pesquisa_operacional

Anderson Lopes Belli CastanhaEduardo Breviglieri Pereira de Castro

Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional

Copyright © 2009. Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Universidade Aberta do Brasil. Nenhuma parte deste material

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do autores.

PRESIDENTE DA REPÚBLICA

Luiz Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃO

Fernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Carlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Hélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

Celso Costa

COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC

Marina Isabel Mateus de Almeida (UFPR)

Teresa Cristina Janes Carneiro (UFES)

DESIGNER INSTRUCIONAL

Denise Aparecida Bunn

Fabiana Mendes de Carvalho

Patrícia Regina da Costa

PROJETO GRÁFICO

Annye Cristiny Tessaro

Mariana Lorenzetti

DIAGRAMAÇÃO

Annye Cristiny Tessaro

REVISÃO DE PORTUGUÊS

Claudia Leal Estevão Brites Ramos

ORGANIZAÇÃO DE CONTEÚDO

Anderson Lopes Belli Castanha

Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

Sumário

A p r e s e n t a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 7

UNIDADE 1 – Introdução à Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional...........................................................................11

Alguns conceitos iniciais para a Programação Linear............................13

Modelagem de um Problema de Mix de Produção..................................17

Solução gráfica do Problema de Mix de Produção.................................22

Solucionando Problemas de Otimização com o uso de Planilhas Eletrônicas.......29

Solução do Problema de Mix de Produção no Excel.................................31

O Algoritmo Simplex de Otimização......................................................37

Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Atividades de aprendizagem.....................................................................48

UNIDADE 2 – Problemas de Mistura

O Problema da Dieta...........................................................................51

Solucionando o Problema da Dieta com o uso da Planilha Eletrônica.......56

Problema sugerido........................................................................62

Problema de Composição de Tintas..............................................65

Solucionando o Problema de Composição de Tintas com o uso do Excel.......67

Problema de Mix de Investimentos..............................................................72

O Problema de Mix de Investimentos Solucionado na Planilha Eletrônica......74

Problema Sugerido de Mix de Mídias.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80


UNIDADE 3 – Problemas de Capacidade

Produção de Laticínios.....................................................................85

Solucionando o Problema de Produção de Laticínios com o uso da

Planilha Eletrônica....................................................................88

Problema de Produção de Vidros................................................................93

Solucionando o Problema de Produção de Vidros com o uso do Excel.......95

Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100


UNIDADE 4 – Problemas de Transportes

Problemas de Transporte.....................................................................103

Problema de Escoamento da Produção #1................................................105

A resolução do Problema de Transporte através de Planilha Eletrônica.......107

Problema de Escoamento de Produção #2................................................110

Solucionando o Problema de Transporte com o uso do Excel.........................113

Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116


UNIDADE 5 – Outras Aplicações em Pesquisa Operacional

Ampliando o uso da Pesquisa Operacional...............................................121

Programação Inteira.......................................................................122

Programação Não-Linear.......................................................................124

Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125


Referências.....................................................................................126

Minicurrículos.....................................................................................128

Apresentação

Caríssimo aluno,

Neste momento você inicia seus estudos sobre Pesquisa

Operacional. Em uma definição bastante simples, a Pesquisa

Operacional é um método de tomada de decisão com suporte científi-

co utilizado em problemas nos quais tentamos buscar a melhor solu-

ção possível. Mesmo nesta simplificação, podemos destacar sua prin-

cipal importância nos dias atuais: buscar a melhor solução possível.

Na vida do Administrador, existe uma quase obsessão dentro

das organizações: operar com o menor custo. Paralelo a isso, o Admi-

nistrador também persegue nas empresas o melhor lucro, certo? E por

outro lado, ele se depara em seu cotidiano com questões que envol-

vem limitações de insumos, de capacidade e de tantos outros recursos;

ainda mais em tempos modernos!

Ora, como alcançar o menor custo ou o maior lucro com recur-

sos escassos é um problema típico de Pesquisa Operacional. E, da

mesma forma que este, pode-se imaginar, ou ainda, vivenciar diversas

outras situações similares com impactos consideráveis no campo de

atuação das organizações. Separamos algumas destas situações para

apresentar a você neste curso!

O estudo de Pesquisa Operacional também cresce em importân-

cia nos dias atuais devido à facilidade do contato com ferramentas

informatizadas. Hoje, com a ajuda de um microcomputador e de softwares

cada vez mais interativos e populares, podemos solucionar grande parte

dessas situações problemáticas habituais do mundo dos negócios.

Neste material, procuramos elaborar justamente isso: aplicações

que você – futuro administrador – poderá utilizar em situações profis-

sionais com a ajuda de suporte computacional. Para isso, nós utiliza-

mos como ferramenta nesta apostila a planilha eletrônica do Microsoft®

Excel. Se você se sentir um pouco enferrujado, existem diversos

tutoriais gratuitos simples do Excel na Internet. Entre no Google com

os termos, tutorial e Excel, e vários resultados aparecerão. Um deles,

bastante simples, é o da Fundação Bradesco, disponível em: <http://

www.fundacaobradesco.org.br/vv-apostilas/ex_suma.htm>. Acesso

em: 5 maio 2009. Outra fonte importante é o site da própria Microsoft®

<www.microsoft.com.br>. Acesso em: 5 maio 2009.

Sugerimos ainda que, já no decorrer desta etapa de seus estudos,

você desenvolva grande interação com o seu professor e com o seu

tutor. Não hesite em expor suas dúvidas, seja de forma presencial ou

nos fóruns por meio do ambiente virtual. Esta articulação nos parece

essencial em seu processo de aprendizagem.

O material está dividido em 5 Unidades. Na primeira Unidade,

apresentamos a introdução do tema, com uma abordagem mais teóri-

ca, discorrendo sobre os conceitos básicos de Pesquisa Operacional.

Nas Unidades seguintes focamos em aplicações de Pesquisa

Operacional. Assim, na segunda Unidade, desenvolvemos os chama-

dos Problemas de Mistura. Na terceira Unidade, os Problemas de Ca-

pacidade. E, na quarta Unidade, apresentamos os Problemas de Trans-

porte. Por último, tecemos comentários sobre outros métodos utiliza-

dos em PO.

Aproveite seu estudo!

Introdução àPesquisa Operacional

Introdução àPesquisa Operacional

UNIDADE

1

10

Curso de Graduação em Administração a Distância

Objetivo

Nesta Unidade de estudo, vamos conhecer as definições e principais

conceitos acerca da Pesquisa Operacional. Estes fundamentos teóricos

nos darão suporte às etapas subsequentes. Veremos também como

escrever um Problema Linear – chamaremos esta ação de modelar – e

como solucioná-lo usando técnicas gráficas e computacionais. Devemos

nos recordar das equações e inequações matemáticas e dos gráficos de

equações, pois estes serão conhecimentos básicos necessários nesta Unidade.

Módulo 7

11

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional. O que é isso? Embora possa ser definida

de diversas formas, o conceito de Pesquisa Operacional foi apresenta-

do, de forma clara, por Colin (2007) como o uso de métodos matemá-

ticos necessários para resolver problemas nos quais existam o desejo

constante por otimização, ou seja, o melhor resultado possível e, prin-

cipalmente, orientados para aplicações práticas.

O dia-a-dia do Administrador está repleto de problemas que ne-

cessitam de decisões de otimização, tais como maximizar lucro e

minimizar o custo, não é mesmo? Então, nestas aplicações o uso da

Pesquisa Operacional se destaca na construção de soluções melhores

possíveis – as chamadas Soluções Ótimas.

A Pesquisa Operacional, ou somente PO, nasceu na Inglaterra

no esforço de guerra, da tentativa de alocar eficientemente os recursos

escassos, como nos conta Colin (2007). Tais problemas de operações

militares durante a guerra tinham semelhanças suficientes com os en-

contrados nas empresas no pós-guerra para animar seus administrado-

res a investir neste conhecimento. E foi principalmente pelo impacto

financeiro positivo obtido com sua utilização, que a PO alcançou mai-

or aceitação em decisões gerenciais.

Saiba mais... Para conhecer mais sobre o desenvolvimento de Pesquisa

Operacional visite a página da Sociedade Brasileira de PesquisaOperacional no site: <http://www.sobrapo.org.br/sitesobrapo.htm>.

Acesso em: 4 maio 2009, e clique em “O que é PO?”

A Pesquisa Operacional abrange diversas técnicas – Programa-

ção Linear, Programação Não Linear, Programação Inteira, Progra-

mação Dinâmica, Programação Hierárquica etc., mas nos concentra-

12


Verifique no seu Excel

se o Solver está habili-

tado. Acesse o Excel

do Office 2003, no

menu ferramentas

clique em Suplemen-

tos. Marque o Solver e

Clique Ok. Se for

preciso instalar, clique

na opção sim. Depois,

você encontrará o

Solver no menu ferra-

mentas. Atenção! Nem

todas as instalações do

Office disponibilizam

automaticamente o

Solver. Se este for o

seu caso, será necessá-

rio utilizar o cd de

instalação.

remos aqui na Programação Linear; tradicional e poderosa o suficien-

te para apresentar soluções às diversas questões de otimização na área

gerencial. Grandes empresas utilizam ou já utilizaram esta técnica ge-

rando economias consideráveis.

A definição de Mix de Produção – o que e o quanto produzir de

cada produto, dados os respectivos custos e lucros – é um dos exem-

plos de aplicação de PO. Você já pensou nesta questão? Ou nesta: se

uma empresa tem vários depósitos e atende várias cidades, quantos e

de onde saem os produtos para cada cidade de forma a transportar e

atender todos pelo menor custo? Estas são aplicações típicas de PO.

Basta você transformar estes problemas em um Modelo que represen-

te a realidade, utilizar um software adequado (para facilitar a parte

matemática nós utilizaremos uma planilha de cálculo, tipo Excel atra-

vés da ferramenta Solver) e encontrar uma possível melhor solução.

Em uma orientação prática, a ênfase neste material pretende fa-

miliarizar você aluno, com as aplicações mais usuais de Pesquisa

Operacional. E, principalmente, familiarizar a Modelagem*, ou seja,

como escrever um problema real em uma linguagem matemática. A

intenção é apresentar problemas simples, mas de aplicações práticas.

Aprendendo a modelar os problemas básicos propostos, você poderá

avançar para aplicações mais complicadas.

GLOSSÁRIO*Modelagem – é oprocesso de escre-ver algum aspectoda realidade atravésde simbologia. Nocaso da PO, assimbologias são asequações einequações mate-máticas. A Modela-gem sempre simpli-fica a realidade.Fonte: elaboradopelos autores.

Módulo 7

13

Alguns conceitos iniciais para aProgramação Linear

Como vocês já estudaram em matemática, uma função é chama-

da de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis,

assim:

y = f(x1, x

2, x

3,... x

n)

y = c1.x

1 + c

2.x

2 + c

3.x

3 + ... + c

n.x

n

Vamos agora imaginar esta situação na prática: quando você re-

aliza uma compra no supermercado, o valor final que você irá pagar –

“y” – no caixa, ou seja, “f(x1, x

2, x

3,... x

n)”, será a quantidade do item

1 (x1) vezes o preço do item 1 (c

1) mais a quantidade do item 2 (x

2)

vezes o preço do item 2 (c2) e assim por diante... O (c) como preço é a

constante conhecida.

Ou seja, o “y” (valor a pagar) mantém uma relação linear com

seus argumentos itens de compra “x1, x

2, x

3,... x

n”, e com suas cons-

tantes conhecidas “c1, c

2 , c

3 ... c

n”, preços dos itens de compra.

Por outro lado, uma função não-linear seria do tipo:

y = f(x1, x

2, x

3) = c

1.x

13 + c

2.x

22 + c

3.x

3

Observe que em uma função não-linear você encontra pelo me-

nos uma variável elevada a uma potência não unitária (2, 3 etc.). No

exemplo, x1 está elevado ao cubo (três) e x

2 está elevado ao quadrado

(dois), ou seja, está caracterizada a não-linearidade da função.

Assim, um Problema de Programação Linear (PPL) é um pro-

blema no qual todas as equações, por exemplo, (f(x1, x

2, x

3) = A) e

inequações, por exemplo, (f(x1, x

2, x

3) > A) são lineares.

Dito isso, alguns conceitos iniciais são necessários para você

compreender melhor a Pesquisa Operacional. Então veja bem: estamos

preocupados com problemas de otimização e para isso vamos formu-

14


lar Modelos objetivando a melhor solução possível em processos de

tomada de decisão, alocando de forma otimizada recursos escassos

para produzir/realizar/investir em alguma coisa. Aqui podemos identi-

ficar algumas palavras chaves: um objetivo, um modelo, otimização, a

decisão, os recursos. Vamos ver alguns conceitos (COLIN, 2007;

BRONSON, 1986):

Problema de Otimização: Em um Problema de Otimização,a pessoa que irá tomar a decisão busca maximizar ouminimizar uma quantidade especificada, por exemplo,maximizar lucro ou minimizar custos. Em um problema decálculo do quanto produzir de cada item em uma fábrica –um Problema de Mix de Produção* – o objetivo seriamaximizar o lucro buscando a melhor quantidade de cadaproduto a ser produzida.

Modelo: Podemos chamar de Modelo aquilo que representa-mos em uma situação real, como um problema de gestão, porexemplo, de modo simplificado por meio de equações einequações matemáticas de forma a modelar a realidade. ASofisticação do Modelo* dependerá do nível de tomada dedecisão que pretendemos. Por exemplo, em um Problema deMix de Produção, o Modelo representaria todos os custos deprodução: a capacidade de produção de cada item, a sua quan-tidade disponível, a sua demanda e o seu lucro.

Variáveis de Decisão: São as variáveis utilizadas no Mode-lo que podem ser escolhidas e controladas pela pessoa queirá tomar a decisão. A melhor solução possível – a SoluçãoÓtima – é uma combinação de resultados das Variáveis deDecisão. No Problema de Mix de Produção, uma variável dedecisão seria a quantidade do produto versus o que eu deve-ria produzir.

Parâmetros: São as variáveis utilizadas no Modelo que nãopodem ser controladas pela pessoa que irá tomar a decisão.São valores muitas vezes pré-determinados e a solução en-contrada é considerar fixos estes valores. No Problema deMix de Produção, um Parâmetro seria a capacidade máximade uma máquina de produzir um determinado produto x –

GLOSSÁRIO*Mix de Produção –conjunto dos produ-tos produzidos poruma unidade deoperação, fábricaou empresa. Fonte:elaborado pelos au-tores.

*Sofisticação doModelo – é o quan-to o Modelo simpli-fica ou se aproximada realidade. Quan-to maior a sofistica-ção, mais próximoda realidade, maisperfeito é um Mode-lo. Ao contrário,quanto mais simplesfor o Modelo, mai-or será a probabili-dade de erro na so-lução.) Fonte: elabo-rado pelos autores.

Módulo 7

15

(Você consegue

pensar em mais coisas

que você poderia

maximizar ou

minimizar?)

este valor é pré-determinado para aquela máquina por ques-tões técnicas ou de segurança, e não é possível produzir maisdo que aquilo que foi especificado.

Função-Objetivo: É a função que expressa o principal obje-tivo da pessoa interessada na decisão. Como vimos, procura-remos maximizar ou minimizar o resultado desta função.Maximizar quando a função se referir a lucro, receita, ganhos,bem-estar etc. Minimizar quando a função se referir a custos,riscos, perdas etc. No nosso exemplo, poderia ser maximizarlucro.

Restrições: Estamos buscando decisões de como melhor uti-lizar recursos escassos, não é isso? Pois então, recursos es-cassos são limitados, e, essas limitações restringem nossasopções de decisão: são as Restrições do Problema! Comovimos na conceituação dos Parâmetros, a capacidade máxi-ma de uma máquina tem que ser respeitada: isto é uma Res-trição de Capacidade, ou seja, é uma limitação que devemosobedecer.

Solução Viável: Diz-se que uma solução é viável quando osvalores das Variáveis de Decisão desta solução resolvem oproblema, atendendo as restrições, mas não necessariamenteoferecendo o melhor resultado possível. Por exemplo, em umProblema de Mix de Produção, uma Solução Viável seria umasolução que resolve as Restrições de Capacidade, que aten-de a demanda, mas não fornece o maior lucro possível para aempresa.

Solução Inviável: Diz-se que uma solução é inviável quan-do pelo menos um valor das Variáveis de Decisão desta solu-ção não atende a pelo menos uma Restrição do Problema,assim, ela não satisfaz as necessidades impostas. Neste caso,no Problema de Mix de Produção, uma Solução Inviável nãosatisfaz as restrições que podem ser de capacidade ou de de-manda, por exemplo.

Solução Ótima: É a Solução Viável que maximiza ouminimiza o resultado da Função-Objetivo. Ela, por ser viá-vel, atende e satisfaz todas as Restrições do Problema e retornaà empresa o melhor resultado possível.

16


(Reflita sobre o assun-

to. Isto seria de se

esperar? Pense como

ficaria se, ao invés de

lucro, fosse o custo?

Pesquise sobre Econo-

mias de Escala.)

Propriedades – divisibilidade, aditividade,proporcionalidade e certeza: Você se lembra que já comen-tamos sobre os Problemas de Programação Linear? Pois al-gumas características são necessárias para estes tipos de pro-blemas. São elas:

Divisibilidade: indica que as Variáveis de Decisão podem serfracionadas, isto é, elas não precisam assumir valores inteiros.

Certeza: presume que todos os Parâmetros são conhecidoscom certeza. Isto nem sempre é verdade, mas podemos utili-zar Parâmetros fixos e analisar os resultados para conferir oefeito de alguma incerteza.

Aditividade: indica que a relação entre uma variável e outraé sempre de adição ou de subtração e nunca de outras opera-ções: o lucro máximo de uma empresa será o lucro obtidopela produção da quantidade x

1 do produto 1 mais o lucro

obtido pela quantidade x2 do produto 2 mais o lucro obtido

pela quantidade x3 do produto 3 e assim por diante. Nunca

seria assim: o lucro máximo de uma empresa é o lucro obtidopela produção da quantidade x

1 do produto 1 vez o lucro

obtido pela quantidade x2 do produto 2, ok?

