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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino
Área de Concentração: MATEMÁTICA.
O ENSINO DE ARITMÉTICA NA BUSCA DE SIGNIFICADOS
Atividades para o 3º Ciclo do Ensino Fundamental
José Ricardo de Medeiros Leite
Belo Horizonte
2010
José Ricardo de Medeiros Leite
O ENSINO DE ARITMÉTICA NA BUSCA DE SIGNIFICADOS
Atividades para o 3º Ciclo do Ensino Fundamental
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado em Ensino da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2010
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Leite, José Ricardo de Medeiros L566e O ensino de aritmética na busca de significados: atividades para o 3º ciclo do
ensino fundamental. / José Ricardo de Medeiros Leite. Belo Horizonte, 2010. 104.: il.
Orientador: João Bosco Laudares Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Aritmética – Estudo e Ensino. 2. Aritmética. 3. Aritmética - Fundamentos. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 511
Dedico este trabalho ao meu pai e à
memória de minha mãe pelo
exemplo de amor e dignidade; e,
também, às minhas irmãs pelo
apoio e incentivo.
AGRADECIMENTOS
===========================================================
Agradeço a Deus pelo dom da vida e força para superar todos os desafios
Ao meu orientador, Prof. Dr. João Bosco Laudares, pelo
compromisso, responsabilidade e apoio dispensado durante
a elaboração deste trabalho de pesquisa.
A todos meus amigos que apoiaram esta jornada
incentivando-me sempre.
Aos amigos e companheiros de jornada do Mestrado
pelas horas divididas no decorrer de todo o curso.
Aos meus queridos professores do Mestrado pelas
importantes contribuições durante as aulas e pelo carinho dispensado, em especial a
Maria Clara, Dimas, Eliane e Agnela.
A Ângela, da Secretaria, pelo carinho
e atenção durante todo o curso
À professora Elzira e aos amigos do Colégio de Aplicação e da USS
que me auxiliaram no estudo e elaboração deste trabalho.
RESUMO
Esta dissertação objetiva apresentar os resultados de uma pesquisa sobre o ensino
de aritmética na promoção do pensamento aritmético e do sentido numérico e
contempla também a coexistência da aritmética escolar e a aritmética da rua, com
embasamento teórico em diversos autores, mas principalmente na busca oferecida
por Lins e Gimenez em sua obra “Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o
Século XXI”, que desencadeou a tematização deste estudo. A Experiência
Matemática foi escolhida como mecanismo de trabalho de investigação associada à
resolução de problemas, de forma a instigar o trabalho dos educandos no que se
refere aos pensamentos e raciocínios associados à Aritmética. A pesquisa de campo
se desenvolveu no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, uma vez que, nessa fase
de escolarização o conhecimento aritmético é trabalhado em diversos conteúdos.
As atividades propostas foram produzidas após a verificação de prescrições quanto
ao ensino de Aritmética e de descrições das questões trabalhadas em livros
didáticos, de forma a contemplarem raciocínios e pensamentos que pudessem
estabelecer a essência de uma Aritmética pautada na produção de significados,
diferente do tradicional ensino. Assim, foram elaboradas atividades onde se
destacam: a valorização do raciocínio intuitivo, o pensamento relativo aplicado às
estimativas, o raciocínio estruturado aditivo e o pensamento proporcional. O
tratamento dado às respostas apresentadas pelos educandos, na resolução das
atividades, pautou-se em uma análise, em que a produção dos mesmos foi
enquadrada em categorizações que sintetizam os significados atribuídos à
Aritmética. O resultado obtido respalda um trabalho de Aritmética com significação.
Palavras-chave: pensamento aritmético, sentido numé rico, Aritmética da
escola e Aritmética da rua, significados da Aritmét ica e experiência
matemática.
ABSTRACT
This dissertation presents the results of a survey on arithmetic teaching) in
order to promote arithmetic thought and number sense, and it also includes the
coexistence of school and street arithmetic, with theoretical basis of several authors,
mainly in the research offered by Lins Gimenez in his work "Perspectives on
Arithmetic and Algebra for the XXI Century", which triggered the theme of this study.
Experience Mathematics was chosen as a mechanism of research related to
problem solving in order to instigate the work of students regarding thoughts and
reasoning associated with arithmetic. Field research was developed in the third cycle
of elementary school, since at that stage of schooling arithmetic knowledge is worked
in different kinds of content.
The activities proposed were produced after the verification of requirements
related to arithmetic teaching and descriptions of the issues tackled in textbooks, so
that they address reasoning and thoughts that could establish the essence of
arithmetic, based on the production of meaning, different from the traditional teaching
methods.
Thus, some activities have been developed, including: the enhancement of
intuitive reasoning, relative thinking applied to estimates the additive structured
reasoning and proportional thinking. The treatment of the answers submitted to the
students when they solved the activities, was based on an analysis in which their
production was framed in categories that summarize the meanings assigned to
arithmetic. The result obtained endorses the work of arithmetic with significance.
Keywords: arithmetic thinking, number sense, School Arithmetic and Street
Arithmetic, meanings of arithmetic and mathematical experience.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Resposta de um aluno item VIII da Atividade 01 – 1ª parte 67
Figura 2 Resposta de um aluno item I da Atividade 01 – 2ª parte 68
Figura 3 Resposta de um aluno item VI da Atividade 02 73
Figura 4 Resposta de um aluno item III da Atividade 03 77
Figura 5 Resposta de um aluno item I da Atividade 04 81
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Depuração da Atividade 01 – 1ª parte 66
Tabela 2 Depuração da Atividade 01 – 2ª parte 68
Tabela 3 Depuração da Atividade 02 71
Tabela 4 Depuração da Atividade 03 76
Tabela 5 Depuração da Atividade 04 80
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 11
1 O ENSINO DE ARITMÉTICA E A BUSCA DE SIGNIFICADOS 16
1.1 A Revisão Bibliográfica 16
1.2 Educação Matemática: um Campo de Investigação 16
1.3 Processo Ensino-aprendizagem e os PCNs 18
1.4 O Ensino de Aritmética 20
1.5 A Experiência Matemática: a Resolução de Proble mas 23
1.6 Significados Atribuídos à Aritmética 25
2 PCNs, PNLD E LIVROS DIDÁTICOS 32
2.1 O Ensino de Aritmética e as Escolhas 32
2.2 Descrição das Coleções e dos Procedimentos Adot ados 36
2.3 Depuração das Coleções 37
2.3.1 Coleção Número 1 37
2.3.2 Coleção Número 2 39
2.3.3 Coleção Número 3 42
2.3.4 Análise das Coleções e os Significados Atribu ídos
à Aritmética 43
3 METODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA
COM ATIVIDADES 45
3.1 Introdução à Metodologia 45
3.2 Atividades 47
3.2.1 Atividade 01 – O Sentido dos Números e as I ntuições 47
3.2.2 Atividade 02 – Estimar Ações tem Significado s 52
3.2.3 Atividade 03 – Números e Operações:
Pensando e Raciocinando 55
3.2.4 Atividade 04 – Propor Ação 59
4 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES 63
4.1 Valorização do Raciocínio Intuitivo 64
4.2 Pensamento Relativo Aplicado às Estimativas 70
4.3 Raciocínio Estruturado Aditivo 74
4.4 Pensamento Proporcional 78
CONSIDERAÇÕES FINAIS 83
REFERÊNCIAS 88
APÊNDICE 90
11
INTRODUÇÃO
O Autor no Exercício da Docência e na sua Prática R eflexiva
A minha experiência em sala de aula foi, várias vezes, reformulada, ao longo
de dezenove anos de efetivo exercício, em virtude de reflexões acerca da
importância do conhecimento e de sua aplicação no cotidiano.
No início do exercício do magistério, sempre me coloquei na posição de
lecionar os conteúdos matemáticos da maneira como os assimilei ao longo de minha
escolarização e minha graduação. Assim, o meu cotidiano no passado, seria idêntico
ao momento vivido pelos educandos sobre minha orientação, já que achava ser
fundamental a eles, apenas o que, a meu ver, mostrava-se essencial. Essa visão
restrita me valeu grandes desentendimentos com o corpo discente e, também, com
áreas relacionadas ao desenvolvimento pedagógico das unidades escolares em que
exercia minha docência. No tocante a essa visão restrita, curiosamente, minha
postura já me rendia certo respeito junto às instituições escolares, pois era
percebida como comprometimento com a Educação.
Numa etapa seguinte de minha vida laborativa, vislumbrei que o educando
tinha uma forma própria de pensar, não se detendo ao que eu preconizava. Assim, a
idéia de uma Matemática escolar, sob minha ótica conteudista, sem considerar o
universo cotidiano do meu educando, começou a me inquietar. Por isso, com uma
postura bem diferente da inicial, paulatinamente fui reconhecido como um novo
indivíduo, preocupado com as aspirações de meus educandos.
A observação, a análise e a reflexão de minha postura de educador fizeram
com que a ambigüidade de atitudes, anteriormente adotada, fosse banida do meu
modo de agir, buscando assim, um equilíbrio das aspirações do educando e do
educador. A busca constante desse equilíbrio, necessário a qualquer educador, é
um ideal a ser alcançado em todos os aspectos de minha docência.
O ingresso ao Curso de Mestrado colaborou para que a proximidade do
equilíbrio se estabelecesse, pois a associação de uma prática reflexiva com a teoria
que consubstancia o exercício da docência e o processo de construção do
conhecimento floresceram.
12
O Ensino da Aritmética como Tema
Numa reflexão sobre a prática muito comum no ensino de Matemática
observa-se que, via de regra, o professor apresenta o conteúdo oralmente, utilizando
como coadjuvante, o livro didático para a apresentação do conhecimento. Essa
prática, tradicionalmente adotada no ambiente escolar, pode ser coerente com o
processo de ensino-aprendizagem, mas se mostra deficiente na produção de
significados pelos educandos. Tal prática se observa no ensino da Aritmética, objeto
de estudo desta pesquisa.
Reportar a Aritmética apenas como estudo de números e operações, o que se
processa de maneira natural, muitas vezes, no ambiente escolar, seria uma
limitação.
Para Lins e Gimenez (2006), a relação existente entre a Aritmética e a
Álgebra tem que ser vista de forma diferente da leitura tradicional da Álgebra como
Aritmética generalizada. A Aritmética também não pode ser vista como uma etapa
anterior à Álgebra pois, dessa forma esta seria apenas uma generalização da
primeira.
Buscar significado para o ensino de Aritmética, com outra metodologia situada
do saber, é reportar aos inúmeros caminhos que o conhecimento se apresenta,
estimulando, assim o pensamento aritmético.
Um ensino de Aritmética, que produz significados, promove o
desenvolvimento do sentido numérico e a coexistência da Aritmética escolar e da
rua, tematizando, com coerência, essa significação.
Sob essa ótica, apura-se a necessidade de um sentido numérico, capaz de
desenvolver habilidades associadas à percepção e intuição. O sentido numérico se
volta, então, a uma habilidade de compreensão do que são números e suas
representações no trato cotidiano ou escolar de um educando, na medida em que
exprimir essa compreensão depende de percepções.
No tocante à Aritmética escolar e à Aritmética da rua, quando reconhecida a
existência dessas duas vertentes, suas características levam a modos legítimos de
produção de significados. Reportando-se a Lins e Gimenez (2006), a Aritmética
escolar traz situações que envolvem números e procedimentos que em muitos
aspectos, deixam de se enquadrar ao real de nossos educandos e enquanto a
13
Aritmética da rua leva em conta a necessidade de se obter solução para uma
situação vivida, sem a preocupação formal de qual conteúdo matemático utilizar ou
algoritmo mais adequado. Esta pesquisa pauta-se nessa caracterização. Elas
podem ser dicotômicas quando analisadas de maneira restrita, mas de convivência
harmoniosa, quando se considerar que nossos educandos vivem em dois mundos
distintos, de maneira simplista, escola e rua.
No ensino de Aritmética é, também, relevante uma reflexão sobre o livro
didático, uma vez que geralmente ele é utilizado como um guia em sala de aula,
embora seja importante ressaltar que, muitas vezes, em livros didáticos, se observa
a Aritmética da rua, aquela praticada fora do ambiente escolar, de forma ilustrativa,
em sua apresentação no cotidiano da sala de aula. Nesse aspecto, o livro didático
apresenta diversas situações semelhantes ao cotidiano de um aluno, mas cuja
resolução se pauta na essência da Aritmética escolar, uma idéia concernente à
função do livro didático, que pode produzir significados com a intervenção
necessária do educador.
Porém, visões fragmentadas do ensino de Aritmética podem desencadear
problemas de assimilação de seus significados. Neste prisma, um dos problemas
que se verifica é quando a abordagem dada à Aritmética muitas vezes desloca o
foco do ensino a um propósito, principalmente curricular formal, como se direcionam
normalmente os sistemas de ensino, sem transparecer, de fato, que as idéias
associadas aos processos que as envolvem são muito maiores do que as
vislumbradas num contexto de currículo.
Desenvolver atividades de investigação pautadas em experiências
matemáticas, tendo como uma das vertentes a resolução de problemas, pode ser
um diferencial no ensino da Aritmética. Assim, aborda-se esse ensino num aspecto
de produção de significados, diferente do que se preconiza no cotidiano da sala de
aula, com uma metodologia de cálculos e procedimentos.
Síntese do Desenvolvimento da Pesquisa
A pesquisa se desenvolveu com conteúdos a serem trabalhados no cotidiano
escolar, de forma a possibilitar um estudo da Aritmética de maneira significativa.
14
As atividades investigativas realizadas exploraram o pensamento aritmético,
contemplando raciocínios relacionados à quantificação e ordenação, estimativas e
aproximações, cálculo mental e proporcionalidade, e assim identificando e
reconhecendo, através de prática investigativa e experiências matemáticas, que o
ensino da Aritmética pode ser realizado numa abordagem que vise à produção de
significados.
Ressalva-se que o material produzido no desenvolvimento da pesquisa
compõe um roteiro de trabalho a fim de ser utilizado como um referencial para
promover o ensino da Aritmética visando à produção de significados.
Objetivos da Pesquisa
O objetivo geral desta pesquisa pauta-se em estudar alguns conteúdos da
Aritmética do terceiro ciclo do Ensino Fundamental no sentido numérico e analisar a
coexistência da Aritmética escolar e a Aritmética da rua, contribuindo para uma
aprendizagem significativa. O ensino da Aritmética numa proposta pautada em
significados é possível de ser realizado e se transforma numa indagação, a ser
depurada de forma minuciosa. Essa assertiva mostra uma indagação comum que
seria o tema desta pesquisa.
Numa especificação de objetivos, tem-se que:
- Identificar, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), como são
trabalhados os conceitos que permeiam a Aritmética;
- verificar o tratamento dado à Aritmética em livros didáticos aprovados pelo
Programa Nacional do Livro Didático 2008(PNLD 2008);
- apurar procedimentos que promovam o desenvolvimento do sentido
numérico;
- trabalhar ideias que promovam a coexistência de significados matemáticos e
não-matemáticos, relacionados à Aritmética escolar e à Aritmética da rua;
- elaborar atividades que explorem conceitos aritméticos que envolvem
números, operações, proporcionalidade, estimativas e aproximações.
15
A Estruturação da Dissertação
No capítulo 1 encontram-se as concepções teóricas referentes ao ensino de
Aritmética e seus significados. Inicialmente, registram-se considerações sobre as
produções acadêmicas relacionadas ao tema de pesquisa. Em seguida, apresenta-
se todo o referencial teórico que embasa a pesquisa, sua metodologia, bem como as
atividades aplicadas.
No capítulo 2 descrevem-se considerações para o ensino de Aritmética e a
utilização do livro didático, desmembrando-se quatro tópicos de abordagem. O
primeiro tópico relaciona-se ao prescrito pelas normatizações do Ministério da
Educação e seus órgãos, no tocante ao ensino de Aritmética e programas que
estabelecem parâmetros para a utilização do livro didático. O segundo tópico abarca
a descrição das coleções no que se refere ao ensino de Aritmética e aos
procedimentos resumidos para depuração de cada uma delas. O terceiro tópico
descreve, em minúcias, as abordagens dadas ao ensino de Aritmética. E,
finalmente, no quarto tópico, contempla-se a análise de cada uma das coleções.
O capítulo 3 pontua-se por descrever, em dois tópicos, a metodologia e as
atividades utilizadas na pesquisa. No primeiro tópico, ocorre a caracterização da
pesquisa por suas premissas e tematização, bem como a vinculação do referencial
teórico à metodologia e elaboração geral das atividades. No tópico seguinte,
descrevem-se, na íntegra, as atividades e tecem-se considerações importantes
sobre sua aplicabilidade e objetividade.
No capítulo 4 relata-se a aplicação das atividades, estabelecendo-se a
categorização de respostas em consonância com o referencial teórico adotado
durante a elaboração de cada item das referidas atividades. Junto a este relato, faz-
se a análise descritiva das atividades durante a aplicação e socialização das
respostas apresentadas pelos educandos participantes da pesquisa.
Nas considerações finais retomam-se as questões trabalhadas, com seus
referenciais, e apresenta-se a descrição dos produtos resultantes.
16
CAPÍTULO 1 O ENSINO DE ARITMÉTICA E A BUSCA DE SIG NIFICADOS
1.1 A Revisão Bibliográfica
A revisão bibliográfica, citada neste tópico, refere-se à verificação de
produções acadêmicas concernentes ao ensino de Matemática, especificamente à
Aritmética. Nesse material, observam-se características de pesquisas, contemplando
os seguintes tópicos:
- ensino de Aritmética;
- aprendizagem significativa;
- postura pedagógica face à aprendizagem;
- resolução de problemas;
- investigação;
- livro didático.
Na coletânea do material verificado, relacionado no apêndice A, destacam-se
as dissertações de Aguinaldo José Rama (2005), e Aparecida de Lourdes Bonanno
(2007). No tocante à abrangência e interesse desta pesquisa, destacam-se pontos
das duas dissertações citadas. A dissertação de Aguinaldo José Rama fez uma
análise descritiva de livros didáticos depurando procedimentos e características
pedagógicas utilizadas. A dissertação de Aparecida de Lourdes Bonanno promove
uma investigação no campo conceitual multiplicativo, referenciando a pesquisa em
bases significativas para o ensino da Aritmética.
1.2 Educação Matemática: um Campo de Investigação
A revisão bibliográfica inerente à fundamentação teórica, que reúne os
trabalhos de cunho acadêmico, bem como a literatura pertinente ao tema, tem sua
utilização no caráter formativo da pesquisa, ao que se descreve neste tópico e nos
seguintes.
17
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), os objetivos da investigação em
Educação Matemática são múltiplos, variando de acordo com a questão proposta,
mas delimitando, também, visões fundamentais. Nesta ótica, pode-se definir a
existência de dois objetivos básicos, um de natureza pragmática, que tem em vista a
melhoria da qualidade da aprendizagem matemática e outro de cunho científico, que
preceitua o desenvolvimento da Educação Matemática enquanto campo de
investigação.
A pesquisa ora proposta é qualitativa, buscando verificar uma possibilidade de
execução do ensino de Aritmética de maneira a produzir significados diferentes dos
observados no cotidiano escolar, através de uma prática investigativa, no contexto
da Educação Matemática como campo profissional e científico.
Nesse aspecto, tem-se que o Mestrado em Ensino da PUC Minas, área de
concentração Matemática, traz, como peculiaridades em sua proposta, a relação
método/conteúdo e a articulação teoria/prática.
Corroborando com essa visão, Fiorentini e Lorenzato (2006) definem que a
pesquisa em Educação Matemática, como campo profissional e científico, emerge
através de duas perguntas básicas, relacionadas aos seus objetivos, podendo surgir
da prática ou de sua reflexão, ou ser gerada a partir de estudos precedentes.
Assim, promover uma pesquisa em que se valide a produção de significados
no ensino de Aritmética se coaduna com o objetivo geral deste estudo e com as
perguntas básicas citadas.
No tocante às características de uma pesquisa qualitativa, quanto ao
estabelecimento de hipóteses, apura-se a seguinte posição: “a impossibilidade de
uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar”
(GARNICA APUD BORBA, 2004:01).
