verifique se há alguma relação desses valores com os pontos sobre os eixos x e y (plano cartesiano). Fixe o ponto P, e tente observar qual é a medida dos segmentos OP', PP', OP'' e PP''. Alguns de segmentos tem a mesma medida? Há relação com o par ordenado (x, y)? Veja o que descobre! Depois entre em contato novamente. Aluno: Professor, eu observei que o ponto x,y representam os catetos e a hipotenusa é sempre maior do que um deles. o cateto OP'= ao cateto P''P e o cateto OP''= ao cateto P'P. Professor: Isso mesmo. Além disso, a hipotenusa é igual a 1, a medida dos segmentos é dada pela sua coordenada menos 0, ou seja, sua coordenada no eixo x ou eixo y indica a medida do segmento, por exemplo, se o ponto P tem coordenadas P(0,87 , 0,5), então, a medida do segmento PP' é 0,5, e a medida de PP'' é 0,87, e respectivamente nessa ordem para OP'' e OP'. Aluno: Obrigado, agora vou tentar fazer a atividade.
Quadro 29: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Tri gonométricas
80
Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno:
Professor não consegui entender a ativ. 4.2 na tabela que pede para calcular cateto,hip, absc, ordenada, seno e cosseno. Li que a hipotenusa é sempre 1 e os catetos são a metade da hipotenusa não compreendo parece que vai ser sempre a mesma e na ord e absc é que não sei nada não achei nada não compreendi e no seno e cosseno entendi que no angulo de 30 graus tenho que calcular OP"/OP e PP'/OP só que não consigo entender como calculo no ciclo.
Professor: Olá, Por favor, olhe no fórum todas as informações que dei sobre o tópico 4 (atividade 4.2). Se permanecer com dúvidas entre em contato novamente.
Quadro 30: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Tri gonométricas
Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno: Professor eu já li e continuo sem entender esta matéria. Professor: Podemos marcar na próxima terça-feira às 17h para tirar dúvidas sobre este tópico?
Quadro 31: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Tri gonométricas
Como foi possível observar, as dúvidas acima estão relacionadas à
atividade 4.2, que por meio da utilização do ciclo trigonométrico com o auxílio do
software Cabri, tem como objetivo principal, estabelecer as relações de
congruência entre os valores do seno e cosseno dos ângulos superiores a 90º
com ângulos situados no 1º quadrante, ou seja, para os ângulos entre 0º e 90º. E
é exatamente neste ponto, em que se concentram as dificuldades apresentadas
pelos alunos.
A primeira dúvida relacionada foi citada no quadro 15, como um exemplo
que foi categorizado como dúvida matemática com encaminhamento para
exploração/investigação. Na análise que efetuamos inicialmente, observamos as
dificuldades apresentadas por um aluno no que se refere à aprendizagem da
81
trigonometria. Discutimos sobre a hipótese de que essa dúvida tenha se originado
em consequência do processo de ensino da trigonometria, no qual, geralmente, a
aprendizagem ocorre por meio de cálculos extenuantes, com emprego de
fórmulas extensas e sem conexão e aplicação com o contexto real. Podemos
inferir ainda, que no processo de aprendizagem da trigonometria tenha ocorrido
predominância nos estudos da trigonometria no triângulo retângulo em relação ao
estudo da trigonometria por meio do ciclo trigonométrico, não ocorrendo a
extensão e a transição entre esses dois temas.
Na segunda dúvida, também relacionada à atividade 4.2 e que foi citada no
quadro 16, reforça-se a discussão efetuada anteriormente sobre a dificuldade de
os alunos trabalharem com ângulos de medidas acima de 90º, com o diferencial
de que nesse exemplo, o questionamento está relacionado ao valor da hipotenusa
e não aos valores do seno e cosseno especificamente. A discussão sobre a
dificuldade apresentada pelo aluno e o encaminhamento dado pelo professor foi
realizada anteriormente, quando citamos essa atividade no quadro 16.
