Programação Linear Prof°. Moretti

Aula 12 - Lema de Farkas Condições de Otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) Lema de Farkas: Apenas um dos dois sistemas abaixo tem solução:

1,

0:2 Sistema

00:1 Sistema

xnnxm

t

t

cA

wecwA

xceAx

ℜ∈ℜ∈

≥=

<≥

Prova: ( 1° ) Suponha que o Sistema 1 tenha solução e o Sistema 2 também. Se S tem 2

solução, então wA com . tc= 0w ≥ ⇒ solução. terS de fato ocontradiz que o , 0Ax e 0w pois ,0xcwAx 1

t ≥≥≥= ( 2° ) Suponha que não tenha solução. 1S ⇒ 0. xcom satisfeito é 0Axpois,0xc0xctqx tt =≥≥⇒<∃/ Agora, considere o seguinte problema:

0z0AxsaxczMin t

=

≥= ∗

Rescrevendo o problema, temos:

( )PPL Formato

0S,x,x0SAxAx

saxxczMin

'''

'''

'''t

≥=−−

−=

Portanto, é uma solução ótima. 0Sxx ''' === Logo temos: j,0cz jj ∀≤− Mas . jjjj cwacz −=−

( ) ( ) solução temScwA

0w0w:temos , Stipo do variáveis as Para

cwA0cAw:temos , 'x'tipo do variáveis as Para

cwA0cwA:temos , x'tipo do variáveis as Para

2t

tt

tt

⇒=

≥⇒≤−

≥⇔≤−−−

≤⇒≤−

Forma Alternativa do Lema de Farkas: Apenas um dos sistemas abaixo tem solução:

0:2 Sistema

0,0,0:1 Sistema

≥≤

>≤≤

wecwA

ycyAy

t

t

Condições de Otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) Considere o problema

)P(0xbAxsa

xczMin t

≥≥

=

.x em ativas são que Ade restrições as são GgGx

)P ( para factível soluçãox≥

=

Se x é uma SBF ótima, então tal que e Gd , ou seja, não

existe uma direção de descida que seja factível.

nd ℜ∈∃/ 0dct ≤ 0≥

Pelo Lema de Farkas, tal que e nw ℜ∈∃ 0w ≥ cwG = . Rescrevendo em termos de e , temos: bAx ≥ 0x ≥

{ }{ } .x em ativas 0 xrestrições das índices dos Conjunto0:

.x em ativas b Axrestrições das índices dos Conjunto:≥===

≥===

j

ii

xjJbxaiI

t

G é formado pelas linhas Jj,eeIi,a ji ∈∈ . Fazendo ( )Jj:v;Ii:wu ji ∈∈= , temos que

)(x em Ade ativas restrições

pelas gerado cone ao pertence e,0,00

∗

=+⇔=∈≥∈≥⇔≥

∑ ∑∈ ∈Ii Jj

jjii

j

i

cevawcGuJjvIiwu

Portanto, se x é uma SBF ótima, então o cone gerado pelas restrições ativas em x deve conter o vetor c.

Agora, suponha que x satisfaça ( )∗ conforme definidos anteriormente.

Considere uma SBF qualquer. Temos:

Jj,0vIi,0w

)1(evawc

j

i

Ii Jjjjii

∈≥∈≥

+= ∑ ∑∈ ∈

Vamos pós-multiplicar (1) por ( ).xx̂ −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈

∈ ∈

∈ ∈

≥⇒≥+−=−

−+−=−

−+−=−

Ii Jjjjjiii

Ii Jjjjjiii

Ii Jjjjii

xcxcxevbxawxcxc

xexevxaxawxcxc

xxevxxawxxc

ˆ0ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Como x̂ é uma SBF qualquer, então x é uma SBF ótima. Concluímos que as Condições de KKT são condições necessárias e suficientes para a otimalidade. Em notação matricial, as KKT são:

( )0

0)3

00

)2

0)1

==−

≥≥

=+

≥≥

vxbAxw

vw

cvwA

xbAx

( )( )

nxm

n21

n21

A

v,...,v,vvw,...,w,wwonde

ℜ∈

=

=