Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental

-Aula #4c-

Virgílio A. F. Almeida

Março 2008

Departamento de Ciência da ComputaçãoUniversidade Federal de Minas Gerais

Exercício Usando a Regra de Bayes

• Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido é recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido é corretament recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 é recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine:

– Probabilidade que um 1 é recebido

– Probabilidade que um 0 é recebido

– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido

– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido

– Probabilidade de um erro.

Solução

• Definição de eventos:

– T0 = um 0 é transmitido

– R0 = um 0 é recebido

– um 1 é transmitido

– um 1 é recebido01 TT =

01 RR =

P(T1)

P(T0)P(R0)

P(R1)

P(R0|T0)

P(R1|T1)

P(R1|T0)

P(R0|T1)

Perguntas

1. Probabilidade que um 1 é recebido

2. Probabilidade que um 0 é recebido

3. Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido

4. Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido

5. Probabilidade de um erro.

Solução

0765.0)10()01()(

8952.0)0(

)0()0|0()0|0(

9488.0)1(

)1()1|1()1|1(

4725.01)0()1(

4725.0)1|0()0|0()0(

=∩+∩=

==

==

−==

=+=

RTPRTPerroP

RP

TPTRPRTP

RP

TPTRPRTP

RPRP

TRPTRPRP

Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas

PoissonExponencialTaxa

Contínua

BinomialGeométricaExperimentos

Discretos

Número de Sucessos em Tempo Fixo ou em

Número de Tentativas

Tentativas ou

Tempo até

Sucesso

Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas

1. Constante

2. Uniforme

3. Bernoulli

4. Binomial

5. Geometrica

6. Poisson

Variável Aleatória Constante

• pmf

• CDF

c

1.0

1.0

c

Distribuição Discreta Uniforme

• A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade pX(i) = 1/n, 1 ≤ i ≤ n

• pmf

• CDF:

∈

=contráriocaso

Xxsenxp

i

iX,0

,/1)(

n

tiptF

t

i

X ==∑=1

)()(

Variável de Bernoulli

– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {0,1}

– A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:

–Função de massa de probabilidade:

)0(1

)1(

==−=

==

XPpq

XPp

Distribuição de Bernoulli

• CDF

x0.0 1.0

q

p+q=1

Binomial

Numa distribuição binomial, tem-se:

1. Todos experimentos são independentes.

2. Número de sucessos x numa sequência de experimentos de Bernoulli.

2. Cada resultado é um “successo” ou “falha”.

3. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado porp. A probabilidade de uma falha é 1- p.

4. Uso do modelo: número de processadores “down” num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

Binomial

Distribuição Binomial

A distribuição binomial com parâmetros

n 0 and 0 < p < 1, is

Qual a média e variância????

p xn

xp px n x( ) ( )=

− −1

≥≥≥≥

Distribuição Binomial

A distribuição binomial com parametros

n 0 and 0 < p < 1, is

A média e variância da binomial são:

p xn

xp px n x( ) ( )=

− −1

µ σ= = −np np p2 1( )

≥≥≥≥

V.A. Binomial: pmf

pk

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

CD

F

V.A. Binomial: CDF

Distribuição Geométrica

• Número de experimentos até incluir o 1o sucesso.

• Em geral , S pode ter um tamanho infinitamente contável

• Definir a v.a Z (∈ S): amostra: 0 i-1 1 = i

• Por causa da independência:

Geométrica

Geométrica

• A distribuição geometrica é a única distribuição discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS.

• Resultados futuros são independentes de eventos passados.

• n experimentos completaram todos com falhas. Y experimentos adicionais são executados antes de um sucesso, i.e. Z = n+Y or Y=Z-n

Geométrica: ausência de memória

• Y=Z-n

)()1(1

)(1

)(

)(1

)(

)(

)(

)(

)(

)|(

)|(

)|(

11

ippqq

pq

nF

inp

nF

inZP

nZP

inZP

nZP

nZandinZP

nZinZP

nZinZP

nZiYP

Z

i

n

in

Z

Z

Z

==−−

=

−

+=

−

+==

>

+==

>

>+==

>+==

>=−=

>==

−−+

V.A. Geometrica

• Exercício: Mostre que

1

1( ) 1 and ( )X

x

P x E xp

∞

=

= =∑

Poisson: propriedades

• Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto:

• Espera-se que:

– O início de cada transação é independente dos outros;

– Para cada pequeno intervalo de tempo ∆t, a probabilidade de uma nova transação chegar éλ∆t

– A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo é zero!

• O processo de Poisson tem as propriedades acima.

• Função de massa de probabilidade (pmf):

• CDF:

{ } k!

)( )(

ktektNPp

t

k

λλ−===

(((( ))))

k!

)(

0

k

∑∑∑∑====

−−−−====x

k

t texF

λλλλλλλλ

Distribuição de Poisson

Poisson

pk

λλλλt=1.0

Poisson pmf

t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.1

CDF

1

λλλλt=1.0

Poisson CDF

λt=4.0

pk

λλλλt=4.0

Poisson pmf

t

CDF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.1

1

λλλλt=4.0

Poisson CDF

Poisson

• Uma v.a. de Poisson X tem sua pmf::

Onde λλλλ > 0 é uma constante

• Exercicio: mostre que:

E(X) = λλλλ0

( ) 1 Xx

P x∞

=Σ =

( ) 0,1, 2,...!

x

P X x e xx

λλ −= = =

λ

Poisson: aplicações

• A v.a. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chega num servidor em uma hora, ou o número de queries que chega numa máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chega num roteador em 1 segundo.

Exponencial

Search Algorithms: Is the Web-Graph a Random graph? No!

• Random graph Gn,p:– n nodes– Every directed edge occurs with probability p

• Is the Web-graph a random graph Gn,p?

• The probability of high degrees decrease exponentially • In a random graph degrees are distributed according to a Poisson

distribution

• Therefore: The degree of a random graph does not obey a power law

Distributed In-Network Task Allocation

• Suppose sensor network monitors the environment;

• If an event is detected by node n it sends out a packet (n_id, weight, hop_count)

• Compute Navigation Field;

• This computation results in a direction which maximizes the net utility of the robot;

• If there are several events detected at the same time, a node computes direction towards the goal node with largest:

counthop

weight

_

Experimental results

• Player/Stage simulations;

• Sensor Network of 25 motes;

• Groups of 1-4 robots, 10 trials/group

• 10 Alarms are drawn from the Poisson distribution with λ=1/60;

• Empty environment, A = 576 m2

Exercícios

1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t Calcule a seguintes probabilidades:

– Exatamente tres mensagens chegarão num intervalo de 10 seg.

– No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg.

– O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails.

2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?