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Pesquisa Operacional Aplicada à Produção - UNESP / Campus de Guaratinguetá

Modelo deTransporte com Baldeação

Prof. Fernando Augusto Silva Marins

Departamento de Produção

Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá

UNESP

www.feg.unesp.br/~fmarins

[email protected]

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Introdução

1. Neste modelo de transporte mais geral há a possibilidade de um nó da rede não ser nem origem nem destino, ou seja, a demanda (ou produção) nele é nula (bi = 0). Esse tipo de nó recebe o nome de nó de transbordo.

2. Apresenta-se a seguir um algoritmo proposto por Alex Orden que estende a abordagem feita para o modelo de transporte simples (“Stepping Stone Method”) de forma que seja permitida a ocorrência de baldeação do produto por qualquer nó da rede.

3. A idéia do método consiste em admitir que em cada nó haja um “estoque fictício” do produto que seja capaz de viabilizar qualquer plano de entregas do produto na rede.

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Introdução

• Assim todo nó será subdividido em dois: um nó tipo origem e outro nó tipo destino, com um fluxo interno de produto entre eles.

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Modelo de Transporte com Baldeação

• Modelagem: transportar um produto a partir de m origens (com produções ai) para n destinos (com demandas bj).

• Todo nó será considerado tanto como origem como por destino.

• Numerar de 1 até m as origens reais e de m + 1 até m + n os destinos reais.

• Nas origens reais têm-se:

(produto enviado) – (produto recebido) = produção local.

• Nos destinos reais têm-se:

(produto recebido) – (produto enviado) = demanda local.

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• Admite-se que:

Variáveis de decisão:

Xij = Quantidade do produto enviada da origem i para o destino j.

Função objetivo:Min Z=

Sujeito a:

Esse modelo não pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”, pois há coeficientes negativos nas restrições.

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j

ji

i b a

i j

ijXijC

j. i todo para 0 X

(2) . nm até 1 m j e n m até 1 i para b X - X

(1) n.m até 1 j e m até 1 i para a X - X

ij

ji jijjiij

ij ijijiij



• Desenvolvimento do algoritmo:

• Seja ti a quantidade do produto baldeada no nó i. Assim:

• Nas origens reais

Nos destinos reais:

Tem-se portanto, as seguintes equivalências:(1) (1’):

(2) (2’):

Seja Ci o custo da baldeação do produto no nó i.

Função objetivo: Min Z=6

ij

jii X t

ij

jij X t

iij

iij t a X

jij

jij t b X

i j i

ii ijij tC XC



Para cada nó: T = ti + Xii, onde Xii é o valor da baldeação interna nos nós.

Substituindo T = ti + Xii em (1’) e (2’): para i = 1 até m+n e j = 1 até m+n. (1’’):

(2’’):

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T a X Xij

iiiij

T b X Xji

jjjij



Ou ainda, se Ci=Cii=0 tem-se: Min Z=

Sujeito a:

Observe que ai=bj= 0 para i=m+1 até m+n e j até m.Este modelo pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”.Seja T = Limitante superior sobre todas as quantidades baldeadas nos nós = estoque fictício em cada nó suficientemente grande para assegurar a realização de qualquer plano de entregas do produto. Normalmente utiliza-se o valor de T = .

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i j

ijXijC

j. e i todo para 0 X

. nm até 1 j e n m até 1 i para T b X

n.m até 1 j e n m até 1 i para T a X

ij

ijij

jiij

j

ji

i b a



Comentário: número de variáveis básicas = m’ + n’ – 1, onde m’ = nº total de origens = m + n, n’ = nº total de destinos = m + n.

Tabela típica para a aplicação do “Stepping Stone Method” ao problema de transporte com baldeação com m origens e n destinos.

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Exemplo: admitindo a possibilidade de baldeação, determinar o programa de entregas de custo mínimo para os dados a seguir.

•Considere os seguintes custos de baldeação: O1O2= 1, O2O1 = 2, D1D2 = 2, D1D3 = 1 = D3D1, D2D3 = 2, D2D1 = 4, D1O1 = 3, D1O2 = 1, D3D2 = 5, D2O1 = 2, D2O2 = 3, D3O1 = 3, D3O2 = 2.

Observação: se não fosse admitida a possibilidade de baldeação a solução ótima Z* = 56, com X*11 = X*13=X*21=0, X*12=5, X*21=2 e X*23=4.

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D1 D2 D3 Produção

O1 6 4 6 5

O2 6 6 5 6

Demanda 2 5 4 11



Tabela inicial.

Custo da solução inicial= 119.

Número de variáveis básicas= M’+N’-1=5+5-1=9.11

O1 O2 D1 D2 D3 Produção

O1 11 0 5 1 6 4 6 16

O2 2 6 0 11 8 6 5 17

D1 3 1 2 0 9 2 1 11

D2 2 3 4 7 0 4 2 11

D3 3 2 1 5 11 0 11

Demanda 11 11 13 16 15



• Tabela ótima obtida após a aplicação do “Stepping Stone Method”:

Custo da solução ótima= 52

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O1 O2 D1 D2 D3Produção

O111 0 1 6 5 4 6 16

O2 2 11 0 8 0 6 6 5 17

D1 3 1 11 0 2 1 11

D2 2 3 4 11 0 2 11

D3 3 2 2 1 5 9 0 11

Demanda 11 11 13 16 15


Modelo de transporte com baldeação

• Quantidade de produto na rota O1D2 = 5 levar 5 unidades do produto da origem 1 ao destino 2;

• Quantidade de produto na rota O2D3 = 6 levar 6 unidades do produto da origem 2 ao destino 3, havendo uma baldeação de 2 unidades que irão ao destino 1;

• Quantidade de produto na rota D3D1 = 2 levar 2 unidades do produto do destino 3 (que vieram da origem 2) ao destino 1;

• Observe-se as quantidades de produto nas rotas fictícias O1O1, O2O2, D1D1, D2D2, D3D3, geradas pelo artifício de dividir cada nó em dois – uma origem e um destino, devem ser desconsideradas da solução ótima.

Custo da solução ótima= 52.

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