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$: Plano de trabalho - stoa.usp.brstoa.usp.br/thschiavo/files/791/5229/Brenno+Barbosa+e+Thiago+Schiavo+... · Contador marca uma unidade • Na emissão de uma partícula e\ou radiação,$

Plano de trabalho

•Probabilidade•Estatística


• Probabilidade:

– Espaço de probabilidade

– Variáveis aleatórias

– Distribuições

– Processos estocásticos

• Estatística

– Estimadores

– Testes de Hipótese


•Análise de equipamento



• Análise de equipamento:

– Falta de manual

– Limite do contador

– Tempo morto

– Marcação de tempo


•Modelagem•Hipóteses•Teoria•Objetivos




•Análise de equipamento•Montagem experimental

•Planejamento de amostragem•Coleta de dados



•Planejamento de amostragem•Coleta de dados

•Análise de dados•Resultados•Críticas•Apresentação do Workshop

•Análise de equipamento•Montagem experimental

Modelagem para o decaimento radioativo

• Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.

• Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumentoque detecta a partícula emitida.

Contador que nãoperde contagens.

Modelo

Contador marca uma unidade

• Na emissão de uma partículae\ou radiação, a amostratransforma-se em outroelemento.

• Nosso modelo tratará daobservação da emissão em umintervalo de tempo.

• Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimentoaté o instante t”, supondo a perda de memória deste experimento, deveobedecer à distribuição de probabilidade

.1)( tetP

Modelo• Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.

• Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumentoque detecta a partícula emitida.

b ou b+g

Modelo• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase

imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindopartículas.

Modelo

• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quaseimediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindopartículas.

Modelo

• Neste exemplo, ao final da experiência, teríamos contado aemissão de 3 partículas.

• Supondo que o tempo de vida média (recíproco de ) destaspartículas seja o mesmo para todas, a probabilidade de queocorram n contagens é

• usualmente conhecida como distribuição binomial, commédia

,1)(,

nNtntN ee

n

NnB

Modelo

.1)( teNnE

• A literatura nos informa que o tempo médio para haver contagens (tempomédio de vida) é, aproximadamente, 30 anos, ou algo da ordem de 950milhões de segundos.

• Analisemos o termo

.1:)( tetp

• Como o intervalo de tempo emque realizaremos a observaçãodo decaimento radioativo nãose compara com o tempo devida médio do césio,

• este termo deve aproximar-sede

• A distribuição binomial apresentacomo parâmetros N e .Tomando então o limite

0t ,Ne

então B converge assintoticamenteem distribuição para a distribuiçãode Poisson com parâmetro Np(t),isto é,

.!

1)( 1

,

teN

ntn

N en

eNnP

Modelo

1t

.t

• Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendidocomo a variável aleatória que soma as contagens de cada objetoindependente.

• Como a nossa variável aleatória é asoma de N variáveis aleatóriasindependentes e identicamentedistribuídas, é natural esperarmosque a distribuição tenda à distribuiçãoGaussiana, utilizando o teoremacentral do limite,

.

2exp

2

1)(

2

2

,

nnG

Modelo

• O experimento de contagens dasemissões radioativas (de qualquernatureza) pode ser entendidoformalmente como uma variávelaleatória a que ligamos a soma dosresultados das observações de cada umdos constintuintes da amostra.

• Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendidocomo a variável aleatória que soma as contagens de cada objetoindependente.

• Como a nossa variável aleatória é asoma de N variáveis aleatóriasindependentes e identicamentedistribuídas, é natural esperarmosque a distribuição tenda à distribuiçãoGaussiana, utilizando o teoremacentral do limite,

Modelo

• O experimento de contagens dasemissões radioativas (de qualquernatureza) pode ser entendidoformalmente como uma variávelaleatória a que ligamos a soma dosresultados das observações de cada umdos constintuintes da amostra.

e 1 teN

.1 tt eNe

• Neste limite, temos uma distribuição gaussiana,que depende de dois parâmetros: a média e odesvio padrão, dados por

.

2exp

2

1)(

2

2

,

nnG

,1)(,

nNtntN ee

n

NnB

,1)(,

nNtntN ee

n

NnB

N N0t e

,1)(,

nNtntN ee

n

NnB

.

2exp

2

1)(

2

2

,

nnG

N N0t e

.!

1)( 1

,

teN

ntn

N en

eNnP

Experimentação

• Temos três candidatas à distribuição de probabilidades para o número decontagens. Mas conjuntamente, temos diversos problemas associadas a todasestas distribuições. Como resolvê-los?

• Em um intervalo de tempo de 30sobservamos o número de contagensdiversas vezes.