E ainda quanto à postura do pesquisador, tem-se: “a não neutralidade do
pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros
vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar” (GARNICA APUD
BORBA, 2004:01).
No desenvolvimento dessa pesquisa, o envolvimento de quem a procede, nos
termos de dedicação se ampara em:
Ser professor-pesquisador, portanto, configura-se como uma opção profissional. Opção essa que exige do investigador envolvimento, tempo para se dedicar a esse tipo de empreendimento, paixão, investimento
18
intelectual e emocional e, além disso, muita disciplina e cuidado na coleta e tratamento de informações.(FIORENTINI E LORENZATO,2006:77)
Denota-se que, nessas características, o cunho desta pesquisa se descreve
de forma clara, pois o almejado, não hipotético, pode desdobrar-se numa
comprovação ou refutação, fazendo-se notar que o papel do investigador, munido de
uma reflexão sobre o vivenciado até o presente, qualifica-o como agente de ação.
1.3 Processo Ensino-aprendizagem e os PCNs
Almejando a melhoria da qualidade da aprendizagem matemática através de
uma busca da alternativa de ensino da Aritmética, importa verificar como se
posiciona a concepção de ensino e de aprendizagem em nosso país. Dessa forma,
os PCNs do Ensino Fundamental, em seu livro “Introdução” descrevem:
Os fracassos escolares decorrentes da aprendizagem, das pesquisas que buscam apontar como o sujeito conhece, das teorias que provocam reflexão sobre os aspectos que interferem no ensinar e aprender, indicam que é necessário dar novo significado à unidade entre a aprendizagem e ensino, uma vez que, em última instância, sem aprendizagem não há ensino(PCNs-Introdução,1998: 71)”
Nesse sentido, este estudo tem como objetivo estreitar a relação
ensino/aprendizagem segundo uma nova perspectiva para o ensino da Aritmética,
promovendo-se experiências matemáticas, de forma a se obter uma aprendizagem
significativa para a aritmética.
Apreende-se que este estudo pontua-se em mais de uma apreciação de
condução, assim, o processo ensino/aprendizagem é visto de maneira ampla, com a
análise das experiências matemáticas desenvolvidas no decorrer do trabalho,
sempre com o intuito de promover uma produção de significados sobre a Aritmética.
Numa visão epistemológica depreende-se, que este estudo se direciona a um
olhar mais significativo sobre a Aritmética, cabendo, portanto, estudar o processo
ensino/aprendizagem. Para Giusta (1998), nesse aspecto, na epistemologia genética
o conhecimento é fruto de construções sucessivas com elaborações constantes de
estruturas novas, sendo a questão fundamental: como se conhece. Com essa
descrição teórica, compreende-se a possibilidade de execução do presente estudo,
19
pois nada do que já foi adquirido e assimilado pelo educando será desprezado mas,
sim, reelaborado numa nova estrutura.
Identificar práticas tradicionais no âmbito do processo ensino-aprendizagem
de Matemática Aritmética torna-se assim, requisito necessário ao desenvolvimento
deste estudo.
Dentre essas práticas, tem-se a apresentação oral de um conteúdo com
fixação através de exercícios.
Tradicionalmente, a prática mais freqüente no ensino de Matemática tem sido aquela em que o professor apresenta o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupõe que o aluno aprenda pela reprodução. Assim, considera-se que uma reprodução correta é evidência de que ocorreu a aprendizagem.(PCNs- Matemática,1998:37)
Para Pavanello (2004), caso a prática se proceda numa via diferente da
apresentação oral, tem-se que muitos educadores se pautam no mito de que o uso
de material concreto é essencial para o ensino de matemática inicial, abarcando
assim, que a compreensão sobre Matemática e principalmente, a Aritmética esteja
condicionada ao uso desse recurso. Apesar da mudança de procedimento, destaca-
se que o uso do material concreto não é garantia de obtenção de êxito tendo em
vista que
o uso do material concreto tem por objetivo levar a criança a compreender a formalização matemática. No entanto, os professores não estabelecem, e os alunos não percebem, uma relação entre as ações realizadas no material concreto e a formalização matemática, visto que nem sempre as ações correspondem às transformações envolvidas na aplicação do algoritmo das operações.(SCHLIEMANN; SANTOS; COSTA APUD PAVANELLO, 2004:08)
Nessa análise, nota-se a limitação da prática em sala de aula, que pode estar
pautada em uma programação de conteúdo a ser cumprida. Prática limitada, no
sentido de ser necessária a otimização do tempo para apresentação/construção de
determinado conceito, sem promover uma experiência matemática que apuraria em
que medida os conteúdos contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno,
no tocante ao pensamento lógico-matemático. Para Lins e Gimenez (2006), isto é
uma produção de significados, num campo contemplado nos currículos do ensino
obrigatório em todos os países.
20
1.4 O Ensino de Aritmética
Para Lins e Gimenez (2006), nas prescrições sobre o ensino de Aritmética,
tem-se a Aritmética vista como um instrumento de organização da atividade
humana.
A aritmética se faz presente no cotidiano das pessoas, muito além do que se
assimila no ambiente escolar, ou seja, existe uma aplicação necessária à
organização do ser em seu meio. Assim, a Aritmética, quando utilizada em diversos
contextos excede a visão restrita de uma arte de regras e números.
O reconhecimento do número, por exemplo, se faz em diversos momentos e
processos de significações, como a aprendizagem da numeração, na qual: “para
ocorrer a aprendizagem da numeração é necessário que o aluno estabeleça a
relação entre o número e a quantidade que ele representa.”(PAVANELLO,2004: 51)
Esta relação transpõe o universo escolar e, assim, a Aritmética relaciona-se
com o mundo. Desta forma, para situar a Aritmética escolar, deve-se buscar sua
origem e qual o papel que o mundo real ocupa em sua produção.
Portanto, uma visão fragmentada do ensino da Aritmética deixa de ser
concebível. A abordagem da Aritmética tem que permear o universo escolar e o
mundo real das pessoas, criando-se assim uma visão de Aritmética escolar e
Aritmética da rua.
Num contexto de Matemática Aritmética tem-se: “isso quer dizer é que nossos
alunos estão vivendo em dois mundos distintos, cada um com sua organização e
seus modos legítimos de produzir significado.” (LINS; GIMENEZ, 2006: 17)
Os mesmos autores reforçam ainda que
a alternativa que vamos defender é que o papel da escola é participar da análise e da tematização dos significados da matemática da rua – no caso particular da Educação Matemática -, e do desenvolvimento de novos significados, possivelmente matemáticos, que irão coexistir com significados não-matemáticos, em vez de tentar substituí-los. ( LINS; GIMENEZ,2006: 18)
Numa perspectiva holística, o significado produzido por cada um desses
mundos referencia-se em saberes e nas ações de seus agentes. Pode-se observar
também, concepções de significação de conceitos.
21
Na realização de operações matemáticas há a necessidade de compreender os conceitos matemáticos que lhes dão significados, ou seja, as diferentes operações em que uma mesma operação serve como estratégia de solução são informações que precisam se relacionar entre si.(BONANNO, 2006:35)
Essa concepção que denota a relação entre Matemática e mundo real pode
ser vista na questão curricular, como uma vertente na produção do conhecimento,
descrita nas propostas para o Ensino Fundamental. Assim, corroborando com esta
visão,observa-se que:
A chamada matematização crescente do mundo reforça cada vez mais o lugar da Matemática em tais propostas. As ciências naturais, dentre elas a Física, a Astrofísica e a Química, estão inteiramente matematizadas. As ciências biológicas, incluída a Medicina, também. ... A sociologia e a Psicologia também a utilizam.(PIRES,2000:154. )
Na busca de significação para o ensino-aprendizagem de Aritmética destaca-
se o sentido numérico, o qual está associado a uma variedade de experiências com
números, tipificadas na rua e na escola, sendo que:
“desenvolvemos um certo sentido numérico, um conjunto de percepções e intuições
– se quiserem chamar assim – a respeito do que os números são ou como são
(como funcionam, que propriedades tem)”. (LINS; GIMENEZ,2006:30)
A intuição, no aspecto de sentido numérico, contribui para o papel da escola
na inserção do educando, aqui visto como indivíduo, no mundo do trabalho, trazendo
a Matemática em essência. Essa visão pode ser coerente quando do
estabelecimento de premissas que “visem à valorização, pelo aluno, do caráter
instrumental da Matemática em outros campos do conhecimento e, portanto, no
próprio mundo do trabalho” (PIRES, 2000:155) na elaboração curricular.
Num caráter de aplicação, o sentido numérico tem dois caminhos distintos
para se evidenciar. O primeiro se relaciona à capacidade de estabelecimento de
pontos de referências num contexto para definição da estratégia a ser utilizada na
resolução de um problema. Nesse aspecto, tem-se que:
O sentido numérico, já citado, utilizar-se-á de contextos particulares nos quais decidiremos a estratégia que nos pareça mais adequada entre as que temos a nossa disposição. Por isso, como já comentamos, a importância de atribuir significado aos pontos de referência em contextos determinados(preço de objetos, objetos que possuam medidas predeterminadas, situações que são executadas num tempo estabelecido, etc.).( LINS;GIMENEZ,2006;70)
22
O segundo se relaciona à experimentação de raciocínios, estabelecendo-se
qual o mais condizente à resolução de um problema surgido no cotidiano que trará à
tona a visualização do sentido numérico. Nesse sentido, tem-se: ”Num outro caso,
serão os raciocínios que evidenciarão o sentido numérico em jogo, e que levarão a
estratégias mais ou menos eficientes.”(LINS; GIMENEZ,2006:70)
Os mesmos autores descrevem a necessidade de estabelecimento de
raciocínios numéricos inerentes à Aritmética escolar e a Aritmética da rua.
Numa análise acerca do raciocínio numérico, Lins e Gimenez (2006)
descrevem erros e dificuldades em situações aritméticas que envolvem os números
naturais, as frações e os decimais, principalmente no que se refere aos erros de
quantificação e ordenação. Promover a experimentação de situações que abordam
tais erros e dificuldades é objeto de pesquisa em educação matemática com o
propósito de discutir, com os envolvidos, a compreensão de conceitos e a eficácia
operativa, de forma que a debilidade em formalizações operativas pode estar
relacionada aos erros de quantificação e ordenação descritos no campo numérico.
Estabelecer uma metodologia capaz de apurar a significação almejada ao
ensino da Aritmética é o passo seguinte às características depuradas acerca do
ensino-aprendizagem de Aritmética, antes até de se especificar a abordagem dada
aos significados. Assim, em um primeiro momento, define-se o mecanismo de
trabalho para que se obtenha a descrição correta sobre a produção de significados
para o ensino de Aritmética, de maneira coerente com o universo escolar e o mundo
real, e de modo a promover uma reflexão sobre os caminhos a serem trilhados neste
intuito.
Abarcar-se a essa produção de significados, a tônica de que a Aritmética
permeia-se o trabalho algébrico, explorado no aspecto cognitivo a partir de
características de abstração condizentes, também, com o processo de
generalização.
23
1.5 A Experiência Matemática: a Resolução de Proble mas
A experiência matemática é escolhida como um mecanismo de trabalho de
investigação desenvolvido por proporcionar situações que envolvam idéias sobre
processos matemáticos como, por exemplo, a abstração, muito inerente ao ensino
da Aritmética. Para Davis e Hersh (1995), a abstração pode ser tida como
idealização ou como extração, reservando a cada um dos sentidos destacados uma
conceituação do processo. A abstração, como idealização, pode ser entendida
quando se parte da observação de uma situação do cotidiano para a criação de um
modelo, usado para se analisar ou estudar um ente matemático. A abstração como
extração, pode ser entendida quando se considera, num estudo, uma semelhança
entre situações descritas de formas distintas, de modo a auferir uma nova idéia, ou
até mesmo a atribuição de um outro conceito aos elementos inicialmente analisados.
Além disso, promover a experiência matemática através de resolução de
problemas é uma questão a ser pontuada neste estudo com a Aritmética e sem se
deter, apenas, ao processo ensino-aprendizagem. Corroborando com esta afirmação
tem-se: “O ensino-aprendizagem de “aritmética” deixa de ser o importante. O central
é promover experiências potencialmente ricas, que talvez não sejam somente
aritméticas. (LINS;GIMENEZ,2006 57)
Nos PCNs de Matemática encontra-se a prescrição de uso da resolução de
problemas como válida à construção do conhecimento, quando se descreve que,
numa perspectiva indicada por educadores matemáticos, ela possibilita aos alunos
mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações
que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus
conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como de
ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e
desenvolver sua autoconfiança.
Um dos princípios norteadores da resolução de problemas, ainda, segundo os
PCNs de Matemática, é que ela não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos,
procedimentos e atitudes matemáticas (aspectos mais amplos do que o conteúdo
em si).
24
A resolução de problemas instiga a prática da analogia, tão comum ao
pensamento do educando, de maneira que o mesmo tem assim, a possibilidade de
experimentar e validar seu pensamento, obtendo dessa forma, conclusões em
diversos prismas. Esta amplitude ocasionada pelo atributo dado à resolução de
problemas é demonstrada, visto que:
A analogia permeia todo o nosso pensamento, a nossa fala cotidiana e as nossas conclusões triviais, assim como os modos de expressão artística e as mais elevadas conclusões científicas....Todos os tipos de analogia podem desempenhar uma função na descoberta da solução e, por isso, não devemos desprezar nenhum deles.(POLYA,1995:29)
A relação entre mundo real e conceitos matemáticos desencadeia a
necessidade de estabelecimento de uma ponte capaz de unir, em essência, cada
um desses contextos. Essa relação se estabelece de forma histórica: “A maioria dos
conceitos matemáticos, historicamente, são elaborados a partir de demandas
surgidas em situações problemáticas das ciências, da tecnologia e da realidade do
mundo vivido.” (Laudares e Miranda, 2007:106)
Outro ponto de observação acerca da resolução de problemas se situa sobre
o estabelecimento do conhecimento teórico e o desenvolvimento do processo de
resolução, o que se alinha com os objetivos específicos desta pesquisa, podendo a
mesma ser utilizada posteriormente como descritora dessa ponderação.
Corroborando com este intuito, é fundamental entender que:
Existe, portanto, uma necessidade premente de pesquisas em que se procura estabelecer uma ponte entre o conhecimento teórico sobre os processos de resolução de problemas e sua aplicação em projetos educacionais. (VASCONCELOS APUD SCHLIEMANN;CARRAHER, 2003:54)
A descoberta proposta pela resolução de problemas desencadeia um outro
aspecto sobre a prática educativa no que se refere ao ensino de conceitos e
princípios, os quais segundo Zabala (2007) requerem uma compreensão de
significado num aspecto mais pessoal de cada educando envolvido no processo de
ensino/aprendizagem.
Pretende-se reforçar que, na aplicação de instrumentos que visam colher
subsídios ao presente estudo, delimitam-se algumas abordagens para que as
mesmas possam conferir, aos seus resultados, uma propriedade no tocante ao
almejado no estudo.
25
Finalizando as concepções metodológicas, faz-se necessário frisar a
utilização da essência que principia cada um dos mecanismos descritos neste
estudo, seja na concepção de investigação matemática, experiência matemática ou
resolução de problemas, sem se perder o foco, que é a Aritmética com significado.
1.6 Significados Atribuídos à Aritmética
Norteados os aspectos referentes ao teórico-metodológico cumpre-se a
necessidade de delimitações concernentes aos significados atribuídos à Aritmética.
O conhecimento aritmético mantém vínculos com as características implícitas
do pensamento aritmético. Este, por sua vez, depreende-se, em diversas análises,
dos raciocínios observáveis e pensamentos desenvolvidos. Desta forma, o trabalho
desenvolvido com atividades se pautará numa depuração de raciocínios e
pensamentos, nos quais não se definirá a diferença entre os conceitos envolvidos,
de modo que se perceba a interação entre os dois no processo cognitivo dos
educandos.
Para Lins e Gimenez (2006), a construção do conhecimento aritmético
constitui um processo amplo que possui muitas facetas e se relaciona com tipos de
raciocínio muito diversos.
Dentre os raciocínios e pensamentos escolhidos como objetos deste estudo
encontram-se:
- a valorização do raciocínio intuitivo;
- o pensamento relativo aplicado às estimativas;
- o raciocínio estruturado aditivo;
- o pensamento proporcional.
Com esses tipos de pensamentos, espera-se estabelecer a essência de uma
Aritmética com produção de significados.
26
a) Valorização do raciocínio intuitivo
Valorizar o raciocínio intuitivo pode ser visto sob diversos prismas, mas o
centro de análise das atividades aplicadas com esse propósito se relaciona a
desmistificar o processo normal adotado pelos educadores que apuram a intuição
dos educandos mas, em seguida, priorizam o processo de ensino-aprendizagem
baseado em aspectos formais,
como gerenciar na classe a passagem da descoberta de certas regras e o uso de certas estratégicas (o intuitivo) a um explícito o mais corretamente expresso e matematizado (o formal). Chegando aí, a tentação é evidente: o professor muda o núcleo usado, instituindo o formal como núcleo em si mesmo e diz aos estudantes “o que tem de saber”. Produz-se uma ruptura que às vezes é assimilada por alguns, porém, não faz caminhar a todos. (LINS; GIMENEZ, 2006:57)
Para ratificar esse ponto, é fundamental reportar-se aos aspectos do atual
currículo de Matemática que favorecem a integração de investigações na prática
pedagógica, nas quais, para Albano Silva et al. (1999), tem-se a indicação freqüente
de que os conceitos devem ser abordados, inicialmente, de forma intuitiva, sem a
necessidade de formalização. Assim, mesmo que não transpareça, no primeiro
momento de contato de um educando um conceito matemático, a abordagem
investigativa, favorece-lhe tal aspecto.
O intuitivo é, então, um dos níveis do pensamento aritmético a ser valorizado,
tendo em vista que o educando está numa fase de reconhecimento e produção de
imagens. A noção de número, por exemplo, transpõe idéias de representação,
ampliando-se para a significação de quantificações e outras relações.
Reforçando este pensamento:
A pesquisa recente e os parâmetros curriculares de diversos países refletem sobre a necessidade de desenvolver intuições sobre o aspecto quantitativo das situações, entendendo os números em seus diversos significados e relações, possuindo referentes para as quantidades e as operações. ( LINS; GIMENEZ,2006:59)
Assim,
além da linguagem, outros fatores entram em jogo quando na resolução de problemas. Uma das maiores dificuldades que a criança encontra com a
27
matemática não decorre de seu caráter abstrato, mas da falta de referentes para as quantidades presentes no enunciado do problema ou expressão matemática. (PAVANELLO, 2004:09).
Na investigação desse raciocínio, promove-se a produção de afirmações e
justificações independente da necessidade de formalizações matemáticas que levem
do procedimental ao conceitual ou vice-versa, trazendo o uso de referentes de forma
diferente da usual em sala (normalmente utilizada para estabelecer um conceito),
justificada pelo fato de que
a idéia de se trabalhar em torno da produção de afirmações e justificações oferece uma visão alternativa a ambas abordagens, e sugere o caminho da investigação aritmética como adequado, e não apenas o da resolução de problemas. (LINS; GIMENEZ,2006:56)
b) O pensamento relativo aplicado às estimativas
O pensamento relativo aplicado às estimativas traz à tona a condição de que
o educando tem a capacidade de reconhecimento da ideia de número sem se
preocupar com a situação. Porém, o que deveria ser fato, torna-se ambíguo na
resolução de um problema, pois no decorrer de uma resolução, os educandos, de
maneira geral, se embasam na situação apresentada. As pesquisas demonstram a
inferência do problema citado: “diversas pesquisas demonstram que, em geral, os
estudantes tendem a atuar com base em manipulações sobre a situação
apresentada e não com uma concepção preestabelecida fora dela”(.LINS E
GIMENEZ,2006:51)
Por isso, a situação apresentada no contexto escolar pode ser trabalhada de
modo que o educando amplie seu horizonte de referências, sem se ater, apenas, ao
cálculo efetuado pela proposição de algum problema. Desta forma, a utilização de
um algoritmo pode não trazer referência para o educando em sua utilização restrita a
um cálculo apresentado, mas quando se promove o significado de tal procedimento
da Aritmética escolar, busca-se a interpretação de outras relações possíveis àquele
cálculo ou em outras situações.
