paulo maurício maciel lisbôa relaxação lagrangeana para o problema...

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Paulo Maurício Maciel Lisbôa

Relaxação Lagrangeana para o Problema dasp-Medianas

SEROPÉDICA

2017

Paulo Maurício Maciel Lisbôa

Relaxação Lagrangeana para o Problema das p-Medianas

Monografia apresentada à Banca Examinadora

da Universidade Federal Rural do Rio de Ja-

neiro, como requisito parcial para obtenção do

título de Bacharel em Matemática, sob a orien-

tação do Prof. Dr. Vinícius Leal do Forte

SEROPÉDICA

2017

Muita fantasia perde a realidade,

muita esperança pode parecer de

alguma forma vazia.

Akira Toriyama

ii

Agradecimentos

A minha família, que sempre esteve do meu lado, obrigado pelo carinho e

apoio.

A minha namorada Thaís Ferreira que, com amor, sempre esteve comigo nos

momentos mais difíceis.

Ao professor Vinícius Leal do Forte pela paciência e conselhos.

Aos professores que me acompanharam na graduação, em especial aos pro-

fessores Duilio Conceição, Macário Costa e Priscila Lima.

Aos amigos e colegas que tornaram minha graduação mais divertida, em es-

pecial meu amigo Henrique Espolador.

iii

Resumo

Neste trabalho é realizado um estudo sobre o Problema das p-Medianas (PPM)

e a análise de sua formulação introduzida inicialmente por ReVelle e Swain [26]. O

problema é definido por um grafo com a intenção de localizar p facilidades (medianas)

em uma rede contendo n nós, a fim de minimizar a soma total das distâncias entre

cada nó e sua mediana mais próxima. A Programação Inteira contribuiu com o en-

tendimento dos conceitos explorados no trabalho. Sua colaboração é reforçada com

algumas formulações, bem como a definição de Limitantes, exemplos de Métodos de

Solução Exata e tipos de Relaxações, tendo um foco maior na Relaxação Lagrangeana

(RLG). O objetivo foi avaliar a RLG para o Problema das p-Medianas escolhendo uma

restrição de sua formulação e realizando a dualização, obtendo, assim, o Problema La-

grangeano. Posteriormente, é desenvolvida uma Heurística Lagrangeana para o PPM,

sendo ela, bem-sucedida na sua aplicação ao exemplo prático desenvolvido no traba-

lho. O exemplo tem como objetivo determinar três municípios da Região Metropoli-

tana do Rio de Janeiro para servirem como centros de distribuição de vacinas contra a

gripe para os outros municípios dessa mesma região.

Palavras-Chave: Problema das p-Medianas; Programação Inteira; Relaxação

Lagrangeana.

iv

Sumário

Introdução 1

1 Programação Inteira 3

1.1 Algumas Formulações PPLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Problema do Caixeiro Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Problema da Mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Problema de Assignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Problema de Cobertura de Conjunto . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Formulações Inteiras Mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Localização de Facilidade Não Capacitado (LFNC) . . . . . . 9

1.2.2 Lot-Sizing Não Capacitado (LSNC) . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Limitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Relaxações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Relaxação linear (RL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Relaxação Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Relaxação Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Métodos de Solução Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Branch-and-Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Planos de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Problema das p-Medianas 21

2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Trabalhos Realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

v

2.3 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Grafo Direcionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Relaxação Lagrangeana 31

3.1 Definição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Método do Subgradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Heurística Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Relaxação Lagrangeana para o Problema das p-Medianas 42

4.1 Heurística Lagrangeana para o Problema das p-Medianas . . . . . . . 45

4.2 Busca Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Considerações Finais 73

vi

Introdução

O Problema das p-Medianas possui o objetivo de determinar, dentre n nós de um grafo,

um conjunto de p nós (medianas), a fim de minimizar a soma total das distâncias entre

cada nó e sua mediana mais próxima. Rosário [27] propôs uma aplicação do PPM

onde sugere uma metodologia para a distribuição espacial de Unidades de Saúde (US)

24 Horas no município de Curitiba, levando em consideração vários aspectos.

O PPM é um problema clássico de Otimização Combinatória e foi introduzido

inicialmente por Hakimi [14] em 1964. Posteriormente, em 1968, Tietz e Bart et al.

[30] desenvolveram uma solução heurística para o problema e, em 1970, Revelle e

Swain et al. [26] realizaram a formulação como um Problema de Programação Inteira

(PPI).

Diversos trabalhos foram realizados desenvolvendo aplicações do Problema

das p-Medianas, porém foi na Análise de Cluster [15] que elas surgiram - como em:

Vinod [36], Rao [25] e Mulvey e Crowder [23]. Em 1979, Kariv e Hakimi [20] cons-

tataram que o PPM pertence à classe de problemas NP-difícil, pois não se tem conhe-

cimento de um algoritmo que seja exato na resolução do problema, até ele ser ótimo,

em tempo polinomial.

O objetivo neste trabalho é apresentar e analisar a formulação do PPM, bem

como desenvolver a Relaxação Lagrangeana para ela. A RLG é desenvolvida esco-

lhendo uma das restrições do problema e dualizando-a, gerando, assim, o Problema

Lagrangeano. A Programação Inteira é introduzida no trabalho com o objetivo de ex-

pandir o conhecimento sobre o modelo de PPI, Métodos Exatos e tipos de Relaxações.

O trabalho está organizado em quatro capítulos. No Capítulo 1, são apre-

1

sentadas as variações da Programação Inteira, formulações de alguns Problemas de

Programação Linear Inteira e Inteira Mista, bem como a definição de Limitantes e os

tipos de Relaxações, finalizando com dois Métodos de Solução Exata. São apresenta-

dos no Capítulo 2 a definição do Problema das p-Medianas e alguns exemplos práticos.

Faz-se, também, um levantamento de alguns trabalhos realizados desde o surgimento

do PPM em 1964. Nesse Capítulo é retratado o conceito de Grafos e Grafos Direcio-

nados e, posteriormente, é desenvolvida e analisada uma formulação do Problema das

p-Medianas. No Capítulo 3, define-se de forma mais abrangente a Relaxação Lagran-

gena, bem como o Método do Subgradiente e Heurísticas Lagrangeanas. No Capítulo

4, é desenvolvida a Relaxação Lagrangeana para o PPM proposto, além de apresentar

uma Heurística Lagrangeana para o problema, o conceito de Busca Local e o desen-

volvimento de um exemplo prático de distribuição de vacinas contra a gripe na Região

Metropolitada do Rio de Janeiro.

2

Capítulo 1

Programação Inteira

Suponha o Problema de Programação Linear (PPL)

max {cTx : Ax ≤ b, x ≥ 0}, (1.1)

onde A ∈ Rm×n, c ∈ Rn, b ∈ Rm e x ∈ Rn.

Se todas as variáveis de (1.1) assumirem valores inteiros estamos diante de

um Problema de Programação Linear Inteira (PPLI), escrito como

max cTx

s.a Ax ≤ b

x ≥ 0 e inteiro.

Se algumas forem inteiras e algumas forem contínuas, trata-se de uma Pro-

blema de Programação Linear Inteira Mista (PPLIM), escrito como

max cTx+ hTy

s.a Ax+Gy ≤ b

x ≥ 0, y ≥ 0 e inteiro.

3

Existe um caso especial em que todas as variáveis são restritas a valores 0-1.

Este é um Problema de Programação Linear Inteira Binária (PPLIB), escrito como

max cTx

s.a Ax ≤ b

x ∈ {0, 1}n.

1.1 Algumas Formulações PPLI

Há vários problemas práticos que podem ser formulados e resolvidos utilizando a Pro-

gramação Inteira. Nesta seção estão listados alguns dos mais famosos.

1.1.1 Problema do Caixeiro Viajante

O Problema do Caixeiro Viajante talvez seja o problema de Otimização Combinatória

mais notório, por ser um dos mais explorados na literatura ([4], [6], [7], [21]). A ideia

do problema é que um caixeiro deve visitar cada uma das n cidades apenas uma única

vez e retornar ao ponto de partida. Podemos visualizar o problema em um grafo onde

as cidades são os vértices e as arestas são as conexões entre as cidades. O caixeiro tem

um tempo para viajar de uma cidade i para a cidade j, representado por cij . Dados

os custos entre os vértices (cidades) do problema, queremos encontrar o circuito de

menor custo possível. Seja x binário 0-1.

As variáveis de decisão são definidas como:

xij = 1, se o caixeiro visitou diretamente a cidade j a partir da cidade i;

xij = 0, se o caixeiro não visitou diretamente a cidade j a partir da cidade i.

As restrições são definidas como:

∑j:j 6=i

xij = 1 para i = 1, ..., n. (1.2)

4

∑i:i 6=j

xij = 1 para j = 1, ..., n. (1.3)

A restrição 1.2 impõe que o caixeiro deixará a cidade i exatamente uma vez,

já a restrição 1.3 expressa que ele chegará à cidade j uma única vez. Ambas as restri-

ções não garantem que a solução seja um único circuito envolvendo todas as cidades,

permitindo a formação de sub-circuitos, ou seja, circuitos que não envolvem todos os

vértices. A Figura 1.1 representa um caso em que isso ocorre.

Figura 1.1: Sub-Circuitos

Para eliminarmos os sub-circuitos, precisamos de restrições que garantam a

conectividade. Com isso, para uma partição qualquer do conjunto de cidades em dois

subconjuntos, impomos que o caixeiro deva ir de uma cidade de um conjunto para uma

cidade do outro conjunto. Sendo assim, obtemos:

∑i∈S

∑j /∈S

xij ≥ 1 para S ⊂ N,S 6= ∅, (1.4)

onde N é um conjunto de cidades e S é um subconjunto de cidades. A restri-

ção (1.4) garante que há uma ou mais conexões. A figura 1.2 representa a situação em

que a restrição (1.4) é adicionada.

5

Figura 1.2: Circuito envolvendo todos as cidades.

Por fim , a função objetivo a seguir minimiza o custo total da viagem:

minn∑

i=1

n∑j=1

cijxij.

1.1.2 Problema da Mochila

Este problema pode ser exemplificado da seguinte forma: um escoteiro possui uma

mochila com uma capacidade máxima b conhecida. Ele também detém de alguns itens

j de sobrevivência que possuem pesos aj e benefícios cj conhecidos. Em posse destas

informações, quais itens o escoteiro deve colocar na mochila de forma que não ultra-

passe a capacidade da mochila e o retorno seja o maior possível? Seja x binário 0-1.

A seguir, apresentaremos um PPLI para o Problema da Mochila.

As variáveis de decisão são definidas como:

xj = 1, se o item j é selecionado;

xj = 0, se o item j não é selecionado.

Sabendo que o peso máximo da mochila não pode exceder b, inserimos a

seguinte restrição no PPLI:

n∑j=1

ajxj ≤ b.

6

Por fim, a função objetivo a seguir define o retorno máximo:

maxn∑

j=1

cjxj.

1.1.3 Problema de Assignment

O Problema de Assignment é caracterizado por ser um problema onde devemos es-

tabelecer posições para as pessoas em salas, tarefas, funções, etc. Por exemplo, há

n professores para darem aulas em n salas. Cada professor é designado para apenas

uma sala. Alguns deles se situam melhor em certas salas do que outros, então há um

custo cij se o professor i é atribuído à sala j. O problema consiste em encontrar uma

atribuição de custo mínimo (vide Wolsey [38]).

As variáveis são definidas como:

xij = 1, se o professor i for atribuído a sala j;

xij = 0, se o professor i não for atribuído a sala j.


n∑j=1

xij = 1 para i = 1, ..., n. (1.5)

n∑i=1

xij = 1 para j = 1, ..., n. (1.6)

A restrição 1.5 diz que cada professor i será atribuído em apenas uma sala. A

restrição 1.6 expressa que cada sala j é ocupada por um único professor.

A função objetivo minimiza o custo da atribuição:

minn∑

i=1

n∑j=1

cijxij.

7

1.1.4 Problema de Cobertura de Conjunto

Suponhamos que queremos estabelecer bases da polícia j em um certo número de

regiões. Já sabemos o custo de instalação cj da base e também a área de atuação, assim,

o problema consiste em decidir aonde colocá-las. O objetivo é escolher o conjunto de

custo mínimo de bases da polícia de tal forma que cada região seja coberta. Seja

M = {1, ...,m} o conjunto de regiões, e N = {1, ..., n} o conjunto de potenciais

bases. Sejam Sj ⊆M as regiões que podem ser servidas por uma base em j ∈ N .


xj = 1, se a base j é selecionada;

xj = 0, se a base j não é selecionada.

E as restrições do problema são definidas como:

n∑j=1

aijxj ≥ 1 para i = 1, ...,m, (1.7)

onde, aij = 1 se o local i pertence a Sj e aij = 0 caso contrário. A restrição

1.7 diz que a região i é servida por, pelo menos, uma base da polícia.

Por fim, a função objetivo a seguir define o custo total a ser minimizado:

minn∑

j=1

cjxj.

1.2 Formulações Inteiras Mistas

Existem casos que só utilizar variáveis inteiras não é suficiente para formular um pro-

blema. Com isso, introduziremos algumas Fomulações Inteiras Mistas, que são for-

mulações envolvendo PPLIM - casos em que nem todas as variáveis são inteiras.