• A razão entre o tempo de experiência eo tempo médio de contagens é daordem de 10-9.

• Consideraremos ainda que o número de objetos que ainda podememitir partículas (ou ondas eletromagnéticas) é muito grande.

Função distribuição

1100 1150 1200 1250 1300

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Histograma de Contagens - Césio (137)

Fre

qü

ên

cia

Intervalo de classe para a contagem

Contagens

• Organizamos os resultadosem um histograma, isto é, umgráfico que relaciona onúmero de contagens com afreqüência com que esteresultado ocorre.

• O perfil ao lado encaixa-se emnossas expectativas: asdistribuições binomial, normale poissônica devem encaixar-se bem.


1150 1200 1250 1300

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Fre

qu

ên

cia


Contagens Fit Gaussiano

• No entanto, assim comoargumentamos no início, omodelo não conseguedistinguir qual dasdistribuições deve melhorencaixar-se. Esperamos, naverdade, que no intervalotomado, ambas asdistribuições igualem-se.

• Notemos ainda: a distribuiçãopoissônica é discreta,característica importante quedifere as duas candidatas

1100 1150 1200 1250 1300

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Fre

qu

ên

cia


Contagens Fit Poisson


1100 1150 1200 1250 1300

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Fre

qu

ên

cia


Contagens

Confiabilidade da distribuição

• Um estimador (de um parâmetro de uma distribuição) é uma função qualquerdas observações da amostra. Esta função estima um valor para o parâmetro,caracterizando assim, ao menos em partes, a distribuição.

• Como sabemos quais são as prováveis distribuições, podemos nãosó estimar seus parâmetros como também utilizar relações entreos parâmetros para verificarmos a distribuição que melhor seencaixa em nossos dados. Abaixo temos dois estimadores nãoviciados para nossos parâmetros.

1

||2

N

ni

N

iin

N 1

1

Estimadores

• Para a distribuição dePoisson, podemos provarde forma simples a relação

.

• A verificação desta igualdadepropõe boa concordância coma distribuição de Poisson.

• Definamos ainda o estimador

,

||1

N

nN

ii

d

• usualmente conhecido comodesvio médio. Para a distribuiçãonormal, podemos provar que

.5

42

d

Estimadores

1200 97.34 73.27d

• Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultadosestão listados logo abaixo.

Estimadores

1200 97.34 73.27d

• Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultadosestão listados logo abaixo.

• As relações teste para verificação da relação entre osestimadores foram efetuados em seguida.

99.0

99.04

5

d

Estas relações concordamem 99% com os valoresesperados. Isto significa quede fato as duas distribuiçõessão ótimas para descrever oexperimento de contagens.

Estimadores

• Vamos ainda testar se a maioria daspartículas realmente encontram-seno intervalo [, +]. Para isto,contamos o número de partículasque de fato não estão neste“intervalo de confiança” para oexperimento de contagens.

• Porcentagem esperada fora dointervalo: 31.7%.

1100 1150 1200 1250 1300

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


Fre

qu

ên

cia


Contagens

Intervalo de confiança

Contagens acima: 42 - 19%

Contagens abaixo: 29 - 13%

Contagens fora: 71 - 32.71%

Erro de 0.3%

• Este resultado evidencia uma leveassimetria com relação ao eixo central.

Assimetria da distribuição

.

• Podemos medir esta assimetriautilizando o coeficiente deassimetria, usualmente associadoa Fisher, definido como

,2/3

2

3

m

m

• em que utilizamos os segundo eterceiro momentos (centrados namédia),

.)(

0

nn

k

knf

nnm

• Se a distribuição é simétrica, entãoos n-ésimos momentos ímpares(ísto é, n impar) devem anular-se.

• Como o coeficiente de assimetria éproporcional ao terceiro momento,quanto mais aproximar-se de zero,mais simétrica é a distribuição. Écomum a utilização destecoeficiente para medir a assimetria.


0.198.

• Usualmente, a anulação da primeiracasa decimal é o suficiente paraconsiderar a distribuição simétrica.Consideramos portanto esteresultado satisfatório e a distribuiçãode fato simétrica.


• Podemos observar um primeiro indício desimetria com relação à média devido aanulação do primeiro momento. Utilizandoo segundo e o terceiro momentos,calcularmos o coeficiente de assimetria:

• Efetuando os cálculos,obtemos os primeiros trêsmomentos:

m1 = -5.606 e-15

m2 = 1.183 e3

m3 = 8.706 e3

m4 = 3.9805 e7

• Efetuando os cálculos,obtemos os primeiros trêsmomentos:


• Aproveitando, no entanto, estes cálculos,podemos efetuar uma medida sobre oachatamento da distribuição,

conhecida como curtose que no caso daGaussiana deve aproximar-se de 3.