No entanto, quando se ensina uma técnica às crianças, é comum (e muito importante) que elas queiram saber os porquês e, para poder explicá-los com clareza, precisamos entender bem o processo. Além disso, se
28
entendemos o processo do algoritmo podemos fazer estimativas acerca dos resultados esperado. (CENTURION, 2006:166).
O trabalho de estratégicas que promovem o conhecimento numérico do
educando, de forma que o mesmo possa estabelecê-las, em qualquer situação com
que se depare, pode ser benéfica e dentre elas, destaca-se a relatividade deduzida
a partir de considerações aritméticas.
Pois,
diversos autores tem ainda mantido que os sujeitos humanos, desde o nascimento, reconhecem informações mediante códigos relativos e não mediante códigos absolutos, ou seja, sabem dizer “este tem mais do que este outro” ainda que quão grande é. (LINS; GIMENEZ, 2006:51)
E ainda,
entre as estratégias de tipo absoluto e relativo, consideramos: a ordinalidade, o uso de escalas diferentes, representações diferentes dos números, sentido relativo em contextos reais e uso de elementos referentes. Além das estratégias de comparação ou relatividade associadas a situações concretas que possa se conhecer, isso pode ser deduzido de três tipos básicos de considerações: aritméticas, geométricas e topológicas. (LINS; GIMENEZ, 2006:68)
O desafio do presente estudo está em ofertar reflexões acerca da base
aritmética, seja com referentes ou com uso de estratégias próprias do educando, a
fim de se ter a estimativa como uma habilidade desenvolvida. As experiências
propostas efetuam a contribuição necessária, sem presunção de que se verifique a
plenitude de tal habilidade. Nesse sentido, temos a habilidade construída de forma
gradativa: “A capacidade da estimativa é adquirida lentamente pela criança.”
(CENTURION, 2006:194)
Propiciar, ao educando, momentos de reflexão, de questionamentos e de
apresentação de justificações ou afirmações no ambiente escolar pode produzir
efeitos positivos no sentido de construção dessa habilidade.
É muito importante que os professores criem uma atmosfera na qual as crianças possam dizer o que pensam com convicção em todos os momentos. As “mordaças” são ruins para o desenvolvimento moral da criança, bem como para o seu desenvolvimento intelectual. Se as crianças não questionam as regras que não tem sentido para elas, elas não podem construí-las por si próprias e podem apenas seguir a vontade dos outros. (KAMII; DEVRIES apud CENTURION, 2006:263)
29
Estimar pode ser retratado em,
a estimativa tem sido definida como a forma de produzir um juízo sobre o tamanho, a quantidade ou o número suficientemente exato para algum propósito dado, o que coincide com o significado vulgar da palavra estimar como juízo de valor sobre algo, e trata-se de uma habilidade com destrezas associadas. (LINS; GIMENEZ, 2006:71)
c) O raciocínio estruturado aditivo
O raciocínio estruturado aditivo é uma parte da ideia de arquitetura dos
números, concernente a um sentido estrutural operativo que promove significação
diferente da usual praticada em sala de aula.
Um sentido estrutural operativo dos números é muito mais do que saber calcular muitos resultados, ou pretender saber o porquê deles. A arquitetura implica o desenvolvimento da aplicação de projetos ou de estruturas conceituais e procedimentais complexas que somente podem surgir do trabalho de reflexão e teorização com base em produções dos próprios estudantes. (LINS; GIMENEZ, 2006:73)
Uma técnica que promove este tipo de raciocínio é o cálculo mental , que
possui utilização restrita em sala de aula quando comparado ao uso de algoritmos
escolares. Esse tipo de técnica tem um aspecto de construção individual no tocante
aos estudantes, produzindo significados, e de utilização contida por parte dos
profissionais da educação.
Em geral, no ensino escolar, não se prioriza o cálculo mental. Algumas pessoas praticam o cálculo mental porque desde pequenas foram estimuladas para isto, ou porque tem necessidade de calcular sem lápis e papel, usando um algoritmo próprio. (CENTURION, 2006:151)
O cálculo mental desenvolvido a partir da sedimentação de cada indivíduo,
neste caso o educando, põe-se como uma das técnicas usuais no trabalho de
significação da Aritmética.
A significação proporcionada pelo uso de cálculo mental pode ser tida como
um canal de interação entre o raciocínio estruturado aditivo e o raciocínio intuitivo.
Assim: “Lembramos, também a importância de se estimular o cálculo mental, através
do qual utilizamos, intuitivamente, uma série de propriedades” (CENTURION,
2006:160).
30
Para Bonnano (2006), os procedimentos de cálculo mental se apoiam nas
propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações,
e colocam em ações, diferentes tipos de escrita numérica, assim como diferentes
relações entre os números.
A técnica do cálculo mental pode ser um dos itens preponderantes neste tipo
de abordagem, mas a construção desse tipo de raciocínio estruturado denota outros
caminhos e prismas de verificação, o que se infere pela conceituação dada, pois
chama-se assim ao conjunto de estratégias e desenvolvimentos que um sujeito faz observando as propriedades de tipo aditivo do fenômeno que trata. Não é exclusivo de situações de adição. Relaciona-se sobretudo com explicações sobre as relações em que se percebe um todo referente às partes que o compõem. Pode existir raciocínio aditivo em situações de multiplicação, de partição e em situações funcionais. (LINS; GIMENEZ, 2006: 51)
Percebe-se, então, uma amplitude desse raciocínio de forma que habilidades
sejam reconhecidas e que a reflexão sobre o conhecimento e suas implicações seja
parte da realidade do educando. Assim, almeja-se a percepção de significados
extraídos do âmago de nossos educandos, no tocante à estruturação dessa
seqüência de pensamentos, traduzida num raciocínio.
d) O pensamento proporcional
O pensamento proporcional geralmente remete a uma idéia de comparação
envolvendo partes e todo, em inúmeros aspectos, florescendo em uma estrutura
multiplicativa independente do conteúdo matemático relacionado mas, em geral
focado em operações de multiplicação e divisão.
Chamamos pensamento proporcional àquele que corresponde a uma estrutura de comparação entre partes ou entre todos, ou entre as partes e um todo, ou como um esquema instrumental que resolve algumas situações especiais de comparação em forma multiplicativa e não aditiva” (LINS; GIMENEZ, 2006: 52)
No âmbito escolar, depara-se com o isolamento desse tipo de pensamento,
numa única série ou ano de escolaridade, expresso por razões e proporções. Esta
visão é limitada, pois “em vez de constituir um tópico isolado, como levam a pensar
31
os livros de matemática para a sexta série, razões e proporções estão presentes na
maior parte dos conteúdos matemáticos.” ( SCHLIEMANN;CARRAHER, 2003: 76).
Na realidade, o pensamento proporcional constroi-se em diversas etapas da
escolaridade, por se relacionar aos inúmeros contextos vivenciados pelos
educandos e aos vários conteúdos assimilados ao longo do ensino fundamental.
Por isso, a criatividade do educador é um diferencial para a construção desse
tipo de pensamento, possibilitando uma percepção aritmética fundamental ao
conhecimento.
Assim, criar, em sala de aula, situações variadas envolvendo a multiplicação e a divisão concorre não apenas para o desenvolvimento do raciocínio multiplicativo, em particular, como também para a aquisição de um “sentido aritmético”, de maneira mais ampla. Este sentido aritmético auxilia a criança a prever e avaliar as transformações lógico-matemáticas que a execução de uma determinada operação aritmética implica em um dado contexto. (PAVANELLO, 2004: 116)
Nesta concepção de pensamento destaca-se o uso da aproximação, uma
ação propícia ao estabelecimento de comparações e condizente, portanto, com a
interpretação de amostras. Num sentido amplo, a aproximação condiz com a ideia
de estimar e, na característica de técnicas associadas, encontra-se o
arredondamento. É relevante ampliar a concepção de número, de forma que se
perceba a essência de um valor atribuído a uma situação, mesmo que sem a
preceituação de seu valor exato, como se descreve na importância de trabalhar o
arredondamento: “Importância das comparações entre grandezas. Daí a
necessidade de compreender a ordem de magnitude (número de algarismos) de um
resultado mais do que seu valor exato”. (LINS; GIMENEZ, 2006: 73)
32
CAPÍTULO 2 PCNs, PNLD E LIVROS DIDÁTICOS
2.1 O Ensino de Aritmética e as Escolhas
O ensino da Aritmética encontra-se descrito nos PCNs Matemática, traçando
assim, as orientações necessárias ao desenvolvimento do processo ensino-
aprendizagem da idéia de números e operações, base desse ramo da Matemática.
A descrição feita pelos PCNs Matemática aborda a necessidade preeminente
de significado para o estudo dos números.
O aluno perceberá a existência de diversos tipos de números (números naturais, negativos, racionais e irracionais) bem como de seus diferentes significados, à medida que deparar com situações-problema envolvendo operações ou medidas de grandezas, como também ao estudar algumas das questões que compõem a história do desenvolvimento do conhecimento matemático. (PCNs - Matemática , 1998:50)
E também das operações:
Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo do cálculo, contemplando diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito. (PCNs - Matemática, 1998:50)
O Governo Federal, na esteira de fomentador da Educação no país, executa
atualmente o Programa Nacional do Livro Didático 2008 (PNLD 2008) no qual se
preceitua o material de apoio a ser utilizado na rede pública de ensino, no tocante
aos anos finais do Ensino Fundamental. Neste programa, surge a descrição, através
de um guia, de coleções de livros, avaliados pelo governo, que enfatizam a função
maior do livro didático. Apesar das peculiaridades desse guia, por se pautar na rede
pública, o material exposto pelo programa vem oferecer princípios norteadores do
PCNs, podendo assim, ser estendida a utilização das coleções divulgadas à rede
privada.
Segundo o Guia de Livros Didáticos do PNLD 2008 - Matemática , o livro
didático tem, como uma das funções primordiais, a de se colocar como instrumento
de interação educando - educador.
33
O livro didático contribui para o processo de ensino-aprendizagem como mais um interlocutor que passa a dialogar com o professor e com o aluno. Nesse diálogo, tal texto é portador de uma perspectiva sobre o saber a ser estudado (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:11)
A avaliação do livro didático pelo PNLD 2008, leva em consideração a tônica
do processo ensino-aprendizagem com relação à produção de significados na
abordagem de conteúdos, estabelecendo a efetivação desse aspecto como
elemento de avaliação de uma coleção, no tocante às características teórico-
metodológicas.
2.1 – A coleção contribui para a compreensão dos conceitos e procedimentos matemáticos, favorecendo a atribuição de significados aos conteúdos do campo: 2.1.1. Números e operações; ... 2.2 – A coleção articula os diferentes significados de um mesmo conceito (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:22)
Ressalta-se que indicações para se atingir objetivos no processo ensino-
aprendizagem são sempre feitas, mas a efetivação do que se almeja depende dos
agentes envolvidos no processo de construção do conhecimento, desde a análise da
legislação até a base, aqui educando e educador. A escolha de um livro didático é
tarefa árdua, tanto para os pareceristas do PNLD como para os educadores que se
encontram imbuídos da tarefa de promover o conhecimento. Como agentes
executores, cada qual com sua atribuição, eles se sujeitam a questionamentos
decorrentes da escolha de uma coleção de livros. Durante a revisão bibliográfica,
incluída a leitura de produções acadêmicas, depara-se com um questionamento
sobre contextualização, mas lançado sobre pareceristas do PNLD na edição do Guia
de Livros Didáticos 2005, sendo que: “O GNLD enfatiza certas interpretações
errôneas a esse respeito, que podem levar a formulação de problemas superficiais,
na tentativa de vincular cada conceito com situações do dia-a-dia dos estudantes”.
(RAMA, 2006:19)
Apesar do questionamento acima se referir à idéia de contextualização,
depreende-se que todos os envolvidos com a educação são alvo de observações e
críticas, a partir do momento em que buscam a efetivação de qualquer proposta
ligada à construção do conhecimento, o que pode não ser diferente quando o
assunto é significado para a Aritmética.
34
Complementando ainda a análise das propostas metodológicas das coleções
aprovadas pelo PNLD 2008, já no prisma do conhecimento matemático, tem-se:
Cabe ainda observar que, em diversas coleções, a metodologia adotada varia de um campo da Matemática para outro. Algumas vezes, por exemplo, há riqueza de aplicações e preocupação em evidenciar diferentes significados de um conceito no campo de números e operações e uma postura mais diretiva no trabalho com a geometria. (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:35)
Para se destacar essa evidência e especificando-se a Aritmética, a
metodologia de ensino-aprendizagem constante do Guia de Livros Didáticos do
PNLD 2008 contempla habilidades de cálculo como um quesito de avaliação:
“3.5 – A coleção valoriza o desenvolvimento de habilidades relativas ao:
3.5.1 – cálculo mental;
3.5.2 – cálculo por estimativa.” (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 -
Matemática, 2008:22)
No prisma desta pesquisa, relaciona-se sua tematização com as verificações
consubstanciadas no PNLD 2008, observando-se que a produção de significados
vem descrita em critérios de avaliações do livro didático, e que também, destaca-se
a importância da Aritmética no processo ensino-aprendizagem do Ensino
Fundamental. Essa importância encontra-se descrita na tabela do Guia de Livros
Didáticos do PNLD 2008 acerca da seleção e distribuição de conteúdos, no qual se
observa uma predominância da Aritmética no terceiro ciclo do Ensino Fundamental.
Nessa outra vertente, se observa a ênfase dada à Aritmética, pela expressão
de números e operações, em coleções de livros didáticos e essa característica
citada se faz relevante na observação dos livros didáticos selecionados para o
terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental.
O papel do livro didático concernente às diretrizes para Educação adotadas
pelo Governo Federal, torna-se fato quando da análise do PNLD 2008. O programa
abarca um outro prisma de análise das coleções de livros selecionados, quando
estabelece, com criticidade, a abordagem dos campos de conteúdos das coleções
aprovadas, nas quais se destacam verificações relacionadas ao tema desta
pesquisa, que comprovam a necessidade de se buscar significados para o Ensino
de Aritmética, pois se reconhece alguma deficiência em abordagens, como: “Em
particular, dá-se pouco espaço para a discussão dos significados das operações
35
fundamentais e para a compreensão dos algoritmos e de suas propriedades.” (Guia
de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:41)
E também:
As operações de potenciação e de radiciação são introduzidas com foco na aplicação de regras. No caso destas operações, se, por um lado, são excessivamente valorizadas em um número ainda significativo de obras, por outro, já se observa em muitas obras maior preocupação com os significados e aplicações. (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:42)
E ainda:
O cálculo mental é abordado na maioria das coleções avaliadas. Em muitas delas, é feito um bom trabalho pedagógico para a construção dessa competência indispensável na formação matemática do aluno. Contudo, em outras, as estratégias de cálculo mental são apresentadas, mas o aluno é pouco incentivado a utilizá-las. As estimativas de cálculos, ainda que menos presentes nas obras avaliadas, merecem também a atenção da maioria delas. (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008::42 e 43)- grifos meus
Com foco no estabelecimento de conexões da aritmética com grandezas e
medidas descreve-se a seguinte deficiência:
O processo de medição das grandezas está presente em todas as coleções. ... No ensino, é importante que se dê oportunidade ao aluno de efetuar medições de forma intuitiva, com o emprego de unidades não-convencionais e próximas de seu dia-a-dia. Tais atividades podem contribuir para a compreensão do caráter arbitrário da unidade e para desenvolver a habilidade de adequar a unidade à grandeza a ser medida. Algumas das obras acompanham este ponto de vista na sua proposta de atividades. Outras, no entanto, se apressam em introduzir as unidades do padrão internacional. (Guia de Livros Didáticos do PNLD2008 - Matemática, 2008:49)
Consubstanciado pelas prerrogativas atribuídas ao livro didático, resta apenas
uma verificação para que se proceda a ratificação das formulações de deficiências
apresentadas pelo guia do PNLD 2008, o que se opera ao manusear as coleções
prescritas no referido documento. Assim, dentre as 16 coleções apresentadas,
elegem-se três delas para análise, escolhidas pela experiência profissional,
reportando-se apenas aos volumes inerentes ao terceiro ciclo do Ensino
Fundamental, espaço da pesquisa apresentada, destacando-se:
Coleção número 1 – “Novo Praticando Matemática” da Editora do Brasil, autores
Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos;
36
Coleção número 2 – “Tudo é Matemática” da Editora Ática, autor Luiz Roberto
Dante;
Coleção número 3 – “ Matemática Hoje é Feita Assim” da Editora FTD, autor Antonio
José Lopes Bigode.
2.2 Descrição das Coleções e dos Procedimentos Adot ados
Inicialmente, descrevem-se relatos sobre as coleções elencadas para análise,
tomados pela atividade profissional deste pesquisador, sendo:
A coleção número 1: antes de sua reformulação, sempre foi utilizada no
segmento supletivo de Ensino Fundamental, por manter a característica de trazer
enunciados e questões mais fáceis de resolução pelo público alvo envolvido. Depois
de sua reformulação, por isso a inscrição “novo” em sua capa, nota-se que
ocorreram mudanças no tocante ao nível e características gerais dos exercícios,
mas a coleção disponibiliza questões com aspecto de conhecimento gradativo. Isto
quer dizer que, numa observação referente ao nível de dificuldade apresentado
pelas questões, tem-se itens mais elementares, médios e difíceis. No aspecto do
ensino público municipal, a coleção abarca questões básicas acessíveis aos
educandos dessa rede de ensino, que defende a prerrogativa de uma educação
para todos, com trabalho muitas vezes estabelecido através de requisitos básicos;
A coleção número 2: considerada uma coleção de atividades bem
conceituadas e promovedoras de uma aprendizagem gradativa, cujas questões
elementares já trazem, em sua formulação, um nível de dificuldade maior que a
coleção anteriormente citada. Essa característica se deve ao intuito de que a
resolução de uma atividade, nesta coleção, muitas vezes condicionar o educando à
assimilação anterior de vários outros conteúdos, bem como competências e
habilidades.
A coleção número 3: sempre foi utilizada em unidades escolares cujo projeto
político-pedagógico relacionava-se com idéias construtivistas no processo ensino-
aprendizagem. Quando de sua utilização, o pesquisador mantinha essa percepção,
pois ao propor alguma atividade aos educandos, verificava uma organização
diferente de conteúdos pelo autor e, também, que o elenco de exercícios tinha uma
37
forma gradativa de construção de conceitos, caracterizando-se ao desempenhado
em processos construtivistas.
Para se depurar o evidenciado por cada coleção e buscar relações com as
descrições de avaliação do PNLD 2008, e, também, de forma a validar, ou não, com
embasamento teórico o que empiricamente o pesquisador denota, toma-se como
procedimento dois momentos de relatos:
Primeiro momento: verifica-se o conteúdo do Manual do Professor acerca da
coleção e, em seguida, com relação a cada tópico apresentado nos volumes
utilizados na 5ª série (6º. Ano) e 6ª série (7º.ano), relacionados à Aritmética.
Segundo momento: apura-se a conformidade entre as características do manual do
professor e a formatação das abordagens contempladas no volume.
2.3 Depuração das Coleções
2.3.1 Coleção Número 1
O projeto didático desta coleção, em suas considerações sobre o ensino de
Matemática, se reporta à idéia de conhecimento com ligação estreita à de
significado. É citado, inclusive, que conhecer é, cada vez mais, distinguir o
significado, e que o processo de atribuição de significado depende das experiências
de cada um. A aprendizagem é um processo de construção de significados e
reelaboração de esquemas anteriores. Como premissa sobre o livro didático, os
autores se propõem a desenvolver o conteúdo matemático, com espaço para
reflexões, compreensões e abstrações. Na apresentação da obra, cita-se a
característica de conciliar a prática docente com a escola pública e com as
exigências sociais.
Um dos aspectos metodológicos que a coleção aborda faz indicações de uso
de materiais manipulativos, que permitem ao aluno o desenvolvimento do raciocínio
lógico, a construção e a generalização de conceitos e o aprendizado significativo.
