pires 2003 - métodos quantitativos (apostila com teoria esta

7/24/2019 PIRES 2003 - Mtodos Quantitativos (Apostila Com Teoria Esta

1/201

Mtodos Quantitativos

Cesaltina Pires

Outubro 2003


2/201

ii


3/201

ndice geral

I Mtodos de Deciso e Optimizao 1

1 Introduo 3

1.1 Mtodos quantitativos e processo de tomada de deciso . . . . . . . . . . . 3

1.2 Reviso de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Conceitos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Distribuies de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Distribuies Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Hipergeomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4 Multinominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.6 Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.7 Uniforme discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.8 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Distribuies Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Uniforme (Rectangular) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Programao Linear 172.1 Resoluo Grca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Pontos extremos e soluo ptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Anlise de sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Resoluo com Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Seleco do mix de publicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Marketing Research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


4/201

2 Mtodos Quantitativos

2.3.3 Seleco da carteira de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.4 Planeamento da produo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Teoria de Deciso 33

3.1 Critrios de deciso sem probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Critrio Optimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Critrio Pessimista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3 Critrio de Minimax Regret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.4 Critrio de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Maximizar o valor monetrio esperado (Expected monetary value) . . . . . 38

3.2.1 Maximizar o valor monetrio esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Anlise de sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 Valor esperado de informao perfeita . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 Valor esperado de informao imperfeita . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Maximizar a utilidade esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1 Teoria da Utilidade Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2 Atitudes em Relao ao Risco eU(W) . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 Maximizar a Utilidade Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.4 Anlise de Sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Teoria de Jogos 49

4.1 O que a teoria de jogos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Modelizao da interaco estratgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Forma normal e forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Informao completa/incompelta versus informao perfeita/imperfeita 57

4.3 Jogos estticos com informao completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.1 Eliminao de estratgias estritamente dominadas . . . . . . . . . . 58

4.3.2 Problemas com a eliminao iterada de estratgias dominadas . . . . 60

4.3.3 Equilbrio de Nash em estratgias puras . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Jogos dinmicos com informao completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.1 Jogos de informao perfeita e Backward Induction . . . . . . . . 66

4.4.2 Jogos de informao imperfeita e equilbrio perfeito . . . . . . . . . . 70

4.4.3 Comentrios sobre backward induction e equilbrio perfeito . . . . . 72


5/201

ndice geral 3

5 Planeamento e controlo de projectos 75

5.1 Objectivos e tipos de deciso na gesto de projectos . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1.2 Tipos de deciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Representao do projecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Identicao das actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.2 Previso da durao e recursos necessrios . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Mtodos de programao e controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Diagrama de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.2 Mtodo do caminho crtico CPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.3 Tcnica de elaborao e controlo de projectos PERT . . . . . . . . 92

5.3.4 Tradeo custo durao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

II Mtodos Estatsticos 101

6 Representao grca de dados 103

6.1 Variveis discretas e contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2 Distribuies de frequncia ou empricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1 Variveis discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.2 Variveis contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Representao grca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3.1 Variveis discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.2 Variveis contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Medidas de localizao e disperso 109

7.1 Medidas de localizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.1 Mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2 Medidas de disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.1 Desvio padro e varincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.2 Desviomdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2.3 Extremos-quartos e mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2.4 Medidas de disperso relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2.5 ndice de concentrao e curvas de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . 116


6/201


7.3 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 Algumas distribuies 119

8.1 Distribuio normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 A normal estandartizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.1 Como testar a normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.3 Distribuio doX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4 A distribuiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.5 A distribuioF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269 Amostragem e estimao 127

9.1 Populao e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.2 Distribuio por amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2.1 Distribuio da mdia da amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2.2 Distribuio da diferena entre duas mdias . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2.3 Distribuio da proporo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2.4 Distribuio de (n1)S2

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.3 Estimao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.3.1 Propriedades desejveis dos estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3.2 Como encontrar estimadores? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3.3 Estimao pontual versus estimao por intervalos . . . . . . . . . . 140

9.4 Intervalos de conana para a mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.4.1 Varincia conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.4.2 Varincia desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.5 Intervalos de conana para diferena de mdias . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.5.1 Varincias conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.5.2 Varincias desconhecidas amostra grande . . . . . . . . . . . . . . 145

9.6 Intervalos de conana para propores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.7 Intervalos de conana para varincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.7.1 Intervalo para varincia de populao normal . . . . . . . . . . . . . 147

9.7.2 Intervalo para rcio de varincias de populaes normais independentes148

9.8 Escolha da dimenso da amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10 Teste de hipteses 151

10.1 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.2 Ensaio de hipteses sobre a mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


7/201

ndice geral 5

10.2.1 Populao normal, varincia conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.2.2 Populao normal, varincia desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.3 Ensaio sobre a varincia de uma populao normal . . . . . . . . . . . . . . 160

10.4 Ensaio sobre propores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5 Ensaio sobre igualdade de mdias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.5.1 Varincia conhecida com populaes normais ou amostra grande . . 162

10.5.2 Amostras pequenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.6 Ensaio sobre a igualdade da varincia de duas populaes normais . . . . . 164

11 Regresso e correlao simples 16511.1 Diagrama de disperso e correlao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.1.1 Teste de correlao de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.2 Regresso linear simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2.1 Mtodo dos mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.2.2 Poder explicativo da regresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.2.3 Hipteses do OLS e teorema de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . 17411.3 Testes de hipteses e intervalos de conana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

11.4 Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.5 Outras formas funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12 Regresso mltipla 181

12.1 Modelo de regresso mltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.1.1 Modelo em notao matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.2 Mtodo dos mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.3 Hipteses do modelo e teorema de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . . . . 18412.4 O poder explicativo da regresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.5 Intervalos de conana e teste de hipteses de parmetros individuais . . . 187

12.6 Teste de hipteses sobre conjuntos de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . 18912.6.1 Teste de aderncia global do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.6.2 Teste de um subconjunto de coecientes de regresso . . . . . . . . . 191

12.6.3 Teste de uma combinao linear de parmetros . . . . . . . . . . . . 19112.6.4 Teste de vrias combinaes lineares de parmetros . . . . . . . . . . 193

12.7 Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193


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9/201

Parte I

Mtodos de Deciso e Optimizao


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11/201

Captulo 1

Introduo

Esta disciplina estuda o papel dos mtodos quantitativos no processo de tomada dedeciso. Nela so estudados vrios mtodos quantitativos, explicando como queeles funcionam e como que eles podem ser usados pelo decisor. A cadeira d enfse

mais aplicao dos mtodos do que lgica matemtica dos mesmos.

A pergunta que deve nortear o nosso estudo : como que vrios mtodos nospodem ajudar a tomar melhores decises?

O uso de mtodos quantitativos iniciou-se durante a segunda guerra mundial, onde

equipas de cientistas de vrias reas foram formados para resover problema estratgi-

cos e tcticos defrontados pelos militares. Aps a guerra muitas destas equipascontinuaram a fazer investigao na rea de mtodos quantitativos (com outras apli-

caes claro). A evoluo dos computadores possibilitou a aplicao dos mtodos

desenvolvidos a problema reais.

Os mtodos quantitativos so especialmente teis em problemas grandes e complex-os, onde seria difcil, mesmo para um gestor com esperincia, usar s a intuio

para o resolver. tambm importante em problemas novos onde a experincia

no pode ajudar na deciso.

1.1 Mtodos quantitativos e processo de tomada de deciso

O processo deresoluo de problemasenvolve vrios passos:

Identicao e denio do problema

Determinao do conjunto de alternativas


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Determinao do critrio ou do conjunto de critrios a usar na avaliao dasalternativas

Avaliao das alternativas

Escolha da alternativa (deciso)

Implementao

Avaliao dos resultados

O processo detomada de decisoenvolve os 5 primeiros pontos mencionados anteri-ormente. Os trs primeiros aspectos tm a ver com a estruturao do problema, osdois seguintes com a anlise do problema. na anlise do problema que o uso de

mtodos quantitativos essencial.

) Mas a fase de estruturao do problema absolutamente essencial porque se oproblema no for bem denido, por muito complicada que seja a anlise matemticafeita de pouco servir.

) Os resultados da anlise quantitativa podem ser importantes para o decisor, mas

natural que a deciso nal tambm dependa de aspectos qualitativos levados emconta pelo decisor.

Na anlisequantitativa doproblema o primeiro passo contruir ummodelo matemti-co que represente o problema. Um modelo uma representao simplicada da

realidade. Na formalizao matemtica do problema importante identicar:

Qual o objectivo a expresso matemtica que descreve o objectivo afuno

objectivo.

) ex: maximizar lucro, minimizar custos. As variveis de deciso quais so as variveis sobre as quais o agente tem con-

trole. Para alm das variveis de deciso pode haver outras variveis (parmet-ros) que no esto sob o controle do decisor mas que inuenciam o problema.

) ex. de variveis de deciso: quantidade a produzir. As restries do problema normalmente as variveis de deciso no podem

tomar valores arbitrrios, h restries que tm que ser levadas em conta.

) ex: restries de capacidade, restries oramentais, restries de no-negatividade.


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Captulo 1 Introduo 5

Modelosdeterminsticosversus modelos estocsticos quando os vrios parmetrosque inuenciam o modelo so conhecidos com certeza o modelo determnistico.

Quando os valores daquelas variveis no conhecido apriori, o modelo estocstico.

