planejamento e otimização de experimentos · planejamentos fatoriais em três níveis, sendo...
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Planejamento e Otimização de Experimentos
Modelos de Regressão e
Planejamentos em três níveis
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
Ajuste de modelos de regressão
em geral, tem-se uma variável dependente,
ou resposta, y, que depende de k variáveis
independentes x1, x2, ..., xk
relação matemática entre y e x1, x2, ..., xk
modelo de regressão
• polinômio de menor ordem
𝒚 = 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒌
Ajuste de modelos de regressão
conexão entre o modelo de regressão e o
planejamento dos experimentos
expressão quantitativa do experimento
modelos empíricos
Modelos de regressão linear
modelo de Regressão Linear Múltipla (MLR), com duas variáveis
independentes
erro
b0: intersecção do plano
b1, b2: coeficientes parciais da regressão
Modelos de regressão linear
com k variáveis independentes
hiperplano no espaço de dimensão k
Modelos de regressão linear
modelo mais complexo, incluindo um
termo de interação
Modelos de regressão linear
modelo quadrático de superfície de
resposta com duas variáveis
linear
Modelos de regressão linear
Objetivo: estimar os parâmetros do modelo
ajuste do modelo
Estimativas para o modelo linear
n medidas > k variáveis/observações y1, y2, ..., yn
xij = i-ésima observação da variável xj
y1
y2
⁞
yn
x11
x21
⁞
xn1
x12
x22
⁞
xn2
x1k
x2k
⁞
xnk
n medidas
k variáveis/observações
n > k dificulta a
aplicação da MLR em
medidas de espectros
Estimativas para o modelo linear
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝒊
+ 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝒙𝒋𝒊≠𝒋
+ 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝟐𝒊
𝒊
+⋯
𝐗𝐭𝐲 = 𝐗𝐭𝐗𝐛
𝐗−𝟏𝐲 = 𝐗−𝟏𝐗𝐛 𝐈 = 𝐗−𝟏𝐗
X tem que possuir inversa,
e ser quadrada
𝐲 = 𝐗𝐛
𝐛 = 𝐗𝐭𝐗 −𝟏𝐗𝐭𝐲
𝐛 = 𝐗−𝟏𝐲
se não...
Estimativas para o modelo linear
escrever a equação em termo das observações
o método dos mínimos quadrados escolhe os bs de modo
que a soma dos quadrados dos erros, L, em y seja mínima.
L é minimizado em relação aos bs
Estimativas para o modelo linear
a forma matricial da estimativa dos mínimos
quadrados é
Exemplos:
• Planejamentos Fatoriais 3k
• Box-Behnken
• Plackett-Burman
• De um modo geral
Exemplo
concentração sinal
0 0,2
1 3,6
2 7,5
3 11,5
4 15,0
5 17,0
6 20,4
7 22,7
8 25,9
9 27,6
10 30,2
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏
Estimativas para o modelo linear
se X for quadrada
Exemplos: Planejamentos Fatoriais 22 e 23
Exemplo
Observação Temperatura
(oC)
Veloc. de alim. do catalisador
(lb/h)
Viscosidade
(cP)
1 80 8 2256
2 93 9 2340
3 100 10 2426
4 82 12 2293
5 90 11 2330
6 99 8 2368
7 81 8 2250
8 96 10 2409
9 94 12 2364
10 93 11 2379
11 97 13 2440
12 95 11 2364
13 100 8 2404
14 85 12 2317
15 86 9 2309
16 87 12 2328
Planejamento Fatorial 3k
3 níveis:
0: baixo (-1)
1: intermediário (0)
2: alto (+1)
• poucos fatores e muitos experimentos
• regressão com termos quadráticos
• cada efeito tem uma componente linear e quadrática
• não é a forma mais eficiente de modelar uma relação quadrática
Fator A
0
Fato
r B
1 2
0
1
2
00 10
01
02
11
12
20
21
22
Combinações em um Planejamento 32
Combinações em um Planejamento 33
Regressão
32 = 9 experimentos
33 = 27 experimentos
• Modelo de regressão para 32
termos quadráticos:
adição de um terceiro
nível
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐
𝟐
Planejamento Box-Behnken, 1960
É o mais usado para
planejamentos fatoriais em
três níveis, sendo possível
para mais do que três
variáveis independentes
• 12 pontos nos centros das arestas
• 3 pontos centrais
Planejamento Box-Behnken
Ensaios
X1 X2 X3
-1 -1 0
1 -1 0
-1 1 0
1 1 0
-1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1
1 0 1
0 -1 -1
0 -1 1
0 1 -1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
pontos
centrais
X1
X2 X3
p1
Planejamento Box-Behnken
relação empírica para três variáveis,
assumindo o modelo quadrático
𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟑𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟑𝒙𝟏𝒙𝟑+ 𝒃 𝟐𝟑𝒙𝟐𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏
𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐𝟐 + 𝒃 𝟑𝟑𝒙𝟑𝟑
𝟐
Três Níveis; k = 3
Um experimento foi conduzido para
estudar o efeito de três diferentes
tipos de garrafas (B) de 900 g (32 oz)
em três diferentes tipos de
prateleiras (C), considerando o tempo
gasto para armazenar 10 pacotes de
12 garrafas nas prateleiras, com três
trabalhadores (A) envolvidos.