8

1.2.1 Localização de Facilidade Não Capacitado (LFNC)

Segundo Vedat Verter [35] a LFNC envolve localizar um número indeterminado de

facilidades a fim de minimizar a soma dos custos relacionados à abertura de facilidades.

A característica de uma LFNC é a falta de restrições de atendimento de demandas.

Dado um conjunto de potenciais centros de distribuições dos correios N =

{1, ..., n} e um conjunto M = {1, ...,m} de clientes, vamos supor que haja dois tipos

de custos: um fixo fj associado com o uso do centro j, e um de transporte cij , se

todas as correspondências do cliente i são entregues pelo centro j. Mas qual centro

irá funcionar, e também, qual irá atender cada cliente além de minimizar a soma de

ambos os tipos de custos? Para Wolsey [38], é importante ressaltar a semelhança que

este problema possui com o problema de cobertura, exceto pela adição da variável de

custo de transporte.


yj = 1, se o centro j é usado;

yj = 0, se o centro j não é usado.


n∑j=1

xij = 1 para i = 1, ...,m, (1.8)

onde xij é a fração da demanda do cliente i satisfeita pelo centro j. As restri-

ções (1.8) garantem a satisfação da demanda do cliente i. Como,∑

i∈M xij ≤ m, ou

seja, a soma das demandas de todos os clientes não ultrapassará o número de cliente,

existe uma relação entre xij e yj . Assim, utilizando (1.8) obtemos:

∑i∈M

xij ≤ myj para j ∈ N, yj ∈ {0, 1} para j ∈ N.

Por fim, a função objetivo a seguir define o custo total a ser minimizado:

min∑i∈M

∑j∈N

cijxij +∑j∈N

fjyj.

9

1.2.2 Lot-Sizing Não Capacitado (LSNC)

Algumas empresas lidam com problemas de produção constantemente. Com isso, uma

das metas é estabelecer o tamanho de lotes de produção em um campo de planejamen-

tos levando o tempo em consideração. O LSNC é um planejamento de apenas um pro-

duto para fornecer uma demanda dinâmica, além de minimizar os custos de produção

e estoque em um horizonte de planejamento. Segundo Wolsey [38], estão inseridos no

custo de produção o custo fixo ft, o custo unitário de produção pt, o custo do estoque

único ht e a demanda dt, para cada período t.


xt sendo o total produzido no período t;

st o estoque no final do período t;

yt = 1 se a produção ocorre em t;

yt = 0 caso contrário.

Aqui, a priori, não temos um limite para o total produzido e consideramos um

constante muito grande Mt. Assim, a formulação segue como:

minn∑

t=1

ptxt +n∑

t=1

htst +n∑

t=1

ftyt

s.a st−1 + xt = dt + st para t = 1, ...n

xt ≤Myt para t = 1, ..., n

s0 ≥ 0 para t = 1, ..., n

st ≥ 0 para t = 1, ..., n

xt ≥ 0 para t = 1, ..., n

yt ∈ {0, 1} para t = 1, ..., n.

1.3 Limitantes

Ao encontrar uma solução viável x∗ para um problema, queremos, por muitas vezes,

saber se ele é ótimo. Para isso, podemos recorrer aos limitantes. Eles são importantes

10

para a condição de otimalidade e identificam-se por limitante superior (z) e limitante

inferior (z), ou seja, um algoritmo irá encontrar uma sequência decrescente de limi-

tantes superiores e uma sequência crescente de limitantes inferiores, parando quando

zs − zt ≤ ε, onde ε é um valor não negativo bem pequeno, z1 > z2 > ... > zs ≥ z e

z1 < z2 < ... < zt ≤ z

• Limitante Primal: qualquer solução viável irá conceder um limitante inferior no

caso de maximização e limitante superior no caso de minimização. Para Wolsey

[38], este é o único jeito conhecido de obter um limitante inferior (maximização).

• Limitante Dual: qualquer solução ótima para uma relaxação irá conceder um

limitante superior no caso de maximização e limitante inferior no caso de mini-

mização.

Um Problema Relaxado (PR):

zR = max {f(x) : x ∈ T ⊆ Rn},

é uma relaxação de um Problema de Programação Inteira (PPI):

z = max {cTx : x ∈ X ⊆ Zn},

se:

X ⊆ T e f(x) ≥ cTx, ∀x ∈ X.

Proposição 1.3.1. Se PR é uma relaxação de PPI, zR ≥ z.

Demonstração: Seja x∗ ótimo de PPI e x ótimo de PR. Então, z = cTx∗ ≤ f(x∗) ≤

f(x) = zR ⇒ zR ≥ z.

11

1.4 Relaxações

Um limitante dual para um problema pode ser encontrado por relaxação. As relaxa-

ções mais exploradas na literatura são: Relaxação Linear, Relaxação Combinatória e

Relaxação Lagrangeana.

1.4.1 Relaxação linear (RL)

Para um PPI

z = max {cTx : x ∈ P ∩ Zn},

onde P = {x ∈ Rn+ : Ax ≤ b}, podemos gerar uma RL

zRL = max {cTx : x ∈ P}

de PPI a partir da mesma função objetivo e das mesmas restrições, sendo que

as variáveis inteiras serão substítuidas por restrições contínuas apropriadas. Ao des-

considerarmos as restrições de integralidade das variáveis inteiras do PPI realizamos

uma Relaxação Linear e obtemos o Problema de Programação Linear. Por exemplo,

considere o problema:

max 4x1 − x2

s.a 7x1 − 2x2 ≤ 14

x2 ≤ 3

2x1 − 2x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0 e inteiros.

A RL para este problema pode ser escrito como:

12

max 4x1 − x2

s.a 7x1 − 2x2 ≤ 14

x2 ≤ 3

2x1 − 2x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0.

A região viável desta relaxação contém todos os pontos inteiros da região

viável do Problema de Programação Linear Inteiro original.

Definição 1.4.1. Dado um conjunto X ⊆ Zn, e duas formulações P1 e P2 para X,P1

é uma formulação melhor do que P2 se P1 ⊂ P2.

Proposição 1.4.2. Suponha que P1, P2 sejam duas formulações para o programa in-

teiro max {cTx : x ∈ X ⊆ Zn} sendo P1 uma formulação melhor do que P2, por

exemplo, P1 ⊂ P2. Se zRLi = max{cTx : x ∈ Pi} para i = 1, 2 são os valores da

relaxação da programação linear associada, então zRL1 ≤ zRL

2 para todo c.

Demonstração: Sejam x∗1 e x∗2 as soluções ótimas das relaxações lineares associadas

a P1 e P2. Como P1 ⊂ P2 temos que x∗1 ∈ P2. Se x∗1 = x∗2 , então zRL

1 = zRL2 . Por

outro lado, se x∗1 6= x∗2 , então x∗2 6∈ P1 ⇒ zRL

2 ≥ zRL1 .

Proposição 1.4.3. (i) se a relaxação PR é inviável, o PPI é inviável. (ii) Seja x∗ uma

solução ótima de PR. Se x∗ ∈ X e f(x∗) = cT (x∗), então x∗ é uma solução ótima do

PPI.

Demonstração: (i) Se PR é inviável, então T 6= ∅. Como PR é uma relaxação

para PPI, temos X ⊆ T . Logo, X = ∅ e o PPI é inviável. (ii) Seja x∗ ∈ X , então

z ≥ cT (x∗) = f(x∗) = zR ⇒ z ≥ zR. Como zR é um limitante dual para o PPI, temos

que zR ≥ z. Logo zR = z e x∗ é a solução para o PPI.

13

1.4.2 Relaxação Combinatória

Quando um problema está sujeito a um conjunto de soluções e este é definido de forma

combinatória podemos obter uma Relaxação Combinatória. Por exemplo, o Problema

do Caixeiro Viajante definido como um Problema de Otimização Combionatória con-

site em minimizar o custo de rotas, onde cada rota pertence a um conjunto de todos os

ciclos hamiltonianos. Este conjunto - de ciclos hamiltonianos - em um grafo é o con-

junto combinatório. Então, a relaxação do problema é a relaxação dos conjuntos de

ciclos hamiltonianos, que pode ser um ciclo qualquer, ou ainda, uma união de subrotas

disjuntas obtendo, assim, todos os vértices.

1.4.3 Relaxação Lagrangeana

.

Seja o PPI:

z = max cTx

s.a Ax ≤ b

x ∈ X ⊆ Zn.

Suponha que um subconjunto das restrições do problema o torne mais difícil.

Contudo podemos gerar um problema mais simples de resolver relaxando algumas

restrições consideradas difíceis do problema original, e penalizando as suas violações

na função objetivo. Sendo assim, obtemos:

z(λ) = max cTx+ λ(b− Ax)

s.a x ∈ X

λ ≥ 0.

Proposição 1.4.4. Seja z(λ) = max{cTx + λ(b − Ax) : x ∈ X}. Então z(λ) ≥ z

para todo λ ≥ 0.

14

Demonstração: Seja x∗ a solução ótima para um PPI, assim, x∗ ∈ X . Por viabilidade

Ax∗ ≤ b, e como λ ≥ 0, z = cTx∗ ≤ cTx∗ + λ(b − Ax∗) ≤ z(λ) onde a última

desigualdade é definida de z(λ).

No capítulo 3, apresentamos mais detalhes sobre Relaxação Lagrangeana

(RLG), como: definição mais detalhada, Método do Subgradiente e Heurísticas La-

grangeanas.

1.5 Métodos de Solução Exata

A aplicação da Programação Linear Inteira abrange duas etapas. A primeira envolve a

criação do modelo em que o problema será resolvido e a segunda é utilizar um método

de resolução a fim de encontrar uma solução para o problema, sendo ela ótima ou de

boa qualidade. Sobre a segunda etapa, desenvolver novos métodos ou até melhorar os

já existentes para que eles sejam mais eficientes são exemplos dos desafios. Não existe

um único método para resolver todos os problemas. Existe uma relação entre as duas

etapas, com isso, dependendo de como o modelo é formulado um certo método é mais

eficiente.

1.5.1 Branch-and-Bound

Este método é mais conhecido pelo seu termo em inglês. Em português esse método é

denominado por Ramificação e Poda. A ideia é desenvolver uma enumeração sistemá-

tica das soluções viáveis para o problema dividindo-o em subproblemas mais fáceis de

serem resolvidos, de forma que, os limitantes servirão para tentar impedir a resolução

de subproblemas nos quais a solução ótima não pertencerá. Assim, o termo branch faz

alusão ao fato do método realizar partições no espaço das soluções e o termo bound

evidencia que a prova de otimalidade utiliza-se de limitantes no decorrer da enumera-

ção.

15

Dividir e Conquistar

Quando temos um problema, podemos dividi-lo em problemas menores, resolver estes

pequenos problemas, e então avaliar cada uma das soluções. Esta é a ideia central do

dividir e conquistar. Segundo Wolsey [38], uma forma de representar esta técnica é

pela árvore de enumeração. Por exemplo, se S ⊆ {0, 1}2, podemos formar a árvore da

Figura (1.3).

Figura 1.3: Árvore de enumeração

Por convenção, a árvore é desenhada com a raiz no topo. Na Figura (1.3),

S foi dividido em S0 = {x ∈ S : x1 = 0} e S1 = {x ∈ S : x1 = 1} e, depois,

S0 foi divido em S00 = {x ∈ S0 : x2 = 0}, S01 = {x ∈ S0 : x2 = 1} e S1 em

S10 = {x ∈ S1 : x2 = 0}, S11 = {x ∈ S1 : x2 = 1}.

Enumeração Implícita

A enumeração implícita é uma avaliação sistemática de todas as soluções possíveis

sem avaliar explicitamente todas elas. Para efeitos de simplicidade, consideramos o

modelo como sendo 0-1 e construimos uma árvore binária. Alguns problemas são

tão grandes e a complexidade do problema, que gera subproblemas, são tão difíceis

quanto o original, que a enumeração completa se torna impossível, assim, dividir não

é suficiente.

16

Seja S = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sk e zt = max {cx : x ∈ St} para t = 1, ..., k, zt é

um limitante superior em zt e zt é um limitante inferior em zt.

Podemos listar três razões para podar a árvore:

• Poda por otimalidade: se zt = zt, então o valor da solução ótima para o t-ésimo

subproblema zt é conhecido e não há necessidade de subdividir St. Então z =

max{zi : i = 1, ...t} é um limitante superior em z e z = max{zi : i = 1, ...t} é

um limitante inferior em z.

Figura 1.4: Poda por otimalidade; Fonte: Wolsey (1998)

De acordo com a Figura (1.4) primeiramente z = max{20, 25} = 25 e z =

max{20, 15} = 20. Agora, como em S1 tanto o limitante inferior quanto o superior

são iguais, z1 = 20, não há mais a necessidade de analisar S1. Com isso podemos fazer

a poda por otimalidade.

• Poda por limite: Se zt ≤ z, então a solução ótima para o t-ésimo subproblema

nunca será a solução ótima para o problema original. Então, não há necessidade

de subdividir St.

Neste exemplo, Figura 1.5, podemos notar que z = max{20, 26} = 26 e

z = max{18, 21} = 21. Com isso, como o valor ótimo tem um valor de pelo menos

21, e o limitante superior z1 = 20, não tem como a solução ótima pertencer à S1. Então

podemos fazer a poda por limite.