1.2 Reviso de Probabilidades

Muitas decises de gesto so tomadas num contexto de incerteza no sabemosexactamente o que vai acontecer no futuro, e o payo associado s decises que

tomamos depende daquilo que acontecer.Quando no se sabe exactamente o que ir acontecer importante analisar qual o

grau de incerteza associado a cada possvel acontecimento.

) noo deprobabilidadede um dado acontecimento assim essencial.

Aprobabilidade um nmero entre 0 e 1 que descreve a verosimilhana de um dadoacontecimento (se eu disser que h 50% probabilidade de chover amanh, estou a

dizer que considero igualmente provvel amanh chover ou no).

0 P(A) 1

) Um acontecimento de probabilidade igual a zero indica que no se espera que elevenha a acontecer. Um acontecimento com probabilidade 1 indica que se espera que

ele acontea quase de certeza.

) Se considerarmos uma experincia com vrios resultados possveis (ex: lanarum dado ou uma moeda) a soma das probabilidades dada a cada um dos possveis

resultados igual a 1.

) O primeiro passo na anlise denir claramente quais os possveis resultados daexperincia. No lanamento da moeda S=fcaras,coroasg. No lanamento do dadoS= f1;2; 3;4;5; 6g.) Se tivermosS=fA1; A2; ; Akg, sabemos que 0P(Aj) 1e que P(A1) +P(A2) + P(Ak) = 1.

Mtodos de estimao de probabilidade

Mtodo objectivo


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) abordagem clssica no lanamento do dado, por exemplo, a probabilidadede sair 1 16. Usa a hiptese de que os possveis resultados so igualmente

provveis. Esta abordagem a usada muito na anlise de problemas de jogos

(cartas, dados,..)

) frequncia relativa baseada na repetio da experincia um nmero ele-vado de vezes e no clculo da percentagem de vezes que cada um dos possveis

resultados foi observado. Ex: uma empresa est a lanar um novo produto e

quer estimar a probabilidade de um consumidor comprar o bem. Pode fazer um

teste de mercado a um certo nmero de pessoas e usar a frequncia observadade compras para estimar essa probabilidade.

nmero de vezes que o resultado foi observadonmero de vezes que a experincia foi feita

:

Mtodo subjectivo muitas vezes no possvel realizar experincias para es-

timar probabilidades. Nestes casos, s o mtodo subjectivo pode ser usado)so opinies sobre o grau de crena num dado acontecimento.

1.2.1 Conceitos Bsicos

Noo de acontecimento um acontecimento um conjunto de resultados. Porexemplo, no lanamento do dado podemos denir o acontecimento sair um nmeropar. Este acontecimento o conjunto:

A= f2;4;6g :

Qual a probabilidade do acontecimento A? :

P(f2g) + P(f4g) + P(f6g) =16+

1

6+

1

6=

1

2:

) Complemento do acontecimento A o conjunto de todos resultados que noesto contidos no conjunto A.

) repare-se que como a reunio de Ae Ac nos d todos os resultados possveis temosP(A) + P(Ac) = 1;o que implica

P(Ac) = 1 P(A):

) P(sair 1 no lanamento do dado)= 16) P(no sair 1 no lanamento do dado)= 56.


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Probabilidade da Unio. O acontecimentoA[B, reuniode A comB, o conjunto deelementos que pertencem aA, a B ou a ambos. O acontecimentoA \B, intersecodeA e B , o conjunto de elementos que pertencem simultaneamente a Ae aB .

P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B):

) intuio: P(A) a probabilidade de se vericar um resultado emA eP(B)aprobabilidade de se vericar um resultado emB. Ao somarmos P(A) + P(B)esta-

mos a somar duas vezes a probabilidade da ocorrncia de resultados que pertencemsimultaneamente a Ae B(A \ B). Por isso, temos que subtrairP(A \ B).

Acontecimentos mutuamente exclusivos os acontecimentos dizem-se mutuamenteexclusivos se s um deles puder acontecer. Por outras palavras, dizer que doisacontecimentos so mutuamete exclusivos equivalente a dizer que a sua interseco

um conjunto vazio. Isto implica que, se A e B so mutuamente exclusivos ento:

P(A [ B) =P(A)+ P(B).

Acontecimentos independentes Acontecimentos podem estar ou no estar rela-cionados. H acontecimentos que so independentes, isto , o facto de um delesse vericar nada nos diz sobre a probabilidade do outro acontecimento se vericar(ex: sejaA=Benca ganha o campeonato eB=amanh chove em vora).

Por outro lado, h acontecimentos que so dependentes, o facto de sabermos que

um deles se vericou importante no clculo da probabilidade do outro acontecer.

) Note-se que acontecimentos mutuamente exclusivos no so independentes!!

Probabilidade Condicional suponha-se que inicialmente se estimou que a proba-

bilidade do acontecimento A P(A). Entretanto obtivemos a informao adicionalde que o acontecimento B se vericou. Se Ae B estiverem relacionados, o facto de

sabermos que Baconteceu deve levar-nos a reestimar a probabilidade de Aacontecer.Ou seja queremos calcular a probabilidade deA, dado que Bse vericou:

P(AjB) = P(A \ B)P(B)

) probabilidade condicional deA dadoB.

) quando dois acontecimentos so independentes o facto de Bacontecer no nos diznada sobre a probabilidade deA acontecer. Mas isso signica que P(AjB) = P(A).


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) da denio de probabilidade condicional obtemos

P(A \ B) =P(AjB) P(B):

) seA e B forem independentesP(A \ B) = P(A) P(B):

Tabela de contigncia, Probabilidades conjuntas e probabilidade marginalGesto Engenh. Artes e L. Medicina Outros Total

Masc. 21 16 145 2 6 190Femin. 14 4 175 13 4 210

Total 35 20 320 15 10 400

Usando as frequncias relativas para calcular as probabilidades conjuntas e marginais:

Gesto Engenh. Artes e L. Medicina Outros Total

Masc. 21400= :0525 16400= :04

145400= :3625

2400= :005

6400= :015

190400=:475

Femin. 14400= :035 4400= :01

175400= :4375

13400=:0325

4400=:01

210400=:525

Total 35400= :0875 20400= :05

320400= :8

15400=:0375

10400= :025 1

) qual P(GestojMasc)?P(GestojMasc) =P(Gesto e Masc)

P(Masc.) =

:0525

:475= :11053

) repare-se que a probabilidade global de se escolher gesto 0:0875.

1.2.2 Teorema de Bayes

Este um resultado fundamental que nos indica como rever as nossas crenasapriori com a chegada de nova informao. Suponha-se que um indivduo estimou

a probabilidade apriori do acontecimento A. Posteriormente o indivduo obtevea informao adicional de que B aconteceu. A questo , qual a probabilidade

aposteriorideA acontecer?

P(AjB) =P(A \ B)P(B)

=P(BjA)P(A)

P(B) :

SejamE1; E2; ; Ekacontecimentos mutuamente exclusivos e exaustivos (S=E1[E2[ [Ek)e sejaAum outro acontecimento. Queremos encontrar a probabilidade


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deEidadoA.

P(EijA) = P(Ei \ A)P(A) = P(Ei \ A)

P(E1 \ A) + P(E2 \A) + + P(Ek \ A)=

P(AjEi)P(Ei)P(AjE1)P(E1) + P(AjE2)P(E2) + + P(AjEk)P(Ek)

Exemplo 1: Uma editora manda material publicitrio sobre um livro de texto deMarketing para 70% dos professores desta disciplina. Verica-se que 40% dos pro-

fessores que recebem a publicidade compram o livro. Em contrapartida, dos profes-

sores que no recebem publicidade s 10% que compram o livro de texto. Qual a probabilidade de um professor que compra o livro tenha recebido publicidade.

Soluo: Sejam Aprofessor compra o livro, E1 professor recebeu publicidade,E2= E1 professor no recebeu publicidade, temos os seguintes dados:

P(E1) = 0:7; P(E2) = 0:3

P(AjE1) = 0:4 e P(AjE2) = 0:1:

Queremos saber

P(E1jA) = P(E1 \ A)P(E1 \ A) + P(E2 \ A)=

P(AjE1)P(E1)P(AjE1)P(E1) + P(AjE2)P(E2)

= 0:4 0:7

0:4 0:7+ 0:1 0:3= 0:9032

Exemplo 2: Uma empresa tem 3 fornecedores de uma dada pea (fornecedoresA, Be C). Registos passados permitem concluir que a proporo de peas que so boas

e que so defeituosas a seguinte:

A B C

Boa .27 .30 .33

Defeito .02 .05 .03Perguntas:

Se uma pea for escolhida aleatoriamente no conjunto de todas as peas, qual a probabilidade que seja defeituosa?

P(Def) = P(Def\A) + P(Def\ B) + P(Def\ C)= :02 + :05+ :03 = :1

Logo, a probabilidade de uma pea ser defeituosa 10%.


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Qual a probabilidade que seja do fornecedorB?

P(B) =P(B \ boa) + P(B \ def) = 0:3+ :05 = 0:35

Qual a probabilidade de uma pea do fornecedorB ser defeituosa?

P(DefjB) =P(B \ def)P(B)

=0:05

0:35= :1428

1.2.3 Distribuies de Probabilidades

Variveis Aleatrias-No estudo de probabilidades consideram-se fenmenos para osquais no possvel prever com certeza qual vai ser o resultado (que so aleatrios).Varivel aleatria uma varivel que pode tomar certos valores numricos depen-

dendo de qual o resultado da experincia aleatria.