,22

4

m

m

2.84.

• Este valor de curtose nos fornece umerro de 5% sobre o valor esperadopara uma distribuição normal.

m1 = -5.606 e-15

m2 = 1.183 e3

m3 = 8.706 e3

m4 = 3.9805 e7

• Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos quedesejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (nãoabsurdas), realizamos testes de hipóteses

• Sabemos que nossas variáveis aleatórias são independentes,identicamente distribuídas e sua distribuição de probabilidades éGaussiana.

• Suponha a grandeza

.:

1

2

n

i i

ii

E

EOQ

• Obviamente, desejamos que esta grandeza seja o menorpossível.

Teste de hipótese: c²

• Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos quedesejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (nãoabsurdas), realizamos testes de hipóteses

• Adicionemos às nossas suspeitas que os valores Ei são todos nãonulos. Neste caso, pode-se provar que

.~ 2cQ

• Sabendo disto, calcula-se a distribuição de probabilidade de queQ tenha um valor maior do que um certo Q0 obtido comoresultado daquela soma. Esta distribuição vale

.

22

1)(

0

22

2

1

0

Q

dxexr

QQPxr

r


150 160 170 180 190 200 210 220

0.99980

0.99982

0.99985

0.99988

0.99990

0.99993

0.99995

0.99998

1.00000

Convergência do Teste de Hipótese

Pro

ba

bilid

ad

e

Número de contagens

Probabilidade associada ao teste

c2 em função do número de dados

utilizados para o cálculo.


• Ao lado temos como ovalor de P(Q<Q0) evolui emfunção do número depontos que consideramosde nossos experimentos.

• Podemos ver que há umacerta convergência, muitoembora o valor sejainsignificantemente menordo que 100%.

c²/DoF = 4.07693 - P(x < c²) = 99.998%

Ritmo de contagem eo tempo morto

• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjuntocom a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação defundo e obter alguma informação sobre o Cs.

• Definimos o ritmo de contagemcomo a razão entre o númeromédio de contagens n e otempo t durante o qual essacontagem foi feita,

• Dada uma grandeza física,podemos associá-la a um erro,cujo procedimento padrão élinearizar a grandeza em termosde seus parâmetros e diferenciaro resultado. Definimos agrandeza resultante como erro.

.:t

nr

Ritmo de contagem




.:t

nr

Ritmo de contagem

• Segundo o modelo, as possíveisdistribuições de probabilidadeapresentam média

.1 teNn

• Supondo a aproximação t << 1, onúmero médio de contagens até oinstante t é

.tNn




• Utilizando a amostra de Cs (considerando aradiação de fundo), obtivemos como ritmo decontagem, em unidades de contagens porminuto (cpm),

rt = 2469 cpm.

• Utilizando o equipamento sem o Cs, medimoso ritmo de contagem da radiação de fundo,

rf = 25.8 cpm.

Ritmo de contagem

.:t

nr




• Para o ritmo de contagem,

• Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizandoa relação entre a média e a variância,

.)(1

)(2

2

2

2

tn

tr

D

D

.

.)()()( 2

2

2

2

2 nn

rrr D

+D

D t

t

.:t

nr

Ritmo de contagem




• Para o ritmo de contagem,

• Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizandoa relação entre a média e a variância,

.t

Dr

.)()()( 2

2

2

2

2 nn

rrr D

+D

D t

t

.:t

nr

Ritmo de contagem



.:t

nr


• Como o ritmo de contagem quando utilizamosa amostra de Cs apresenta em conjunto aradiação de fundo, o ritmo de contagemverdadeiramente do Cs será

.f

f

t

tftc

nnrrr

tt

• O erro deverá ser

.f

f

t

tc

rrr

tt+D

Ritmo de contagem

• Podemos, utilizando esta última relação, obter umarelação entre os tempos em que medimos o ritmo decontagem com a amostra e apenas o fundo, dada por

.f

t

f

t

r

r

t

t

• Medimos o ritmo de contagem para considerando 10min de experiência. Utilizando este procedimento,obtemos como resultado

Fundo0.94 min

Com Amostra9.06 min

30 22505

27 22828

27 22144

24 22243

28 22328

25 22172

27 22275

32 22651

27 22349

37 22217

• Tabela de dados paraesta experiência.

r = (2439 ± 24) cpm.