No aspecto da Aritmética, a coleção faz separação clara de sistemas de
numeração e números, no que se relaciona aos temas abordados. Também
38
menciona que se desenvolvem procedimentos relativos a cálculo mental e às
estimativas, dentre outros. Cita-se, no geral da obra, que uma das concepções
usadas é que a Álgebra, atualmente, é vista como generalizadora da Aritmética.
Complementando-se as idéias da parte geral, tem-se alguns prismas
especificados em cada volume. A noção de número é trabalhada considerando-se
os sistemas de numeração relacionados à história da humanidade, sendo que o
capítulo destinado aos números naturais procura criar um dos focos na ideia de
ordenação. As operações são trabalhadas em aspecto significativo e aplicadas em
resolução de problemas, contemplando algoritmos e tendo o cálculo mental como
uma técnica capaz de relacionar as estratégias adotadas com o sistema de
numeração e propriedades. A potenciação tem, como base, a multiplicação
buscando sua representação e a raiz quadrada é introdutória, pois este conteúdo
será tratado com recursividade em séries seguintes. Trabalha-se, também, com a
idéia de múltiplos e divisores como uma extensão do estudo de números naturais e
suas operações.
Os números racionais, na forma fracionária, são usados para a aplicação de
conhecimentos sobre frações e, também, para representação e resolução de
situações-problema, destacando-se o trabalho com frações equivalentes na idéia de
comparação e de procedimentos, quando nas operações. O trabalho com decimais é
feito com figuras e medidas e as operações com características de classes
semelhantes as dos naturais.
A parte de medidas está presente em toda a obra, fazendo relações com a
Aritmética e com os demais temas. O estudo de frações e decimais é retomado no
segundo volume do ciclo com o intuito de ampliar o conhecimento sobre o assunto,
sendo, um dos focos, a porcentagem. É apresentado o cálculo de raízes quadradas
com decimais, por tentativas.
A proporcionalidade leva em consideração conhecimentos prévios e serve
para fundamentar razão e proporção. Os números inteiros negativos são trabalhados
junto com frações e decimais para propiciar a representação em reta numérica. Os
exercícios fundamentam procedimentos e sistematização.
No volume referente ao 6º ano de escolaridade, os números são tratados em
contextos históricos e direcionados ao sistema de numeração decimal. Exploram-se
as idéias de classes para números em geral e especificamente na unidade destinada
aos naturais, tem-se o foco em contagem pelas ideias de ordem. Em operações com
39
naturais, tem-se adição e subtração trabalhadas por algoritmos e como operações
inversas, presente o cálculo mental, deixando em aberto a forma de estruturação do
pensamento na realização das operações. A estimativa é feita por ideia de
arredondamento.
Multiplicação e divisão com naturais têm seu trabalho em algoritmos e
operações inversas. O cálculo mental vem subsidiado na multiplicação pela
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. A
potenciação tem trabalho inicial em multiplicação e direciona-se, em seguida, às
figuras geométricas. A raiz quadrada é trabalhada por potência e com uso de
calculadoras.
As frações são trabalhadas com representações diversas e, também, a ideia
de equivalência. As operações com frações têm uso de algoritmos com ideia de
equivalência para adição e subtração e representações em figuras para a
multiplicação e divisão, estabelecendo, em seguida, uso de procedimentos.
Os decimais têm trabalho inicial em figuras e medidas e suas operações são
pautadas em algoritmos. No volume referente ao 7º ano de escolaridade, a parte
sobre frações e decimais é revisional. A proporcionalidade é apresentada por
receitas e, depois, surgem questões de comparações com uso de calculadoras e
outras razões do cotidiano.
Os números negativos são trabalhados com a reta numérica e as operações
com algumas ilustrações nas aplicações de procedimentos e regras. A raiz quadrada
é trabalhada da mesma forma do volume anterior.
2.3.2 Coleção Número 2
O projeto didático desta coleção atribui um trabalho comum ao eixo temático
números e operações no que se refere à Aritmética e Álgebra. Os conceitos, em
geral, são desencadeados a partir de uma situação-problema, com o uso de
modelagem matemática, abordagens históricas e de tecnologias.
Nas atividades são descritas dentre outras competências, o pensamento
numérico e o raciocínio proporcional. Nessas atividades prioriza-se a compreensão
de conceitos e procedimentos. A coleção descreve como princípios norteadores do
40
ensino de Matemática, os estudos e pesquisas das últimas décadas em Educação
Matemática. Desta forma, a Matemática figura como uma importante ferramenta da
sociedade moderna, como maneira de pensar (processo em permanente evolução)
e também como presença em tudo o que nos rodeia.
Nota-se que a coleção descreve orientações metodológicas para um trabalho
significativo com os alunos, constando que, na sua elaboração foram considerados
os avanços conquistados pela Educação Matemática.
Destaca-se na coleção: o trabalho com conceitos matemáticos intuitivos
antes da simbologia e linguagem matemática; que o aluno deve atribuir significado
ao que aprende e não mecanizar procedimentos e regras; o estímulo ao
pensamento e ao raciocínio com o intuito de criar autonomia de pensamento,
trabalhar o conteúdo com significado, levando o aluno a sentir que é importante
saber aquilo para sua vida em sociedade ou que o conteúdo trabalhado lhe será útil
para entender o mundo em que vive; estímulo ao cálculo mental e estimativas; e
também o “aprender a aprender”.
A coleção evidencia a necessidade do trabalho do professor no processo de
construção de significados, pois constata que as explicações são reduzidas, em
virtude de priorizar a atividade do aluno. É importante frisar, que a proposta do autor
se realiza através da execução de atividades, sem muita expressão textual.
Finalizando a abordagem geral dada à coleção, faz-se necessário destacar a
citação de que o livro didático é, apenas, um dos recursos auxiliares para se
promover uma aprendizagem significativa, já que se sugere, dentre outros:
calculadoras, computadores, jornais, internet. Os relatos, até o momento, se
processam pela parte geral do Manual do Professor, pois nesta coleção o
detalhamento do ensino de Matemática ocorre em cada volume.
Complementando-se as idéias da parte geral há alguns conteúdos
especificados em cada volume. A proposta é trabalhar com números em diversos
contextos e situações cotidianas, mas detendo-se às características do sistema de
numeração e seqüências e também fazendo conexões de números naturais com as
grandezas e medidas. No volume referente ao 7º ano, os números inteiros têm forte
apelo no cotidiano, tanto no aspecto de números quanto no de operações. No
aspecto de número racional prioriza-se a idéia de equivalência e várias conexões
entre frações, decimais e medidas. As operações com números decimais são
introduzidas por meio de resolução de situações-problema direcionadas às
41
estimativas e cálculo mental. A potenciação e radiciação são exploradas por meio de
situações-problema, sem mencionar cálculos mentais ou estimativas. As grandezas
são exploradas em diversos contextos, mas dedica-se uma especial atenção às
noções de perímetro, área e volume.
Num aspecto de detalhamento dos volumes examinados, tem-se a
acrescentar alguns enfoques adotados, mediante a verificação de cada unidade pelo
pesquisador. No volume referente ao 6º ano de escolaridade, números são tratados em
diversos cenários, mas focados em sistemas de numeração e ordens - classes para
números grandes, como menciona o autor. As operações são revistas baseadas,
inicialmente em algoritmos e seguindo-se de conceitos. Os algoritmos são marcas
até na expressão de estimativas, cálculo mental e operações inversas.
As potências são introduzidas no caráter de possibilidades e seguindo-se
idéias de algoritmos que levam à escrita de números grandes em potências de base
dez. A radiciação é trabalhada em contexto de concreto vislumbrado em situação-
problema e seguida do uso de calculadora.
Na unidade de divisores e múltiplos são relacionados conceitos aos
algoritmos, retornando-se à raiz quadrada depois da decomposição em fatores
primos.
As frações são associadas à leitura, escrita e representação, seguindo-se de
medidas e equivalência. Nota-se que no desenvolvimento de operações com frações
procura-se o aumento gradativo de dificuldade na realização de operações, focando-
se representações geométricas e, em seguida, conceituando porcentagem. O
mesmo procedimento de frações é adotado para números decimais, acrescentando-
se apenas referência à ideia de notação científica, sendo que as operações são
pautadas em algoritmos.
No volume referente ao 7º ano de escolaridade, ocorre uma revisão do
volume anterior no que se posiciona em números, operações e medidas. Os
números inteiros são introduzidos no contexto e seguidos rapidamente de
formalizações conceituais e representações em conjuntos numéricos, o que se
observa também em operações de adição e subtração. Nas demais operações com
números inteiros processa-se a predominância de massificação de regras.
As frações e decimais possuem a mesma especificação de apresentação do
volume anterior, tendo a inclusão de valores negativos. A proporcionalidade é
42
introduzida com características algébricas seguindo-se formalizações conceituais
através de situações-problema.
2.3.3 Coleção Número 3
O projeto didático é focado na resolução de problemas; se projeta um trabalho
de aplicações da realidade, o que defendido pelo autor como trabalho com
problemas reais, usando o aspecto de números mal comportados e multiplicidade
conceitual e procedimental. Reporta-se ainda às situações-problema significativas.
Num aspecto de habilidades significativas em cálculo, prioriza-se cálculo
mental e estimativas com direções de Aritmética escolar e também de cotidiano.
Nessas direções, trabalha-se com algoritmos tradicionais enfocando
propriedades/ideias associadas às operações e ao sentido numérico.
O raciocínio numérico é referenciado na tematização proposta por Joaquim
Gimenez.
Mais detalhadamente, a coleção se propõe a trabalhar os números no
aspecto histórico e as operações com verbos que exploram o conceito, o cálculo
mental e as estimativas com ênfase em algoritmos de propriedades distributivas e
divisões. As frações e decimais têm características bem próprias para o autor no
trabalho, até porque ele considera os números fracionários como em desuso e os
números decimais focados em material concreto. Finalmente, tem-se um sistema de
medidas focado no sentido histórico.
Num aspecto de detalhamento dos volumes examinados, tem-se a
acrescentar alguns enfoques adotados, mediante a verificação de cada unidade pelo
pesquisador.
No volume referente ao 6º ano de escolaridade, a potência é voltada para o
formato de notação científica; frações são trabalhadas em argumentos geométricos
e formulações, sem enfatizar a ideia de comparação, ou seja, voltadas para
representações; operações com frações e decimais são pinceladas sem
associações com o cálculo mental e a comparação de frações condicionada à ideia
de equivalência.
43
No volume referente ao 7º ano de escolaridade, a multiplicação é explorada
na operação radiciação, proporcionando-se aproximações, mas sinalizando-se
ideias algébricas; amplia-se a ideia de frações e trabalham-se suas operações com
intuito de algoritmo, no qual se destaca o uso de figuras e formulações algébricas,
principalmente na multiplicação. A divisão baseia-se na ideia de equivalência; para a
proporcionalidade usam-se situações do cotidiano, com certa limitação do concreto
que se desenvolve na Matemática da rua. Destaca-se que a proporcionalidade, para
o autor, tem ideia de ruptura incutida em seu trabalho, pois em seu ensino os
conceitos já adquiridos são descartados.
2.3.4 Análise das Coleções e os Significados Atribu ídos à Aritmética
Observando-se as características atribuídas a cada coleção pelo pesquisador,
nota-se que, apesar de terem sido consubstanciadas pela experiência profissional
foram corroboradas muitas visões após a depuração de cada uma delas.
Os livros didáticos, hoje, já descrevem uma forma significativa de ensinar
Aritmética, mostrando uma evolução ao longo dos anos no sentido de se atribuir
significados aos conteúdos trabalhados em seu cerne. Nesse sentido, a busca de
significados para o Ensino de Aritmética, nesta pesquisa, deve promover
significações que atribuam mais saberes aos educandos, além dos oportunizados
pelos livros didáticos. Portanto, as considerações seguintes são constatações de
uma análise reflexiva, que não podem ser vistas como crítica as funções essenciais
do livro didático.
Apesar da teoria e exercícios contemplarem os requisitos necessários a uma
aprendizagem significativa, nota-se no que se refere à valorização do raciocínio
intuitivo que ainda se promove o processo normal, que é adotado pelos educadores
de maneira geral e que se resume em apurar a intuição mas, em seguida, em
priorizar os aspectos formais do processo ensino-aprendizagem.
Quanto ao pensamento relativo aplicado às estimativas, muitas vezes
promove-se uma utilização restrita de uma parte de um conteúdo, ou seja, algo
inerente àquela situação-problema e, não, de maneira ampla.
44
Em relação ao raciocínio estruturado aditivo, nota-se vinculação aos
algoritmos ou estabelecimento de procedimentos-padrão. A operação inversa, por
exemplo, a qual comporta uma idéia de relação promovida pela reflexão do que se
observa, tem tratamento descrito quase como um algoritmo a mais.
A oferta de reflexão e liberdade de escolha para o cálculo mental, ainda tem
pouco desenvolvimento, condicionando-se a especificações de partes dos
conteúdos descritos nas seções.
Quanto ao prisma do pensamento proporcional, na ideia de comparação,
tem-se utilização de esquemas tais como da equivalência, padronizados em
procedimentos. Quanto ao uso de aproximações, o que deveria ter tratamento de
ampliação do conceito de número, se resume a situações muito específicas.
Em relação à coexistência da Aritmética escolar e à Aritmética da rua, apura-
se uma característica muito grande de ilustração do cotidiano, um olhar mais atento,
denota uma tipificação de questões padronizadas no uso de procedimentos e
conceitos, mas, às vezes, sem preconizar como o real se opera. Um exemplo disso
é quando se promove a subtração apenas no sentido de seus conceitos sem se
fazer pensar qual é a forma que cada um encontra para resolver um problema de
subtração, ou seja, sem se relacionar a um procedimento padrão quando o
desenrolar pode se posicionar a partir da utilização de um cálculo mental ou de uma
estrutura aditiva.
Todo o enredo descrito subsidia a estruturação das atividades desta pesquisa
de forma a priorizar uma significação próxima do real. O desafio na construção das
atividades está em propor itens que não figurem como forma ilustrativa de conteúdo
ou conceito atrelado a ele.
45
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO DA PESQUIS A COM
ATIVIDADES
3.1 Introdução à Metodologia
A pesquisa de campo realizada foi qualitativa, de cunho empírico cujo
processo investigativo se pautou no desenvolvimento de experiências matemáticas
com a resolução de problemas, propostas de atividades, de modo a construir um
conhecimento aritmético significativo.
As atividades de investigação, quando aplicadas a um grupo, podem denotar
a Matemática como um processo mais dinâmico. Nesse sentido tem-se que:
Atividades de investigação podem conformar uma concepção de matemática como algo dinâmico, do conhecimento matemático como em construção, através do desenvolvimento de idéias e processos, constituintes do pensar e fazer matemáticos. (FROTA, 2005:02)
Assim, o processo de coleta de informações e de constituição do material de
estudo faz-se coerente com a pesquisa de campo.
Exercida a ação de pesquisa, cumpre-se desenvolver procedimentos de
forma a compilar os relatos, pensamentos e raciocínios depurados ao longo da
atividade de coleta, que traduzam, efetivamente, o conhecimento dos educandos
envolvidos no estudo. Neste aspecto, o processo de sistematização e análise das
informações se identifica com a técnica conhecida como análise de conteúdos, que
se pautará nos anseios descritos em cada atividade promovida durante a pesquisa,
categorizando-as em significações descritas no referencial teórico deste estudo.
Ratificando o procedimento,acredita-se que:
A análise de conteúdo, portanto, exige a utilização de critérios claramente definidos sobre registros fornecidos pelas pessoas interrogadas; tais critérios consideram as palavras utilizadas nas respostas, as idéias ou opiniões expressas e as interpretações e justificativas apresentadas. Para tanto, todos os registros devem ser atentamente lidos, vistos e revistos a fim de efetuar-se um levantamento das principais informações neles contidas. Em seguida, elas devem ser organizadas em categorias. (FIORENTINI; LORENZATO, 2006: 137,138)
46
As experiências matemáticas desenvolvidas terão amplitude maior do que as
verificadas nos instrumentos de consulta citados. O conteúdo das atividades
desenvolvidas foi definido após a verificação de todo material consultado e
direcionado ao conhecimento aritmético. Busca-se nesse processo de ensino-
aprendizagem, um deflagrar de ideias em qualquer campo do ensino de Matemática,
corroborado por:
Ensinar Matemática é deflagrar ideias matemáticas na cabeça do aluno. Isso é conseguido através de desafios postos na forma de situação-problema. Mergulhados nessas situações problemáticas, o aluno, conduzido por perguntas adequadas, é desafiado a resolve-las, utilizando seu próprio referencial e suas próprias tentativas. Esse desafio é o responsável pelo deflagrar de ideias. (GAZIRE, 2000:32)
As atividades contemplaram questões que procuraram construir um
conhecimento aritmético relacionado aos ditames propostos, tais como raciocínios e
pensamentos descritos no referencial teórico.
A base teórica de cada tópico das atividades, contemplou:
- a valorização do raciocínio intuitivo;
- o pensamento relativo aplicado às estimativas, o desenvolvimento de habilidades
para comparar e estimar quantidades;
- o pensamento estruturado aditivo, a aplicação do cálculo mental sem utilização
exclusiva dos algoritmos;
- o pensamento proporcional, a estrutura de comparação entre partes ou entre
todos, ou entre parte e um todo, associado à multiplicação e divisão no aspecto de
comparar e quantificar grandezas.
Em qualquer tópico tem-se o raciocínio numérico, com a proposição de
questões que permitiram a reflexão de situações que apurem quantificação e
ordenação.
Na estrutura das atividades, buscou-se a correlação da Aritmética escolar
com a Aritmética da rua, projetadas no intuito de coexistência face ao conhecimento
e ao processo ensino-aprendizagem.
A validação dos resultados obtidos foi feita através da análise dos
instrumentos aplicados aos educandos.
47
3.2 Atividades
No tocante à análise da elaboração das atividades, ter-se-á a descrição das
atividades e considerações fundamentais ao desenvolvimento correlato da pesquisa.
3.2.1 Atividade 01 – O Sentido dos Números e as Int uições
Composição da atividade
A atividade é composta de duas partes, contemplando-se a noção de número
através de representações de quantificações e outras relações(ordem, cotidiano,
grafia, operações, etc.), corroborando para as idéias de quantificação e ordenação,
dentro do aspecto de valorização do raciocínio intuitivo. Nesta atividade procura-se
promover a produção de afirmações e justificações sem necessidade de
formalizações.
Descrição – 1ª. Parte
Leia o texto abaixo e depois responda o que se pede.
“A imprensa muitas vezes utiliza formas diferentes de escrita na publicação de suas
notícias”. Observe duas notícias divulgadas recentemente:
“... Uma famosa cantora internacional tem um patrimônio de 25 mi de dólares...”
“...Uma bolsa de uma grife de luxo pode custar até 40 mil reais...”
Ao observar as notícias você pode informar:
I – Se o patrimônio da cantora tem valor muito alto?
II – Se um automóvel importado da montadora alemã Audi é vendido por 250.000
reais, você acha que ela poderá comprar muitos desses veículos? Justifique
48
III – Quando a notícia foi editada e publicada o dólar estava cotado em R$2,00, qual
o valor do patrimônio da cantora em reais?
IV – Quantos dólares custa a bolsa pela cotação do item anterior?
V – Você pensou que o valor de cotação do dólar em R$2,00 serviu como uma
unidade de medida?
Você seria capaz de criar uma tabela de conversão das duas moedas, na ordem de
real para dólar?
VI – Num sentido de reta numérica faça a representação conjunta das unidades
monetárias, real e dólar, isto é, numa reta só você tem que marcar as unidades do
real e as do dólar sem dizer qual é qual, mas colocando o real na parte debaixo da
reta e o dólar na parte de cima.
VII – Observando uma “trena”, instrumento utilizado em medições, justifique a
demarcação de dois tipos de numeração no objeto.
VIII – Usando a trena, faça a medida da diagonal da tela do notebook que o
professor José Ricardo levou para a sala de aula e veja as descrições das
características que estão em sua etiqueta que avistamos quando abrimos o
computador.
O que você associa quanto à medida realizada e o conteúdo da etiqueta, que veio
da fábrica que produziu o equipamento?