) Se a varivel aleatriaXs pode tomar valores num conjunto discreto! varivelaleatria discreta.

)Se a varivel aleatria pode tomar valores num intervalo

!varivel aleatria

contnua.

) Muitas vezes estamos interessados em saber com que frequncia a varivel aleatriatoma um certo valor, ou um certoconjunto de valores! isto leva-nos ao conceito defuno densidade de probabilidade.

Funo de probabilidadesde uma varivel aleatria discreta X a funo que acada valor da varivel aleatria faz corresponder a probabilidade da sua ocorrncia

f(x) =PX(x) =P(X= x).

!ex: no caso do dado P(X= 1),P(X= 2);

.

Propriedades:

i) f(x) 0ii)P

x2R f(x) = 1, ondeR o conjunto de valores que x pode tomar.

iii) P(x 2 A) =Px2A f(x)ondeA R: Funo cumulativa de probabilidades: para cada valor de xdiz-nos qual a proba-

bilidade de a varivel aleatria no exceder x. Isto ,F(x) = P(X x).


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! construirFX para o exemplo dos dados.Propriedades:

i)0 F(x) 1ii) F(x) uma funo no decrescente dex.

iii) F(z) = 0se z menor que qualquerx 2 R e F(y) = 1se y maior ou igual queo maior elemento de R.

Valor Esperado e VarinciaValor esperado e varincia so duas caractersticas que nos dizem muito sobre a dis-

tribuio de uma varivel aleatria. O valor esperado o valor mdio da varivel aleatria,onde a mdia uma mdia ponderada pelas probabilidades de cada resultado.

Valor Esperado da v.a. X:E(X) =

Xx2R

xf(x)

quando este somatrio existe (este comentrio aplica-se em todas as outras denies).

Ex: Qual o valor esperado da v.a. lanamento do dado?

1

6 1+1

62 + +1

66 =1

6(1+ 2 +3 +4 +5 +6) = 3;5

Propriedades do Valor Esperado

Sec uma constante, E(c) =c. Porqu?P

R cf(x) =cP

R f(x) = c.

E[cX] =cE[X].

E[X+ c] =E[X] + c

Varincia - o valor esperado do quadrado dos desvios em relao a .2 = E

(X )2 = X

x2R(x )2f(x)

Propriedades da Varincia

2 =E

X2 2. Porqu? E(X)2=EX2 2X+ 2=EX2

2E[X] + 2 = E

X2 2

SeX v.a. comXe 2XeY= aX+ bentoY= aX+be

2X=a

22X.


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1.3 Distribuies Discretas

1.3.1 Bernoulli

Suponhamos que um certo fenmeno aleatrio tem s dois resultados possveis:

Sucesso! X= 1 e Insucesso! X= 0. A funo de probabilidades inteiramente descrita pela probabilidade de obterX= 1.

f(x)( p sex = 1

1p sex = 0 Qual a mdia de uma v.a. Bernolli?

= 0 (1 p)+ 1 p=p

Qual a varincia de uma v.a. Bernolli?

2 = E(X2) 2 = 02 (1 p)+ 12 pp2 =p p2 =p(1 p)1.3.2 Binomial

uma generalizao da distribuio anterior. A ideia que a experincia aleatria anterior repetida vrias vezes. Seja p - probabilidade de sucesso em cada experincia e nnmero de repeties independentes. Agora o nmero de sucessos nasntentativas pode

estar entre0e n. A funo de probabilidades binomial descreve qual a probabilidade deobter xsucessos nas ntentativas.

Para perceber qual a probabilidade de obter exactamentex sucessos, note-se:

px(1

p)nx a probabilidade de obter uma sequncia comx sucessos.

h(nx) = n!

x!(nx)! maneiras de obter emn experinciasx sucessos.

Logof(x) = PX(x) = n!x!(nx)! px(1 p)nx parax = 0;1; ; n.

)os parmetros que denem a binomial son e p, por isso costume usar anotaob(n; p) para designar uma funo de probabilidades binomial em quea probabilidade de sucesso em cada experincia pe o nmero de vezes que a

experincia repetida n.

Qual a mdia de uma v.a. Binomial b(n; p)?


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= np

Porqu? X= X1+ X2+ + Xn(soma de nBernolli independentes). Valor esperadoda soma soma dos valores esperados.

Qual a varincia de uma v.a. Binomial?

2 = E(X2)

2 =np(1

p)

1.3.3 Hipergeomtrica

A binomial supe independncia entre as nrepeties)ou que h reposio ou ento apopulao to grande que repr ou no no interessa. Se a populao for pequena e no

houver reposio a distribuio adequada a hipergeomtrica.

H um grupo de Nobjectos entre os quais h S sucessos. A funo densidade deprobabilidade do nmero de sucessos emn experincias

Sx

NSnx (Nn )

Qual a mdia de uma v.a. Hipergeomtrica?

= np

Porqu? X= X1+ X2+ + Xn(soma de nBernolli independentes). Valor esperadoda soma soma dos valores esperados.

Qual a varincia de uma v.a. Hipergeomtrica?2 =

N nN1 np(1 p)

1.3.4 Multinominal

Se em vez de haver s dois resultados possveis em cada experincia houver kresultados

possveis, sendop1,p2, , p k as respectivas probabilidades podemos perguntar-nos qual a probabilidade de nas n experincias obter n1 vezes o primeiro resultado, n2 vezes o

segundo resultado e por a adiante.


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1.3.5 Geomtrica

Queremos saber probabilidade do primeiro sucesso ocorrer nax-sima tentativa

f(x) = (1 p)x1p ondex= 1; 2; Mdia e Varincia

=1

p e 2 =

1 pp2

1.3.6 Binomial Negativa

Qual a probabilidade do r-simo sucesso acontecer na tentativa x? X- tentativa em queacontece or-simo sucesso

f(x) =p

x1r1(1 p)xrpr1 = x1r1 (1 p)xrpr

Mdia e Varincia

=r

p

e 2 = r1p

p

2

1.3.7 Uniforme discreta

Diz-se queXtem distribuio uniforme nos inteiros1; 2; ; msef(x) = 1m Mdia e Varincia

=m + 1

2 e 2 =

m2 112

1.3.8 Poisson

Se para pequenos intervalos de tempo a probabilidade de ocorrncia de exactamento um

acontecimento for proporcional ao intervalo de tempo(dt), se a probabilidade de duasocorrncias no mesmo intervalo de tempo for neglincencivel quando comparada com a

probabilidade de uma ocorrncia, se o nmero de ocorrncias em dois intervalos distintosforem independentes a distribuio Poisson

f(x) =ex

x! x= 0; 1;2;

Mdia e Varincia= e 2 =


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1.4 Distribuies Contnuas

Se o conjunto de valores que a v.a. pode tomar for um intervalo ou unio de intervalosa varivel aleatria contnua. Neste caso a probabilidade de observar um valor em

particular zero. Mas faz sentido calcular

P(a < x < b) =

Z ba

f(x)dx

A funo densidade de probabilidadesda v.a. contnuaX uma funo integrvel f(x)

que satisfaz

i) f(x) 0; x 2 R

ii)R

R f(x)dx = 1

iii) A probabilidade de um acontecimento A P(X2 A) = RA f(x)dx A funo distribuio

F(x) = P(X

x) = Z

x

1f(x)dx

) P(a < x < b) = F(b) F(a)

Mdia e Varincia

E(X) =

Z11

xf(x)dx e 2 =Z11

(x )2f(x)dx

1.4.1 Uniforme (Rectangular)

Um ponto escolhido de forma justa no interval[a; b].

f(x) = 1

b a ; a x b

Mdia e Varincia

E(X) =a + b

2 e 2 =

(b a)212


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1.4.2 Exponencial

Est relacionada com a Poisson. X- mede o tempo decorrido entre duas ocorrncias suces-sivas = tempo de espera at primeira ocorrncia. A funo densidade de probabilidades

f(x) =1

e

x 0 x < 1

1.4.3 Normal

a distribuio mais importante em estatstica. Funo densidade em forma de sino (uma

concentrao mais elevada de valores em torno da mdia, e pouca densidade nos valores

muito afastados da mdia).

A funo densidade de probabilidades

f(x) = 1p22

e(x)2

22 com 1 < x < 1

Mdia e Varincia

E(X) = e Var(X) = 2

NotaoX N(; 2)

SeX N(; 2)e Z= X entoZN(0;1)


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Captulo 2

Programao Linear

A programao linear estuda a resoluo de um certo tipo de problemas de optimiza-o. Na formalizao matemtica de qualquer problema de optimizao importante

identicar:

Qual o objectivo a expresso matemtica que descreve o objectivo afuno

objectivo.

) ex: maximizar lucro, minimizar custos. As variveis de deciso quais so as variveis sobre as quais o agente tem con-

trole. Para alm das variveis de deciso pode haver outras variveis (parmet-ros) que no esto sob o controle do decisor mas que inuenciam o problema.

) ex. de variveis de deciso: quantidade a produzir. As restries do problema normalmente as variveis de deciso no podem

tomar valores arbitrrios, h restries que tm que ser levadas em conta.

) ex: restries de capacidade, restries oramentais, restries de no-negatividade.

Em problemas de programao linear a funo objectivo e as restries do problemaso funes lineares.