Proporcionalidade: diz respeito à contribuição de uma vari-ável de decisão na Função-Objetivo ou das restrições seremproporcionais ao valor daquela variável. Exemplificando: seo lucro associado à produção de uma unidade do produto 1 éde R$ 1,00; o lucro obtido pela produção de 100 unidadesserá de R$ 100,00 e o lucro para 100.000 unidades será deR$ 100.000,00. Desta forma, o lucro unitário não se alteraconforme a quantidade produzida.

Módulo 7

17

Modelagem de um Problema deMix de Produção

Neste momento, vamos tentar modelar matematicamente um pro-

blema real. A chamada Modelagem é um processo de entendimento e

interpretação do problema e requer muita atenção. Vamos ao nosso

exemplo:

A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possívelfabricando dois tipos de produtos que denominaremos pro-duto A e produto B. Cada produto A dá um lucro para a fá-brica de R$ 50,00 reais e cada produto B, um lucro de R$40,00. Entretanto, o produto A leva 30 minutos para ser mon-tado, e o produto B, apenas 20 minutos. Depois de monta-dos, os produtos têm de ser embalados. Devido às dimensõese outros fatores, o produto A precisa de apenas 5 minutospara este procedimento, ao passo que o produto B necessitade 10 minutos para a embalagem. A mão-de-obra utilizadana empresa é constituída de funcionários que realizam igual-mente as duas atividades, em uma jornada de 8 horas de tra-balho. Assim, o tempo dos funcionários é alocado parcial-mente para a montagem e parcialmente para a embalagemdos produtos. A empresa estabeleceu que, por dia, a monta-gem não deveria ocupar mais do que 6 horas (360 minutos,)e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120minutos). Outra restrição, obtida pela experiência da empre-sa, estabeleceu que não mais do que 20 produtos A produzi-dos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor.

Agora se pergunte: o que a empresa deseja? Vamos lá! Maximizar

o lucro? Veja só: A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro

possível fabricando dois tipos de produtos, que denominaremos pro-

duto A e produto B. Como os dados são referentes ao período de um

dia, para simplificar vamos maximizar o lucro diário!

18


Quais os produtos que a empresa Manufactura produz? A e B,

não é? Então, como podemos representar o lucro diário da empresa

Manufactura? Seria assim, veja:

Lucro Dia = (Lucro do Produto A x Quantidade diária de A)

+ (Lucro do Produto B x Quantidade diária de B)

Você concorda? Então vamos escrever matematicamente recor-

dando que: cada item A dá um lucro para a fábrica de R$ 50,00 reais e

cada item B, um lucro de R$ 40,00.

Lucro Dia = R$ 50,00 x Quantidade de A + R$ 40,00 x Quantidade de B.

Vamos chamar o lucro dia de “z”; a quantidade diária de A de x1 e

a quantidade diária de B de x2. Substituindo a expressão acima, teremos:

z = 50 x1 + 40 x

2

E a empresa objetiva o que mesmo? Maximizar o lucro diário!

Assim, temos a nossa Função-Objetivo:

Max z = 50 x1 + 40 x

2

Tudo tranquilo até aqui? Então, quais são as Variáveis de Deci-

são? São as quantidades de A e de B a serem produzidas por dia, ou

seja, x1 e x

2. São estas as variáveis que o responsável pela tomada de

decisão pode controlar e alterar para obter o melhor lucro. Mas a

Manufactura pode produzir, em um dia, o quanto quiser de A e de B,

à vontade? Não, não pode. Produzir nesta empresa como nas demais,

está sujeito às restrições. Assim, uma restrição salta aos olhos: a expe-

riência obtida pela empresa estabelece que não mais do que 20 itens A

produzidos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor. Ou seja,

a quantidade de A por dia tem que ser menor ou igual a 20! Matema-

ticamente temos:

Restrição 1: x1 ≤ 20

Módulo 7

19

Mas vamos lá, continuemos com a Modelagem identificando mais

restrições.

O dia trabalhado dentro da Manufactura tem 8 horas e a empre-

sa deixa 6 horas para montar e 2 horas para embalar, não é isso?

Relembre: A empresa estabeleceu que, por dia, a montagem deveria

ocupar não mais do que 6 horas (360 minutos), e a embalagem não

deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos).

Mas quantos minutos o item A gasta para ser montado? O item A

leva 30 minutos para ser montado! E o B? O Item B, apenas 20 minutos.

Se a empresa estabelece que, por dia, apenas 6 horas de trabalho

podem ser destinadas à montagem, ou seja, 360 minutos de monta-

gem; quantos itens A e B são possíveis montar em 1 dia?

Para cada A = 30 min., então x1 Unidades de A vão gastar:

30x1 min.

Para cada B = 20 min., então x2 Unidades de B vão gastar:

20x2 min.

Ok? Estes dois tempos somados – o que se gasta montando A e

o que se gasta montando B – não podem ultrapassar 6 horas ou 360

minutos por dia de montagem. Repare que se a empresa quiser montar

mais do A, terá que reduzir o B para dar tempo e vice-versa. Isto é

uma Restrição de Capacidade. E a decisão é justamente tentar otimizar

a relação entre A e B: o quanto eu produzo de A e de B para ocupar o

tempo todo e gerar mais lucro:

Restrição 2: 30x1 + 20 x

2 ≤ 360

Para esta restrição, uma Solução Viável seria x1 = 10 Uni-

dades e x2 = 2 Unidades. Assim, teríamos 30 x 10 + 20 x 2 =

340 minutos, respeitando as 6 horas disponíveis. Uma Solu-ção Inviável seria x

1 = 10 Unidades e x

2 = 4 Unidades. As-

sim, teríamos 30 x 10 + 20 x 4 = 380 minutos, o que excedeas 6 horas disponíveis.

20


Se você repetir o raciocínio para a área de embalagem vai verifi-

car que é muito parecido: o item A precisa de apenas 5 minutos para

este procedimento, enquanto que o Item B necessita de 10 minutos

para a embalagem. Ou seja, na embalagem:

Para cada A = 5 min., então x1 Unidades de A vão gastar: 5x

1

min.

Para cada B = 10 min., então x2 Unidades de B vão gastar:

10x2 min.

E como a Manufactura só disponibiliza 120 minutos por dia para

embalar, temos:

Restrição 3: 5x1 + 10 x

2 ≤ 120

Uma última restrição é uma condição física inerente ao proble-

ma: os valores de x1 e x2 devem ser positivos. Isto é, não podemos

fabricar uma quantidade negativa de um produto. Esta restrição, cha-

mada de não-negatividade, é bastante comum em problemas de Pro-

gramação Linear. Então temos:

Restrição 4: x1 ≥ 0; x

2 ≥ 0

Assim, terminamos de modelar nosso problema e resumimos todo

o texto em poucas equações:

Encontrar: z, x1 e x

2

Maximizar: z = 50x1 + 40x

2

Restrito a: 30x1 + 20x

2 ≤ 360

5x1 + 10 x

2 ≤ 120

x1 ≤ 20

x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0

A esta formulação chamamos de Forma Canônica* do problema.

Seguindo uma sequência, proposta por Bronson (1986), resumi-

mos, a seguir, o que fizemos:

GLOSSÁRIO*Forma Canônica –tipo de representa-ção formal de umModelo por meio deum sistema de equa-ções e inequações.Fonte: elaboradopelos autores.

Módulo 7

21

Passo 1: Identifique o objetivo do problema, que pode sermaximizar (lucro, receita, ganhos, etc.) ou minimizar (cus-tos, perdas, riscos, etc.). Formule este objetivo em uma equa-ção com as Variáveis de Decisão:

z = c1x

1 + c

2x

2 + c

3x

3 + ... + c

nx

n

Passo 2: Identifique todas as exigências, restrições e limita-ções estipuladas pelo problema. Formule estas restriçõesmatematicamente. Geralmente, você irá encontrar equaçõese inequações do tipo:

a1x

1 + a

2x

2 + a

3x

3 + ... + a

nx

n ≥ d

1 e/ou

b1x

1 + b

2x

2 + b

3x

3 + ... + b

nx

n ≤≤≤≤≤ d

2 e/ou

b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn = d2

Passo 3: Expresse as condições implícitas no problema. Ascondições de não-negatividade:

x1 ≥ 0; x

2 ≥ 0; x

3 ≥ 0; ... ; x

n ≥ 0

22


Os eixos cartesianos

(horizontal e vertical)

delimitam uma região

no plano para as

soluções de nosso

problema.

(Procure na Internet

mais sobre algoritmos

e Simplex. Pesquise

sobre George Dantzig,

o criador do método

Simplex.)

Solução gráfica do Problemade Mix de Produção

Um problema de Programação Linear é geralmente solucionado

com a aplicação de algoritmos*, como o Simplex, que será explicado

mais detalhadamente ao final deste capítulo. Entretanto, para uma com-

preensão mais clara do problema e do tipo de solução que pode ser

encontrada, pode-se dar uma interpretação gráfica a ele.

Para tanto, é importante que o problema escolhido como exem-

plo possua apenas duas Variáveis de Decisão, para permitir a

visualização num único plano. Assim, utilizaremos o problema de Mix

de Produção, que possui esta característica (apresentando as variáveis

x1 e x

2) e que pode ser descrito, em sua Forma Canônica, como:


2


2

Restrito a: 30x1 + 20x2 ≤ 360

5x1 + 10 x

2 ≤ 120

x1 ≤ 20

x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0

Note bem. A construção da solução começa estabelecendo-se

dois eixos cartesianos, um para cada variável do problema. Neste caso

específico, o eixo horizontal é reservado para a Variável de Decisão x1

e o eixo vertical para a outra Variável de Decisão x2. A região deste

gráfico que contém as soluções possíveis para o problema é denomi-

nada Região Viável. Se não houvesse Restrições, esta região seria todo

o plano infinito cortado pelos eixos x1 e x

2. Entretanto, como você já

sabe, o Problema de Programação Linear se caracteriza essencialmen-

te pelas Restrições impostas, e são estas Restrições que diminuirão o

plano para uma região viável com limites bem definidos.

GLOSSÁRIO*Algoritmo – pro-cedimentos de lógi-ca computacionalou não que descre-vem os passos paraa resolução de umproblema proposto.Fonte: elaboradopelos autores.

Módulo 7

23

Vamos lembrar que a Solução Ótima procurada deve estar ape-

nas na região onde x1 e x

2 assumem valores positivos. São as Restri-

ções de não-negatividade do problema, que já foram citadas e são re-

presentadas pelas inequações da última linha do problema:

x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0

Veja que, graficamente, isto limita o espaço de soluções possí-

veis à região do gráfico mostrada na Figura 1:

Figura 1: O espaço de soluções possíveisFonte: elaborada pelos autores

Da mesma forma, podemos introduzir as outras Restrições do

Problema. Assim, a restrição x1 ≤ 20, estabelece que somente são viá-

veis as soluções no gráfico à esquerda da reta definida pela equação

x1 = 20. A Região Viável é assim reduzida para (ver Figura 2):

Figura 2: Região Viável para uma das RestriçõesFonte: elaborada pelos autores

24


Agora verifique a última Restrição do problema. Note que a

inequação 5x1 + 10x

2 ≤ 120, é semelhante à anterior. Usando a mesma

abordagem, obtemos os dois pontos x1 = 0; x

2 = 12 e x

2 = 0; x

1 = 24.

Traçando a nova reta com este dois pontos, obteremos uma nova Re-

gião Viável para esta outra Restrição, como pode ser observado na

Figura 4.

A restrição 30x1 + 20x

2 ≤ 360 é apenas um pouco mais compli-

cada de ser traçada, mas também não apresenta nenhum problema de

determinação. Podemos começar considerando o valor de x1 igual a

zero para descobrirmos em que ponto a reta corta o eixo x2. Fazendo

as contas, verificamos x1 = 0, x

2 = 18. Depois, da mesma maneira,

vamos considerar o valor de x2 igual a zero e determinaremos então o

ponto em que a reta corta o eixo x1. Neste caso, veja que x

2 = 0, x

1 = 12.

Com estes dois pontos, a reta pode ser traçada, obtendo-se o gráfico

da Figura 3. Note que para esta restrição, a Região Viável é o triângu-

lo ressaltado em cinza delimitado pela reta e pelos dois eixos.

Mas o que significa isso? Com a interpretação gráfica podemos

observar que quaisquer dos dois valores de x2 e x

1 dentro desta região,

determinam um ponto que é uma solução possível para o problema e sa-

tisfaz a Restrição determinada pela inequação 30x1 + 20x

2 ≤ 360.

Figura 3: Região Viável para uma segunda RestriçãoFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

25

Figura 4: Região Viável para a terceira RestriçãoFonte: elaborada pelos autores

Desta forma, é possível obter as Regiões Viáveis para cada uma

das Restrições. Entretanto, é claro que o problema proposto exige que

todas as Restrições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, e assim, deve-

mos compor um gráfico que sobreponha cada uma delas e que nos

permita visualizar a região viável global.

A composição das Restrições pode ser vista na Figura 5 e na

Figura 6. A região mais escura do gráfico representa a área que pode

conter soluções que satisfazem a todas as Restrições do Mix de Produ-

ção: é a nossa Região Viável procurada. Lembre-se que o Ponto Óti-

mo de produção, aquele que maximizará o lucro da empresa

Manufactura Ltda, deverá estar contido nesta área.

Figura 5: Composição das Regiões Viáveis para as três RestriçõesFonte: elaborada pelos autores

26


Agora que já conhecemos a Região Viável para as soluções do

problema, podemos passar para o próximo passo, que é exatamente

determinar o Ponto Ótimo, ou a Solução Ótima que maximize os lu-

cros da empresa. Observe que a função que fornece o lucro é dada por

z = 50x1 + 40x

2. Note que, graficamente, para cada valor de “z” pode-

se traçar uma reta diferente. Mas quais são os aspectos destas diferen-

tes retas? Vamos traçar qualquer uma delas no gráfico e ver o que

podemos concluir.

Considere, por exemplo, a reta que contém o ponto x1 = 0; x

2 = 5.

Se substituirmos estes dois valores na equação, obteremos um valor

de z = 200. Veja:

z = (50 x 0) + (40 x 5) = 200

Conhecendo o valor de “z”, podemos então tentar obter as coor-

denadas para x1 e x

2 de outro ponto desta mesma reta. Por conveniên-

cia, vamos estabelecer que o novo valor de x2 seja igual a zero. Assim,

só nos restará obter o valor de x1. Substituindo x

2 = 0 na equação para

obtermos o novo ponto, teremos:

200 = 50x1 + (40 x 0) → x

1 = 4

O novo ponto possui então as coordenadas x1 = 4; x

2 = 0.

Agora já é possível traçar esta primeira reta que liga os dois pontos

x1 = 0; x

2 = 5 e x

1 = 4; x

2 = 0. Na Figura 7 você pode ver o seu traçado.

Figura 6: Região Viável para todas as RestriçõesFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

27

Observe que, por estar contida dentro da Região Viável, qual-

quer ponto desta reta representa uma Solução Viável para o problema

com um lucro para a empresa de R$ 200,00 (z = 200). Entretanto,

como você pode claramente inferir, esta ainda não é a Solução Ótima.

Mas já conhecemos, pelo menos, os aspectos que as diversas retas têm

representando os diversos lucros (diferentes valores para “z”).

Figura 7: Reta da função lucro para z = 200Fonte: elaborada pelos autores

Note que quando o valor de “z” aumenta, por exemplo, quando

z = 400, a reta se move de forma paralela à apresentada na figura.

Desta forma, a reta mais alta que toca na figura em apenas um ponto é

a Solução Ótima.

Seguindo este raciocínio, podemos garantir que para todo e qual-

quer valor de “z”, há uma reta única com a mesma inclinação daquela

primeira reta que acabamos de determinar. Isso porque os coeficientes

de x1 e x

2 são sempre constantes e iguais a 50 e 40, respectivamente.

Portanto, todas as retas de “z” serão paralelas umas as outras. Resta

então uma única questão a se responder: quais destas retas indicam o

valor máximo do lucro?

Olhando novamente o gráfico, percebemos que à medida que x1

e x2 aumentam seus valores, a reta da equação de “z” se afasta da

origem. Se continuarmos traçando retas paralelas e lembrando que es-

tas retas devem possuir pelo menos um ponto dentro da Região Viável,

veremos que a reta que procuramos é aquela que passa pelo ponto ex-

tremo representado pela interseção das restrições cujas inequações são:

28


30x1 + 20x

2 ≤ 360 e 5x

1 + 10 x

2 ≤ 120

Este ponto, como podemos observar na Figura 8 e na Figura 9,

tem como coordenadas x1 = 6; x

2 = 9. Se substituirmos estes dois valo-

res na equação de “z” temos:

z = (50 x 6) + (40 x 9) = 660

Este é o lucro máximo que pode ser obtido para o problema pro-

posto. Assim resolvemos o problema de Mix de Produção. Para

maximizar seus lucros, cada empregado da empresa deve então pro-

duzir lotes de 6 itens de A e 9 itens de B. Cada lote resultará em um

lucro de R$ 660,00.

Figura 8: Reta da função lucro máximo e respectivos valores de x1 e x

2

Fonte: elaborada pelos autores

Figura 9: Reta da função lucro máximo para z = 660Fonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

29

(Procure na Internet

por outras ferramentas

computacionais para a

solução de Problemas

de Programação

Linear. Uma dica é o

site da Lindo System:

<www.lindo.com>.

Acesso em: 4 maio

2009.)

Solucionando Problemasde Otimização com o uso

de Planilhas Eletrônicas

Como você pode imaginar, na prática cotidiana das empresas, o

cálculo de um problema de otimização é realizado com o auxílio de

ferramentas computacionais e, não com o método gráfico visto an-

teriormente.