As demais dúvidas relacionadas apresentam questionamentos que, ainda
que primeira vista, sejam diferentes dos anteriores, podemos constatar, com um
olhar mais criterioso, que estão relacionados ao mesmo conhecimento que
geraram as duas primeiras dúvidas, ou seja, determinar os valores do seno e
cosseno de ângulos maiores de 90º.
As dificuldades em relação aos cálculos dos valores de seno e cosseno de
ângulos maiores que 90º estão respaldadas nas recomendações contidas no
PCN+, conforme descrito abaixo:
Apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é apresentada desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos.
O que deve ser assegurado são as aplicações da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas.
82
Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato desse conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em diferentes épocas, como é o caso do período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que permite aos alunos perceberem o conhecimento matemático como forma de resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo (PCN+, 2002, p. 122).
Como podemos observar, a resolução de situações problemas é a
metodologia de ensino recomendada para a aprendizagem da trigonometria,
aliada a situações que estejam situadas no contexto real, facilitando assim,
melhor compreensão dos conceitos e de suas aplicações.
Durante a análise das atividades propostas no tópico 4 – Funções
Trigonométricas, verificamos um total de 8 atividades, sendo que 5 destas
atividades foram classificadas como exercícios, 2 atividades foram classificadas
como problemas e apenas 1 atividade foi classificada como exploração, sendo
que todas as 8 atividades estão situadas no contexto matemático, como podemos
observar no Quadro 14: Resumo da classificação das atividades.
Assim, observamos a predominância de atividades do tipo exercícios,
correspondendo a 62,5% do total de atividades propostas neste tópico,
destacando ainda que 100% dessas atividades estão situadas no contexto
matemático.
Encaminhamentos dados pelo professor
A análise referente aos encaminhamentos dados pelo professor aos
questionamentos feitos pelos alunos está relacionada às dúvidas matemáticas.
Entre as 21 dúvidas matemáticas que verificamos na ferramenta fórum de
discussões constatamos que: 10 respostas foram efetuadas por meio de
encaminhamento direto e 9 respostas foram efetuadas por meio de
encaminhamento para o processo investigativo, sendo que não foi possível
categorizar 02 respostas devido à sua ocorrência via Chat, a cujo registro do
conteúdo não tivemos acesso. Verificamos, dessa forma, um equilíbrio entre os
tipos de encaminhamentos dados pelo professor.
83
As 10 respostas que categorizamos como encaminhamentos diretos estão
relacionadas em sua maioria (7 atividades) às atividades que foram classificadas
como exercícios e estão situadas no contexto real. Verificamos 2 atividades
classificadas como problemas e 1 atividade classificada como exploração que
tiveram respostas com encaminhamento direto.
As 09 respostas categorizadas como encaminhamentos para investigação
estão relacionadas a 04 atividades de exploração, 02 atividades de resolução de
problemas e 03 atividades de exercícios.
Analisando os dados acima, verificamos que os encaminhamentos dados
pelo professor aos questionamentos efetuados pelos alunos estão, em sua
maioria, de acordo com os tipos de atividades propostas.
84
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Educação a Distância percorre seus primeiros passos no Brasil e
acreditamos no seu potencial para ser uma das possibilidades de formação de
professores e dessa forma, sanar o déficit de professores na educação básica
que nosso país apresenta.
Dessa maneira, a EaD apresenta um terreno fértil para o desenvolvimento
de futuras pesquisas no que tange a formação de professores e o processo de
construção do conhecimento. Futuras pesquisas poderão responder a questões
não abordadas neste momento. Acreditamos que estudos mais aprofundados,
focando nas interações ocorridas entre professor-aluno e aluno-professor, sejam
um ponto importante a ser investigado, pois o diálogo estabelecido entre o
professor e o aluno é fundamental no processo de aprendizagem, como podemos
observar na fala de Porto (2010):
... o diálogo é uma comunicação com qualidades específicas, segundo Skovsmose & Alro (2006), que tem grande destaque no processo de aprendizagem. Ou seja, o diálogo como entendido na educação e na educação matemática em particular, não é uma simples conversa entre professor e alunos. Esta comunicação entre os participantes do processo de ensino aprendizagem tem um objetivo principal que deve pautar todo este processo: a produção coletiva do conhecimento. [...] sejam eles a construção de um conhecimento matemático por parte da turma ou a resolução de um problema (PORTO, 2010, p. 116).
