Lista de exerccios: Modelagem matemtica

Otimizao Combinatria

Nas questes abaixo:

i) Formule e apresente o modelo matemtico. Caso no esteja, coloque na forma padro.

ii) Especicar as variveis, nmero de vriveis e nmero de restries (desconsiderar as restries triviais

x R+).

Questo 1:

Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 reais e o lucro unitrio deP2 de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar umaunidade de P2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas paraos dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com oobjetivo de maximizar o lucro da empresa. (Assumir que as quantidades podem ser fracionrias)

Resposta:

Variveis:

x1 = Quantidade do produto P1 produzido por ms.x2 = Quantidade do produto P2 produzido por ms.

max 100x1 + 150x2s.a. 2x1 + 3x2 120

x1 40x2 30x1, x2 R+

N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 3

Questo 2:

Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentao diria, de um mnimo de 15 unidades de protenas

e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos

A e B. Um Kg do produto A contm 3 unidades de protenas, 10 unidades de carboidrato e custa R$ 2,00.

Um Kg do produto B contm 6 unidades de protenas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. Formule o

modelo matemtico das quantidade que devero ser compradas de cada produto de modo que as exigncias da

alimentao sejam satisfeitas a custo mnimo?

Resposta:

Variveis:

xa = Quantidade do produto A em kg.xb = Quantidade do produto B em kg.

min 2xa + 3xbs.a. 3xa + 6xb 15

10xa + 5xb 20xa, xb R+

1

2Na forma padro:

max 2xa 3xbs.a. 3xa 6xb 15

10xa 5xb 20xa, xb R+

N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 2

Questo 3:

Uma empresa de ao tem um rede de distribuio conforme a Figura 1. Duas minas M1 e M2 produzem40t e 60t de mineral de ferro, respectivamente, que so distribudos para dois estoques intermedirios S1 e S2.A planta de produo P tem uma demanda de 100t de mineral de ferro. As vias de transporte tm limites detoneladas de mineral de ferro que podem ser transportadas e custos de transporte por toneladas de mineral de

ferro (veja gura). A direo da empresa quer determinar a transportao que minimiza os custos.

Fig. 1: Rede de distribuio de uma empresa de ao.

Resposta:

Variveis:

xij = Quantidade transportada da mina i para o depsito j.y1 = Quantidade do depsito j para a planta de produo P .*quantidade em toneladas.

min 2000x11 + 1700x12 + 1600x21 + 1100x22 + 400y1 + 800y2s.a. x11 + x12 = 40

x21 + x22 = 60x11 30x12 30x21 50x22 50y1 70y2 70x11 + x21 y1 = 0x12 + x22 y2 = 0y1 + y2 = 100x11, x12, x21, x22, y1, y2 R+

3Na forma padro:

max 2000x11 1700x12 1600x21 1100x22 400y1 800y2s.a. x11 + x12 40

x11 x12 40x21 + x22 60x21 x22 60x11 30x12 30x21 50x22 50y1 70y2 70x11 + x21 y1 0x11 x21 + y1 0x12 + x22 y2 0x12 x22 + y2 0y1 + y2 100y1 y2 100x11, x12, x21, x22, y1, y2 R+

N

o

de variveis: 6

N

o

de Restries: 16

Questo 4:

Um fabricante de raes quer determinar a frmula mais econmica de uma certa rao. A composio

nutritiva dos ingredientes disponveis no mercado e os seus custos so os seguintes:

Ingredientes

Nutrientes Soja Milho Cana

Clcio 0,2% 1% 3%

Protena 50% 9% 0%

Carbo-Hidratos 0,8% 2% 2%

Custo/quilo 15,00 20,00 8,00

O fabricante deve entregar 1000 quilos de rao por dia e garantir que esta contenha:

no mximo no mnimo de

1,2% 0,8% Clcio

- 22% Protena

20% - Carbo-Hidratos

Resposta:

Variveis:

xs = Quantidade de soja na composio da rao.xm = Quantidade de milho na composio da rao.xc = Quantidade de cana na composio da rao.