Existem dois tipos, básicos, de programas desenvolvidos para

esta finalidade. Softwares dedicados, geralmente utilizados quando o

Modelo matemático vai ser usado frequentemente, dentro de uma roti-

na operacional da empresa; e softwares mais flexíveis, que devem ser

usados quando o Modelo será trabalhado poucas vezes. Neste último

caso, uma boa opção é se servir de algoritmos de solução de proble-

mas (Solvers) que fazem parte das ferramentas disponíveis em planilhas

eletrônicas de uso generalizado, como o Lotus123 ou o Microsoft®

Excel. Assim, e considerando a ampla difusão do Excel entre os usuá-

rios brasileiros – você provavelmente já utiliza o Excel –, os exemplos

desta apostila serão baseados no Solver disponível na versão padrão

desta planilha eletrônica.

Para construir uma planilha eletrônica de fácil utilização e com-

preensão você precisará considerar algumas características importantes:

Em primeiro lugar, sugere-se que, antes de partir para a efeti-va utilização do software, o problema seja bem estudado e osdados bem organizados. Isto é fundamental para a constru-ção do Modelo matemático.

Outra sugestão é que se estruture a planilha de forma quehaja uma leitura fácil de quais células contêm as Variáveis deDecisão, a Função-Objetivo, os coeficientes das Restriçõese assim por diante.

Finalmente, é importante que haja comunicabilidade com ousuário, na forma de títulos explicativos que exponham cla-

30


ramente o que cada região da planilha contém e, qual suafunção no problema.

Seguindo estas diretrizes, podemos passar então à solução de

um primeiro exemplo de Problema de Otimização através do Excel,

ou de Mix de Produção, cuja formulação já foi vista anteriormente.

Módulo 7

31

Solução do Problema deMix de Produção no Excel

Novamente, como no item de interpretação gráfica de um Pro-

blema de Programação Linear, antes de partir para a construção da

planilha eletrônica, vamos relembrar o Modelo determinado para o

problema de Mix de Produção, em sua Forma Canônica:


2


2


2 ≤ 360

5x1 + 10 x

2 ≤ 120

x1 ≤ 20

x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0

A Figura 10 mostra como uma planilha poderia ser construída

para conter o Modelo matemático deste problema.

Figura 10: Planilha construída para resolução do problemaFonte: elaborada pelos autores

32


Veja que procuramos separar as regiões horizontalmente e

explicitá-las de modo que facilmente se perceba onde se encontram

cada parte do Modelo. A linha 2 foi escolhida para descrever a Fun-

ção-Objetivo do problema. A linha 5 para o número de itens fabrica-

dos. Na linha 8, colocamos o lucro unitário que a empresa obtém para

cada um dos itens. Finalmente, as linhas 12, 13 e 14 são reservadas

para a entrada das Restrições do Problema.

Para facilitar ainda mais a visualização do problema, alguns blo-

cos foram sombreados em cinza claro. Serão estas células que terão

seus conteúdos modificados pelo Solver do Excel. As outras células

utilizadas, em fundo branco, contêm valores numéricos ou fórmulas

que devem ser introduzidas diretamente pelo usuário.

Vamos começar inserindo, na célula D2, a fórmula da função

que desejamos maximizar. No caso, o lucro total da produção, repre-

sentado pela soma dos lucros conseguidos com cada item; estes calcu-

lados pela multiplicação dos seus lucros unitários (células D8 e E8)

pelas respectivas quantidades produzidas (células D5 e E5). Assim,

na célula D2, digitamos:

= (D5*D8) + (E5*E8)

O próximo passo é inserir os valores dos lucros unitários de cada

item produzido pela empresa nas células D8 e E8. No nosso exemplo,

D8 deve conter o valor 50, e E8 o valor 30.

Em seguida, devemos preencher os blocos de células reservados

para os coeficientes das Restrições (lado esquerdo e direito das

inequações). Na planilha, os coeficientes são inseridos nas células D12,

D13, D14, E12, E13 e E14. Os valores para o lado direito das Restri-

ções ficam nas células I12, I13 e I14. Veja um exemplo na Figura 11:

Figura 11: Esquema de alocação das Restrições na planilhaFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

33

(O Solver faz através

de seu algoritmo o que

foi visto na abordagem

gráfica anteriormente.)

Assim que acabar de digitar os coeficientes, você pode prosse-

guir inserindo as fórmulas do lado esquerdo das Restrições do Modelo

no bloco de células reservado para tal. Em nossa planilha de exemplo,

este bloco de células trata-se das células G12, G13 e G14. Assim,

G12 deve conter:

= (D12*D5)+(E12*E5)

que representa a soma das multiplicações dos coeficientes em D12 e

E12 pelas respectivas quantidades produzidas de cada item, contidas

nas células D5 e E5. Da mesma forma, as outras inequações são

inseridas em G13:

= (D13*D5)+(E13*E5)

e, em seguida, na célula G14:

= D5

Assim, finalizamos a entrada de dados na planilha. Tudo o que

resta agora é recorrer ao Solver do Excel para a realização dos cálcu-

los. Para isso, basta ir até o menu do Excel, escolher ferramentas, e

clicar na opção Solver. Veja a Figura 12:

Figura 12: Localização do Solver no menu do ExcelFonte: elaborada pelos autores

34


Uma janela para entrada de Parâmetros se abrirá. É preciso ago-

ra informar ao Solver em que posições na planilha se encontram as

células contendo a Função-Objetivo, as Variáveis de Decisão (que no

Solver do Excel são chamadas de “células variáveis”) e os lados es-

querdo e direito das Restrições. Veja na Figura 13 a posição de cada um

dos blocos de células e o aspecto final da tela de entrada de dados do

Solver, para o Modelo do problema do Mix de Produção a ser calculado.

Caso você encontre dificuldades no uso do Solver, consul-te o seu tutor sobre os passos necessários para entrada dosdados e a execução dos cálculos.

Figura 13: Tela do SolverFonte: elaborada pelos autores

Na janela de Parâmetros do Solver existe também o botão op-

ções que dá acesso à janela da figura a seguir. Para os exemplos que

utilizaremos nesta apostila, devemos presumir que o Modelo é linear e

que as soluções deverão ser sempre não negativas. Assim, selecione

essas duas opções de Parâmetros, no local indicado pela seta na Figu-

ra 14. Note que existem outras opções na tela do Solver que não se

aplicam aos problemas que estamos tratando neste curso.

Módulo 7

35

Depois de preencher as opções como indicado, pressione a tecla

ok. A janela se fechará e a tela anterior será mostrada. Agora para

executar o algoritmo de otimização, basta clicar no botão resolver e

instantaneamente o Excel calculará a solução. Se você aceitar o cálcu-

lo, o programa retornará automaticamente para a planilha, onde po-

dem ser observados os resultados.

Note que as células sombreadas em cinza claro tiveram seus va-

lores modificados, como esperado. De principal importância, são as

células D2, que contém a Função-Objetivo a ser maximizada (lucro

máximo que pode ser obtido pela empresa) e as células D5 e E5, mos-

trando a quantidade de itens que devem ser fabricados para que se

obtenha este lucro máximo. Além disso, as células (G12 a G14) mos-

tram agora os valores obtidos com a solução para cada uma das Res-

trições. Veja na Figura 15 que todos estes valores se encontram dentro

dos limites desejados.

Como vimos anteriormente, o lucro máximo para este Problema

de Mix de Produção é de R$ 660,00, obtido com a fabricação diária de

6 itens A e 9 itens B por cada funcionário da empresa.

Figura 14: Tela de opções do SolverFonte: elaborada pelos autores

36


Figura 15: Planilha resolvida para o problema de Mix de ProduçãoFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

37

O Algoritmo Simplex de Otimização

Vimos no item anterior como um Problema de Programação Li-

near pode ser resolvido com o uso de uma planilha eletrônica. Mas

você pode ter curiosidade em saber como o programa acha a Solução

Ótima. Para isso, ele utiliza um algoritmo numérico mais antigo e mais

conhecido como Simplex.

Saiba mais... Para obter mais informações sobre o método Simplex escolha

um dos livros indicados em nossa bibliografia para consultá-lo.

O Simplex pode ser divido, de maneira bastante simplificada,

em três passos distintos, são eles:

Inicialização: preparação dos dados de entrada.

Iteração: repetição dos procedimentos de busca de uma solução.

Regra de Parada: verificação se a solução obtida é a SoluçãoÓtima.

Vejamos agora como o algoritmo funciona, descrevendo

detalhadamente o processo para o exemplo de Mix de Produção. A

solução manual que propomos é feita utilizando um quadro, ou

tableau*, do Simplex. Este quadro tem como única função auxiliar a

realização dos cálculos e das iterações de forma mais amigável.

Começamos por transformar o Problema de Programação Line-

ar, dado em sua forma padrão, numa disposição que seja mais adequa-

da à entrada dos valores no quadro do Simplex. É o primeiro passo do

Simplex: a Inicialização. Para isso, tomamos todas as equações e

inequações do problema e movemos os termos de tal forma que eles se

apresentam como uma série de equações cujos termos à direita sejam

GLOSSÁRIO*Tableau – termoem francês paraquadro, ou ainda ta-bela, tradicional-mente utilizado emPO para denominaras tabelas do méto-do Simplex. Fonte:elaborado pelos au-tores.

38


apenas constantes positivas. Veja a seguir. O problema de Mix de Pro-

dução, que é dado por:


2


2 ≤ 360

5x1 + 10 x

2 ≤ 120

x1 ≤ 20

x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0

se transforma em:z – 50 x

1 – 40 x

2 = 0

0 + 30 x1 + 20 x

2 + f

1 = 360

0 + 5 x1 + 10 x

2 + f

2 = 120

0 + 1 x1 + 0 x

2 + f

3 = 20

Note que as Restrições x1 ≥ 0 e x

2 ≥ 0 (Restrições de não-

negatividade) foram excluídas do problema pois são consideradas pa-

drão pelo método. Além disso, foram criadas novas variáveis f1, f

2 e f

3,

denominadas Variáveis de Folga, para transformar as desigualdades

das Restrições em igualdades. Estas variáveis são somadas ou subtra-

ídas conforme as desigualdades originais sejam elas do tipo “maior ou

igual” ou do tipo “menor ou igual”: Assim:

Desigualdades do tipo “≤” → soma → + fn

Desigualdades do tipo “≥” → subtração → – fn

Transformado o sistema de equações, passa-se ao preenchimen-

to do tableau do Simplex. Os coeficientes das variáveis do sistema são

colocados de forma matricial, um em cada célula da tabela (tableau).

Do lado de fora da tabela, devemos numerar cada linha inserindo uma

coluna com um índice para indicar cada linha; e inserindo outra colu-

na à direita, para indicar a qual variável o lado direito da equação

(LD) está associado. Veja o modelo no Quadro 1 abaixo:

Módulo 7

39

A primeira linha (sem numeração) indica a variável cujos coefi-

cientes estão dispostos no quadro e o valor do lado esquerdo das equa-

ções. A numeração das linhas está à esquerda, fora da tabela. A linha

“0” representa a equação da Função-Objetivo. As linhas 1, 2 e 3 re-

presentam as equações das Restrições. O quadro reserva ainda uma

coluna denominada Quociente, cuja função será demonstrada ao lon-

go da resolução do problema. À direita, fora da tabela, escrevemos a

indicação da variável associada ao valor do lado direito das equações.

Montado o quadro, você pode passar ao segundo passo do mé-

todo Simplex: a Iteração.

Primeira iteração: Inicie o processo verificando, na linha“0”, qual é o menor coeficiente que pode ser encontrado.Veja o Quadro 2 a seguir. É o coeficiente de x

1, igual a –50.

Quadro 1: Tableau # 1 do SimplexFonte: elaborado pelos autores


A coluna que possui este coeficiente passa a ser denominada

coluna-pivô, e é definida como a coluna cujo coeficiente da linha “0”

é o menor de todos. Veja o Quadro 3 a seguir:

40


O próximo passo é calcular os Quocientes em que os coeficien-

tes forem estritamente positivos, ou seja, vamos calcular as razões en-

tre os valores do Lado Direito (LD) das equações e cada respectivo

coeficiente da coluna-pivô. Por exemplo, para a linha “1”, o valor do

Quociente é igual a 360 divididos por 30, o que dá como resultado um

valor igual a 120. Fazendo o mesmo cálculo para as linhas “2” e “3”,

obtemos o Quadro 4:



Os valores dos quocientes calculados vão indicar agora uma li-

nha que é denominada linha-pivô. O critério de escolha desta linha é:

aquela que apresentar o menor Quociente calculado. No nosso exem-

plo, é a linha “1”, pois o menor Quociente é igual a 12. Veja o Quadro

5 abaixo:


Módulo 7

41

Determinada a coluna-pivô e a linha-pivô, encontramos o coefi-

ciente-pivô, que está na interseção entre a linha-pivô e a coluna-pivô.

No Quadro 6, podemos visualizar que o coeficiente-pivô é igual a 30.

Quadro 6: Tableau # 6 do SimplexFonte: elaborado pelos autores.

Aplicamos, então, um algoritmo para modificação das linhas,

utilizando o coeficiente-pivô encontrado. Este algoritmo é, na verda-

de, uma maneira simples de utilizar o método de eliminação na resolu-

ção de sistemas de equação.

Veja na Figura 16 o procedimento:

Figura 16: Algoritmo para modificação da linhas no SimplexFonte: elaborada pelos autores.

Veja que aparece no algoritmo uma linha-pivô modificada.Esta linha é obtida modificando-se a linha-pivô através dadivisão de seus valores pelo valor do coeficiente-pivô. Veja ocaminho para obtê-la no nosso exemplo e o aspecto dotableau (Quadro 7) após a modificação:

Linha-Pivô Modificada

[0 30 20 1 0 0 360] / 30 = [0 1 0,666 0,033 0 0 12]

Note que pegamos a linha 1 e dividimos todos os seus valores

por 30 e reescrevemos esta linha com os novos valores calculados

(resultados da divisão por 30).

42


Obtida a nova linha-pivô, continuamos então, aplicando o resto

do algoritmo. Veja o que acontece com a linha “0”:

Nova Linha “0”

[1 –50 –40 0 0 0 0] – (–50) [ 0 1 0,666 0,033 0 0 12 ]

Nova Linha “0”

[1 –50 –40 0 0 0 0] + [0 50 33,333 1,666 0 0 600]

Nova Linha “0”

[1 0 –6,666 1,666 0 0 600]

Perceba que para obtermos a nova linha “0” multiplicamos a

linha “1” por “–50” e a somamos com a linha “0” original.

Da mesma forma, a linha “2” se transforma, ao aplicarmos o

algoritmo:

Nova Linha “2”

[0 5 10 0 1 0 120] – (5) [0 1 0,666 0,033 0 0 12]

Nova Linha “2”

[0 5 10 0 1 0 120] – [0 5 3,333 0,166 0 0 60]

Nova Linha “2”

[0 0 6,666 –0,166 1 0 60]

E, para a linha “3”:


Módulo 7

43

Nova Linha “3”

[0 1 0 0 0 1 20] – (1) [0 1 0,666 0,033 0 0 12]

Nova Linha “3”

[0 1 0 0 0 1 20] – [0 1 0,666 0,033 0 0 12]

Nova Linha “3”

[0 0 –0,666 –0,033 0 1 8]

O tableau assume o aspecto apresentado no Quadro 8:


Atenção! Veja que o coeficiente-pivô pertence à coluna da vari-

ável x1 e à linha da variável de folga f1. No algoritmo Simplex, quan-

do escolhemos o coeficiente-pivô, verificamos a variável relacionada

à coluna-pivô e denominamos essa variável como Variável-Entrante.

A variável relacionada à linha-pivô é, por sua vez, denominada como

Variável-Sainte. O que fazemos então é substituir no quadro, a Variá-

vel-Sainte pela Variável-Entrante:

Figura 17: Substituição da Variável-Sainte pela Variável-EntranteFonte: elaborada pelos autores

Finalmente, podemos preencher o quadro do Simplex com as

novas linhas calculadas e com a nova Variável-Entrante. Veja no Qua-

dro 9 o seu novo aspecto:

44


Neste ponto, devemos aplicar o terceiro passo do Simplex: a Regra

de Parada.

No quadro, ela se traduz pela existência ou não de um coeficien-

te negativo da linha “0”. Se tal coeficiente existir, significa que a Fun-

ção-Objetivo ainda pode ser melhorada, ou seja, a solução ainda não

representa a Solução Ótima. Neste caso, outra iteração deve ser calcu-

lada. Olhando o quadro anterior, você pode observar que na linha “0”

o novo coeficiente de x2 é negativo, igual a –6,666. Então, no nosso

exemplo, devemos realizar outra iteração. Vamos a ela.

Segunda iteração: Seguindo o mesmo processo visto ante-riormente, olhe a linha (0), e procure o menor coeficiente donovo quadro do Simplex que acabamos de obter. Agora, omenor coeficiente é igual a –6,666, estabelecendo a coluna dex2 como a nova coluna-pivô. Lembre-se que isto transformax2 na nova Variável-Entrante. Veja o Quadro 10 a seguir:



Seguindo o algoritmo, verifica-se que esta coluna apresenta dois

coeficientes positivos, então calculamos os Quocientes para cada uma

destas duas linhas. Assim, obtemos:

Módulo 7

45

Lembra-se do próximo passo? A linha-pivô é a que apresenta o

menor Quociente.

Neste caso é a linha “2”, para o Quociente igual a 9. A escolha

desta linha determina também qual a Variável-Sainte. Neste caso, f2.

Veja o Quadro 12:



Continuando, determinamos o novo coeficiente-pivô de valor

igual a 6,666, interseção da linha-pivô com a coluna-pivô.

Procede-se então à modificação da linha-pivô, dividindo-se os

seus valores pelo valor do coeficiente-pivô, igual a 6,666. Assim, ob-

temos o Quadro 14 a seguir:


46


Finalmente, aplicando o algoritmo do método de eliminação, ob-

teremos o novo tableau do Simplex, mostrado a seguir no Quadro

15. A Variável-Sainte f2 já está substituída pela Variável-Entrante x2.

Perceba que agora não há mais nenhum coeficiente negativo na linha

“0”. Isto indica que a Função-Objetivo não pode ser melhorada e esta

nova solução representa a Solução Ótima.

Quadro 14: Tableau # 14 do SimplexFonte: elaborado pelos autores.