Três Níveis; k = 3
• Trabalhador (A)
o 1
o 2
o 3
• Prateleira (C)
o Permanente
o Fim do corredor
o Geladeira
• Garrafa (B)
o Plástica
o Vidro de 28 mm
o Vidro de 38 mm
Experimento Execução A B C Y
1 5 -1.00 -1.00 -1.00 3.45
2 15 0.00 -1.00 -1.00 4.8
3 11 1.00 -1.00 -1.00 4.08
4 3 -1.00 0.00 -1.00 4.04
5 17 0.00 0.00 -1.00 4.52
6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3
7 27 -1.00 1.00 -1.00 4.2
8 12 0.00 1.00 -1.00 4.96
9 20 1.00 1.00 -1.00 4.17
10 13 -1.00 -1.00 0.00 4.14
11 6 0.00 -1.00 0.00 5.22
12 21 1.00 -1.00 0.00 3.94
13 22 -1.00 0.00 0.00 4.38
14 25 0.00 0.00 0.00 5.15
15 7 1.00 0.00 0.00 4.53
16 14 -1.00 1.00 0.00 4.26
17 1 0.00 1.00 0.00 5.17
18 16 1.00 1.00 0.00 4.86
19 18 -1.00 -1.00 1.00 5.8
20 26 0.00 -1.00 1.00 6.21
21 9 1.00 -1.00 1.00 5.14
22 8 -1.00 0.00 1.00 5.48
23 4 0.00 0.00 1.00 6.25
24 19 1.00 0.00 1.00 4.99
25 2 -1.00 1.00 1.00 5.67
26 23 0.00 1.00 1.00 6.03
27 24 1.00 1.00 1.00 4.85
3k completo • 27 experimentos
• Matriz X não é quadrada
𝐛 = 𝐗𝐓𝐗−𝟏𝐗𝐓𝐘
Box-Behnken • 14 experimentos (12 +2pc)
• sempre incluir pontos centrais: alias
• não considerar o efeito ABC na matriz X
Experimento Execução A B C Y
1 9 -1.00 -1.00 0.00 4.14
2 7 1.00 -1.00 0.00 3.94
3 14 -1.00 1.00 0.00 4.26
4 6 1.00 1.00 0.00 4.86
5 1 -1.00 0.00 -1.00 4.07
6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3
7 8 -1.00 0.00 1.00 5.48
8 12 1.00 0.00 1.00 4.99
9 11 0.00 -1.00 -1.00 4.8
10 13 0.00 1.00 -1.00 4.96
11 4 0.00 -1.00 1.00 6.21
12 3 0.00 1.00 1.00 6.03
13 5 0.00 0.00 0.00 4.65
14 2 0.00 0.00 0.00 5.15
Três Níveis; k = 3
3k completo
Coeficientes
o C = 0,66
o AC = -0,24
o A2 = -0,80
o C2 = 0,31
Box-Behnken
Coeficientes
o C = 0,57
o A2 = -0,7
o C2 = 0,5