2.1 Resoluo Grca

Para ilustrar a resoluo grca vamos considerar o seguinte problema:Oblix anda a gastar muito dinheiro com a sua alimentao! Por isso, resolveu

conversar com Nutrix, o nutricionista. Nutrix explicou a Oblix que, para semanter saudvel, ele deve ingerir diariamente doses mnimas de protenas e vitam-

inas. Oblix consome dois bens: carne e hortalia. A quantidade de protenas e


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vitaminas em cada quilo de carne e hortalia, bem como a dose mnima diria destesnutrientes so apresentadas no quadro que se segue:

Carne Hortal. Dose mn.

(kg) (kg) diria

Protenas 8 4 40

Vitaminas 2 6 45

O preo da carne 10u.m. e o preo da hortalia de4u.m. Designe por x1e x2

as quantidades consumidas de carne e de hortalia, respectivamente. O problemade Oblix escolher a dieta que minimiza a despesa com a alimentao, mas que

satisfaz as recomendaes de Nutrix.

Quais so asvariveis de deciso do Obelix?) So quanto consumir de carne,x1, e quanto consumir de hortalia,x2.

Qual a funo objectivo do Obelix?O Obelix pretende minimizar a despesa com a alimentao. Como o preo da carne

10 a despesa em carne 10x1 (preo vezes quantidade consumida de carne). Deforma semelhante, como o preo da hortalia 4a despesa em hortalia 4x2. Porconseguinte a despesa total com alimentao :

D(x1; x2) = 10x1+4x2

Quais so asrestriesque o Obelix tem que satisfazer?

A restrio do consumo mnimo de protenas o consumo de protenas tem de

ser maior ou igual que 40.

Ou seja:8x1|{z}

protenas ingeridas pelo consumo de carne

+ 4x2|{z}protenas ingeridas pelo consumo de hortalia

40

A restrio do consumo mnimo de vitaminas o consumo de vitaminas tem

de ser maior ou igual a 45:

2x1+6x2 45


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Captulo 2 Programao Linear 19

x1

x 2

conjunto de

oportunidades

Figura 2.1: Conjunto de oportunidades do Obelix.

O consumo de carne e de hortalia no pode ser negativo. Ou seja:

x1 0; x2 0

) estas restries chamam-se restries de no-negatividade.

Com base no que acabamos de ver, o problema do Obelix pode formalizar-se daseguinte forma:

minx1;x2

10x1+ 4x2

sujeito a:

8x1+4x2 40;2x1+6x2 45;

x1 0; ex2 0:

Vamos comear por representar gracamente oconjunto de oportunidadesouregioadmissvel deste problema. O que o conjunto de oportunidades? o conjuntode valores das variveis de deciso que satisfazem todas as restries do problema.

So os valores das variveis de deciso que admissveis. O decisor pode escolher

qualquer ponto no conjunto de oportunidades, mas no pode escolher pontos queno pertenam a este conjunto, pois isso violaria alguma das restries do problema.

Na Figura 2.1 est representado o conjunto de oportunidades do problema do Obelix.


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O decisor pode escolher qualquer ponto no conjunto de oportunidades. Que ponto que deve escolher? Aquele que for melhor em termos do objectivo do decisor. No caso

do Obelix, o que ele deve fazer encontrar o ponto do conjunto de oportunidades

onde a despesa com a alimentao tem um valor mais baixo. Como fazer isso?

A ideia representar no grco anterior ascurvas de nvelda funo objectivo. Uma

curva de nvel o conjunto de pontos para o qual a funo toma um dado valor. No

nosso problema uma curva de nvel da funo despesa d-nos as vrias combinaesde(x1; x2)que correspondem a um dado nvel de despesa. Por exemplo, o conjunto

de pontos em que a despesa igual a 20 dado pela recta:

10x1+ 4x2= 20

O conjunto de pontos onde a despesa 50 dado por:

10x1+ 4x2= 50

E por a adiante,...

Repare-se que as curvas de nvel da funo despesa so rectas, todas paralelas. E o

nvel de despesa est a aumentar medida que as rectas se afastam da origem (medida que nos deslocamos na direco nordeste). Podamos chamar a estas rectas:

rectas de isodespesa.

) Em qualquer problema de programao linear, como a funo linear, as curvasde nvel so sempre rectas.

Como o objectivo minimizar a despesa, o Obelix quer escolher o ponto do conjunto

de oportunidades que est na recta isodespesa mais baixa possvel. Esse ponto, a

soluo do problema. Na Figura 11.1 esto representadas as rectas de isodespesa e

o ponto ptimo do problema do Obelix.) O Obelix no deve consumir nada de carne,x1= 0e deve consumir x2= 10.

Na soluo encontrada h algumas restries que so activas e outras que o noso. Uma restrio activano ponto ptimo se for satisfeita em igualdade. No

problema do Obelix a restrio das protenas activa, ou seja o consumo de protenas

exactamente 40 unidades. A restrio de no negatividade x10 tambm activa. Em contrapartida, no ptimo o Obelix consome mais vitaminas do que a

dose mnima, logo a restrio das vitaminas no activa.


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x1

x2

conjunto de

oportunidades

rectas de

isodespesa

ponto

ptimo

Figura 2.2: Ponto ptimo do problema do Obelix.

) podemos calcular a varivelsurplusde vitaminas qual o montante consumidopara alm da dose mnima.

2.1.1 Pontos extremos e soluo ptima

Vamos usar a resoluo grca para ilustrar uma propriedade muito importante

da soluo dos problemas de programao linear: a soluo ocorre sempre numdos vrtices ou cantos da regio admissvel. Em programao linear esses

vrtices so chamados pontos extremosda regio admissvel. Os pontos extremos

correspondem a pontos de interseco de restries do problema.

) No problema do Obelix os pontos extremos so:(0;10),(32 ;7)e(452; 0).

Para ilustrar a ideia mencionada vamos vericar qual seria a soluo se os preos dahortalia ou da carne se alterassem de forma a fazer mudar a inclinao das rectasde isodespesa.

Suponhamos quep1= 6e p2= 6, o que implica que a funo despesa agora

D= 6x1+ 6x2

)neste caso o ptimo ocorre no ponto extremo(32 ;7). A Figura 2.3 ilustraeste caso.

Sep1= 2e p2= 8a funo despesa D= 2x1+8x2

) neste caso o ptimo ocorre no ponto extremo(452; 0):


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x1

x 2

Figura 2.3: Ponto ptimo para p1=p2= 6.

Generalizar os exemplos, relacionando os declives das rectas de isodespesa comos declives das restries. Sejam o declive da recta de isodespesa. Note-se que

m= p1p2 . Ento: Se m 2(isodespesa muito inclinada) o ponto optimizante (0;10): Se2 m 13 o ponto optimizante (32; 7)

Se m 1

3 o ponto optimizante (45

2; 0):

2.1.2 Casos especiais

Vrios pontos optimizantes Se o declive da curva de nvel da funo objectivo coin-cidir com o declive duma das restries h uma innidade de pontos que optimizam

a funo objectivo.

Problema impossvel isto corresponde a uma situao em que no existe nenhumponto que satisfaa simultaneamente todas as restries do problema. Por outraspalavras, o conjunto de oportunidades um conjunto vazio. Vejamos um exemplopara ilustrar este caso. Uma empresa produz dois produtos, e usa trs materias

como inputs na produo desses produtos. A tabela seguinte apresenta os materiaisnecessrios para produzir uma unidade de cada produto:

Material 1 Material 2 Material 3

Produto 1 25 0 3

5

Produto 2 1215

310

Quant. Disponvel 20 5 21


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A gesto da empresa diz ao gestor da produo que tem que produzir no mnimo 30unidades do produto 1 e 15 unidades do produto 2.

Este problema tem 5 restries: 3 referem-se ao montante disponvel de cada material

e duas aos valores mnimos da produo. Sejax1a quantidade produzida do produto1 e x2a quantidade produzida do produto 2. As restries so:8>

>>>>>>:25x1+

12x2 20

15x2 5

3

5x1+ 3

10x2 21x1 30 e x2 15

Se representarmos estas restries chegamos concluso que a regio admissvel um conjunto vazio.

)podemos informar a gesto que ter que adquir mais matrias primas se quiserproduzir os montantes desejados dex1e x2.

A soluo ilimitada Num problema de maximizao isso signicaria que erapossvel tornar o valor da funo objectivo to grande quanto ns quisermos, num

problema de minimizao seria possvel tornar o valor da funo objectivo to pe-queno quanto desejarmos.

) Isto acontece se o conjunto de oportunidades no for limitado.)Em problemas reais se isto acontecer deve ser porque o problema no foi bemformulado (talvez nos tenhamos esquecido de alguma restrio.

2.1.3 Anlise de sensibilidades

A anlise de sensibilidades o estudo de como variaes nos parmetros do problemade programao linear afectam a soluo ptima:

Se variarmos os coecientes da funo objectivo como isso afecta a soluo

ptima? No problema do Obelix isto equivalente a perguntar: como varia a

soluo se os preos da carne e da hortalia se alterarem?

Se variarmos o lado direito das restries como que isso afecta o ptimo?

) a anlise de sensibilidades importante porque em problemas reais naturalhaver modicaes: preos variam ao longo do tempo, a procura varia,...


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) a anlise de sensibilidade permite identicar quais so os coecientes relativamenteaos quais a soluo mais sensvel (esses parmetros vo ter que ser estimados com

muito mais preciso).

Alterao nos coecientes da funo objectivo Ns j zemos um pouco de anlisede sensibilidades no problemaAl do Obelix. J vimos como que a soluo se alterava

se os preos da carne e hortalia fossem outros. Vamos agora fazer isso de forma

um pouco mais estruturada. Vamos manter um dos coecientes da funo objectivoconstante e fazer variar o outro coeciente.