Os resultados da solução podem ser obtidos diretamente do

tableau. Fica clara agora a função da coluna mais à direita do quadro.

Ela facilita a associação dos valores constantes na coluna LD às Vari-

áveis de Decisão. Veja a figura a seguir. O valor de x1 é igual a 6, o de

x2 é igual a 9, e a Função-Objetivo (o lucro máximo da empresa)

assume o valor de 660. Resultados já encontrados na solução gráfica e

pelo Solver do Excel.

Figura 18: Resultados encontrados para z, x1 e x2Fonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

47

RESUMO

Nesta Unidade, estudamos as definições e principais con-

ceitos acerca da Pesquisa Operacional, que é um método de

tomada de decisão com suporte científico utilizada em proble-

mas nos quais tentamos buscar a melhor solução possível. En-

tre as diversas técnicas que a PO utiliza, nós nos concentramos

na Programação Linear – lembrando que uma função é chamada

de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis.

Em seguida, vimos que um Modelo de Programação Li-

near é uma representação de um problema real em termos de

equações e inequações lineares, ou seja, em linguagem mate-

mática. Neste Modelo, existem Variáveis de Decisão, Restri-

ções e uma Função-Objetivo, que é o que tentamos otimizar.

Logo depois, apresentamos a você um exemplo de Mo-

delagem de um problema típico em Administração, o Mix de

Produção. Você teve que interpretar o problema, identificar a

Função-Objetivo e identificar as Restrições deste problema, entre

outros passos.

Passamos então a uma solução não computacional, a so-

lução gráfica. Traçamos em um gráfico as retas corresponden-

tes a cada uma das Restrições e você pôde visualizar a área do

gráfico representando o espaço onde as soluções possíveis para

o problema se encontram. Traçando em seguida a reta da Fun-

ção-Objetivo sobre a área delimitada pelas Restrições, você

obteve a melhor solução para o problema.

Entendido o processo gráfico, apresentamos o método

Simplex, que é a base da maioria dos algoritmos utilizados em

PO. Este é um método matemático para a solução de sistemas

de equações através de operações com matrizes, os chamados

48


tableaux. Como na prática existem softwares para realizar auto-

maticamente o que o método Simplex indica, apresentamos na

sequência a ferramenta Solver do Excel, com um exemplo que

você foi trabalhando desde a Modelagem do problema. Mostra-

mos ainda as telas da planilha nas quais tivemos que reproduzir

o problema proposto com as equações, Restrições e assim por

diante, dando entrada de dados no software, passo a passo.

Atividades de aprendizagem

1. Apresente três possíveis problemas de otimização que possamser resolvidos pela Programação Linear. Formule as Funções-Ob-jetivo e as possíveis Restrições.

Módulo 7

49

Problemas de MisturaProblemas de Mistura

UNIDADE

2

50


Objetivo

Nesta Unidade, apresentaremos os chamados Problemas de Mistura que

é quando, em termos simples, precisamos lidar com composições a

partir de escolhas de ingredientes. Veremos também algumas aplicações

e como modelá-las. Você utilizará os conhecimentos da primeira

Unidade e solucionará os problemas computacionalmente. Por fim,

algumas atividades serão sugeridas para você tomar boas decisões.

Módulo 7

51

O Problema da Dieta

Na Unidade anterior, estudamos como modelar e resolver um

Problema de Programação Linear com o uso da Pesquisa Operacional.

Nesta Unidade aprofundaremos os conhecimentos com os Problemas

de Mistura: situações em que o Administrador pode determinar a me-

lhor quantidade de ingredientes, respeitando, por exemplo, restrições

acerca da disponibilidade destes e otimizando o seu objetivo final.

Um exemplo clássico de Problema de Mistura é o Problema da

Dieta. Neste situação, o objetivo é determinar a quantidade ideal de

alimentos que deve ser ingerida para satisfazer as necessidades

nutricionais, com o menor custo possível.

Imaginemos, por exemplo, que um município queira estabelecer o

mix ideal de alimentos para compor o cardápio da merenda oferecida nas

escolas. Vamos supor que, nutricionalmente, o cardápio deva fornecer

certa quantidade mínima de calorias, de vitaminas A e C, de ferro e de

cálcio. Entretanto, para o município é importante minimizar o custo da

refeição, pois assim, um número maior de crianças poderá ser atendido.

Consideremos, para fins didáticos, que o município tenha dispo-

níveis para aquisição os seguintes alimentos: carne, arroz, feijão, cou-

ve e banana. Além disso, deseja-se manter certa quantidade mínima de

cada um dos produtos na dieta. Afinal, mesmo que os cálculos indi-

quem, por exemplo, que apenas o arroz satisfaz as necessidades

nutricionais, não é verossímil que crianças possam comer apenas ar-

roz em uma única refeição. Desta forma, foram consideradas as se-

guintes porções mínimas para cada item:

Carne: 50g

Arroz: 100g

Feijão: 80g

Couve: 20g

Banana: 50g

52


O preço para cada um desses itens é, respectivamente:

Carne: R$ 8,00 / kg

Arroz: R$ 2,00 / kg

Feijão: R$ 2,00 / kg

Couve: R$ 1,00 / kg

Banana: R$ 4,00 / kg

Para facilitar a entrada de dados, consideremos o preço dos ali-

mentos para porções de 100g, pois a maior parte das tabelas nutricionais

é apresentada contendo porções dessa quantidade. Assim, os valores

monetários são:

Carne: R$ 0,8 / 100g

Arroz: R$ 0,2 / 100g

Feijão: R$ 0,2 / 100g

Couve: R$ 0,1 / 100g

Banana: R$ 0,4 / 100g

Da mesma forma, com relação as quantidades mínimas de cada

alimento, todos os cálculos serão realizados para porções de 100 g.

Assim, devemos proceder a uma normalização dos valores, conside-

rando a porção, ou seja,

Quantidade mínima de Carne: 50g / 100g = 0,5 porção

Quantidade mínima de Arroz: 100g / 100g = 1 porção

Quantidade mínima de Feijão: 80g / 100g = 0,8 porção

Quantidade mínima de Couve: 20g / 100g = 0,2 porção

Quantidade mínima de Banana: 50g / 100g = 0,5 porção

As restrições neste problema referem-se às quantidades míni-

mas de nutrientes a serem ingeridas e às quantidades mínimas estipu-

ladas para cada um dos itens. As necessidades são dados conhecidos,

Módulo 7

53

obtidos, por exemplo, da Organização Mundial da Saúde. Desta for-

ma, estabelecemos as seguintes Restrições:

Consumo diário mínimo de Energia: 2000cal

Consumo diário mínimo de Vitamina A: 750mcg

Consumo diário mínimo de Vitamina C: 70mg

Consumo diário mínimo de Ferro: 10mg

Consumo diário mínimo de Cálcio: 650mg

A Tabela 1 organiza todos estes valores para facilitar a

visualização:

Em termos de formulação matemática, as restrições tomam a for-

ma das seguintes inequações:

225 xcarne

+ 360 xarroz

+ 325 xfeijão

+ 30 xcouve

+ 90 xbanana

≥ 2000

7 xcarne

+ 5 xfeijão

+ 150 xcouve

≥ 750

5 xfeijão

+ 145 xcouve

+ 4 xbanana

≥ 70

3 xcarne

+ 1,5 xarroz

+ 7,5 xfeijão

+ 2 xcouve

+ 0,5 xbanana

≥ 10

10 xcarne

+ 10 xarroz

+ 85 xfeijão

+ 235 xcouve

+ 10 xbanana

≥ 650

xcarne

≥ 0,5

xarroz

≥ 1

Tabela 1: Dados do Problema da Dieta


Propriedade

Energia

Vitamina A

Vitamina C

Ferro

Cálcio

Porção Mínima

Unidade

cal

mcg

mg

mg

mg

100g

Valor

Diário

2000

750

70

10

650

–

Carne

225

7

0

3

10

0,5

Arroz

360

0

0

1,5

10

1

Feijão

325

5

5

7,5

85

0,8

Couve

30

150

145

2

235

0,2

Banana

90

0

4

0,5

10

0,5

54


xfeijão

≥ 0,8

xcouve

≥ 0,2

xbanana

≥ 0,5

em que:

xcarne

= quantidade de carne

xarroz

= quantidade de arroz

xfeijão

= quantidade de feijão

xcouve

= quantidade de couve

xbanana

= quantidade de banana

A Modelagem do problema prossegue com a determinação da

Função-Objetivo. Nesse problema, ela é representada por “z”, custo

da merenda, calculado pela quantidade de cada alimento multiplicado

pelo seu valor.

z = 0,8 xcarne

+ 0,2 xarroz

+ 0,2 xfeijão

+ 0,1 xcouve

+ 0,4 xbanana

Sintetizando, o Modelo matemático completo para descrição do

Problema da dieta é escrito como:

Encontrar: z, xcarne

, xarroz

, xfeijão

, xcouve

, xbanana

Minimizar: z = 0,8 xcarne

+ 0,2 xarroz

+ 0,2 xfeijão

+ 0,1 xcouve

+ 0,4 xbanana

Restrito a: 225 xcarne

+ 360 xarroz

+ 325 xfeijão

+ 30 xcouve

+ 90 xbanana

≥ 2000

7 xcarne

+ 5 xfeijão

+ 150 xcouve

≥ 750

5 xfeijão

+ 145 xcouve

+ 4 xbanana

≥ 70

3 xcarne

+ 1,5 xarroz

+ 7,5 xfeijão

+ 2 xcouve

+ 0,5 xbanana

≥ 10

10 xcarne

+ 10 xarroz

+ 85 xfeijão

+ 235 xcouve

+ 10 xbanana

≥ 650

xcarne

≥ 50

xarroz

≥ 100

xfeijão

≥ 80

xcouve

≥ 20

xbanana

≥ 50

Módulo 7

55

cujas Restrições abaixo representam:

Energia: 225 xcarne

+ 360 xarroz

+ 325 xfeijão

+ 30 xcouve

+ 90 xbanana

≥ 2000

Vitamina A: 7 xcarne

+ 5 xfeijão

+ 150 xcouve

≥ 750

Vitamina C: 5 xfeijão

+ 145 xcouve

+ 4 xbanana

≥ 70

Ferro: 3 xcarne

+ 1,5 xarroz

+ 7,5 xfeijão

+ 2 xcouve

+ 0,5 xbanana

≥ 10

Cálcio: 10 xcarne

+ 10 xarroz

+ 85 xfeijão

+ 235 xcouve

+ 10 xbanana

≥ 650

Porção mínima de carne: xcarne

≥ 50

Porção mínima de arroz: xarroz

≥ 100

Porção mínima de feijão: xfeijão

≥ 80

Porção mínima de couve: xcouve

≥ 20

Porção mínima de banana: xbanana

≥ 50

Lembre-se de que, as Variáveis de Decisão representadas pelas

quantidades de alimentos ingeridos devem ser não-negativas. Entre-

tanto, note que para este exemplo, os valores já são positivos, pois as

Restrições de quantidade mínima para cada item já implicam nesta

não-negatividade.

56


Solucionando o Problema da Dietacom o uso da Planilha Eletrônica

Com as fórmulas determinadas anteriormente, podemos partir

para a construção da planilha eletrônica. A Figura 19 mostra uma op-

ção de como ela poderia ser elaborada para conter o Modelo matemá-

tico para o Problema da Dieta.

Perceba que o aspecto geral da planilha é idêntico ao do proble-

ma de Mix de Produção visto no Capítulo I. A linha 2 permanece como

a escolhida para descrever a Função-Objetivo do problema. A linha 5

agora é reservada para a quantidade de porções de 100 g a ser incluída

no cardápio e, a linha 8, o custo unitário da porção de cada um dos

itens alimentícios. Em relação à planilha de Mix de Produção, acres-

centamos mais sete linhas para as Restrições, porque agora elas são

em número de 10. Assim, as linhas 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20

são reservadas para a entrada destas Restrições.

Figura 19: Planilha para resolução do Problema da dietaFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

57

Iniciamos a entrada de dados inserindo, na célula D2, a fórmula

da Função-Objetivo, que neste problema, desejamos minimizar. Em

outros termos, trata-se do custo total da refeição, representado pela

soma dos custos com cada item alimentício (carne, arroz, feijão, cou-

ve e banana). Estes custos por item, por sua vez, são calculados pela

multiplicação dos seus custos unitários (contidos nas células D8 a H8)

pelas respectivas quantidades de porções de 100 g (presentes nas cé-

lulas D5 a H5). Assim, na célula D2, devemos digitar:

= (D5*D8)+(E5*E8)+(F5*F8)+(G5*G8)+(H5*H8)

O próximo passo é inserir os valores dos custos unitários de cada

item alimentício nas células (D8 a H8). Neste caso, a célula D8 deve

conter o valor 0,8 (referindo-se ao preço de R$ 0,8 pela porção de

100g de carne) e assim por diante:

Célula D8 → 0,8

Célula E8 → 0,2

Célula F8 → 0,2

Célula G8 → 0,1

Célula H8 → 0,4

Seguindo com a entrada de dados, vamos preencher os blocos

de células reservados para os coeficientes das Restrições (lado esquer-

do e direito das inequações). Na nossa planilha, os coeficientes são

inseridos nas células que formam o bloco que se inicia na célula D12

e vai até a célula H21. Os valores para o lado direito das Restrições

ficam nas células da coluna L, indo de (L12 a L21). Veja na Figura 20

o esquema do preenchimento utilizado, estando indicado pelas setas a

entrada de dados da Restrição referente à quantidade de Vitamina A:

58


Ao acabar de digitar os coeficientes e os valores do lado direito

das Restrições, o próximo passo é inserir as fórmulas do lado esquer-

do das Restrições do problema, no bloco de células reservado para tal.

Veja que na planilha são as células da coluna J, ou seja, de (J12 a J21).

Assim:

J12 → = (D12*D5)+(E12*E5)+(F12*F5)+(G12*G5)+(H12*H5)

J13 → = (D13*D5)+(E13*E5)+(F13*F5)+(G13*G5)+(H13*H5)

J14 → = (D14*D5)+(E14*E5)+(F14*F5)+(G14*G5)+(H14*H5)

J15 → = (D15*D5)+(E15*E5)+(F15*F5)+(G15*G5)+(H15*H5)

J16→ = (D16*D5)+(E16*E5)+(F16*F5)+(G16*G5)+(H16*H5)

J17 → = (D17*D5)+(E17*E5)+(F17*F5)+(G17*G5)+(H17*H5)

J18 → = (D18*D5)+(E18*E5)+(F18*F5)+(G18*G5)+(H18*H5)

J19 → = (D19*D5)+(E19*E5)+(F19*F5)+(G19*G5)+(H19*H5)

J20 → = (D20*D5)+(E20*E5)+(F20*F5)+(G20*G5)+(H20*H5)

J21 → = (D21*D5)+(E21*E5)+(F21*F5)+(G21*G5)+(H21*H5)

As células contêm a soma das multiplicações dos coeficientes

da coluna D, pelas respectivas quantidades totais de cada item alimen-

tício, contidas nas células (D5 a H5).

Tudo isso é necessário ser digitado na planilha. O passo seguin-

te, se você se lembrar bem, é recorrer ao Solver do Excel para a reali-

zação dos cálculos. Então, acesse o menu do Excel, escolha Ferra-

mentas, e clique na opção Solver.

Figura 20: Esquema de entrada dos dados na Planilha da DietaFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

59

Ao abrir a janela do Solver, vamos informar em que posições na

planilha se encontram as células contendo a Função-Objetivo, as Vari-

áveis de Decisão e os lados esquerdo e direito das Restrições. A Figu-

ra 21 mostra como deve ficar a entrada desses dados para o Modelo do

Problema da Dieta. Essa entrada deve ser feita em blocos, ou seja, as

regiões da planilha que são as entradas dos Parâmetros do Solver são

selecionadas arrastando o mouse da célula inicial até a célula final

desejada.

Caso tenha dúvidas de como utilizar a seleção em blocos, peça

ajuda ao seu tutor para maiores explicações.

Você precisa se certificar de escolher a opção Min para que o

Solver resolva o problema como uma minimização da Função-Objeti-

vo. Isto porque, como você deve se lembrar, queremos minimizar o custo

da merenda. Veja na figura anterior onde deve ser escolhida esta opção.

Para executar a otimização, basta clicar no botão resolver e ins-

tantaneamente o Excel calculará a solução.

Se você seguiu as instruções corretamente, observe que as célu-

las sombreadas em cinza claro que indicam a quantidade total de ali-

mento tiveram seus valores modificados da mesma forma que a célula

D2, que contém o custo mínimo da merenda. Outras células que tive-

Figura 21: Regiões da planilha utilizadas como entradas no SolverFonte: elaborada pelos autores

60


ram seus conteúdos alterados foram as células de (J12 a J21), conten-

do os valores obtidos com a solução para cada uma das Restrições.

Veja na Figura 22 o aspecto final da planilha, após a execução dos

cálculos pelo Solver.

Figura 22: Aspecto final da planilha do Problema da DietaFonte: elaborada pelos autores

Vamos agora à análise dos resultados dos cálculos. Qual seria a

merenda ideal a ser adotada pelo município? A resposta está contida

nas células (D5 a H5). Note que os valores ali presentes representam o

número de porções de 100g de cada um dos alimentos disponíveis.

Assim:

Carne → 0,5 x 100g = 50g

Arroz → 3,98 x 100g = 398g ≈ 400g

Feijão → 0,8 x 100g = 80g

Couve → 4,95 x 100g = 495g

Banana → 0,5 x 100g = 50g

Módulo 7

61

Discuta essa distorção

com seu Professor /

Tutor: quais seriam

suas implicações em

termos gerenciais?

O preço total desta refeição seria de R$ 2,05 (resultado da Fun-

ção-Objetivo na célula D2), representando o menor valor possível para

as Restrições utilizadas na Modelagem do problema.