Procedimentos – 1ª. parte
- apresentar a notícia aos educandos;
- apresentar os itens I e II: verificar se há o entendimento da notícia baseando-se no
conceitual, ordens e classes grafadas num cotidiano de rua, neste caso a mídia.
Estes itens pautam-se no aspecto qualitativo da resolução, uma vez que a resposta
não se precisa em valor, mas em idéias de ordenação e quantidade;
- apresentar os itens III e IV: verificar o entendimento de número relacionado à
representação de quantificações com a utilização de operações, num aspecto
procedimental;
- apresentar os itens V e VI: verificar se a intuição do procedimental pode depurar
uma característica conceitual de ordenação; esta verificação se pauta na noção de
49
unidade por dois significados distintos, relacionados com dois termos verbais:
unidade e unicidade. Pretende-se, aqui, construir o caráter de unicidade. Segundo
Lins e Gimenez(2006) esse processo de fazer um ou unitizar é fundamental na
aquisição do sentido e da estrutura numéricos(raciocínio multiplicativo e
conhecimento das frações) e representa um processo de decomposição. Com essa
reflexão o educando assimila um conhecimento inerente à Aritmética escolar;
- apresentar os itens VII e VIII: verificar se a Matemática escolar pode ser depurada
no cotidiano, pela experiência matemática. Aqui no caso estabelece-se um
tratamento de informação dentro da Aritmética, diferente do usual de quadros,
tabelas e gráficos. Preceitua-se um deslocamento do sentido numérico para o
trabalho com a intuição, ao se promover um outro aspecto de cotidiano, aqui no caso
a utilização da trena. A trena possui a demarcação de unidades de medidas do
sistema métrico decimal (mm, cm e m) e, também, polegadas. Verificar se a medição
da tela com o uso da trena e a comparação com as características da etiqueta do
computador concedem ao educando alguma assimilação a partir do pensamento
intuitivo.
Descrição – 2ª. Parte
O professor Ricardo anotou no quadro os seguintes números: 0,495; 0,6 e 0,08,
depois pediu para que seus alunos colocassem os números em ordem crescente.
I – Qual seria a resposta correta?Relate como você resolveu a questão
Observe os três quadrinhos abaixo, que mostram o troco que cada menino de uma
turma do colégio recebeu depois de pagar um lanche na cantina.
50
II – Represente cada troco na forma decimal e diga qual deles recebeu o menor e o
maior troco. Relate como você resolveu a questão.
Você consegue dizer quem gastou mais dinheiro na lanchonete? Como você justifica
sua resposta?
Observando-se um atleta de salto em trampolim, tem-se:
- 1º. Salto: o trampolim tinha 5 metros de altura em relação ao nível da água na
piscina e ele alcançou 3 metros de profundidade nesta piscina;
- 2º. Salto: o trampolim tinha 4 metros de altura em relação ao nível da água na
piscina e ele percorreu um total de 6 metros, dentro e fora da água.
III – Responda:
a) Faça uma ilustração sobre cada salto
b) Represente a profundidade obtida na água de cada salto com um número inteiro e
diga qual dos saltos teve maior profundidade na piscina.Justifique o motivo de você
ter utilizado o sinal de positivo ou negativo para o número inteiro.
Observando o placar de pontuação do atleta no segundo salto, tinha-se notas
maiores do que as registradas no primeiro salto, isso porque essa pontuação não se
relaciona com a profundidade obtida na piscina ou até mesmo com a altura do
trampolim. O interessante quando se observa a nota é que elas apareceram da
seguinte maneira: 89.8 no primeiro salto e 92.0 no segundo salto.
IV – Responda:
a) Essas notas são altas? Justifique sua resposta.
51
b) O que significam os pontos que aparecem nas notas?
Procedimentos – 2ª. parte
- apresentar os itens I e II: no item I, os números são utilizados sem referentes, num
aspecto da Matemática escolar. No item II, os números são usados com referentes
mas, ao final da questão, não se tem um quantitativo de utilização, de modo que o
educando perceba a condição de variável do valor gasto, dependendo, portanto, de
quanto pagou e, não, em relação ao troco (relação numérica das partes com o todo).
- apresentar os itens III e IV: ressalta-se que, no trabalho em sala de aula, inclusive
com o apoio do livro didático, há a necessidade de se formalizar a característica de
números negativos através de situações de cotidiano, embora, muitas vezes, leva-se
em conta que o educando vai relacionar situações ou, até mesmo, palavras com
números negativos. Nesta etapa, busca-se a justificação, independente do educando
ter que associar a profundidade da piscina à obrigatoriedade de registro de um
número negativo. Geralmente, no cotidiano do processo ensino-aprendizagem faz-
se desse tipo de questão o ponto de transformação do procedimental e conceitual.
Portanto, existe a necessidade de apurar se os educandos compartilham dessa
transformação. Apesar da mudança de núcleo no que se relaciona ao sentido
numérico, nestes itens, procuram-se averiguações sobre questões simples
relacionadas à Matemática escolar e a da rua. Finalmente, há a necessidade do
educando estabelecer uma relação entre parte e todo, quando se propõe o item IV,
independente de descrição desses parâmetros e também que a representação da
vírgula, no cotidiano, é diferente da apresentada no universo escolar.
52
3.2.2 Atividade 02 – Estimar Ações tem Significados
Composição da atividade
A atividade está relacionada ao pensamento relativo às estimativas, buscando
a autonomia deste pensamento pautado no cognitivo,com utilização de conceitos e
de referentes.
Nesta atividade, busca-se uma coerência com o tema no tocante à
coexistência da Aritmética escolar e a da rua.
Descrição
Raiz: sf. 1. Bot. Porção do eixo da planta que cresce para baixo, ger.dentro do solo,
fixando-a e fornecendo-lhe água e nutrientes. 2. Parte inferior;base.3. Anat. A parte
do dente implantada na maxila. 4. Princípio, origem.5.Gram. A parte básica da
estrutura da palavra. 6. Mat. Potência fracionária de um número. [Pl.:raízes]
Fonte: Mini Aurélio Século XXI
Observe as significações dos números 2 e 6 extraídas de um dicionário, sobre a
palavra raiz.
53
I – Responda:
a)A palavra raiz você já ouviu falar em Matemática e por isso pergunto qual a
resposta para 36?
b) Qual o significado que você dá para a resposta?
Não foi explicado o porquê se colocou um significado do dicionário numa atividade
de Matemática.
II – Responda:
a) Você saberia explicar porque se falou de raiz e depois pediu para se calcular
36? Em sua opinião, por que foi destacado o significado número 2 para a palavra
raiz, que diz base, além do referente à Matemática?
b)E no significado número 6 que se refere à Matemática você sabe dizer o motivo de
potência fracionária de um número? Explique o que você entende desse significado,
se quiser exemplifique.
III – Mais um pouco sobre “raiz”...
Um professor propôs aos alunos o cálculo da seguinte raiz quadrada 961, mas que
explicassem como acharam a resposta. Um aluno tentou fazer o cálculo da raiz
quadrada por decomposição em fatores primos e não conseguiu. Seu colega fez o
cálculo por tentativas e chegou à resposta.
Veja o que professor observou no rascunho de cada aluno:
1º. aluno
961 não divide por 2, pois não é par
961 não divide por 3, pois a soma de seus algarismos não é um número divisível por
3
961 não divide por 5, pois não termina em 5 e nem em zero
961 não divide por 7, fez a conta e viu resto
961 não divide por 11, fez a conta e viu resto
961 não divide por 13, fez a conta e viu resto
961 não divide por 17, fez a conta e viu resto E assim o aluno desistiu...
54
2º. aluno
10 . 10 = 100
20 . 20 = 400
30 . 30 = 900
Vou tentar 31 . 31 ... como a unidade do produto dá 1, ele estimou que o resultado
seria certo... armou a conta e viu que 31.31 dava 961 então escreveu que a resposta
seria 31.
Você acha que o 2º. aluno fez a questão corretamente? Você acha que ele fez uma
estimativa do resultado? Justifique a sua resposta.
Uma caixa de pisos vem com a seguinte descrição de medidas para cada unidade
de piso: 31 cm x 31 cm.
IV – O que significa isso, a caixa está informando para gente multiplicar 31 por 31?
Qual o formato desse piso?Justifique suas respostas.
Em cada caixa de piso vem 10 unidades. O chão de um quarto quadrado mede 3,1
m por 3,1 m.
V – Você seria capaz de estimar quantas caixas seriam usadas para cobrir o chão
do quarto com pisos? Justifique sua resolução como você quiser... desenhando,
calculando, pensando, etc.
Num show de um cantor famoso foi estimada uma presença de 35.000
espectadores. Para assistir o show não foi colocado nenhum tipo de cadeira, todos
os presentes estariam de pé.
VI – Explique como se chegou a este número de pessoas para a platéia.
Procedimentos
- apresentar os itens I e II: trata-se de reflexão acerca de informação. Nesta
atividade, o educando tem que manipular a questão, num determinado momento,
independente do problema apresentado, e em outro relacionando-o a informação
55
prestada. Nestes itens procura-se relacionar as estratégias de pensamento relativo e
absoluto, no campo aritmético e num aspecto cognitivo.
- apresentar os itens III a VI: procura-se refletir sobre a aplicação de um algoritmo e
a idéia de estimativa. Com ou sem uso de referentes, a estimativa associada à
característica de tamanho com o uso de representações diferentes para os números
(medidas em centímetros e em metros). Mais importante ainda é o caráter dado ao
cálculo, que pode ser apresentado por justificação, independente da correlação
entre procedimental e conceitual. A ênfase desses itens está na habilidade de
estimar. Destaca-se, ainda, que o expresso no rascunho do aluno descreve uma
linguagem não-formal, pois a utilização da palavra “divide” é usual em sobreposição
à “divisível”.
3.2.3 Atividade 03 – Números e Operações: Pensando e Raciocinando
Composição da atividade
A atividade procura desenvolver o pensamento estruturado aditivo, propondo-
se ao educando pensamentos e raciocínios passíveis de experimentação,
promovendo reflexões e sugerindo um pensamento autônomo.
Descrição
UM DIA NO COMÉRCIO
No bairro de Patrícia tem uma padaria onde sua mãe compra sempre alguma coisa
para o lanche. Essa padaria fica um pouco distante de sua casa, e às vezes, a mãe
de Patrícia compra num barzinho em frente à sua casa, o que precisa para o lanche,
principalmente em dias de chuva. A Patrícia é uma estudante muito dedicada e
observadora. Vamos conhecer algumas situações que a Patrícia vivenciou...
56
Um dia ela foi a padaria com sua mãe e ficou observando como a moça do caixa
dava o troco... a máquina registradora já dizia para a moça qual era o troco a ser
dado numa tela igual de um computador...primeiro a moça registrou os itens que sua
mãe comprou e depois ela registrou o dinheiro que foi dado para pagamento das
despesas. Em seguida, no visor apareceu o valor do troco a ser dado. A mãe de
Patrícia gastou nas compras R$3,40 com pães e R$4,95 com outros produtos,
dando uma nota de 10 reais para pagamento.
I – Agora pense e responda:
a) Qual foi o troco recebido pela mãe de Patrícia?
b) Que operações você acha que foram feitas pela máquina do caixa nestas
compras para apresentar o valor do troco?
c) Se você tivesse que fazer o cálculo mentalmente para dar o troco, como faria da
maneira mais rápida possível?
d) Você acha que a máquina poderia fazer um cálculo igual ao seu? Justifique
Continuando a história...
Outro dia a Patrícia foi ao barzinho com sua mãe e observou que lá a
máquina registradora não informava o valor do troco, sua tela era pequena e preta
com números verdes, mas ela ficou impressionada como a moça do caixa fez a
conta rapidamente para dar o troco à sua mãe. A situação da compra foi a seguinte:
a mãe de Patrícia comprou refrigerantes por R$4,15 e outros produtos que custaram
R$2,95, e depois deu uma nota de 10 reais para pagamento dos gastos.
Curiosa, perguntou a moça como ela tinha feito a conta... A moça explicou:
- peguei R$2,95 e coloquei os R$0,05 dos R$4,15... aí deu R$3,00 que eu somei
com R$4,10 que sobrou, pronto deu R$7,10. Na hora de dar o troco para R$10,00,
peguei R$0,40 centavos em moedas e pensei R$7,50, depois peguei R$0,50 e
pensei R$8,00 e depois peguei uma nota de 2 reais e pensei R$10,00.
Patrícia adorou o jeito de fazer conta da moça... muito diferente do que ela costuma
fazer na escola quando tem um problema desse tipo...
II – Agora é sua vez de responder... você acha que a moça fez a conta
corretamente? Você usaria quais operações para dar o troco à mãe de Patrícia? Por
que você pensou nessas contas?
57
III – Você seria capaz de dar o troco da padaria fazendo de outra maneira a conta?
Explique como faria.
... a Patrícia agora observa tudo... vamos continuar...
Patrícia agora fica observando a moça do caixa do barzinho e outro dia se
deparou com outra situação interessante...
Ela foi comprar 8 pãezinhos que custavam R$0,15 cada um... e levou uma nota de 2
reais. Num instante a moça fez as contas e entregou o troco para Patrícia. Patrícia
olhou para ela e disse :
- sei como você fez as contas...
A moça abriu um sorriso e perguntou para a menina:
- Como?
A menina respondeu como pensou:
- Você fez R$0,10 vezes 8 é igual a R$0,80 centavos, mais R$0,05 vezes 8 que é
igual a R$0,40... depois somou R$0,80 + R$0,40, total R$1,20... e o troco você
pegou R$0,30 e pensou R$1,50, depois pegou R$0,50 e pensou R$2,00.
Patrícia olhou para a moça com triunfo de saber fazer contas mentalmente.
A moça sorriu novamente para Patrícia e disse calmamente:
- Minha querida menina, você pensou corretamente... mas eu não pensei assim.
Patrícia se assustou e perguntou:
- Como você pensou????
A moça explicou:
- Como 1 pão custa R$0,15, pensei 2 pães custam R$0,30, então 4 pães R$0,60 e
finalmente 8 pães R$1,20...
A moça deu um novo sorriso para a menina e completou:
- Eu pensei em somas que fossem o dobro...
A menina logo perguntou:
- E o troco???
A moça respondeu:
- Você me deu R$2,00 e a conta era R$1,20... logo pensei R$2,00 menos R$1,00 é
igual a R$1,00 e daí eu tirei os R$0,20, pronto troco de R$0,80.
Aí foi a vez de Patrícia sorrir e dizer:
- legal, agora já sei que posso pensar de maneiras diferentes em situações
parecidas.
58
Patrícia saiu feliz do barzinho.
Agora é com você, pensa um pouco e responda:
IV – Você entendeu como a moça do caixa fez as contas? Você achou correto fazer
assim? Diga o que você achou da forma que a moça fez as contas.
V – Como você faria essas contas mentalmente?
VI – Responda:
a)Quando você multiplica algum valor por 8, você já pensou em somar dobros como
a moça fez? Se você for além da adição e pensar em multiplicar por 2, depois por 2
novamente, e depois por 2, no final dá certo?
b) Tenta multiplicar o número 35 por 8 sem armar a conta, faz um cálculo mental, e
escreva como foi seu raciocínio.
VII – Do jeito que a moça fez as contas, se pensarmos de forma mais complexa
como uma multiplicação, temos que: multiplicar por 8 é como se multiplicarmos por 2
e depois por 2 e depois por 2... isso lembra alguma outra operação que você
conheceu em Matemática? Se lembrar diga qual e porque você acha que lembra.
Procedimentos
- apresentar os itens I, II e III: procuram-se comparar estruturas procedimentais
utilizadas no cotidiano que se relacionam ao uso da aritmética escolar( algoritmos) e
a Aritmética da rua (raciocínio estruturado), denotando a coexistência das duas em
ambientes semelhantes. O sentido numérico se pauta no núcleo “ dinheiro”, mas
relaciona-se de forma a suscitar as estruturas dos números e das operações.
Oferece-se, em seguida, a reflexão e a teorização baseada na produção dos
educandos.
- apresentar os itens IV a VII: pretende-se mostrar o uso do raciocínio aditivo em
situações de multiplicação. Mostra-se que a estruturação da seqüência de
pensamentos traduz um raciocínio estruturado e que o cálculo mental pode ser
realizado numa situação cotidiana ou escolar. Mas o fundamental neste processo
está na sedimentação desse tipo de cálculo em relação às características de cada
indivíduo.
59
3.2.4 Atividade 04 – Propor Ação
Composição da atividade
A atividade trabalha o pensamento proporcional sem a necessidade inicial do
estabelecimento do uso de frações.
Descrição
Observe a história abaixo e depois pense um pouco para responder às questões
pedidas:
Dona Giselda vai fazer um refresco para seu filho e três amigos que vão
estudar para a prova de Matemática, mas na hora de fazer ela ficou com uma
dúvida, pois achou duas receitas e não sabia qual delas usar. A única coisa que
Dona Giselda sabia era que o refresco ficasse com um gosto bem forte de fruta.
Veja as receitas que ela encontrou:
1ª. receita:
Despejar numa jarra 6 partes de suco concentrado e 8 partes de água. Adoce a
gosto.
2ª. receita:
Despejar numa jarra 8 partes de suco concentrado e 10 partes de água. Adoce a
gosto.
Como Dona Giselda gosta muito de Matemática e também entende muito
bem como lidar com receitas, ela rapidinho eliminou a dúvida... Agora eu não vou lhe
contar qual receita Dona Giselda fez, pois você vai ter que pensar ... e muito mais do
que escolher a receita, você vai responder algumas questões de Matemática e tirar
suas próprias conclusões sobre as receitas e outras situações...
60
I – Você sabe explicar porque a mãe do menino teve dúvida sobre qual receita
fazer?
II – O refresco em cada receita ficará com o mesmo sabor? Se você acha que não,
diga qual refresco ficará com o sabor mais forte. Justifique sua resposta.
III – Se a mãe do menino fizer a 2ª. receita, você acha que cada criança poderá
tomar 4 copos de refresco? Justifique sua resposta
IV – Repare que existe uma mudança na quantidade de partes entre a 1ª receita e a
2ª receita, que representa um aumento de 2 partes de suco e 2 partes de água. Isso
garante o mesmo sabor? Justifique
V – Pensando de forma a relacionar as quantidades do problema descrito em caráter
de comparação entre partes, tem-se: na 1ª receita se usarmos 1 parte de suco, qual
deve ser a utilização aproximada de água? Que operação ou pensamento você usou
para encontrar sua resposta? Explique como resolveu esta situação.
Na 2ª receita qual a quantidade de água a ser utilizada para uma parte de suco?
Após os cálculos você é capaz de indicar qual seria uma solução para a dúvida da
Dona Giselda?
VI – Se pensássemos em frações em cada receita:
a) A fração 6/8 na 1ª. receita tem qual significado para você?
b) E a fração 8/10 na 2ª. receita?
VII – Para resolver o problema da história, ou seja, qual receita fazer e justificar a
resposta, vou mostrar a resolução apresentada por 3 alunos, identificados pelo
nome, e quero que você pense em cada uma delas e depois responda ou justifique o
que se pede:
a)Paulinho
o aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
40
30
5
5
8
6 == Xacoposdeágu
ocoposdesuc
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
40
32
4
4
10
8 == Xacoposdeágu
ocoposdesuc
Depois respondeu que a 2ª. receita tem mais sabor.
61
Você concorda com a forma que esse aluno resolveu a questão? Se você acha que
ele deu a resposta certa ou errada, justifique como você pensou para tirar sua
conclusão.
b) Jorginho
O aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
Nesta receita olhando os copos de água tenho que metade de 8 é igual a 4, então se
eu colocar mais metade de 4, que é 2, fico com 6. Isso é a quantidade de suco
usado na receita.
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
Nesta receita olhando os copos de água tenho que metade de 10 é igual a 5, então
se eu colocar mais metade de 5, que é 2,5, fico com 7,5. Isso é menos que a
quantidade de suco usado na receita.
Concluo então que a 2ª. receita tem mais sabor.
Você entendeu as contas do aluno? Explique o que entendeu
c) Pedrinho
o outro aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
Tenho 6 partes de suco e 14 partes de refresco( 6 de suco e 8 de água) que forma a
fração 6/14 que dividindo o número de cima pelo número de baixo dá
aproximadamente 0,42.