Uma pergunta interessante : quanto que podemos variar o coeciente, semque haja alterao no ponto ptimo? A resposta a esta pergunta indica-nos o

intervalo de optimalidadedo coeciente.

No exemplo do Obelix, consideremos p1= 10 e vejamos qual o intervalo de

optimalidade parap2.

) desde quep22 (0; 5]a soluo no se altera. O intervalo de optimalidade s pode ser utilizado quando apenas um dos coe-

cientes varia. Se os dois coecientes da funo objectivo variarem simultanea-

mente para vericarmos o que acontece soluo mptima basta vermos o queacontece ao declive das curvas de nvel da funo objectivo. No exemplo doObelix:

p1x1+p2x2= D, x2= Dp1

p1p2|{z}

declive da recta de isodespesa

x1

Ou seja, temos que olhar para o rciop1p2 .

Alteraes no lado lado direito da restrio Para exemplicar admita-se que o

Nutrix diz ao Obelix que um novo estudo cientco defende que a dose mnimadiria de protinas 50. Qual a alterao no valor ptimo da funo objectivo que

da resulta? A Figura 2.4 mostra como que o conjunto de oportunidades e o pontoptimo se alteram se a dose mnima de protenas for 50 em vez de 40.

) repare-se que o conjunto de oportunidades se tornou mais pequeno. Como odecisor tem menos opes, bvio que a sua situao nunca pode melhorar.

)o novo ponto ptimo (x1; x2) = (0; 12:5) e a despesa mnima 50. A despesaaumentou 10.


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x1

x2

conjunto de

oportunidades

Figura 2.4: Alterao do conjunto de oportunidades e do ponto ptimo se o valor mnimo de

protenas for 50.

A variao no valor ptimo da funo objectivo quando o lado direito de uma re-strio aumenta de uma unidade chama-se o preo sombraoupreo dual. O preo

sombra indica-nos o valor que implicitamente o decisor d a ter mais uma unidade

daquele recurso.) temos que ter cuidado ao usar o preo dual no caso de variaes grandes no ladodireito da restrio. Com variaes grandes pode haver alterao do ponto extremo

ptimo, e as restries que so activas mudam.

) uma restrio que no activa tem um preo dual nulo.

2.2 Resoluo com Excel

Para resolver um problema de programao linear com o excel temos que escolher no

menuTools, e de seguida escolher Solver. O spreadsheet deve estar bem organizado

para facilitar o uso do solver. Uma boa ideia :

Na coluna A por a funo objectivo: Por exemplo, na cela A4 escrever10 $C$4+ 4 $C$5

Na coluna B por nome das variveis

Deixar a coluna Ccom as celas livres. Ser a que o excel colocor os valores

ptimos das variveis de deciso. Para alm disso, essas celas so mencionadas


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Suponha que os meios publicitrios sua disposio so: anncios na TV, jornaldirio, revista semanal e anncios no rdio. Na tabela seguinte so apresentados os

custos de cada tipo de anncio, a audincia atingida por cada anncio e o nmero

mximo de anncios por semana.

Audincia Custo por anncio Nomximo de anncios

Anncios na TV 5000 800 12

Jornal Dirio 8500 925 5Revista Semanal 10000 1000 1

Rdio 2500 380 20

Admita que o oramento para despesas semanais em publicidade 8000 contos. Para

alm disso, um contrato com a rdio obriga-o a colocar no mnimo 5 anncios por

semana. Para alm disso, a gesto no permite que o montante gasto em revistas ejornais ultrapasse 4000 contos.

O seu maximizar a nmero de consumidores potenciais que cam a conhecer o

produto.

Designemos por x1o no

de anncios de TV, x2 o nmero de anncios no jornal, x3node anncios na revista semanal e x4o node anncios na rdio. O problema anterior

formaliza-se da seguinte maneira:

maxx1 ;x2 ;x3 ;x4

5000x1+ 8500x2+10000x3+ 2500x4

s.a.

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

x1 12x2 5x3 1

x4 20800x1+925x2+1000x3+ 380x4 8000

925x2+1000x3 4000x1 0; x2 0; x3 0e x4 5

A soluo deste problema x1= 0; x2= 12037; x3= 1 e x4= 20019.

Vamos vericar quais as restries que so activas:


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0


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C1 node entrevistas durante o dia a agregados com crianas

C2 node entrevistas durante a noite a agregados com crianas

S1 node entrevistas durante o dia a agregados sem crianasS2 node entrevistas durante a noite a agregados sem crianas

O problema da M Spode formalizar-se como se segue:min 20C1+ 25C2+ 18S1+20S2

sujeito a:

C1+ C2+ S1+ S2 = 1000

C1+ C2 400S1+ S2 400C2+ S2 C1+ S1

C2 0:4(C1+ C2)S2 0:6(S1+S2)S1 0; C1 0; S2 0e C2 0

O ponto minimizante : C1= 240, C2= 160, S1= 240e S2= 360:

Podemos ainda vericar que a primeira e segunda restries so activas, a terceira ea quarta no so activas, a quinta e a sexta restries so tambm activas:

240 +160+ 240+ 360 = 1000

240+ 160 400240+ 360 400 ) +200 entrevistas do que mnimo exigido a agregados sem crianas160+ 360 240+ 240) +40 entrevistas de noite que mnimo exigido

160 = 0:4(240 +160)

360 = 0:6(240 +360)

2.3.3 Seleco da carteira de activos

Os gestores de fundos de investimento, bancos, companhias de seguros, tm quefrequentemente escolher como investir um dado montante num determinado conjunto

de activos. O objectivo normalmente maximizar o a rentabilidade esperada dacarteira ou minimizar o risco da carteira. As restries podem ter a ver com risco

mximo permitido, tipo de investimentos que so permitidos, restries legais,...


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Suponhamos que a empresa Diana Segurostem neste momento 200 mil euros parainvestir e est a considerar comprar aces de 4 empresas diferente. O preo por

aco, a rentabilidade mdia anual e a medida do risco de cada aco a indicada

na tabela seguinte:

A B C D

Preo por aco 100 50 80 40

Taxa de rentabilidade 0:12 0:08 0:06 0:10

Medida de risco 0:10 0:07 0:05 0:08

Admita que a Diana Seguros pretende obter uma rentabilidade mdia superior ouigual a 9% e que no pode investir mais de 50% em nenhuma das aces.

Qual a carteira de activos que minimiza o risco sujeita s restries de rentabilidade

mdia e de diversicao?

Designando porA,B, Ce Do node aces adquiridos de cada uma das empresas, oproblema da Diana Seguros pode formalizar-se:

min 0:1A + 0:07B+0:05C+0:08D

sujeito a:100A+50B+80C+ 40D = 200000

0:12A+0:08B+ 0:06C+ 0:10D 0:09100A 10000050B 10000080C 10000040D 100000

A 0; B 0; C 0e D 0O mnimo ocorre no pontoA= 1000, B= 0, C= 1250, D= 0:

2.3.4 Planeamento da produo

Uma das aplicaes mais importantes de programao linear no planeamento daproduo durante vrios perodos. O gestor da produo tem que determinar quanto

produzir de cada produto, em cada perodo, de forma a minimizar os custso, levan-do em conta as restries da procura, as restries de capacidade, as restries da

quantidade de trabalho, e o espao disponvel para stocks.


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Consideremos o problema da empresaEletrnixque produz duas componentes elec-trnicas para um fabricante de avies. O cliente daEletrnixinforma a empresa das

quantidades necessrias das duas componentes no trimestre seguinte. Admita que a

encomenda recebida pelaEletrnixpara o primeiro trimestre do ano :

Componente Janeiro Fevereiro Maro

402B 2000 1500 5000

505A 1000 2000 3000

Designemos porxima quantidade produzida da componente i no msm (comm=1; 2;3). O indice i= 1 refere-se componente402B, o ndice i= 2 refere-se

componente505A.

Os custos daEletrnixincluem os custos de produo e os custos de stocks. Admita-

se que o custo de produo de uma unidade da componente402B 20 e o custo de

produo de uma unidade da componente505A 10.

O custo de armazenagem por ms 0:5 para a componente402B e 0.25 para a

componente505A. Para simplicar admita-se que o stock mdio igual ao stock no

nal do perodo. Designemso por simo stock da componente i no nal do ms m.O stock no nicio do ms de Janeiro de 500 unidades da componente402B e 200

unidades da componente505Ae aEletronixdeseja ter um stock mnimo no nal de

Maro de 250 para ambas as componentes.

Para alm disso, a Eletronixdefronta restries de capacidade, trabalho e espao

de armazenagem. O node horas mquina disponvel por ms 500, o node horas de

trabalho disponvel por ms 400 e o espao disponvel 500 metros quadrados.A

tabela seguinte apresenta a quantidade necessria de cada um destes inputs parauma unidade de cada produto:

Componente Mquina (horas/un) Trabalho (horas/un) Espao (m2/un)

402B 0:1 0:05 0:02

505A 0:08 0:07 0:05

O problema anterior pode formalizar-se da seguinte forma:

min 20(x11+x12+x13)+ 10 (x21+ x22+ x23) +0:5(s11+ s12+s13) +0:25(s21+ s22+ s23)


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sujeito s restries da procura(500 + x11 s11= 2000200 + x21 s21= 1000(

s11+x12 s12= 1500s21+x22 s22= 2000(

s12+x13 s13= 5000s22+x23 s23= 3000

sujeito s restries dos stocks no nal de Maro(s13 250s23 250

sujeito s restries de capacidade:8>:

0:1x11+ 0:08x21 5000:1x12+ 0:08x22 5000:1x13+ 0:08x23

5008>:

0:05x11+0:07x21 4000:05x12+0:07x22 4000:05x13+0:07x23 4008>:0:02s11+ 0:05s21 5000:02s12+ 0:05s22 5000:02s13+ 0:05s23 500

e, nalmente as restries de no negatividade das 12 variveis de deciso.