Note que o total de alimentos (as soma das quantidades de car-

ne, arroz, feijão, couve e banana) para a merenda seria de aproxima-

damente 1,1 kg, o que, na prática, é uma quantidade irreal para crian-

ças em idade escolar. É difícil acreditar, principalmente, que uma cri-

ança comeria 495g de couve, um valor excessivamente grande a ser

ingerido numa única refeição. Isto demonstra que o problema de

otimização também serve para indicar distorções no problema original

proposto. Neste caso, a nutricionista poderia sugerir um outro alimen-

to complementar para substituir parte da couve e tornar a refeição mais

balanceada. Então, uma nova Variável de Decisão e novas Restrições

seriam acrescidas ao problema, havendo a necessidade de outros cál-

culos para buscar a Solução Ótima.

62


Problema sugerido

Na resolução do problema da dieta anterior, você verificou que

apesar de termos encontrado uma Solução Ótima, os valores encon-

trados não eram verossímeis, pois um excesso de couve foi indicado.

Como sugestão podemos incluir entre os alimentos disponíveis outros

ingredientes, como a cenoura ou então o tomate. Isto acrescenta uma

nova Variável de Decisão ao problema. Como restrição adicional, con-

sidere que a porção mínima de cenoura ou tomate a ser consumida é

de 70 g. Considere ainda, que o preço da porção de 100g de ambos os

produtos é igual a R$ 0,40. Perguntamos: Qual a melhor opção para

um novo mix de alimentos da merenda: incluir a cenoura ou o tomate?

Qual o novo custo da refeição? A Tabela 2 fornece os valores

nutricionais dos dois vegetais a serem incluídos nos cálculos.

Tabela 2: Dados do Problema da Dieta sugerido


Propriedade

Energia

Vitamina A

Vitamina C

Ferro

Cálcio

Unidade

cal

mcg

mg

mg

mg

Cenoura

40

540

5

1

40

Tomate

40

75

20

1

25

Para auxiliá-lo, descrevemos logo a seguir a Forma Canônica

do novo problema, considerando a inclusão da cenoura como Variável

de Decisão:

Módulo 7

63

Encontrar: z, xcarne

, xarroz

, xfeijão

, xcouve

, xbanana

, xcenoura

Maximizar: z = 0,8xcarne

+ 0,2xarroz

+ 0,2xfeijão

+ 0,1xcouve

+ xbanana

+ 0,4xcenoura

Restrito a: 225xcarne

+ 360xarroz

+ 325xfeijão

+ 30xcouve

+ 90xbanana

+ 40xcenoura

≥ 2000

7xcarne

+ 5xfeijão

+ 150xcouve

+ 540xcenoura

≥ 750

5xfeijão

+ 145xcouve

+ 4xbanana

+ 5xcenoura

≥ 70

3xcarne

+ 1,5xarroz

+ 7,5xfeijão

+ 2xcouve

+ 0,5xbanana

+ 1xcenoura

≥ 10

10 xcarne

+ 10 xarroz

+ 85 xfeijão

+ 235 xcouve

+ 10 xbanana

+ 40xcenoura

≥ 650

xcarne

≥ 50

xarroz

≥ 100

xfeijão

≥ 80

xcouve

≥ 20

xbanana

≥ 50

xcenoura

≥ 70

Não se esqueça de que, ao calcular o problema considerando a

inclusão do tomate no lugar da cenoura, devemos substituir, nas equa-

ções acima, a variável xcenoura

pela variável xtomate

e modificar os coefi-

cientes das Restrições para os valores nutricionais referentes ao toma-

te da tabela.

Veja na Figura 23 o aspecto final da planilha que você deverá

montar para o tomate. Na Figura 24, por sua vez, veja o aspecto da

planilha para a cenoura. Os cálculos já foram realizados e os resulta-

dos aparecem nas células D2 (Função-Objetivo). Deveremos concluir

que é mais interessante do ponto de vista financeiro, incluir a cenoura

no cardápio – uma diferença maior de R$ 0,18 por refeição.

64


Figura 23: Planilha para resolução do Problema da Dieta sugerido

(tomate)Fonte: elaborada pelos autores

Figura 24: Planilha para resolução do Problema da Dieta sugerido

(cenoura)Fonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

65

Problema de Composição de Tintas

Na resolução do problema anterior, encontramos a melhor com-

posição para uma dieta verossímil, calculando a melhor composição

do prato a partir de ingredientes disponíveis. Podemos trazer esta mes-

ma ideia para o campo industrial. Imagine que ao invés de ingredien-

tes de alimentação, vamos trabalhar com componentes utilizados na

fabricação de tintas. Vamos ao caso da empresa Cobremuros.

A Cobremuros Tintas Ltda. produz dois tipos de tintas: uma de

secagem normal (SN) e outra de secagem rápida (SR). Ambas utili-

zam os mesmos componentes em sua constituição, variando apenas as

quantidades percentuais de cada um. A empresa Cobremuros não pro-

duz os insumos básicos para a produção das tintas, tendo de ir ao mer-

cado para comprá-los na forma de soluções concentradas. Duas solu-

ções estão disponíveis: a primeira fórmula, denominada solução A

(SOL-A) contém 30% do componente responsável pela secagem (SEC)

e 70% de outros componentes químicos (OUT) como espessante, pig-

mento etc; outro fornecedor oferece uma segunda solução (SOL-B)

que apresenta 60% de secante e 40% dos outros componentes. Sabe-

se que os preços das soluções são: R$ 1,50 o litro para a SOL-A, e R$

1,00 por litro para a SOL-B.

Além disso, o litro do componente secante (SEC) custa R$ 4,00

e a mistura dos outros componentes químicos (OUT), R$ 6,00 o litro.

Uma limitação das formulações das tintas é que cada litro de tinta (SR)

exige pelo menos 25% de secante em sua fórmula e 50% dos outros

componentes. A tinta (SN), por sua vez, exige no mínimo 20% de

secante e no máximo 50% dos outros componentes. Perguntamos: qual

a quantidade mínima de produtos a serem comprados para que se pro-

duzam 1000 litros de (SR) e 250 litros de (SN)? E quantos litros de

cada solução devem ser comprados dos fornecedores?

66


Assim, o Modelo pode ser apresentado a partir das seguintes

variáveis e equações:

xA-SR

: quantidade em litros de solução A usada na produçãode tinta se secagem rápida (SR).

xB-SR

: quantidade em litros de solução B usada na produçãode tinta se secagem rápida (SR).

xA-SN

: quantidade em litros de solução A usada na produçãode tinta se secagem normal (SN).

xB-SN

: quantidade em litros de solução B usada na produçãode tinta se secagem normal (SN).

xSEC-SR

: quantidade em litros de secante (SEC) usada na pro-dução de tinta se secagem rápida (SR).

xOUT-SR

: quantidade em litros de outros componentes (OUT)usada na produção de tinta se secagem rápida (SR).

xSEC-SN

: quantidade em litros de secante (SEC) usada na pro-dução de tinta se secagem normal (SN).

xOUT-SN

: quantidade em litros de outros componentes (OUT)usada na produção de tinta se secagem normal (SN).

Função-Objetivo

1,5 (xA-SR

+ xA-SN

) + 1 (xB-SR

+ xB-SN

) + 4 (xSEC-SR

+ xSEC-SN

) + 6 (xOUT-SR

+ xOUT-SN

)

Restrições:

xA-SR

+ xB-SR

+ xSEC-SR

+ xOUT-SR

= 1000

xA-SN

+ xB-SN

+ xSEC-SN

+ xOUT-SN

= 250

0,3 xA-SR

+ 0,6 xB-SR

+ xSEC-SR

≥ 0,25 (xA-SR

+ xB-SR

+ xSEC-SR

+ xOUT-SR

)

0,7 xA-SR

+ 0,4 xB-SR

+ xOUT-SR

≥ 0,5 (xA-SR

+ xB-SR

+ xSEC-SR

+ xOUT-SR

)

0,3 xA-SN

+ 0,6 xB-SN

+ xSEC-SN

≥ 0,2 (xA-SN

+ xB-SN

+ xSEC-SN

+ xOUT-SN

)

0,7 xA-SN

+ 0,4 xB-SN

+ xOUT-SN

≥ 0,5 (xA-SN

+ xB-SN

+ xSEC-SN

+ xOUT-SN

)

xA-SR

≥ 0 ; xB-SR

≥ 0 ; xA-SN

≥ 0 ; xB-SN

≥ 0 ;

xSEC-SR

≥ 0 ; xOUT-SR

≥ 0 ; xSEC-SN

≥ 0 ; xOUT-SN

≥ 0

Módulo 7

67

Solucionando o Problemade Composição de Tintas

com o uso do Excel®

Vamos construir agora a planilha eletrônica para a obtenção da

solução deste problema. Veja na Figura 25 uma sugestão do seu as-

pecto final. Note que podemos manter o mesmo layout básico utiliza-

do nos exercícios anteriores.

Para facilitar sua tarefa, abra o arquivo da planilha anteriormen-

te construída (Problema da Dieta) e utilize a função salvar como dis-

ponível no menu de arquivos do Excel. Então, basta editar a planilha,

gravando-a com outro nome e fazendo as modificações necessárias ao

novo problema, como demonstraremos a seguir.

Figura 25: Planilha para resolução do Problema da Composição de

TintasFonte: elaborada pelos autores

Uma diferença com relação ao problema de Mix de Produção é

que as Variáveis de Decisão – as quantidades a serem adquiridas de

Solução A, Solução B, de Secante e de Outros Componentes – agora

tomam duas linhas, porque temos dois tipos de produtos diferentes, a

68


(Verifique a função

soma no recurso de

ajuda do Excel. )

tinta (SR) e a tinta (SN). Outra diferença são as Restrições que agora

não são de um único tipo, ou seja, apenas “≥” ou “≤”. Temos inequações

de ambos os tipos e também equações de igualdade – as quantidades a

serem produzidas de cada tinta.

A célula D2 continua sendo escolhida para descrever a Função-

Objetivo do problema. Assim, como seu conteúdo, devemos digitar:

=(D5*D9)+(E5*E9)+(F5*F9)+(G5*G9)+

+(D6*D9)+(E6*E9)+(F6*F9)+(G6*G9)

Essa fórmula fornece o custo total dos insumos, pois é a multi-

plicação de cada quantidade de um item (células (D5 a G5) para a

tinta (SR) e células (D6 a G6) para a tinta (SN)) pelos preços unitários

dos insumos (células D9 a G9).

Como já dissemos, as Variáveis de Decisão são as quantidades a

serem adquiridas de Solução A, Solução B, de Secante e de Outros

Componentes. Na planilha, devemos reservar para elas duas linhas di-

ferentes, uma para as quantidades considerando a tinta (SR) e outra para

a tinta (SN). Para tal, estabelecemos as células (D5 a G5) e (D6 a G6).

A linha 9, entre as colunas D e G, conterá o custo unitário, por

litro, de cada um dos insumos para a produção das tintas. Veja na figura:

Célula D9 → 1,5 → preço do litro da Solução A

Célula E9 → 1 → preço do litro da Solução B

Célula F9 → 4 → preço do litro do Secante

Célula G9 → 6 → preço do litro dos Outros componentes

O próximo passo é inserir os coeficientes das fórmulas das res-

trições do nosso problema. Na planilha, eles são digitados no bloco de

células que vão de (D13 a G18).

Em seguida, entramos com as fórmulas das Restrições. Primeiro

o lado esquerdo:

Célula I13 → =SOMA(D5:G5)

Célula I14 → =SOMA(D6:G6)

Módulo 7

69

Célula I15 → =(D15*D5)+(E15*E5)+(F15*F5)+(G15*G5)




Depois, o lado direito:

Célula K13 → =1000 → o total de tinta SR

Célula K14 → =250 → o total de tinta SN

Célula K15 → =0,25*(SOMA(D5:G5))




Note que diferentemente dos exercícios resolvidos anteriormen-

te, as células (K15 a K18) não possuem limites numéricos pré-defini-

dos, e sim fórmulas associadas às próprias Variáveis de Decisão conti-

das nas células (D5 a G6). Isso não representa uma dificuldade para o

Excel, que consegue solucionar o problema da mesma forma.

Finalmente, podemos entrar com as restrições no Solver. Veja na Fi-

gura 26 o aspecto da janela, como os campos que devem ser selecionados.

Importante! Tenha bastante atenção ao selecionar a opçãode minimização da função e de entrar com os operadorescorretos para cada um dos blocos de Restrições: “≥”, “≤”ou “=” (setas mais grossas na Figura 26). Não se esqueçatambém de selecionar na janela de Parâmetros do “Solver”as opções que estabelecem que o Modelo é linear e que assoluções deverão ser sempre não-negativas.

70


Novamente, a entrada deve ser feita em blocos, ou seja, as regi-

ões da planilha devem ser selecionadas em blocos, arrastando o mouse

da célula inicial até a célula final desejada. Observe que neste caso, as

Restrições são descritas por três blocos distintos.

Após entrar com todos os dados na janela do Solver, mande cal-

cular a solução e aceite o resultado oferecido pelo programa. A planilha

então deverá apresentar os resultados como mostrado na Figura 27.

Figura 26: Campos que devem ser selecionados como Parâmetros no

SolverFonte: elaborada pelos autores

Figura 27: Planilha final com resultados do Problema da Composição

de Tintas.Fonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

71

Confira os valores finais resultantes do processo de otimização.

Para obter o custo mínimo da produção de 1000 litros da tinta (SR) e

250 litros da tinta (SN), que é de R$ 1.416,70, deverão ser adquiridos

dos fornecedores 333,3 litros da Solução A e 916,7 litros da Solução

B (esta última, R$ 666,67 + R$ 250,00, é a soma das células E5 e E6).

Não há necessidade de se adquirir Secante ou Outros Componentes

separadamente, o que é evidenciado pelo valor igual a zero das célu-

las (F5 a G6).

72


Problema de Mix de Investimentos

Outra aplicação interessante cuja abordagem é parecida com os

exemplos vistos até este momento, é o problema de Mix de Investi-

mentos.

Imagine que uma empresa denominada Productoring Ltda. está

pensando em construir um pequeno prédio que será sua nova sede

administrativa. O custo da construção está estimado em R$ 900.000.

O cronograma de pagamento à construtora está previsto em três parce-

las: a primeira depois do segundo mês de início das obras, a segunda

depois do quinto mês e uma última depois da conclusão do oitavo

mês. Os valores são respectivamente R$ 200.000, R$ 300.000 e R$

400.000. O problema da empresa é determinar qual o Portifólio* ide-

al de investimentos a ser utilizado para gerar um caixa a fim de honrar

seus compromissos com a construtora.

Existem três opções de aplicações disponíveis de janeiro a agos-

to (meses 1 a 8), sendo que o dinheiro deverá sempre ser aplicado no

início de certos meses, conforme a opção escolhida. São estas as apli-

cações:

GLOSSÁRIO*Portifólio – nocontexto utilizado,representa a compo-sição de uma cartei-ra de investimentos.Fonte: elaboradopelos autores.

Aplicação

A

B

C

Disponível no

Inicio dos Meses

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

1, 3, 5, 7

1

Duração

1

2

8

Rendimento ao Final

do Período

1,5 %

3,5 %

10,5 %

Tabela 3: Dados do Problema de Mix de Investimentos


Módulo 7

73

As Variáveis de Decisão são as possibilidades de investimento,

segundo o tipo de aplicação e os respectivos meses disponíveis. Assim:

XA1

, XA2

, XA3

, XA4

, XA5

, XA6

, XA7

, XA8

: valores aplicados noinício de cada mês da construção na aplicação “A”.

XB1

, XB2

, XB3

, XB4

: valores aplicados no início de cadabimestre da construção na aplicação “B”, dado que esta apli-cação restringe o investimento a cada 2 meses.

XC1

: valores aplicados no início do primeiro mês da constru-ção na aplicação “C”.


2. Como exercício de fixação, monte matematicamente este proble-ma de mix de investimentos, desenvolvido acima, antes de resolver-mos, na sequência, este mesmo problema na planilha eletrônica.

74


O Problema de Mix de InvestimentosSolucionado na Planilha Eletrônica

Da mesma maneira que nos exemplos anteriores, vamos mostrar

como usar o Excel para solucionar o Problema de Mix de Investimen-

tos. Com relação aos exercícios até aqui estudados, a planilha que

vamos construir apresenta algumas modificações. Na verdade, pode-

ríamos manter exatamente o mesmo esquema já utilizado, mas para

fins didáticos, resolvemos mostrar uma outra opção de layout. Basi-

camente, devido ao fato do problema ser atrelado a um cronograma de

investimentos, toda a planilha será construída em torno da matriz, re-

lacionando as diversas aplicações aos meses previstos da construção

do prédio.

Veja na Figura 28 o aspecto geral que foi utilizado.

Figura 28: Planilha para resolução do problema de Mix de Investimentos.Fonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

75

Note que verticalmente, na coluna “C”, enumeramos todas as

diversas aplicações disponíveis. Na linha “4”, por outro lado, incluí-

mos os meses previstos no nosso problema. Na verdade, inserimos um

mês a mais no cronograma, porque consideramos que os pagamentos

previstos à construtora serão realizados nos primeiros dias do mês se-

guinte à conclusão das etapas da construção. Em outras palavras, os

valores que vamos digitar no quadro serão correspondentes àqueles

do início de cada mês enumerado. Perceba que isso está de acordo

com a formulação das Restrições do problema visto anteriormente.

Na coluna “M” ficarão as células relativas às Variáveis de Deci-

são (os valores aplicados em cada mês para cada tipo de aplicação) e,

especificamente na célula M2, a nossa Função-Objetivo.

O grande quadro representado pelo bloco que contém as células

de (D5 a L17) será reservado para a entrada dos coeficientes das fór-

mulas das Restrições.

Por sua vez, as Restrições propriamente ditas estão nesta planilha

nas linhas “21” e “23”. Respectivamente, na primeira ficarão as fór-

mulas do Lado Esquerdo (LE) das equações e na outra linha os valo-

res do Lado Direito (LD). Note que neste problema, o LE, o LD e os

sinais das Restrições estão dispostos em linha, diferentemente dos pro-

blemas vistos anteriormente. Isto em nada altera a sua resolução.

