POLINÔMIOSPOLINÔMIOS

MatemáticaMatemática

DortaDorta

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

Se um corpo é atirado verticalmente para Se um corpo é atirado verticalmente para cima, sem resistência do ar, a altura em cima, sem resistência do ar, a altura em

relação ao tempo é determinada por uma relação ao tempo é determinada por uma função polinomial do segundo grau.função polinomial do segundo grau.

Uma situação possível é:Uma situação possível é:

Este é um exemplo de aplicação de função Este é um exemplo de aplicação de função polinomial. Conhecendo esta função podemos polinomial. Conhecendo esta função podemos saber por exemplo para que valores de t, medido saber por exemplo para que valores de t, medido em segundos, corresponde uma altura de 25 em segundos, corresponde uma altura de 25 metros. metros.

ttth 305)( 2

Pode-se perceber por meio deste Pode-se perceber por meio deste exemplo que você já utilizava as exemplo que você já utilizava as

equações e funções polinomiais. A equações e funções polinomiais. A partir desse momento vamos partir desse momento vamos

aprofundar o estudo sobre polinômios. aprofundar o estudo sobre polinômios.

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

Uma função polinomial é toda função Uma função polinomial é toda função definida pela relação:definida pela relação:

012

22

21

1 ...)( axaxaxaxaxaxP nn

nn

nn

SIGNIFICADOSSIGNIFICADOS

complexos. números

dos conjunto ao pertence x A variável

Nn

reais. números são

,a ,a ,a ..., ,a ,a ,a escoeficient Os 0122-n 1-nn

EXEMPLOSEXEMPLOS

0)( )5

6)( )4

5)( )3

9543)( )2

7542)( )1

52

23

xP

xP

xxP

xxxxP

xxxxP

GRAU DE UM POLINÔMIOGRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é definido O grau de um polinômio é definido pelo expoente de maior valor com pelo expoente de maior valor com coeficiente não-nulo.coeficiente não-nulo.

Notação: gr(P) = nNotação: gr(P) = n

EXEMPLOSEXEMPLOS

7542)( )1 23 xxxxP

3 gr(P)

9543)( )2 52 xxxxP

5 gr(P)

EXEMPLOSEXEMPLOS

xxP 5)( )3 1gr(P)

6)( )4 xP 0)( Pgr

0)( )5 xP

polinomio destegrau odefinir possível é não

POLINÔMIO IDENTICAMENTE POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULONULO

Um polinômio é identicamente nulo se Um polinômio é identicamente nulo se todos os seus coeficientes são nulos e, todos os seus coeficientes são nulos e, portanto, não se define grau de P(x).portanto, não se define grau de P(x).

P(x) = 0P(x) = 0

IDENTIDADE DE POLINÔMIOSIDENTIDADE DE POLINÔMIOS

Dois polinômios de mesmo grau são Dois polinômios de mesmo grau são idênticos se, e somente se, os idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesmo grau coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.são iguais.

Notação: Notação:

)()( xQxP

EXEMPLO DE IDENTIDADEEXEMPLO DE IDENTIDADE

,

865 22

Assim

xxcbxax

8 6 ,5 ceba

VALOR NUMÉRICO DE UM VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIOPOLINÔMIO

O número que se obtém substituindo x por O número que se obtém substituindo x por a é o valor numérico do polinômio para a é o valor numérico do polinômio para x = a.x = a.

Notação:Notação:

P(a) é o valor numérico do polinômio para P(a) é o valor numérico do polinômio para

x = ax = a

EXEMPLO 1EXEMPLO 1

2)1(

651)1(

61.51)1(

65)(

2

2

P

P

P

xxxP

OBSERVAÇÃO SOBRE O OBSERVAÇÃO SOBRE O EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:

LeituraLeitura: o valor numérico de P(x) para : o valor numérico de P(x) para x=1 é 2.x=1 é 2.

Quando desejamos obter Quando desejamos obter a soma dos a soma dos coeficientescoeficientes de um polinômio P(x), basta de um polinômio P(x), basta substituir x por 1. substituir x por 1.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2

6)0(

600)0(

60.50)0(

65)(

2

2

P

P

P

xxxP

OBSERVAÇÃO SOBRE O OBSERVAÇÃO SOBRE O EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:

LeituraLeitura: o valor numérico de P(x) para : o valor numérico de P(x) para x=0 é 6.x=0 é 6.

Quando desejamos obter Quando desejamos obter o termo independente de um polinômio P(x), de um polinômio P(x), basta substituir x por 0. basta substituir x por 0.

EXEMPLO 3EXEMPLO 3

0)2(

6104)2(

62.52)2(

65)(

2

2

P

P

P

xxxP

OBSERVAÇÃO SOBRE O OBSERVAÇÃO SOBRE O EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:

LeituraLeitura: o valor numérico de P(x) para : o valor numérico de P(x) para x=2 é 0.x=2 é 0.

Quando substituímos x por um Quando substituímos x por um determinado valor a e obtemos P(a)=0, determinado valor a e obtemos P(a)=0, então a é raiz do polinômio. então a é raiz do polinômio.

EXEMPLO 4EXEMPLO 4

0)3(

6159)3(

63.53)3(

65)(

2

2

P

P

P

xxxP

OBSERVAÇÃO SOBRE O OBSERVAÇÃO SOBRE O EXEMPLO 4:EXEMPLO 4:

LeituraLeitura: o valor numérico de P(x) para : o valor numérico de P(x) para x=3 é 0.x=3 é 0.

Assim, o polinômio citado possui duas Assim, o polinômio citado possui duas raízes.raízes.