Referente à Análise dos Dados
O nosso objetivo de pesquisa era verificar se as atividades propostas na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em
Matemática na modalidade EaD propiciam a utilização de diferentes estratégias
85
de ensino, tais como: investigação, resolução de problemas e exercícios, assim
como verificar quais seriam os questionamentos, “dúvidas” propostas pelos
alunos e qual o encaminhamento dado a esses questionamentos pelo professor
da disciplina.
Para atender ao objetivo proposto, estabelecemos algumas questões de
pesquisa que nortearam este estudo, entre elas: Quais são os diferentes tipos de
atividades propostos na disciplina de Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral,
em um curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância? Quais
são os questionamentos efetuados pelos alunos em relação à disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral? Esses questionamentos estão relacionados a
dúvidas de conceitos matemáticos ou a dúvidas tecnológicas? Qual a postura do
professor da disciplina em relação à resposta aos questionamentos dos alunos?
As respostas são dadas por meio de um encaminhamento direto ou as respostas
são direcionadas para os processos de investigação e exploração?
Com o intuito de responder as questões de pesquisa e para fundamentar
as análises das atividades propostas e das interações virtuais, questionamentos e
dúvidas postadas pelos alunos, utilizamos como referencial teórico as ideias de
Ponte (2003) que categoriza as atividades desenvolvidas para a aprendizagem
em 4 tipos de tarefas, sendo elas: Exercícios, Problemas, Exploração e
Investigação. Essas atividades podem estar situadas no contexto real ou no
contexto matemático.
Utilizamos, ainda, como aporte teórico, o princípio do isomorfismo, que
afirma que o professor tende a repetir nos ano iniciais de sua prática docente o
modelo pedagógico vivenciado em sua formação (Bireaud, 1995).
De acordo com o nosso entendimento, a partir das ideias de Ponte (2003),
verificamos que o encaminhamento dado pelo professor da disciplina às dúvidas
postadas pelos alunos, foi um ponto importante a ser observado, pois de acordo
com o modelo de resposta utilizado pelo professor, pode ocorrer alterações na
proposta metodológica utilizada na concepção das atividades. Se uma atividade
foi desenvolvida com a finalidade de propiciar o desenvolvimento de uma
exploração ou investigação e o professor responde as dúvidas do aluno de forma
direta, dando a solução imediata da questão, o processo investigativo é
86
interrompido, e compromete o objetivo proposto inicialmente pela atividade em
questão. Por outro lado, se o encaminhando dado pelo professor aos
questionamentos e dúvidas postadas pelos alunos, tiver a característica de
instigar momentos de reflexão, exploração e investigação, o processo de
aprendizagem poderá se dar de maneira diferenciada, favorecendo a apreensão
de conceitos, a percepção de padrões e regularidades nos entes matemáticos
estudados.
No desenvolvimento da disciplina “Funções e Limites”, foram propostas um
total de 80 atividades e verificamos que: 43, ou seja, 53,75% das atividades,
foram classificadas como atividades do tipo exercícios; 26 atividades foram
classificadas como problemas, o que corresponde a 32,5%; e 11 atividades,
correspondente a 13,75% do total, foram classificadas como atividades de
exploração. Isso nos mostra a predominância de tarefas do tipo exercícios na
elaboração do curso. Em nossa análise, não verificamos atividades do tipo
investigação.