Estas são as regiões da planilha que serão utilizadas e nas quais

mantivemos o critério de escurecer as células que terão seus valores

modificados pelo Solver (M2, M5 a M17, e D21 a L21). Podemos

passar então ao preenchimento dos dados e fórmulas. Inicialmente, a

Função-Objetivo.

Lembre-se de que na Modelagem do problema resolvemos

minimizar o total a ser alocado para investimento na data inicial. As-

sim, em M2 devemos digitar:

=M5+M13+M17

que é a soma dos investimentos nas aplicações A1, B1 e C1, respecti-

vamente.

76


Somar Produto é um

recurso do Excel, você

pode obter auxílio no

menu de ajuda do

programa. Comente o

uso desta função com

seu tutor.

Atenção! Neste momento, estamos somando os resultados detodos os investimentos realizados desde o mês 1: A1, B1 eC1. A célula M5 retorna o total da aplicação A1 com seusrendimentos ao longo de todo o período. Da mesma forma,M13 retorna o valor da aplicação B1 e a célula M17, o totalaplicado em C1.

Em seguida, vamos preencher o quadro principal com os coefi-

cientes das Restrições. Coloque nas células (E5, F6, G7, H8, I9, J10,

K11 e L12) o valor de 1,015. Este valor representa o multiplicador

aplicado ao investimento de cada mês na aplicação do tipo “A” para

obter o valor do capital mais o rendimento de 1,5% do referido mês.

Da mesma forma, nas células (F13, H14, J15 e L16), entre com o

valor de 1,035; que será utilizado no cálculo para a aplicação do tipo

“B”. Finalmente, na célula L17 entre com o valor de 1,105 para o

cálculo referente à aplicação do tipo “C”.

Em seguida, entre com o valor “–1” nas células (D5, E6, F7,

G8, H9, I10, J11, K12, D13, F14, H15, J16 e D17). A razão destes

coeficientes negativos é simples: ela representa a saída de caixa. Veja

que da maneira como o Modelo foi criado, as equações das Restrições

apresentam uma subtração dos valores a serem investidos em cada mês.

Esses coeficientes permitem, assim, o cálculo destas subtrações.

O passo seguinte é a entrada das equações das Restrições nas

células (D21 a L21). Da maneira como foi construída a planilha, ela

permite que estas equações sejam calculadas de maneira bastante sim-

ples, pois correspondem às somas dos produtos do valor de cada apli-

cação (células M5 a M17) pelos respectivos coeficientes presentes na

coluna referente a cada mês (veja o esquema na Figura 29). Por exem-

plo, para a célula D21, devemos digitar:

=SOMARPRODUTO($M5:$M17;D5:D17).

Módulo 7

77

Para as outras células (E21 a L21):

E21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;E5:E17)

F21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;F5:F17)

G21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;G5:G17)

H21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;H5:H17)

I21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;I5:I17)

J21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;J5:J17)

K21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;K5:K17)

L21 → =SOMARPRODUTO($M5:$M17;L5:L17)

Finalmente, devemos fornecer os valores para o Lado Direito

das Restrições. No nosso caso, eles serão inseridos na linha “23”, re-

presentando os valores dos pagamentos a serem efetuados no início

do 3º, 6º e 9º meses. Assim:

F23 → =200

I23 → =300

L23 → =400

Figura 29: Esquema de entrada das equações das Restrições na planilhaFonte: elaborada pelos autores

78


Desta forma, tudo o que deveríamos digitar na planilha foi reali-

zado. Basta apenas entrarmos com os blocos de células no Solver do

Excel, como já fizemos nos outros exercícios. Na Figura 30 mostra-

mos o aspecto da janela para que você possa visualizar os dados a

serem inseridos. Mas lembre-se de selecionar na outra janela de op-

ções do Solver que o Modelo é linear e que as soluções deverão ser

sempre não-negativas.

Figura 30: Tela do Solver para o problema de Mix de InvestimentosFonte: elaborada pelos autores

Realizados os cálculos pelo Solver, obtemos a solução desejada.

Na Figura 31 você pode conferir os resultados que devem ter apareci-

do na sua planilha.

Figura 31: Planilha final com os cálculos do problema de Mix de Inves-

timentosFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

79

A análise da solução é bem simples. Para o pagamento das pres-

tações à construtora, a empresa Productoring Ltda precisará dispor de

R$ 817.730,00 no primeiro mês (que é o mínimo possível a ser alocado

no primeiro mês), que deverão ser aplicados na Aplicação “B”. As

outras aplicações ao longo do tempo seriam:

R$ 646.350,00 no terceiro mês (aplicação “B”)

R$ 295.570,00 e R$ 373.400,00 no quinto mês (aplicações“A” e “B” respectivamente)

R$ 386.470,00 no sétimo mês (aplicação “B”)

Problema Sugerido de Mix de Mídias

Outra aplicação típica de Problema de Mix é o planejamento da

composição de mídias a ser empregada em uma campanha publicitária

na área de marketing.

80


RESUMO

Nesta Unidade, estudamos os denominados Problemas de

Mistura, ou seja, situações em que o Administrador pode deter-

minar a melhor composição de ingredientes, respeitando as

Restrições acerca da disponibilidade destes e otimizando o seu

objetivo final.

Em seguida, vimos um problema real que chamamos de

Problema da Dieta. Você seguiu os passos da Modelagem deste

problema, com a construção da planilha representando o Mo-

delo matemático para a sua solução, e, a sequência de comandos

para a obtenção da Solução Ótima na ferramenta Solver do Excel.

Como outra aplicação, sugerimos a você outro problema,

o da Composição de Tintas. Repare que é a mesma situação do

Problema da Dieta, mas com outras Restrições e outra Função-

Objetivo. Da mesma forma, apresentamos um terceiro exem-

plo, o Mix de Investimentos. Você pôde então perceber que ba-

sicamente, problemas deste tipo são sempre modelados da mes-

ma maneira. Assim, concluímos que guardando apenas as pe-

culiaridades de cada situação, buscaremos sempre otimizar a

composição a partir dos ingredientes da mistura.

Finalmente, ao longo da Unidade, vários exercícios foram

propostos para que você pudesse aplicar melhor o conteúdo.

Módulo 7

81

Atividade de aprendizagem

3. Leia o exemplo a seguir e monte um Modelo para a solução doproblema proposto.

Para facilitar, apresentamos depois da exposição textual, o proble-ma com as equações em sua Forma Canônica e o aspecto geral deexemplo da planilha com os resultados finais.

Considere que uma empresa do ramo automobilístico está interes-sada em avaliar algumas alternativas de investimento em mídia im-pressa, com o intuito de fixar sua marca perante o público consumi-dor. Algumas revistas e jornais foram pré-selecionados para fazerparte do Mix de Mídias devido à sua presença no mercado. O de-partamento de marketing da empresa estabeleceu ainda como con-dição desejável, que haja um número mínimo de exposições doanúncio conforme a classe social do público alvo. O que pergunta-mos é: qual o investimento mínimo que a empresa deve fazer paraatingir o número mínimo de leitores estabelecidos pelo departamentode marketing? Os dados – número de exposições para cada real(R$) gasto no veículo – os diversos veículos de comunicação estãona Tabela 4 a seguir.

MÍDIA

Jornal da Nação

Diário do País

Revista Olhar

Revista Hoje

Revista AutoFan

Exposição Mínima

A

6

4

2

3

7

15

CLASSE SOCIAL

B

6

4

2

3

7

15

C

11

13

3

6

1

20

D

2

3

2

2

0

5


Tabela 4: Dados do Problema de Mix de Mídias

82


Variáveis de Decisão a serem consideradas:

XJN

, XJP

, XRO

, XRH

, XRA

: valores em reais (R$) investidosnas mídias: Jornal da Nação (JN), Diário do País (JP), Re-vista Olhar (RO), Revista Hoje (RH) e Revista AutoFan(RA).

Função-Objetivo:

Minimizar: XJN

+ XJP

+ XRO

+ XRH

+ XRA

Restrições: 6 XJN

+ 4 XJP

+ 2 XRO

+ 3 XRH

+ 9 XRA

≥ 15

13 XJN

+ 19 XJP

+ 18 XRO

+ 11 XRH

+ 7 XRA

≥ 35

11 XJN

+ 17 XJP

+ 3 XRO

+ 6 XRH

+ 1 XRA

≥ 20

2 XJN

+ 3 XJP

+ 2 XRO

+ 2 XRH

≥ 5

XJN

≥ 0 ; XJP

≥ 0 ; XRO

≥ 0 ; XRH

≥ 0 ; XRA

≥ 0

A Figura 32 mostra uma sugestão do aspecto da planilha e os resul-tados encontrados pelo Solver do Excel.

Figura 32: Planilha para resolução do Problema de Mix de MídiasFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

83

Problemas de CapacidadeProblemas de Capacidade

UNIDADE

3

84


Objetivo

Aqui, na Unidade 3, trataremos dos Problemas de Capacidade. De forma

simplificada, apresentaremos a seguir problemas em que temos que tomar

decisões de otimização considerando fluxos e suas limitações: as

Restrições de Capacidade. Novamente abordaremos algumas aplicações e

demonstraremos as suas respectivas Modelagens. Algumas atividades

serão sugeridas ao longo do texto aguardando por sua análise.

Módulo 7

85

Produção de Laticínios

Diferenciando-se das demais aplicações vistas até o momento

neste material, apresentamos aqui os Problemas de Capacidade. As

Modelagens são exemplificadas a partir de uma situação clássica para

o Administrador: unidades de produção consomem e/ou fornecem

insumos caracterizando um fluxo de materiais com quantidades e cus-

tos ou valores definidos.

Vejamos a seguir o exemplo de produção de leite em pó e queijo

em uma indústria de laticínios.

Vamos imaginar que uma indústria de laticínios produza leite

em pó e queijo, num processo como o demonstrado na figura a seguir.

O laticínio recebe, de fornecedores externos, 10.000 litros por dia de

leite cru. A produção de cada quilo de leite em pó requer 5 litros de

leite fresco. Para o queijo, são necessários 10 litros de leite in natura

para cada quilo produzido. Por questões relacionadas à capacidade de

alguns dispositivos de produção, a quantidade de leite cru processada

na fabricação de leite em pó não pode ser maior do que 6000 litros por

dia e, pelo mesmo motivo, a de queijo não pode ultrapassar o valor de

7500 litros. Em termos de preço de venda, o leite em pó é vendido a

R$ 20,00 kg e o queijo, a R$ 15,00 kg. Perguntamos: qual a receita

máxima que pode ser obtida pelo laticínio?

Figura 33: Esquema do Problema de Produção de LaticíniosFonte: elaborada pelos autores

86


Em termos de formulação matemática, as Restrições tomam a

forma das seguintes inequações:

x1 – x2 – x3 = 0: identifica que todo leite cru recebido (x1) ou

é destinado à fabricação de leite em pó (x2) ou destinado à

fabricação de queijo (x3). Assim, x

1 = x

2 + x

3

x3 – 10x5 = 0: para cada quilo de queijo (x5) produzido são

necessários 10 litros de leite pasteurizado (x3). Então, entrando

com 10 litros de leite pasteurizado (x3=10), temos 1 quilo de

queijo (x5=1). Para que a igualdade se satisfaça é necessário

x3 = 10 x5.

x2 – 5x4 = 0: idem para a produção de leite em pó.

5x4 + 10x

5 – x

1 = 0: como x

1 = x

2 + x

3, e x

3 = 10 x

5 e x

2 = 5x

4,

substituindo na primeira Restrição, obtemos este resultado.

As outras Restrições são de Capacidade e não-negatividade:

x2 ≤ 6000

x3 ≤ 7500

x4 ≥ 0

x5 ≥ 0

x1 = 10000

Assim, de maneira simplificada, escrevemos:

x1 – x

2 – x

3 = 0

5 x4 + 10 x

5 – x

1 = 0

x3 – 10 x

5 = 0

x2 – 5 x

4 = 0

x2 ≤ 6000

x3 ≤ 7500

x4 ≥ 0

x5 ≥ 0

x1 = 10000

Módulo 7

87

A Função-Objetivo, nesse problema, é representada pela quan-

tidade de cada produto (leite em pó e queijo) multiplicada pelo seu

valor de venda. Assim:

z = 20 x4 + 15 x

5

Resumindo, a Forma Canônica do novo problema é descrita

como:

Encontrar: z, x4 , x

5


5

Restrito a: x1 – x

2 – x

3 = 0

5x4 + 10x

5 – x

1 = 0

x2 – 5 x

4 = 0

x3 – 10 x

5 = 0

x1 = 10000

x2 ≤ 6000

x3 ≤ 7500

x4 ≥ 0

x5 ≥ 0

88


Solucionando o Problema deProdução de Laticínios com o

Uso da Planilha Eletrônica

Com as fórmulas descritas anteriormente, podemos construir nossa

planilha eletrônica. A Figura 34 mostra um exemplo de como ela pode

ser elaborada.

Figura 34: Planilha para resolução do Problema de Produção de LaticíniosFonte: elaborada pelos autores

O aspecto geral da planilha continua parecido com os dos pro-

blemas vistos nos capítulos anteriores. A célula D2 permanece como a

escolhida para conter a Função-Objetivo do problema. Os dados co-

nhecidos do problema, neste caso, os preços de venda dos dois produ-

tos (leite em pó e queijo), são inseridos nas células D6 e D7.

Para as Variáveis de Decisão (x1, x

2, x

3, x

4 e x

5) foram reserva-

das, respectivamente, as células do bloco que vai de (D10 a D14). Os

coeficientes das Restrições ficam no bloco que vai de E10 (limite su-

perior esquerdo) a K14 (limite inferior direito). O lado esquerdo das

Restrições, na linha “16”, entre as células (E16 a K16) e, o lado direi-

Módulo 7

89

to das Restrições, de (E18 a K18). Veja abaixo os conteúdos (valores

e fórmulas) que devem ser digitados nas principais células:

D2 → =(D6*D13)+(D7*D14)

D6 → 20

D7 → 15

D10 a D14 → 0

E16 → =(E10*$D$10) + (E11*$D$11) + (E12*$D$12) +(E13*$D$13) + (E14*$D$14)

F16 → =(F10*$D$10) + (F11*$D$11) + (F12*$D$12) +(F13*$D$13) + (F14*$D$14)

G16 → =(G10*$D$10) + (G11*$D$11) + (G12*$D$12) +(G13*$D$13) + (G14*$D$14)

H16 → =(H10*$D$10) + (H11*$D$11) + (H12*$D$12) +(H13*$D$13) + (H14*$D$14)

I16 → =(I10*$D$10) + (I11*$D$11) + (I12*$D$12) +(I13*$D$13) + (I14*$D$14)

J16 → =(J10*$D$10) + (J11*$D$11) + (J12*$D$12) +(J13*$D$13) + (J14*$D$14)

K16 → =(K10*$D$10) + (K11*$D$11) + (K12*$D$12) +(K13*$D$13) + (K14*$D$14)

E18 → 0

F18 → 0

G18 → 0

H18 → 0

I18 → 10000

J18 → 6000

K18 → 7500

O espaço reservado para os coeficientes segue a lógica de cada

Restrição. Vejamos o exemplo da figura a seguir. Para a segunda Res-

trição, usamos a segunda coluna não hachurada. Veja que a primeira

90


linha na Figura 35 está associada à variável x1. Assim, seu coeficiente

é “–1”. O mesmo é feito com as outras variáveis.

Em seguida ao preenchimento das células da planilha, você pode

passar à entrada de dados no Solver do Excel. Não há diferenças em

relação aos exercícios que você já solucionou nos capítulos I e II. Veja

na Figura 36 o aspecto da tela de entrada de dados do Solver:

Figura 35: Esquema de entrada das Restrições do Problema de Produ-

ção de LaticíniosFonte: elaborada pelos autores

Figura 36: Tela do Solver para o Problema de Produção de LaticíniosFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

91

Tome cuidado para não confundir o tipo de otimização deseja-

da. Nesse caso, maximizar a solução. Assim, selecione a opção cor-

respondente. Outra consideração importante é que temos dois tipos de

Restrições neste problema. As quatro Restrições mais à esquerda são

equações de igualdade e as outras três mais à direita são inequações

do tipo “≤”. Desta forma, duas linhas distintas de Restrições têm de

ser inseridas no espaço correspondente da tela de Parâmetros.

Isso é tudo o que é necessário para podermos calcular a Solução

Ótima. Clique no botão resolver e o Excel calculará para você os re-

sultados. Aceite-os e retorne para a planilha. Veja na Figura 37 o as-

pecto final da mesma, após a execução do Solver:

Figura 37: Planilha final resolvida para o Problema de Produção de

LaticíniosFonte: elaborada pelos autores

Os valores resultantes são fáceis de serem percebidos. A receita

máxima que pode ser obtida segundo as Restrições utilizadas é de

R$ 30.000,00. Isto corresponde a uma produção diária de 1200 kg de

leite em pó e 400 kg de queijo.

92


Análises mais sofisti-

cadas realizam o

aumento gradativo de

uma variável através

da simulação. O valor

é aumentado

gradativamente em um

número de iterações

pré-determinado.

Observa-se então o

resultado frente a esta

variação.

Vale a pena observar que pelos resultados podemos determinar

qual setor do laticínio está mais sobrecarregado: o da produção de

leite em pó. Veja na célula J16 que o valor de x2 (capacidade máxima

de leite cru que pode ser processada) se encontra no limite. Isto pode

ser explicado, em parte, pelo maior valor de venda deste produto, que

cria uma tendência de privilegiar sua produção.

Atividade de aprendizagem: problema sugerido

4. Na resolução do problema anterior, você verificou que o proces-so de produção de leite em pó é o que está sendo utilizado com suacapacidade máxima. Perguntamos: qual o preço do quilograma dequeijo que faria o balanceamento da produção pender para a utili-zação máxima do processo de fabricação de queijo? E qual seria areceita obtida nesta situação?

Resolução

Aumentando gradativamente o valor do kg de queijo na célula D7e recalculando, a cada nova inserção, a otimização com o Solver.Observe os quantitativos processados nas células J16 e K16. Quan-do o conteúdo destas células se modificar, você terá encontrado asolução.