min 15xs + 20xm + 8xcs.a. 0, 8 0, 2xs + xm + 3xc 1, 2

22 50xs + 9xm0, 8xs + 2xm + 2xc 20xs, xm, xc R+

4Na forma padro:

max 15xs 20xm 8xcs.a. 0, 2xs + xm + 3xc 1, 2

0, 2xs xm 3xc 0, 850xs 9xm 220, 8xs + 2xm + 2xc 20xs, xm, xc R+

N

o

de variveis: 3

N

o

de Restries: 4

Questo 5:

Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:

a) Arrendamento - Destinar certa quantidade de alqueires Para a plantao de cana de acar, a uma usina

local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por alqueire por ano;

b) Pecuria - Usar outra parte para a criao de gado de corte. A recuperao das pastagens requer adubao

(100 kg/alqueire) e irrigao(100.000 litros de gua/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade de

R$400,00 por alqueire por ano.

c) Plantio de Soja - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire

de adubos e 200.000 litros de gua por alqueire para irrigao por ano. O lucro estimado nessa atividade de

R$500,00 por alqueire por ano.

A disponibilidade de recursos por ano de 12.750.000 litros de gua,14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra.

Quantos alqueires dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de

deciso.

Resposta:

Variveis:

xA = rea destinada ao arrendamento.xP = rea destinada a pecuria.xS = rea destinada ao plantio de soja.*rea de plantio em alqueires.

max 300xA + 400xP + 500xSs.a. 100xP + 200xS 14.000

100.000xP + 200.000xS 12.750.000xA + xP + xS 100xA, xP , xS R+

N

o

de variveis: 3

N

o

de Restries: 3

Questo 6:

Uma fbrica produz dois artigos A e B, que devem passar por duas mquinas diferentes M1 e M2. M1 tem12 horas de capacidade diria disponvel e M2 tem 5 horas. Cada unidade de produto A requer 2 horas emambas as mquinas. Cada unidade de produto B requer 3 horas emM1 e 1 hora emM2. O lucro lquido de A de R$ 60,00 por unidade e o de B, R$ 70,00 por unidade. Formular o modelo matemtico de modo a determinara quantidade a ser produzida de A e B a m de se ter um lucro mximo. (Assumir que as quantidades podemser fracionrias)

Resposta:

Variveis:

xA = Quantidade do artigo A.xB = Quantidade do artigo B.

5max 60xA + 70xBs.a. 2xA + 3xB 12

2xA + xB 5xA, xB R+

N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 2

Questo 7:

Um sitiante est planejando sua estratgia de plantio para o prximo ano. Por informaes obtidas nos

rgos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz e milho sero as mais rentveis na prxima safra.

Por experincia, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas a constante na tabela abaixo.

Por falta de um local de armazenamento prprio, a produo mxima, em toneladas, est limitada a 60. A rea

cultivvel do stio de 200.000 m2. Para atender as demandas de seu prprio stio, imperativo que se plante400 m2 de trigo, 800 m2 de arroz e 10.000 m2 de milho.

Cultura Produtividade em kg/m2 Lucro/kg de produoTrigo 0,2 10,8 centavos

Arroz 0,3 4,2 centavos

Milho 0,4 2,03 centavos

Formule o modelo matemtico de modo a maximizar o lucro obtido na produo do prximo ano.

Resposta:

Variveis:

xT = Produo em kg de Trigo.xA = Produo em kg de Arroz.xM = Produo em kg de Milho.

max 10, 8xT + 4, 2xA + 2, 03xMs.a. xT /0, 2 + xA/0, 3 + xM/0, 4 200.000

xT + xA + xM 60.000xT /0, 2 400xA/0, 3 800xM/0, 4 10.000xT , xA, xM R+

Colocando na forma padro:

max 10, 8xT + 4, 2xA + 2, 03xMs.a. xT /0, 2 + xA/0, 3 + xM/0, 4 200.000

xT + xA + xM 60.000xT 80xA 240xM 4.000xT , xA, xM R+

N

o

de variveis: 3

N

o

de Restries: 5

Questo 8:

Uma empresa mineradora possui duas jazidas diferentes que produzem um dado tipo de minrio. Depois do

minrio ser triturado ele classicado em trs classes: superior, mdio e inferior. Existe uma certa demanda