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
Tenho 8 partes de suco e 18 partes de refresco( 8 de suco e 10 de água) que forma
a fração 8/18 que dividindo o número de cima pelo número de baixo dá
aproximadamente 0,44.
Concluo que a 2ª. Receita tem mais sabor.
Você entendeu as contas do aluno? Explique o que entendeu
Procedimentos
- apresentar os itens I a IV: pretende-se explorar o pensamento proporcional sem
referência à fração, pois a liberdade de resolução faculta, ao educando a
62
comparação de acordo com sua estrutura de pensamento. Mas existe a importância
de se atribuir significado a título de referência; neste caso, as medidas, são
chamadas no problema de “partes”. Este ponto de referência desenvolve uma
ampliação da idéia de número ao que se pretende neste objetivo, quanto ao
estabelecimento de sentido numérico. A ausência de relação entre as “partes” e os
“copos” no item III tem dois intuitos: o primeiro, de promover a percepção de que há
necessidade de estabelecimento de uma representação de quantificações no
aspecto total, ou seja, a quantidade de refresco feita, para que se possa pronunciar
sobre a capacidade de se oferecer 4 copos de refresco para cada criança. O
segundo aspecto está no estabelecimento de outra unidade de medida adotada no
decorrer da questão “copo”. A descrição aditiva do final da atividade vem abrir a
discussão acerca do esquema instrumental em uso neste tipo de pensamento, a
ideia multiplicativa e não-aditiva.
- apresentar os itens V a VII: pretende-se nesta etapa, promover um caráter reflexivo
acerca das operações de multiplicação e divisão na aplicação de comparações entre
grandezas e, também, trazer uma visão de comparação entre as partes e entre as
partes e o todo. Algumas comparações são propícias à experimentação pelos alunos
de situações de interpretação de números decimais e a ideia de aproximação como
fornecedora de resultados, mais do que a necessidade de descrever exatamente os
números que se relacionam às comparações citadas. Nota-se a utilização de
referentes para as frações, de maneira a atribuir mais de um significado à ideia de
número fracionário no pensamento aritmético, sem a preocupação de formalizações.
O procedimental tem mais de uma característica para descrever o conceitual de
comparação entre partes ou entre partes e um todo. Um pensar na Aritmética
escolar a partir de situações cotidianas, sem a presunção de formalismos imediatos.
63
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
A aplicação das atividades foi realizada no Colégio de Aplicação da
Universidade Severino Sombra, em Vassouras - RJ, onde a instituição mantém um
“Clube da Matemática” para os educandos. O clube funciona de maneira
permanente, em horário inverso ao de aula normal. O público alvo foi constituído
pelos educandos do terceiro ciclo do Ensino Fundamental, que freqüentam
regularmente o clube. Nota-se que as atividades foram aplicadas fora do contexto de
sala de aula normal, pois os educandos que participaram são considerados pela
professora de matemática, responsável pela turma, como compromissados e
interessados no processo ensino-aprendizagem da disciplina. Destaca-se que a
participação no Clube é feita não pela capacidade de entendimento de “Matemática”,
mas sim pelo interesse em melhorar o conhecimento acerca da disciplina.
Como preceitua o Programa de Mestrado da PUC Minas, o estágio
supervisionado deve ser entendido não como aplicação de conhecimento e de
técnicas, mas como laboratório vivo de experimentações pedagógicas vinculadas ao
trabalho final de curso. Desta forma, contempla-se o cumprimento desse preceito, na
aplicação e desenvolvimento das atividades investigativas desta pesquisa.
As respostas são categorizadas nos seguintes tópicos de análise:
– Valorização do raciocínio intuitivo;
– Pensamento relativo aplicado às estimativas;
– Raciocínio estruturado aditivo;
– Pensamento proporcional.
A organização dessa categorização em seus tópicos foi descrita nos itens das
atividades, devendo-se, assim, observar algumas peculiaridades adotadas. Na
depuração das respostas propõe-se, em vários itens, mais de um sentido de análise,
onde não há a necessidade de que o educando apresente, cumulativamente tais
sentidos, ou seja, a descrição de apenas um deles contribui para a análise do tópico
observado. Alguns itens demandaram aspectos distintos no tocante à contribuição
para a categoria proposta, assim houve a necessidade de segregá-los durante a
análise.
64
4.1 Valorização do Raciocínio Intuitivo
Na análise desta categoria, a ênfase está relacionada aos pensamentos e
raciocínios utilizados. Portanto, foi analisada a intuição coerente nas justificações e
afirmações apresentadas, com sua prioridade em relação à habilidade procedimental
dos cálculos.
Primeira Atividade – 1ª parte
Agrega-se valor a esta categoria para respostas que:
Item I
- atribuem sentido de quantificação ao noticiado pela grafia ou cotidiano;
- significam a quantificação pelo cotidiano de rua, sem relação ao conceitual;
- vinculam a notícia ao conceitual de ordens e classes da atividade escolar.
Item II
- atribuem sentido de quantificação ao automóvel em relação ao patrimônio da
cantora;
- caracterizam o conhecimento intuitivo de diferentes unidades monetárias, no caso,
real e dólar;
- vinculam o preço do automóvel ou o valor do patrimônio ao conceitual.
Item III
- utilizam o procedimental operacional (multiplicação) para obtenção da resposta;
- comprovam o entendimento intuitivo de número relacionado à representação de
quantificações.
Item IV
- utilizam o procedimental operacional (divisão) para obtenção da resposta;
65
- comprovam o entendimento intuitivo de número relacionado à representação de
quantificações.
Item V
- verificam que o procedimental, desenvolvido nos itens anteriores, intui uma
característica de quantitativo relacionada ao sentido numérico;
- criam intuitivamente a idéia de unitizar, relacionando ou não ao conceitual de
unidade de medida;
- produzem a idéia de ordenação pela intuição e sentido numérico.
Item VI
- verificam que o procedimental, desenvolvido nos itens anteriores, intui uma
característica de conceituação de ordem;
- produzem a idéia de ordenação pela intuição e sentido numérico;
- verificam a utilização da matemática escolar, através da reta numérica, para
caracterização da matemática da rua, no caso a cotação de dólar.
Item VII
- promovem, pela intuição, o desenvolvimento de analogias em Matemática;
- verificam que a justificação intui o número como relação entre duas unidades de
medidas distintas.
Item VIII
- promovam nas justificações a idéia de número no aspecto conceitual da aritmética
escolar, ou seja, as respostas relacionadas à intuição de que a trena traz unidades
de medidas trabalhadas na escola;
- promovam nas justificações a idéia de número como unidade de medida, pela
leitura de símbolos utilizados no cotidiano;
- promovam nas justificações a correlação entre número no aspecto conceitual da
aritmética escolar e no aspecto de cotidiano da aritmética da rua.
Descrição analítica das verificações realizadas na depuração desses itens, por
quantitativo de educandos que contribuíram para a categorização.
Número de participantes da atividade: 09 educandos
66
Tabela 1
Item número de educandos
I 08 II 03 III 07 IV 06 V 05 VI 07 VII 09 VIII 09
Complemento à análise dos itens
Alguns educandos demonstraram o estabelecimento de intuições frágeis, pois
se contradiziam em suas respostas, mas de forma interessante, durante a
socialização das respostas apresentadas na atividade, promoveram uma reflexão
sobre os discursos realizados. A partir do momento de socialização de respostas,
notou-se mais propriedade e segurança ao apresentarem as intuições registradas.
Na comparação proposta entre o patrimônio da cantora e o preço de um
automóvel (item II), os educandos tiveram dúvida em estabelecer uma relação entre
as escritas numéricas da atividade.
Muitos educandos estabeleceram a relação entre real e dólar de forma
contrária, idealizando uma tabela de correspondência de dólar para real, mas
registrando o valor do real no lugar do dólar e vice-versa. Quando da socialização
das respostas apresentadas, esses alunos foram capazes de perceber
imediatamente, o erro cometido e promoveram afirmações verbais coerentes com o
cálculo correto.
Durante a parte prática de medição da tela do notebook com uma trena, uma
parte do grupo estabeleceu a compreensão da existência de unidades de medidas
diferentes, mas sem nomeá-las corretamente. É interessante notar que, nesta etapa,
nenhum educando teve dúvida na leitura da representação utilizada na etiqueta do
notebook para a medida da tela, mas vários deles não fizeram relação alguma entre
o descrito na trena e a referida etiqueta. Isso ocorreu mesmo em casos em que a
quantidade numérica foi idêntica: 10 pela trena e 10 na etiqueta, como na figura
67
abaixo. Assim, é interessante notar esta deficiência de abstração como extração,
nesta parte da atividade.
Figura 1
Primeira Atividade – 2ª parte
Agrega-se valor a esta categoria para respostas que:
Item I
- utilizam procedimentos da aritmética escolar para resolver a questão corretamente.
Item II (possui dois aspectos distintos para a categorização)
- resolvem a primeira indagação da questão corretamente, utilizando-se os
referentes;
- demonstram a compreensão de número no significado de comparação na segunda
indagação da questão formulada, através de justificações ou afirmações.
Item III (possui dois aspectos distintos para a categorização)
- apuram a resposta correta por meio de procedimentos da aritmética escolar ou da
rua;
68
- demonstram o entendimento de número no aspecto quantitativo, independente de
sua escrita precedida de sinal negativo, pelas justificações apresentadas.
Item IV
- representam o significado de número no aspecto quantitativo pela Aritmética
escolar ou da rua, pelas justificações apresentadas;
- demonstram o significado de número e sua representação no aspecto quantitativo
por relações de comparação entre partes e todo, através de justificações.
Descrição analítica das verificações realizadas na depuração desses itens, por
quantitativo de educandos que contribuíram para a categorização.
Número de participantes da atividade: 11 educandos
Tabela 2
Item número de educandos
I 03 II 1ºaspecto 09 II 2ºaspecto 09 III 1ºaspecto 07 III 2ºaspecto 03
IV 08
Complemento à análise dos itens
Os educandos utilizaram procedimentos da Matemática escolar (figura 2)
como caminho para ordenação de números decimais (item I), o qual não contemplou
a utilização de referentes. Nota-se deficiência nessa resolução por vários
educandos.
Figura 2
69
Em seguida, com a utilização de referentes os educandos obtiveram êxito na
ordenação de números decimais.
É Importante ressaltar que todos os educandos apresentaram justificações ou
afirmações coerentes com a validação do entendimento significativo de número no
aspecto quantitativo, por meio de relações de comparação entre partes e todo e,
mesmo os que não expressaram tal preceito por escrito, o fizeram verbalmente
quando da socialização das respostas apuradas.
Os procedimentos usados pelos educandos, geralmente foram recursivos ao
visual, para a resolução do item abaixo:
III – Observando-se um atleta de salto em trampolim, tem-se:
- 1º. Salto: o trampolim tinha 5 metros de altura em relação ao nível da água na piscina e ele alcançou 3 metros
de profundidade nesta piscina;
- 2º. Salto: o trampolim tinha 4 metros de altura em relação ao nível da água na piscina e ele percorreu um total
de 6 metros, dentro e fora da água.
Faça uma ilustração sobre cada salto e depois represente a profundidade na água de cada salto com
um número inteiro e diga qual dos saltos teve maior profundidade na piscina.Justifique o motivo de você ter
utilizado o sinal de positivo ou negativo para o número inteiro.
Observam-se que os educandos tiveram dificuldade de apresentar
justificativas escritas para a utilização do sinal de positivo ou negativo no que se
refere à representação do número inteiro (item III – 2º. aspecto) . Durante a
socialização dos resultados foram apresentadas considerações verbais coerentes
com essa representação, nota-se pelas respostas apresentadas que a
transformação do procedimental para conceitual, no aspecto de representação de
número inteiro negativo, a partir da palavra profundidade da piscina, não é consenso
entre os educandos.
A proposição sobre a representação escrita de número com características da
Aritmética da rua e a relação entre parte e todo para a significação de número no
aspecto quantitativo foram demonstradas pelos educandos nas justificações escritas
e verbais do item seguinte. Ressalta-se, que apesar dessa representação
apresentar coerência, os educandos, durante a socialização, demonstraram
desconhecer o significado do ponto nos números utilizados nas notas dos atletas,
como por exemplo, a representação da nota 89,8 se fez por 89.8 no texto da
atividade. Esse fato denota uma dificuldade no processo de abstração como
idealização pelos educandos envolvidos na atividade.
70
4.2 Pensamento Relativo Aplicado às Estimativas
Na análise desta categoria, busca-se, inicialmente, a verificação, por
justificações ou afirmações, da capacidade do educando de reconhecer a idéia de
número, sem se preocupar com a situação-problema apresentada. Esta verificação
inicial observa se a concepção cognitiva é preponderante sobre a utilização do
conceitual matemático e, também, a existência de um pensamento relativo e não
absoluto, no que se refere à semântica da palavra raiz. Em seguida, a tônica
concentra-se no desenvolvimento da habilidade de estimar, também explicitada por
justificações ou afirmações. Finalmente, a utilização de referentes explorando as
estratégias condizentes ao pensamento relativo aplicado às estimativas é o ponto de
análise, prevalecendo sobre a efetividade de cálculo.
Agrega-se valor a esta categoria para respostas que:
Item I (possui dois aspectos distintos para a categorização)
- reconhecem o sinal da radiciação como operação, independente da significação
expressa no dicionário;
- apresentam justificações ou afirmações que trazem a idéia de raiz como base ou
potência fracionária.
Item II (possui dois aspectos distintos para a categorização)
- apresentam justificações ou afirmações que demonstram a utilização de
concepções cognitivas para desenvolvimento da atividade;
- apresentam justificações ou afirmações que ensejam o pensamento de uma raiz
como uma potência fracionária, sobrepondo-se ao conceitual apreendido em sala de
aula.
Item III
- demonstram a habilidade de estimar como condutora da resolução do problema,
pelas justificações ou afirmações apresentadas;
71
- denotam que a solução da raiz quadrada apresentada possa ser depurada pelo
procedimental pautado na habilidade de estimar ou pelo conceitual da Aritmética
escolar, aqui preconizado pelo algoritmo da decomposição em fatores primos.
Item IV
- denotam o entendimento de pensamento relativo até na escrita utilizada no
cotidiano, pelas justificações apresentadas.
Item V
- mostram a utilização de estratégias diferentes do conceitual relacionado aos
algoritmos, utilizados comumente no ambiente escolar;
- denotam correspondência entre a Aritmética escolar e a Aritmética da rua para a
resolução do item.
Item VI
- denotam procedimentos coerentes ao ideal para se estimar a presença de
espectadores citada no enunciado do item, pelas justificações apresentadas.
Descrição analítica das verificações realizadas na depuração desses itens, por
quantitativo de educandos que contribuíram para a categorização.
Número de participantes da atividade: 11 educandos
Tabela 3
Item número de educandos
I 1ºaspecto 10 I 2ºaspecto Nenhum II 1ºaspecto 01 II 2ºaspecto Nenhum
III 08 IV 10 V 05 VI 01
72
Complemento à análise dos itens
Os educandos tiveram muita dificuldade em justificações ou afirmações
escritas (item I – 2º aspecto), apesar da resolução correta da operação, para o
conceito matemático de raiz quadrada, o que verbalmente, durante a socialização de
respostas, ocorreu mais naturalmente.
As justificações apresentadas demonstram que os educandos manipularam a
significação de raiz apenas dentro da situação apresentada, pelo conceitual de
cálculo de raiz quadrada do contexto escolar, sem relação à significação de “base”
descrita no dicionário. Nota-se que os educandos embasaram-se no conceitual da
Aritmética escolar, direcionando toda e qualquer justificação ou afirmação ao
conceito de raiz quadrada, e raras exceções acrescentaram a idéia de operação
inversa da potenciação ao cálculo solicitado. Apenas um educando fez menção à
idéia de raiz em contextos distintos (item II - 1º aspecto). Não houve percepção
sobre a significação de número 6 do dicionário, que descreve uma “potência
fracionária” (item II – 2º aspecto).
Conclui-se que o pensamento relativo, situado apenas no contexto escolar,
sobressaiu nos dois primeiros itens da atividade, na qual buscava-se, também, a
utilização de estratégias que o educando pudesse estabelecer em qualquer
contexto, o que foi inviabilizado pois, em todas as justificações ou afirmações o foco
tomado era pautado no contexto escolar.
Nas justificações sobre a idéia de estimar, nota-se que a estimativa pode ser
um procedimento adotado no cálculo de raízes. Algumas contradições sobre a
habilidade de estimar foram depuradas quando da justificação escrita, o que não se
deu quando da socialização das respostas. O algoritmo de decomposição em fatores
primos utilizado como padrão de resolução, nesta fase da escolaridade, não foi
descartado, mas os educandos, diante do exemplo apresentado, mostraram
preferência pela idéia de estimar.
Na escrita de dimensões de um piso, onde temos “31cm x 31cm”, os alunos
compreenderam que o sinal de multiplicação não indicava o uso de algoritmo,
apenas um educando associou o algoritmo da multiplicação ao enunciado, num
aspecto de pensamento absoluto. Quanto à descrição sobre o formato do piso que
possuía as dimensões acima, ressalta-se que vários educandos não fizeram a
73
correlação entre a Geometria e a Aritmética por falta de embasamento na
construção de figuras planas, ou seja, não conseguiam diferenciar um retângulo de
um quadrado.
Na resolução do item sobre estimativa :
V – Em cada caixa de piso vem 10 unidades. Você seria capaz de estimar quantas caixas seriam usadas para
cobrir com pisos o chão de um quarto quadrado que mede 3,1 m por 3,1 m? Justifique sua resolução como você
quiser... desenhando, calculando, pensando, etc.
Nenhum educando fez menção ao uso da operação de multiplicação “31 x
31” , utilizada sem referentes no início da atividade, quando da resolução do item, e
todos que utilizaram os algoritmos usualmente trabalhados pela Aritmética escolar
para cálculo e comparação de áreas, fizeram novos cálculos.
Nota-se que cinco educandos utilizaram a habilidade de estimar para
resolução do item, sendo que, dentre eles, apenas um obteve a resposta correta,
mas com uma estimativa equivocada, chegando a resposta correta, mas sem
coerência no procedimento utilizado. O uso dos algoritmos utilizados na resolução
de problemas deste tipo, também não privilegiou a obtenção da resposta correta,
pois neste tipo de resolução nenhum educando demonstrou conhecimento sobre o
trabalho com medidas de comprimento ou de superfície.
A utilização do procedimental ou do conceitual descritos nos itens anteriores
seria a base para o estabelecimento de formas de estimar quando da proposição do
item VI. Em relação às respostas apresentadas, os educandos não se reportaram a
habilidade de estimar, exceto por um educando que apresentou a seguinte
justificativa:
Figura 3
74
4.3 Raciocínio Estruturado Aditivo
Na análise desta categoria, procura-se num primeiro momento, através do
sentido numérico, justificar a coexistência da Aritmética escolar e a Aritmética da
rua. Nessa justificativa, utiliza-se uma seqüência de pensamentos focados no
sentido estrutural operativo de número, diferente do usual em sala de aula. A
reflexão pelos educandos dos processos estruturais operativos que podem ser
utilizados torna-se imprescindível nesta atividade.
Agrega-se valor a esta categoria para respostas que:
Item I – a
- apresentam coerência para obtenção da resposta correta, independente de erro na
formalização.
Item I – b
- apresentam coerência para resolução do problema proposto na alínea anterior.
Item I – c
- definem o cálculo em estruturas semelhantes ao algoritmo utilizado em sala de
aula;
- definem o cálculo em seqüências de pensamentos que promovem a habilidade de
cálculo mental de cada educando.
Item I – d
- comparam o procedimento conceitual escolar ou de cotidiano utilizados nas alíneas
anteriores com o intuito de obter uma reflexão sobre a estrutura de cálculo proposta
pelo educando.
Item II (possui dois aspectos distintos para a categorização)
- ratificam a estrutura operativa do enunciado;
- apresentam coerência para resolução do problema proposto.
75
Item III
- formulam cálculos diferentes dos propostos no cotidiano escolar ou citados nos
enunciados desta atividade.