5. Ainda considerando o mesmo problema , o que aconteceria se opreço de venda do quilograma de leite em pó baixasse de R$ 20,00para R$ 10,00 o kg, e o de queijo permanecesse em R$ 15,00 o kg?Haveria alguma modificação na estratégia de produção dos doisitens?

Módulo 7

93

Problema de Produção de Vidros

A empresa BestGlass S.A. tem capacidade para produzir três

tipos de vidros planos. Um primeiro tipo comum de superfície lisa, um

segundo tipo comum de superfície texturizada e, um terceiro tipo,

temperado e de superfície lisa. Veja na Figura 38 o fluxo de produção da

empresa, com os processos envolvidos na fabricação dos diversos vidros.

Figura 38: Fluxo de produção da empresa BestGlassFonte: elaborada pelos autores

Cada um dos processos possui uma determinada capacidade,

conforme discriminado a seguir:

mistura para produção de liso: 50 toneladas/mês

mistura para produção de texturado: 60 toneladas/mês

liso para vidro comum: 50 toneladas/mês

liso para vidro temperado: 70 toneladas/mês

textura: 45 toneladas/mês

têmpera: 35 toneladas/mês

Os preços de venda são R$ 5.000,00 por tonelada para os vidros

comuns e R$ 7.200,00 por tonelada para o vidro temperado. Pergun-

tamos: qual a receita máxima que pode ser obtida com a venda dos

três tipos de vidro?

A Modelagem do problema é semelhante a do exemplo anterior.

Repare, entretanto, que considerando que não há perdas no fluxo pro-

94


Discuta essa questão

com seu tutor.

dutivo, o quantitativo total deve permanecer constante. Desta for-

ma, as Restrições associadas ao fluxo são modeladas como igualdades.

x1 – x

2 – x

3 = 0 → mistura

x5 + x

6 + x

7 – x

1 = 0 → ton. produzidas = ton. insumos

x2 – x

5 – x

4 = 0 → liso

x4 – x

7 = 0 → temperado

x3 – x

6 = 0 → texturado

x2 ≤ 50

x3 ≤ 60

x4 ≤ 70

x5 ≤ 50

x6 ≤ 45

x7 ≤ 35

A Função-Objetivo, por sua vez, é maximizar a receita total da

empresa. Repare que os preços de venda dos dois tipos de vidro são

diferentes. O vidro comum (x5 quando liso e x

6 quando texturado) é

multiplicado por 5000, que é seu preço de venda. Por sua vez, o vidro

temperado (x7) é multiplicado por 7200:

z = 5000 (x5 + x

6) + 7200 x

7

Módulo 7

95

Solucionando o Problema de Produçãode Vidros com o uso do Excel

O aspecto da planilha que você deve elaborar para o Problema da

Produção de Vidros é idêntico ao do problema de Produção de Laticíni-

os. Na realidade, as únicas modificações em relação à outra planilha é o

acréscimo de mais duas Variáveis de Decisão (x6 e x

7) e mais quatro

Restrições. Além, é claro, das modificações nas fórmulas e valores con-

tidos nas células. Desta forma, você pode iniciar a construção da nova

planilha aproveitando e modificando a do exercício anterior.

Comece por inserir duas linhas em branco entre o bloco reserva-

do para os coeficientes e o bloco das Restrições na planilha de produ-

ção de laticínios, conforme pode ser visto na Figura 39. Isto abrirá

espaço para as novas Variáveis de Decisão. Depois, copie toda a linha

“13” e “14” e cole nas linhas “15” e “16”. Modifique o conteúdo das

células C15 e C16 para x6 e x7, e pronto!

Figura 39: Inserindo linhas na planilhaFonte: elaborada pelos autores

96


O próximo passo é copiar o bloco que vai de (H10 a K20) para

(L10 a O20). Isto criará a região para as quatro novas Restrições.

Agora salve este arquivo com o nome de vidros.xls. Para isso,

use a função “Salvar Como” do Excel.

Vejamos agora em detalhes as outras modificações que deverão

ser realizadas na planilha.

A célula D2, como sempre, vai conter a Função-Objetivo do

problema. Neste caso, os preços de venda por tonelada dos vidros

comum e temperado (células D6 e D7) multiplicados pelos quantitati-

vos de cada um deles, (células D14 + D15) para os vidros comuns e

D16 para o vidro temperado. Assim, insira em D2:

=(D6*(D14+D15))+(D7*D16)

As Variáveis de Decisão (x1 a x7) estão nas células (D10 a D16).

Inicialmente, como de costume, insira o valor zero. Como você já sabe,

estas células terão seus valores modificados pelo Solver do Excel.

Modifique o conteúdo de D6 e D7 para conter os valores 5000,00 e

7200,00 respectivamente.

Figura 40: Copiando um bloco de células na planilhaFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

97

Os coeficientes das Restrições ficam no bloco que vai de E10

(limite superior esquerdo) a O16 (limite inferior direito). Insira, para

cada Restrição, os novos coeficientes. Note que para este problema

todos são valores “1” ou “–1”.

Novamente, como no exemplo do problema da produção de la-

ticínios, o lado esquerdo das Restrições estará contido agora na linha

“18”, entre as células (E18 a O18), e o lado direito das Restrições na

linha “20”, de (E20 a O20). Os conteúdos (valores e fórmulas) que

deverão ser digitados nestas duas linhas são praticamente os mesmos

do exercício anterior. Apenas se acrescentarão às fórmulas os cálculos

referentes às novas Variáveis de Decisão. Veja por exemplo a fórmula

para a primeira Restrição, que será digitada na célula E18:

E18 → =(E10*$D$10) + (E11*$D$11) + (E12*$D$12) +

(E13*$D$13) + (E14*$D$14) + (E15*$D$15) + (E16*$D$16)

O trecho em negrito acima especifica o que existe de diferente

entre a nova fórmula e a fórmula correspondente do Problema de La-

ticínio. Para todas as outras Restrições, a modificação é semelhante.

Assim, copiando a equação e colando nas células (F18 a O18), obte-

mos:

F18 → =(F10*$D$10) + (F11*$D$11) + (F12*$D$12) +(F13*$D$13) + (F14*$D$14) + (F15*$D$15) +(F16*$D$16)

O18 → =(O10*$D$10) + (O11*$D$11) + (O12*$D$12) +(O13*$D$13) + (O14*$D$14) + (O15*$D$15) +(O16*$D$16)

Finalmente, para o lado direito das Restrições, entre com os va-

lores correspondentes nas células (E20 a O20):

0; 0; 0; 0; 0; 50; 60; 70; 50; 45; 35;

Modifique ainda o sinal de cada uma das Restrições, de acordo

com as fórmulas do problema. Veja agora na Figura 41 o aspecto da

98


planilha finalizada. Não é exatamente igual a do exercício anterior?

Apenas acrescida de mais duas Variáveis de Decisão e mais quatro

Restrições?

Figura 41: A planilha para resolução do Problema de Produção de

VidrosFonte: elaborada pelos autores

Neste ponto você já pode passar à entrada de dados no Solver do

Excel. É tudo exatamente igual ao da planilha dos laticínios que deu

origem a esta nova. Assim, basta modificar as regiões de Células Vari-

áveis e das Restrições e executar os cálculos. Veja na Figura 42 a tela

de Parâmetros do Solver. Clique no botão Resolver e o Excel calcula-

rá os resultados.

Figura 42: Tela do Solver para o Problema de Produção de VidrosFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

99

Se você seguiu todos os passos corretamente, sua planilha deve-

rá estar idêntica a da Figura 43 a seguir. A Solução Ótima indica que a

receita máxima que pode ser obtida é de R$ 552.000,00. Veja na

planilha que o Total Ótimo de produção de cada tipo de vidro está

apresentado nas células das Variáveis de Decisão:

X5 ⇒ vidro liso comum ⇒ célula D14 = 15 toneladas

X6 ⇒ vidro texturado comum ⇒ célula D15 = 45 toneladas

X7 ⇒ vidro temperado ⇒ célula D16 = 35 toneladas

Figura 43: A planilha resolvida para o Problema de Produção de VidrosFonte: elaborada pelos autores

100


RESUMO

Nesta Unidade, estudamos os chamados Problemas de

Capacidade. Este tipo de problema trata de situações em que

temos que tomar decisões de otimização considerando fluxos

e suas limitações: as Restrições de Capacidade.

Iniciamos os exemplos com um caso de produção de la-

ticínios. Modelamos uma situação clássica para o Administra-

dor: unidades de produção que consomem e/ou fornecem

insumos caracterizando um fluxo de materiais com quantida-

des e custos ou valores definidos. Novamente enfatizamos as

aplicações práticas e suas resoluções através de planilhas ele-

trônicas. Assim, repetindo a metodologia anterior, seguimos

os passos da Modelagem do problema, a construção da

planilha e a sequência de comandos para a obtenção da Solu-

ção Ótima no Solver.

Como segunda aplicação nesta Unidade, sugerimos para

estudo outro problema, o da produção de vidros. Mais uma

vez, todas as etapas foram bastante similares, no seu aspecto

geral, precisando apenas que você ficasse atento às particula-

ridades de cada situação.

Não se esquecendo do valor da prática no aprendizado,

propusemos novamente outras atividades, que esperamos te-

nham lhe rendido boas horas de estudo.


6. Considerando o Problema de Produção de Vidro estudado ante-riormente inverta os valores dos custos por tonelada do vidro co-mum e do vidro temperado, monte matematicamente o problema erecalcule na planilha eletrônica a nova formulação.

Módulo 7

101

Problemas de TransportesProblemas de Transportes

UNIDADE

4

102


Objetivo

Nesta Unidade, vamos conhecer os Problemas de Transporte. O nome

desta classe de problemas deve sua origem à utilização da Pesquisa

Operacional para encontrar o menor custo de transporte na distribuição

de cargas entre centros produtores e consumidores. Seguindo a

orientação adotada neste material, convidamos você a estudar aplicações

e Modelagens e exercitar sua análise nas atividades.

Módulo 7

103

Problemas de Transporte

Um típico Problema de Transporte trata do transporte de alguma

carga – um produto, um material ou insumo, por exemplo – de diver-

sas fontes até um conjunto de destinos, procurando minimizar custo

ou maximizar lucro ou receita, respeitando as capacidades de forneci-

mento das fontes e de absorção dos destinos.

Exemplificando, este é o problema de uma empresa que conta

com certo número de fábricas espalhadas em um território – cada qual

com uma determinada capacidade de produção – e precisa satisfazer a

demanda de diversos centros de consumo - com necessidades de quan-

tidades específicas – buscando o menor custo para transportar seus

produtos e bem atender seus clientes.

Apesar desta origem, diversas outras situações podem ser

otimizadas como aplicações do Problema de Transporte, como por

exemplo, cronogramas de produção.

Os Problemas de Transporte pertencem a uma, por assim dizer,

classe de aplicações da Pesquisa Operacional denominada Problemas

de Rede. A sua Modelagem é facilitada com o uso de diagramas de

nós ligados por um conjunto de arcos. E, devido também as suas

especificações, é possível aperfeiçoar o Simplex para a sua resolução.

Saiba mais... Saiba mais sobre a utilização do método Simplex em Problemas

de Transporte lendo o capítulo 8 do livro de Hillier e Lieberman

(2006), citado nas Referências Bibliográficas, ao final deste material.

Uma das premissas que adotamos inicialmente nesta etapa é que

o problema deve estar balanceado. Isto quer dizer que a soma da capa-

cidade de fornecimento (oferta total) é igual a soma da necessidade ou

demanda de consumo (demanda total) – em outras palavras, tudo que

104


é ofertado é consumido; não há sobras de fornecimento e nem deman-

da de consumidor sem ser atendida. Ok?

Para fixar, chamamos esta situação de Problema de Transporte

Balanceado.

Antes de seguir sua leitura, pense: o que aconteceria se isso não

fosse satisfeito?

Pois é, caso isso não seja satisfeito, uma das duas situações po-

dem ocorrer:

Oferta maior do que a Demanda, e neste caso ou há forma-ção de estoques ou capacidade ociosa nas fábricas.

Demanda maior do que a Oferta, ocasionando Demanda nãoatendida e insatisfação de consumo.

Reflita sobre estas duas situações. Quais os impactos gerenciais

que podem ser gerados por cada uma delas?

Caso o problema não seja balanceado, devemos resolver o pro-

blema tratando as Restrições como inequações. O que sobrar na Res-

trição, representará o desbalanceamento entre oferta e demanda. Ou-

tra maneira de solucionar o problema seria criar uma origem ou desti-

no fictício para fornecer/absorver o excesso a um custo zero e balan-

cear o problema. Neste material, pelo suporte computacional adotado,

optamos pela primeira abordagem.

Módulo 7

105

Problema de Escoamentoda Produção #1

Vamos começar com um exemplo bem simples de Problema de

Transporte.

A indústria Pés Felizes Ltda possui 3 unidades de produção de

calçados e 2 lojas para a venda dos produtos. A primeira fábrica apre-

senta um estoque de 2000 unidades, a segunda de 3000 unidades e a

terceira de 2500 unidades. Para o próximo mês, as lojas estão preven-

do uma demanda de 3000 e 3500 pares respectivamente. Os custos de

transporte de 100 pares de calçados das fábricas para cada uma das

lojas são calculados conforme a tabela 5 a seguir. Não há problema

em permanecer certa quantidade de estoque nas fábricas, mas a deman-

da tem de ser atendida. O interesse da empresa é escoar sua produção

minimizando ao máximo os custos de transporte envolvidos. Pergunta-

mos: qual fábrica deve atender qual loja e em quais quantidades?

Para montar nosso Modelo, vamos denominar os escoamentos

da produção como xmn

, “m” como o local de produção e “n” como a

loja que apresenta a demanda. Em termos de Restrições, temos que:

Unidade Produtiva

Fábrica A

Fábrica B

Fábrica C

Loja 1

15

10

12

3000

Custo do transporte ( R$ / 100 pares )

Loja 2

10

12

18

3500

Estoque

2000

3000

2500

Demanda da Loja


Tabela 5: Dados do Problema de Escoamento da Produção

106


toda demanda deve ser atendida e que os envios não podem ultrapas-

sar os estoques disponíveis.

Assim, comecemos pela soma dos envios de cada fábrica “m”

para cada loja “n”:

xA1

+ xB1

+ xC1

= 3000

xA2

+ xB2

+ xC2

= 3500

Em seguida, vamos considerar os estoques. A soma dos envios

de cada fábrica para as lojas está limitada. Assim:

xA1

+ xA2

≤ 2000

xB1

+ xB2

≤ 3000

xC1

+ xC2

≤ 2500

E, como sempre, existem as Restrições de não-negatividade, que

sintetizamos na forma:

xA1

; xA2

; xB1

; xB2

; xC1

; xC2

≥ 0

Quanto à Função-Objetivo em um Problema de Transporte, ela

é construída levando-se em conta o custo total associado à distribui-

ção. Para isso, consideramos o custo individual para cada par fábrica/

loja multiplicado pela quantidade enviada. Veja que dividimos os va-

lores constantes da tabela por 100, pois os custos de envio são dados

para lotes desta quantidade. Em termos matemáticos:

z = 0,15 xA1

+ 0,10 xA2

+ 0,10 xB1

+ 0,12 xB2

+ 0,12 xC1

+ 0,18 xC2

Módulo 7

107

A resolução do Problemade Transporte através de

Planilha Eletrônica

Determinadas todas as fórmulas, podemos construir nossa

planilha eletrônica. Veja na Figura 44 uma sugestão de como ela pode

ser elaborada.

Figura 44: Planilha para resolução do Problema de TransporteFonte: elaborada pelos autores

Neste ponto do curso você já deve estar habituado ao aspecto

geral das planilhas que foram construídas para a solução dos proble-

mas. A planilha que devemos elaborar para o Problema de Transporte

não é muito diferente das demais. Mantenha a célula D2 para conter a

Função-Objetivo do problema. Os dados conhecidos do problema, neste

caso os custos individuais de transporte entre as fábricas e os mercados

consumidores, são inseridos nas células do bloco que vai de (D5 a E7).

Para as Variáveis de Decisão reservamos as células do bloco que

vai de (D10 a E12). Os coeficientes das Restrições, neste problema,

108


são iguais a unidade e, portanto não é preciso reservar células para

contê-los. O lado esquerdo das Restrições foi imaginado na coluna

“D”, entre as linhas “16” e “20”, e o lado direito das Restrições, na

coluna “F”, de (F16 a F20). Veja abaixo os conteúdos (valores e fór-

mulas) que deverão ser digitados nas principais células:

D2 → =(D5*D10)+(D6*D11)+(D7*D12)+(E5*E10)+(E6*E11)+(E7*E12)

D5 → 0,15

D6 → 0,10

D7 → 0,12

E5 → 0,10

E6 → 0,12

E7 → 0,18

D16 → =SOMA(D10:D12)

D17 → =SOMA(E10:E12)

D18 → =SOMA(D10:E10)

D19 → =SOMA(D11:E11)

D20 → =SOMA(D12:E12)

F16 → 3000

F17 → 3500

F18 → 2000

F19 → 3000

F20 → 2500

Em seguida ao preenchimento das células da planilha, você pode

passar à entrada de dados no Solver do Excel. Não há diferenças com

relação aos exercícios que você já solucionou em outros capítulos.

Veja na Figura 45 o aspecto da tela de entrada de dados do Solver:

Módulo 7

109

Lembre-se de escolher o tipo de otimização desejada. Nesse caso,

minimizar a solução. Seguindo a mesma abordagem dos capítulos an-

teriores, entre também com os dois tipos de Restrições: igualdade e

menor ou igual.

Estando concluída a nossa planilha, clique então no botão resol-

ver para calcular a Solução Ótima. Veja na Figura 46 a seguir o aspec-

to final da planilha após a execução do Solver:

Figura 45: Tela do Solver para o Problema de TransporteFonte: elaborada pelos autores

Figura 46: Planilha com a solução calculada para o Problema de TransporteFonte: elaborada pelos autores

O resultado mostra que o menor custo de transporte, igual a R$

710,00, é obtido com o envio de 2000 pares de sapatos da fábrica “A”

para a loja 2; 1500 pares da fábrica “C” para a loja 1; e o estoque da

fábrica “B” dividido igualmente entre as duas lojas, com o envio de

1500 pares para cada uma.