Em relação à dimensão Contexto, observamos o total de 58 (72,5%)
atividades situadas no contexto matemático e 22 (27,5%) atividades situadas no
contexto real.
Podemos observar, dessa forma, ao analisarmos a dimensão contexto, a
predominância de atividades situadas no contexto matemático em relação às
atividades situadas no contexto real, conforme definido por Ponte (2003).
Analisando as interações virtuais que ocorreram por meio da ferramenta
fórum de discussão, no qual foram postados os questionamentos e dúvidas dos
alunos, observamos um total de 60 interações. Desse total, 39 interações foram
classificadas como dúvidas tecnológicas (27 sobre dúvidas de utilização de
softwares e 12 dúvidas sobre a utilização do AVA), e 21 interações classificadas
como dúvidas matemáticas, que foram subcategorizadas conforme o
encaminhamento da resposta dada pelo professor. Nesse item verificamos 10
respostas com encaminhamento direto e 9 respostas com encaminhamento para
exploração e investigação. Duas dessas respostas não nos permitiram realizar
uma classificação, pois foram realizadas via Chat, conforme descrito no interior
das interações ocorridas.
87
Entre as dúvidas matemáticas, observamos que estiveram concentradas
nos temas abordados no Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e
Maior Inteiro e no Tópico 4 – Funções Trigonométricas, temas que compõem um
dos principais eixos temáticos da matemática estudados durante o Ensino Médio,
e que são de extrema importância para o estudo da disciplina Cálculo Diferencial
e Integral. Constatamos ainda que as dúvidas referentes ao Tópico 4 – Funções
Trigonométricas estavam relacionadas à determinação dos valores do seno,
cosseno de ângulos com medidas superiores a 90º.
Em relação aos tipos de encaminhamentos dados pelo professor aos
questionamentos efetuados pelos alunos, verificamos por meio da análise dos
dados, que os encaminhamentos dados pelo professor estão, em sua maioria, de
acordo com o tipo de atividades propostas, ou seja, onde ocorreu o
encaminhamento direto, as atividades do tipo exercícios prevaleceram e onde
ocorreu o encaminhamento para os processos investigativos, ocorreu
predominância de atividades do tipo problemas e exploração.
Os exemplos a seguir ilustram o que constatamos durante essa pesquisa.
Assunto: Tópico 7 Aluno: Professor, Não entendi direito o que está pedindo em exercícios como o exercício c. Professor: Olá Sua dúvida está relacionada ao cálculo do limite? Em relação ao item c, se for sobre os limites, você deve calcular qual é o limite da função quando x tende a 2 pela direita, ou seja, x tende a dois assumindo valores menores que 2, como 1,9; 1,99; 1,999, nesse caso você deve verificar qual sentença utilizará (lembre-se, trata-se de uma única função com duas sentenças) para calcular este limite. Depois, deve calcular qual é o limite da função quando x tende a 2 pela esquerda, ou seja, x tende a dois assumindo valores maiores que 2, como 2,1; 2,01; 2,001, nesse caso você deve verificar qual sentença utilizará para calcular este limite. Se os limites laterais da função forem iguais a L (um número real) quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda, então o limite da função quando x tende a 2 será L. Caso contrário não há limite para está função quando x tende a 2, pois os limites laterais serão distintos. Seria bom consultar um livro de Cálculo Diferencial e Integral I. O site www.somatematica.com.br tem alguns exemplos de limites na parte de Ensino Superior. Se permanecer com dúvidas, por favor, entre em contato novamente. Aluno: Obrigado, Professor!!!
Quadro 32 – Resposta com encaminhamento direto para atividade classificada como exercício
88
Esta interação retrata uma discussão entre o professor e o aluno referente
a atividade 7.2.2 que foi classificada como exercício. Analisando o
encaminhamento dado pelo professor ao questionamento efetuado pelo aluno,
podemos perceber que o mesmo foi condizente com o tipo de atividade proposta,
pois o mesmo esclareceu a dúvida de forma direta e objetiva.