Item IV
- demonstram pelas justificações ou afirmações o entendimento da aplicação do
raciocínio aditivo numa situação de multiplicação, tendo como referência o aspecto
de cotidiano.
Item V
- apresentam desenvolvimento coerente à determinação da resposta correta e
traduzem a técnica de cálculo mental;
- apresentam a utilização de procedimentos inerentes à aritmética escolar ou a da
rua, e são eficazes na resolução proposta.
Item VI – a
- demonstram o entendimento do raciocínio aditivo em situações de multiplicação,
mesmo que não tenham pensado anteriormente neste processo.
Item VI – b
- demonstram em suas descrições o entendimento da aplicação do raciocínio aditivo
numa situação de multiplicação, tendo como referência o aspecto da aritmética
escolar ou aritmética da rua (sem uso de referentes);
- apresentam em suas descrições idéias de cálculo mental que evidenciam a
resolução correta, independente do raciocínio aditivo.
Item VII
- apresentam descrições que apuram o conceito de potenciação;
- apresentam descrições que apuram esquemas de resolução pautados em
seqüências, num aspecto de ordenação.
Descrição analítica das verificações realizadas na depuração desses itens, por
quantitativo de educandos que contribuíram para a categorização.
Número de participantes da atividade: 08 educandos
76
Tabela 4
Item número de educandos
I – a 08 I – b 08 I – c 08 I – d 08
II 1ºaspecto 07 II 2ºaspecto 08
III 02 IV 06 V 07
VI – a 08 VI – b 07
VII 03
Complemento à análise dos itens
Nota-se que todos os educandos relacionaram à solução do problema, no
caso o troco a ser recebido, com as operações de adição e subtração.
Quando da primeira proposição de cálculo mental da atividade, observa-se:
- quatro educandos se mantiveram nas estruturas de operações do cotidiano
escolar;
- dois educandos apresentaram a estrutura de operar partes inteiras e depois as
partes decimais;
- um educando apresentou a estrutura de trabalhar com partes decimais iguais e
depois acrescentar o valor retirado inicialmente de uma das partes decimais.
- um educando apresentou a estrutura aditiva para apuração do valor das despesas,
seguindo-se outra estrutura aditiva de partes para compor o inteiro.
Nas justificações apresentadas para o cálculo mental descrito na seqüência
da história, quando o troco é apurado através de adições de moedas e notas aos
gastos até chegar ao dinheiro dado para pagamento, nota-se que seis educandos
mantiveram o procedimento padrão da Aritmética escolar como necessário à
resolução de problemas que envolvem troco, realização da adição dos gastos e a
subtração do valor encontrado em relação ao dinheiro utilizado para pagamento.
Um educando posicionou-se favorável à estrutura de resolução do enunciado,
em virtude de ser sua praxe cotidiana, pois o mesmo auxilia os responsáveis em um
77
estabelecimento comercial da família. Outro educando manteve a sua posição de
resolver o problema através do enunciado por ser mais fácil se apurar a soma de
partes inteiras e depois a das partes decimais, para finalmente unir os valores
depurados.
Durante a socialização, notou-se que vários educandos não compreenderam
a estrutura descrita no enunciado, mas responderam que estava correto o
procedimento de resolução. Alguns deles não se preocuparam com valores mas,
sim, com procedimento, tanto que, numa reflexão, alguns acharam até que o troco
estava errado, mas o processo utilizado estava correto.
Na proposição sobre outras formas de cálculo para resolução do problema da
narrativa (item III), apenas dois educandos apresentaram uma formulação diferente
das utilizadas até o momento. É interessante notar que um deles teve a capacidade
de posicionar os valores monetários em termos de frações numéricas (figura 6), e
assim, realizar as contas, num aspecto de matemática escolar, independente da
unidade monetária ou padrão centesimal, procedimentos normalmente utilizados
neste tipo de questão. Este fato foi descrito pela explicação escrita e verbal do
educando.
Figura 4
Muitos educandos demonstraram, inicialmente, surpresa pelas idéias
apresentadas na última parte da história acerca do cálculo mental descrito, tecendo-
se comentários que definem interesse em utilizar tal técnica em situações
semelhantes à da narração. Este tipo de comportamento foi motivador, o que fez
este pesquisador aplicar um item extra, que não está presente neste trabalho por se
assemelhar aos propostos nas atividades, só para que eles pudessem socializar
com colegas outros tipos de procedimentos para o cálculo mental.
78
Na aplicação do pensamento aditivo em situações de multiplicação, apenas
dois educandos relataram que já fizeram uso do procedimento apresentado, antes
da realização desta atividade, mas todos ratificaram a estrutura de pensamento
como correta.
Na proposição de uma questão semelhante à anterior, mas com o uso da
forma de cálculo mental a critério do educando, houve a predominância de raciocínio
pautado na aplicação de propriedade distributiva, comum em cálculos mentais,
demonstrando entendimento de classes na ordenação de números. É interessante
relatar que um educando não relacionou o enunciado à obrigatoriedade de utilização
de cálculo mental, propondo um raciocínio diferente dos algoritmos usuais em sala
de aula, por agrupamento, mas apenas aplicável na forma escrita.
Finalmente, nota-se, quando da depuração de respostas apresentadas, que
não é prerrogativa de se transformar o procedimental de multiplicação com fatores
iguais em conceitual de potenciação (item VII).
4.4 Pensamento Proporcional
Na análise desta categoria leva-se em consideração a idéia de comparação
envolvendo partes e todo, focando-se em operações de multiplicação e divisão. A
ação de aproximar encaixa-se perfeitamente neste tipo pensamento, por caracterizar
uma ideia de comparação. A comparação exercida nesta atividade se desenvolve
sem referência à ideia de fração apenas, facultando ao educando aplicar sua
estrutura de pensamento. A dualidade de tratamento descrito nos itens, como
“partes” ou “copos”, traz uma ampliação da ideia de número, concernente ao sentido
numérico. Na parte final da atividade, propôs-se uma reflexão sobre operações de
multiplicação e divisão nas comparações entre grandezas, e as justificações não se
revestem de formalismos. A diversidade de procedimentos propôs a reflexão sobre
as descrições plausíveis do conceitual.
79
Agrega-se valor a esta categoria para respostas que:
Item I
- apresentam justificações que descrevem a compreensão de que as receitas
propostas não são equivalentes.
Item II
- apresentam justificações que descrevem a comparação das partes entre si ou das
partes e o todo para ratificar a desigualdade entre as receitas citadas.
Item III
- apresentam justificações coerentes sobre a ausência de referência do todo;
- apresentam justificações que reconhecem a utilização de uma unidade de medida
no item diferente da utilizada no enunciado do problema.
Item IV
- apresentam justificações que denotam reflexão sobre aplicabilidade da ideia
multiplicativa e não aditiva no pensamento proporcional.
Item V (possui dois aspectos distintos para a categorização)
1º. aspecto:
- apresentam a técnica de aproximação para solucionar o item;
2º. aspecto
- apresentam a operação de divisão ou outra estrutura cabível de pensamento, como
capaz de solucionar o item;
- apresentam justificações que solucionam de maneira coerente a dúvida da
personagem descrita no enunciado da questão.
Item VI
- demonstram a vinculação de frações no aspecto de comparação entre grandezas.
Item VII – a
- apresentam justificações que denotam o uso de referentes como condutor da
solução correta;
80
- apresentam justificações que descrevem as frações equivalentes, através da
operação de multiplicação, como condutoras da solução correta.
Item VII – b
- apresentam justificações que descrevem a comparação entre as partes, através da
operação de divisão, como condutora da solução correta.
Item VIII – c
- apresentam justificações que descrevem a comparação entre partes e todo, com o
uso de qualquer pensamento proporcional, como condutora da solução correta.
Descrição analítica das verificações realizadas na depuração desses itens, por
quantitativo de educandos que contribuíram para a categorização.
Número de participantes da atividade: 10 educandos
Tabela 5
Item número de educandos I Nenhum II Nenhum III 02 IV Nenhum
V ( 2 aspectos) Nenhum VI 04
VII – a 03 VII – b Nenhum VII – c 05
Complemento à análise dos itens:
Vários educandos relataram que a segunda receita seria a de sabor mais
forte, pela quantidade de ingredientes utilizados, fazendo menção à quantidade de
refresco obtida, ou seja, pensaram no rendimento de mais partes (figura 7), sem a
preocupação do sabor, quando da apresentação de respostas (itens I e II).
81
Figura 5
No tocante à mudança de expressão de “partes” para “copos” ( item III),
alguns educandos citaram a divergência entre as unidades de medidas
apresentadas no enunciado e no item, mas não conseguiram estabelecer uma
justificação satisfatória de entendimento quanto a uma possível solução para o
requerido.
Uma reflexão sobre a ideia de adição em situações de proporcionalidade, foi
utilizada no item abaixo:
IV – Repare que existe uma mudança na quantidade de partes entre a 1ª receita e a 2ª receita, que representa
um aumento de 2 partes de suco e 2 partes de água. Isso garante o mesmo sabor? Justifique
Por deficiência em aplicações coerentes com a ideia de proporcionalidade, o
item não obteve sucesso em reflexão, nem mesmo através de justificações. Dois
educandos responderam que as receitas não teriam o mesmo sabor mas, durante a
socialização das respostas, apresentaram que a justificativa para a resposta dada
era baseada no quantitativo de partes da segunda receita, sem a preocupação com
o sabor.
Também nenhum educando conseguiu obter a solução para a questão
apresentada sobre a idéia de unidade para suco ou água (item V), possivelmente
passível de resolução pela aplicação da divisão, o que inviabilizou a verificação
sobre o uso de aproximações na apresentação das respostas.
Alguns educandos não descreveram nenhuma relação entre as frações
apresentadas e a comparação entre as grandezas proposta no problema ( item VI),
o que faz refletir que a utilização de referentes não é prerrogativa para o
entendimento de razão como a escrita de uma fração.
Quando da apresentação de soluções para o problema proposto, na figura de
alunos fictícios (item VII), tem-se três ideias distintas e a consideração sobre o que
os educandos formularam :
82
1ª. – uso da ideia de frações equivalentes na comparação entre as partes, três
educandos fizeram a reflexão sobre a questão apresentada e, durante a socialização
de respostas, demonstraram decepção por não terem pensado sobre o sabor do
suco corretamente.
2ª. – uso da idéia de divisão na comparação entre as partes, nenhum educando
conseguiu entender a resolução.
3ª. – uso de qualquer idéia na comparação entre partes e todo, cinco educandos
apresentaram respostas correlatas à verificação proposta, mas numa análise mais
apurada das justificações apresentadas, nota-se certa fragilidade no tocante às
afirmações apresentadas. Nota-se, ainda, que os educandos não realizaram
nenhuma verificação para ver se a aproximação utilizada no enunciado do item
estava correta.
Diante do rendimento depurado na aplicação desta atividade, fez-se
necessária a reformulação dos itens, constante do apêndice B, com utilização da
ideia multiplicativa, com uso do dobro, no estabelecimento de comparações entre as
receitas. Com essa reformulação, procuram-se aproximações ao significado de
pensamento proporcional, de maneira gradativa, para melhor atingir o objetivo
proposto.
83
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Significados Finais
Neste capítulo, retoma-se a questão central desta pesquisa: o ensino de
Aritmética pautado em significados é possível de ser realizado? Indagação passível
de resposta após uma reflexão sobre o referencial teórico, o desenvolvimento
metodológico e os resultados auferidos.
A revisão bibliográfica proporcionou uma visão sobre as produções
acadêmicas e outras atividades relacionadas ao tema da pesquisa. Esse foi o ponto
inicial para verificar-se a exigüidade de trabalhos no campo de significados para o
ensino de Aritmética, bem como a análise de livros didáticos para busca de
referencial na atualidade do ensino escolar.
Para Lins e Gimenez (2006) o problema da Educação Matemática, hoje, não
pode ser apenas de descobrir maneiras melhores de ensinar a Matemática escolar,
de forma análoga à Aritmética escolar, nem tão pouco verificar o que pode ser
substituído por outra coisa, pois não se trata de novos conteúdos. O que se precisa
é de uma perspectiva diferente: reconceitualizar o papel da escola.
Assim, o caminho trilhado na pesquisa focou a metodologia do processo
ensino/aprendizagem ao trazer, para o ambiente escolar, as formas de significado
do ambiente da rua.
A metodologia se guia por questões práticas dos agentes envolvidos na
construção do conhecimento.
Pavanello (2004) considera que não basta permitir que o educando expresse
suas maneiras de raciocinar mas, sim que as explicações, justificativas e ações
sobre raciocínios utilizados sejam objetos de reflexão e análise para o próprio
educando e por parte do educador. O educador poderá compreender como o
educando pensa e este ter a compreensão de sua forma de pensar e da dos colegas
ao seu redor, assim gerenciando seu raciocínio.
Desta forma, o educador, como instigador do trabalho do educando, promove
o desenvolvimento do sentido numérico e a coexistência da Aritmética escolar e da
84
rua. Surge, portanto, a necessidade de se promover a construção desse
conhecimento aritmético observando:
- a valorização do raciocínio intuitivo;
- o pensamento relativo aplicado às estimativas;
- o raciocínio estruturado aditivo;
- o pensamento proporcional.
Destaca-se que a todo momento, processa-se o conhecimento, desde o início
de uma atividade até os instantes posteriores à socialização de respostas. Assim,
realiza-se uma reflexão de maneira sintética sobre a análise apresentada no corpo
deste estudo.
A valorização do raciocínio intuitivo se processa de maneira natural quando o
educando se coloca a vontade, para descrever o que seu raciocínio intui,
aprendendo com os erros porventura existentes, sem a obrigatoriedade de
formalizações imediatas sobre conceitos que se constroem. O uso de justificações e
afirmações corrobora com o processo de valorização do raciocínio intuitivo, por
desvincular-se de formalismos matemáticos e relacionar-se ao que se estrutura no
raciocínio. Desse ponto, que pode parecer o confinamento da construção do
conhecimento, emerge outra situação: a de adequação do que se formula pelos
envolvidos numa atividade, no raciocínio de cada educando, isto é, mesmo que a
intuição inicial não descreva o conhecimento necessário, valorizar o raciocínio e pela
socialização de resultados, promover novas conexões do educando ao conceito
trabalhado, denotam a construção do saber.
O pensamento relativo aplicado às estimativas apresenta-se com dois
sentidos de amplitude: o pensar fora do contexto e a habilidade de estimar. No
primeiro sentido houve relutância em seu desenvolvimento, em virtude do educando
estar consubstanciado ao contexto escolar. Quanto ao segundo sentido tem-se que
quando não é inerente ao pensamento do educando torna-se passível de
exploração, a habilidade de estimar, caso seja apresentada a ele. Nota-se que a
formulação proposta na atividade ao englobar este pensamento, teve um grau de
dificuldade considerável para os educandos, até na escolha de habilidades ou de
conhecimentos da Matemática escolar, a serem utilizados na resolução dos itens, e
também que o uso de referentes não facilitou a resolução do problema apresentado.
Assim mesmo, a oportunização desse tipo de pensamento pode ser feita no ensino
85
de Aritmética, por tratar-se de uma nova perspectiva para o trabalho em sala de
aula.
O raciocínio estruturado aditivo descreve a necessidade de estabelecimento
de estratégias, independente de formalizações matemáticas. O uso de um núcleo,
no que preceitua o sentido numérico, ao promover a coexistência da aritmética
escolar e da rua, faz-se como propulsor de uma variedade de pensamentos e
raciocínios por parte do educando. A “liberdade” de raciocínio usada pelo educando,
faz com que se produza uma habilidade de cálculo mental em consonância com a
estrutura de cada um. Portanto, o cuidado ao não estabelecer aspectos formais
imediatos ao raciocínio estruturado pelo educando, faz com que, através de sua
reflexão se verifique o estabelecimento de conceitos inerentes à Aritmética. Desta
forma se promove uma ampliação da idéia de número e operações quando
trabalhada no aspecto citado, complementando, assim, a Aritmética escolar já
assimilada até o momento.
O pensamento proporcional necessário à construção de comparações entre
partes entre si e partes e um todo, pode ser considerado uma base na estrutura de
outros pensamentos da Aritmética, bem como a Álgebra e Geometria. Uma análise
menos aprofundada sobre a atividade aplicada aos educandos pode denotar a
inexequidade desse pensamento quando se observam seus resultados. Para o
entendimento correto pontua-se que a atividade porta-se como o canal de
estruturação desse pensamento e, também, a experimentação como necessária à
compreensão de um conceito ou de sua ampliação, no caso, ampliar a ideia de
número. A produção de significados para os educandos no desenvolvimento desse
pensamento veio na socialização de respostas das atividades realizadas e com a
intervenção necessária do educador, voltada a uma argüição saudável e condizente
ao momento. O prejuízo dado à habilidade de aproximação na aplicação da
atividade inerente a este pensamento, deve ser entendido como estimulante para o
educador afim de que se proceda, no ambiente escolar, a formulações que
promovam aproximações ao pensamento proporcional e que em dado momento
“aproxime-as” não de forma conceitual mas, sim, experimental, no intuito de obter a
produção de significados.
86
Conclusão
Este estudo comprova a possibilidade do ensino de Aritmética no terceiro
ciclo do Ensino Fundamental de forma significativa, já que o sentido numérico e a
coexistência da Aritmética escolar e da rua respaldam, com coerência, essa
significação.
Para sua efetividade, sugere-se realizar atividades investigativas pautadas em
resolução de problemas que exploram o pensamento aritmético, contemplando
raciocínios relacionados à quantificação e ordenação, estimativas e aproximações,
cálculo mental e proporcionalidade.
O Produto
A dissertação, na qual é apresentada a produção teórica, base do trabalho
com atividades, apresenta-se como o primeiro produto final do Mestrado em Ensino.
O segundo produto, ainda a ser efetivado, após a apresentação da
dissertação, um pequeno livro paradidático, será direcionado ao exercício
profissional. A produção desse pequeno livro paradidático, composto pelas
atividades desenvolvidas no decorrer da pesquisa, tem o intuito de ser utilizado de
forma regular por profissionais que atuam no terceiro ciclo do Ensino Fundamental.
Um significado para o Pesquisador e a Continuidade
Finalmente, este estudo promoveu a reflexão necessária ao exercício da
docência deste educador, aqui um pesquisador, autor desta dissertação, que se vê
munido de ideais para a construção de um ensino-aprendizagem com significados e
ciente de que a amplitude de pesquisa no campo científico/profissional da Educação
Matemática ainda tem muito a ser trilhado. Nesse sentido, tem-se:
87
Como pesquisador, seu objetivo é sistematizar, analisar e compreender como acontece esse processo educativo dos alunos ou quais os limites e as potencialidades didático-pedagógicas dessa prática inovadora. Ou seja, a pesquisa visa extrair lições, aprendizagens ou conhecimentos das experiências docentes. Nesse sentido, uma experiência educativa pode resultar em um fracasso pedagógico, mas, do ponto de vista investigativo, a mesma experiência pode significar uma rica fonte de aprendizagem ou de produção de conhecimentos sobre a prática docente. (FIORENTINI; LORENZATO, 2006:76)
88
REFERÊNCIAS
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ZABALA, Antoni. A Prática Educativa: como ensinar . Porto Alegre: Artmed, 2007.