110


Problema de Escoamentode Produção #2

O seguinte problema é muito parecido com o anterior, mas ago-

ra vamos acrescentar o fato de que não pode permanecer estoque nas

unidades de produção. Digamos, portanto, que o interesse da empresa

seja escoar toda a sua produção minimizando ao máximo os custos de

transporte envolvidos.

Imagine uma indústria que possua 3 unidades produtivas e que

atenda a 5 mercados diferentes, produzindo um produto que é caracte-

rizado por seu volume em m³. Para realizar os cálculos envolvidos, as

quantidades produzidas e os custos de transporte entre cada unidade

de produção e cada mercado, podem ser vistos na Tabela 6. Já os vo-

lumes consumidos pelos mercados estão mostrados na Tabela 7. Per-

guntamos: considerando esses valores tabelados, qual o menor valor

do custo de transporte possível de ser obtido?


Tabela 6: Quantidades produzidas e custos de transporte no Problema

de Escoamento de Produção # 2

Unidade

Produtiva

Fábrica A

Fábrica B

Fábrica C

Mercado 1

50

60

100

Mercado Consumidor (Custo em R$ /m³)Produção em

m³ x 1000

770

960

190

Mercado 2

75

85

135

Mercado 3

145

150

115

Mercado 4

280

285

300

Mercado 5

265

270

285

Módulo 7

111

Da mesma forma que no exercício anterior, vamos denominar os

escoamentos da produção como xmn

, “m” como o local de produção e

“n” como o mercado consumidor. Agora, em termos de Restrições,

podemos dividi-las em dois grupos distintos:

Toda a produção deve ser escoada.

Toda demanda deve ser atendida.

Vejamos as equações das Restrições do primeiro grupo. Come-

cemos pela fábrica “A”: a sua produção total de 770 mil m³, deve ser a

soma dos escoamentos desta unidade produtiva para os diversos mer-

cados consumidores. Assim,

xA1

+ xA2

+ xA3

+ xA4

+ xA5

= 770

Da mesma forma, para as fábricas “B” e “C”:

xB1

+ xB2

+ xB3

+ xB4

+ xB5

= 960

xC1

+ xC2

+ xC3

+ xC4

+ xC5

= 190

Passemos então para as Restrições do segundo grupo. Aqui, a

preocupação é atender as demandas dos cinco mercados. Assim, cada

Restrição será a soma dos escoamentos de cada fábrica “m” para cada

cidade “n”:

xA1

+ xB1

+ xC1

= 20

xA2

+ xB2

+ xC2

= 10

xA3

+ xB3

+ xC3

= 1200

Tabela 7: Volumes consumidos pelos mercados no Problema de Escoa-

mento de Produção # 2


Escoamento

em milhares de m³

Mercado 1

20

Mercado ConsumidorTotal

1845

Mercado 2

10

Mercado 3

1200

Mercado 4

150

Mercado 5

65

112


xA4

+ xB4

+ xC4

= 150

xA5

+ xB5

+ xC5

= 65

Finalmente, não podemos nos esquecer das Restrições de não-

negatividade, que sintetizamos na forma:

xA1

; xA2

; xA3

; xA4

; xA5

; xB1

; xB2

; xB3

; xB4

; xB5

; xC1

; xC2

; xC3

; xC4

; xC5

≥ 0

A Função-Objetivo, mais uma vez, é construída levando-se em

conta o custo total associado à distribuição; considerando o custo in-

dividual para cada par fábrica/mercado multiplicado pela quantidade

escoada. Em termos matemáticos:

z = 50 xA1 + 75 xA2 + 145 xA3 + 280 xA4 + 265 xA5 +

60 xB1 + 85 xB2 + 150 xB3 + 285 xB4 + 270 xB5 +

100 xC1 + 135 xC2 + 115 xC3 + 300 xC4 + 285 xC5

Resumindo, a Forma Canônica do novo problema é descrita

como:

Encontrar: z, xA1, xA2, xA3, xA4, xA5, xB1, xB2, xB3,xB4, xB5, xC1, xC2, xC3, xC4, xC5

Restrito a: xA1 + xA2 + xA3 + xA4 + xA5 = 770

Maximizar: z = 50 xA1 + 75 xA2 + 145 xA3 + 280 xA4 +265 xA5 +

60 xB1 + 85 xB2 + 150 xB3 + 285 xB4 + 270 xB5 +

100 xC1 + 135 xC2 + 115 xC3 + 300 xC4 + 285 xC5

xB1 + xB2 + xB3 + xB4 + xB5 = 960

xC1 + xC2 + xC3 + xC4 + xC5 = 190

xA1 + xB1 + xC1 = 20

xA2 + xB2 + xC2 = 10

xA3 + xB3 + xC3 = 1200

xA4 + xB4 + xC4 = 150

xA5 + xB5 + xC5 = 65

xmn ? 0

para m {A, B, C} e n {1, 2, 3, 4, 5}

Módulo 7

113

Solucionando o Problema deTransporte com o uso do Excel

Com as fórmulas descritas acima, podemos construir nossa

planilha eletrônica. Veja na Figura 47, que ela é praticamente igual a

do problema da fábrica de calçados Pés Felizes Ltda.

Figura 47: Planilha para resolução do Problema de Escoamento de

ProduçãoFonte: elaborada pelos autores

A célula D2, como sempre, contém a Função-Objetivo do pro-

blema. Os dados do problema são inseridos nas células do bloco que

vai de (D5 a H7). Para as Variáveis de Decisão utilizaremos as células

do bloco que vai de (D10 a H12). Para o lado esquerdo das Restrições

foi reservada a coluna “D”, entre as linhas “16” e “23” e, para o lado

direito das Restrições, a coluna “F”, de (F16 a F23). Em seguida, de-

verão ser digitados os seguintes valores e fórmulas nas células:

D2 → = (D5*D10)+(E5*E10)+(F5*F10)+(G5*G10)+

(H5*H10)+(D6*D11)+(E6*E11)+(F6*F11)+(G6*G11)+(H6*H11)+

(D7*D12)+(E7*E12)+(F7*F12)+(G7*G12)+(H7*H12)

D5 a H7 → 50 .... até 285 (veja a figura 47)

114


D16 → =SOMA(D10:H10)

D17 → =SOMA(D11:H11)

D18 → =SOMA(D12:H12)

D19 → =SOMA(D10:D12)

D20 → =SOMA(E10:E12)

D21 → =SOMA(F10:F12)

D22 → =SOMA(G10:G12)

D23 → =SOMA(H10:H12)

F16 → 770

F17 → 960

F18 → 190

F19 → 20

F20 → 10

F21 → 1200

F22 → 150

F23 → 65

Continuando, este é o momento para passar à entrada de dados

no Solver. Veja na Figura 48 o aspecto da tela de entrada de dados do

mesmo:

Figura 48: Tela do Solver para o Problema de Escoamento de ProduçãoFonte: elaborada pelos autores

Módulo 7

115

Escolha a opção de “minimizar” a solução. Mas atenção, pois

este problema apresenta apenas um tipo de Restrição: são equações de

igualdade. Você deve adicionar este tipo de Restrição no espaço cor-

respondente da tela de Parâmetros.

Finalizada a entrada dos Parâmetros, clique no botão resolver e

aceite a solução sugerida pelo programa. A Figura 49 abaixo traz a

planilha com seus conteúdos alterados pelo Solver:

Figura 49: Planilha resolvida para o Problema de Escoamento de

ProduçãoFonte: elaborada pelos autores

O custo mínimo de transporte é R$ 241.350.000,00 – note que o

valor na célula D2 deve ser multiplicado por mil, pois os cálculos fo-

ram realizados para o volume de milhares de m³ e os custos de trans-

porte, por sua vez, são dados para cada m³.

Baseando-se nos resultados observe que para minimizar os cus-

tos de transporte a fábrica “A” deve fornecer para os mercados 3 e 4;

a fábrica “B” paras os mercados 1, 2 e 3; e a fábrica “C” apenas para

os mercados 4 e 5.

116


Lembre-se de consul-

tar seu Tutor sempre

que julgar necessário.

RESUMO

Nesta Unidade, conhecemos os Problemas de Transpor-

te. Basicamente, eles tratam de encontrar o menor custo de trans-

porte ou a maior receita na distribuição de cargas entre centros

produtores e consumidores. Em PO, estes problemas perten-

cem a uma categoria de aplicações denominada Problemas de

Rede. A sua Modelagem é facilitada com o uso de diagramas

de nós ligados por um conjunto de arcos.

Uma consideração interessante nestas situações é que o

problema deve estar balanceado, ou seja, a soma da capacidade

de fornecimento (oferta total) é igual a soma da necessidade ou

demanda de consumo (demanda total), não havendo sobras de

fornecimento e nem demanda de consumidor sem ser atendida.

Em seguida, você foi apresentado a dois exemplos de es-

coamento de produção, teve que modelar as duas situações e

resolvê-las através do Solver do Excel. Novamente, seguindo a

mesma dinâmica das outras Unidades, sugerimos outros pro-

blemas semelhantes.


Para nos certificarmos de que você aprendeu o conteúdo da Unida-de 4, apresentamos a seguir um problema semelhante aos anterioresdeste capítulo. Tente resolvê-lo.

7. Uma usina de açúcar precisa otimizar a sua distribuição de pro-duto em relação a seus depósitos e seus mercados consumidores.Os valores dos fretes variam trimestralmente ao longo do ano, devi-do a fatores externos a empresa. Conhece-se ainda a produção totalda usina, a capacidade máxima dos depósitos e a demanda do mer-cado consumidor. Perguntamos: qual a melhor estratégia em termos

Módulo 7

117

de transporte, de modo a minimizar os custos de distribuição? Quan-to e quando se deve enviar de açúcar para cada depósito?


Tabela 8: Quantidades produzidas e custos de transporte no Problema de Escoamento

de Produção proposto

Trimestre

1

2

3

4

Depósito 1

1,35

1,30

1,05

1,25

Custo do Frete entre a Usina e os Depósitos (R$ / ton)Produção

(ton)

1400

2900

1200

500

Depósito 2

1,50

1,40

1,00

1,35

Depósito 3

1,25

1,10

1,10

1,20

Depósito 4

1,75

1,85

1,90

1,65

Depósito 5

1,80

2,10

2,35

1,90

Depósito 6

1,45

1,40

1,60

1,75


Tabela 9: Capacidade dos depósitos no Problema proposto


Tabela 10: Demanda do mercado consumidor no Problema de Escoamento de Produção

proposto

Trimestre

1

2

3

4

Depósito 1

170

200

150

180

Demanda para cada um dos Depósitos (ton)Demanda

Total (ton)

1500

1500

1500

1500

Depósito 2

250

250

300

250

Depósito 3

280

300

250

270

Depósito 4

250

220

300

320

Depósito 5

400

380

300

230

Depósito 6

150

150

200

250

Depósito 1

200

Custo do Frete entre a Usina e os Depósitos (R$ / ton)

Depósito 2

300

Depósito 3

300

Depósito 4

350

Depósito 5

400

Depósito 6

250

Outras Aplicações emPesquisa OperacionalOutras Aplicações emPesquisa Operacional

UNIDADE

5

120


Objetivo

Nesta Unidade, condensaremos outras aplicações de

Pesquisa Operacional de uso do Administrador.

Módulo 7

121

Ampliando o uso daPesquisa Operacional

Além das aplicações mais comuns de Pesquisa Operacional que

estudamos até este momento, existem outras que atendem casos e ne-

cessidades específicas. Desta forma, pensamos esta Unidade como

sendo um grande saiba mais no contexto deste material de estudo.

Veja bem, a Programação Linear tem em sua formulação uma

grande limitação: suas variáveis não necessariamente são inteiras, e

nem sempre podemos aceitar respostas fracionadas. Pensem em alocações

de pessoas. Estes problemas requerem Programação Inteira.

Outro situação de destaque ocorre quando não é possível for-

mular o problema como funções lineares – neste caso, entra em uso a

Programação Não-Linear.

122


Programação Inteira

Como já adiantamos, os Problemas de Programação Inteira são

aqueles em que a Função-Objetivo, bem como as Restrições, são line-

ares, porém, uma ou mais Variáveis de Decisão apenas podem assumir

valores inteiros. E, sendo assim, resultados fracionados não atendem a

solução do problema.

Saiba mais... Saiba mais sobre Programação Inteira consultando os capítulos

14, 15 e 16 do livro do Colin (2007), indicado nas referências

bibliográficas.

Segundo Colin (2007), devemos inicialmente fazer uma análise

criteriosa para saber se realmente existe a necessidade de inserir a va-

riável inteira na Modelagem. Portanto, a princípio, deve-se tentar for-

mular um problema de forma tradicional.

Caso realmente haja a limitação, partimos para a Programação

Inteira. E, tenham a certeza de que, embora seja tentadora, não obtere-

mos a melhor solução possível resolvendo o problema como se fosse

um Problema de Programação Linear e arredondando os valores Óti-

mos encontrados para cada uma das Variáveis de Decisão Inteiras. Para

problemas de grande porte, isto normalmente gerará uma solução acei-

tável, mas não Ótima sem a violação de nenhuma das Restrições. Po-

rém, para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos

levar a Soluções Inviáveis ou Não Ótimas.

Módulo 7

123

Utilizamos Programação Inteira em aplicações como: alocação

Ótima de atividades (com duração ou custos diferentes, por exemplo);

e a pessoal (com eficiência e/ou custos diferentes, por exemplo)

objetivando minimizar custo ou maximizar a eficiência. Podemos ain-

da citar os casos de definição de rotas (um problema clássico é o do

caixeiro viajante) e o de sequenciamento de produção – quando bus-

camos a melhor sequência de produção a fim de atender prazos a par-

tir de quantidades e tempo de produção determinados.

Saiba mais... Saiba mais informações sobre aplicações de Programação

Inteira em <http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd015/

ProgramacaoInteira.pdf>. Acesso em: 5 maio 2009.

124


Programação Não-Linear

Os Modelos empregados em Programação Linear são, como o

próprio nome diz, lineares (tanto a Função-Objetivo quanto as Restri-

ções). Este fato é, sem dúvida, a maior das Restrições impostas sobre

um Modelo de Programação.

Em grande parte das aplicações, Modelos lineares refletem ape-

nas aproximações dos Modelos reais. Fenômenos físicos ou econômi-

cos são geralmente melhor representados por Modelos não-lineares. A

maioria das não-linearidades englobadas em um Modelo de Progra-

mação está dentro de duas principais categorias:

Relações observadas empiricamente, tais como variações não-proporcionais em custos, resultados de processos e caracte-rísticas de qualidade.

Relações deduzidas estruturalmente, que englobam fenôme-nos físicos, deduzidos matematicamente e regras administra-tivas.

O principal conceito envolvido em Programação Não-Linear é o

de Taxa de Variação: derivadas e gradientes.

O grande problema que dificulta a obtenção da Solução Ótima

nos Problemas de Programação Não-Linear são os mínimos e máxi-

mos (extremos) locais da Função-Objetivo – Lembra-se disso de seus

estudos de matemática?

São problemas típicos de Programação Não-Linear quando te-

mos um Problema de Mix de Produtos cujo lucro por produto varia

conforme a quantidade vendida (se houver, por exemplo, desconto por

compra de grande lote), e também problemas de escoamento de produ-

ção cujo custo de transporte varia conforme a quantidade em carga.

Existem também diversos exemplos em livros sobre a aplicação

de Programação Não-Linear. Podemos citar, desta forma, o caso de

minimização de custos totais de estoque; localização de antenas de

Módulo 7

125

transmissão de telefonia celular (cujos alcances são mensurados radi-

almente a partir da localização das antenas), entre outros.

RESUMO

Nesta Unidade, apresentamos alguns conceitos básicos

sobre outros problemas de Pesquisa Operacional que não po-

dem ser solucionados pela Programação Linear. Na Programa-

ção Inteira, as variáveis não podem ter valores fracionados. Na

Programação Não-Linear, como o próprio nome diz, as fun-

ções apresentam pelo menos uma de suas variáveis elevada a

uma potência diferente de 1 (um).


8. Discuta com o seu tutor e seus colegas as situações em que aProgramação Linear não resolveria um problema. Você conseguedescrever, então, um problema deste tipo?

126


REFERÊNCIAS

BRONSON, R. Pesquisa Operacional. Série Schaum. São Paulo:McGraw-Hill, 1986.

COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em estratégia,finanças, logística, produção, marketing e vendas. 1. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2007.

HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à PesquisaOperacional. 8. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada deDecisões: modelagem em Excel. 3. ed. Rio de Janeiro: Elsevier,2007.

NOGUEIRA, Fernando Marques de Almeida. Notas de Aula dePesquisa Operacional. Disponível em: <http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd015>. Acesso em: 31 mar. 2009.

Módulo 7

127

128


Anderson Lopes Belli Castanha

Possui graduação em Engenharia Elétri-

ca de Produção pela Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro (1996); especializa-

ção em Pós-Graduação em Gestão Pela Quali-

dade Total pela Universidade Federal

Fluminense (2000); mestrado em Engenharia de

Produção pela Universidade Federal Fluminense

(2000) e doutorado em Engenharia Civil pela Universidade Federal

Fluminense (2007). Atualmente é professor adjunto I no Curso de

Administração da Universidade Federal de Juiz de Fora.

Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

Possui graduação em Engenharia Civil pela

Universidade Federal de Juiz de Fora (1986);

mestrado em Arquitetura pela Universidade Fe-

deral do Rio de Janeiro (1996); e doutorado em

Engenharia Mecânica pela Universidade Fede-

ral do Rio de Janeiro (2005) e Engenharia Civil

pelo INSA de Lyon, França (co-tutela com a

UFRJ). Atualmente é professor adjunto III no Curso de Engenharia de

Produção da Universidade Federal de Juiz de Fora.

pesquisa_operacional

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