• Poda por inviabilidade: Se St = ∅, então não há necessidade de subdividir St.

17

Figura 1.5: Poda por limite; Fonte: Wolsey (1998)

Quando colocamos uma restrição a mais no problema e fixamos uma variável

em um certo valor, por fim, não conseguimos obter uma solução para o problema. Com

isso, de acordo com a Proposição 1.4.3, se a relaxação é inviável o problema é inviável.

1.5.2 Planos de Corte

Os Planos de Corte foram introduzidos por Gomory [12]. A ideia deste método é

incluir de forma sucessiva novas restrições na Relaxação Linear do PPLI. Dessa forma,

o conjunto das soluções possíveis será cortado por estas novas restrições, porém, não

eliminando qualquer solução inteira.

Definição 1.5.1. Dado um conjunto X ⊆ Zn, a envoltória convexa de X , denotada

conv(X), é definida como: conv(X) = {x : x =∑t

i=1 λixi,∑t

i=1 λi = 1, λi ≤ 0

para i = 1, ..., t} para todo subconjunto finito {x1, ..., xt} de X .

Proposição 1.5.2. conv(X) = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} é um poliedro. (A prova pode ser

encontrada em Wolsey [38]).

Para Wosley [38], em teoria podemos reformular um Problema de Programa-

ção Inteira como um Problema de Programação Linear devido a envoltória convexa

ser um poliedro e os pontos extremos de conv(X) pertencerem a X . Um dos obje-

tivos com os Planos de Corte é tentar aproximar conv(X) na vizinhança da solução

ótima para uma dada instância do problema. Para isso, um conceito fundamental é o

da desigualdade válida.

18

Desigualdade Válida

Definição 1.5.3. A desigualdade πx ≤ π0 é uma desigualdade válida para X ⊆ Zn se

πx ≤ π0 para todo x ∈ X .

Por exemplo, se X = {x ∈ Zn : Ax ≤ b}, então todas as restrições aix ≤ bi

são desigualdades válidas para X; se conv(X) = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}, então todas as

restrições aix ≤ bi são desigualdades válidas para X .

Dada uma formulação para X , a ideia é identificar desigualdades válidas adi-

cionais para X e adicioná-las à formulação, cortando regiões da formulação que não

contêm soluções viáveis, assim, obtendo formulações melhores para X .

Agora, existe um procedimento para desenvolver desigualdades válidas cha-

mado de Procedimento de Chvátal-Gomory. Definindo o conjunto X = P ∩ Zn, onde

P = {x ∈ Rn+ : Ax ≤ b}, A é uma matriz m × n com colunas {a1, a2, ..., an} e

u ∈ Rm+ , ele consiste em três etapas:

1. Tome u ∈ Rm+ . A desigualdade

∑nj=1 u

Tajxj ≤ uT b é válida para P (desde que

u ≥ 0 e∑n

j=1 ajxj ≤ b).

2. A desigualdade∑n

j=1buTajcxj < uT b é válida para P (desde que x ≥ 0).

3. A desigualdade∑n

j=1buTajcxj ≤ buT bc é válida para X se x for inteiro, e∑nj=1buTajcxj for inteiro.

Adição de Restrição a Priori

Nesta técnica queremos examinar a formulação inicial P = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}

com X = P ∩ Zn, encontrar um conjunto de desigualdades válidas Qx ≤ q para X

e adicioná-las imediatamente a formulação gerando uma nova formulação P ′ = {x :

Ax ≤ b,Qx ≤ q, x ≥ 0} com X = P ′ ∩ Zn.

Um exemplo pode ser encontrado no Wolsey [38], onde ele apresenta um

problema de LFNC com formulação fraca.

19

Algoritmo dos Planos de Corte

Suponha que queremos resolver o PPI

z∗ = max{cTx : x ∈ P ∩ Zn}

e conhecemos a família F de desigualdades válidas paraEC = conv(P∩Zn).

A ideia do algoritmo dos Planos de Corte, segundo [32], é encontrar uma solução ótima

x∗ para o programa linear max{cTx : x ∈ P}; se a solução ótima x∗ for inteira, então

já temos uma solução ótima; caso contrário, fazemos uma busca em F para encontrar

desigualdades violadas por x∗, isto é, wx∗ > d onde wx ≤ d é válida para EC;

adicionamos a desigualdade encontrada para a nossa RL e a resolvemos para encontrar

uma nova solução ótima x∗∗ da formulação melhorada; se a família de desigualdades

válidas F contém uma descrição completa deEC, terminamos com uma solução ótima

inteira.

20

Capítulo 2

Problema das p-Medianas

O Problema das p-Medianas é um problema de localização de p facilidades (medianas)

em uma rede contendo n nós, a fim de minimizar a soma total das distâncias entre cada

nó e sua mediana mais próxima.

2.1 Exemplos

Considere um problema como na Figura 2.1, com 30 nós e que precisaremos escolher

4 para serem medianas. Um exemplo prático seria escolher quatro bairros dentre trinta

de uma cidade para instalar unidades hospitalares, ou também, definir um quarteto de

depósitos para facilitar a distribuição de mercadorias em uma certa região.

Figura 2.1: Problema com 30 nós

De acordo com o exemplo, podemos tomar a Figura 2.2 como uma escolha

21

provável de medianas. A seleção se apresenta aleatória para a exemplificação, assim

como poderia ser qualquer outra combinação de nós. Então, no exemplo temos que

quatro bairros terão hospitais instalados ou quatro depósitos para facilitar a entrega de

uma empresa.

Figura 2.2: Medianas (cinza) escolhidas

Assim, estabelecendo as devidas ligações observamos que cada nó não medi-

ana é atribuído à mediana que se encontra mais próxima dele. A Figura 2.3 representa

uma solução viável para o problema, porém não temos garantia de que seja a melhor.

Os hospitais/depósitos (medianas) irão atender os bairros/localizações (nós) a eles li-

gados.

Figura 2.3: Esquema de uma solução viável

Uma aplicação do Problema das p-Medianas pode ser vista em Rosário [27],

onde uma metodologia é proposta para a distribuição espacial de Unidades de Saúde

(US) 24 Horas no município de Curitiba, levando em consideração aspectos como: a

22

densidade demográfica, o grau de carência sócio-econômica da população, a inexistên-

cia de serviços de saúde na região e o sistema viário de transporte. A fim de minimizar

as distâncias percorridas pelos usuários desde suas residências à US 24 Horas mais

próxima, na Figura 2.4 é apresentado o resultado assumindo que não exista nenhuma

US 24 Horas anteriormente, em que os pontos cinzas são as localizações escolhidas

para a implementação das unidades que atendem as regiões delimitadas.

Figura 2.4: Resultado Encontrado baseado no gráfico obtido por Rosário (2002)

Outro exemplo prático pode ser encontrado em Lorena, Senne, Paiva e Mar-

condes ([22] apud Amorim [1]) onde discutem a integração de um modelo de p-

Medianas aos Sistemas de Informações Geográficas ArcView, da ESRI, e SPRING,

em desenvolvimento no INPE. Os testes computacionais foram realizados usando da-

dos na cidade de São José dos Campos em São Paulo, onde procuraram instalar três

antenas para oferecer uma maior cobertura do serviço de telefonia móvel. O resultado

dos testes pode ser visto na Figura 2.5, na qual os polígonos de fundo correspondem

às quadras do centro da cidade e os pontos sobrepostos são os nós de demanda consi-

derados.

23

Figura 2.5: Solução do problema com a instalação de três antenas. Fonte: Lorena

(2001)

2.2 Trabalhos Realizados

Inicialmente o Problema das p-Medianas foi introduzido por Hakimi [14]. Ele demons-

trou um teorema importante para a obtenção de soluções para o PPM, o qual prova que

ao menos um conjunto de pontos ótimos do problema será constituído de nós do grafo,

e, com isso, as heurísticas de busca não perderiam mais tempo na procura da solução

sobre os arcos do grafo. Posteriormente, o desenvolvimento da solução heurística se

deu por Tietz e Bart [30]. Eles desenvolveram um método chamado node substitution,

onde, a partir de uma solução inicial viável, o algoritmo irá substituir cada vértice do

grafo um por vez até não haver melhorias. Já em 1970, ReVelle e Swain [26] demons-

traram uma formulação do problema como um PPI. Eles realizaram um estudo sobre

um problema envolvendo Central Facilities Location, que consiste em designar m de

n nós (m < n) como centros de tal forma que, a distância ou o tempo de viagem de

cada pessoa de um nó n ao seu nó central mais próximo seja o mínimo possível. Além

disso, está presente no trabalho uma formulação do PPM em termos de Programação

Inteira Binária.

As aplicações do Problema das p-Medianas surgiram na Análise de Cluster,

24

vide: Vinod [36], onde seu artigo possui três objetivos: (i) salientar que o problema

de cluster deve ser reconhecido como um PPI (ii) formular matematicamente algumas

versões simples do PPI (iii) dar alguns exemplos numéricos para esclarecer os mo-

delos matemáticos e para ilustrar as vantagens da formulação de Programação Inteira;

Rao [25], onde uma pesquisa é feita a partir de um ponto de vista de programação ma-

temática discutindo os passos do estudo de cluster, tipos de cluster e, posteriormente,

o estudo de alguns algoritmos para cluster hierárquico, particionado, sequencial e adi-

tivo; Mulvey e Crowder [23], onde apresentaram um caso especial de LFNC e um

PPM com o objetivo central de minimizar a soma das distâncias entre cada objeto de

estudo à uma mediana do cluster designado; Hansen e Jaumard [15], onde considera-

ram o PPM combinado com a Relaxação Lagrangeana muito eficiente na obtenção de

resultados dentro do Branch-and-Bound.

Garfinkel (1979) formulou a p-Mediana como um problema Set Partitioning

[28] e usou a Geração de Colunas [38] para resolver uma Relaxação Linear, observando

que ela era bastante degenerada, ou seja, na solução básica possível há alguma variável

básica com valor zero.

Hansen e Mladenovic et al. [16] publicaram um trabalho onde apresentaram

diferentes heurísticas VNS [16] para o PPM. Além disso, compararam uma heurística

gulosa [38] com trocas e duas heurísticas Busca Tabu [10] uma proposta por Glover

([10] e [11]) e outra por Voss [37]. Após o desenvolvimento, concluíram que o VNS

superou outros algoritmos.

Em 2006, foi publicado um trabalho realizado por Avella, Sassano e Vasil’ev

et al. [2] onde desenvolveram um algoritmo Branch-and-Cut-and-Price o qual ob-

teve soluções de boa qualidade para instâncias relativamente grandes do Problema das

p-Medianas. Segundo eles, neste algoritmo estão presentes técnicas de Geração de

Colunas e Linhas Retardadas, a exploração da estrutura especial da formulação a fim

de resolver a RL e, por fim, a utilização de desigualdades válidas para reforçar a for-

mulação e limitar o tamanho da árvore de enumeração.

Na Geração de Colunas e Linhas Retardadas, o "problema mestre"é definido

25

por um subconjunto das colunas e de linhas - diferente do método de Geração de Co-

lunas padrão, onde apenas é utlizada um subconjunto pequeno das colunas. Já as desi-

gualdades válidas inseridas para reforçar a formulação foram importante para manter

o tamanho da árvore de busca dentro dos limites admissíveis. Segundo Reis [8], o

algoritmo Branch-and-Cut-and-Price inicialmente adiciona colunas à formulação até

que não seja encontrada mais nenhuma coluna com custo reduzido negativo para ser

adicionada. Então, o algoritmo busca repetidamente todos os cortes violados até que

ocorra uma falha na geração de colunas e de cortes. Em seguida, o algoritmo insere os

cortes na formulação e realiza uma verificação para saber se a solução do nó corrente é

inteira ou se é maior do que o melhor limitante superior encontrado. Se nenhuma das

afirmações for verdadeira, o algoritmo realiza a ramificação.

Em seu artigo, Tao Jia [29] propôs um modelo do PPM para listar as possí-

veis combinações de p facilidades e simular a alocação de recursos a fim de selecionar

centros de saúde numa provincia da China chamada de Henan. No desenvolvimento

do trabalho foram consideradas variáveis como: acessibilidade e qualidade de serviço.

Juntamente com as contribuições de Hongbing Tao para a coleta de informações e de

Yulong Wang, Kun Qin, Chengkun Liu, Kun Qin e Qili Gao na análise e processa-

mento de dados, foi possível obter melhores soluções nas ferrovias de alta velocidade

e rodovias.

2.3 Grafos

No estudo sobre o Problema das p-Medianas, torna-se necessário alguns conceitos de

Teoria dos Grafos. Segundo Bondy e Murty [5], um grafo G é uma tripla ordenada

(V (G), E(G),ΨG) consistindo de um conjunto não vazio V (G) de vértices, um con-

junto E(G) de arestas e uma função ΨG que associa cada aresta de G a um par de

vértices de G.

Exemplo:

26

G = (V (G), E(G),ΨG)

V (G) = (v1, v2, v3, v4)

E(G) = (e1, e2, e3, e4, e5, e6)

ΨG : ΨG(e1) = v1v2,ΨG(e2) = v2v3,ΨG(e3) = v3v3,ΨG(e4) = v3v4,ΨG(e5) = v2v4,

ΨG(e6) = v2v4.

Ainda segundo eles, grafos são assim chamados porque podem ser represen-

tados graficamente, e é esta representação gráfica que nos ajuda a compreender muitas

das suas propriedades. O grafo do exemplo pode ser visto na figura 2.6.

Figura 2.6: Diagrama do grafo G (Exemplo)

Existem casos em que os arcos dos grafos são direcionados, ou seja, cada arco

"começa"na sua ponta inicial e "termina"na sua ponta final. Nesses casos os grafos são

denominados grafos direcionados. No PPM, trabalhamos mais precisamente com esse

tipo.

2.3.1 Grafo Direcionado

Quando lidamos com problemas, como, por exemplo, o problema de fluxo de tráfego,

tornasse necessário identificar quais estradas são de mão única e quais são de mão

dupla. Claramente, um grafo da forma como definido na seção anterior não ajuda

nesse tipo de problema. O que precisamos é um grafo em que cada ligação tem uma

orientação atribuída, ou seja, um grafo direcionado. Para Bondy e Murty [5], um

grafo direcionado D (digrafo) é uma tripla ordenada (V (D), E(D),ΨD) consistindo

27

de um conjunto não vazio V (D) de vértices, um conjunto E(D) de arcos e uma função

ΨD que associa cada arco de D a um par ordenado de vértices de D. Um digrafo é

representado por um diagrama com setas no lugar de arestas, cada seta apontando para

a cabeça do arco correspondente. Um digrafo pode ser visto na Figura 2.7.

Figura 2.7: Digrafo

2.4 Formulação

Considere um problema com m medianas, n nós e uma matriz C de tamanho n × n.

Cada elemento cij representa o custo do nó i ser atribuído à mediana j.

Definimos as variáveis de decisão xij e yj como:

xij =

1, se o nó i é alocado ao nó j

0, caso contrário.

yj =

1, se o nó j é mediana

0, caso contrário.

Iniciamos a formulação com a função objetivo:

minimizar z =n∑

i=1

n∑j=1

cijxij, (2.1)

A função objetivo (2.1) minimiza o custo total entre os nós e suas respectivas

medianas. A seguir seguem as restrições do problema.

n∑i=1

xij + yj = 1 ∀j = 1, ..., n. (2.2)

28

Para um dado nó j se yj = 0, então ele deverá estar conectado a uma única

mediana i. Caso o nó j seja uma mediana, yj = 1, a restrição (2.2) garante que ele não

estará ligado à outra mediana i. A Figura 2.8 apresenta um exemplo da restrição (2.2)

com uma forma não violada (a) e duas violadas (b) e (c). A variável xij representa um

arco, que parte de uma mediana e se conecta a um nó não mediana.

Figura 2.8: O nó cinza (mediana) possui valor 1.

Seguindo com as restrições, temos:

n∑j=1

yj = p. (2.3)

A restrição 2.3 impõe que o número total de medianas abertas seja exatamente

p.

Considere as seguintes restrições,

xij ≤ yi,∀i, j = 1, ..., n. (2.4)

As restrições 2.4 garantem que o nó i está alocado ao nó j se j for mediana,

ou seja, a restrição não permite que um nó que não seja mediana sirva de mediana para

outro nó.

Então, a formulação completa do Problema das p-Medianas é:

29

minimizar z =n∑

i=1

n∑j=1

cijxij

s.an∑

i=1

xij + yj = 1 ∀j = 1, ..., n

n∑j=1

yj = p

xij ≤ yi,∀i, j = 1, ..., n

xij, yj ∈ {0, 1}

A Figura 2.9 representa uma solução viável para o PPM.

Figura 2.9: Uma solução viável com 15 nós sendo 3 medianas (cinza)

30

Capítulo 3

Relaxação Lagrangeana

Os trabalhos para o Problema do Caixeiro Viajante de Held e Karp ([17] e [18]) são

grandes referências para o prelúdio do uso constante dos métodos de RLG. Porém,

foi em 1974 que Geoffrion et al. [9] consagrou definitivamente o termo "Relaxação

Lagrangeana".

Em meados desta época, um pensamento importante era de que muitos pro-

blemas considerados difíceis, repletos de restrições, poderiam ser vistos como proble-

mas fáceis, vide Gomes [13]. Com isso, a ideia é que com a dualização das restrições

difíceis, ou seja, a introdução de um vetor de multiplicadores (multiplicadores de La-

grange) e sua adição a posteriori na função objetivo poderia gerar um problema mais

fácil de resolver - o Problema Lagrangeano.

Na resolução do Problema Lagrangeano, ocorre a formação dos limitantes in-

feriores e superiores em problemas de minimização e maximização, respectivamente,

para o valor da solução do problema original. Portanto, é factível estimar a aproxima-

ção da solução disponível da solução ótima a partir do limitante gerado pela RLG.

3.1 Definição do Problema

Considere um problema inicial P0 de Programação Inteira 0-1 expresso da seguinte

forma:

31

minimizar z = cTx (3.1)

s.a Ax ≥ b (3.2)

0 ≤ x ≤ 1, (3.3)

onde A ∈ Rm×n; c, x ∈ Rn e b ∈ Rm. Se o problema é muito difícil para

ser solucionado diretamente, podemos remover as restrições Ax ≥ b de forma que o

problema seja de fácil resolução. Para isso, sendo λ ∈ Rm um vetor de multiplicadores

de Lagrange, podemos relacionar um λi ≥ 0 a cada uma das restrições 3.2, seguindo o

procedimento de retirá-las do conjunto de restrições, realizar seu produto pelo vetor de

multiplicadores e adicioná-las à função objetivo 3.1. Podemos tomar o problema PE

abaixo como exemplicação de um problema considerado difícil:

(PE)

minimizar z = 3x1 − x2

s.a x1 − x2 ≥ −1

−x1 + 2x2 ≤ 5

3x1 + 2x2 ≥ 3

6x1 + x2 ≤ 15

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ Z.

Sua região factível pode ser vista na Figura 3.1, onde os pontos em preto

representam as soluções inteiras dentro da formulação do problema:

32

Figura 3.1: Região factível de PE.

Definindo X = Zn ∩ {x : Ax ≥ b}, a Relaxação Lagrangeana de P0, ou

PRLG, é dada por:

z = min (cTx+ λ(b− Ax)) (3.4)

s.a x ∈ X. (3.5)

Em P0, para qualquer λi ≥ 0, obtemos um limitante inferior na solução ótima.

O valor de P0 é maior do que o valor de PRLG, pois como λ ≥ 0 e (b − Ax) ≤ 0

só adicionamos termos menores que zero na função objetivo. Para Wolsey [38], se

considerarmos uma solução viável x∗ para o problema inicial, esta solução também

é solução do Problema Lagrangeano. Utilizando PE como exemplo, iremos a seguir

desenvolver o seu Problema Lagrangeano.

Como consideramos PE um problema difícil de resolver, podemos remover

algumas restrições para tentar obter um problema de mais fácil resolução. Nesse caso,

escolhemos a seguinte restrição:

33

x1 − x2 ≥ −1.

Em seguida, relacionamos esta restrição com um vetor de multiplicadores de

Lagrange e adicionamos o seu produto à função objetivo. Com isso, obtemos Relaxa-

ção Lagrangeana de PE, ou PERLG:

z(λ) = min(3x1 − x2 + λ(−1− x1 + x2))

s.a −x1 + 2x2 ≤ 5

3x1 + 2x2 ≥ 3

6x1 + x2 ≤ 15

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ Z.

A continuação do exemplo PE está presente na próxima Seção, onde desenvol-

vemos o Método do Subgradiente. Então, seguindo com o estudo da RLG, ao dualizar

3.2, obtemos que b− Ax ≤ 0 e assim:

z(λ) ≤ cTx∗ + λ(b− Ax∗).

Logo,

z(λ) ≤ cTx∗ + λ(b− Ax∗) ≤ cTx∗ ≤ z∗.

Então, podemos notar que z(λ) define um limitante inferior para P0.

Mas agora, para obter o λ que gera o limitante inferior mais próximo do valor

da solução de P0 devemos resolver o Problema Dual Lagrangeano. Assim, desejamos

encontrar multiplicadores tais que:

34

max

λ ≥ 0

minimizar (cTx+ λ(b− Ax))

x ∈ X

.

Para um resultado melhor, o valor ótimo do Problema Dual Lagrangeano (ma-

ximização) deveria ser igual ao valor ótimo do problema original (minimização). Para

Beasley [3], se os dois problemas não possuem valores ótimos iguais, então existe uma

lacuna de dualidade [24] e, portanto, seu tamanho é medido pela diferença entre o valor

ótimo do Problema Dual Lagrangeano e o valor ótimo do problema original.

Uma boa escolha para λ seria uma solução ótima para o Problema Dual, da

forma que segue:

zD = max z(λ) para λ > 0.

Figura 3.2: A forma de z(λ)

Na Figura 3.2, cada solução do problema gera uma reta com variação em λ.

Como no problema queremos minimizar em λ tomamos a curva que se forma para

dentro da fronteira. No geral, queremos resolver a função z(λ), pois ela possui boas

propriedades como continuidade e concavidade, e com isso, podemos encontrar o seu

máximo, no entanto, ela não é diferenciável.

35

Como outro exemplo para ilustrarmos a Relaxação Lagrangeana podemos

considerar uns dos mais simples problemas NP-Completos de Otimização Combina-

tória, chamado de Problema de Cobertura de Conjuntos - do inglês Set Covering Pro-

blem (SCP) - que é um problema de otimização que consiste em cobrir as linhas de

uma matriz-(0,1) aij de m linhas e n colunas por um subconjunto de colunas de custo

mínimo. A formulação apresentada foi baseada no SCP proposto por Beasley [3].

Seja,

xj = 1, se a coluna j está na solução;

xj = 0, caso contrário.

Temos a seguinte formulação para o SCP:

minn∑

j=1

cjxj (3.6)

s.an∑

j=1

aijxj ≥ 1, i = 1, 2, ...,m (3.7)

xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2..., n (3.8)

A restrição 3.7 impõe que cada linha esteja coberta por pelo menos uma co-

luna e a restrição 3.8 é a restrição de integralidade.

A fim de gerar a Relaxação Lagrangeana para o SCP, devemos escolher algum

conjunto de restrições no problema para relaxar - o que pode não ser tão fácil. Além

disso, também precisamos anexar multiplicadores de Lagrange a estas restrições, a fim

de trazê-los para a função objetivo. Mas como no SCP temos apenas o conjunto de

restrições 3.7, o escolhemos para relaxar e anexamos os multiplicadores de Lagrange

λi ≥ 0, i = 1, 2, ...,m a essas restrições. Assim, realizando estes procedimentos

encontramos a seguinte Relaxação Lagrangeana:

minn∑

j=1

cjxj +m∑i=1

λi(1−n∑

j=1

aijxj)

s.a xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, ..., n.

36

Logo,

minn∑

j=1

[cj −m∑i=1

λiaij]xj +m∑i=1

λi

s.a xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, ..., n.

Definindo Cj = [cj −∑m

i=1 λiaij] para j = 1, 2, ..., n, temos que Cj é o

coeficiente de xj na função objetivo da relaxação, assim, resultando em:

minn∑

j=1

Cjxj +m∑i=1

λi

s.a xj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, ..., n.

Com isso, a solução (Xj) para a RLG pode ser encontrado por inspeção, sendo

Xj igual a 1, se Cj ≤ 0 e Xj é igual a zero, caso contrário. A solução z(λ) é dada por:

z(λ) =n∑

j=1

CjXj +m∑i=1

λi,

onde z(λ) é o limitante inferior na solução ótima para o SCP original.

3.2 Método do Subgradiente

Em 1975 Held et al. [19] apresentou um método iterativo que ajudaria na geração de

limitantes inferiores em programas lineares de grande porte. O Método do Subgradi-

ente é um método iterativo, que através dos subgradientes do Problema Lagrangeano

tenta encontrar o conjunto de λ que resolve o Problema Dual Lagrangeano, ou seja, ele

obtem o maior limitante inferior para o problema de minimização. Os subgradientes,

na k-ésima iteração, são calculados da seguinte forma:

gki = bi −n∑

j=1

aijxkj ∀ i = 1, 2, ...,m,

37

onde xkj = [xk1, xk2, ..., x

kn]T é a solução do Problema Lagrangeano na iteração

k.

Nos resultados teóricos descritos por Held ([19] apud Gomes [13]), ressalta-

se que a escolha do tamanho do passo é importante para a convergência do método. O

resultado teórico fundamental com relação ao passo é que z(λk) → zD se: θk → 0 e∑ki=0 θ

i →∞ quando k →∞.

Segundo Gomes [13], dentre as propostas encontradas na literatura que rela-

tam a forma como é calculado o tamanho do passo, com o objetivo de tentar obter uma

taxa de convergência mais rápida, a mais utilizada na prática é:

θk = αzub − zlb‖gk‖2

,

onde θk é o tamanho do passo, α é um parâmetro com valor tal que 0 < α ≤ 2,

zub é um limitante superior para o valor da solução do problema, zlb é o valor do

melhor limitante dual obtido, até então, pelas iterações do Método do Subgradiente e

‖gk‖2 =∑m

i=1(gki )2.

Por fim, de acordo com a expressão:

λk+1i ≡ max{0, λki − θkgki } ∀ i = 1, 2, ...,m,

os multiplicadores são atualizados, a cada iteração, a partir de um vetor de

Multiplicadores de Lagrange inicial. Retornando ao exemplo PE, realizamos duas ite-

rações para o Método do Subgradiente.

Para a primeira iteração, atribuimos λ0 = 0 e o subistituímos em PERLG.

Com isso, obtemos:

38

z(0) = min(3x1 − x2)

s.a −x1 + 2x2 ≤ 5

3x1 + 2x2 ≥ 3

6x1 + x2 ≤ 15

x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ Z.

Resolvendo o problema chegamos a conclusão de que x01 = 0 e x02 = 2, então

z(0) = −2. Agora devemos calcular o subgradiente g0 para a restrição removida, ou

seja, a restrição x1 − x2 ≥ −1.

g0 = b− (a1x01 + a2x

02)

g0 = −1− (1(0)− 1(2))

g0 = −1 + 2

g0 = 1.

Em seguida, para calcular o tamanho do passo dado, devemos primeramente

obter o limitante superior zub e o melhor limitante dual zlb até o momento. Como o

ponto (1,1) da Figura 3.1 é viável para todas as restrições de PE, obtemos, a partir dele,

zub = 2. Já para zlb como o melhor valor até o momento é −2, então zlb = −2.

Sendo α = 2, temos que:

θ0 = 22− (−2)

‖1‖2

θ0 = 24

1

θ0 = 8.

Com o tamanho do passo definido podemos atualizar o λ, que será utilizado

para a próxima iteração:

39

λ1 = max{0; 0− 8(−3)}

λ1 = max{0; 24}

λ1 = 24.

Os cálculos são repetidos a cada iteração k do Método do Subgradiente até

encontrarmos uma solução de boa qualidade ou até ser impossível continuar com o

método, como por exemplo, encontrarmos um subgradiente com valor zero, pois o

valor de θ não poderá ser calculado.

3.3 Heurística Lagrangeana

A Relaxação Lagrangeana provê limitantes duais, mas também pode gerar soluções

primais durante o processo. Segundo Beasley [3], as soluções dos problemas de RLG

podem ser usadas para construir soluções viáveis para alguns problemas, isto é, a Heu-

rística Lagrangeana. Para fins explicativos, iremos utilizar o Problema de Cobertura de

Conjuntos (SCP) definido na Seção 3.1. Mais ainda, de acordo com Umetani e Yagiura

[31] a Heurística Lagrangeana começa com uma solução ótima do problema de RLG,

x(u), e tenta convertê-la em uma solução viável x para o SCP original. Esta solução

viável constitui um limitante superior na solução ótima para o problema.

Mas qual é a característica principal de uma Heurística Lagrangeana? Para

Beasley [3], a característica chave de uma Heurística Lagrangeana é a sua construção

sobre a solução atual para um Problema Lagrangeano. A solução para este problema

gera um limitante inferior sobre o valor da solução e também nos oferece um dado

importante sobre a estrutura da solução inteira ótima.

Como visto na seção anterior, as colunas no SCP cobrem cada linha ao menos

uma vez. Porém, Beasley [3] afirma que na solução do Problema Lagrangeano temos

alguns Xj = 0 e Xj = 1. Com isso, algumas linhas ficam descobertas. Porém, para

construirmos uma solução viável para o SCP necessitamos cobri-las. Como podemos

40

resolver isso? Beasley [3] ilustra uma possível Heurística Lagrangeana para construir

uma solução viável S para o SCP original, como segue:

• Seja S = [j|Xj = 1, j = 1, ..., n];

• Para cada linha i que está descoberta adicione a coluna correspondente para

min[cj|aij = 1, j = 1, ..., n] para S;

• S agora será uma solução viável para o SCP original de custo∑

j∈S cj .

Nem sempre é possível encontrar uma solução ideal, como foi o caso do

exemplo acima. Porém, conforme Beasley [3], cada vez que resolvemos a relaxação,

há chances da Heurística Lagrangeana transformar a solução para a relaxação numa

solução viável para o problema original.

41

Capítulo 4

Relaxação Lagrangeana para o

Problema das p-Medianas

A Relaxação Lagrangeana associada com heurísticas tem sido positiva na obtenção de

soluções. Para o PPM, iniciamos relaxando algumas restrições da formulação apresen-

tada no Capítulo 2. Primeiramente, escolhemos uma restrição desta formulação - no

caso escolhemos a restrição 2.2 - e a dualizamos.

z(λ) = min∑i∈V

∑j∈V

cijxij +∑j∈V

λj(1− yj −∑i∈V

xij) (4.1)

Tomamos a restrição (2.2), jogamos para o lado direito e, posteriormente, in-

serimos na função objetivo. Com isso, ajeitando a equação (4.1), obtemos o Problema

Lagrangeano (4.2):

z(λ) = min∑i∈V

∑j∈V

(cij − λj)xij +∑j∈V

λj(1− yj) (4.2)

s.an∑

j=1

yj = p (4.3)

xij ≤ yi, ∀i, j = 1, ..., n (4.4)

xij, yj ∈ {0, 1}. (4.5)

42

Podemos reescrever a (4.2) realizando a distributiva da segunda parcela da

função objetivo, assim temos:

z(λ) = min∑i∈V

∑j∈V

(cij − λj)xij +∑j∈V

−λjyj +∑j∈V

λj

s.an∑

j=1

yj = p

xij ≤ yi, ∀i, j = 1, ..., n

xij, yj ∈ {0, 1}.

Em seguida, adaptando o termo

∑j∈V

−λjyj,

fazemos com que ele seja escrito de tal forma que se pareça com a primeira

parcela da (4.2). Então obtemos,

∑j∈V

(0− λj)yj,

onde, reescrevendo a variável yj como xjj podemos considerar cjj = 0. Com

isso, é possível criar um custo auxiliar fj relativo a uma mediana, que nos dirá qual

ou quais nós tornarão medianas. Portanto, reduzimos o problema em encontrar as

medianas.

O Problema Lagrangeano especifica que teremos pmedianas e que o nó j está

ligado ao nó i se i for mediana. Contudo, quando retiramos a restrição (2.2) os nós do

problema não estão restritos a apenas uma ligação. Então, um nó não mediana pode se

ligar a mais de uma mediana, a nenhuma ou uma mediana pode receber conexões de

outras medianas, porém, um nó não mediana não pode virar mediana.

Como queremos minimizar o custo, então quanto menor for a soma dos custos

relacionados aos arcos melhor será a solução. Assim, ao decidirmos que um nó é

43

mediana duas coisas podem ocorrer: (i) se todos os custos são positivos, ele não se

ligará a ninguém, pois a ideia é ir em direção ao mínimo; (ii) se existir um subconjunto

de arcos cujo os custos são negativos, então esses têm que entrar na solução. Assim,

o fj representa o custo de colocar o nó j como mediana. Portanto, para um dado nó j

temos que fj = djj +∑

i∈V/j min {0, dji}, onde dji = cji − λi.

Se um nó possuir custo negativo para outra mediana ele também irá aparecer,

pois não existe a obrigação que ele esteja ligado a uma única mediana, mas sim, pode

ser ligado a nenhuma, a uma ou até a todas as medianas. Portanto, a criação do fj

simplica o problema. A Figura 4.1 representa as possíveis situações de uma relaxação

para um PPM removendo a restrição (2.2). Os nós 1, 2, 4 e 9 não se ligam a nenhuma

mediana (cinza), os nós 5, 6, 7, 8 e 10 se ligam a apenas uma mediana e o nó 3 se liga

a todas as medianas.

Figura 4.1: Remoção da Restrição 2.2

Com o custo auxiliar estabelecido, z(λ) pode ser reformulado para:

z′(λ) = min∑j∈V

fjyj +∑j∈V

λj (4.6)

s.a∑j∈V

yj = p (4.7)

yj ∈ {0, 1}∀j ∈ V. (4.8)

O Subproblema Lagrangeano (4.6)-(4.8) corresponde a uma enumeração sim-

44

ples das p facilidades com o menor custo fj . Agora, como podemos minimizar essa

função? A única restrição presente é que o somatório das medianas tem que ser igual

a p. Com isso, tomamos o fj e ordenamos de forma crescente (do mais negativo para

o maior positivo) e tomamos os primeiros p índices relativos a essa ordenação. Esta

será a solução do Problema Lagrangeano com λ fixo. Ao observar como a função fj

foi definida, podemos saber quem será ligado à quem.

4.1 Heurística Lagrangeana para o Problema das p-

Medianas

Nesta seção, apresentamos uma Heurística Primal baseada em informações duais. No

Problema das p-Medianas, os focos serão a relaxação (4.2)-(4.8) e o uso do Método do

Subgradiente para calcular os multiplicadores λj .

No Problema Lagrangeano, para cada iteração k, o vetor fk contém o custo

auxiliar fj , sendo ela de forma crescente. Com isso, seja, fk = [fkj1≤ fk

j2≤ ... ≤

fkjp ≤ fk

jp+1≤ ... ≤ fk

jn ], onde os p primeiros nós são o conjunto de medianas. Com

isso, as p medianas são escolhidas.

Porém, na solução Dual pode ocorrer de alguns nós não se ligarem a nenhuma

mediana, se ligarem a mais de uma mediana, ou até uma mediana se ligar a outra

mediana. Por isso, não se pode usar diretamente, em todos os casos, a solução Dual

como sendo a solução Primal. Algumas vezes elas são iguais, porém não é comum

isso acontecer.

Seguindo, partindo das p medianas estabelecidas, tomamos cada nó não me-

diana i e calculamos os p custos dji de cada ligação entre i à cada mediana j. Para

conectar uma não-mediana à uma mediana com o menor custo podemos escrever a

equação σi = min {dji| j é mediana}.

Em seguida, cada solução primal para cada iteração k do Método do Sub-

gradiente é obtida da seguinte forma: os p nós com os menores custos auxiliares no

vetor fk serão as medianas. Os nós que sobraram serão conectados as medianas que

45

oferecerem menor custo. Assim, o custo total da solução primal z é dada por:

zk =∑j∈V

∑i∈V

cjixji, (4.9)

onde, xji = 1, se dji for o menor custo para toda mediana j com yj = 1 e

xji = 0, caso contrário.

4.2 Busca Local

Partindo de uma solução inicial, consiste em percorrer iterativamente pelo espaço de

busca movendo-se, em cada passo, de uma solução para uma solução vizinha (adja-

cente).

Seja S o espaço de busca do problema e s uma solução do problema. A função

vizinhança é uma função N(s) que mapeia cada solução s ∈ S para um subconjunto

N(s) ⊂ S. Um elemento qualquer de N(s) é denominado de vizinho de s.

Todo vizinho s′ ∈ N(s) é alcançado pela solução s através de uma opera-

ção denominada de movimento. A Figura 4.2 mostra um exemplo de movimento.

Cada agrupamento é investigado e, em seguida, se pelo menos um movimento é feito,

realiza-se mais um teste que observa se existe uma mediana j 6= j′ tal que cij′ ≤ ci′j′ ,

onde j′ é uma mediana que atende o nó i′. O teste é realizado para todo nó que não

é mediana e a busca local é encerrada quando não há movimentos que melhorem a

qualidade da solução atual.

Figura 4.2: Exemplo de movimento

46

4.3 Exemplo

Nesta seção apresentamos um exemplo prático de uma Relaxação Lagrangeana para

um PPM. Considere que, conforme a orientação do Ministério da Saúde, todos os

municípios da Região Metropolitana do Rio de Janeiro irão receber lotes de vacinas

contra a gripe. Para facilitar a entrega, três dos vinte e um municípios serão escolhidos

para servirem como pontos de distribuição da vacina para os outros municípios. A

Figura 4.3 apresenta a Região Metropolitana do Rio de Janeiro.

Figura 4.3: Região Metropolitana do Rio de Janeiro; Fonte: Ceperj (2014)

A ideia é decidir quais municípios serão os distribuidores e, entre os três pon-

tos de distribuição, qual ou quais municípios serão servidos por cada um deles de tal

forma que o custo seja mínimo. É possível tomar esse exemplo como um Problema das

p-Medianas, onde os pontos de distribuição serão as medianas e os outros municípios

serão os nós. Para iniciar o modelo, cada município será um nó e receberá um número

de identificação (ID) correspondente conforme a Tabela 4.1.

47

Tabela 4.1: ID dos Municípios

Município ID

Rio de Janeiro 1

São Gonçalo 2

Duque de Caxias 3

Nova Iguaçu 4

Niterói 5

Belford Roxo 6

São João de Meriti 7

Magé 8

Itaboraí 9

Mesquita 10

Nilópolis 11

Maricá 12

Queimados 13

Itaguaí 14

Japeri 15

Seropédica 16

Rio Bonito 17

Guapimirim 18

Cachoeiras de Macacu 19

Paracambi 20

Tanguá 21

48

Para coletar as distâncias (custos a serem minimizados) entre cada combina-

ção de municípios foi utilizado o GoogleMaps da seguinte forma: (i) colocamos o

ponto de partida aproximandamente no meio de um município (ii) colocamos o ponto

de chegada, também aproximadamente, no meio de outro município (iii) das rotas

disponivéis pelo GoogleMaps escolhemos a menor possível. O cálculo é feito tanto

para ida quanto para a volta, pois nem sempre as distâncias das duas são as mesmas.

As Tabelas 4.2 e 4.3 contêm as distâncias em quilômetros entre cada combinação de

municípios.

Outra variável que poderiamos otimizar é o tempo de viagem. Contudo, não a

consideramos, pois o tempo depende das condições do trânsito. Em certos períodos do

dia algumas estradas estão com um tráfego mais intenso do que em outros intervalos de

tempo. Com isso, seria interessante realizar um levantamento de dados regularmente e

obter a média de tempo de viagem entre cada município.

Podemos tomar a união das Tabelas 4.2 e 4.3 como a matriz de custo c. Po-

rém, como as distâncias de ida e de volta são diferentes, em alguns casos, a matriz é

assimétrica. Por exemplo, a distância do Rio de Janeiro à Seropédica é de 38.9 Km e

de Seropédica ao Rio de Janeiro é de 37.6 Km. Para obtermos uma matriz simétrica,

aplicamos a expressão:

cji =cij + cji

2= cij.

A união das Tabelas 4.4 e 4.5 representa a nova matriz simétrica de custo

c. No exemplo trabalhado nessa seção realizamos três iterações, e assim, obtemos

soluções Duais e Primais em cada uma.

Iniciando com a 1a iteração, adotamos λ0i = 0 para todo i = 1, 2, 3, ..., 21.

Em seguida, calculamos o custo auxiliar fj para todos os municípios. Sendo,

fj = djj +∑i∈V/j

min {0, dji}, onde dji = cTji − λi,

49

Tabela 4.2: Distâncias dos Municípios 1 ao 11

j

i1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

2021

10

3.2

39.6

29.4

55.3

35.4

27.9

73.1

84.3

22.4

19.6

91.8

54.3

37.7

59.7

38.9

109

79.5

119

57.2

95.4

263

.20

5762

15.8

54.3

49.1

37.8

23.1

59.1

59.6

33.8

74.7

96.8

98.4

97.2

48.2

47.9

66.3

106

42.1

337

.563

.40

2232

.314

.39.

143

.663

.619

2171

.234

.657

.756

.555

.391

.357

9864

79.6

430

62.8

22.3

048

.38.

313

.264

.680

.44.

78.

487

.816

.563

.338

.437

.110

877

.911

945

.996

.4

556

.115

.930

.748

.60

40.9

35.7

48.3

33.6

45.7

46.2

4361

.383

.483

.281

.961

.460

.279

.490

.749

.7

635

.357

.317

.810

.543

.80

651

.174

.86.

49.

482

.322

.369

.144

.242

.910

364

.410

651

.690

.9

728

.251

.611

.112

.938

.15.

20

54.9

688.

711

.275

.425

.558

.547

.446

.295

.466

.710

855

86.6

872

.832

.642

.964

.748

.357

51.8

029

.961

.862

.857

.574

.310

871

.488

.857

.616

.561

.494

45.9

984

.119

.962

.480

.835

.773

.167

.931

.40

77.8

78.4

28.1

104

138

108

118

29.4

43.2

48.1

124

17.7

1023

.260

.521

5.9

477.

111

.962

.378

.10

3.7

86.9

2459

.345

.944

.710

675

.611

753

.494

.1

1121

.358

.919

.49.

345

.48.

710

.361

.576

.53.

70

83.9

23.5

49.8

49.6

48.3

104

75.6

117

57.1

92.5

50

Tabela 4.3: Distâncias dos Municípios 12 ao 21

j

i1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

2021

1290

.535

.270

.589

.143

.881

.477

.858

.327

.987

.788

.30

103

124

125

124

5270

.271

.713

340

.4

1355

.776

.937

.416

.263

.423

.526

.473

.810

322

.329

.310

20

53.6

28.7

27.5

131

87.1

128

36.2

119

1437

.199

.162

57.3

85.6

64.6

60.3

106

135

63.4

51.9

124

50.3

041

.132

.216

311

916

049

.115

1

1558

.510

360

39.3

86.5

46.6

51.4

72.3

106

45.4

52.5

126

18.3

43.1

022

.812

985

.412

611

.411

7

1637

.695

.853

.732

.579

.739

.842

.981

.111

038

.645

.613

626

.134

.516

.30

138

94.4

135

21.7

126

1710

8.7

46.4

88.2

107

61.5

98.9

93.7

57.2

28.5

104

104

50.8

119

164

127

144

069

.163

.114

911

.9

1880

.157

.956

.378

.172

.270

.465

.224

.453

.775

.275

.481

.387

.712

284

.810

181

.40

45.9

115

80.5

1911

8.9

65.7

97.2

119

80.8

111

106

65.3

52.4

116

116

7212

916

312

614

264

.744

.90

148

53

2059

.310

967

45.6

92.8

52.9

57.8

94.9

124

51.8

58.8

131

38.7

48.8

11.4

2215

211

614

90

140

2198

.844

.478

.496

.851

.789

.183

.947

.418

.793

.894

.441

109

154

117

134

13.1

80.7

53.3

139

0

51

Tabela 4.4: Distâncias Simétricas dos Municípios 1 ao 11

j

i1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

2021

10

63.2

38.5

29.7

55.7

35.4

2872

.984

.222

.820

.491

.255

37.4

59.1

38.2

510

8.9

79.8

119

58.3

97.1

263

.20

60.2

62.4

15.8

555

.850

.435

.221

59.8

59.3

33.2

75.8

97.9

100.

796

.547

.352

.966

107.

543

.3

338

.560

.20

22.2

31.5

1610

.143

.363

19.2

2170

.936

59.9

58.3

54.5

89.8

56.7

97.6

65.5

79

429

.762

.422

.20

48.5

9.4

1364

.780

.65.

38.

988

.45

16.4

60.3

38.9

34.8

107.

578

119

45.7

96.6

555

.715

.85

31.5

48.5

042

.436

.948

.334

.746

.445

.843

.462

.484

.484

.980

.861

.566

.280

.191

.850

.7

635

.455

.816

9.4

42.4

05.

654

746.

89.

181

.922

.966

.945

.441

.410

767

.410

8.5

52.3

90

728

50.4

10.1

1336

.95.

60

53.4

6810

.310

.876

.626

59.4

49.4

44.6

94.6

6610

756

.485

.3

872

.935

.243

.364

.748

.354

53.4

030

.762

.162

.559

.574

.110

771

.985

57.4

20.5

63.4

94.5

46.7

984

.221

6380

.634

.774

6830

.70

77.9

577

.542

.110

413

710

111

429

48.5

50.3

124

18.2

1022

.859

.819

.25.

346

.46.

810

.362

.177

.95

03.

787

.323

.270

.845

.65

41.7

105

75.4

117

52.6

94

1120

.459

.321

8.9

45.8

9.1

10.8

62.5

77.5

3.7

086

.126

.450

.951

4710

475

.511

758

93.5

52

Tabela 4.5: Distâncias Simétricas dos Municípios 12 ao 21

j

i1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

2021

1291

.233

.270

.988

.45

43.4

81.9

76.6

59.5

42.1

87.3

86.1

010

312

412

513

051

.475

.871

.913

240

.7

1355

75.8

3616

.462

.422

.926

74.1

104

23.2

26.4

103

052

23.5

26.8

125

87.4

129

37.5

114

1437

.497

.959

.960

.384

.466

.959

.410

713

70.8

50.9

124

520

42.1

33.4

163.

514

1.5

162

49.5

152

1559

.110

0.7

58.3

38.9

84.9

45.4

49.4

71.9

101

45.6

551

152

23.5

42.1

019

.612

885

.112

6.5

11.4

117

1638

.25

96.5

54.5

94.8

80.8

41.4

44.6

8511

441

.747

130

26.8

33.4

19.6

014

197

.713

8.5

21.8

513

0

1710

8.9

47.3

89.8

107.

561

.510

794

.657

.429

105

104

51.4

125

163.

512

814

10

75.3

63.9

151.

512

.5

1879

.852

.956

.778

66.2

67.4

6620

.548

.575

.475

.575

.887

.414

1.5

85.1

97.7

75.3

045

.411

5.5

80.6

1911

966

97.6

119

80.1

108.

510

763

.450

.311

711

771

.912

916

212

6.5

138.

563

.945

.40

148.

553

.2

2058

.310

7.5

65.5

45.7

91.8

52.3

56.4

94.5

124

52.6

5813

237

.549

.511

.421

.85

151.

511

5.5

148.

50

139.

5

2197

.143

.379

96.6

50.7

9085

.346

.718

.294

93.5

40.7

114

152

117

130

12.5

80.6

53.2

139.

50

53

Tabela 4.6: Custo Auxiliar - 1a IteraçãoMunicípio ID fj

Rio de Janeiro 1 0São Gonçalo 2 0

Duque de Caxias 3 0Nova Iguaçu 4 0

Niterói 5 0Belford Roxo 6 0

São João de Meriti 7 0Magé 8 0

Itaboraí 9 0Mesquita 10 0Nilópolis 11 0Maricá 12 0

Queimados 13 0Itaguaí 14 0Japeri 15 0

Seropédica 16 0Rio Bonito 17 0Guapimirim 18 0

Cachoeiras de Macacu 19 0Paracambi 20 0

Tanguá 21 0

obtemos a Tabela 4.6 que contém o fj de cada município. Portanto, como

λ0i = 0 para todo i = 1, 2, 3, ..., 21 e todas as distâncias são positivas, então fj = 0

para todo j = 1, 2, 3, ..., 21.

Agora que os fj da 1a iteração estão definidos, como próximo passo, ordena-

mos em ordem crescente todos os fj, j = 1, 2, 3, ..., 21. Em seguida, tomamos os três

primeiros para serem medianas do problema. Porém, como todos os fj são iguais, por

padrão, o ordenamos respeitando a ordem de ID estabelecida anteriormente. Portanto,

Rio de Janeiro, São Gonçalo e Duque de Caxias serão as medianas iniciais.

Resolvendo a relaxação, obtemos o limitante inferior do problema, pois qual-

quer solução ótima para uma relaxação irá conceder um limitante inferior no caso de

minimização. Com isso, sendo:

z(λk) =∑j∈V

fjyj +∑j∈V

λj,

temos que a z(λ0) = 0. A Figura 4.4 apresenta a solução Dual da 1a iteração.

54

Como todos os custos dji são positivos, não temos ligações entre medianas e nós.

Figura 4.4: Solução Dual da 1a Iteração

Utilizando a Heurística proposta na Seção 4.1, podemos encontrar o limitante

superior. Esta Heurística não utiliza nenhum arco dado pela solução Dual. Então,

partindo das p medianas estabelecidas, tomamos cada nó não mediana i e calculamos

os p custos dji de cada ligação j ao nó i. Em seguida, os nós serão conectados as

medianas que oferecerem menor custo. A Tabela 4.7 apresenta os custos dji, onde

os menores estão em negrito. Assim, a Figura 4.5 apresenta a solução Primal da 1a

iteração.

Figura 4.5: Solução Primal da 1a Iteração

55

Tabela 4.7: Custos dji - 1a Iteração

MunicípioMediana

1 2 3Nova Iguaçu 29.7 62.4 22.2Niterói 55.7 15.85 31.5Belford Roxo 35.4 55.8 16São João de Meriti 28 50.4 10.1Magé 72.9 35.2 43.3Itaboraí 84.2 21 63Mesquita 22.8 59.8 19.2Nilópolis 20.4 59.3 21Maricá 91.2 33.2 70.9Queimados 55 75.8 36Itaguaí 37.4 97.9 59.9Japeri 59.1 100.7 58.3Seropédica 38.25 96.5 54.5Rio Bonito 108.9 47.3 89.8Guapimirim 79.8 52.9 56.7Cachoeiras de Macacu 119 66 97.6Paracambi 58.3 107.5 65.5Tanguá 97.1 43.3 79

Seguem listados abaixo todas as conexões da solução Primal da 1a iteração:

• Rio de Janeiro: Itaguaí, Seropédica, Paracambi e Nilópolis;

• Duque de Caxias: São João de Meriti, Belford Roxo, Mesquita, Nova Iguaçu,

Japeri e Queimados;

• São Gonçalo: Niterói, Magê, Guapimirim, Itaboraí, Maricá, Tanguá, Rio Bonito

e Cachoeiras de Macacau.

Com os limitantes definidos, em seguida, realizamos o Método do Subgradi-

ente. O cálculo do subgradiente é desenvolvido para todos o municípios. Sendo,

gkj = 1− yj −∑i∈V

xij,

a Tabela 4.8 apresenta o subgradiente de cada município. Lembrando que

o subgradiente é feito para a solução Dual, então, como no início não há ligações∑i∈V xij = 0 ∀i = 1, 2, 3, ...21.

56

Tabela 4.8: Subgradientes - 1a IteraçãoMunicípio ID gi





Itaboraí 9 1Mesquita 10 1Nilópolis 11 1Maricá 12 1


Seropédica 16 1Rio Bonito 17 1Guapimirim 18 1

Cachoeiras de Macacu 19 1Paracambi 20 1

Tanguá 21 1

No passo seguinte calculamos o Tamanho de Passo θk dado. Neste momento,

zub será a menor solução Primal até o momento e zlb será a maior solução Dual z(λk)

encontrada até a presente iteração. Sendo α = 2, temos que:

θk = αzub − zlb‖gk‖2

θ0 = 2630.9− 0

18

θ0 = 70.1.

Atualizamos o λ de acordo com a expressão:

λk+1i = λki + θkgki

A Tabela 4.9 apresenta o λ1i para todo i = 1, 2, 3, ..., 21.

57

Tabela 4.9: Atualização do λ - 1a IteraçãoMunicípio ID λi


Duque de Caxias 3 0Nova Iguaçu 4 70.1

Niterói 5 70.1Belford Roxo 6 70.1

São João de Meriti 7 70.1Magé 8 70.1

Itaboraí 9 70.1Mesquita 10 70.1Nilópolis 11 70.1Maricá 12 70.1

Queimados 13 70.1Itaguaí 14 70.1Japeri 15 70.1

Seropédica 16 70.1Rio Bonito 17 70.1Guapimirim 18 70.1

Cachoeiras de Macacu 19 70.1Paracambi 20 70.1

Tanguá 21 70.1

Como dualizamos uma restrição de igualdade, os Multiplicadores de Lagrange

serão irrestritos em sinal. Além disso, devido a forma que o cálculo do subgradiente foi

definido, a expressão que atualiza o λ possui uma adição e não uma subtração. Antes

de iniciarmos a 2a iteração, devemos construir a Matriz de Custo Lagrangeano (MCL)

que será utilizado posteriormente no cálculo do custo auxiliar. Essa nova matriz é

composta pelos custos dji, onde cada λi receberá o valor correspondente apresentado

na Tabela 4.9. As Tabelas 4.10 e 4.11 apresentam os Custos Lagrangeanos para a 2a

iteração.

Com isso, a 2a iteração é iniciada adotando λ1i = 0 para i = 1, 2, 3, e λ1i =

70.1 para i = 4, 5, 6, ..., 21. Em seguida, calculamos o custo auxiliar fj para todos

os municípios. Assim, obtemos a Tabela 4.12 que contém o fj de cada município,

onde os valores em negrito correspondem aos menores custos. Podemos observar que,

possuimos valores negativos na Matriz de Custo Lagrangeano, assim, os custos fj não

são mais nulos.

58

Tabela 4.10: Custos Lagrangeanos dos Municípios 1 ao 11

ji

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

21

10

63.2

38.5

-40.

4-1

4.4

-34.

7-4

2.1

2.8

14.1

-47.

3-4

9.7

21.1

-15.

1-3

2.7

-11

-31.

8538

.89.

748

.9-1

1.8

272

63.2

060

.2-7

.7-5

4.25

-14.

3-1

9.7

-34.

9-4

9.1

-10.

3-1

0.8

-36.

95.

727

.830

.626

.4-2

2.8

-17.

2-4

.137

.4-2

6.8

338

.560

.20

-47.

9-3

8.6

-54.

1-6

0-2

6.8

-7.1

-50.

9-4

9.1

0.8

-34.

1-1

0.2

-11.

8-1

5.6

19.7

-13.

427

.5-4

.68.

94

29.7

62.4

22.2

0-2

1.6

-60.

7-5

7.1

-5.4

10.5

-64.

8-6

1.2

18.3

5-5

3.7

-9.8

-31.

2-3

5.3

37.4

7.9

48.9

-24.

426

.55

55.7

15.8

531

.5-2

1.6

0-2

7.7

-33.

2-2

1.8

-35.

4-2

3.7

-24.

3-2

6.7

-7.7

14.3

14.8

10.7

-8.6

-3.9

1021

.7-1

9.4

635

.455

.816

-60.

7-2

7.7

0-6

4.5

-16.

13.

9-6

3.3

-61

11.8

-47.

2-3

.2-2

4.7

-28.

736

.9-2

.738

.4-1

7.8

19.9

728

50.4

10.1

-57.

1-3

3.2

-64.

50

-16.

7-2

.1-5

9.8

-59.

36.

5-4

4.1

-10.

7-2

0.7

-25.

524

.5-4

.136

.9-1

3.7

15.2

872

.935

.243

.3-5

.4-2

1.8

-16.

1-1

6.7

0-3

9.4

-8-7

.6-1

0.6

436

.91.

814

.9-1

2.7

-49.

6-6

.724

.4-2

3.4

984

.221

6310

.5-3

5.4

3.9

-2.1

-39.

40

7.85

7.4

-28

33.9

-57.

130

.943

.9-4

1.1

-21.

6-1

9.8

53.9

-51.

910

22.8

59.8

19.2

-64.

8-2

3.7

-63.

3-5

9.8

-87.

850

-66.

417

.2-4

6.9

0.7

-24.

45-2

8.4

34.9

5.3

46.9

-17.

523

.911

20.4

59.3

21-6

1.2

-24.

3-6

1-5

9.3

-7.6

7.4

-66.

40

16-4

3.7

-19.

2-1

9.1

-23.

133

.95.

446

.9-1

2.1

23.4

59

Tabela 4.11: Custos Lagrangeanos dos Municípios 12 ao 21

ji

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

21

1291

.233

.270

.918

.35

-26.

711

.86.

5-1

0.6

-28

17.2

160

32.9

53.9

54.9

59.9

-18.

75.

71.

861

.9-2

9.4

1355

75.8

36-5

3.7

-7.7

-47.

2-4

4.1

433

.9-4

6.9

-43.

732

.90

-18.

1-4

6.6

-43.

354

.917

.358

.9-3

2.6

43.9

1437

.497

.959

.9-9

.814

.3-3

.2-1

0.7

36.9

-57.

10.

7-1

9.2

53.9

-18.

10

-28

-36.

793

.471

.491

.9-2

0.6

81.9

1559

.110

0.7

58.3

-31.

214

.8-2

4.7

-20.

71.

830

.9-2

4.45

-19.

181

.9-4

6.6

-28

0-5

0.5

57.9

1556

.4-5

8.7

46.9

1638

.25

96.5

54.5

24.7

10.7

-28.

7-2

5.5

14.9

43.9

-28.

4-2

3.1

59.9

-43.

3-3

6.7

-50.

50

70.9

27.6

68.4

-48.

2559

.917

108.

947

.389

.837

.4-8

.636

.924

.5-1

2.7

-41.

134

.933

.9-1

8.7

54.9

93.4

57.9

70.9

05.

2-6

.281

.4-5

7.6

1879

.852

.956

.77.

9-3

.9-2

.7-4

.1-4

9.6

-21.

65.

35.

45.

717

.371

.415

27.6

5.2

0-2

4.7

45.4

10.5

1911

966

97.6

48.9

1038

.436

.9-6

.7-1

9.8

46.9

46.9

1.8

58.9

91.9

56.4

68.4

-6.2

-24.

70

78.4

-16.

920

58.3

107.

565

.5-2

4.4

21.7

-17.

8-1

3.7

24.4

53.9

-17.

5-1

2.1

61.9

-32.

6-2

0.6

-58.

7-4

8.25

81.4

45.4

78.4

069

.421

97.1

43.3

7926

.5-1

9.4

19.9

15.2

-23.

4-5

1.9

23.9

23.4

-29.

443

.981

.946

.959

.910

.510

.5-1

6.9

69.4

0

60


Rio de Janeiro 1 -331.1São Gonçalo 2 -308.9

Duque de Caxias 3 -424.2Nova Iguaçu 4 -425.2

Niterói 5 -254Belford Roxo 6 -417.6

São João de Meriti 7 -411.4Magé 8 -218

Itaboraí 9 -296.4Mesquita 10 -403.25Nilópolis 11 -397Maricá 12 -113.4

Queimados 13 -383.9Itaguaí 14 -203.4Japeri 15 -303.95

Seropédica 16 -284.45Rio Bonito 17 -144.9Guapimirim 18 -106.6

Cachoeiras de Macacu 19 -74.3Paracambi 20 -245.65

Tanguá 21 -141

Agora que os fj da 2a iteração estão definidos, como próximo passo, ordena-

mos em ordem crescente todos os fj, j = 1, 2, 3, ..., 21. Em seguida, tomamos os três

primeiros para serem medianas do problema. Portanto, Duque de Caxias, Nova Iguaçu

e Belford Roxo são as novas medianas. Obtemos o limitante inferior calculando z(λ1)

da seguinte forma:

z(λ1) =∑j∈V

fjyj +∑j∈V

xij

z(λ1) = −1267 + 1261.8

z(λ1) = −5.2.

A Figura 4.6 apresenta a solução Dual da 2a iteração. Devido a relaxação do

problema, podemos observar que agora existem nós com apenas uma mediana, nós

com mais de uma mediana e, também, medianas conectadas a outras medianas.

61


Seguem listados abaixo todas as conexões da solução Dual da 2a iteração:

• Duque de Caxias: Nova Iguaçu, Niterói, Belford Roxo, São João de Meriti,

Magé, Itaboraí, Mesquita, Nilópolis, Queimados, Itaguaí, Japeri, Seropédica,

Guapimirim, Paracambi;

• Nova Iguaçu: Niterói, Belford Roxo, São João de Meriti, Magé, Mesquita, Quei-

mados, Itaguaí, Japeri, Seropédica, Paracambi;

• Belford Roxo:Nova Iguaçu, Niterói, São João de Meriti, Magé, Itaboraí, Mes-

quita, Nilópolis, Queimados, Itaguaí, Japeri, Seropédica, Guapimirim, Para-

cambi.

Utilizando a MCL e a Heurística, obtemos os custos dji entre cada mediana j

e cada nó i. A Tabela 4.13 apresenta os custos dji, onde os menores estão em negrito.

Assim, a Figura 4.7 apresenta a solução Primal da 2a iteração.


• Duque de Caxias: Magé, Guapimirim, Cachoeiras de Macacu, Rio Bonito, Tan-

guá, Itaboraí, Niterói, Maricá;

• Nova Iguaçu: Rio de Janeiro, Nilópolis, Mesquita, Queimados, Japeri, Para-

cambi, Seropédica, Itaguaí;

62


• Belford Roxo: São João de Meriti, São Gonçalo.

Com os limitantes definidos, em seguida, realizamos de novo o Método do

Subgradiente. O cálculo do subgradiente é desenvolvido para todos o nós i = 1, 2, 3, ..., 21.

a Tabela 4.14 apresenta o subgradiente de cada município. Como existem ligações na

solução Dual da 2a iteração, o∑

i∈V xij não é mais nulo para a maioria dos nós.

No passo seguinte calculamos o Tamanho de Passo θk dado. A atualização do

zub e zlb não é realizada em todas as iterações, pois apenas mudamos caso o valor seja

melhor. Por exemplo, se em uma iteração k + 1 encontrarmos, com a heurística, um

zub maior do que zub da iteração k não realizamos a atualização, pois este zub deve ser

sempre mais próximo possível de zlb. Fazer um "zigue-zague"sem ter melhora efetiva

não converge o problema. Sendo α = 2, temos que:

θ1 = 2630.9− 0

51

θ1 = 24.74.


Para iniciarmos a 3a iteração, construimos a MCL que será utilizado no cál-

culo do custo auxiliar. Essa nova matriz é composta pelos custos dji, onde cada λi

receberá o valor correspondente apresentado na Tabela 4.15. As Tabelas 4.16 e 4.17

apresentam os Custos Lagrangeanos para a 3a iteração.

63


MunicípioMediana

3 4 6Rio de Janeiro 38.5 29.7 35.4São Gonçalo 60.2 62.4 55.8Niterói -38.6 -21.6 -27.7São João de Meriti -60 -57.1 -64.5Magé -26.8 -5.4 -16.1Itaboraí -7.1 10.5 3.9Mesquita -50.9 -64.8 -63.3Nilópolis -49.1 -61.2 -61Maricá 0.8 18.35 11.8Queimados -34.1 -53.7 -47.2Itaguaí -10.2 -9.8 -3.2Japeri -11.8 -31.2 -24.7Seropédica -15.6 -35.3 -28.7Rio Bonito 19.7 37.4 36.9Guapimirim -13.4 7.9 -2.7Cachoeiras de Macacu 27.5 48.9 38.4Paracambi -4.6 -24.4 -17.8Tanguá 8.9 26.5 19.9



Duque de Caxias 3 0Nova Iguaçu 4 -2

Niterói 5 -2Belford Roxo 6 -2

São João de Meriti 7 -2Magé 8 -2

Itaboraí 9 0Mesquita 10 -2Nilópolis 11 -2Maricá 12 1

Queimados 13 0Itaguaí 14 -2Japeri 15 -2

Seropédica 16 -2Rio Bonito 17 1Guapimirim 18 -1

Cachoeiras de Macacu 19 1Paracambi 20 -2

Tanguá 21 1

64


Rio de Janeiro 1 24.74São Gonçalo 2 24.74

Duque de Caxias 3 0Nova Iguaçu 4 20.62

Niterói 5 20.62Belford Roxo 6 20.62

São João de Meriti 7 20.62Magé 8 20.62

Itaboraí 9 70.1Mesquita 10 20.62Nilópolis 11 20.62Maricá 12 94.84

Queimados 13 70.1Itaguaí 14 20.62Japeri 15 20.62

Seropédica 16 20.62Rio Bonito 17 94.84Guapimirim 18 45.36

Cachoeiras de Macacu 19 94.84Paracambi 20 20.62

Tanguá 21 94.84

Com isso, iniciamos a 3a iteração calculando o custo auxiliar fj para todos os

municípios. Assim, obtemos a Tabela 4.18 que contém o fj de cada município, onde

os valores em negrito correspondem aos menores custos.

Agora que os fj da 3a iteração estão definidos, ordenamos em ordem cres-

cente todos os fj, j = 1, 2, 3, ..., 21 e tomamos os três primeiros para serem as novas

medianas do problema. Portanto, São Gonçalo, Itaboraí e Rio Bonito serão as novas

medianas. Obtemos o limitante inferior calculando z(λ1) da seguinte forma:

z(λ2) =∑j∈V

fjyj +∑j∈V

xij

z(λ2) = −874.5 + 842.2

z(λ2) = −33.3.

65

Tabela 4.16: Custos Lagrangeanos dos Municípios 1 ao 11 - 2a Iteração

ji

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

21

10

38.4

638

.59.

135

.114

.87.

452

.314

.12.

2-0

.2-3

.6-1

5.1

16.8

38.5

17.6

14.1

34.4

24.2

37.7

2.3

238

.50

60.2

41.8

-4.7

35.2

29.8

14.6

-49.

139

.238

.7-6

1.6

5.7

77.3

80.1

75.9

-47.

57.

5-2

8.9

86.9

-51.

63

13.8

35.5

01.

610

.9-4

.6-1

0.5

22.7

-7.1

-1.4

0.4

-23.

5-3

4.1

39.3

37.7

33.9

-5.1

11.3

2.8

44.9

-15.

84

4.9

37.7

22.2

027

.9-1

1.2

-7.6

4.1

10.5

-15.

3-1

1.7

-6.4

-53.

739

.718

.314

.212

.732

.624

.225

.11.

85

30.9

-8.9

31.5

27.9

021

.816

.327

.7-3

5.4

25.8

25.2

-51.

5-7

.763

.864

.360

.2-3

3.3

20.8

-14.

771

.2-4

4.1

610

.731

.116

-11.

221

.80

-15.

133

.43.

9-1

3.8

-11.

5-1

2.9

-47.

246

.324

.820

.812

.222

13.7

31.7

-4.8

73.

225

.610

.1-7

.616

.2-1

50

32.7

-2.1

-10.

3-9

.8-1

8.2

-44.

138

.728

.723

.9-0

.220

.612

.135

.7-9

.58

48.1

10.4

43.3

4427

.633

.332

.70

-39.

241

.441

.8-3

5.3

486

.351

.264

.3-3

7.4

-24.

8-3

1.4

73.8

-48.

19

59.4

-3.7

6359

.914

53.3

47.3

100

57.3

56.8

-52.

733

.911

6.4

80.3

93.3

-65.

83.

1-4

4.5

103.

3-7

6.6

10-1

.935

19.2

-15.

325

.7-1

3.8

-10.

341

.47.

80

-16.

9-7

.5-4

6.9

50.2

2521

10.1

3022

.131

.9-0

.84

11-4

.334

.521

-11.

725

.1-1

1.5

-9.8

41.8

7.4

-16.

90

-8.7

-43.

730

.230

.326

.39.

130

.122

.137

.3-1

.3

66

Tabela 4.17: Custos Lagrangeanos dos Municípios 12 ao 21 - 2a Iteração

ji

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

21

1266

.48.

470

.967

.822

.761

.255

.938

.8-2

866

.665

.40

32.9

103.

310

4.3

109.

3-4

3.4

30.4

-22.

911

1.3

-54.

113

30.2

5136

-4.2

41.7

2.2

5.3

53.4

33.9

2.5

5.7

8.1

031

.32.

86.

130

.142

34.1

16.8

19.1

1412

.673

.159

.939

.663

.746

.238

.786

.366

.950

.130

.229

.1-1

8.1

021

.412

.768

.696

.167

.128

.857

.16

1534

.375

.958

.318

.264

.224

.728

.751

.230

.925

30.3

57.1

-46.

621

.40

-133

.139

.731

.6-9

.222

.116

13.5

71.7

54.5

74.1

60.1

20.7

23.9

64.3

43.9

2126

.335

.1-4

3.3

12.7

-10

46.1

52.3

43.6

1.2

35.1

1784

.122

.589

.886

.840

.886

.373

.936

.7-4

1.1

84.3

83.3

-43.

454

.914

2.8

107.

312

0.3

029

.9-3

0.9

130.

8-8

2.3

1855

28.1

56.7

57.3

45.5

46.7

45.3

-0.1

-21.

654

.754

.8-1

917

.312

0.8

64.4

77.2

-19.

50

-49.

494

.8-1

4.2

1994

.241

.297

.698

.359

.487

.886

.342

.7-1

9.8

96.3

96.3

-22.

958

.914

1.3

105.

811

7.8

-30.

90.

040

127.

8-4

1.6

2033

.582

.765

.525

71.1

31.6

35.7

73.8

53.9

31.9

37.3

37.1

-32.

628

.8-9

.21.

256

.670

.153

.60

44.6

2172

.318

.579

75.9

3069

.364

.626

-51.

973

.372

.8-5

4.1

43.9

131.

396

.310

9.3

-14.

235

.2-4

1.6

118.

80

67


Rio de Janeiro 1 -43.7São Gonçalo 2 -268.2


Niterói 5 -216.3Belford Roxo 6 -137.2

São João de Meriti 7 -137.6Magé 8 -237.2

Itaboraí 9 313.6Mesquita 10 -134.2Nilópolis 11 -128.7Maricá 12 -243.4

Queimados 13 -74.3Itaguaí 14 -38.7Japeri 15 -77.6

Seropédica 16 -64.9Rio Bonito 17 -292.7Guapimirim 18 -169.3

Cachoeiras de Macacu 19 -210.2Paracambi 20 -62.4

Tanguá 21 -256.8

A Figura 4.8 apresenta a solução Dual da 3a.

Seguem listados abaixo todas as conexões da solução Dual da 3a iteração:

• São Gonçalo: Niterói, Itaboraí, Maricá, Rio Bonito, Cachoeiras de Macacu, Tan-

guá;

• Itaboraí: São Gonçalo, Maricá, Rio Bonito, Cachoeiras de Macacu, Tanguá;

• Rio Bonito: Itaboraí, Maricá, Cachoeiras de Macacu, Tanguá.

Utilizando a MCL e a Heurística, obtemos os custos dji entre cada mediana j

e cada nó i. A Tabela 4.19 apresenta os custos dji, onde os menores estão em negrito.

Assim, a Figura 4.9 apresenta a solução Primal da 3a iteração.

68




• São Gonçalo: Maricá, Niterói, Duque de Caxias, Nova Iguaçu, Belford Roxo,

São João de Meriri, Mesquita, Nilópolis, Rio de Janeiro, Queimados, Japeri,

Seropédica, Paracambi, Itaguaí;

• Itaboraí: Magê, Guapimirim, Cachoeiras de Macacu;

• Rio Bonito: Tanguá.

69


MunicípioMediana

3 4 6Rio de Janeiro 38.4 59.4 84.1Duque de Caxias 60.2 63 89.8Nova Iguaçu 41.8 59.9 86.8Niterói -4.8 14.1 40.8Belford Roxo 35.2 53.4 86.4São João de Meriti 29.8 47.4 73.9Magé 14.6 10.1 36.8Mesquita 39.2 57.33 84.3Nilópolis 38.6 56.8 83.3Maricá -61.6 -52.7 -43.4Queimados 5.7 33.9 54.9Itaguaí 77.2 116.4 142.8Japeri 80 80.4 107.3Seropédica 75.8 93.3 120.3Guapimirim 7.54 3.14 29.9Cachoeiras de Macacu -28.8 -44.5 -30.9Paracambi 86.8 103.3 130.8Tanguá -51.5 -76.6 -82.3

Com os limitantes definidos, em seguida, realizamos o Método do Subgradi-

ente. A Tabela 4.21 apresenta o subgradiente de cada município.

Em seguida, calculamos o Tamanho de Passo θk dado. Como o limitante

superior da 3a iteração (988.7) é maior que o melhor limitante superior (630.9) não

atualizamos zub. Além disso, como o limitante inferior desta iteração (-33.3) é menor

do que o melhor limitante inferior até o momento (0), também não atulizamos zlb.

Sendo α = 2, temos que:

θ2 = 2630.9− 0

32

θ2 = 39.43.


Com isso, finalizamos o exemplo desta Seção realizando três iterações para

o PPM. Portanto, até a última iteração feita, São Gonçalo, Itaboraí e Rio Bonito irão

distribuir as vacidas contra a gripe para os demais municípios da Região Metropolitana

do Rio de Janeiro.

70


Rio de Janeiro 1 1São Gonçalo 2 -1




Itaboraí 9 -2Mesquita 10 1Nilópolis 11 1Maricá 12 -2


Seropédica 16 1Rio Bonito 17 -2Guapimirim 18 1

Cachoeiras de Macacu 19 -1Paracambi 20 1

Tanguá 21 -2


Rio de Janeiro 1 -14.7São Gonçalo 2 64.2


Niterói 5 20.62Belford Roxo 6 -18.8

São João de Meriti 7 -18.8Magé 8 -18.8

Itaboraí 9 148.9Mesquita 10 -18.8Nilópolis 11 -18.8Maricá 12 173.7

Queimados 13 30.7Itaguaí 14 -18.8Japeri 15 -18.8

Seropédica 16 -18.8Rio Bonito 17 173.7Guapimirim 18 5.93

Cachoeiras de Macacu 19 134.3Paracambi 20 -18.8

Tanguá 21 173.7

71

Considerações Finais

Definido um grafo, o desenvolvimento do trabalho nos permitiu avaliar um problema

que consiste em localizar p medianas em uma rede contendo n nós, com a intenção de

minimizar a soma total das distâncias entre cada nó e sua mediana mais próxima. Este

problema é denominado de Problema das p-Medianas. Além disso, caso este problema

seja de difícil resolução, o trabalho investigou uma forma de obter um problema mais

fácil através do original. Esta forma é denominada de Relaxação Lagrangeana, que

consiste em dualizar algumas restrições, ou seja, adicionar um vetor de Multiplicadores

de Lagrange e realizar sua subtração na função objetivo.

Para obtermos mais facilidade na compreensão sobre RLG e PPM, iniciamos

o trabalho aprentando conceitos de Programação Inteira. Este modelo de programação

permitiu que pudessemos formular e analisar o Problema das p-Medianas. Além disso,

o estudo da Programação Inteira expôs conceitos sobre limitantes, que foram impor-

tantes no decorrer do trabalho para verficarmos a condição de otimalidade do exemplo

proposto na Seção 4.3. Posteriormente, apresentamos o conceito de PPM desenvol-

vendo a formulação do problema e analisando cada restrição individualmente. Por

fim, anunciamos a definição da Relaxação Lagrangeana e desenvolvemos dois exem-

plos que facilitaram seu entendimento. Ademais, o estudo da Heurística Lagrangeana

contribuiu posteriormente com o desenvolvimento de uma Heurística.

Com todos os conceitos estabelecidos, assimilamos tudo para construirmos

uma Relaxação Lagrangeana para o Problema das p-Medianas e uma Heurística La-

grangeana, que foram utilizadas em um exemplo prático no final do trabalho. A coleta

de dados para este exemplo foi possível através do GoogleMaps. A criação do custo

72

auxiliar simplificou o problema, possiblitando desenvolver o Subproblema Lagrange-

ano, gerando, assim, o limitante inferior. Já o limitante superior foi estabelecido por

meio da Heurística. Realizamos três iterações para o problema, apresentado as solu-

ções Duais e Primais em cada uma.

A variável escolhida para o exemplo foi a distância em quilômetros entre

cada município da Região Metropolitada do Rio de Janeiro. Porém, outra variável que

poderiamos otimizar é o tempo de viagem. Contudo, não a consideramos, pois o tempo

depende das condições do trânsito. Em certos períodos do dia algumas estradas estão

com um tráfego mais intenso do que em outros intervalos de tempo. Com isso, seria

interessante realizar um levantamento de dados regularmente e obter a média de tempo

de viagem entre cada município. Além disso, é interessante ressaltar que: realizar um

algoritmo que seja capaz de desenvolver os cálculos propostos neste trabalho seria de

grande eficiência, pois com o aumento do número de iterações podemos encontrar uma

solução que seja melhor.

Com o objetivo de explicar de forma simples e apurada todos os conceitos

presentes no trabalho, contribuimos com a facilidade de compreensão. Além disso, o

uso de um exemplo prático contribuiu para aproximar o PPM a uma situação comum,

que a vacinação contra a gripe. Enfim, para melhorias e futuras pesquisas, este tra-

balho poderia server de ajuda para outros trabalhos com: a criação de um algoritmo

capaz de desenvolver os cálculos propostos; utilizar outras variáveis no problema, em

alguns casos, mais de uma; aumentar o número iterações com o objetivo de verificar

a oscilação entre o limitante inferior e limitante superior podendo gerar uma solução

melhor.

73

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