A medida do ritmo de contagem apresenta um errorepresentativo sobre seu valor estimado de 1%. Esteritmo de contagem foi comparado com resultadosobtidos há certa de 2 anos neste mesmo laboratório.De fato, a queda esperada é observada (em torno de50 cpm).

Ritmo de contagem

• Temos o ritmo de contagem do Césio e da radiação de fundo, ambos comerros muito pequenos (como vimos, o ritmo de contagem para o césioapresenta erro relativo de 1%).

O tempo morto

• Podemos então determinar o tempo mortodo contador Geiger. Este tempo pode serdeterminado utilizando os resultados que játemos:

tD

Sinal emitido nadetecção

.2 fc

fcfc

rr

rrrt

++D

Dt = (260 ± 30) s

• Obtemos como resultado o tempo morto dodetector Geiger,

• Podemos estimar em 40contagens médias por segundo, oque significa que não háproblemas com o tempo morto.

Críticas, conclusões e últimas palavras

Com o estudo de probabilidade, fomoscapazes de determinar a distribuição quedeveríamos observar (dadas algumashipóteses) para o decaimento radioativo,assim como analisamos as principaisconvergências em distribuição quepoderiam ainda ser observadas em nossoexperimento.

Realizamos o experimento, coletando 217amostras consecutivas para o decaimentodo Césio (137) e 30 amostras consecutivaspara a radiação de fundo.

Com estes resultados, construímos umhistograma de freqüências com queresultados do experimento surgiam,observando as distribuições normal epoissônica.

Críticas

Para um teste de aderência, os olhos sãosempre míopes. Por isso, utilizamosestimadores (estatística) para obter osparâmetros da distribuição deprobabilidade confirmamos que estesparâmetros comportavam-se comoparâmetros de uma distribuição normal epoissônica.

Medimos, utilizando o Coeficiente deAssimetria, o quanto nossa distribuiçãoestava assimétrica.

Realizamos o teste c² para observar quãoconfiável seria a distribuição normal paradescrever nossos resultados.

Determinamos o rítmo de contagem doCésio, 2439 cpm, com erro de 1%.Conjuntamente, medimos o tempo mortoe determinamos que não há interferêncianeste experimento.

Infelizmente não fomos capazes deestimar de forma segura os parâmetros dadistribuição binomial. Os problemasencontrados foram:

À medida com que realizamos oexperimento, somos forçados a pará-lo.Ao pará-lo, a distribuição muda. Portanto,estatisticamente, não somos capazes deobservar mais do que uma única vez amesma amostra. Portanto, obtemosapenas uma única amostra, o que não nosgarante segurança em nossos resultados.

O Césio emite em torno de 40 vezes porsegundo, o que atrapalha na precisão deum possível experimento contínuo.

Críticas

Apesar de não podermos obter aindanenhum resultado realmente novo,consideramos que o modelo propostoencaixa-se satisfatoriamente em nossasobservações.

O modelo parte de hipóteses nãocomentadas durante a apresentação(estão em extra), mas disponibilizaremosum relatório sobre este modelo para osinteressados.

Experiments in Modern Physics, Adrian C.Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição,Cod Fís-539M523e2, Academic Press,2003.

An Introduction to Error Analysis, John R.Taylor, 2ª edição, Cod Fís-53016T243i2,University Science Book, Sausalito,California, 1997

UAH, applets para estudos de estatísticae probabilidades, http://www.math.uah.edu/stat/applets/Poisso

nExperiment.xhtml

Últimos comentários

Os cálculos foram efetuados comscripts Python disponíveis no apêndice.Os scripts efetuam os cálculos demomentos estatísticos, c² reduzido eritmo de contagem. Para efetuarpropagação de erros, utilizamos umpacote de classes desenvolvido pornós.

Os gráficos foram confecionados emOrigin, versão 7.10.

Para evidenciar confiabilidade denossos cálculos, comparamos osresultados obtidos com os scripts ecom o Origin.

Experiments in Modern Physics, Adrian C.Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição, CodFís-539M523e2, Academic Press, 2003.

An Introduction to Error Analysis, John R.Taylor, 2ª edição, Cod Fís-53016T243i2,University Science Book, Sausalito, California,1997

Probabilidade de Variáveis aleatórias, M.Magalhães, EDUSP, 1ª edição.

Probability & Statistics for Engineers &Scientists, Ronald Walpole, Raymond Myers,Sharon Myers e Keying Ye, Prentice Hall(Upper Saddle River), 7ª edição, 2002.

Últimos comentários

Statistical Theory and Methodology in Scienceand Engineering, K. A. Brownlee, 2ª edição,New York: John Wiley & Sons, 1965.