6para cada classe de minrio. A empresa de minerao possui uma fbrica de beneciamento com a capacidade

para 12 toneladas da classe superior, 8 da mdia e 24 da inferior por semana. A empresa gasta UM 900,00 por

dia para operar a primeira jazida e UM 720,00 para operar a segunda. Essas jazidas tm contudo, capacidades

diferentes. Durante um dia de operao, a primeira jazida produz 6 toneladas de minrio de classe superior, 2

de classe mdia e 4 de classe inferior, enquanto que a segunda jazida produz diariamente 2 toneladas de minrio

de classe superior, 2 de classe mdia e 12 de classe inferior. Pergunta-se quantos dias por semana deve operar

cada jazida para satisfazer, da maneira mais econmica, as encomendas feitas empresa?

Resposta:

Variveis:

xa = Tempo em dias de operao da jazida Axb = Tempo em dias de operao da jazida B

min 900xa + 720xbs.a. 6xa + 2xb 12 7

2xa + 2xb 8 74xa + 12xb 24 7xa, xb R+Colocando na forma padro:

max 900xa 720xbs.a. 6xa 2xb 84

2xa 2xb 564xa 12xb 168xa, xb R+N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 3

Questo 9:

O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econmica de aumentar em 30% as

vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas so:

Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa deve pro-porcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 investidos.

Investir diretamente na divulgao dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos em P1 retornam um aumentode 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno de 10%.

A empresa dispe de $ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever destinar a cada atividade? Construa

o modelo do sistema descrito.

Resposta:

Variveis:

x1 = valor investido no P1 em R$1.000,00.x2 = valor investido no P2 em R$1.000,00.

min x1 + x2s.a. 0, 03x1 + 0, 04x2 0, 3

0, 03x1 + 0, 1x2 0, 3x1 + x2 10x1, x2 R+Colocando na forma padro:

max x1 x2s.a. 0, 03x1 0, 04x2 0, 3

0, 03x1 0, 1x2 0, 3x1 + x2 10x1, x2 R+

7N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 3

Questo 10:

Um estudante, na vspera de seus exames nais, dispe de 100 horas de estudo para dedicar s disciplinas

A, B e C. Cada um dos 3 exames formado por 100 questes cada uma valendo 1 ponto, e ele (aluno) espera

acertar, alternativamente, uma questo em A, duas em B ou trs em C, por cada hora de estudo. Suas notas

nas provas anteriores foram 6, 7 e 10 respectivamente, e sua aprovao depende de atingir uma mdia mnima

de 5 pontos em cada disciplina. O aluno deseja distribuir seu tempo de forma a ser aprovado com a maior soma

total de notas.

Resposta:

Variveis:

xa = Tempo dedicado para a disciplina A.xb = Tempo dedicado para a disciplina B.xc = Tempo dedicado para a disciplina C.*tempo em horas.

max xa + 2xb + 3xcs.a. xa + xb + xc 100

(xa/10 + 6)/2 5(2xb/10 + 7)/2 5(3xc/10 + 10)/2 5xa, xb, xc R+

Colocando na forma padro:

max xa + 2xb + 3xcs.a. xa + xb + xc 100

xa 40xb 15xc 0xa, xb, xc R+

N

o

de variveis: 3

N

o

de Restries: 4

Questo 11:

Um fundo de investimento tem at R$300.000,00 para aplicar nas aes de duas empresas. A empresa D

tem 40% do seu capital aplicado em produo de cerveja e o restante aplicado em refrigerantes. Espera-se que a

empresa D distribua bonicaes de 12%. A empresa N tem todo o seu capital aplicado apenas na produo de

cerveja. Espera-se que a empresa N distribua bonicaes de 20%. Para o investimento considerado, a legislao

impe as seguintes restries:

a) O investimento na empresa D pode atingir R$270.000,00, dada a sua diversicao de capital aplicado.

b) O investimento na empresa N pode atingir R$150.000,00, dada a sua condio de empresa com capital

concentrado em apenas um produto.

c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00.

Para as condies do problema, qual deve ser o investimento que maximiza o lucro?