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Captulo 3

Teoria de Deciso

O processo de tomada de deciso tem vrias etapas:

Identicao do problema

Identicao das vriasalternativas

Identicao dos possveis estados da natureza(o que que pode acontecer no

futuro que inuencie os payos obtidos).

Determinao dos payosobtidos com cada uma das alternativas, nos vrios

estados da natureza.

Escolha de um critrio de deciso

Aplicao do critrio para escolher a melhor alternativa

Exemplo: Quero decidir se devo ou no construir uma fbrica para produzir umdeterminado produto. As alternativas que tenho podem ser: construir uma fbricagrande, construir uma fbrica pequena ou no construir. Os resultados que vou

obter dependem do estado do mercado no futuro: o mercado pode ser favorvel ou

no. Os payos que obtenho com cada uma das alternativas nos diferentes estados

da natureza podem ser descritos por uma matriz:Favorvel No Favorvel

Fbrica grande 1000 500Fbrica pequena 500 100No construir 0 0

) Esta matriz chama-sematriz de payos.

Uma representao alternativa do problema anterior usar umarvore de deciso.Uma rvore de deciso uma representao grca do problema, que mostra a


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sequncia lgica ao longo do tempo. No problema anterior, a rvore de decisocomea por representar a escolha da fbrica e, aps essa deciso ter sido feita, um

dos estados da natureza ocorrer.

Uma rvore de deciso constituda por ns e ramos. Os ns so pontos deinterseco, os ramos so os arcos que ligam os ns. H dois tipos de ns nas rvores

de deciso

Ns de deciso que representam pontos onde o decisor tem que escolher entre

vrias alternativas. So representados por um quadrado. Ns de incerteza que apresentam os possveis estados da natureza, um dos

quais ocorrer. So representados por um crculo.

Deciso em contexto de certeza se o decisor sabe com exactido as consequnciasde cada uma das alternativas a deciso feita em contexto de certeza. No exemplo

anterior, se eu tiver a certeza absoluta que o mercado vai ser favorvel, eu sei que

uma fbrica grande ter um payo mais elevado do que qualquer das alternativas.

Neste caso a deciso bastante fcil.

Outro exemplo: se tiver 1000 contos para investir durante um ano e quiser decidir

entre duas aplicaes sem risco: uma um depsito a prazo com uma taxa de 5%, a

outra uma obrigao do estado com 8% de taxa, estou a decidir em contexto decerteza porque sei exactamente quanto vou receber daqui a uma ano com ambos os

investimentos.

Deciso em contexto com risco neste caso h vrias possibilidades, h vrios estadosda natureza, mas o decisor conhece com exactido a probabilidade de ocorrncia de

cada um dos estados da natureza. As probabilidades so probabilidades objectivas

(ex: lanamento do dado).

Deciso em contexto de incerteza as probabilidades de cada um dos estados danatureza no so conhecidas.

) Se o decisor conseguir atribuir probabilidades a cada um dos estados da natureza(probabilidade subjectiva) pode aplicar critrios de deciso semelhantes ao caso de

deciso com risco

)Mas, h evidncia que sugere que risco e incerteza no so equivalentes para odecisor. O paradoxo de Ellesberg mostra que a maioria das pessoas prefere a situao

de risco.


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Captulo 3 Teoria de Deciso 35

3.1 Critrios de deciso sem probabilidades

Nesta seco vamos estudar critrios de deciso que no requerem o uso de prob-abilidades. Isto pode ser relevante nos casos em que o decisor tem diculdade em

atribuir probabilidades aos vrios estados da natureza.

3.1.1 Critrio Optimista

O critrio optimistaavalia cada alternativa considerando o melhor resultado quepoder ocorrer se aquela alternativa for escolhida. A alternativa recomendada no

critrio optimista aquela que apresenta o melhor payo.

No nosso exemplo, se a alternativa escolhida for construir uma fbrica grande, o

melhor resultado que pode ocorrer 1000. Se a alternativa escolhida for construir

uma fbrica pequena, o melhor resultado que pode acontecer 500. Se a alternativaescolhioda for no construir a fbrica o melhor dos payos 0. Na tabela seguinte

est indicado a bold o resultado mais favorvel para cada uma das alternativas. A

alternativa que apresenta o melhor (dos melhores) payo construir uma fbrica

grande.Favorvel No Favorvel

Fbrica grande 1000 500Fbrica pequena 500 100No construir 0 0

O critrio optimista muitas vezes designado por critrio maxmax(se o problemafor de mximo) ouminmin(se o problema for de mnimo). A razo para esta nomen-

clatura prende-se com o processo de encontrar a alternativa ptima. Num problema

de maximizao, por exemplo, a ideia encontrar primeiro o valor mximo em cadalinha da matriz de payos (o melhor resultado possvel para cada alternativa) e,

depois, encontrar o valor mximo entre os valores mximos encontrados para cadalinha (escolher a alternativa com o maior valor mximo).

Designando por Vij o payo que corresponde linha i e coluna j, se o problemafor de mximo o que fazemos :

maxi

max

jVij


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A hiptese implcita neste critrio que a incerteza se resolve sempre a favor dodecisor. O estado da natureza que ocorre o mais favorvel tendo em conta a

alternativa escolhida.

Outro exemplo: Uma empresa est a decidir se deve produzir internamente umapea, ou se deve compr-la. O lucros obtidos dependem claramente da procura do

produto nal, como se verica na matriz de payos:

Baixa Mdia Alta

Fabricar a pea 30 30 100Comprar a pea 20 40 70

Aplicando o critrio optimista, a deciso fabricar a pea.

3.1.2 Critrio Pessimista

Ocritrio pessimistaavalia cada alternativa considerando o pior resultado que podeocorrer se aquela alternativa for escolhida. A alternativa escolhida aquela que tivero melhor dos piores resultados.

No nosso exemplo, se a alternativa escolhida for construir uma fbrica grande, o pior

resultado possvel 500. Se a alternativa escolida for construir uma fbrica pequenao pior resultado possvel 100. Se a alternativa escolhida for no construir fbricao pior resultado possvel 0. A alternativa que tem o melhor dos piores resultados

no construir a fbrica.

Favorvel No Favorvel

Fbrica grande 1000 500Fbrica pequena 500 100

No construir 0 0

) repare-se que a alternativa escolhida diferente da escolhida com o critrio opti-mista. O estado da natureza que ocorre sempre o pior possvel, tendo em conta aalternativa escolhida.

O critrio pessimista muitas vezes designado por maxmin(em problemas de maxi-mizao), ou minmax(em problemas de minimizao). Num problema de maximiza-o a ideia encontrar primeiro o valor mnimo em cada linha (o pior resultado para

cada alternativa), e depois encontrar o valor mximo entre os mnimos encontrados


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para cada linha. Por outras palavras, o que fazemos :

maxi

min

jVij

:

A hiptese implcita neste critrio que a incerteza se resolve sempre contra o decisor.

Aplicando o critrio pessista ao nosso segundo exemplo obtemos:Baixa Mdia Alta

Fabricar a pea 30

30 100Comprar a pea 20 40 70

Comomax(30; 20) = 20concluimos que a melhor alternativa comprar a pea.) tambm neste caso a alternativa escolhida diferente da escolhida com o critriooptimista.

3.1.3 Critrio de Minimax Regret

A ideia base deste critrio que o decisor quer minimizar a sensao de arrependi-mento ex-post, isto , depois de conhecer o estado da natureza que ocorreu. Para

aplicar o critrio temos primeiro que calcular a matriz de perdas.

A perda a diferena entre o melhor payo para um dado estado da natureza e o

payo obtido com a alternativa em causa quanto estou arrependido por no ter

escolhida a melhor alternativa. Podemos construir a matriz de perdas a partir damatriz de payos:

Favorvel No Favorvel

Fbrica grande 1000 1000 = 0 0 (500) = 500Fbrica pequena 1000 500 = 500 0 (100) = 100

No construir 1000 0 = 1000 0Cada alternativa avaliada pela perda mxima que pode ocorrer se alternativa forescolhida. O critrio recomenda escolher a alternativa com a menor das perdas

mximas.

Neste exemplo, o critrio do minmax regret recomenda escolher a contruo de umafbrica grande ou pequena (ambos tm um regret mximo de 500).

Designemos porVj o valor da melhor alternativa quando ocorre o estado da naturezasj. A matriz das perdas dada porVjVij. Se usarmos o critrio do minmax regret


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o que fazemos :

mini

max

j

Vj Vij

:

Aplicando este critrio ao nosso segundo exemplo obtemos:Baixa Mdia Alta

Fabricar a pea 50 10 0

Comprar a pea 0 0 30

) a alternativa escolhida comprar a pea.

3.1.4 Critrio de Laplace

Este critrio admite que todos os estados da natureza so igualmente provveis. Porisso, cada alternativa avaliada considerando o payo mdio que lhe est associado.