Analisando a interação a seguir, observamos uma postura diferenciada do
professor em relação ao questionamento efetuado pelo aluno, que discute sobre a
atividade 4.2 descrita no quadro 13 e foi classificada como atividade de
exploração.
Assunto: Tópico 4 Aluno: Professor, na ativ. 4.2 como se precisa do valor de um dos catetos para eu poder definir o outro então o que eu faço? devo representar um dos catetos como sendo 1-x? Professor: Primeiro abra o arquivo seno e cosseno atividade 4.2, em seguida clique no ponto P e movimente-o, observe as mudanças de valores nas coordenadas do ponto P(genericamente é o par ordenado (x, y)), tente interpretá-los e verifique se há alguma relação desses valores com os pontos sobre os eixos x e y (plano cartesiano). Fixe o ponto P, e tente observar qual é a medida dos segmentos OP', PP', OP'' e PP''. Alguns segmentos têm a mesma medida? Há relação com o par ordenado (x, y)? Veja o que descobre! Depois entre em contato novamente. Aluno: Professor, eu observei que o ponto x,y representam os catetos e a hipotenusa é sempre maior do que um deles. o cateto OP'= ao cateto P''P e o cateto OP''= ao cateto P'P. Professor: Isso mesmo. Além disso, a hipotenusa é igual a 1, a medida dos segmentos é dada pela sua coordenada menos 0, ou seja, sua coordenada no eixo x ou eixo y indica a medida do segmento, por exemplo, se o ponto P tem coordenadas P(0,87 , 0,5), então, a medida do segmento PP' é 0,5, e a medida de PP'' é 0,87, e respectivamente nessa ordem para OP'' e OP'. Aluno: Obrigado, agora vou tentar fazer a atividade.
Quadro 33 – Resposta com encaminhamento para invest igação para atividade classificada como exploração
89
Observamos por meio do encaminhamento dado a dúvida do quadro 33,
que o professor proporcionou ao aluno momentos de investigação em relação ao
tema abordado e, analisando a reposta enviada pelo aluno, podemos perceber
que o mesmo conseguiu chegar às conclusões esperadas, identificando as
regularidades existentes. Posteriormente o professor complementou as
informações ao aluno. A postura do professor em relação ao tipo
encaminhamento da resposta foi ao encontro da proposta da atividade elaborada,
que foi classificada como uma atividade de exploração.
Diante das observações que realizamos durante o desenvolvimento deste
estudo, temos como resposta para a nossa questão de pesquisa, que as
atividades propostas na disciplina Funções e Limites na modalidade EaD
propiciam que o professor vivencie diferentes tipos de estratégias de ensino
aprendizagem como exercícios, resolução de problemas e atividades de
exploração, sendo que observamos uma predominância das atividades de
exercícios em relação aos outros tipos de atividades. Em relação aos
questionamentos efetuados pelos alunos, observamos que a maioria estavam
relacionados a dúvidas tecnológicas. Já as dúvidas matemáticas foram
esclarecidas pelo professor por meio de encaminhamentos que, em sua maioria,
atenderam aos propósitos que as atividades foram elaboradas.
Contribuições da Pesquisa para a Prática do Pesquis ador
Realizar este estudo proporcionou alterações em nossa concepção de
ensino, tanto para o presencial quanto na modalidade a distância.
O referencial teórico utilizado, que discorre sobre os diferentes tipos de
atividade que podemos utilizar no processo de aprendizagem, e os benefícios que
cada tipo de atividade pode propiciar aos alunos, nos fez refletir sobre a nossa
prática docente. Percebemos o quanto é importante proporcionar aos alunos
momentos de reflexão, de investigação, em que eles assumem a
responsabilidade pela construção do conhecimento a ser construído, deixando de
serem alunos passivos, meros espectadores e assumindo um papel ativo,
fazendo parte do processo de aprendizagem. Dessa forma, os alunos passam “a
90
fazer matemática” descobrem o processo de evolução do conhecimento, da
ciência, colaborando, assim, para uma formação focada no desenvolvimento das
habilidades e competências preconizadas nas Diretrizes Curriculares e nos PCNs.
Essas reflexões também nos fizeram repensar a nossa prática no ensino a
distância, que devido às suas características e particularidades, requer alunos
que desenvolvam disciplina e autonomia para a aprendizagem. Sendo assim,
percebemos que um dos percursos para desenvolver essa autonomia está
relacionado à proposição de atividades direcionadas ao processo investigativo, de
exploração e resolução de problemas.
Analisar as atividades propostas no curso EaD nos levaram, de certa
forma, a refletir sobre as diferenças entre as atividades num curso EaD e num
curso presencial. Destacamos a importância do procedimento do professor em
relação às interações virtuais ocorridas entre professor-aluno e aluno-professor,
direcionando esses momentos para o processo investigativo. Observamos que
em relação à variável tempo, o mesmo torna-se um aliado nesse processo, pois a
EaD favorece o desenvolvimento de um ambiente reflexivo pelos alunos, que
pode ser realizado por meio de atividades de investigação. Nessa modalidade, a
pressão do tempo é menor, o aluno dispõe de maior flexibilidade para realizar as
atividades propostas e o professor tende a não sofrer a ansiedade de responder
aos questionamentos do aluno instantaneamente, além de não ter necessidade
de iniciar e acabar todo o processo numa mesma aula ou num período pré-
determinado, como ocorre no ensino presencial. Na EaD, o tempo para
desenvolver as discussões é mais prolongado, o professor não está presente no
momento da dúvida e o aluno tem mais tempo para desenvolver a investigação,
refletir e pesquisar. Salientamos ainda o fato de que todas as reflexões, dúvidas,
hipóteses e validações realizadas durante o processo investigativo estarão
registradas na ferramenta fórum de discussões, estando, assim, acessível a todos
alunos, facilitando a troca de conhecimentos e incentivando o desenvolvimento da
aprendizagem colaborativa.
Este estudo também apresentou contribuições à nossa concepção
enquanto pesquisador, proporcionando o desenvolvimento de saberes referentes
ao processo de realização de uma pesquisa científica, da coleta de dados e o
91
tratamento adequado às informações coletadas. Durante a realização deste
estudo, tivemos contato com outros referenciais teóricos que, por motivos
diversos, não os incluímos nesta pesquisa, mas que contribuíram
significativamente à nossa formação enquanto pesquisador.
Esperamos que este estudo traga contribuições para a EaD, para a
formação de professores e para que outros estudos venham contemplar questões
não abordadas neste momento como por exemplo: Como é a prática docente dos
professores formados por meio da EaD? O fato de esses professores terem
vivenciado o emprego de softwares matemáticos durante a sua formação,
influencia(rá) na sua prática docente?
92
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96
ANEXO
Ementa da disciplina Funções e Limites
Funções e Limites
Semestre: 1º. Período: 1º.
Dimensão do componente curricular: CCNCC HR 67
Núcleo responsável: NA
Ementa
Um estudo dos conceitos de funções e limites.
Objetivo(s) geral(is)
Construir conceitos e ferramentas para o Cálculo Diferencial e Integral,
desenvolvendo competências para a construção de modelos matemáticos que
possibilitem a resolução de problemas.
Objetivo(s) específico(s)
Identificar o objeto “função” em suas variadas representações e utilizar o
conceito de limite.
Temas Centrais:
Variável e função. Gráfico de função. Função inversa. Função composta.
Continuidade. Funções de múltiplas variáveis. Limite de uma seqüência. Os
números e, eπ ,. Limite por aproximação. Definição geral de limite.
Referência Básica
Courant, R., Robbins, H. O que é matemática? Rio de Janeiro: Editora Ciência
Moderna Ltda. 2000.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. São Paulo: L.T.C. 2001.
Ávila, G. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1998.