Resposta:

Variveis:

D = valor investido na empresa D.N = valor investido na empresa N.

8max 0, 12D + 0, 2Ns.a. D 270.000

N 150.0000.4D +N 180.0000.6D 180.000D,N R+

N

o

de variveis: 2

N

o

de Restries: 4

Questo 13:

Uma empresa siderrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer uma quantidade mensal mnima de minrio

para operar. A empresa compra minrio de 2 minas diferentes. Cada uma das minas tem uma capacidade

mxima de produo mensal estabelecida. O custo do minrio para a empresa varivel de acordo com a

distncia entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um custo diferente). Os dados referentes capacidade

mxima de produo das minas, requisies mnimas de minrio para as usinas e custos de transporte entre

minas e usinas so mostrados na tabela 1. Por questes tcnicas, a usina 1 deve comprar no mnimo 20% de

minrio da mina 1, a usina 2 deve comprar no mnimo 30% da mina 2 e a usina 3 deve comprar no mnimo

35% da mina 1. Posto isso, construir um modelo de otimizao para determinar a quantidade de minrio a ser

comprada de cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minrio.

Mina/Usina Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. da mina (t/ms)

Mina1 8 9 15 30000

Mina2 7 16 23 25000

Req. das usinas (t/ms) 15000 17000 19000

Resposta:

Variveis:

xij = quantidade de minrio da mina i para a usina j

min 8x11 + 7x21 + 9x12 + 16x22 + 15x13 + 23x23s.a. x11 + x12 + x13 30.000

x21 + x22 + x23 25.000x11 + x21 15.000x12 + x22 17.000x13 + x23 19.000x11 +0, 2x11 + 0, 2x21x22 +0, 3x12 + 0, 3x22x13 +0, 35x13 + 0, 35x23xij > 0i = {1, 2}, j = {1, 2, 3}.Colocando na forma padro:

max 8x11 7x21 9x12 16x22 15x13 23x23s.a. x11 + x12 + x13 30.000

x21 + x22 + x23 25.000x11 x21 15.000x12 x22 17.000x13 x23 19.0000, 8x11 + 0, 2x21 00, 3x12 0, 7x22 00, 65x13 + 0, 35x23 0xij > 0i = {1, 2},j = {1, 2, 3}.

9N

o

de variveis: 6

N

o

de Restries: 8

Questo 15:

A Varig precisa decidir a quantidade de querosene para combustvel de seus jatos que adquire de 3 compa-

nhias vendedoras. Seus jatos so regularmente abastecidos nos aeroportos de Congonhas, Viracopos, Galeo e

Pampulha. As companhias vendedoras podero fornecer no prximo ms as seguintes quantidades de combus-

tvel:

Companhia Gales

1 250.000

2 500.000

3 600.000

As necessidades da Varig nos diferentes aeroportos so:

Aeroporto Quantidade

Congonhas 100.000

Viracopos 200.000

Galeo 300.000

Pampulha 400.000

O custo por galo, incluindo o preo do transporte, de cada vendedor para cada aeroporto :

Cia1 Cia2 Cia3

Congonhas 12 9 10

Viracopos 10 11 14

Galeo 8 11 13

Pampulha 11 13 9

Formule este problema como um modelo de programao linear.

Resposta:

Variveis:

xij = Quantidade comprada de combustvel no aeroporto i da companhia j.

Constantes:

N={1,...,j,...,n}: conjunto de companhias de abastecimento.M={1,...i,...,m}: conjunto de aeroportos.qij = custo do combustvel por galo na aeroporto i pela companhia j.Dj = Disponibilidade de combustvel da companhia j.Qi = Demanda de combustvel no aeroporto i.

min

mi=1

nj=1

qijxij

s.a.

mi=1

xij Dj ,j Nnj=1

xij = Qi,i M

xij 0,i N, j M.

10

Colocando na forma padro:

max mi=1

nj=1

qijxij

s.a.

mi=1

xij Dj ,j Nnj=1

xij Qi,i M

nj=1

xij Qi,i M

xij 0,i N, j M.

N

o

de variveis: n m=3*4=12N

o

de Restries: n+m=3+4+4=11