A alternativa escolhida aquela que tiver maior payo mdio. Aplicando este critrioao nosso primeiro exemplo obtemos:

Favorvel No Favorvel Payo Mdio

Fbrica grande 1000 500 1000

500

2 = 250Fbrica pequena 500 100 5001002 = 200No construir 0 0 0

) a alternativa com maior payo mdio construir uma fbrica grande.

3.2 Maximizar o valor monetrio esperado (Expected mon-

etary value)

3.2.1 Maximizar o valor monetrio esperado

O valor esperado de uma alternativa diz-nos quanto que obtemos em mdia seescolhermos aquela alternativa. No exemplo da construo de uma fbrica, vamos

supor que eu estou convencida que a probabilidade de o mercado ser favorvel 34.

Qual o valor monetrio esperado de cada uma das alternativas?

EMV

Fbrica grande 1000 34+ (500) 14= 625Fbrica pequena 500 34+(100) 14= 350No construir 0 34+ 0 14= 0


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) a alternativa com maior valor monetrio esperado construir uma fbrica grande.

Minimizar o valor esperado da perda (opportunity loss ou regret)A perda a diferena entre o melhor payo para um dado estado da natureza e opayo obtido com a alternativa em causa quanto estou arrependido por no ter

escolhida a melhor alternativa. Podemos construir a matriz de perdas a partir da

matriz de payos:

Favorvel No Favorvel Val. Esper. Perda

Fbrica grande 1000 1000 = 0 0 (500) = 500 340 + 14 500 = 125Fbrica pequena 1000 500 = 500 0 (100) = 100 34500 + 14 100 = 400No construir 1000 0 = 1000 0 341000 + 14 0 = 750

) A alternativa com a menor perda esperada construir uma fbrica grande.

importante notar que o critrio de maximizao do valor esperado equivalenteao critrio de minimizao da perda esperada. Podemos mostrar isto formalmente.

O critrio de maximizao do valor esperado corresponde a:

maxi

N

Xj=1p(sj)VijO critrio de minimizao do valor esperado da perda corresponde a:

mini

NXj=1

p(sj)(V

j Vij) = mini

24 NXj=1

p(sj)V

j NX

j=1

p(sj)Vij

35=

NXj=1

p(sj)V

j maxi

NXj=1

p(sj)Vij

como o primeiro termo no parnteses recto no depende dei, escolher ide forma a

minimizar a diferena entrePNj=1p(sj)Vj ePNj=1p(sj)Vij equivalente a escolheride forma a maximizar

PNj=1p(sj)Vij.

3.2.2 Anlise de sensibilidades

Se o decisor no estiver completamente conante nas estimativas da probabilidadede ocorrncia de cada um dos estados da natureza conveniente estudar como a deciso se alteraria se as probabilidades fossem diferentes. Por outras palavras,

devemos fazer uma anlise de sensibilidades.


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3.2.3 Valor esperado de informao perfeita

Vamos agora ver um conceito muito importante: valor esperado de informao per-feita. Suponhamos que existe uma empresa de analista de mercado que consegue

prever com exactido qual vai ser o estado do mercado. Essa empresa pede 100 para

fornecer essa informao. Eu devo ou no comprar a informao?

Se eu comprar a informao, depois da obter vou saber exactamente qual o estadoda natureza e, por isso, quando estou a decidir sobre a construo da fbrica j estou

a decidir em contexto de certeza. Podem acontecer duas coisas: Se o estudo disser que o mercado favorvel a deciso ptima construir a

fbrica grande, o que me dar um payo de1000.

Se o estudo disser que o mercado no favorvel a deciso ptima no con-

struir a fbrica, o que me dar um payo de0.

Como antes do estudo ser feito eu no sei o que ele vai dizer, s sei que aprioria probabilidade de o mercado ser favorvel 34 , ex-ante eu s posso calcular

qual o valor monetrio esperado se eu comprar a informao:

3

4 1000 +1

4 0 = 750 Qual o mximo que eu estou disposta a pagar pela informao perfeita?

a diferena entre o EMVcom informao perfeita e oE MV sem informao

perfeita. Ou seja:

E V P I = EMV comI P EMV= 750 625 = 125 Como o valor esperado da informao perfeita superior ao seu custo (125>

100) eu devo comprar a informao.

Tambm podemos resolver o problema anterior usando uma rvore de deciso. AFigura 3.1 apresenta a rvore de deciso do problema.

Para resolver o problema devemos resolver do m da rvore para o princpio. Ou

seja, devemos usar backward induction. Assim temos que comear por determinar:

Qual a deciso ptima sobre a fbrica a construir se o estudo for favorvel?

) A deciso ptima construir uma fbrica grande, porque se o estudo forfavorvel sabemos que o mercado vai ser favorvel (porque o estudo perfeito)

) payo 900.


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E

NE

G

P

EF

ENF

G

P

NC

G

P

NC

NC

900

3/4

3/4

1/4

1/4

1/4

1/4

3/4

3/4

1000

[625]

[625]

[650]

[650]

[900]

[-100]

[350]

[0]

-500

500

-100

0

0

400

-100

-600

-200

-100

Figura 3.1: rvore de deciso quando o estudo d informao perfeita.

Qual a deciso ptima sobre a fbrica a construir se o estudo no for favorvel?) Neste caso a deciso ptima no construir) payo 100. Isto implica que o valor monetrio esperado se zermos o estudo

3

4900 +1

4(100) = 650:

Por outro lado, se no zermos o estudo, a decisa ptima construir a fbrica

grande e o valor monetrio esperado correspondente 625.

Agora estamos prontos para recuar na rvore e ver qual a melhor deciso: fazerou no fazer o estudo. Como o valor monetrio esperado quando se faz o estudo

superior, conclumos que a deciso ptima fazer o estudo.

A intuio por detrs do princpio debackward induction que para podermos decidiragora entre fazer o estudo ou no, teremos que antecipar quais vo ser as escolhasque vamos fazer no futuro para cada uma das possveis circunstncias que venham

a ocorrer. S sabendo quais vo ser as decises ptimas no futuro que podemos

decidir agora o melhor caminho a seguir. por isso, que comeamos por resolver osproblemas de deciso nais, e vamos recuando na rvore para determinar as decises

ptimas agora.


50/201


importante realar a vantagem de usar rvores de deciso quando os problemasde deciso so sequenciais, isto quando h uma srie de decises que tm que ser

tomadas. De facto as rvores de deciso permitem-nos especicar exactamente qual

a sequncia em que as decises so tomadas e os pontos onde a incerteza resolvida.

3.2.4 Valor esperado de informao imperfeita

Na seco anterior admitimos que a empresa analista de mercado consegue prevercom exactido o estado do mercado. Esta hiptese no realista. Na maior parte

dos casos haver erros de previso. Por outras palavras, a informao no perfeita.

Apesar disso, pode valer a pena obter a informao. Qual o valor esperado deinformao imperfeita?

Admitamos que com base nos registos histricos da empresa analista de mercadose pode concluir que, no passado, quando a empresa previu que o mercado seriafavorvel, em 80% o mercado foi de facto favorvel, mas em 20% dos casos a previso

da empresa foi errada. Em contrapartida quando a empresa previu que o mercado

no seria favorvel, a sua previso foi correcta em 60% dos casos. O custo do estudo

10 unidades monetrias.

Comecemos por representar numa rvore de deciso o problema. Repare-se queo problema que estamos a analisar envolve uma sequncia de decises. Nestas

condies, as rvores de deciso so o instrumento adequado para representar oproblema, porque possibilitam representar a sequncia lgica das decises.

Aplicando o princpio de backward inductiondevemos comear por determinar adeciso ptima se o estudo for favorvel e se o estudo no for favorvel. Repare-se que, no caso de fazermos o estudo, as probabilidades do mercado ser ou no

favorvel, so as probabilidades condicionadas, dado que o estudo foi favorvel ouno foi favorvel:

P(FjEF) = 0:8, P(N FjEF) = 0:2 e P(FjEN F) = 0:4, P(N FjEN F) = 0:6.

Fazendo isto vericamos que, se o estudo for favorvel a deciso ptima construir afbrica (payo esperado 690), enquanto que se o estudo no for favorvel a deciso

ptima construir a fbrica pequena (payo esperado 130).


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E

NE

G

G

G

P

P

PEF

ENF

NC

NC

NC

3/4

0.8

0.875

0.125

0.6

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.8

0.8

1/4

0.2

0.2

0.2

1/4

1/4

3/4

3/4

1000

990

990

[625]

[90]

[690]

[690]

[620]

[625]

[625]

[350]

[130][130]

[370]

[0]

[-10]

[-10]

-500

-510

-510

500

490

490

-100

-110

-110

-10

-10

-10

-10

0

0

Figura 3.2: rvore de deciso quando o estudo fornece informao imperfeita.


52/201


53/201


que ao decidir o agente no sabe seW= 200ouW= 0vai ocorrer natural que elecalcule o valor esperado da utilidade:

1

2U(200) +

1

2U(0) =

1

280 +

1

20 = 40

) A alternativa com maior valor esperado da utilidade receber 100 euros comcerteza.

3.3.2 Atitudes em Relao ao Risco e U(W)

Admitindo no saciedade, o agente prefere sempre ter mais do que menos. Issosignica que a funo de utilidade depende positivamente da riqueza. Ou ainda,

U(W) uma funo crescente (se for diferencivel a primeira derivada positiva).

A atitude em relao ao risco est relacionada com a curvatura da funo de utili-dade.

Se o agente averso em relao ao risco, ento a funo de utilidade concva,

ou sejaU00(W) 0.