90
APÊNDICE A
Síntese da Revisão Bibliográfica
Título Autores Instituição
/ Evento
Tipo
Conjunto dos Números
Irracionais: A trajetória de um
conteúdo não incorporado às
práticas escolares
Keiji Nakamura PUC SP dissertação
Os alunos de 5ª. série/6º. Ano
frente a atividades sobre
observação e generalização
de padrões
Lucimeire Omoti
de Aquino
PUC SP Dissertação
Números Inteiros nos Ensinos
Fundamental e Médio
Aguinaldo José
Rama
PUC SP Dissertação
Um Estudo sobre o Cálculo
Operatório no Campo
Multiplicativo com alunos de
5ª. série do Ensino
Fundamental
Aparecida de
Lourdes
Bonanno
PUC SP Dissertação
Resolução de Problemas em
aulas de Matemática para
alunos de 1ª. a 4ª. séries do
Ensino Fundamental e a
Atuação dos Professores
Ivan Cruz
Rodrigues
PUC SP Dissertação
Investigações sobre Números
Naturais e Processos de
Ensino e Aprendizagem desse
tema no início da
Escolaridade
Icléa Maria
Bonaldo
PUC SP Dissertação
91
Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática para
o Ensino Fundamental: das
Prescrições ao Currículo
praticado pelos Professores
Mutsu-Ko
Kobashigawa
PUC SP Dissertação
Um Estudo com os Números
Inteiros nas Séries Iniciais:
Re-aplicação da Pesquisa de
Passoni
Humberto
Todesco
PUC SP Dissertação
O Professor, o Ensino de
Fração e o Livro Didático: Um
Estudo Investigativo
Aléxis Martins
Teixeira
PUC SP Dissertação
Investigação em Sala de Aula:
Uma Proposta de Atividade
em Salas de Aula no Ensino
Fundamental
Mari Emilia dos
Santos Calhau
PUC SP Dissertação
Análise de Situações de
Aprendizagem Envolvendo
Números Racionais: Uma
abordagem para o ensino de
argumentações e provas na
Matemática Escolar
Marcelo
Eduardo Pereira
PUC SP Dissertação
Construção do Termo Geral
da Progressão Aritmética pela
Observação e Generalização
de Padrões
Sebastião
Archilia
PUC SP Dissertação
Produzindo Significados aos
Números Reais Em um
Contexto Exploratório-
Investigativo
Thais de Oliveira
e Dario
Fiorentini
IX ENEM Comunica-
ção
Científica
Um Estudo sobre a Produção
de Significados para Números
Relativos
Viviane C A de
Oliveira e Ana
Clara S Araújo
IX ENEM Comunica-
ção
Científica
92
Números e Operações: Uma
reflexão sobre os Significados
das Operações e dos
Algoritmos no Ensino
Fundamental
Gracivane
Pessoa, Cristina
A Rocha, José A
A Pereira e José
M Silva Filho
IX ENEM Minicurso
Diferentes Tipos de
Problemas no
Desenvolvimento de
Diferentes Habilidades de
Pensamento
Norma Suely G
Allevato
IX ENEM Minicurso
Tratamento da Informação na
Educação Básica: Aritmética
Modular e os Códigos de
Identificação do Cotidiano
Ilydio Pereira de
Sá
IX ENEM Minicurso
Buscando Significados para a
Teoria dos Números como
Saber a Ensinar na
Licenciatura em Matemática
Marilene Ribeiro
Resende
IX ENEM Minicurso
Pensamento Reverso no
Ensino de Matemática
Antonio Carlos
Brolezzi
IX ENEM Minicurso
Psicologia e Educação
Matemática na Escola
Primária: do Contar para a
Aritmética
David A da
Costa e Wagner
Valente
IX ENEM Pôster
Apropriação das
Significações do Conceito de
Divisão de Números
Racionais
Marlene P
Amorim e
Ademir Damazio
ANPED Grupo de
Trabalho
Contando Histórias nas Aulas
de Matemática:
Produção/Mobilização de
Conceitos na Perspectiva da
Resolução de Problemas
Débora O
Andrade e
Regina Célia
Grando
ANPED Grupo de
Trabalho
93
Discursos sobre a Matemática
Escolar: Um Estudo a partir
da Revista Nova Escola
Cláudio José de
Oliveira
ANPED Grupo de
Trabalho
Análise Exploratória de
Dados: Um Estudo
Diagnóstico sobre
Concepções de Professores
Cileda Q Silva e
Maria Inez
Miguel
ANPED Grupo de
Trabalho
Números Racionais:
Conhecimentos da Formação
Inicial e Prática Docente na
Escola Básica
Plínio C Moreira
e Maria Manuela
M S David
UNESP bolema
94
APÊNDICE B
Caderno de Atividades Reformulado
Atividade 01 – O Sentido dos Números e as Intuiçõe s
1ª. Parte
Leia o texto abaixo e depois responda o que se pede.
“A imprensa muitas vezes utiliza formas diferentes de escrita na publicação de suas
notícias”. Observe duas notícias divulgadas recentemente:
“... Uma famosa cantora internacional tem um patrimônio de 25 mi de dólares...”
“...Uma bolsa de uma grife de luxo pode custar até 40 mil reais...”
Ao observar as notícias você pode informar:
I – Se o patrimônio da cantora tem valor muito alto?
II – Se um automóvel importado da montadora alemã Audi é vendido por 250.000
reais, você acha que ela poderá comprar muitos desses veículos? Justifique
III – Quando a notícia foi editada e publicada o dólar estava cotado em R$2,00, qual
o valor do patrimônio da cantora em reais?
IV – Quantos dólares custa a bolsa pela cotação do item anterior?
V – Você pensou que o valor de cotação do dólar em R$2,00 serviu como uma
unidade de medida?
Você seria capaz de criar uma tabela de conversão das duas moedas, na ordem de
real para dólar?
VI – Num sentido de reta numérica faça a representação conjunta das unidades
monetárias, real e dólar, isto é, numa reta só você tem que marcar as unidades do
real e as do dólar sem dizer qual é qual, mas colocando o real na parte debaixo da
reta e o dólar na parte de cima.
VII – Observando uma “trena”, instrumento utilizado em medições, justifique a
demarcação de dois tipos de numeração no objeto.
VIII – Usando a trena, faça a medida da diagonal da tela do notebook que o
professor José Ricardo levou para a sala de aula e veja as descrições das
95
características que estão em sua etiqueta que avistamos quando abrimos o
computador.
O que você associa quanto à medida realizada e o conteúdo da etiqueta, que veio
da fábrica que produziu o equipamento?
2ª. Parte
O professor Ricardo anotou no quadro os seguintes números: 0,495; 0,6 e 0,08,
depois pediu para que seus alunos colocassem os números em ordem crescente.
I – Qual seria a resposta correta?Relate como você resolveu a questão
Observe os três quadrinhos abaixo, que mostram o troco que cada menino de uma
turma do colégio recebeu depois de pagar um lanche na cantina.
II – Represente cada troco na forma decimal e diga qual deles recebeu o menor e o
maior troco. Relate como você resolveu a questão.
Você consegue dizer quem gastou mais dinheiro na lanchonete? Como você justifica
sua resposta?
Observando-se um atleta de salto em trampolim, tem-se:
96
- 1º. Salto: o trampolim tinha 5 metros de altura em relação ao nível da água na
piscina e ele alcançou 3 metros de profundidade nesta piscina;
- 2º. Salto: o trampolim tinha 4 metros de altura em relação ao nível da água na
piscina e ele percorreu um total de 6 metros, dentro e fora da água.
III – Responda:
a) Faça uma ilustração sobre cada salto
b) Represente a profundidade na água de cada salto com um número inteiro e diga
qual dos saltos teve maior profundidade na piscina.Justifique o motivo de você ter
utilizado o sinal de positivo ou negativo para o número inteiro.
Observando o placar de pontuação do atleta no segundo salto, tinha-se notas
maiores do que as registradas no primeiro salto, isso porque essa pontuação não se
relaciona com a profundidade obtida na piscina ou até mesmo com a altura do
trampolim. O interessante quando se observa a nota é que elas apareceram da
seguinte maneira: 89.8 no primeiro salto e 92.0 no segundo salto.
IV – Responda:
a) Essas notas são altas? Justifique sua resposta.
b) O que significam os pontos que aparecem nas notas?
Atividade 02 – Estimar Ações tem significados
Raiz: sf. 1. Bot. Porção do eixo da planta que cresce para baixo, ger.dentro do solo,
fixando-a e fornecendo-lhe água e nutrientes. 2. Parte inferior;base.3. Anat. A parte
do dente implantada na maxila. 4. Princípio, origem.5.Gram. A parte básica da
estrutura da palavra. 6. Mat. Potência fracionária de um número. [Pl.:raízes]
Fonte: Mini Aurélio Século XXI
97
Observe as significações dos números 2 e 6 extraídas de um dicionário, sobre a
palavra raiz.
I – Responda:
a)A palavra raiz você já ouviu falar em Matemática e por isso pergunto qual a
resposta para 36?
b) Qual o significado que você dá para a resposta?
Não foi explicado o porquê se colocou um significado do dicionário numa atividade
de Matemática.
II – Responda:
a) Você saberia explicar porque se falou de raiz e depois pediu para se calcular
36? Em sua opinião, por que foi destacado o significado número 2 para a palavra
raiz, que diz base, além do referente à Matemática?
b)E no significado número 6 que se refere à Matemática você sabe dizer o motivo de
potência fracionária de um número? Explique o que você entende desse significado,
se quiser exemplifique.
III – Mais um pouco sobre “raiz”...
Um professor propôs aos alunos o cálculo da seguinte raiz quadrada 961, mas que
explicassem como acharam a resposta. Um aluno tentou fazer o cálculo da raiz
quadrada por decomposição em fatores primos e não conseguiu. Seu colega fez o
cálculo por tentativas e chegou à resposta.
Veja o que professor observou no rascunho de cada aluno:
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1º. aluno
961 não divide por 2, pois não é par
961 não divide por 3, pois a soma de seus algarismos não é um número divisível por
3
961 não divide por 5, pois não termina em 5 e nem em zero
961 não divide por 7, fez a conta e viu resto
961 não divide por 11, fez a conta e viu resto
961 não divide por 13, fez a conta e viu resto
961 não divide por 17, fez a conta e viu resto E assim o aluno desistiu...
2º. aluno
10 . 10 = 100
20 . 20 = 400
30 . 30 = 900
Vou tentar 31 . 31 ... como a unidade do produto dá 1, ele estimou que o resultado
seria certo... armou a conta e viu que 31.31 dava 961 então escreveu que a resposta
seria 31.
Você acha que o 2º. aluno fez a questão corretamente? Você acha que ele fez uma
estimativa do resultado? Justifique a sua resposta.
Uma caixa de pisos vem com a seguinte descrição de medidas para cada unidade
de piso: 31 cm x 31 cm.
IV – O que significa isso, a caixa está informando para gente multiplicar 31 por 31?
Qual o formato desse piso?Justifique suas respostas.
Em cada caixa de piso vem 10 unidades. O chão de um quarto quadrado que mede
3,1 m por 3,1 m.
V – Você seria capaz de estimar quantas caixas seriam usadas para cobrir o chão
do quarto com pisos? Justifique sua resolução como você quiser... desenhando,
calculando, pensando, etc.
99
Num show de um cantor famoso foi estimada uma presença de 35.000
espectadores. Para assistir o show não foi colocado nenhum tipo de cadeira, todos
os presentes estariam de pé.
VI – Explique como se chegou a este número de pessoas para a platéia.
Atividade 03 – Números e Operações: Pensando e Rac iocinando
UM DIA NO COMÉRCIO
No bairro de Patrícia tem uma padaria onde sua mãe compra sempre alguma coisa
para o lanche. Essa padaria fica um pouco distante de sua casa, e às vezes, a mãe
de Patrícia compra num barzinho em frente à sua casa, o que precisa para o lanche,
principalmente em dias de chuva. A Patrícia é uma estudante muito dedicada e
observadora. Vamos conhecer algumas situações que a Patrícia vivenciou...
Um dia ela foi a padaria com sua mãe e ficou observando como a moça do caixa
dava o troco... a máquina registradora já dizia para a moça qual era o troco a ser
dado numa tela igual de um computador...primeiro a moça registrou os itens que sua
mãe comprou e depois ela registrou o dinheiro que foi dado para pagamento das
despesas. Em seguida, no visor apareceu o valor do troco a ser dado. A mãe de
Patrícia gastou nas compras R$3,40 com pães e R$4,95 com outros produtos,
dando uma nota de 10 reais para pagamento.
I – Agora pense e responda:
a) Qual foi o troco recebido pela mãe de Patrícia?
b) Que operações você acha que foram feitas pela máquina do caixa nestas
compras para apresentar o valor do troco?
c) Se você tivesse que fazer o cálculo mentalmente para dar o troco, como faria da
maneira mais rápida possível?
d) Você acha que a máquina poderia fazer um cálculo igual ao seu? Justifique
100
Continuando a história...
Outro dia a Patrícia foi ao barzinho com sua mãe e observou que lá a
máquina registradora não informava o valor do troco, sua tela era pequena e preta
com números verdes, mas ela ficou impressionada como a moça do caixa fez a
conta rapidamente para dar o troco à sua mãe. A situação da compra foi a seguinte:
a mãe de Patrícia comprou refrigerantes por R$4,15 e outros produtos que custaram
R$2,95, e depois deu uma nota de 10 reais para pagamento dos gastos.
Curiosa, perguntou a moça como ela tinha feito a conta... A moça explicou:
- peguei R$2,95 e coloquei os R$0,05 dos R$4,15... aí deu R$3,00 que eu somei
com R$4,10 que sobrou, pronto deu R$7,10. Na hora de dar o troco para R$10,00,
peguei R$0,40 centavos em moeda e pensei R$7,50, depois peguei R$0,50 e pensei
R$8,00 e depois peguei uma nota de 2 reais e pensei R$10,00.
Patrícia adorou o jeito de fazer conta da moça... muito diferente do que ela costuma
fazer na escola quando tem um problema desse tipo...
II – Agora é sua vez de responder... você acha que a moça fez a conta
corretamente? Você usaria quais operações para dar o troco à mãe de Patrícia? Por
que você pensou nessas contas?
III – Você seria capaz de dar o troco da padaria fazendo de outra maneira a conta?
Explique como faria.
... a Patrícia agora observa tudo... vamos continuar...
Patrícia agora fica observando a moça do caixa do barzinho e outro dia se
deparou com outra situação interessante...
Ela foi comprar 8 pãezinhos que custavam R$0,15 cada um... e levou uma nota de 2
reais. Num instante a moça fez as contas e entregou o troco para Patrícia. Patrícia
olhou para ela e disse :
- sei como você fez as contas...
A moça abriu um sorriso e perguntou para a menina:
- Como?
A menina respondeu como pensou:
- Você fez R$0,10 vezes 8 é igual a R$0,80 centavos, mais R$0,05 vezes 8 que é
igual a R$0,40... depois somou R$0,80 + R$0,40, total R$1,20... e o troco você
pegou R$0,30 e pensou R$1,50, depois pegou R$0,50 e pensou R$2,00.
101
Patrícia olhou para a moça com triunfo de saber fazer contas mentalmente.
A moça sorriu novamente para Patrícia e disse calmamente:
- Minha querida menina, você pensou corretamente... mas eu não pensei assim.
Patrícia se assustou e perguntou:
- Como você pensou????
A moça explicou:
- Como 1 pão custa R$0,15, pensei 2 pães custam R$0,30, então 4 pães R$0,60 e
finalmente 8 pães R$1,20...
A moça deu um novo sorriso para a menina e completou:
- Eu pensei em somas que fossem o dobro...
A menina logo perguntou:
- E o troco???
A moça respondeu:
- Você me deu R$2,00 e a conta era R$1,20... logo pensei R$2,00 menos R$1,00 é
igual a R$1,00 e daí eu tirei os R$0,20, pronto troco de R$0,80.
Aí foi a vez de Patrícia sorrir e dizer:
- legal, agora já sei que posso pensar de maneiras diferentes em situações
parecidas.
Patrícia saiu feliz do barzinho.
Agora é com você, pensa um pouco e responda:
IV – Você entendeu como a moça do caixa fez as contas? Você achou correto fazer
assim? Diga o que você achou da forma que a moça fez as contas.
V – Como você faria essas contas mentalmente?
VI – Responda:
a)Quando você multiplica algum valor por 8, você já pensou em somar dobros como
a moça fez? Se você for além da adição e pensar em multiplicar por 2, depois por 2
novamente, e depois por 2, no final dá certo?
b) Tenta multiplicar o número 35 por 8 sem armar a conta, faz um cálculo mental, e
escreva como foi seu raciocínio.
VII – Do jeito que a moça fez as contas, se pensarmos de forma mais complexa
como uma multiplicação, temos que: multiplicar por 8 é como se multiplicarmos por 2
e depois por 2 e depois por 2... isso lembra alguma outra operação que você
conheceu em Matemática? Se lembrar diga qual e porque você acha que lembra.
Atividade 04 – Propor Ação
102
Observe a história abaixo e depois pense um pouco para responder as questões
pedidas:
Dona Giselda vai fazer um refresco para seu filho e três amigos que vão
estudar para a prova de Matemática, mas na hora de fazer ela ficou com uma
dúvida, pois achou duas receitas e não sabia qual delas usar. A única coisa que
Dona Giselda sabia era que o refresco ficasse com um gosto bem forte de fruta.
Veja as receitas que ela encontrou:
1ª. receita:
Despejar numa jarra 6 partes de suco concentrado e 8 partes de água. Adoce a
gosto.
2ª. receita:
Despejar numa jarra 12 partes de suco concentrado e 14 partes de água. Adoce a
gosto.
Como Dona Giselda gosta muito de Matemática e também entende muito
bem como lidar com receitas, ela rapidinho eliminou a dúvida... Agora eu não vou lhe
contar qual receita Dona Giselda fez, pois você vai ter que pensar ... e muito mais do
que escolher a receita, você vai responder algumas questões de Matemática e tirar
suas próprias conclusões sobre as receitas e outras situações...
I – Você sabe explicar porque a mãe do menino teve dúvida sobre qual receita
fazer?
II – O refresco em cada receita ficará com o mesmo sabor? Se você acha que não,
diga qual refresco ficará com o sabor mais forte. Justifique sua resposta.
III – Se a mãe do menino fizer a 2ª. receita, você acha que cada criança poderá
tomar 4 copos de refresco? Justifique sua resposta
IV – Repare que existe uma mudança na quantidade de partes entre a 1ª receita e a
2ª receita, que representa um aumento de 6 partes de suco e 6 partes de água. Isso
garante o mesmo sabor? Justifique
V – Pensando de forma a relacionar as quantidades do problema descrito em caráter
de comparação entre partes, tem-se: na 1ª receita se usarmos 1 parte de suco, qual
deve ser a utilização aproximada de água? Que operação ou pensamento você usou
para encontrar sua resposta? Explique como resolveu esta situação.
Na 2ª receita qual a quantidade de água a ser utilizada para uma parte de suco?
103
Após os cálculos você é capaz de indicar qual seria uma solução para a dúvida da
Dona Giselda?
VI – Se pensássemos em frações em cada receita:
a) A fração 6/8 na 1ª. receita tem qual significado para você?
b) E a fração 12/14 na 2ª. receita?
VII – Para resolver o problema da história, ou seja, qual receita fazer e justificar a
resposta, vou mostrar a resolução apresentada por 3 alunos, identificados pelo
nome, e quero que você pense em cada uma delas e depois responda ou justifique o
que se pede:
a)Paulinho
o aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
56
42
7
7
8
6 == Xacoposdeágu
ocoposdesuc
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
56
48
4
4
14
12 == Xacoposdeágu
ocoposdesuc
Depois respondeu que a 2ª. receita tem mais sabor.
Você concorda com a forma que esse aluno resolveu a questão? Se você acha que
ele deu a resposta certa ou errada, justifique como você pensou para tirar sua
conclusão.
b) Jorginho
O aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
Nesta receita olhando os copos de água tenho que metade de 8 é igual a 4, então se
eu colocar mais metade de 4, que é 2, fico com 6. Isso é a quantidade de suco
usado na receita.
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
Nesta receita olhando os copos de água tenho que metade de 14 é igual a 7, então
se eu colocar mais metade de 7, que é 3,5, fico com 10,5. Isso é menos que a
quantidade de suco usado na receita.
Concluo então que a 2ª. receita tem mais sabor.
Você entendeu as contas do aluno? Explique o que entendeu
104
c) Pedrinho
o outro aluno resolveu o problema assim:
Leu a 1ª. receita e pensou assim:
Tenho 6 partes de suco e 14 partes de refresco (6 de suco e 8 de água) que forma a
fração 6/14 que dividindo o número de cima pelo número de baixo dá
aproximadamente 0,42.
Leu a 2ª. receita e pensou assim:
Tenho 12 partes de suco e 26 partes de refresco (12 de suco e 14 de água) que
forma a fração 12/26 que dividindo o número de cima pelo número de baixo dá
aproximadamente 0,46.
Concluo que a 2ª. Receita tem mais sabor.
Você entendeu as contas do aluno? Explique o que entendeu