Nuclear Theory: Nuclear Models, WalterGreiner, 3ª edição, North Holland PhysicsPubl., Elsevier Science Publishers, Amsterdam(1985).

Numerical Analysis, an Introduction, WalterGautschi, Birkhäuser, 1ª edição, 1997.

Quantum Mechanics, Cohen Tannoudji,Claude, Dui, B., Laloe, Franck , John Wiley &Sons Inc, 1978, volumes 1 e 2.

UAH, applets para estudos de estatística eprobabilidades,http://www.math.uah.edu/stat/applets/PoissonExperiment.xhtml

http://www.math.uah.edu/stat/applets/PoissonExperiment.xhtml













1202 1268 1262 1209 1184 1280 1152 1185 1161 1190 1242 1203 1237

1184 1190 1171 1201 1287 1225 1165 1193 1189 1230 1209 1185 1231

1176 1178 1223 1183 1235 1225 1305 1156 1187 1211 1207 1235 1232

1178 1259 1182 1208 1177 1121 1207 1201 1249 1195 1177 1236 1226

1183 1121 1165 1195 1239 1163 1151 1201 1229 1208 1216 1152 1166

1228 1195 1217 1175 1243 1197 1241 1182 1233 1136 1278 1202 1189

1137 1167 1263 1153 1203 1200 1159 1192 1193 1268 1258 1231 1233

1230 1254 1211 1157 1200 1169 1223 1183 1176 1197 1154 1239 1255

1212 1200 1213 1299 1184 1148 151 1237 1182 1277 1206 1185 1182

1231 1238 1164 1220 1214 1210 1217 1184 1205 1158 1223 1198 1145

1170 1185 1124 1176 1228 1233 1209 1254 1250 1164 1182 1194 1201

1290 1214 1147 1221 1240 1273 1250 1217 1217 1219 1189 1219 1130

120 1276 1205 1231 1232 1219 1158 1162 1265 1235 1188 1267 1173

1195 1226 1197 1206 1236 1218 1179 1208 1223 1244 1284 1225 1161

1174 1195 1214 1207 1175 1208 1240 1160 1206 1168 1190 1165 1270

1191 1203 1193 1221 1170 1195 1206 1204 1212 1194 1198 195 1245

1186 1208 1174 1218 1215 1186 1234 1216 1217

Scripts python

Intervalo de Confiança

• Para saber quantas contagensespera-se encontrar fora dointervalo de confiança, basta queintegremos a função densidade deprobabilidade no intervalo

] .,, + I

.2

11

22)(

2/

002/

222

+

+

erfdueduedueIPn

uu

n

u

• Isto significa que gostaríamos decalcular a integral

• A função erf não pode ser descritaem termos de funções elementares.Por isso, calculando numericamentea função,

.317.02

11

erf

• O erro relativo a este resultado é de0.3%, o que consideramos umresultado realmente bom.

Detalhes físicos

Bins CoeficienteAssimetria

PrimeiroMomento

SegundoMomento

Terceiro Momento

10 0.198 3.98722477e-015 5.4660815 e003 2.61842 e004

12 0.198 -3.63797880e-002 5.2415756 e003 8.97848 e004

19 0.198 3.17231751e-002 5.1596400 e003 2.01902 e004

22 0.198 -1.52795109e-002 5.5200690 e003 369913372.59 e004

Importância do númeroDe intervalos

• Ao gerarmos os histogramas, utilizamos 25 divisões pararealizar os cálculos. No entanto, quão significativo é aescolha do número de intervalos? Mostramos abaixo umatabela com alguns valores calculados para diferentesnúmeros de intervalos.

Contador marca uma unidade

• Na emissão de uma partículae\ou radiação, a amostratransforma-se em outroelemento.

• Nosso modelo tratará daobservação da emissão em umintervalo de tempo.

• Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimentoaté o instante t”, supondo a perda de memória deste experimento, deveobedecer à distribuição de probabilidade

.1)( tetP

Modelo

b ou b+g

• A variável aleatória “tempo deespera” tem como distribuiçãode probabilidade acumulada

,1)( tT etP

• com densidade de probabilidadedada por

.)( tetp • Por definição, a média do tempo

de espera é

.0

dtet tt

• Efetuando a integral, obtemoscomo resultado

.1

t

• Portanto, este parâmetroproposto por motivos“estatísticos” coincide com orecíproco do tempo de vidamédio da amostra, grandezautilizada com freqüência pelospesquisadores desta área.

,1)(,

nNtntN ee

n

NnB

.

2exp

2

1)(

2

2

,

nnG

N N0t e

.!

1)( 1

,

teN

ntn

N en

eNnP

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