Para ver isto considere-se um jogo em que com probabilidade 12 recebe-se 2, comprobabilidade 12 recebe-se 0 e a pessoa tem que pagar 1 para jogar. Este jogo um

jogo justo, isto , o seu valor esperado zero.

12 2 +120 1 = 0

Uma pessoa aversa ao risco prefere no jogar. Mas isso signica que

U(1)>1

2 U(2) +1

2 U(0) , 2U(1)> U(2) + U(0) , U(1) U(0)> U(2) U(1)

ou seja, a utilidade marginal decrescente a utilidade aumenta mais quando

a riqueza aumenta de 0 para 1, do que quando a riqueza aumenta de 1 para 2.


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Fazendo isto para todos os valores monetrios co com os payos expressos emtermos de utilidade.

Favorvel No Favorvel EU(W)

Fbrica grande 10 0 34 10 + 14 0 = 7:5Fbrica pequena 8 4:2 34 8 + 14 4:2 = 7:05No construir 5 5 34 5 + 14 5 = 5

)A deciso que maximiza o valor esperado da utilidade construir uma fbricagrande.

Repare-se que o critrio de maximizao do valor esperado monetrio equivalenteao critrio de maximizao da utilidade esperada se o decisor for neutro em relao

ao risco. Mas se o decisor no for neutro em relao ao risco prefervel usar o

critrio de maximizao da utilidade esperada, porque este incorpora a atitude dodecisor em relao ao risco.

3.3.4 Anlise de Sensibilidades

Se o decisor no estiver completamente conante nas estimativas da probabilidade

de ocorrncia de cada um dos estados da natureza conveniente estudar como a deciso se alteraria se as probabilidades fossem diferentes. Por outras palavras,

devemos fazer umaanlise de sensibilidades. Este tipo de anlise pode ser feita quer

o critrio de deciso seja maximizar o valor monetrio esperado, quer seja maximizara utilidade esperada.

Consideremos o nosso exemplo, com a matriz de utilidades e designemos por p aprobabilidade do estado da natureza ser favorvel:

Favorvel No Favorvel EU(W)Fbrica grande 10 0 10p+ (1p)0 = 10pFbrica pequena 8 4:2 8p + 4:2(1 p) = 4:2+ 3:8pNo construir 5 5 5

p 1p

Na Figura 3.3 est representado gracamente o valor esperado da utilidade paracada alternativa como funo dep. A gura mostra que para valores baixos de p

ptimo no construir, para valores intermdios dep ptimo construir uma fbrica


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Um pouco de histria

A expresso teoria de jogos foi usada pela primeira vez por Von-Newman eMorgenstern (1944). Eles analisaram jogos de soma-zero. Um jogo de soma-

zero um jogo em que aquilo que um jogador ganha igual aquilo que o outro

perde.

Apesar disso, ideias que so ideias de teoria de jogos foram usadas muito antes.

Alguns exemplos:

1700s Jean Jacques Rosseau Cournot (1838), Bertrand (1883) e Edgeworth (1925) ) modelos de oligoplio. Em 1950 Nash deniu um conceito de equilbrio que hoje conhecido como

equilbrio de Nash. Este conceito pode ser aplicado tanto a jogos de soma-zero

como a jogos que o no so.

Nos anos 60 h vrios contributos importantes para a teoria de jogos

Schelling: No seu livro Strategy of conict apresenta ideias informaissobre pontos focais (focal points) e sobre o valor do compromisso (commit-ment value).

Selten (1965): Introduz um conceito de equilbrio fundamental em jogosdinmicos, o equilbrio perfeito em todos os subjogos (subgame perfection).

Harsanyi (1967) - analisa jogos de informao incompleta e dene o equi-lbrio Bayesiano.

Os anos 70 so uma decda em que surjem muitas aplicaes da teoria de jogos,

sobretudo em reas como a Economia Industrial.

Nos anos 80 as aplicaes continuam a multiplicar-se. Para alm disso, surgemconceitos de equilbrio para jogos dinmicos com informao incompleta. Em

1982 Kreps, Milgrom, Roberts and Wilson apresentam o conceito de equilbrio

sequencial.

Na ltima dcada os avanos tem ocorrido sobretudo na teoria da aprendizagem

e evoluo.

4.2 Modelizao da interaco estratgica

4.2.1 Forma normal e forma extensiva

Exemplo de um jogo em forma normal:


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Captulo 4 Teoria de Jogos 51

L R

U 1; 2 3; 4

D 3; 6 7; 8

) os jogadores 1 e 2 jogam simultaneamente (a deciso no tem que ocorrer nomesmo momento do tempo, o que importante que quando um jogador decide ele

no saiba qual a deciso do outro, o que importa a simultaneadade do ponto de

vista estratgico).

) as estratgias possveis do jogador 1 so Ue D. As estratgias do jogador 2 soLe R.

) Na matriz so apresentados os payos. A leitura a fazer a seguinte: se o jogador1 escolherUe o jogador 2 escolherL o payo do jogador 1 1 e o payo do jogador2 2.

) A matriz acima frequentemente designada por bi-matriz.

Examplo de um jogo em forma extensiva (representao em rvore - veja a Figura4.1

L R

l r

3,4 5,6

1

2

1

2

Figura 4.1: Exemplo de um jogo em forma extensiva.

Forma normal ou estratgica

Quem so os jogadores?i 2 f1; 2; ; ng

Quais so as estratgias puras que cada jogador pode jogar?


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si2 Si (si uma estratgia em particular do jogador i, Si o conjunto deestratgias possveis do jogadori).

s= (s1; s2; ; sn) o vector de estratgias, uma para cada jogador. Diz-noso que que cada jogador faz.

s 2 S= S1 S2 Sn

Muitas vezes utiliza-se a notao(si; si), si a estratgia do jogador i, si

indica-nos as estratgias escolhidas pelos outros jogadores.

Quais so as funes payo?Para cada jogador temos que indicar a sua funo payo.

ui:S!


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Forma extensiva

Quais so os elementos da representao na forma extensiva

Quem so os jogadores?

Quem que est a decidir?

O que que cada jogador pode fazer quando ele a mover-se?

O que que os jogadores sabem quando decidem?

Quais so os payos no nal?

) quem que est a decidir, o que pode fazer, o que sabe, so equivalentes questode quais so as estratgias de cada jogador, na representao em forma normal.

Noo de estratgiaUma estratgia um plano completo de aco que especica qual a aco que o

jogador escolheria em todas as contigncias em que o jogador venha a ter que jogar.

) uma estratgia algo que se pode dar ao nosso advogado e ir para casa descansar(o advogado pode executar as instrues e nunca ter dvidas sobre o que deve

fazer, porque a estratgica indica o que fazer em qualquer circunstncia que venhaa ocorrer).

Exemplo 1: Figura4.2

L R

l r

1

2

l r

2

2

1

1

2

2

2

3

3

Figura 4.2: Exemplo 1 para ilustrar a noo de estratgia.

O jogador 2 quando decide sabe o que que o jogador 1 fez )o jogo sequencial:o jogador 1 decide primeiro entre Le R e, depois de observar a escolha do jogador

1, o jogador decide entrel e r.


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Quais so as estratgias possveis do jogador 2? (pensar que o jogador 2 tem quedenir o seu plano de aco antes de saber o que o jogador 1 vai fazer):

jogar lse o jogador 1 escolher L, jogarl se o jogador 1 escolherR)(l; l) jogar lse o jogador 1 escolher L, jogarr se o jogador 1 escolherR) (l; r) jogar rse o jogador 1 escolher L, jogar lse o jogador 1 escolher R) (r;l) jogar rse o jogador 1 escolher L, jogar rse o jogador 1 escolher R) (r; r)

Exemplo 2: Figura 4.3

L R

l r

2,1

1

2

1

A B

3,4

1,1 2,0

Figura 4.3: Exemplo 2 para ilustrar a noo de estratgia

Neste jogo as estratgias do jogador 1 so: RA, RB,LA, LB . Como explicarLA eLB?

verdade que se o jogador 1 escolherL a escolha entre Ae B nunca se coloca. Masquando falarmos da soluo do jogo veremos que a deciso do jogador entre L eR

depende daquilo que ele pensa que o jogador 2 vai fazer, e , por sua vez, aquilo que

o jogador 2 vai fazer depende daquilo que ele pensa que o jogador 1 faria se tivesse

que escolher entreAe B. por isso que o jogador 1 vai mesmo ter que pensar noque faria se tivesse que decidir entreA e B .

)A noo de estratgia em teoria de jogos mais do que um plano completo deaco, porque tem especicar o que jogador faria mesmo em contigncias que nunca

ocorreriam se o jogador implementasse a sua estratgia.


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Conjunto de informaoUm conjunto de informao representa aquilo que um jogador no sabe.

Consideremos o jogo representado na Figura 4.4. Neste jogo, o jogador 2 quando

joga no sabe o que o jogador 1 fez. Ou seja, o jogador 2 no sabe em qual n queest. Os dois ns pertencem ao mesmo conjunto de informao.

F B

F B

1

F B

2

1

2

0

0

0

0

2

1

Figura 4.4: O jogador 2 tem um conjunto de informao com 2 n s.

Denio: Um conjunto de informao do jogador i um conjunto de ns de decisona representao extensiva do jogo tais que:

1. O jogadori quem decide em todos os ns desse conjunto.

2. O jogadori no sabe

pires 2003 - métodos quantitativos (apostila com teoria esta

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