Filtragem Digital

● Um dos grandes objetivos da aula:● Aprendermos a encontrar a resposta ao impulso a

partir da equação de diferenças

Iremos assumir sempre nesse curso condições iniciais nulas (sistema em repouso)!

2.4.3 Representações em diagrama de blocos de sistemas de primeira ordem descritos por equações diferenciais e de diferenças● Exemplo

Exemplo: obtenha a eq de diferenças

● Obs o delay D é representado por z-1, devido isso ser um "atraso" na transformada Z

Como se implementa um filtro digital em software dada eq diferenças

● Exemplo:

Equação não-recursiva ==>Filtro não-recursivo

Resposta ao impulso para sistemas não-recursivos é simples!

● Filtro não-recursivo tem resposta ao impulso finita e é chamado FIR ("finite impulse response")

Para filtros FIR, os coeficientes da equação de diferença são os mesmos valores da

resposta ao impulso!● Exemplo:● y[n] = 3 x[n] + 2 x[n-1] – 4x[n-2] (eq. Diferença)● Queremos mostrar que gera:

● h[n] = 3 d[n] + 2 d[n-1] -4 d[n-2] (resp. Impulso)● Além de como o livro sugere, pode-se provar

pela Análise de Fourier:

Estratégia para se obter a resposta ao impulso

● Lembrar que a convolução y[n] = x[n] * h[n] vira multiplicação no domínio da transformada (frequência): Y(ejW) = X(ejW) H(ejW)

● Definição de resposta em frequência:● H(ejW) = Y(ejW) / X(ejW)

● Resposta ao impulso é a transformada inversa da resposta em frequência● h[n] = Fourier_inversa { H(ejW) }

Continuando exemplo de resposta ao impulso de FIR

y[n] = 3 x[n] + 2 x[n-1] – 4x[n-2] (eq. Diferença)– Usando Fourier dos dois lados:

● Y(ejW) = 3 X(ejW) + 2 X(ejW)e-jW - 4 X(ejW)e-2jW – Colocando em evidência

● Y(ejW) = X(ejW) (3 + 2 e-jW - 4 e-2jW)

● H(ejW)=Y(ejW)/X(ejW) = (3 + 2 e-jW - 4 e-2jW)– Achando a resposta ao impulso por transformada inversa

● h[n] = 3 d[n] + 2 d[n-1] -4 d[n-2] ● É fácil obter h[n] a partir da equação de diferenças de

FIR por inspeção. Daí nem é preciso o acima. Mas qdo há recursão, a estratégia é muito útil!

Resposta ao impulso quando há recursão

● Exemplo do livro

Assumiremos condição inicial nula, o que é diferente desse exemplo no livro!

Continuando exemplo de resposta ao impulso quando o filtro tem recursão

y[n] = x[n] + 1/2 y[n-1] (eq. Diferença)– Usando Fourier dos dois lados:

● Y(ejW) = X(ejW) + 1/2 Y(ejW)e-jW

– Passando pro outro lado e colocando em evidência

● Y(ejW) (1 – 1/2e-jW)= X(ejW)

● H(ejW)=Y(ejW)/X(ejW) = 1/(1 – 1/2e-jW)– Achando a transformada inversa, já que a=1/2 < 1

●

● Resultado no livro:

Nomenclatura: filtros FIR e IIR

● Todo filtro com equação de diferenças não-recursiva é FIR

● Filtros recursivos tipicamente possuem resposta ao impulso de duração infinita (IIR, de infinite impulse response)

● Assim, na prática, FIR é sinônimo de não-recursivo e IIR de recursivo.

● Contudo, isso não está estritamente certo. É possível se criar filtros recursivos que possuam resposta ao impulso finita (exemplo: cancelando pólos e zeros, o que será visto adiante)

Próximos capítulos: transformadas Z e de Laplace

● Todas ajudam a lidar com respostas ao impulso!

Filtros analógicos: treine com Filter Pro da Texas Instruments (it is free)! http://www.ti.com/tool/filterpro

Filtros Digitais

Respostas em freq dos filtros analógico e digital

● Comparando:

Usando livro-texto do Oppenheim: Mapa de estudo para filtragem

Softwares: fdatool do Matlab e Filter Pro - http://www.ti.com/tool/filterpro

É útil ao aluno estudar as Seções 6.5 e 6.6, mas para quizzes e provas, cai apenas as

seções 6.1 a 6.4 do Capítulo 6