Polinômios

Em matemática, funções polinomiais, polinómios  ou polinômios  são uma classe importante de funções e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinômios são muito simples de se avaliar e por consegue.

História: Determinar as raízes de polinômios, ou "resolver equações algébricas", é

um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios, tais como f(x) = x2 + 1,

não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de

candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se

passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinômio

(não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas

concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinômios de grau

até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equação quadrática, Gerolamo

Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar

aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode

haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a

determinação de raízes de polinômios de grau igual ou superior ao 5º em termos de

coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria de

Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinômios.

Definição (caso real)

Para a sucessão de termos   (ou  ) com  , um polinômio

de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma.

Alternativamente, o polinômio pode ser escrito recorrendo-se à notação sigma

Os números   são denominados de coeficientes do polinómio e o

termo a0 de coeficiente constante, ou termo independente.

Cada elemento somado avxv do polinômio é denominado por termo. Um

polinômio com um, dois ou três termos é chamado

de monômio, binômio ou trinômio respectivamente.

Em relação ao grau, os polinômios podem ser classificados como a

seguir:

Grau 0 - polinômio constante;

Grau 1 - função afim (polinômio linear, caso a0 = 0);

Grau 2 - polinômio quadrático;

Grau 3 - polinômio cúbico.

Grau n - polinômio de grau n.

Pode-se estender a definição de polinômio para incluir f(x) = 0,

chamado polinômio nulo. O polinômio nulo não possui grau definido.

Uma equação polissômica ontem quando o polinômio é igualado a zero, ou seja:

.

Desta forma podemos falar em raízes do polinômio f(x) e encontrar os valores

de x que tornam a igualdade verdadeira, isto é, busca-se a raíz do polinômio f(x) que é um

valor de x tal que torne f(x) = 0. Um número que satisfaz uma equação polissômica é

chamado de número algébrico. Por exemplo:   é algébrico e valida o polinômio x2 − 2 =

0 pois  .

Definição (genérica)

A definição acima de um polinômio com coeficientes reais (ou complexos) pode ser

generalizada para polinômios com coeficientes em estruturas algébricas mais gerais. O

resultado é o anel de polinômios.

Seja   um anel. Então podemos considerar o conjunto   

das funções   que tem suporte finito, ou seja, para as quais o

conjunto   é finito. Essas funções representam os coeficientes do

polinômio (notar que   é uma forma de se escrever  ).

O objetivo é escrever uma soma e um produto neste conjunto, de forma que as

seqüências do tipo (k, 0, 0,...) funcionem como os escalares, e a seqüência do tipo (0, 1,

0,...) funcione como o x dos polinômios.

A definição de   e   é feita pelos seus coeficientes, ou seja:

Deve-se observar que as duas definições fazem sentido,

pois a soma e o produto destas séries tem suporte finito.

Falta provar os axiomas de anel para  , o que é

fácil mas trabalhoso, e que a função

Definida por:

é um isomorfismo entre A e  .

Isso mostra que A pode ser visto como um anel

de  .

Se o anel A possui identidade multiplicativa,

então definindo x como a função:

Notas

Equações cujas soluções são números inteiros ou racionais são chamadas

de Equações Diofantinas.

Os polinômios até o grau n e o polinômio nulo formam um espaço vectorial que é

normalmente denominado por Πn. Neste artigo os polinômios foram representados a partir de

uma base monomial (ex.: 1,x,x2,...,xn) mas deve ser

Verifica-se que os elementos de   são todos da forma notado que qualquer

outra seqüência polinomial pode ser usada como base, como por exemplo os polinômios de

Chebyshev.

Se D é um domínio de integridade, então o anel dos polinômios   também é um

domínio de integridade.

Se F é um corpo, então o anel dos polinômios   é uma álgebra sobre o corpo F.

Como espaço vectorial,   tem uma base enumerável. A base canônica é o

conjunto  ..

Referências

Polinomial - Math Word, em inglês

The Development of Álgebra

http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio