©2000-2001 prof.ª gladys castillo 1 problema de designação pesquisa operacional prof a Úrsula...
TRANSCRIPT
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo1
Problema de designação
Pesquisa OperacionalProfa Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo2
O Problema de designação
Suponha n trabalhadores a distribuir por n tarefas de forma a que cada trabalhador execute apenas uma tarefa, e que cada tarefa seja executada apenas por um trabalhador. Conhecendo os custos da realização de cada tarefa por cada trabalhador: designar os trabalhadores às tarefas de forma a minimizar os custos
O problema de designação é um problema de dimensão (n x n), em que:
as variáveis de decisão xij podem tomar valores 0 ou 1;
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo3
Número de Possíveis Soluções
•O Problema de designação envolve a determinação de n! possíveis soluções.
• Exemplo: para um problema com 5 trabalhadores e 5 tarefas o
número de soluções possíveis é igual a 5 ! = 120. para um problema com 10 trabalhadores e 10 tarefas o
número de soluções é igual a 10 ! = 3 628 800.
•Obter a solução ótima por tentativa é DIFÍCIL !
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo4
Destino
Origem 1 2 … n Oferta
1
2......
..
..
..
Procura 1 … …
cc1111 cc1212 cc1n1n
cc2121 cc2222 cc2n2n
ccm1n1 ccm2n2 ccmnnn
xx1111 xx1212 xx1n1n……
xx2121 xx2222 xx2n2n……
xxn1n1 xx xx……
..
..
..
..
..
..
..
..
..
n2n2 nnnn
1 1
1
1
1
Problema de designaçãoFormulação
n
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo5
Problema de designaçãoFormulação
n
jijx
1
1
1,0ijx
ni ,...,2,1 ,
nj ,...,2,1 ,
Minimizar
sujeito a: cada trabalhador
é designado a uma só tarefa
nj ,...,2,1 ,
n
iijx
1
1
cada tarefa é executada apenas
por um trabalhador
ni ,...,2,1 ,
n
jiijij xcC
1,
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo6
Resolução do Problema de DesignaçãoMétodo Húngaro
Este método consiste em adicionar ou subtrair valores de forma adequada às linhas e às colunas da matriz de custos de dimensão nn para obter um problema equivalente com n zeros enquadrados na matriz de custosUma vez transformada a matriz de custos numa matriz com n zeros enquadrados, esses zeros correspondem à designação ótima, tomando:
xij = 1, para os zeros enquadrados da matriz de custos
transformada
xij = 0, para os restantes valores
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo7
1 2 3 4 5
11
22
33
44
5
17.5 15 9 5.5 12
16
12
4.5
13
16.5 10.5
15.5 14.5
8
9.5
14
8.5
5
11
17.5
12
10.5
5.5
13
17.5
Resolução do problema de designaçãoMétodo Húngaro - Exemplo
Considere que existem 5 trabalhadores que devem ser designados a 5 tarefas. A matriz dos custos associados à realização de cada tarefa por cada trabalhador é a seguinte:
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo8
Resolução do problema de DesignaçãoMétodo Húngaro
Início: Redução da Matriz de Custos.1º. Subtrair aos elementos de cada coluna da matriz de custos o
mínimo dessa coluna.2º. Na matriz resultante, subtrair a cada linha o respectivo mínimo.Iteração: 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz2º. Critério de parada:
o número mínimo de traços é igual a n?. Sim – enquadrar n zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM. Não – passar a 3.
3º. Redução da matriz de custos. Determinar o menor valor não riscado . Subtrair a todos os elementos não riscados e somar a todos os
elementos duplamente riscados. Considerar de novo todos os zeros livres e voltar a 1 (Iteração)
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo9
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
13 7 0.5 0.5 6.5
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
1 2 3 4 5
11
2
3
4
5
17.5 15 9 5.5 12
16
12
4.5
13
16.5 10.5
15.5 14.5
8
9.5
14
8.5
5
11
17.5
12
10.5
5.5
13
17.5
1º: Subtrair o menor elemento de cada coluna
de todos os elementos dessa coluna
1º: Subtrair o menor elemento de cada coluna
de todos os elementos dessa coluna
17.5 - 4.5 = 13
16 - 4.5 = 11.5
12 - 4.5 = 7.5
4.5 - 4.5 = 0
13 - 4.5 = 8.5
menor elemento da coluna 1
Método Húngaro. Exemplo.Início: Redução da Matriz de Custos.
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo10
11 2 2 3 3 4 4 5 5
11
22
33
44
55
12.5 6.5 0 0 6
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
2º: Subtrair o menor elemento de cada linha de todos os elementos dessa
linha
2º: Subtrair o menor elemento de cada linha de todos os elementos dessa
linha
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
13 7 0.5 0.5 6.5
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
Existe empate na escolha do menor elemento da linha 1 (igual a 0.5). Nas linhas restantes o mínimo é zero, sendo que as linhas restantes não vão ser alteradas
13 13 - 0.5 = 12.5
7 - 0.5 = 6.5
0.5 0.5 - 0.5 = 0
6.5 - 0.5 = 6
Método Húngaro. Exemplo.Início: Redução da Matriz de Custos.
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo11
1 2 3 4 5
11
2
33
44
55
12.5 6.5 0 0 6
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
Método Húngaro. Exemplo.Iteração: Critério de parada.
1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz.
2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Não – passar a 3.
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo12
1 2 3 4 5
1
2
33
44
5
12.5 6.5 0 0 6
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
3
4
12.5 6.5 0 0 6
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
11.5
7.5
0
8.5
8.5 2
7.5 6
0
1.5
5.5
0
0
6
12.5
7
5
0
7.5
12
1º. min {elementos da submatriz dos elementos não riscados } = 1.51º. min {elementos da submatriz dos elementos não riscados } = 1.5
4º. Os restantes elementos não são alterados.4º. Os restantes elementos não são alterados.
2º. Subtrair 1.5 a todos os elementos não riscados.2º. Subtrair 1.5 a todos os elementos não riscados.
3º. Somar 1.5 aos elementos na intersecção dos traços.3º. Somar 1.5 aos elementos na intersecção dos traços.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
11 5 0 0 4.5
10
7.5
0
7
7 2
7.5 7.5
0
0
7
0
0
7.5
14
7
3.5
0
7.5
10.5
Método Húngaro. Exemplo.Iteração: Redução da Matriz de Custos.
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo13
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
11 5 0 0 4.5
10
7.5
0
7
7 2
7.5 7.5
0
0
7
0
0
7.5
14
7
3.5
0
7.5
10.5
Método Húngaro. Exemplo.Iteração: Critério de parada.
1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz.
2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Sim – enquadrar 5 zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM
©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo14
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
17.5 15 9 5.5 12
16
12
4.5
13
16.5 10.5
15.5 14.5
8
9.5
14
8.5
5
11
17.5
12
10.5
5.5
13
17.5
Matriz inicial de custos
Método Húngaro. Exemplo: Solução Ótima.
solução ótima é : x13 = 1 , x24 = 1, x35 = 1, x41 = 1 , x52 = 1
com um custo total : 9 + 5 + 5.5 + 4.5 + 9.5 = 33.5